Определение фигур небесных тел методом Ляпунова тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Санкт - Петербургский государственный университет

1 ; ;. г : На правах рукописи

Сайед Абд Эяьфатгах ЗАКИ

УДК 521.6

Определение фигур небесных тел методом Ляпунова

Специальность 01.03.01.- астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени ■ кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук К.В.Холшевнихов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Л.К.Бабаджанянц кандидат физико-математический наук Е.И.Тюдошкова

Ведущая организация: Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга •

Защита диссертации состоится „^ " декабря 1993 г. в „ ¡5 " часов на заседании специализированного совета Л.063.57.39 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 109034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, геологический факультет, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке СЛбГУ.

Автореферат разослан Л6 «ЗЗ&Я^к 19S3 г.

Ученый секретарь специализированного совета '

кандидат физико-математических наук И.В. Петровская

/

Общая характеристика работы

Актуальность теми. Научный интерес к строению педр и фигур небесных тел в настоящее время имеет пе только академический характер, по и значительно стимулируется развитием наземной и космической наблюдательной техники. Наземные наблюдения, экспедиции КА к планетам, спутникам, кометам, астероидам и Солнцу дают большой объем высокоточных дагшых о динамических характеристиках небесны» гел, что приводит, в частности, к необходимости построения адекватных теорий движения, учитывающих влияние фигуры и строения тела на 'его орбитальное движение (либрация большой полуоси, движение перицентра и т.д.) и вращение (физическая либрация).

Теория Ляпунова [4] для медленно вращающихся тел представляет собой фундамент, на котором должпы развиться более обшие направления исследования фигур небесных тел. Несмотря на то, что теория эта была многократно изложена, она до сих пор не подверглась сколько-пибудь существенной доработке. Сам А.М.Ляпупов основное внимание уделяет вопросам существования, ^дипстренности, сходимости. Поиск различных форм решения при различных предположениях о распределении масс, построение эффективных алгоритмов и т.п. — все это лишь намечено великим математиком. Основная причина — в то время было мало известно о плотяоети небесных тел. Теперь такие данные имеются о Солнне, звездах различных типов, планетах, крупных спутниках и астероидах (см., например, [6]).

Цель работы. Целью работы является развитие теории Ляпунова, доведение ее до логического завершения я применение к реальным небесным телам.

Научная новизна. Изучение однородные фигур начато еще

Ньютоном. Качественно его результат о сжатии Земли был подтвержден измерениями. Хотя предположение однородности существенно упрощает уравнения, оно имеет мало общего с действительностью и не работает для крупных небесных тел.

Характеризуя современное состояние теории фигур небесных тел, можно выделить некоторые базовые направления.

Изучение фигур равновесия по данным о гравитационном поле, на поверхности. Этот подход не требует трудно доступной информации о недрах. С другой стороны, он позволяет получить исчерпывающее описание поверхности тела и внешнего гравитационного поля, по не дает сведений о распределении масс, форме эквиденсит.

Активно развивается восходящее к Р.Дедекинду и В.Рим,гну направление фигуры равновесия с внутренними течениями [3], хотя в основном пока решаются модельные задачи.

Начиная с работ С.Чандрасекара получила развитие теория фигур равновесия с внутренними источниками энергии. Здесь получен ряд фундаментальных результатов, хотя исследования далеки от логического завершения .

Исследования, проведенные автором но изучению медленно вращающихся фигур по данным о невозмущенном распределении масс, опираются в значительной степени на результаты А.Клеро, решившего задачу в первом приближении, и А.М.Ляпунова, сделавшего следующий крупнейший шаг. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. теория Ляпупо^а доведена до рабочих формул, алгоритмов и программ;

2. найден предел Ляпунова до. гарантирующий сходимость используемых рядов при < до;

3. дапо полное решение задачи для плотности, изменяющейся по степенному заколу;

4. доказана тождественность случая сосредоточенной п центре массы и случая <У —* 3 для степепого изменения плотности с, показателем (Т;

5. приисдеио полное решение для аналитической плотности;

6. результаты применены к модели внутреннего строения Солнда с получением характеристик форм акпидеисит, внутреннего гравитационного потенциала, оценок сжатия.

Научная и практическая- ценность. Метод Ляпунова определения строения медленпо вращающегося пебеспого тела до-иедеа до логического завершения и может быть использован для определения характеристик фигур планет, крупных спутников, звезд разных типов.

Построенная оптимальная аппроксимадия плотности недр небесного тела степенной функцией и полипомом фиксированной степени позволяет получать алалитические представления плотностей, что важно для многих задач динамики. Автор выносит на защиту.

1. Доведение теории Ляпунова до логического завершения. Нахождение предела Ляпунова. Полное решение задачи Ляпунова для степенного и аналитического распределения плотности.

2. Построение наилучшей степенной и полиномиальной аппроксимации плотности, заданной таблично (с предписанными узлами),

3. Построение аналитических моделей солнечных недр. Построение поверхностей равной плотности для этих моделей.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладывались на:

1. семинарах кафедры небесной механики СПбГУ;

2. Совете по небесной механике ГЛИШ;

3. XXII Зимней астрономической школе (Екатеринбург, 1993);

4. международной конференции "Mathematical Methods ia Studying the Structure and Dynamics of Graviting Systems" (Петрозаводск, 1993);

5. конференции с международным участием „ Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика" (Петербург, 1993).

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на IV» страницах, включая 24 страницы приложений, содержит 8 рисунков и 12 аблиц. Со<кгоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Список использованных литературных источников включает 68 наименований.

Содержание работы

Во Введении обсуждаются классические и современные направления теории фигур небесных тел, актуальность данной работы, ее место в ряду предшествующих и современных исследований. Отмечены новации и выносимые на защиту положения.

В первой главе дисертации излагается и развивается теория Ляпунова. Следуя Ляпунову в §1.1 рассмотрено твердо-тельно вращающееся с постоянной угловой скоростью ш жидкое осесимметричное тело Т. Семейство поверхностей равной плотности задается уравнением г = Яо[1 + C(«tsf)] ■ Здесь г

— радиус, 9 —дополнение широты; Я — масштабный множитель; переменная а 6 [О, 1] параметризует семейство. Гравитационный потенциал ¿7 можно разложить в ряд

оо п=0

где р — средняя плотность , 11п — безразмерный, однородный степени п функционал от С и д^/да. Для тг-го члена ряда по степеням

(Л — экваториальный радиус, М — масса тела, О — гравитационная постоянная) получено явное выражение потенциала 17„ через 1/т, £т с меньшими, индексами ТП < (п. — ].). Здесь функция Сп описывает форму эквиденсит. Для ее определени.' получено уравнение Клеро, причем на каждом шаге меняются только правые части, выражающиеся через 11т, с меньшими индексами. Для первых приближений п = 0,1, 2 выписаны явные выражения (§1.2). Полное решение задачи Ляпунова до второго приближения включительно получено в четырех случаях: постоянная плотность (§1.3); изменяющаяся по степенному закону плотность (§1.4)'; сосредоточенная в центре масса (§1.5); аналитическая плотность (§1.6). Рассмотрен метод решения уравнения Клеро для произвольно заданной плотности (§1.7). Проведено доказательство тождественности случая сосредоточенной в центре массы и случая сг —» 3 для степеного изменения плотности с показателем — сг. По приведенным алгоритмам, решения могут быть доведены до произвольного приближения. В каждом из описанных случаев дано явное аналитическое решение уравнепия Клеро.

Найден предел Ляпунова qo, гарантирующий сходимость используемых рядов при <

В главе 2 получены алгоритмы аналитического представления плотности внутри небесного тела как функции от радиуса по таблице ее зпачений с предписанными (независящими от нашей воли) узлами. Рассмотрено оптимальное представление сосредоточенной в центре массой (§2.1); постоянной плотностью; плотностью, изменяющейся по степенному закону (§2.2); многочленом по степеням расстояния от центра (§2.3). В § 2.2 выбрано оптимальное для Солнца значите о* — 2.158581 . Вычисления выполнены для модели внутреннего строения Солнца [1]. В §2.4 рассмотрена полиномиальная аппроксимация таблично заданной плотности. На наш взгляд она выглядит естественной при использовагаш системы смещенных многочленов Лежандра. Коэффициенты стандартного представления огромны и затрудняют его использование как аналитического аппарата. Необходимо -отметить, что при достижении двенадцатой степени ошибка полиномиальной аппроксимации не превышает ошибок исходных данных (§2.4).

В третьей главе теория первой главы с использованием данных второй главы применена к определению внутренне-то гравитационного потенциала и формы поверхностей равной плотности для вышеуказанных моделей плотности солнечных недр: сосредоточенная в центре масса, постоянная функция, степенная и полиномиальная (§§3.2-3.4). Из вычислительных соображений вводится собственная система единиц М = К — С — 1 (§3.1), для которой о; = д. Оказалось, в частно« и,что в случае, постоянной плотности эквиденситы подобны друг другу и обладают постоянным сжатием. Для Солнца 70 = 2.350391 • Ю-5. В случае сосредоточенной в центре массы — 70 = 0.940217 • 10~5. При показателе а* степенной модели — 7© — 1-248768 • Ю-5.

В Заключении перечислены основные результаты и вшю-

дтл диссертации, а также возможные направления дальнейшей работы.

В Приложения I, II вынесены таблицы и рисунки, иллюстрирующие основные результаты второй главы.

Основные результаты и выводы диссертации:

1. Теория Ляпунова, позволяющая наход ггь строение медленно вращающегося небесного тела и его гравитационный потенциал по данным о распределении плотности в певозмущепном (и = 0) состоянии, доведена до логического завершения:

(a) Построены алгоритмы и программы, позволяющие определить произвольное приближение относительно малого параметра д — отношения центробежной силы и силы тяготения на экваторе;

(b) Соответствующие формулы выписаны явно вплоть до квадратичного приближения включительно.

(c) Дляполучения более высоких приближений модифицированный алгоритм Ляпунова реализован с использованием системы копьютерпой алгебры.

2. Полное аналитическое решение задачи Ляпунова до второго приближения включительно получено в случае

(a) постоянной плотности;

(b) сосредоточенной в центре массы;

(c) изменяющейся по степенному закону плотности; ((1) аналитической плотности.

Если понадобится, решение может быть доведено до приближения любого порядка.

3. Построена оптимальней! аппроксимация плотности солнечных недр степенной функцией и полиномом фиксированной степени. В последнем случае точность аппроксимации не хуже точности исходных данных.

4. Получены модели фигуры Солнца, верхние и нижние оценки сжатия его поверхности.

5.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Blkin А .V., Kholshevnikov K.V., Zaky S.F. Equilibrium figure of slowly rotating inhomogeneous fluid body. Program and Abstracts of the Conference. Petrozavodsk, June 15-18, 1993.

2. Заки С.Ф., Елькин A.B., Холщевников K.B. Фигура рав-- новесия медленно вращающегося жидкого неоднородного

тела. Программа и тезисы докладов. Санкт-Петербург, 12-14 октября 1993.

В совместных работах руководителю принадлежит общая постановка задачи и некоторые идеи по ее решению, С.Ф.Закг — решение и совместно с А.В.Блькиным — численные расчеты.

Литература

1. Денисенков П.А. Происхождение аномалии содержания натрия у желтых сверхгигантов.//Астрофизика. 1989. Т. 31. с.293.

2. Заки С.Ф., Елькин А.В., Холщевников К.В. Форма и строение небесных тел: вслед за Ляпуновым // Астрономический журнал., N 4, 1994, в печати.

3. Кондратьев Б.П.Динамика эллипсоидальных гравитирую-щих фигур. М.: Наука. 1989.

4. Liapunoff A.M. Recherches daña la theorie de la figure des corps celestes// Записки Императорской Академии наук., 1903. T.XIV, N 7. С.-Петербург, (перевод на русский язык cmi в кн.: Ляпунов A.M. Соч. Т.З. М: изд. АН. 1959. С. 114146).

5. Tisserand F. Traite de mécanique celeste, Т.П. Paris. 1881.

6. Zharkov V.H., Leontjev V.V., Konzenko A.V. Models, figures and gravitational momenta of Galilean satellites of Jupiter and ice satellites of 3aturn//Icarus. 1985. 61, N 1, p.92-100.

>> Xj^