Гравитационный потенциал и фигуры гидростатически-равновесных небесных тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Андрей Викторович Елькин

Гравитационный потенциал и фигуры гидростатически-равновесных небесных тел

Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.----

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

К.В.Холш ев и чти

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С.А.Кутузов

кандидат физико-математических наук Е.И.Тимошкова

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита диссертации состоится „ П/ОС " 1997 г. на заседании Диссертационного Совета Д.063.57.39 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург,

Университетская наб., д. 7/9, геологический факультет, ауд. 88. Наго « чало в „ (¿г—

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке СПбГУ 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан „ $ " мая 1997 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 063.57.39 доктор физико-математических наук

И.В. Петровская

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Последние достижения наблюдательной астрономии наравне с интереснейшей информацией, добываемой космическими экспедициями, требуют создания адекватных теоретических построений. Это тем более справедливо для задач определения фигуры, гравитационного потенциала и внутреннего строения небесных тел.

В недавних работах [1, 2] с участием автора были поставлены и решены задачи построения частных решений в классической теории фигуры медленно-вращающихся небесных тел Клеро Ляпунова [4], проведены необходимые обоснования.

Для нужд практики необходима как полная алгоритмизация вывода соответствующих уравнений теории фигуры для любого приближения, так и дальнейшие обобщения, расширяющие область применимости теории к реальным объектам.

Выбор метода Ляпунова за основу обусловлен его полной надежностью в связи с существованием предела Ляпунова, гарантирующего сходимость в общем случае, в отличие, скажем, от метода Лапласа, использование которого может привести к расходимости. Такие допущения теории, как монотонное убывание плотности и баротропность жидкой массы приемлемы для практики. В то же время классическая теория ограничена условием твердотельности вращения и требует обобщения. Оценки соответствующих поправок от дифференци-альности вращения показали их превалирование над точностью экспериментальных определений характеристик фигур и гравитационных полей.

Естественно напрашивается вслед за "внутренней" задачей Клеро-Ляпунова рассмотреть задачу Стокса определения внешнего гравитационного потенциала. Обязательны при этом доказательство сходимости используемых рядов, в частности, ряда Лапласа, и конечно, применение построенных алгоритмов к реальным небесным телам.

Цель работы. Настоящая работа представляет собой дальнейшее развитие, полную алгоритмизацию теории Ляпунова, и ее применение к определению фигур и гравитационного потенциала небесных тел в предположении гидростатического равновесия их цедр. Решаются следующие задачи:

— полная алгоритмизация вывода уравнений теории фигуры (интегро-дифференциальных уравнений Клеро) как в классическом твердотельном случае, так и в случае дифференциального вращения;

— Обращение оператора Клеро аналитически в случаях: ньютоновской модели постоянной плотности, модели Гюгейнса-Роша сосредоточенной в цепгпре массы, плотности, изменяющейся по степенному закону, аналитической плотности, ступенчатой плотности, а также методом последовательных приближений при произвольной плотности.

— Определение радиуса сходимости решений для однородных фигур равновесия.

— Решение задачи Стокса определения внешнего гравитационного потенциала, вычисление постоянных Стокса при известном распределении эквиденсит и/или при известной поверхности тела. Оценки сходимости ряда Лапласа и разложений гармонических коэффициентов. Обобщение метода на тела с дифференциальным вращением.

— Моделирование фигур и гравитационных потенциалов тел Солнечной системы с использованием разработанных методов.

Научная новизна. В развитии теории фигур небесных тел можно выделить следующие ключевые направления. Однородные фигуры равновесия. Предположение однородности имеет мало общего с

действительностью, однако позволяет теории продвинуться наиболее далеко, не ограничиваясь, в частности, условием медленного вращения. Фигуры равновесия с внутренними течениями — направление, начатое трудами Р.Дедекипда и Б.Римана. Начиная с работ С.Чандрасекара получила развитие теория фигур равновесия с внутренними источниками энергии. Фигура равновесия медленно врашаюшейся жидкости по данным о невозмущенном распределении масс. Классиками этого направления являются А.Клеро, решивший задачу в первом приближении, П.Лаплас, применивший разложения по сферическим функциям, и А.М.Ляпунов, построивший строгую теорию [4]. Последняя является теоретическим фундаментом проводимых автором исследований. Научная новизна работы заключается в следующем:

1. полная алгоритмизация теории Ляпунова средствами компьютерной алгебры;

2. обобщение теории в случае слабодифференцпального вращения;

3. обращение оператора Клеро аналитически в произвольном приближении в случаях постоянной плотности, плотности, изменяющейся по степенному закону, ступенчатой плотности;

4. определение радиуса сходимости ляпуповских разложений в случае однородных фигур\ обоснование сходимости решений для аналитической плотности в первом и втором приближении;

5. построение алгоритма решений уравнений Клеро методом последовательных приближений с применением сплайн-интерполяции для дискретно-заданной плотности;

6. построение разложений зональных гармоник гравитационного потенциала и оценка сходимости этих рядов и ряда Лапласа;

обобщение алгоритма в случае слабодифференциального враще-_ния;-

7. применение построенных алгоритмов и программ к моделированию гравитационного поля и внутреннего строения тел Солнечной системы.

Научная и практическая ценность. Построен и запрограммирован алгоритм решения уравнений теории фигуры методом Ляпунова в произвольном приближении для рада важных случаев невозмущенного распределения масс. Метод Ляпунова обобщен на тела с дифференциальным вращением, что расширяет класс объектов применимости. Получены алгоритмы вычисления постоянных Стокса внешнего гравитационного потенциала как при твердотельном, так и в случае дифференциального вращения.

Сконструированный комплекс программ позволяет выводить уравнения Клеро и уравнения для определения зональных коэффициентов внешнего гравитационного потенциала в произвольном приближении по малому параметру теории фигуры и параметрам дифференциальности; получать аналитические и численные решения этих уравнений для вышеуказанных моделей невозмущенного распределения масс. Особенностью программы, строящей численные решения, является возможность представления результатов с предписанной точностью, в частности, без ошибок округления при использовании рациональной арифметики.

Автор выносит на защиту:

1. Построение алгоритмов и программ, позволяющих определять фигуру и гравитационный потенциал в произвольном приближении относительно малого параметра теории фигуры при твер-

дотельном вращении; обобщение на случай дифференциального вращения.

2. Обращение оператора Клвро методом последовательных приближений при произвольной плотпости, а также аналитически в случаях:

• ньютоновской модели постоянной плотности,

• модели Гюгейнса-Роша сосредоточенной в центре массы,

• плотности, изменяющейся но степенному закону,

• аналитической плотности,

• ступенчатой плотности;

Определение предела Ляпунсва для однородных фигур равновесия.

3. решение задачи Стокса определения внешнего гравитационного потенциала и построение алгоритмов вычисления постоянных Стокса при известном распределении эхвидепсит и при известной поверхности тела; оценки сходимости ряда Лапласа и разложений гармонических коэффициентов; обобщение метода ва тела с дифференциальным вращением.

4. Моделирование фигур и гравитационных потенциалов тел Солнечной системы с использованием разработанных методов.

Апробация работы. Основные результаты выполненных исследований докладывались на:

1. семинарах кафедры пебесной механики и астрофизики СПбГУ;

2. Зимних Астрономических Конференциях, Екатеринбург, 1993, 1994, 1997 г.;

3. международных конференциях — " Математические методы изу-_чения структуры и динамики гравитирующих систем", Петрозаводск, 1993, 1995 г.; "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика", "Современные проблемы теоретической астрономии", ИТА РАН, СПб, 1993, 1994,1995; III Inter. Workshop on Astrometry and Celestial Mechanics, Cuenca, Spain, 1994.;

4. конференциях "Глобальные проблемы геодинамики", Казань, 1994, "Стохастические методы и эксперименты в небесной механике", Архангельск, 1995.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 155 страницах, включая 38 страниц приложений, содержит 47 рисунков и 12 таблиц. Состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений. Список использованных литературных источников включает 112 наименований.

Содержание работы

Во В в едении дается краткий обзор классических и современных направлений теории фигур небесных тел, обосновывается актуальность проводимых автором исследований. Указана их связь с предшествующими и современными работами. Приводится постановка задачи и выносимые на защиту положения.

В первой главе диссертации излагается и развивается теория Ляпунова. В §1.1 рассмотрена твердотельно вращающаяся с постоянной угловой скоростью U1Q баротропная жидкая масса. Для описания семейства поверхностей равной плотности используется предложенная Ляпуновым параметризация Т — Ra [1 + С (а, А)]. Здесь г — модуль радиус-вектора точки на эквиденсите, пронумерованной переменной о 6 [0,1] со сферическими координатами 9 — дополнение широты и А — долгота; масштабный множитель R — средний радиус.

По условию баротропностп сумма гравитационного U и центробежного потенциалов постоянна на эквиденситах, что ведет к соотношению

l + 02ema * = ..., (1)

точками обозначена зависимость только от й; q — стандартный в теории фигур равновесия малый параметр

= a$R3 4 GM'

М — масса тела, G — гравитационная постоянная. Разложим U, С в ряды

u = J2qnun, < = £«fCn (2)

по степеням малого параметра. Формула (1) позволяет получить явное выражение потенциала Un через C/m, С,т с меньшими индексами т < (гг — 1). Величины оказываются многочленами

2а

<n = Е (nm{a)Pm{cos9) m=0(2)

по системе полиномов Лежандра; символ (2) означает сумшфовапие только по четным индексам. Функция £nQ выражается через при к < п, остальные являются решениями уравнений Клеро

А7д Cum ~ Спт)

где А,а — линейный интегро-цифференциальный оператор Клеро, причем на каждом шаге меняются только правые части, выражающиеся через Uk,Ck с меньшими п индексами. Попутно доказывается симметричность U, С, относительно оси вращения и экваториальной плоскости. Процесс вывода уравнений алгоритмизовап с использованием системы компьютерной алгебры Maxima1 для любого порядка

lSchelter tf.F. Installation guide for common lisp maxima, electronic version,

May 1988. access via Internet ftp:://ftp.funet.fi/pub/funet/math/.

приближения. Первые приближения рассматриваются в §1.2, с выписыванием явных выражений. В следующих параграфах излагается полное решение задачи Ляпунова с получением алгоритмов и/или вы-рцАешш для обратного оператора Клеро в случаях однород-

ной жидкости, модели точечной массы, степенной плотности и сплай-новой плотности (ступенчатый сплайн) — для произвольного порядка приближения; в случае аналитической плотности — до второго приближения с указанием па возможность обобщения процедуры для более высоких приближений. В § 1.3 определяется радиус сходимости рядов Ляпунова для однородных фигур равновесия. Доказывается его совпадение с максимальным значением величины § = 0.336998 для эллипсоидов Маклорена. Отдельный параграф посвящен решению уравнения Клеро методом последовательных приближений в случае произвольной плотности и его обоснованию. Получены рабочие формулы. В заключительном параграфе главы теория Ляпунова обобщается на случай дифференциального вращения цилиндрической симметрии Ш2 — Шд(1 + £¿=1 {I — расстояние до оси вращения). Оказалось, в частности, что при конечном множестве малых параметров дифференциальиости коэффициенты Сп> ип представляются многочленами по семейству гиг порядка не больше п

Ш = ЕЙ'ЧЧ4- , ип{в) = Е■■■■

3 3

(3)

В свою очередь общие члены (3) разложимы в многочлены по системе четных полиномов Лежандра

2П+252-НЗ4-

<1Г4-] = £ (кт4'")рт(со*9). (4)

т=0(2)

В главе 2 дается вывод формул для внешнего потенциала тела, фигура которого определена методом Ляпунова. По доказанной в первой главе симметрии достаточно определить только зональные гармо-

ники четного порядка

00

= £ (« = 0,2,4-..), (5)

5=П/2.

Здесь р — средняя плотность. Доказываются свойства коэффициентов «7Пз. Рассматриваются частные случаи формул при всех моделях плотностей, для которых решалась задача Клеро-Ляпунова. По традициям классиков получены оценки общих членов и радиуса сходимости рядов

(5)

/ — |Лг|<Сп (1-НК? . (6)

Сп — тт

[(1 +Д)(1 + 02 Зрр(1 + /0 2]

где ро — плотность в центре, (/ — радиус сходимости (2), не меньший предела Ляпунова, I, Н — верхние пределы для и |9а£/£)а|. Ряд Лапласа сходится по крайней мере при

г>Ё = (1 + 1)^К. (7)

В заключительном параграфе главы строится алгоритм определения коэффициентов зональных гармоник в виде ряда по параметру д и параметрам дифференциальности 10,- методом последовательных приближений, имеющий входным параметром значения Спт(1) решений уравнений Клеро па поверхности тела.

В третьей главе теория первой и второй главы лрименена к моделированию внутреннего и внешнего гравитационного потенциала и формы поверхностей равной плотности для планет-гигантов, планет земной группы и Солнца. Для этого используем современную информацию о недрах [3, 5]. Решения для моделей недр Юпитера, Сатурна получены до пятого порядка относительно малого параметра, что

позволяет провести сравпенне с достаточно надежно определенными квадрупольными моментами. Полученные результаты представлены

в виде таблиц и графиков. Проводится сраящ"*р ррттпй г тттт.пт-

из других источников.

В Заключении перечислены основные результаты и выводы диссертации. Сформулированы возможные направления дальнейшей работы.

В Приложения вынесены графики и рисунки, иллюстрирующие формулы и доказательства главы 1, громоздкие выкладки, необходимые для обоснования сходимости рядов и оценок их сумм, алгоритм вычисления обобщенных коэффициентов Клебша-Гордана, а также таблицы и рисунки, представляющие результаты расчетов.

Основные результаты и выводы диссертации:

1. На базе теории Ляпунова, математически строго решающей задачу о фигуре и гравитационном потенциале медленно вращающегося небесного тела но данным о распределении плотности в невозмущенном (си — 0) состоянии, построены алгоритмы и программы, определяющие произвольное приближение относительно малого параметра д. Соответствующие формулы включают обращение оператора Клеро для ряда модельных распределений плотности.

2. Обращение оператора Клеро аналитически выполнено для ньютоновской модели постоянной плотности; модели Гюгейнса-Роша сосредоточенной в центре массы; плотности, изменяющейся по степенному закону; аналитической плотности; ступенчатой плотности; Реализована процедура обращения оператора Клеро методом последовательных приближений Ляпунова при произвольной плотности. Решения уравнений Клеро представлены в явном виде до второго приближения включительно. Для приближений выше квадратичного построен алгоритм, реализованный программно. Установлен радиус сходимости

решений в случае однородной жидкости. Алгоритм Ляпунова обобщен на тела с дифференцальным вращением.

3. Решена задача Стокса определения внешнего гравитационного потенциала. Построены алгоритмы вычисления соответсвуюших постоянных Стокса при известном распределении эквиденсит и при известной поверхности тела. В качестве исходных данных используется невозмущенное распределение масс, а также решения уравнений Клеро, описывэ.ющие семейство поверхностей равной плотности. Получены оценки сходимости ряда Лапласа и разложений гармонических коэффициентов. Построен и программпо реализован метод построения разложений гармонических коэффициентов при дифференциальном вращении.

4. Построенные алгоритмы реализованы программно с использованием арифметики произвольной степени точности, включая рациональную, и применены к определению фигуры и гравитационного потенциала тел Солнечной системы. В частности, получены оценки сжатий поверхности, коэффициентов зональных гармоник гравитационного потенциала до пятого приближения по малому параметру теории фигуры и в первом порядке по параметрам дифференциальности.

Список литературы

[1] Заки С.Ф., Елькин A.B., Холшевников К.В. Форма и строение небесных тел: вслед за Ляпуновым // Астрономический журнал., 71, 4, 1994, с. 785-793

[2] Елькин A.B., Холшевников К.В. Определение фигур небесных тел методом Ляпупова // Труды АИ СПбГУ, Т.45,1997. в печати.

[3] Bahcall J., Huebner W., Lubow S., Parber P., Ulrich R. Standard Solar models and the uncertainties in predicted capture

rates of Solar neutrinos.// Review of Modern Physics. 1982. V. 54. P.767

[4] Liapunoff A.M. Recherches dans la theorie de la figure des corps -celestes// Записки императорской Академии наук., 1903. Т.XIV,

N 7. С.-Петербург, (перевод на русский язык см. в кн.: Ляпунов A.M. Соч. Т.З. М: изд. АН. 1959, С.114-146).

[5] Zharkov V.H., Leontjev V.V., Konzenko A.V. Models, figures and gravitational moments of Galilean satellites of Jupiter and ice satellites of Saturn//Icarus. 1985. 61, N 1, p.92-100

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

/1/ Заки С.Ф., Елькин А.В., Холшевников К.В., Аналитическое представление распределения масс е недрах Солнца //

Астрой, ж., 71, 2, 1994.

/2/ Заки С.Ф., Елькин А.В., Холшевников К.В. Форма и строение небесных тел: вслед за Ляпуновым // Астроп. ж., 71, 4,1994.

/3/ Елькин А.В., Заки С.Ф., Холшевников К.В. Фигуры равновесия медленно вращающихся небесных тел // Абст. Симоновской конф., Казань, КРУ, 1994.

/4/ Elkin A.V., Kholshevnikov K.V., Zaky S.F. Equilibrium Figure of Slowly Rotating Heterogeneous Fluid Body // Ptoc. of Third Inter. Workshop on Astrometry, Cuenca, Spain, 1995.

/5/ Елькин А.В. Определение фигуры и внутреннего потенциала с использованием численной кодеки недр// Абст. конф. Стоха-стич. м-ды и эксп. в неб. мех., Архангельск, 1995

/6/ Elkin А.V., Kholshevnikov K.V. Development of Liapunov's theory of equilibrium figures // Abs. Conf. "Structure and evolution of stellar systems", Petrozavodsk, 1995.

/7/ Елькин A.B., Холшевников K.B. Определение фигур небесных тел методом Ляпунова // Обзорные лекции по астрономии копф. "Физика космоса" , УрГУ, Екатеринбург, 1997 /8/ Елькин A.B. Определение фигуры и гравитационного потенциала небесных тел с применением теории Ляпупова // Тезисы конф. "Физика космоса", УрГУ, Екатеринбург, 1997

В работе /1/ автором разработан алгоритм сплайн-аппроксимации функции, заданной на дискретном множестве, имеющий входным параметром порядок сплайна. В работе /2/ автору принадлежит ряд полезных идей, построение программной реализации решений уравнений Клеро методами компьютерной алгебры во всех рассматриваемых случаях задания плотности и произвольного приближения. В работах /3-4/ К.В.Холшевникову принадлежит общая постановка задачи, А.В.Елькиным выполнены необходимые выкладки для случая ступенчатой плотности, а также проведены численные расчеты. В работе /б/ диссертантом выполнены расчеты параметров фигур в первых приближениях, на основе построеинго им программного комплекса, позволяющего, в частности, вести расчеты, не внося ошибок округления . В работе /7/ автор построил алгоритм обращения оператора Клеро при кусочно постоянной плотности и его обоснование, а также алгоритм вычисления обобщающих коэффициенты Клебша-Гордана интегралов от произведений полиномов Лежандра и его программную реализацию методами компьютерной алгебры.

2Aberth 0., Schaefer M.J. Precise computation using range arithmetic, via C++. ACM Trans. Math. Software, 18:481-491, 1992.