Эффекты упорядочения в решеточных моделях димеров и полимеров тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ I, Димеры

Вводные замечания

ГЛАВА I, Димеры на двумерных решетках

§1. Решение задачи о дилерах методом пфаффиана

§2. Ациклическая модель на двумерной решетке

§3. Перечисление замкнутых путей

§4. Исключение циклов

§5. Модель мономеров и димеров с взаимодействием

ГЛАВА 2, Димеры на трехмерных решетках

§1. Ациклическая модель для произвольной размерности.

§2, Решаемая модель димеров на кубической решетке

§3. Корреляционные функции трехмерной ациклической модели

§4, Усовершенствованная нижняя оценка в проблеме димеров на кубической решетке

§5. Димеры на декорированной решетке алмаза

РАЗДЕЛ П. Прямолинейные г -меры

Вводные замечания • . •

ГЛАВА 3. Верхняя и нижняя оценки для плотных упаковок

Г -меров

§1. Метод получения верхних оценок

§2, Верхняя оценка для нечетных г -меров и нижняя оценка.III

ГЛАВА 4. Метод разложений для плотных упаковок г меров

§1. Вывод разложений.

§2. Графические данные

§3. Фазовый переход в смеси г -меров

РАЗДЕЛ Ш. Гибкие полимеры

Вводные замечания

ГЛАВА 5. Аналитический метод в теории случайных блужданий без самопересечений.

§1. Точнорешаемая модель

§2. Корреляционные функции

§3. Учет влияния дефектов

§4. Точная связь между основной и вспомогательной моделями.

§5. Термодинамика вспомогательной модели

§6. Полимерные цепи на треугольной решетке

ГЛАВА б. Полимеры в теории биомембраны

§1. Двумерная модель биомембраны

§2. Существование термодинамического предела

§3. Фазовый переход в модели биомембраны

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перейдем теперь к обсуждению основных результатов, полученных в работе.

В §§ 2,3 гл.1 введена двумерная ациклическая модель, а в § 4 получено ее точное решение. Доказанная в § 2 эквивалентность этой модели и модели димеров на квадратной решетке означает, что комбинаторная техника, использованная нами для решения ациклической модели, дает новое решение задачи о димерах, а вместе с ней и других моделей из класса свободных фермионов, сводящихся к перечислению димерных конфигураций на двумерных решетках более сложных, чем квадратная.

Техника решения двумерной ациклической модели оказалась применимой без особых изменений к "разбавленному" случаю, когда плотность узлов, не снабженных стрелками, отлична от нуля. Применение этого результата к случаю декорированной квадратной решетки дало возможность установить отсутствие фазового перехода в модели мономеров и димеров с взаимодействием.

Наиболее существенным свойством решения ациклической модели является возможность его обобщения на многомерный случай. Таким образом, к четырем известным классам точнорешаемых моделей, обладающих нетривиальным термодинамическим поведением, добавляется пятый - класс ациклических моделей на решетках различной геометрии и размерности.

Можно сказать, что "причиной" решаемости ациклической модели при размерности сС служит специфическое дальнодействие как и в сферической модели или в моделях молекулярного поля. Интересно отметить, что природа этого дальнодействия во введенной нами модели такова, что в двумерном случае после перехода к ди-мерному описанию оно автоматически исчезает, и возникающая модель димеров уже не содержит дальнодействующего взаимодействия. Устранимость дальнодействия оказывается свойством исключительно двумерных решеток и, в конечном счете, связана с теми же причинами, по которым матрица перехода в двумерной модели Изинга диаго-нализуется в терминах ферми-операторов.

Если в двумерном случае после перехода к димерам дальнодействие устраняется полностью, то в трехмерном случае имеется почти полная устранимость. Это обстоятельство позволяет вместо точного решения задачи о димерах получить для нее очень аккуратные оценки. Так нижняя оценка для энтропии (2.47) оказывается выше известной оценки Хаммерсли, причем метод получения этой оценки допускает дальнейшее ее усовершенствование путем вычисления корреляторов более высокого порядка.

Обсудим полученный результат с точки зрения теории матриц. В §1 гл.1 отмечалось, что задача о перечислении димерных конфигураций может быть легко переформулирована как задача о вычислении перманента матрицы инциндентности. Проблема оценки энтропии димеров оказывается эквивалентной оценке перманента дважды стохастической матрицы ^ для першнента дважды стохастической матрицы А порядка существует неравенство, известное в ли/т 47/ тературе с 1926 г. как гипотеза Ван дер Вардена ' ' , и доказанное в 1980 г. Егорычевым .

Р^г А > ^ л УЬ

Из этого неравенства следует нижняя оценка энтропии димерных конфигураций, которая оказывается более точной, чем оценка Хаммерсли (2.40) для всех размерностей оС > 4, а при (Л дает асимптотически точный результат . При сС =3 получается значение

Л3 > 0,396, что несколько хуже оценки (2.40). Полученная нами оценка (2.47) улучшает оценку Хаммерсли в важном случае сС =3.

Помимо оценки энтропии ациклическая модель была применена к решению задачи о димерах на декорированной решетке алмаза. Эта задача оказалась первым примером точнорешаемой модели димеров на трехмерной структуре. Ценность этого результата, однако, снижается из-за наличия в этой модели сильной зависимости термодинамических величин от граничных условий. Это обстоятельство затрудняет использование решенной модели для сравнительного анализа точного и приближенных методов.

При переходе от димеров к г -мерам с 3 происходит качественное изменение сложности задачи и уже для 5 данные об энтропии плотной упаковки до появления работ /33~35/ отсутствовали. Это связано с тем, что при больших г даже первые члены приближения Кикучи требуют чрезвычайно громоздких расчетов, а приближение Бете вообще перестает работать при г> 4. Поэтому предложенная в диссертации техника расчета плотных упаковок V -меров впервые позволила оценить значения энтропии при больших значениях г , а полученные верхние и нижние границы для к у дают представление о точности этих оценок. Оказалось, что метод разложений, .развитый в гл.4,имеет вполне удовлетворительную точность и при значении 20 ошибка вычислений Аг не превосходит (-10^, +2#).

Высокая точность метода разложений позволила кроме задачи о плотных упаковках г -меров рассмотреть термодинамику смеси ¡г -меров различной длины. Указание на возможность фазового перехода в такой системе (§3 гл.4) является первым результатом для смесей в решеточных моделях полимеров. Следует, однако, отметить ограниченность метода, который из-за недостаточной длины полученных двойных рядов не позволяет сделать вывода о наличии или отсутствии фазового перехода, если в смеси г -меров обе компоненты имеют размер более двух.

Оценка энтропии плотной упаковки Г -меров имеет большое значение, поскольку точка^тал СЛУКИТ удобной контрольной точкой для различных машинных методов расчета, таких как метод Монте-Карло, и которые служат пока единственным надежным средством изучения термодинамики мономер-полимерной смеси при г 3.

Проблема учета исключенного объема в решеточных моделях гибких полимеров, произвольной длины относится к числу классических задач как статистической физики, так и математики, где она известна под названием проблемы случайных блужданий без самопересечений. Основная цель, которая преследовалась в третьем разделе диссертации - создание аналитического подхода к этой проблеме, не опирающегося на распространенные методы прямого перечисления конфигураций цепочек конечной длины.

Предложенная в §1 гл.5 точно решаемая модель самоизбегающих полимерных цепочек открывает удобную возможность такого аналитического подхода. После того, как выяснилось, что исходную и точно решаемую модель отличает малый параметр, естественно возникла теория возмущений по этому параметру, точность которой оказалась сравнимой с точностью методов прямого перечисления. При этом аналитический вид статсуммы позволил сразу сделать выводы о термодинамическом поведении модели, не прибегая к методу Паде аппроксимации.

Аналитический подход позволил ответить на важный вопрос о том, какая величина служит параметром порядка в модели замкнутых полимеров. Исследования этого вопроса в случае полимеров со свободными концами продолжались несколько лет и ответ с0стоял в том, что параметром порядка в этом случае служит плотность концов цепей. Результаты §3 гл.5 показывают, что в случае замкнутых полимеров параметром порядка служит определенным способом введенная "гладкость" полимерной цепи.

Точно решаемая модель самоизбегающих цепочек, кроме вспомогательной роли в предложенном методе, имеет и самостоятельную ценность, так как может служить для сравнения точности различных приближенных методов.

Результат последней главы диссертации - доказательство существования фазового перехода в модели гибких полимеров, относится к обширному классу доказательств существования параметра порядка в решеточных моделях с помощью аргументов Пайерлса. Специфика модели, заключающаяся в необходимости учета сильной корреляции в расположении длинных полимерных цепей, потребовала нового определения контуров и применения аргументов Пайерлса в нестандартной ситуации, когда свойство отражательной четности выполняется только в одном направлении. Подученное доказательство существования фазового перехода в рассмотренной модели дает новую информацию о термодинамическом поведении реальных полимерных систем, в которых необходим явный учет энергии изгиба полимерной молекулы.

1. Huggins M.L. Thermodynamic properties of solutions of long-chain compounds. Ann.Nev; York Acad.Sci., 1942, vol.43, N 4, pp.9-30.

2. Kasteleyh P.W. Graph theory and crystal physics. In: Graph Theory and Theoretical Physics, edited by F.Harary, Academic Press, Inc., Loiidon and Nev; York, 1967, chap. 2, pp.30-45.

3. Cohen E.G.D., De Boer J., Salsburg Z.W. A cell cluster theory for the liquid state. Physica, 1955, vol.21, N 3, pp.137-147.

4. Roberts J.R. Some properties of adsorbed films of oxyden on tungsten. Proc. Roy.Soc. (London), 1935, vol.A152, N 876, pp.465-480.

5. Fowler R.H., Rushbrooke G.S. Statistical theory of perfect solutions. Trans.Faraday Soc., 1937, vol.33, pt.10,pp.1272-1294.

6. Chang T.S. Statistical theory of absorption of double molecules. Proc. Roy.Soc. (L0ndon), 1939, vol.A169, N 835, pp.512-531.

7. Chang T.S. The number of configurations in an assambly and cooperative phenomena. Proc. Cambridge Phil.Soc., 1939, vol.35, pt. 2, pp.265-292.

8. Nagle J.F. Statistical mechanics of the melting transition in lattice models of polymers. Proc. Roy.S0c. (London), 1974, vol. A 337, pp.569-589.

9. Nagle J.F. Theory of hiomemhrane phase transitions. — J. Chem. Phys., 1973, to1.58, N 1, pp.252-264.

10. Ahraham D.B., Heilman O.J. Interacting dimers on the simple cubic lattice as a model for liquid crystals. -J.Phys. A, 1980, vol. 13, II 3, pp.1051-1062.

11. Heilmann 0.J., Lieh E.H. Lattice models for liquid crystals. J.Stat.Phys., 1979, vol.20, N 6, pp.679-693.

12. Ruelle D. Statistical Mechanics, Section 2.4, New York, Benjamin (l969).

13. Холл M. Комбинаторика. -M., 1970, стр. 7-19.

14. Боголюбов H.H. К вопросу о модельном гамильтониане в теории сверхпроводимости. ОИЯИ, P-5II, Дубна (1961).17# Боголюбов H.H. (мл.). Метод исследования модельных гамильтонианов. — М. (1974).

15. Боголюбов H.H. (мл.), Бранков Й.Г., Загребнов В.А., Курбатов A.M., Тончев H.G. Метод аппроксимирующего гамильтонианав статистической физике. Изд-во Болгарской Академии наук, София, (1981).

16. Lieh E.H., Wu F.Y. Two Dimensional ferroelectric models. -In: Phase Transitions and Critical Phenomena, edited Ъу С. Domb and M.S.Green, Academic Press, Inc., London and New York, 1972, vol.1, chap.9, pp.331-490.

17. Bethe H. Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette. Zeitschr.fur Physik, 1931, Bd. 71, H. 3-4, S.205-226.

18. Yang C.N., Yang C.P. One-dimensional chain of anisotropic spin-spin interaction. I. Proof of Bethels hypothesis for ground state in a finite system. Phys.Rev., 19 66, vol.150, N 1, pp.321-327.

19. Yang C.N., Yang C.P. One dimensional chain of anisotropic spin-spin interaction. II. Properties of the ground state energy per lattice sife for an infinite system. Phys. Rev., 1966, vol.150, N 1, pp.327-339.

20. Baxter R.J. Partition function of the eight-vertex lattice model. Ann.Phys., 1972, vol.70, pp.193-228.

21. Baxter R.J. Exactly solved models in fundamental problemsin statistical mechanics, vol.5, ed. E.G.D. Cohen, Amsterdam, North-Holland (1980).

22. Onsager L. Crystal statistics. A two-dimensional model with order-disorder transition. Phys.Rev., 1944, vol.65, N 1, pp.117-149.

23. Fan C., Wu F.Y. General lattice model of phase transitions.-Phys.Rev., 1970, vol.B2, N 3, pp.723-733.

24. Newell G.F., Montroll E.W. On the theory of the Ising model of ferromagnetism. Rev.Mod.Phys., 1953, vol.25, pp.353-389.

25. Green H.S., Hurst C.A. Order-Disorder Phenomena, Interscience Publishers, Inc., New York (1964).

26. Berlin T.M., Kac M. The spherical model of a ferromagnet. -Phys.Rev., 1952, vol. 86, N 6, pp.821-835.

27. Joyce G.S. Spherical model with long-range ferromagnetic interactions. Phys.Rev., 1966, vol.146, N 1, pp.349-358.

28. Priezzhev V.B. The Statistics of dimers on a three dimensional lattice. I. An exactly solvable model. J.Stat.Phys., 1981, vol.26, N 4, pp.817-828.

29. Priezzhev V.B. The statistics of dimers on a three dimensional lattice. ii. An improved lower bound. J.Stat.Phys., 1981, vol.26, N 4, pp.829-837.

30. Гагунашвили Н.Д., Приезжев В.Б. О плотной упаковке прямолинейных полимеров на квадратной решетке. ТМФ, 1979, том 39, КЗ, с. 347-351.

31. Priezzhev Y.B. Series expansion for rectilinear polymers on the square lattice. J.Phys. A: Math.Gen., 1979, vol. 12, N 11, pp.2131-2139.

32. Ковальский Я., Приезжев В.Б. Молекулярная свобода прямолинейных полимеров на квадратной решетке. ОИЯИ, PI7-III7I, Дубна (1978).

33. Приезжев В.Б. Модель мономеров и димеров со взаимодействием. ТМФ, 1978, том 36, И, c.II5-I2I.

34. Приезжев В.Б. Аналитический метод в теории случайных блужданий без самопересечения. ОИЯИ, PI7-9930, Дубна(197б).

35. Приезжев В.Б. К проблеме случайного блуждания без самопересечений. ОИЯИ, PI7-9633, Дубна (1976).

36. Приезжев В.Б. Корреляции в случайном пути без самопересечений. ОИЯИ, PI7-9632, Дубна (1976).

37. Приезжев В.Б. Двумерная модель полимеров с исключенным объемом. ЖЭТФ, 1978, том 74, вып.З, C.II77-II83.

38. Приезжев В.Б. Комбинаторные аспекты задачи о димерах. -ТМФ, 1977, том 31, И, с.89-100.

39. Гагунашвили Н.Д., Приезжев В.Б. Самоизбегающие пути на треугольной решетке. ТМФ, 1978, том 35, J& 3, с.332-338.

40. Гагунашвили Н.Д., Приезжев В.Б. Метод моментов в теории случайных блувданий без самопересечения. ОИЯИ, PI7-II367, Дубна (1978).

41. Гагунашвили Н.Д., Кшеминьски С., Приезжев В.Б., О статистической сумме 8 -вершинной модели. ОИЯИ, PI7-I2924, Дубна (1979).

42. Гагунашвили Н.Д., Приезжев В.Б. Термодинамика смеси полимеров на плоской квадратной решетке. ТМФ, 1980, том 45, В 2, с.261-267.

43. Приезжев В.Б. К проблеме случайного блуждания без самопересечений. Международный симпозиум по избранным проблемам статистической механики, 1977, Дубна, Д17-10529, с.50.

44. Ангелеску М., Приезжев В.Б. Фазовый переход в модели длинных полимеров с исключенным объемом. ТМФ, 1982, том 52, Ю9с.453-462.

45. Приезжев В.Б. Решение задачи о димерах на декорированной решетке алмаза. ОИЯИ, PI7-8I-597, Дубна (1981).

46. McQuistan R.B. Vacancy annihilation for one-dimensional dumbbell kinetics. J.Math.Phys. 1969, vol.10, N 12, pp.2205-2207.

47. Lichtman D., McQuistan R.B. Exact occupation statistics for one-dimensional arrays of dumbells. J.Math.Phys. , 19 67, vol. 8, IT 12, pp.2441- 2445.

48. Miller A.R. The number of configurations of a cooperative assembly. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1942, vol.38, pp. 109-124.

49. Readhead P.A. Chemisorption on polycristalline tungsten. -Trans.Faraday Soc., 1961, vol. 57, N 5, pp.641-656.

50. Guggenheim E.A. Statistical thermodynamics of mixtures with zero energies of mixing. Proc. Roy.S0c., 1944, vol. A 183, N 969, pp.203-212.

51. Miller A.R. The rapour-pressure equations of solutionsand the osmotic pressure of rubber. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1943, vol. 39, N 1, pp.54-67. 55« Orr V/.J.C. On the calculation of certain higher-order

52. Bethe approximations. Trans.Faraday Soc., 1944, vol. 40, N 4, pp. 306-320.

53. McGlashan M.L. Entropies of mixing in athermal mixtures of molecules of single and double size. Trans.Faraday Soc., 1951, vol. 47, pt. 10, pp.1042-1048.

54. Travena D.H. The entropy of mixing of athermal monomer dimer mixtures. Proc. Phys.Sco., 1964, vol.84, N 6, pp.969-974.

55. Nagle J.F. New series-expansion method for the dimer problem. Phys.Rev., 19 66, vol. 152, N 1, pp.190-197.

56. Gaunt D.S. Exact series-expansion study of monomer dimer problem. Phys.Rev. , 19 69, vol. 179, N 1, pp.176-186.

57. Bellemans A., Fuks S. Evaluation of boundary effects in mono-mer-dimer mixtures by the method of lattice constants. I. The plane square lattice. Physica, 1970, vol.50, N 3,pp.348-355.

58. Hummersley J.M. Calculation of lattice statistics. In: Proceedings computational physics conference, London, 1970, pp.73-80.

59. Runnels L.K. Exact finite method of lattice statistics, III. Dimers on the square lattice. J.Math.Phys., 1970, vol. 11, N 3, pp.842-850.

60. Хуанг К. Статистическая механика. М., 1966.64» Baxter r.j. Dimers oil a rectangular lattice. j.Math. Phys., 1968, vol.9, N 4, pp.650-654.

61. Gruber C., Kunz H. General properties of polymer systems. -Comm. Math. Phys., 1971, vol. 22, N 2, pp.133-161.

62. Heilman O.J., Lieb E.H. Theory of monomer-dimer systems. Comm.Math.Phys., 1972, vol.25, N 3, pp.190-232.

63. Hurst C.A., Green H.S. New solution of the Ising problem for a rectangular lattice. J.Chem.Phys., I960, vol.33, pp.1059-1062.

64. Bondy J.A., Welsh D.J. A note of the monomer dimer -problem. Proc. Cambridge Philos.Soc., 1966, vol. 62, N 3, pp.503505.

65. Hammersley J.M., Menon v.y. A lower bound for the monomer--dimer problem. J.Inst. Math.Appl., 1970, vol.6, N 4, pp.341-364.

66. Hammersley J.M. Existance theorems and Monte-Carlo methods for the monomer-dimer problem, In: Research papers in statistics, Festschrift for J.Neyman, edited by

67. F,N.David, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1966, pp.125146.

68. Baxendale J.H., Enustun B.V., Stern J. A thermodynamical investigation of the system benzene-diphenyl. Phil. Trans. Roy.Sco. (London), 19 51, vol. 243, N 862, pp.169-196.

69. Everett D.H., Penney M.F. The thermodynamics of hydrocarbon solution. II. The system benzene-diphenyl, benzene-diphenil-methane and benzene-dibenzyl. Proc.Roy.Soc., 1952, vol.212, N 1109, pp.164-176.

70. Tompa H. Thermodynamics of system benzene-diphenil. -J.Chem.Phys., 1948, vol. 16, N 2, pp.292-302.

71. Piazini S., Morlotti R., Wagner V. Study of the lithium oxide-nickel oxide systems. I. Thermodynamics of dilute solid solutions, 1969, vol, 116, N 7, pp.915-920. 75* Kasteleyn P.W. The statistics of dimers on a lattice.

72. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice.— Physica, 1961, vol. 27, N 12, pp. 1209-1225.

73. Kastel.eyn P.W. Dimer statistics and phase transitions. -J.Math.Phys., 1963, vol. 4, N 2, pp.287-293.

74. Temperley H.N.V., Fisher M.E. Dimer problem in statistical mechanics an exact result. - Philos.Mag., 1961, vol.6,1. N 8, pp. 1061-1063.

75. Fisher M.E. Statistical mechanics of dimers on a lattice.-Phys.Rev., 1961, vol. 124, N 6, pp.1664-1672.

76. Montroll E.W. Lattice statistics. In: Applied Combinatorial Mathematics, edited by E.F.Beckenbach, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1964, chap. 4, pp.96-143.

77. Shultz T.D., Mattis D.C., Lieb E.H. Two-dimensional Ising Model as a soluble problem of many fermions. Rev.Mod.Phys., 1964, vol. 36, N 3, pp.856-871.

78. Lieb E.H. Solution of dimer problem by the transfer matrix method. J.Math.Phys., 1967, vol. 8, N 12, pp.23392341.

79. Фрадкин E.G., Штейнградт Д.М. Метод континуального интегрирования для исследования решеточных моделей, Димер-ная проблема и ее обобщения. Препринт ФИАН, № 98, 1980.

80. Samuel S. The use of anticommuting variable integralsin statistical mechanics. II. The computation of correlation functions. J.Math.Phys., 1980, vol. 21, N 12, pp. 2815-2833.

81. Kac M., Ward J.C. Л combinatorial solution of the two-dimensional Ising model. Phys.Rev., 1952, vol. 88, N 6, pp.1332-1337.

82. Sherman S. Combinatorial aspects of the Ising model for ferromagnetism. I. A conjecture of Feynman of patts and graphs. J.Math.Phys., I960, vol.1, К 3, pp.202-217.88* Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика, М., 1964,с.527-535.

83. Ferdinand А.Е. Statistical mechanics of dimers on a quadratic lattice. J.Math.Phys., 19 67, vol.8, N 12, pp.2332-2339.

84. Rasetti M. Ising model and dimer covering on lattices embedded in manifolds with genus l. Труды П Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики. Д17-81-758, Дубна (1981).

85. Fisher М.Е., Stephenson J. Statistical mechanics of dimers on a plane lattice. II. Dimer correlation and monomers. -Phys.Rev., 1963, vol, 132, N 4, pp.1411-1431.

86. Hartwig R.E. Monomer pair correlations. J.Math.Phys., 1966, vol.7, N 2, pp.286-299.

87. Hammersley J.M., Feuerverger A., Izenman A., Makani K. Negative finding for the three-dimensional dimer problem.-J.Math.Phys., 1969, vol. 10, pp.443-446.

88. Hammersley J.M. An improved lower hound for the multidimensional dimer problem. Proc. Cambridge Philos.Sco., 1968, vol. 64, N 2, pp.455-463.

89. Mine H. An upper bound for the multidimensional dimer problem. Math.Proc.Cambridge Philos.Soc., 19 78, vol. 83, N 3, pp.461-463.

90. Caianiello E.R. Combinatorics and Renormalisation in Quantum Field theory, New York, (l974).

91. Монтролл Э. Лекции по модели Изинга. В сб.: Устойчивость и фазовые переходы, М., (1973).

92. Харари $., Палмер Э. Перечисление графов, М., (1977).

93. Добрушин Р.Л. Задача единственности гиббсовского случайногополя и проблема фазовых переходов. Функц.анализ и его приложения., 1968, т.2, №4, с.44-57.

94. Heilman O.J. Existence of phase transitions in certain lattice gases with repulsive potentials. Lett. Iluovo Cim., 1972, vol. 3, N 3, pp.95-98,

95. Heilman O.J., Praestgaard E.L. Phase transition of hard hexagons on a triangular lattice, J.Stat.Phys., 1973, vol. 9, N 1, pp.23-44.

96. Wu F.I, Statistics of parallel dimers on an mxn lattice. -Phys.Lett., 1973, vol. A43, 11 1, pp.21-22.

97. ЮЗ. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М., 1969.

98. Domb С., Gillis J., Wilmers G. On the shape and configuration of polymer molecules. Proc. Phys.Soc., 19 65, vol, 85, pp. 625-645.

99. Rushbrooke G.S., Scoins H.I., Wakefield A.J. Disc.Faraday Soc,, 1953, vol. 15, N 1, p.57.

100. Kikuchi R. A theory of cooperative phenomena. Phys.Rev., 1951, vol, 81, К 6, pp.988-1003.

101. Kaye R.D., Burley D.I.I. Square lattice calculations for the general dimer and trimer problems using Kikuchi method. -Physica, 1977, vol. A87, N 3, pp.499-514.

102. Kaye R.D., Burley D.M. Phase transitions in lattice fluids. II. Extended interactions. J.Phys. A: Math., Nucl.Gen., vol. 7, N 11, pp.1303-1313.

103. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.,1980, с.65.

104. De Gennes P.G. The Physics of Liquid Crystals. Clarendon Press, Oxford, 1974, p.358.

105. Heilman O.J., Lieb E.H. Lattice models of hydrogen bounded solvents. - J.Stat.Phys., 1975, vol. 13, N 6, pp.461472.

106. Onsager L., Dupuis M. The electrical properties of ice. -In: Rendiconti decla scuola internazionale di fisica "Enrico Fermi", Bologna,i960, corso 10, pp.294-315.

107. Di Marzio E.A. Statistics of orientation effects in linear polymer molecules. J.Chera.Phys., 1961, vol. 35, pp.658-669.

108. Lebowitz J.L., Galovotti G.J. Phase transitions in binary lattice gases. J.Math.Phys., 1971, vol.12, N 7, pp.11291133.

109. Runnels L.K., Fraeres B.C. Equilibrium states of a dimer model with angular forces. Commun.Math.Phys., 1973, vol, 32, N 3, pp.191-204.

110. Craen J. van, Statistical mechanics of rectilinear trimers on the square lattice. Physica, 1970, vol.49, N 4,pp.558-564.

111. Craen J. van, Bellemans A. The excess combinatorial entropy of monomer-dimer mixtures. Bull.Acad.Pol. Sci., Ser.Sci. Chem., 19 71, vol. 19, N 1, pp.45-47.

112. Craen J. van, Bellemans A. Series expansion for the mono-mer-trimer problem. I. General formulation and application to the square lattice. J.Chem.Phys., 1972, vol. 56, N 5, pp. 2041-2048.

113. Hock J.L., Licato P.E., McQuistan R.B. The occupation statistics for indistinguishable trimers on 3xN lattice. -J.Math.Phys., 19 82, vol.23, N 11, pp.2185-2189.

114. Chisholm J.S. Rational approximants defined from doublepower series. Math.comp., 1973, vol.27, N 124, pp.841848.

115. Craen J. van. The residual entropy of rectilinear trimers on the square lattice at close packing. J.Chem. Phys., 1975, vol. 63, N 6, pp.2591-2596.

116. Domb C. On the theory of cooperative phenomena in crystals. Advan.Phys., 1960, vol.9, N 34, pp.141-361.

117. Wood D.W., Griffiths H.P. Chisholm approximante and oritical phenomena. J.Phys. A., 1974, vol.7, N 9, pp. LI01—LI04.

118. Roberts D.E., Wood D.W., Griffiths H.P. The analysis of double power series using Canterburg approximants.

119. J.Phys. A, 1975, vol.8, N 9, pp.1365-1372.

120. Flory P.J. Principles of Polymer Chemistry. Cornell University Press, Ithaca, 1953.

121. Hammersley J.M. Percolation processes. II. The connective constant. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1957 > vol. 53,1. N 3, pp.642-645.

122. Hammersley J.M. The number of polygons on a lattice. -Proc. Cambridge Phil.Soc., 1961, vol. 57, N 3, pp.516-523.

123. Fisher M.E. The theory of equilibrium critical phenomena. -Rep.Progr.Phys., 1967, vol. 30, pt 2, pp.615-730.

124. Fisher M.E., Sykes M.F. Exoluded-volume problem and the Ising model of ferromagnetism. Phys.Rev., 1959, vol. 114, N 1, pp.45-58.

125. Hiley B.J., Sykes M.F. Probability of Initial ring closure in the restricted random-walk model of macromolecule. -J.Chem. Phys., 19 61, vol. 34, N 5, pp.1531-1537.

126. Fisher M.E., Gaunt D.S. Ising model and self-avoiding walks on hypercubical lattices and "high-density" expansions. Phys.Rev., 1964, vol. 133A, N 1, pp.224-239.

127. Temperley H.N. Combinatorial problems suggested by the statistical mechanics of domains and of rubber-like molecules. Phys.Rev., 1956, vol. 103, N1, pp.1-16.

128. Sykes M.F., Guttman A.J., Watts M.G., Roberts P.D. The asymptotic behaviour of selfavoiding walks and returns on a lattice. J.Phys. A, 1972, vol. 5, N 5, pp.653-660.

129. Wall F.T., Erpenbeck J.J. New method of the statistical computation of polymer dimensions. J.Chem. Phys., 1959, vol. 30, N 5, pp.634-637.

130. Wall F.T, Erpenbeck J.J. Statistical computation of radii of gyration and mean internal dimensions of polymer molecules. J.Chem .Phys., 1959, vol. 30, N 5, pp.637-640.

131. Barret A.J., Domb F.H.S. Virial expansion for a polymer chain: the two parameter approximation. Proc. R.Soc.Lond., 1979, vol. A367, pp.143-174.

132. Kumbar M., Windwer S. Study of self-avoiding walks with excluded first nearest neighbours. J.Chem.Phys., 1971, vol, 54, N 12, pp.5051-5057.

133. Mark P., Windwer S. Self-avoiding walks on the tetrahedral lattice. J.Chem.Phys., 1967, vol. 47, N 2, pp.708-710,

134. Lax M., Windwer S. Properties of self-avoiding walks not constrained to lattice. J.Chem. Phys. 1971, vol. 55, N 9, pp. 4167-4173.

135. Johnston P.7., Roots B.I. Nerve Membranes, Pergamon Press (1972).

136. Hinz H.J., Sturtevant J.M., J.Biol.Chem., 1972, vol. 247, p.6071.

137. Wiegel F.W. An exactly solvable two dimensional biomembrane model . J.stat.Phys., 1975, vol. 13, N 6, pp.515-530.

138. Frohlich J., Israel R., Lieb E.H., Simon B, Phase transitions and reflection positivity. I. General theory and long range lattice models. - Commnn. Math.Phys,, 1978, vol. 62, N 1, pp.1-34.

139. Byrd P.F., Friedman M.D. Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists, Springer Yerlag, Berlin,1971.

140. Минк X. Перманенты. М., 1982.

141. Van der Waerden В.Ъ. Aufgabe 45, 1Ъег Deutsch.Math. Verein., 1926, vol. 35, p.117.

142. Егорычев Г.П. Решение проблемы Ван дер Вардена дляперманентов. Институт физики им.Л.В.Киренского СО АН СССР, Препринт ИФС0-13М, Красноярск, 1980.

143. Mine Н. An asymptotic solution of the multidimensional dimer problem. Linear and Multilinear Algebra, 1980, vol. 8, pp.235-239.

144. Де Еен П. Идеи скейлинга в физике полимеров. М.,1982.