Граничные эффекты в решеточных моделях, решаемых методом случайных блужданий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

- 1 9 %

ШЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

17-91-530

ЛИТВИН Александр Анатольевич

УДК 531.19

ГРАНИЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ В РЕШЕТОЧНЫХ МОДЕЛЯХ, РЕШАЕМЫХ МЕТОДОМ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

пециальность: 01.04.02 - теоретическая и математическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1991

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник В.Б.ПРИЕЗЖЕВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник В.И.АЛХИМОВ

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник В.Н.1ШЧК0

Ведущая организация:

физический факультет Киевского государственного университета

Автореферат разослан "_"_199 г.

Защита диссертации состоится "_"_199 г.

в _ час. на заседании Специализированного совета

К047.01.01.Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований , г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Ученый секретарь совета кандидат физико-математических наук

А.Е.ДОРОХОВ

г ,

.ч .1 я ЛЗШС '

^сссстаиим I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Решеточные модели в статистической дайке играют важнейшую роль в понимании поведения сложных еальных систем. Важный класс таких моделей образуют решеточ-ые модели полимеров. Если под полимером понимать произволь-ую связную линию, проведенную по ребрам решетки, то любая лассическая решеточная модель подходящим подбором химических отенциалов может быть сведена к системе полимеров на той же ешетке. В этом смысле язык полимерных конфигураций является олее общим, имеет самостоятельное значение и, естественно, ребует общего подхода к проблеме перечисления конфигураций оделей. Такой подход формируется на стыке теории графов 1,2/ и теории случайных блужданий на решетках /3/. Хорошим римером реализации такого подхода является решение Н.В.Вдо-иченко задачи Изинга /4/.

Простейшей математической моделью реального полимера яв-яется случайное блуждание без самопересечений, отражающее онфигурационные свойства полимера и учитывающее влияние ко-откодействующих сил отталкивания. Решетка моделирует исклю-енный объем в отличие от континуальных моделей,в которых не-озможно корректно ввести предел плотной упаковки.

Актуальность темы диссертации определяется применением диного подхода к проблеме перечисления конфигураций различ-ых решеточных моделей и выявлению их новых свойств.

Цель работы состоит в применении метода случайных блуж-аний для решения модели биомембраны Изуямы и Акутсу (ИА-мо-ель) /5/ с границей в приближении свободных фермионов, а акже в вычислении парного потенциала косвенного взаимодейсг-т в системе липидных цепей; в выводе уравнений анзаца Бете эсти-вершинной модели для произвольно ориентированных перио-ических граничных условий; в изучении энтропийного вклада "в эрмодинамику расплавленных абрикосовских вихрей в ВТСП в амках предложенных моделей.

Научная новизна. Впервые решена модель длинных полимеров ЛА-модель) с границей в приближении свободных фермионов. 06-

наружено существование вблизи границы обогащенного слоя и изменение критических свойств системы в зависимости от расстояния до границы. Б рамках модели впервые вычислен потенциал косвенного взаимодействия двух жестких тонких стержней в системе полимеров конечной длины. Впервые получены уравнения ан-заца Бете шести-вершинной модели с произвольно ориентированными периодическими граничными условиями. В отличие от примененной техники случайных блужданий, традиционный метод трансфер-матрицы не позволяет справиться с такой задачей из-за необозримой слонности самой трансфер-матрицы. Предложены решеточные модели для описания энтропийного вклада в термодинамику расплавленных абрикосовских вихрей в ВТСП, В рамках модели показана несущественная роль перепутывания вихрей, а такхе предложен эксперимент, позволяющий выявить, что лучше моделирует гибкие вихревые линии: бозоны или фершоны.

Слышат и£аульх.ата выносятся для аашгш:

1. В приближении свободных фермионов решена ИА-модель с границей.Обнаружено существование обогащенного слоя вблизи границы. Обнаружен кроссовер-эффект: при малых отклонениях т от критической температуры плотность полимеров ведет себя как г2 вблизи границы и как % в глубине образца.

2. В рамках ИА-модели вычислен потенциал косвенного взаимодействия двух тонких жестких стеркней в системе липидных цепей конечной длины II. Обнаружено, что начиная с М=10 потенциал выходит на насыщение, отсюда сделан вывод о реалистичности приближения N=00 для описания биомембран, у которых М~20. Показано изменение рельефа потенциала в зависимости от плотности полимеров.

3. На примере модели димеров на решетке алмаза впервые оценена абсолютная точность приближения свободных фермионов при умеренных плотностях. Значение энтропии в этом приближении ниже ожидаемого на 20%. Обобщенное приближение Бете дает энтропию на 8% выше ожидаемой.

4. Впервые получены уравнения анзаца Бете шести-вершин-ной модели на решетке, повернутой на произвольный угол.

5. Предложены решеточные модели для учета энтропийного вклада в термодинамику рапсплавленных абрикосовских вихрей в ВТСП. В рамках модели показана несущественная роль перепуты-вания вихрей. Предложен эксперимент для сравнения бозонного и фермионного подходов к моделированию вихревых линий.

Апробация работы, Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по физике полимеров (Черноголовка, 1988), на Международной конференции по вычислительным методам в биомеханике (г.Альбена,Болгария), на семинарах: мех-мат МГУ, Карлов университет, г.Прага, в Лабораториях теоретической и нейтронной физики ОИЯИ (Дубна).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано шесть печатных работ (список прилагается).

Объш. работы*. Диссетрация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, состоящего из 60 названий. Общий объем диссертации - 106 страниц машинописного текста, включая 18 рисунков.

юдходы к их решению, дано краткое изложение материала диссертации.

Первая слава посвящена исследованию модели ИА биомембра-

В §1 в приближении свободных фермионов решается ИА-мо-цель с границей. Логарифм статистической суммы в этом прибли-кении имеет вид:

"де N - вертикальный размер решетки, г=(11,12) - координата Злухдащей точки, х - активность полимерного звена (шага блу-кдащей точки) ; Бк(х) - число всех замкнутых путей в полу-1ространстве с длиной к=1,2,... . Выражая сумму (1)

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Ей введении обсуждаются модели полимеров и различные

(1)

через производящую функцию случайных блужданий и, далее, решая задачу о простом случайном блуждании одной частицы на полуплоскости, мы приходим к выражению для плотности полимеров на границе;

Ро(Х) = (2^5' 1 I I 1 ~ С08(2ф1)]йф1<,фг *

|СОБф^ + С0вф21>1/2х

Учитывая, что плотность полимеров на трансляционно инвариантной решетке имеет вид первого слагаемого выражения (2), мы получаем, что,начиная с плотностей р^О.6 приграничный слой становится избыточным, т.е. р0 > р . Другой эффект, следующий из решения, состоит в изменении рода фазового перехода от стенки вглубь образца: р0~ т2 ,р ~ % , где т = х-хс , хс= 1/4 - критическая точка модели.'

В §2 решается задача о косвенном взаимодействии двух-тонких жестких стержней в рамках ИА-модели. Потенциал взаимодействия двух стержней можно записать в виде:

Ум(г1,г2) = уу.у) - Рм(1,у) - Рм(у,1) + у1,1) . О!

где г1 и г2 - координаты стержней, N - длина полимерных цепей, Рм - свободная энергия решетки, у - константа взаимодействия полимера со стержнем, единица означает, что в точке г или г2 стержень отсутствует. Свободная энергия выражается через логарифм статсуммы (1), и задача опять сводится к вычислению производящей функции свободного блуждания по решетке с примесями в точках г1 и г2 . В случае бесконечно большого отталкивания полимера от стержня (у=0) выражение для потенциала имеет особенно простой вид:

N

УЫ(Ю = 2 1п|1 - Р2(Ю| , (4)

3=1

где Р(Ю = С(Ю/С(0), вШ - производящая функция свободного блуждания по трансляционно инвариантной решетке с весом =

exp(23Cij/N + itf/N) , x - активность полимерного звена.

В §3 дается численная оценка приближения свободных фер-онов для модели димеров на решетке алмаза. Энтропия на один ел отличается от ожидаемого результата на 20%.

Вторая глава полностью посвящена выводу уравнений анзаца те шести-вершинной модели с произвольно ориентированными риодическими граничными условиями. В §1 решается задача о учайном блуждании одной частицы на повернутой решетке. В §2 рмулируются условия сокращения конфигураций случайных пу-й, которые не удовлетворяют правилу льда. Эти условия вмес-с периодическими граничными условиями и приводят к уравне-ям анзаца Бете на повернутой решетке. В случае модели льда авнения имеют вид:

exp(ik.L ) = П В(К,,К.) ,, (5)

3 X j=1 Л а

1+ e^P-^^VVa X J*2"*1 + eitl(ai+a24a2"a1 (p,<l) = --:- ,

1+ e^^Wtt Я ) 2"Ä1 + elp(ai+a24a2"ai p а p

(6)

г К. - волновое число j-ой блуждающей точки, Lx - горизон-иьный размер вспомогательной решетки, ориентированной нор-гсьно, на которой построена основная решетка с образующими рогональными векторами (a^ag) и (а^-а,,), а1 и а2 - целые ;ла ; Ak - максимальный по модулю корень уравнения

KZ eika1 " С7*1 е1к(а1+а2) -1=0. (7)

§3 показано, что решение (5)-(7) воспроизводит известное 1ение Либа /6/ для нормальной ориентации, которое получает-в пределе а2-* ® а^ 1 , и решение Пега /7/ для решетки, ¡ернутой на угол х/4 , что соответствует случаю а1=а2=1.

Е Щ2£ИгМ главе предложены двумерная и трехмерная моде.

для учета энтропийного вклада в термодинамические свойст:

фазы расплавленных абрикосовских вихрей в ВТСП. Эти моде.

аналогичны моделям полимеров, рассмотренных в первой гла:

диссертации. Только теперь активность единицы длины вих;

связана с параметрами сверхпроводника:х=1/2ехр(д/кьТ

и-ЕФп/4%- е., s = Н Лп/4% . Здесь Н - внешнее магнитное п< ^ О 1 * 1 с1 о

ле, Ф0 - квант магнитного потока, е1 - энергия натяжения ви; ря, Нс1- первое критическое поле. Выражение для логариф! статсуммы модели размерности d с толщиной образца L пол; чается в следующем виде:

. т 2й(х) =—Ц-т [...[ а*-1Ф щи + ,(Ф)]Ь I

J 0 J

где Л1(ф)= 2собФ1 , А2(ф)= е1ф1 + е1ф2 + е*ф1+1ф2 . Крив! изотермической восприимчивости,вычисленной по формуле 1 хд/дхр(х), имеют слабо выраженный пик, положение которо] Ртах и толщина образца Ь связаны соотношением

р ~ с1Га I

'та.х

для обеих размерностей. В случае й=3 имеем с3= 0.59 , а, 0.44 ; для (1=2: с2= 0.70 и а3= 0.46. Поскольку в двумерш модели перепутывание вихрей невозможно, мы делаем вывод том, что если пик и связан со сменой режимов при увеличен! Ь , то это следствие простого отталкивания вихрей друг < друга, а не их перепутывания. Из работы Нельсона /8/, в коте рой предложена двумерная модель бозонов для описания изогн; тых вихрей, следует, что смена режимов происходит при р Ь~1. Отсюда возникает принципиальная возможность сравниг. экспериментально бозонную и фермионную модели, поскольку а! 1 ,<х£в 1/2.

В заключении даны основные результаты, выносимые на зг

щиту.

и следующих

А.Л.Литвин, В.Б.Приезжее. - Исследование граничного слоя в модели полимеров биомембраны. - Сообщение ОИЯИ, Р17-87-4, Дубна, 1987.

А.А.Литвин, В.Б.Лриезжев. - Численный анализ приближения свободных фермионов. - Сообщение ОИЯИ, Р17-87-352, Дубна, 1987.

A.A.Litvin, V.B.Priezzhev. - Indirect interaction in a system of polymer chains. - Physica A, 1990, vol.163, p.468-482.

A.A.Litvin, V.B.Priezzhev. - The Bethe ansatz for the six-vertex model with rotated boundery conditions. - J.Stat. Phys., 1990, vol.60(3/4), p.307-325.

E.I.Kornilov, A.A.Litvin, V.B.Priezzhev. - Thermodynamics of melted flux liquids.- Materials Science Forum, 1990, Vols.62-64, p.197-198.

E.I.Kornilov, A.A.Litvin. - On the entropy contribution to thermodinamics of melted flux liquids. - Z.Phys.В - Condensed Matter,1991, vol.84, p.3-8.

ЛИТЕРАТУРА

Kasteleyn P.W. - Graph theory and cristal physics. - In: Graph Theory and Theoretical Physycs, edited by F.Harary, Academic Press, Inc., London and New York, 1967, chap.2, pp.30-45.

Харари Ф., Палмер Э. - Перечисление графов, М.,1977. Montroll E.W. - lattice statistics. - In: Aplied Combinatorial Mathematics, edited by E.F.Beckenbach, John Wiley and Sons, Inc., !iew York, 1964, chap.4, p.96-143. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Статистическая физика, М., 1964, с.527-535.

5. Izuyama T., Akutsu Y. - Statistical mechanics of biomem-fcrane phase transition. - J.Phys. Soc. Jpn., 1982, vol.5 N1, p. 50-58.

6. Lieb E.H. - Exact solution of the problem of the entropy of two-dimensional ice. - Phys.Rev.Lett., 1967, vol.18, p.692-694.

7. Pegg N.E. - A new derivatin of the partition function of the six-vertex model. - Ann.Israel Phys. Soc., 1974, vol 27, p.637-640.

8. Nelson D.R.,Seung S.H. - Theory of melted flux liquids. Phys.Rev.B , 1989, vol.39, p.9153-9174.

Рукопись поступила в издательский отдел 2 декабря 1991 года.