Нелокальные корреляционные функции в моделях свободных фермионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

17-2009-146

На правах рукописи УДК 531.19

ГРИГОРЬЕВ Сергей Юрьевич

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ В МОДЕЛЯХ СВОБОДНЫХ ФЕРМИОНОВ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 КОЯ ?ппд

Дубна 2009

003483861

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор В.Б. Приезжев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Н.Е.Савицкая

кандидат физико-математических наук А.М.Поволоцкий

Ведущая организация: Физический институт имени П.Н.Лебедева

Российской академии наук

Защита состоится " " ^¿¿МЫ^кЛ 2009 г. в /О ч. ££> мин. на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, 141980, г. Дубна, Московская область, ул. Жолио-Кюри, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛТФ ОИЯИ.

Автореферат разослан " 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета / /I 0 кандидат физико-математических наук Гц**®^" А.Б

. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы.

Вычисление таких величин как параметр порядка, теплоемкость, средняя энергия можно свести к вычислениям различных корреляционных функций, что придает значимость таким вычислениям. Особый интерес представляют системы вблизи критической области, где парные корреляционные функции ведут себя следующим образом:

(*(0)Х(г))~^ехр(-^у) (1)

где £(г) - корреляционная длина, характеризующая размер флуктуации, которая расходится, т.е. £ —»• оо, при приближении к критической точке, что приводит к чисто степенной зависимости. При этом возникают крупномасштабные флуктуации, которые приводят к сингулярностям термодинамических функций. Степенное поведение наблюдаемых величин и корреляционных функций свидетельствует о масштабной инвариантности равновесной статистической системы в критической точке. За последнее время стало ясно, что область критических явлений описывает также широкий спектр динамических систем с большим числом степеней свободы. Изучение систем, находящихся вдали от равновесия показали, что флуктуации физических величин также являются самоподобными в широкой области значения физических параметров. Выяснилось, что интенсивности землетрясений, светимости квазаров, силы тока в электрических цепях, колебания индексов на фондовых рынках подчиняются тем же степенным законам, что и флуктуации физических величин в критической точке. Детали микроскопических состояний оказываются несущественными и характер критических особенностей термодинамических функций определяется степенной зависимостью с универсальными показателями а, которые называют критическими индексами.

В последние десятилетия разрабатывался мощный аппарат конформной теории поля (КТП), позволяющий вычислять точно

критические индексы для степенных корреляционных функций. Предполагается, что конформная теория поля может обобщить большой класс статистических моделей, если знать соответствие между статистической моделью и некоторой (минимальной) моделью конформной теории поля. Построение этого обобщения оказалось успешным, и со временем внимание научного сообщества переключилось на исследование логарифмической конформной теории поля (ЛКТП), после открытия систем, у которых в степенных корреляционных функциях есть логарифмические поправки. Математический аппарат логарифмической конформной теории поля также получил значительное развитие, однако для того, чтобы наглядно понять смысл результатов этой теории нужна простая и наглядная модель в статистической механике. Среди всех существующих моделей статистической физики, пожалуй, самой плодотворной для изучения логарифмической конформной теории поля является модель песочной кучи (Abelian sandpile model, ASM), поскольку в ней можно найти логарифмические корреляционные функции явно, используя комбинаторные методы. Точнее говоря, логарифмические зависимости можно исследовать в модели покрывающих деревьев и её обобщении - модели покрывающих паутин, к которым можно свести ASM вместе с моделью димеров, моделью плотных полимеров, эйлеровскими блужданиями и т.д. Дополнительным аргументом в пользу необходимости исследовать статистические модели и сопоставлять их с предсказаниями конформной теории поля является тот факт, что в КТП и ЛКТП используется ряд предположений, в частности, о соответствии между физическими величинами в статистических моделях и операторными полями в теории поля, гипотеза алгебры локальных нолей, замкнутость этой алгебры. Более того, в моделях ЛКТП существует операторы, для которых не до конца ясна физическая интерпретация. И, наконец, интересным является вопрос о самой природе возникновения логарифмической зависимости в корреляционных функциях.

Ключевым элементом для установления связи между решеточными моделями и конформной теории поля является конформный заряд. Если известно значение конформного заряда, который параметризуется

двумя взаимно простыми числами, мы знаем какая минимальная модель описывает систему. Значение конформного заряда в соответствующей статистической модели можно определить из выделения в свободной энергии так называемой энергии Казимира. Для построенной в диссертации модели покрывающих сетей на цилиндре исследуется как добавление дополнительных циклов вокруг цилиндра изменяет энергию Казимира.

Важной гипотезой в конформной теории поля является гипотеза о существовании такого набора "базисных" взаимнолокальных полей, что любые флуктуирующие величины, взятые в различных пространственных точках, можно разложить по этому базису. Это так называемые операторные разложения. В ЛКТП операторные разложения содержат логарифмическую сингулярность. В диссертации будет показано, что для вычисления логарифмических поправок нужно рассматривать нелокальные решеточные объекты. Мы покажем, что логарифмическая зависимость обусловлена нелокальностью корреляционных функций и двухкомпонентностью покрывающих деревьев.

Комбинаторные исследования модели покрывающих деревьев, покрывающих сетей и ASM оказались плодотворными благодаря свободно-фермионным свойствам. В статистической механике понятие свободных фермионов вводится не столь непосредственно. Около пятидесяти лет назад С. Fan и F. Y. Wu ввели модель свободных фермионов как одну из вершинных моделей, удовлетворяющей некоторым условиям на веса вершин. Модель свободных фермионов важна тем, что она является точно-решаемой моделью. Иногда решение становится нетривиальным, как, например, вычисление вероятности выживания аннигилирующих частиц на одномерной решетки в виде кольца, поскольку в этой задаче плотность частиц фиксирована и частицы продолжают взаимодействовать друг с другом даже в пределе больших времен.

Цель работы.

1) Исследовать вероятность выживания случайного блуждания произвольного числа броуновских частиц на одномерной решетке при условии аннигилации встретившихся частиц.

2) Исследование соответствия между решеточными моделями статистической физики и моделями логарифмической конформной теории поля.

3)Исследование методов перечисления непересекающихся траекторий изолированных контуров на двумерной решетке.

Научная новизна и практическая ценность.

Впервые получено точное аналитическое выражение для вероятности выживания произвольного числа аннигилирующих частиц на одномерной решетке с периодическими граничными условиями из заданных начальных координат в заданные конечные координаты. Решение полезно для математической интерпретации явлений смачивания, плавления и фазового перехода из соизмеримой в несоизмеримую фазу.

Логарифмическая конформная теория поля предсказывает поведение двухточечных корреляционных функций для абелевой модели песка на плоскости. Поскольку результаты ЛКТП опираются на ряд допущений, например, задание операторов в ЛКТП, соответствующих физическим величинам в статистических моделях, актуальной задачей является получение этих корреляционных функций независимым комбинаторным способом. Более того, абелева модель песка - это первый пример, где логарифмические двухточечные корреляционные функции можно вычислить явно.

Важным результатом и диссертации является открытие полного соответствия универсальной части обобщенной функции (д,ш) для

различных комбинаций граничных условий в модели покрывающих паутин на цилиндре с конечными характерами симплектических фермионов. Этот факт позволяет интерпретировать модель симплектических

фермионов как конформную полевую модель покрывающих сетей на цилиндре. Дальнейшая интерпретация триплетной IV алгебры в терминах покрывающих сетей, до сих пор остается актуальной открытой проблемой.

Полученные в диссертации корреляционные функции для двухкомпонентного дерева с тремя путями в одной компоненте вблизи границы полуплоскости вместе с корреляциями на плоскости могут сыграть полезную роль в развитии ЛКТП, поскольку их можно анализировать комбинаторными методами без громоздких выкладок и получать логарифмические поправки к корреляционным функциям.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

• На одномерной решетке из Ь вершин с периодическими граничными условиями рассмотрена динамика произвольного конечного числа р < Ь частиц, когда в каждый дискретный момент времени частицы делают с вероятностью шаг направо и с вероятностью шаг влево. Впервые получено выражение для вероятности перехода этих частиц из заданных начальных координат в заданные конечные координаты за конечное число шагов М, при условии что они не разу не встретятся.

• Исследована модель покрывающих сетей на цилиндре с закрытыми, открытыми и комбинированными граничными условиями на краях цилиндра. Построена производящая функция для этой модели. Произведена оценка ведущих членов в разложении свободной энергии в пределе большого радиуса цилиндра и произведено сравнение результатов с предсказаниями логарифмической конформной теории поля. Показано, что наличие циклов изменяет член в разложении свободной энергии, соответствующей энергии Казимира в соответствии с конформными весами, перечисленными в таблице Каца. Показано, что производящая функция, построенная для конечной решетки с различными граничными условиями совпадает с характерами, вычисленными в различных модулях

алгебры симплектических фермионов. Мы сопоставили открытые и закрытые граничные условия с модулями, образованными соответственно целыми и полуцелыми модами фермионов.

• Подробно исследованы конфигурации покрывающих деревьев необходимых для вычисления вероятностей Р,> i = 1,2,3,4 в Абелевой модели sandpile и парных корреляционных функций Pii(r) — PiPi,i = 1,2,3,4. Численные оценки полученных выражений хорошо согласуются с предсказаниями логарифмической конформной теории поля.

• Получены корреляционные зависимости в двухкомпонентном покрывающем дереве с тремя длинными путями в одной компоненте на двумерной бесконечной решетке на полуплоскости (это конфигурации, которые представляют из себя пример 0-графа, для которого исследовано асимптотическое поведение). Пути соединяют локальную окрестность одной вершины на фиксированном расстоянии г от границы и локальную границу другой свободной вершины, находящейся на расстоянии s от фиксированной вершины. Получены асимптотические выражения корреляционных функций, в зависимости от s и г.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, 2005, Москва-Долгопрудный.

• X конференция молодых ученых и специалистов 2006, ОИЯИ, Дубна.

• 43rd Karpacz Winter School of Theoretical Physics, Institute of Theoretical Physics of the University of Wroclaw, Ladek Zdroj, Poland, 2008

• International Colloquium on Integrable Systems and Quantum symmetries (ISQS-17) 2008, Praha, Czech Republic.

• XIII конференция молодых ученых и специалистов 2009, ОИЯИ, Дубна.

• Сессия Программно-консультативного комитета по физике конденсированных среди, Дубна, ОИЯИ, 25 - 26 июня,

• Семинар отдела "Статистическая механика" Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Дубна..

Публикации.

По материалам диссертации опубликованы 4 работы в реферируемых журналах из списка ВАК и 2 работы в трудах конференций.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации 101 страница машинописного текста, включая 31 рисунок и список литературы из 81 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор исследования свободных фермионных моделей. Там же по главам кратко описаны основные результаты, полученные в данной диссертации.

В первой главе "Случайное блуждание аннигилирующих частиц" рассмотрена задача о перечислении непересекающихся траекторий, известная также как случайное блуждание аннигилирующих частиц по одномерной решетке. Сперва доказана теорема Фишера для вероятности достижения конечного состояния р частиц за произвольное число п шагов на бесконечной прямой, при условии что частицы не встречаются. Теорема доказана методом математической индукции:

показывается справедливость утверждения для одного шага, затем, полагая справедливость утверждения для произвольного п-го шага, доказывается общая теорема для п + 1-го шага. Далее, выражение для вероятности перехода обобщается на случай одномерной решетки в виде кольца, где также сформулирована соответствующая теорема, которая доказывается методом математической индукции.

Во второй главе "Покрывающие деревья с замкнутыми циклами на цилиндре" вычисляется производящая функция модели покрывающих сетей на конечной цилиндрической решетке. Производится оценка ведущих членов в разложении свободной энергии в пределе большого радиуса цилиндра и производится сравнение результатов с предсказаниями логарифмической конформной теории поля. Показано, что наличие циклов, изменяет член в разложении свободной энергии, соответствующий энергии Казимира в соответствии с конформными весами, перечисленными в таблице Каца.

Проводится сравнение модели покрывающих сетей с примером точно-решаемой логарифмической модели с конформными граничными условиями - моделью плотных полимеров в критической точке (critical dense polymers) с определенным типом дефектов на полосе. Аналитические вычисления в разделах второй главы сводятся к стандартным детерминантным выражениям для моделей свободных фермионов с последующим анализом, где используется формула Эйлера-Маклорена. В завершение второй главы показывается, что производящая функция, построенная для конечной решетки с различными граничными условиями совпадает с характерами, вычисленными в различных модулях алгебры симплектических фермионов. Сопоставляются открытые и закрытые граничные условия с модулями, образованными соответственно целыми и полуцелыми модами фермионов.

В третьей главе "Абелева модель песка" рассмотрена модель самоорганизованной критичности ASM (Abelian sandpile model). Показано, что рекуррентные конфигурации в модели песочной кучи находятся ую взаимнооднозначном соответствии с конфигурациями покрывающих деревьев. Благодаря этому соответствию задача о вычислении высоты

}ц = 1,2,3,4 в некоторой вершине г в модели песка сводится к задаче о перечислении покрывающих деревьев, у которых вершина г среди соседних вершин имеет ровно Л* — 1 предшественников. Число покрывающих деревьев соответствует детерминанту соответствующей матрицы Лапласа Д. Фиксацию числа предшественников можно осуществить изменяя решетку - удаляя или добавляя дополнительные ребра с некоторыми весами, для чего нужно модифицировать матрицу Лапласа. Если Д' - модифицированная матрица Лапласа, то выражение с^Д'/сМД = с^ 11 + (Д' — Д)Д_1| позволяет вычислять отношение числа покрывающих деревьев с фиксированным числом предшественников к общему числу покрывающих деревьев, и найти соответствующие вероятности. В третьей главе диссертации подробно исследованы конфигурации покрывающих деревьев необходимых для вычисления вероятностей Рд высот Д = 1,2,3,4 и парных корреляционных функций Р1а{г) — Р\Ра, а = 2,3,4. Среди этих конфигураций есть локальные, для учета которых достаточно проводить изменения решетки в локальной области и нелокальные - О-графы, для учета которых вводятся дополнительные ребра, связывающие нелокальные области. Для всех локальных конфигураций приведены точные аналитические выражения и асимптотики. Для ©-графов приведены точные аналитические матричные выражения (матрицы перечислены в приложении 2), с последующим численным и асимптотическим анализом. В приложении 1) описана асимптотика решеточной функции Грина Д-1, для больших расстояний и произвольных углов.

В четвертой главе "Корреляционные функции двухкомпонснтиого покрывающего дерева с тремя длинными путями в одной компоненте" проводится исследование нелокального объекта - 0-графа на плоскости и полуплоскости с открытыми и закрытыми граничными условиями. В этой главе определено, что 0-граф - это двухкомпонентное покрывающее дерево, где одна компонента содержит три непересекающихся произвольных пути. Эти пути соединяют окрестность некоторой фиксированной вершины находящейся на расстоянии г от границы полуплоскости, с локальной окрестностью другой вершины ¿о,

находящейся на расстоянии в от вершины ¿о- К этим путям прикреплены ветки покрывающих деревьев, так что ветви вместе с путями целиком образуют одну компоненту покрывающего дерева, которая окружена другой компонентой. В этой главе вычисляется отношение числа конфигураций, содержащих 0-граф, к общему числу покрывающих деревьев на плоскости и полуплоскости и асимптотическое разложение этого отношения для случаев г > О 1 и О г ^ 1. Вычисления проводятся при помощи введения на решетки трех дополнительных ребер с бесконечно большим весом - "мостов", т.е. построение модифицированного лапласиана Д' и исследования отношения det Д'/det Д.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые и выносятся на защиту.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. С.Ю. Случайное бл%)ждание аннигилирующих частиц по кольцу, Григорьев, В.Б. Приезжев,

Теоретическая и Математическая Физика, 146, 488-498, (2007).

2. Pair correlations in sandpile model: a check of logarithmic conformal field theory,

V.S. Poghosyan, S.Y. Grigorev, V.B. Priezzhev and P. Ruelle , Physics Letters В 659, 768-772, (2008).

3. Two-dimensional spanning webs as (1,2) logarithmic minimal model , J.G. Brankov, S.Y.Grigorev, V.B.Priezzhev, and I.Y.Tipunin, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, (2008), P11017, (18 pp.).

4. Three-leg correlations in the two-component spanning tree on the upper half-plane,

S.Y. Grigorev, V.S. Poghosyan, V.B. Priezzhev,

Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, (2009), P09008, (U pp.).

5. Применение теоремы Киргоффа и принципа включения-исключсним,

С.Ю.Григорьев,

Труды XLV11I научной конференции "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук"часть II (общая и прикладная физика) , (25-26 ноября 2005 года, Долгопрудный-Москва), 141-143.

6. Вычисление корреляционных функций в модели Sandpile, С.Ю.Григорьев,

Труды X научной конференции молодых ученых и специалистов 2006, Дубна-2006, 162-164.

Получено 1 октября 2009 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 02.10.2009. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,87. Уч.-изд. л. 0,78. Тираж 100 экз. Заказ № 56728.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 Случайное блуждание аннигилирующих частиц

1.1 Формулировка задачи.

1.2 Случайное блуждание частицы по одномерной решетке.

1.3 Случайное блуждание частиц по прямой.

1.4 Случайное блуждание частиц по кольцу.

2 Модель покрывающих сетей и покрывающих деревьев

2.1 Покрывающие деревья.

2.2 Теорема Кирхгоффа и принцип включения-исключения.

2.3 Модель покрывающих сетей на цилиндре

2.4 Вычисления производящей функции.

2.5 Конформная теория поля покрывающих сетей.

3 Абелева модель песка

3.1 Формулировка модели.

3.2 Вероятности Ри Р2, Рз и Р4.

3.3 Двухточечная корреляционная функция.

3.3.1 Предсказания конформной теории поля.

3.3.2 Вычисления для решетки.

Исследование того, как поведение отдельных микрообъектов сложных систем может привести к коллективному поведению в целом является ключевой задачей статистической физики. В случае, когда число микрообъектов огромно, и каждый из них обладает индивидуальным поведением, число необходимых уравнений растет, так что практически невозможно построить модель, которая одновременно соответствовала бы реальности и поддавалась бы точному теоретическому анализу. Поэтому необходимо вводить упрощения и различного рода приближения и искать некоторый компромисс между уровнем сложности модели и возможностью её разрешимости. В данной диссертации рассмотрены различные модели свободных фермионов, которые относятся к классу точно решаемых моделей, но при небольших усложнениях - добавлении различных дефектов, изменении граничных условий, геометрии решетки - разрешимость модели становится неочевидной.

Понятие фермионов повсеместно встречается в теоретической физике. Оно заключает в себе идею упрощенного и, в то же время, специфического типа взаимодействия между микрообъектами. Например, система фермионов в квантовой механике описывается антисимметричной волновой функцией относительно перестановки двух фермионов. Это свойство антисимметрии приводит к тому, что в одном состоянии не могут находиться два фермиона одновременно (принцип Паули), что и порождает взаимодействие, которое ассоциируется в квантовой механике с обменным взаимодействием. Фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака, классической иллюстрацией которой является перечисление конфигураций п неразличимых шаров, разложенных в N > п ящиков, при условии, что в одном ящике не может находиться больше одного шара.

Как уже было сказано, при описании систем с большим числом частиц в механике мы часто сталкиваемся с серьезными математическими трудностями.

Однако, в ряде случаев основные особенности систем могут быть объяснены, если сводить задачу большого числа тел к задаче о поведении одной частицы. Например, при использовании метода последовательных приближений в квантовой механике, в котором в нулевом приближении частицы считаются независимыми, а в высших приближениях взаимодействие учитывается на основе теории возмущений [1]. В нулевом приближении гамильтониан системы частиц будет равен сумме гамильтонианов отдельных частиц, и волновая функция Ф(ж1;., ждг) системы является линейной комбинацией произведений одночастичных волновых функций Фр(хг). Для системы фермионов с импульсами n волновая функция представляется в виде суммы по всем перестановкам о индексов 1,2,. ,N: oszJN где Sn - симметрическая группа, sgn(cr) = ±1 - знак перестановки <т. Выражение (1) можно написать в детерминаитном виде:

В такой записи из свойств детерминанта следует принцип Паули. Детерминантные выражения будут характерными для моделей свободных фермиопов, рассмотренных в диссертации.

В статистической механике понятие свободных фермионов вводится не столь непосредственно. Около пятидесяти лет назад С. Fan и F. Y. Wu ввели модель свободных фермионов как одну из вершинных моделей, удовлетворяющей некоторым условиям на веса вершин [2, 3]. В поисках классификации известных в то время статистических моделей авторы выписывали условия, при которых соответствующая вершинная модель и сводимые к ней другие модели являются интегрируемыми. Чтобы понять условия, которые относят вершинную модель к модели свободных фермионов, остановимся на модели Изинга и её связи с вершинной моделью.

Модель Изинга была одной из первых математических моделей для исследования фазовых переходов в магнетиках. Эта модель была предложена В. Ленцом своему студенту Изингу в начале двадцатых годов прошлого века. Изинг piM .

ФР2Ы . фр„Ы

2) y^Pl(xN) ^P2(xN) . Фр^(жя) решил одномерный случай [4], и долгое время модель Изинга рассматривалась как объект для математических упражнений, до того момента, как Онсагер [5, 6] дал точное решение для двумерной модели Изинга без внешнего магнитного поля. Решение двумерной модели Изинга показало, что такие явления, как фазовые переходы, критические состояния можно описывать на микроскопическом уровне. В этой модели, рассматривается квадратная решетка L, размера N х N (имеющая N2 узлов, ЛГ » 1 ), в вершинах которой располагаются спины а, принимающие два значения "+" или "—". Предполагается, что между соседними спинами имеется ферромагнитные взаимодействия. Чтобы вычислить статистическую сумму, нужно перебрать всевозможные конфигурации с заданным больцмановским фактором. Для произвольной спиновой конфигурации кластеры положительных спинов образуют изолированные острова в море отрицательных спинов. Если мы обведем эти острова линиями на дуальной решетке L\ то перечисление конфигураций спинов сведется к перечислению замкнутых контуров на дуальной решетке. В случае взаимодействия ближайших соседей больцмановский фактор можно найти, приписывая соответствующие веса ребрам на дуальной решетке. Этот факт, совместно со свойством самодуальности решетки, использовался Крамерсом и Ванье для определения критической температуры [7,8]. На рисунке (1) представлены все типы вершин на дуальной решетке с весами uji для каждого типа вершин г — 1,., 8. 1

СО* Wj ! + j 10э СО ч tOs iaj Б I I

С0Б ' W,

Рис. 1: В произвольной конфигурации спинов, на дуальной решетке строятся контуры, окружающие кластеры из положительных спинов. Эти контуры, изображенные сплошной линией, образуют восемь типов вершин на дуальной решетке.

Вычисление статистической суммы двумерной модели Изинга, сводится к вычислению статистической суммы для замкнутых контуров. Запишем, следуя

Хурсту и Грину (С.A.Hurst и H.S.Green) [9], статистическую сумму в виде (Рис.2): N

7-/П1ТТ,. 4-/in2+n1+flS „(Ч , (1)+(1) , i=l , n^ + nW 4-мЛМ+4-м«(2) „(1) ln\ fq\ Wso^ otj-i + W6aj ~r WyOj cij -+• cu8aJiVaJ1|U; (o j где a+ и aj - фермиевские операторы рождения и уничтожения линий контура в вершине j. Индексы 1 и 2 соответствуют горизонтальным и вертикальным ребрам соответственно, |0) - вакуумное среднее, определенное условием: Оу|0) = 0. д(1)

UJ-1

1)+ A -J at2) j - N q(2)

Рис. 2: Вершина как точка взаимодействия фермионов (линии контура) а)«2af+о51)+а«Х-1 ^af)+aflN .

Используя антикоммутационные соотношения для ферми операторов, выражение (3) можно свести к виду: N

Z = <(0|Техр^[Яо(Я + #i(j)]|0> (4)

3=1 где введены обозначения: и (п) - ^Г7(2)+Г7(2) 4-^П(1) + Л(1) + + 4-^Г7(2)+Г7(1)+4-^Г7^ /Я щШ - —ai ai-i+hUaj i 3~N+,.u 3 3 +~aj-Naj-i и 1

Ш1 ш 1 и 1

Wi

HnJ) - 771] aj aj-Naj-1

WT

Д = CJ1CU2 + UJ^UJi — Ш5Ш6 — U>7U>8

5)

T - оператор упорядочивания no j = 1, .,JV. Задача подсчета статистической суммы свелась к задаче вычисления б'-матрицы в форме (4) с гамильтонианом взаимодействия H\(j) многофермионной системы. Если наложить условие А = 0, то фермионы оказываются свободными, а само условие (5) называется условием модели свободных фермионов.

Частным примером модели свободных фермионов являются всевозможные изолированные контуры с весом "—1" на квадратной решетке. На рисунке За) два цикла имеют вес (—I)2, который сокращается с весом цикла на рисунке 36), и в статистической сумме остаются только члены соответствующие непересекающимся контурам (Рис. Зв)). Можно заметить аналогию между описанными выше моделями изолированных контуров и классической задачей, где в одном ящике не может находиться более одного шара.

-1

-1 а)

-1

6)

-1

-1 в)

Рис. 3: Пример модели свободных ферминов.

В дальнейшем мы увидим, что модель изолированных контуров является источником построения целого класса точно решаемых моделей. В комбинаторной математике разработаны элегантные методы пересчета непересекающихся контуров, благодаря наличию наглядных графических представлений.

В первой главе мы рассмотрим хорошо известную задачу математической физики и комбинаторики - перечисление непересекающихся траекторий, известную также как случайное блуждание аннигилирующих частиц по одномерной решетке. Впервые она подробно была рассмотрена Фишером [10], который назвал её проблемой "vicious walkers", поскольку процесс заканчивается при первой же встрече любой пары блуждающих частиц. Фишер нашел выражение для вероятности достижения конечного состояния р частиц за п шагов на бесконечной прямой, если известно начальное расположение частиц. Решение оказалось полезным для математической интерпретации явлений смачивания, плавления и фазового перехода из соизмеримой в несоизмеримую фазу [11-13]. Практически одновременно и независимо эта задача возникла в математической литературе после появления статьи Гесселя и Вьенно о детерминантном представлении числа непересекающихся траекторий [14,15] и его связи с числом таблиц Юнга [17-19]. Вероятностные и комбинаторные исследования задачи об аннигилирующих частицах продолжались независимо вплоть до 1999 года, когда Брак и Овчарек [20] объединили оба подхода в рамках свободно-фермионного сектора шестивершинной решеточной модели, когда uiy — uj8 = q и условие (5) записывается в виде: u>iu>2 = — 0130)4. Все перечисленные работы касались случайного блуждания р аннигилирующих частиц на бесконечной прямой или полупрямой. В то же время представляет интерес система частиц на замкнутом кольце, так как в этом случае плотность частиц не равна нулю и частицы продолжают взаимодействовать друг с другом даже в пределе больших времен. Поскольку задача относится к классу свободных фермионов, переходная вероятность из любого начального в любое конечное состояние на кольце может быть вычислена в принципе с помощью спектральной теоремы [21], метода дефектных матриц [22]. Однако эти вычисления никогда не были представлены из-за исключительно громоздких выкладок в общем случае. В работе [25] и в первой главе диссертации будет показано, что эти трудности можно обойти с помощью довольно простого приема и получить замкнутое детерминантное выражение вероятности перехода для произвольных начальных и конечных состояний р частиц на кольце конечного размера.

Вычисление таких универсальных величин, как параметр порядка, теплоемкость, средняя энергия можно свести к вычислениям различных типов корреляционных функций, что придает значимость таким вычислениям. Последние десятилетия разрабатывался мощный аппарат конформной теории поля, позволяющий вычислять точно критические индексы для корреляционных функций. Более того, предполагается, что конформная теория поля может обобщить большой класс статистических моделей, если знать соответствие между статистической моделью и соответствующей минимальной моделью конформной теории поля (CFT). Для того чтобы узнать это соответствие, нужно знать соответствующее данной модели значение центрального заряда . В статистической модели оно возникает при разложении свободной энергии. Используя метод конечно-размерного анализа (finite size analysis), выделяется "объемная" часть свободной энергии, которая пропорциональна объему решетки (в двумерном случае это произведение длины и ширины решетки), "поверхностная" часть, которая пропорциональна площади границы решетки и остаток, называемый энергией Казимира (в двумерном случае, этот член имеет ведущий член пропорциональный отношению длины решетки к её ширине и, наоборот, ширины к длине). Ведущий член свободной энергии, имеющий смысл энергии Казимира, также пропорционален конформному заряду "с". Р1спользуя метод конечно-размерного анализа, мы исследуем во второй главе модель покрывающих деревьев с замкнутыми кольцами на цилиндрической решетке.

Математическая модель покрывающих деревьев на связном графе может быть рассмотрена как модель статистической механики и, по существу, является первой нетривиальной, точно решаемой моделью для решеток произвольной размерности, благодаря знаменитой теореме Кирхгоффа [26]. В современной классификации, модель покрывающих деревьев также принадлежит классу моделей свободных фермионов, в которых перечисляются конфигурации с непересекающимися циклами и ключевыми выражениями являются детерминанты некоторых матриц, например матрицы Лапласа. Покрывающие деревья связаны с различными моделями, такими как абелева модель песка (abelian sandpile) [27-31], гамильтоновские блуждания (hamiltonian walks) на решетке типа "Manhattan" [32, 33], модели димеров [34]. Задача перечисления покрывающих деревьев на двумерной квадратной решетке эквивалентна задаче о перечислении плотных упаковок димеров, решенной Кастеляйном [35], Темперли и Фишером [36]. В непрерывном пределе (scaling limit), корреляционные свойства димеров могут быть описаны конформной теорией поля с центральным зарядом с = — 2 [37-40].

Простым обобщением модели покрывающих деревьев является модель покрывающих сетей (известная в литературе под названием spanning webs) - это модель покрывающих деревьев с циклами и ветвями деревьев, прикрепленных либо к циклам, либо к отдельным корням [41]. В данной модели можно выделить циклы, относящиеся к двум различным топологическим классам. Первый класс возникает, когда мы задаем периодические условия в некотором направлении, так что цикл, который замыкается в этом направлении невозможно сжать в одну точку. Такие циклы возникают в точных решениях задачи о димерах, упакованных на цилиндрической или тороидальной решетке [35]. Подобные циклы могут также возникать на решетке с аитипериодическими граничными условиями (лист Мёбиуса, бутылка Клейна). Второй класс содержит циклы, которые можно сжать в одну точку. В модели димеров, такие циклы могут возникать, если вводить дефекты в виде мономеров [42, 43]. В общем случае модель покрывающих сетей не принадлежит классу свободно-фермионных моделей и, более того, не является точно решаемой. Однако, для некоторой геометрии циклов и соответствующих статистических весов конфигураций свойства свободных фермионов сохраняются.

Во второй главе также вычисляется производящая функция модели покрывающих сетей на конечной цилиндрической решетке [44]. Производится оценка ведущих членов в разложении свободной энергии в пределе большого радиуса цилиндра и производится сравнение результатов с предсказаниями логарифмической конформной теории поля (LCFT) [45]. Мы покажем, что наличие циклов, изменяет член в разложении свободной энергии, соответствующий энергии Казимира в соответствии с конформными весами, перечисленными в таблице Каца [46].

Недавно, Пирсом и Рассмусеном был рассмотрен другой пример точно решаемой модели LCFT [47]. Они рассмотрели модель плотных полимеров в критической точке (critical dense polymers) с определенным типом дефектов на полосе и воспроизвели конформные веса в первой колонке расширенной таблицы Каца. Их результаты были получены при помощи функциональных уравнений для коммутирующих трансфер матриц, в терминах алгебры Темперли-Либа на плоскости. Несмотря на то, что модели плотных полимеров в так называемой "свободно-фермионной" точке и покрывающие деревья на вспомогательной подрешетке схожи, есть некоторые различия в классификации конформных весов. Элементы таблицы Каца для модели плотных полимеров задаются числом дефектных линий [47] с фиксированными граничными условиями на краях бесконечной полосы. Мы покажем, что циклы в модели покрывающих сетей играют ту же роль, что и пара дефектных линий в модели плотных полимеров. Однако, в нашем случае граничные условия различны для четных и для нечетных элементов первой колонки таблицы Каца. Аналитические вычисления в разделах второй главы сводятся к стандартным детерминантным выражениям для моделей свободных фермионов с последующим анализом, где используется формула Эйлера-Маклорена. В завершение второй главы мы покажем, что производящая функция, построенная для конечной решетки с различными граничными условиями совпадает с характерами, вычисленными в различных модулях алгебры симплектических фермионов. Мы сопоставляем открытые и закрытые граничные условия с модулями, образованными соответственно целыми и полу-целыми модами фермионов.

В третьей главе диссертации будет рассмотрена абелева модель песка (Abelian sandpile model), которая тесно связана с моделями критических явлений, широко известных в теории фазовых переходов П-го рода. Многие физические величины, такие как теплоемкость, сжимаемость, намагниченность, магнитная восприимчивость, в критической точке имеют особенность вида X ~ ^г}т ^ , где а - соответственный критический показатель. Корреляционные функции системы вблизи критической точки ведут себя, как

Х(0)Х(г)>~^ехр(-^) (6) где £(г) - корреляционная длина, которая расходится, т.е. £ —> оо, при Т —>• Тс, что приводит к чисто степенной зависимости. Степенное поведение

Alog(P)

Рис. 4: Для всех явлений самоорганизованной критичности характерна степенная зависимость вероятности Р лавины от числа частиц N в лавине. наблюдаемых величин и корреляционных функций свидетельствует о масштабной инвариантности системы в критической точке. За последнее десятилетие стало ясно, что область критических явлений простирается далеко за пределы теории фазовых переходов И-го рода. Изучение систем, находящихся вдали от равновесия показали, что флуктуации физических величин также являются самоподобными в широкой области значения физических параметров. Выяснилось, что интенсивности землетрясений, светимости квазаров, силы тока в электрических цепях, флуктуации индексов на фондовых рынках подчиняются тем же степенным законам, что и флуктуации физических величин в критической точке. Эти наблюдения позволили сделать вывод, что любая динамическая система с большим числом степеней свободы, ведомая внешней силой, при наличии диссипации самопроизвольно стремится к специфическому состоянию, которое было названо состоянием самоорганизованной критичности. Важно отметить, что в случае динамических систем критическое состояние достигается самопроизвольно, практически при любом значении внешних параметров (откуда пришло и название "самоорганизованная"), в то время как критическая точка фазового перехода Н-го рода требует точной подгонки физических параметров, например, температуры. Для изучения таких явлений, объединенных общим названием явление "самоорганизованной критичности", П. Баком была предложена упрощенная математическая модель песка (sandpile), которая схватывает основные черты описываемых явлений [30].

Как было отмечено выше, для вычисления корреляционных функций используется мощный аппарат конформной теории поля. В последнее время активно исследуется её обобщение - логарифмическая конформная теория поля (LCFT) [48-51]. Среди различных применений LCFT к решеточным моделям статистической физики, такими как плотные полимеры [52, 53, 58], модели димеров [54-56] и перколяция [57-60], модель песка является самой плодотворной, поскольку в ней можно найти корреляционные функции явно, используя комбинаторные методы. Таким образом, можно проследить полное соответствие между решеточной моделью и LCFT, делая различные проверки этого соответствия. Большая часть проверок уже была проделана в [37-40, 61-68], которые заключали в себе вычисления различных корреляционных функций на плоскости и на границе, определение полей, отвечающих за смену граничных условий, введение диссипации и оценку некоторых конечно-размерных эффектов. Одним из самых популярных вопросов и связанных с ним проверок, является логарифмическая зависимость в корреляционных функциях. Известны только две причины её возникновения: первая - это введение отдельных изолированных мест диссипации [67], что следует из логарифмического поведения обратного лапласиана на больших расстояниях, и вторая - это корреляция нелокальных объектов, например, вероятности высот h > 2 в модели песка [69]. В работе [39] Ж. Пиро и Ф. Рюеля (G. Piroux and P. Ruelle) вычислены вероятности высот h > 2 в модели песка на полуплоскости с открытыми и закрытыми граничными условиями. Эти вероятности являются по сути корреляционными функциями, поскольку зависят от расстояния до границы. Используя вид этой зависимости, авторы в работе [39] построили соответствие между полями в LCFT и высотами h(z) в некоторой точке г на полуплоскости. Затем, смешивая эти поля и деформируя решетку, они предсказали двухточечные корреляционные функции между высотами на плоскости. В третьей главе представлен вывод комбинаторными методами двухточечных корреляций высот в модели песка на плоскости [70]. Этот вывод оказался полезным, поскольку он является не только независимым подтверждением предсказаний LCFT, но и подтверждением о правильности выборе предположение LCFT. В частности, важно было убедиться в правильности выбора соответствия между полевыми операторами и высотами. Заметим, что двухточечные корреляции в модели песка являются первым примером, где логарифмические поправки можно получить явно.

Вычисление вероятностей высот и их корреляций сводится к задаче о перечислении определенных конфигураций покрывающих деревьев. На частном примере показан известный факт, что множество рекуррентных конфигураций в модели песка находится во взаимнооднозначном соответствии с некоторым множеством конфигураций покрывающих деревьев. Формально, это соответствие устанавливается при помощи алгоритма сжигания "burning algorithm" [71], согласно которому можно также определить каким покрывающим деревьям соответствуют конфигурации модели песка с заданной высотой h = 1,.,4 в некотором узле. Число покрывающих деревьев на произвольной решетке равняется определителю соответствующей матрицы Лапласа А. Выделение необходимых покрывающих деревьев осуществляется при помощи изменений на решетке - удалении или добавлении дополнительных ребер с некоторыми весами, что технически является модифицированием матрицы Лапласа. Если Д' - измененная матрица Лапласа, то выражение det Д'/ det Д = det I + (Д' — Д) Д-1 позволяет вычислять отношение числа необходимых покрывающих деревьев, к общему числу покрывающих деревьев. В третьей главе диссертации подробно исследованы конфигурации покрывающих деревьев необходимых для вычисления вероятностей Рд высот h — 1,2,3,4 и парных корреляционных функций Рц(г) — PiPi, г = 2,3,4. Среди этих конфигураций есть локальные, для учета которых достаточно проводить изменения решетки в локальной области и нелокальные - 0-графы, для учета которых вводятся дополнительные ребра, связывающие нелокальные области. Для всех локальных конфигураций приведены точные аналитические выражения и асимптотики. Для 0-графов приведены точные аналитические матричные выражения (матрицы перечислены в приложении 2), с последующим численным и асимптотическим анализом. В приложении 1 описана асимптотика решеточной функции Грина Д-1, для больших расстояний и произвольных углов.

В четвертой главе диссертации представлены дальнейшие исследования нелокальных конфигураций покрывающих деревьев. Введено общее понятие 0-графа, как двухкомпонентного покрывающего дерева, где одна компонента содержит три непересекающихся произвольных пути, соединяющие две удаленные на расстояние |s| локальные области (Рис.4.1), и к путям прикреплены ветви покрывающих деревьев, образующих вместе с путями одну компоненту покрывающего дерева. Эта компонента окружена другой компонентой покрывающего дерева со своим отдельным корнем. Одна из локальных областей называется фиксированной, а другая свободной. Исследуется зависимость от s отношения числа двухкомпонентных покрывающих деревьев к общему числу однокомпонентных покрывающих деревьев на плоскости и полуплоскости. На полуплоскости также исследуется зависимость от расстояния г между фиксированной областью и границей полуплоскости. Рассмотрены случаи с открытой и закрытой границей.

Полученные результаты являются хорошим дополнением к исследованиям Е.В. Ивашкевича и Ч.К. Ху (С.К. Ни) в работе [72], где рассмотрен случай на плоскости для произвольного нечетного числа к путей ("к-leg" subgraph). Они получили асимптотическую зависимость P(r) ~ In г/г , для к — 1,3,5,. и сделали вывод, что именно двухкомпонентность ответственна за наличие логарифмической зависимости в корреляционной функции. В подтверждение этого факта они отметили работу Салёра и Дуплантье (H.Saleur and B.Duplantier), где описана корреляция к путей ("k-leg operators") при помощи отображения двумерной модели перколяции на модель кулоновского газа и получено, что асимптотика корреляционной функции однокомпонентного покрывающего дерева с к путями имеет простую степенную зависимость г~ г [57]. О-граф сам по себе является объектом с логарифмической зависимостью в корреляции между точками ветвления, и тем самым, является объектом LCFT. Интересно найти соответствующие поля в LCFT, но это уже тема для дальнейшего исследования. Таким образом, можно надеяться, что точное вычисление корреляционных функций для двухкомпонентного дерева с тремя путями в одной компоненте вблизи границы, вместе с корреляциями на плоскости, окажутся полезными для развития LCFT.

В заключении диссертации перечислены полученные результаты.

Заключение

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. На одномерной решетке из L вершин с периодическими граничными условиями рассмотрено произвольное конечное число р < L частиц, каждая из которых делает с вероятностью w+i шаг вправо и с вероятностью олi шаг влево. Получено выражение для вероятности перехода этих частиц из заданных начальных координат в заданные конечные координаты за конечное число шагов М, при условии что они ни разу не встретятся.

2. Исследована модель покрывающих сетей на цилиндре с закрытыми, открытыми и комбинированными граничными условиями на краях цилиндра. Построена производящая функция для этой модели. Произведена оценка ведущих членов в разложении свободной энергии в пределе большого радиуса цилиндра и произведено сравнение результатов с предсказаниями логарифмической конформной теории поля. Показано, что наличие циклов, изменяет член в разложении свободной энергии, соответствующей энергии Казимира в соответствии с конформными весами, перечисленными в таблице Каца. Показано, что производящая функция, построенная для конечной решетки с различными граничными условиями совпадает с характерами, вычисленными в различных модулях алгебры симплектических фермионов. Мы сопоставили открытые и закрытые граничные условия с модулями, образованными соответственно целыми и полуцелыми модами фермионов.

3. Подробно исследованы конфигурации покрывающих деревьев необходимых для вычисления вероятностей Р^ высот h = 1, 2,3,4 и парных корреляционных функций Р\а{т) — Р\Ра, а = 2,3,4. Эти конфигурации разделяются на локальные и нелокальные. Для всех локальных конфигураций приведены точные аналитические выражения и асимптотики. Для нелокальных конфигураций приведены точные аналитические матричные выражения (матрицы перечислены в приложении 2). В приложении 1) описана асимптотика решеточной функции Грина Д-1, для больших расстояний и произвольных углов.

4. Получены корреляционные зависимости в двухкомпонентном покрывающем дереве с тремя длинными путями в одной компоненте на двумерной бесконечной решетке на полуплоскости. Пути соединяют локальную окрестность одной вершины на фиксированном расстоянии г от границы и локальную окрестность другой свободной вершины, находящейся на расстоянии s от фиксированной вершины. Получены асимптотические выражения корреляционных функций в зависимости от s и г.

Благодарности

Очень благодарен моему научному руководителю профессору, д.ф.-м.н. Приезжеву Вячеславу Борисовичу, за постоянное внимание и помощь в работе. Считаю, что мне повезло с выбором научного руководителя и научной тематикой. Также, хочу выразить благодарность профессору Й.Г. Бранкову, И.Ю. Типунину, профессору Ф. Рюелю за научные обсуждения на высоком уровне. Особую признательность выражаю Вартанову Г.С., Погосяну B.C. за научные обсуждения.

Отдельное спасибо Дирекции ЛТФ им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ за предоставленную мне возможность проводить научные исследования в их Лаборатории.

1. Квантовая Механика, Л.Ландау, Лившиц.

2. Ising Model with Second-Neighbor Interaction. I. Some Exact Results and an Approximate Solution, C. Fan and F. Y. Wu, Phys. Rev. 179, 560 569, (1969).

3. General Lattice Model of Phase Transitions, C. Fan and F. Y. Wu, Phys. Rev. B2, 723-733, (1970).

4. Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus, E. Ising, Z. Phys. 31, 253-258, (1925)

5. Crystal statistics I. A two-dimensional model with an order-disorder transition L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117-149, (1944).

6. The two-dimensional Ising model, B.M. McCoy, T.T. Wu, Harvard Univ. Press (1973)

7. Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part I, H.A.Kramers and G.H.Wannier, Phys. Rev. 60, 263 276, (1941).

8. Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part II, H.A.Kramers and

9. G.H.Wannier, Phys. Rev. 60, 252 262, (1941).

10. New Solution of the Ising Problem for a Rectangular Lattice, C.A.Hurst and

11. H.S.Green, J. Chem. Phys. 33, 1059-1062, (1960)

12. Walks, walls, wetting and melting., M.E.Fisher., J.Stat. Phys., V. 34 P. 667-729, (1984)

13. Commensurate melting, domain walls, and dislocations, D.A.Huse, M.E.Fisher, Phys.Rev. В, V. 29 P. 239 270, (1984).

14. Soluble Model for Fibrous Structures with Steric Constraints, P.G. de Gennes, J.Chem.Phys. 1968, V. 48 P. 2257, (1968).

15. The equilibrium shape of crystal edges V. Elsert J. Phys. A: Math. Gen. V. 18, P. 857-869 (1985).

16. I. Gessel, Binomial Determinants, Paths, and Hook Length Formulae, Adv. in Math., V. 58, 300-321, (1985).

17. From the Bethe Ansatz to the Gessel- Viennot Theorem , Annals of Combinatorics, R. Brak, J.W.Essam, A.L.Owczarek, V. 3 P. 251-63, (1999)

18. Vicious walkers and directed polymer networks in general dimensions J.W.Essa A.J.Guttmann., Phys. Rev. E. V. 52 P. 5849-62, (1995).

19. Vicious walkers and Young tableaux I: without walls, C.Krattenthaler, A.J.Guttmann, X.G.Viennot, J. Phys. A., V. 31, P. 8123, (1998).

20. Vicious walkers, friendly walkers and Young tableaux: II. With a walls, C.Krattenthaler, A.J.Guttmann, X.G.Viennot., J. Phys. A., V. 33, P. 8835-8866, (2000).

21. Vicious Walkers, Friendly Walkers, and Young Tableaux. III. Between Two Walls, C.Krattenthaler, A.J.Guttmann, X.G.Viennot., J. Phys. A., V. 33, P. 8835-8866, (2000)

22. Principles of Random Walk F. Spitzer, (Univ. Ser. in Higher Math.) Van Nostrand, Princeton, N. J. (1964).

23. Applied Combinatorial Mathematics, E. E. Beckenbach, Wiley, New York (1964).

24. Exact Large Deviation Function in the Asymmetric Exclusion Process, B.D. Derrida and J.L. Lebowitz, Phys. Rev. Lett. 80, 209 (1998).

25. Exact Nonstationary Probabilities in the Asymmetric Exclusion Process on a Ring, V.B.Priezzhev, Phys. Rev. Lett. 91, 050601 (2003).

26. Случайное блуоюдание аннигилирующих частиц по кольцу, С.Ю.Григорьев, В.Б.Приезжев, ТМФ, 146(3): 411-420 (2006)

27. The Abelian Sandpile and Related Models, D. Dhar, Physica A 263, 4, (1999), arXiv:cond-mat /9808047v2.

28. Height correlations in the Abelian sandpile model, S.N. Majiimdar and D. Dhar, J. Phys. A: Math. Gen. 24, L357, (1991).

29. Self-organized critical state of sandpile automaton models,D.Dhar, Phys. Rev. Lett. 64, 1613-1619, (1990).

30. Self-organized criticality, P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 38, 364-374, (1988).

31. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise, P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev,. Lett. 59, 381-384, (1987).

32. P. W. Kasteleyn, Physica 29, 1329 (1963).

33. Critical Exponents of Manhattan Hamiltonian Walks in Two Dimensions, from Potts and O(n) Models, Journal of Statistical Physics, Vol. 49, Nos. 3/4, 411-431, (1987).

34. M. Gordon, P. Kapadia, and A. Malakis, J. Phys. A 9, 751 (1976).

35. P. W. Kasteleyn, Physica 27, 1209 (1961).

36. H. N. V. Temperley and M. E. Fisher, Philos. Mag. 6, 1061 (1961).

37. A c=-2 boundary changing operator for the Abelian sandpile model, P. Ruelle, Phys. Lett. В 539, 172-177 (2002).

38. Logarithmic scaling for height variables in the Abelian sandpile model , G. Piroux and P. Ruelle P, Phys. Lett. В 607, 188 (2005).

39. Height variables in the Abelian sandpile model: scaling fields and correlations, M. Jeng, G. Piroux, and P. Ruelle, J. Stat. Mech.: Theor. Exp., P10015 (2006).

40. Pair correlations in sandpile model: a check of logarithmic conformal field theory, V. S. Poghosyan, S. Y. Grigorev, V. B. Priezzhev, and P. Ruelle, Phys. Lett. B, 659, 768 (2008).

41. On the random-cluster model : I. Introduction and relation to other models, С. M. Fortuin and P. W. Kasteleyn, Physica 57 536-564 (1972).

42. Vacancy localization in the square dimer model, J. Bouttier, M. Bowick, E. Guitter, and M. Jeng, Phys. Rev. E 76, 041140 (2007).

43. Jamming probabilities for a vacancy in the dimer model, V. S. Poghosyan, V. B. Priezzhev, and P. Ruelle, Phys. Rev. E 76, 041130 (2008).

44. Two-dimensional spanning webs as (1, 2) logarithmic minimal model, J. G. Brankov, S. Y. Grigorev, V. B. Priezzhev and I. Y. Tipunin, J. Stat. Mech.: Theor. Exp., P11017 (2008).

45. Logarithmic Conformal Field Theory and Boundary Effects in the Dimer Model, N. Sh. Izmailian, V. B. Priezzhev, P. Ruelle, and C-K. Hu, Phys. Rev. Lett. 95, 260602 (2005).

46. Logarithmic minimal models, P. A. Pearce, J. Rasmussen, and J-B. Zuber, J. Stat. Mech.: Theor. Exp., P11017 (2006).

47. Solvable critical dense polymers, P. A. Pearce and J. Rasmussen, J. Stat. Mech.: Theor. Exp., P02015 (2007).

48. Conformal Field Theory, P. Di Francesco, P. Mathieu and D. Senechal, Springer Verlag, New York 1996.

49. Logarithmic operators in conformal field theory, V. Gurarie, Nucl. Phys. В 410 535549 (1993).

50. Bits and Pieces in Logarithmic Conformal Field Theory, M.A. Flohr, Int. J. Mod. Phys. A 18, 4497-4592, (2003).

51. An algebraic approach to logarithmic conformal field theory, M.R. Gaberdiel, Int. J. Mod. Phys. A 18, 4593, (2003).

52. Correlation functions of dense polymers and с = -2 conformal field theory, E.V. Ivashkevich, J. Phys. A 32, 1691-1699, (1999).

53. Associative-algebraic approach to logarithmic conformal field theories, N. Read and H. Saleur, Nucl. Phys. В 777, 316-351, (2007).

54. The statistics of dimers on a lattice: I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice ,P.W. Kasteleyna, Physica, 27, 1209 (1961); 29, 1329, (1963).

55. The dimer problem and the Kirchhoff theorem, V. B. Priezzhev, Sov. Phys. Usp. 28, 1125 (1985).

56. N on-Local Finite-Size Effects in the Dimer Model, N.Sh. Izmailian, V.B. Priezzhev and P. Ruelle, Symmetry, Integr. Geom.: Methods Appl. 3, 001, (2007).

57. Exact Determination of the Percolation Hull Exponent in Two Dimensions, H. Saleur and B. Duplantier, Phys. Rev. Lett. 58, 2325-2328, (1987).

58. Polymers and percolation in two dimensions and twisted N = 2 supersymmetry, H. Saleur, Nucl. Phys., В 382, 486-531, (1992).

59. Fusion algebra of critical percolation, P.A. Pearce and J. Rasmussen, J. Stat. Mech. P09002, (2007).

60. Notes on non-trivial and logarithmic conformal field theories with с = 0, M.A. Flohr and A. Muller-Lohmann, J. Stat. Mech., P04002, (2006).

61. Scaling fields in the two-dimensional Abelian sandpile model, S. Mahieu and P. Ruelle, Phys. Rev. E 64 (2001) 066130.

62. Boundary conditions and defect lines in the Abelian sandpile model, M. Jeng, Phys. Rev. E, 69, 051302, (2004).

63. Four height variables, boundary correlations, and dissipative defects in the Abelian sandpile model, M. Jeng, Phys. Rev. E, 71, 036153, (2005).

64. Conformal field theory correlations in the Abelian sandpile model, M. Jeng, Phys. Rev. E 71, 016140, (2005).

65. Abelian sandpile model: A conformal field theory point of view, S. Moghimi-Araghi, M.A. Rajabpour and S. Rouhani, Nucl. Phys. В 718, 362, (2005).

66. Wind on the boundary for the Abelian sandpile model, P. Ruelle, J. Stat. Mech., P09013, (2007).

67. Pre-logarithmic and logarithmic fields in a sandpile model, G. Piroux and P. Ruelle, J. Stat. Mech. (2004) P10005.

68. Boundary height fields in the Abelian sandpile model, G. Piroux and P. Ruelle, J. Phys. A: Math. Gen. 38, 1451-1472, (2005).

69. Structure of two-dimensional sandpile. I. Height probabilities, V.B. Priezzhev, J. Stat. Phys. 74, 955, (1994).

70. Pair correlations in sandpile model: A check of logarithmic conformal field theory , V.S. Poghosyan, S.Y. Grigorev, V.B. Priezzhev and P. Ruelle, Phys. Lett. В 659, 768, (2008).

71. Equivalence between the Abelian sandpile model and the q->0 limit of the Potts model, S.N. Majumdar and D. Dhar, Physica A 185, 129, (1992).

72. Exact multileg correlation functions for the dense phase of branching polymers in two dimensions, E.V. Ivashkevich, C.-K. Hu, Phys. Rev. E 71, 015104, (2005).

73. Вероятность, А.Н.Ширяев, 1989, M., Наука

74. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т.1., В.Феллер, М.: Мир, 1984. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т.2., В.Феллер, М.: Мир, 1984.

75. Symplectic Fermions, H.G. Kausch, Nucl. Phys. В 583, 513 (2000), arXiv:hep-th/0003029.

76. Characters of coinvariants in (l,p) logarithmic models, B. Feigin, I. Tipunin, arX-iv:0805.4096.

77. Fermionic formulas for (1 ,p) logarithmic model characters in Фгд quasiparticle realisation, B. Feigin, E. Feigin, I. Tipunin, arXiv:0704.2464.

78. Boundary Conditions in Rational Conformal Field Theories, R.E. Behrend, RA. Pearce, V.B. Petkova, J.-B. Zuber, Nucl. Phys. B570 (2000) 525-589; Nucl.Phys. B579 (2000) 707-773; arXiv:hep-th/9908036.

79. Integrable boundary conditions and W-extended fusion in the logarithmic minimal models LM(l,p), P. A. Pearce, J. Rasmussen, and P. Ruelle, J. Phys. A: Math. Theor. 41, 295201 (2008).80. http ://ru.wikipedia.org/wiki/Гpaф(мaтeмaтикa)

80. Application of the lattice Green's function for calculating the resistance of an infinite network of resistors, J. Cserti, Am. J. Phys. 68, 10 (2000) 896-906.