Экспериментальная реализация, реконструкция и исследование моделей нелинейной динамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Пономаренко Владимир Иванович

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ, РЕКОНСТРУКЦИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ (СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ЗАДЕРЖКОЙ)

01 04 03 - Радиофизика

ОЦ3446 14 1

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 8 СЕН 2003

Саратов - 2008

003446141

Работа выполнена в Саратовском государственном университете имени Н Г Чернышевского и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им В А Котельникова РАН

Научный консультант д ф -м н , профессор Безручко Борис Петрович

Официальные оппоненты

д ф -м н , профессор Лоскутов Александр Юрьевич д ф -м н , профессор Анищенко Вадим Семенович д ф -м н , профессор Некоркин Владимир Исаакович

Ведущая организация- Нижегородский государственный университет им Н И Лобачевского

Защита состоится 3 октября 2008 г в 15 30 на заседании диссертационного совета Д 212 243 01 в Саратовском госуниверситете им НГ Чернышевского (410012, г Саратов, ул Астраханская, 83), ауд 34, корп 3

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского

госуниверситета

Автореферат разослан « О _2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Аникин В М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Становление современной нелинейной динамики было связано как с формированием базовых теоретических концепций и разработкой эталонных математических моделей, так и с большим объемом экспериментальных исследований Так, результаты анализа математических моделей (систем дифференциальных уравнений Лоренца, Ресслера, а также дискретных отображений) легли в основу теории динамического хаоса и определили направление экспериментальных исследований нелинейных и хаотических феноменов в реальных ситуациях, применительно к объектам различной природы В свою очередь, наблюдение сложных электрических колебаний, механических движений тел, колебательных химических реакций, гидродинамических течений, эволюционных тенденций в ансамблях живых организмов и других природных явлений, а также процессов в искусственных объектах, стимулировали последовательное развитие нелинейной теории Среди систем, созданных человеком, основным полигоном для изучения феноменов нелинейной динамики стали радиофизические и электронные системы Это произошло благодаря разнообразию их конструкций и наблюдаемых явлений, свойств и возможностей управления ими Важным достоинством является также развитая измерительная база. Изучение сложных автоколебаний радиофизических систем с небольшим числом степеней свободы [Кияшко С В , Пиковский А С , Рабинович М И , Анищенко В С , Астахов В В , Дмитриев А С , Кислов В Я , Некоркин В И , СЬиа Ь О ] не только обеспечило развитие фундаментальных представлений о поведении конечномерных нелинейных систем, но и продемонстрировало их прикладные возможности Электронные СВЧ генераторы на основе лампы с бегущей волной [Кислов В Я , Залогин Н Н , Мясин Е А ] и лампа с обратной волной [Безручко Б П , Кузнецов С П , Трубецков Д И ] наряду с гидродинамическими системами сыграли важную роль при изучении нелинейных эффектов и хаоса в распределенных системах

Материальной основой для данной диссертации стал комплекс лабораторных макетов радиофизических колебательных систем различной степени сложности, сконструированных автором В ней представлены результаты экспериментального построения и исследования оригинальных физических моделей со свойствами, акцентированными на проявление ряда нелинейных феноменов с целью демонстрации их существования и специфики проявления в реальном мире. Необходимость проведения такой работы диктуется не только целями поиска, но и определяется тем, что аналитически или численно исследуются системы, функционирующие по законам логики, а наблюдение предсказанных эффектов в эксперименте, даже специально поставленном, придает найденному статус «реально существующего» Это в первую очередь касается динамических систем с дискретным временем, широко используемых при исследовании нелинейных явлений Эксперимент не только позволяет придать результатам компьютерных исследований физическое толкование, но и расширяет имеющиеся представления за счет дополнительных данных и специфических деталей С другой стороны, если изучение объ-

екта аналитическими или численными методами затруднено, как, например, для рассматриваемых в работе бесконечномерных систем с запаздыванием, физический эксперимент представляет собой наиболее подходящий, а зачастую и единственно возможный, инструмент изучения.

Сказанное обосновывает актуальность тематики диссертационной работы, в которой методами радиофизики рассматриваются фундаментальные проблемы нелинейной динамики (такие как хаос, хаотическая синхронизация, реконструкция нелинейных моделей), а о практической значимости говорит выбор объектов (в частности, системы с запаздыванием) и их приложение к решению востребованных задач как радиофизики, так и смежных областей знаний

Классы задач, решаемых в диссертации, фактически перечислены в ее названии Первым (и основным) направлением работы является реализация на радиотехнической базе максимально простых физических моделей, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики и изучение особенностей их проявления в конкретных ситуациях Это необходимо для создания опорных представлений, позволяющих разобраться в сложнейшей картине хитросплетений нелинейных колебательных режимов объектов различной природы Примером служат «карты режимов», помогающие ориентироваться в «море» возможных реальных ситуаций Такие карты необходимы даже в сравнительно простых случаях например, уже одиночный нелинейный колебательный контур под внешним гармоническим воздействием -наиболее доступный и популярный колебательный радиотехнический объект - демонстрирует столь сложную зависимость движений от нескольких управляющих параметров, что без опорных карт целенаправленный выбор колебательного режима становится проблемой

Другое направление работы - эмпирическое моделирование в нелинейной динамике - отражено в названии диссертации словом «реконструкция» Речь идет о построении математических моделей по временным рядам экспериментально наблюдаемых величин Реконструкция в целом - важная междисциплинарная проблема, которая составляет «сердцевину» теории обработки сигналов и имеет большое значение для физики, биологии, геофизики, медицины, техники Ранее она развивалась в основном в рамках математической статистики и была известна под названием «идентификация систем» На современном этапе подходы к ее решению развиваются в рамках нелинейной динамики [Анищенко В С, Безручко Б П , Вадивасова Т Е, Кузнецов С П, Лоскутов А Ю , Смирнов Д А , Фейгин А М , Abarbanel Н D I, Paditz U, Voss Н ] Значимость исследований в этом направлении определяется тем, что создание моделей многих практически важных систем, особенно живых, на основе первых принципов затруднительно или пока вообще невозможно Единственным путем математического описания способа функционирования объекта является конструирование модельной системы уравнений по данным экспериментального наблюдения - реконструкция по временным рядам или другим множествам данных Повсеместное использование в измерительных приборах аналого-цифровых преобразователей и распространение высоко-

производительной вычислительной техники существенно расширило базу и увеличило возможности такого моделирования Если раньше речь шла об аппроксимации экспериментальных точек простыми функциями, то теперь - о реконструкции систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений

Однако, как показывает опыт 90-х годов, использование стандартных подходов зачастую неэффективно Достижение успеха моделирования по временным рядам становится более реальным лишь при отказе от претензий на разработку единого для всех объектов универсального алгоритма Необходимо создание набора специальных технологий реконструкции выделенных достаточно узких классов объектов. Такой подход подразумевает использование априорной информации о структуре и свойствах системы (или хотя бы предположение о том, к какому классу относится исследуемая система) и как следствие, создание таких технологий реконструкции, которые позволят использовать в работе не интуитивные догадки, а определенный алгоритм Эта идеология всесторонне анализируется, а ее плодотворность демонстрируется в диссертации применительно к системам с задержкой, которые широко представлены в природе и технике, а их математические модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии и химии Уравнения Маккея-Гласса, Икеды и генератора с запаздывающей обратной связью стали эталонами систем с запаздыванием [Кислов ВЯ., Ланда П С , Glass L, Hale J К, Ikeda К, Mackey М ]

Кроме задач создания различных моделей и их исследования, перечисленных в названии работы, большое внимание уделяется обсуждению возможных приложений разработанных методик Выбор для этого областей радиофизики и физиологии обоснован тем, что

- современная радиофизика все больше обращается к использованию сложных сигналов (шумоподобных, с широким спектром частот, с изменяющимися параметрами) С практической точки зрения важными являются проблемы построения сверхширокополосных систем связи с хаотической несущей и алгоритмы извлечения замаскированной информации [Дмитриев А С , Панас А И , Hasler М ] Сложное и даже хаотическое поведение типично и для нелинейных колебательных систем различной природы В этих условиях получили расширение и новое толкование некоторые базовые понятия радиофизики Так, понятие фазы, очевидное для гармонических сигналов (аргумент гармонической функции), получило расширенное толкование и несколько способов определения (преобразование Гильберта, вейвлет-преобразование, и др ) Весьма востребованы результаты рассмотрения закономерностей изменения фазы сигналов - исследование фазовой динамики, например для диагностики связей колебательных систем по записям их хаотических (или зашумленных периодических) временных реализаций Так как фаза колебаний наиболее чувствительна к воздействию на автоколебательную систему, эти методы обладают большой чувствительностью («способны на преддиагностику») Расширенное толкование получили представления о синхронизации - ранее за этим термином стояло затягивание частоты автоге-

нератора под воздействие внешнего гармонического сигнала или выравнивание частот двух взаимодействующих генераторов Теперь совпадение частот для систем с периодическим поведением рассматривается лишь как частный случай синхронизации Это понятие расширено на системы со сложным поведением, и применительно к ним используются представления о полной, фазовой, обобщенной, лаг-синхронизации, и др [Анищенко В С , Афраймович В С , Пиковский A.C., Розенблюм М Г, Рульков Н С, Шалфеев В Д, Caroll Т L , Pécora L М, Abarbanel Н ] Предлагаются также количественные меры для оценки таких типов поведения. Эти обстоятельства требуют проведения работы по иллюстрации возможностей новых мер при анализе реальных систем, их адаптации к специфике практически важных объектов, внедрению в практику Синхронизация является важнейшим фундаментальным явлением, и ее изучение дает дополнительную информацию о структуре исследуемой системы и ее месте среди других взаимодействующих систем,

- способность к синхронизации внешним сигналом говорит о том, что мы имеем дело с автоколебательной системой и в соответствии с этим можем выбирать вид реконструируемой модели. Если обнаруживается синхронизация между различными подсистемами, то можно предполагать наличие связи между ними, что также дает дополнительную информацию о структуре системы Еще одна возможность получить дополнительную информацию о той или иной стороне исследуемой системы - поставить специальный эксперимент В диссертационной работе предложена методика воздействия на систему различными сигналами и анализа отклика на них Развивается методика определения синхронизации между реальными системами при помощи управления частотой одной из систем Такая методика позволяет определить наличие связи между отдельными подсистемами (или элементами полной системы) и, следовательно, определить глобальную структуру всей системы в целом,

- в последние годы развиваемые в работе методы становятся все более востребованными в медицине и физиологии для решения задач диагностики состояния функциональных систем организма При этом востребованность представленных в диссертации подходов определяется двумя моментами Во-первых, рассматриваемые модели отражают механизмы функционирования живых систем, например, наличие запаздывающих связей между элементами типично для организмов, а разработанные методики реконструкции уравнений с запаздывающим аргументом расширяют арсенал средств исследователя-физиолога Во-вторых, радиофизические макеты систем со сложной динамикой позволяют реапизовывать эталонные ситуации с контролируемыми параметрами, физический смысл которых понятен Так, например, различные способы связи автогенераторов могут быть реализованы через элементы с заданными свойствами, подключаемые в различные точки схемы Это направление актуально в настоящее время, когда активно внедряются новые меры оценки характера взаимодействия (связанности) элементов организма по записям снимаемых с них сигналов, характера и степени синхронизованности движений в его функциональных системах Трудности решения этих задач

определяется сложностью, часто хаотичностью, обрабатываемых сигналов, их нестационарностью и зашумленностью

Таким образом, тематика диссертационной работы лежит в русле фундаментальных проблем современной радиофизики, в таких ее направлениях, как теория колебаний и нелинейная динамика, а также решения актуальных прикладных задач Развиваемые в ней подходы представляют интерес и для других важных научных направлений, в частности, для климатологии, биологии, физиологии, медицины Целесообразность выбора места работы определяется тем, что для перехода от фундаментальных представлений в область приложений необходим этап физического и численного эксперимента на моделях и макетах, отражающих специфику процессов в реальных объектах Дальнейшее исследование возможностей рассматриваемых подходов в приложении к реальным системам позволит, кроме непосредственного позитивного выхода, наметить пути совершенствования моделей, методики и технологий работы со сложными сигналами и нелинейными системами. Цель работы состоит:

• в экспериментальной реализации и исследовании сложной динамики систем с запаздывающей обратной связью и систем с дискретным временем,

• в разработке техноло1 ии оценки параметров и реконструкции модельных уравнений с запаздыванием по экспериментальным временным рядам, развитии практики реконструкции уравнений систем с задержкой,

• в разработке новых методов диагностики синхронизации и количественной меры уровня синхронизации в автоколебательных системах Научная новизна:

1. впервые проведены экспериментальные исследования генератора с запаздывающей обратной связью в широком диапазоне соотношений времени задержки ко времени инерции фильтра и показан универсальный характер изменения значений параметра неравновесности, при которых происходят последовательные удвоения периода и переход к хаосу,

2 впервые реализованы и исследованы радиотехнические схемы, моделирующие поведение комплексного аналитического отображения и связанных отображений с пороговой связью,

3 впервые реализован и исследован генератор Ван-дер-Поля с модуляцией параметров и запаздывающей обратной связью, в котором наблюдается странный аттрактор, обладающий свойствами гиперболического,

4 впервые предложена методика обработки временного ряда, основанная на подсчете статистики экстремумов и позволяющая определить время задержки системы, описываемой уравнением с задержкой первого порядка,

5 разработан комплекс методик для оценки по временному ряду параметров системы с задержкой,

6 разработана методика определения параметров связи по временному ряду взаимодействующих систем с задержкой,

7 поставлен эксперимент, демонстрирующий синхронизацию основных ритмов сердечно-сосудистой системы с дыханием при изменении частоты дыхания

Теоретическая и практическая значимость работы Комплекс проведенных экспериментальных исследований радиофизических моделей устанавливает реальное существование ряда нелинейных явлений, обнаруженных на абстрактных моделях Экспериментальное исследование двух связанных отображений, эквивалентных комплексному квадратичному отображению, демонстрирует наличие феноменов комплексной аналитической динамики в физической реальности Разработанная неавтономная система с задержкой, обладающая странным аттрактором с гиперболическими свойствами, дает возможность исследовать гиперболические аттракторы в радиофизическом эксперименте С практической точки зрения, отсутствие в гиперболическом аттракторе устойчивых орбит высоких периодов позволяет считать их перспективными для создания генераторов хаоса Методы реконструкции и оценки параметров систем с запаздыванием, разрабатываемые в диссертационной работе, применимы во многих областях науки - радиофизике, оптике, физиологии, биофизике и др В практическом плане идеи реконструкции систем с задержкой демонстрируют недостаточную скрытность систем передачи информации, основанных на синхронном хаотическом отклике Методы диагностики синхронизации, предложенные в работе, применимы к системам самой различной природы, что обеспечивает их широкую применимость на практике Результаты исследований использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета Совместно с НИИ кардиологии получены свидетельства об официальной регистрации программ, предназначенных для исследования синхронизованно-сти ритмов сердечно-сосудистой системы

Достоверность научных результатов основана на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, на соответствии с результатами, которые в некоторых случаях могут быть получены и другими методами, на сравнении результатов анализа временных рядов и систем, генерирующих временные ряды, а также на воспроизводимости экспериментов

Результаты и положения, выносимые на защиту

1 Разработан и экспериментально исследован комплекс радиотехнических моделей с запаздыванием и дискретным временем, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики

2 Нелинейная система, содержащая генератор Ван-дер-Поля, управляющий параметр которого подвергается медленному изменению с периодом Т, и петлю нелинейной запаздывающей связи, сигнал в которой модулируется с частотой, близкой к частоте автоколебаний генератора Ван-дер-Поля, при значениях времени задержки порядка 3/4Т, может генери-

ровать хаотические колебания, аттрактор которых по структуре близок к гиперболическому

3. Экспериментальная модель дискретной системы в виде двух связанных особым образом логистических отображений демонстрирует конфигурацию бассейнов притяжения в виде множества Мандельброта, характерного для комплексного квадратичного отображения

4 В хаотическом временном ряде систем с запаздыванием первого порядка и систем более высокого порядка при малых по сравнению со временем задержки временах инерционности отсутствуют экстремумы, расстояние между которыми равно времени задержки

5 Итерирование одномерного отображения в обратном времени для оценки параметров методом наименьших квадратов при умеренных уровнях добавленного шума повышает точность определения управляющих параметров по сравнению с итерированием в прямом времени

6 Разработана методика оценки связи, основанная на реконструкции уравнений связанных систем, преимуществом которой является возможность оценки связи при наличии синхронизации

7 Разработан комплекс методик, позволяющих оценить время задержки, время инерционности и порядок фильтра в цепи обратной связи генераторов с запаздыванием, демонстрирующих периодическое поведение

8 Методика, основанная на изменении частоты внешнего воздействия на автоколебательную систему и анализе разности фаз колебаний воздействия и системы позволяет различить ситуации наличия фазовой синхронизации и аддитивного сложения колебаний воздействия и системы

Работа выполнялась в рамках НИР, проводимых по планам ИРЭ РАН, Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации Российской Академии Наук, при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 02-02-17578, 03-02-17593, 05-02-16305, 06-02-16619, 07-02-00747), программы РАН «Фундаментальные науки - медицине», а также Американского фонда гражданских исследований и разработок (CRDF, грант REC-006) Результаты работы использовались при чтении курсов и проведении практических занятий со студентами специализации «Теория колебаний и волн» на кафедре электроники, колебаний и волн и на базовой кафедре динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета

Апробация работы и публикации.

Основные материалы работы представлялись на зимних школах-семинарах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993, 1996), на конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1993, 1996, 1999, 2002, 2005), Международной конференции по нелинейной динамике и хаосу (Саратов, 1996), научной международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (Москва, 1996), 5th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic System (NDES'97, Moskow, 1997), международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС, Саратов, 1998, 2001, 2004, 2007),

International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98, Crans-Montana, Switzerland, 1998), 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98, Budapest, Hungary, 1998), European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis EUROATTRACTOR'2000, Warsaw, 2000), 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-200I Delft, The Netherlands, 2001), международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), 265 WE-Heraeus-Seminar «Synchronization in Physics and Neurosciences», 2001, Bad Honnef, Germany, International conference «Synchronization of chaotic and stochastic oscillations» (Saratov, 2002), «Topical Problems of Nonlinear Wave Physics» (Nizhny Novgorod, Russia, 2003 , 2005), International Conference «European Dynamics Days», (Palma de Mallorca, Spain, 2003, 2004), X Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (Звенигород, 2005), конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Казань, 2005), конференции «Наноэлектроника, нанофотоника, нелинейная физика» (Саратов, 2006, 2007), научной школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2006, 2008), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн, базовой кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии СГУ, лаборатории динамического моделирования и диагностики СФ ИРЭ РАН

Основное содержание работы изложено в 140 публикациях (46 статей в журналах, 94 тезисов докладов и статей в сборниках)

Личный вклад соискателя В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений Соискатель разработал и изготовил экспериментальные радиофизические устройства, использованные в экспериментальных исследованиях, непосредственно участвовал в проведении физиологических экспериментов, составлении программ численной обработки сигналов, осуществлял научное руководство исследованиями Результаты по исследованию генераторов с запаздыванием получены в соавторстве с Кузнецовым С П , результаты по реконструкции систем с задержкой - в соавторстве с Безручко Б П, Прохоровым М Д, Караваевым А С; результаты по разработке методики исследования синхронизации - совместно с Прохоровым М Д , Короновским А А, Храмовым А Е Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, семи глав, списка литературы и заключения Общий объем составляет 400 стр , в том числе 84 стр рисунков Список литературы содержит 323 наименования

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, описана ее новизна и практическая значимость, сформулирована цель исследования Приведены основные положения и результаты, выносимые на защиту, а также сведения о публикациях и апробации работы

В первой главе описаны такие базовые модели нелинейной динамики, системы со сложным поведением, как генератор с ЯС-фильтром и генератор с задержкой в цепи обратной связи, а также оригинальные модели, построенные автором — модель генератора на вакуумном микротриоде и генератор гиперболического хаоса с линией задержки

Исследован неавтономный автогенератор с ЛС-фильтром, построено разбиение плоскости параметров «амплитуда - частота внешнего воздействия» на характерные режимы Определены принципы моделирования автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью, предложена схема и построен автогенератор с цифровой линией задержки Проведено экспериментальное исследование автогенератора с задержкой в зависимости от управляющих параметров - времени задержки и параметров фильтра

Предложена схема автогенератора на вакуумном микротриоде Проведено численное моделирование уравнения автогенератора и экспериментальное исследование модели на операционных усилителях Показано, что неавтономная модель автогенератора на вакуумном микротриоде может демонстрировать не только периодическое, но и хаотическое поведение Приведены результаты экспериментального исследования плоскости параметров «амплитуда-частота внешнего воздействия»

Разработана принципиальная схема и проведены исследования неавтономной нелинейной системы с запаздыванием, которая является примером бесконечномерной системы, с гиперболическим странным аттрактором (рис 1) Система построена на базе осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью Модель описывается уравнением

3 3

х-(А соз(2я7/Г) -х2)х + со!х = £х(/—Т)х(1 — Г)соз го0/, (1)

4 4

где х — динамическая переменная, е - параметр дополнительной обратной связи, А - амплитуда дополнительного воздействия, Г - период медленных колебаний внешнего воздействия, аь - частота автоколебаний генератора Ван-Дер-Поля.

Параметр, ответственный за возбуждение автоколебаний, медленно изменяется во времени, совершая колебания периода Т, причем на одном полупериоде этого процесса осциллятор находится в режиме генерации колебаний, а на втором под порогом генерации Возбуждение осциллятора при наступлении очередной стадии генерации обеспечивается приходом сигнала по цепи запаздывающей обратной связи В этой цепи сигнал подвергается квадратичному преобразованию на нелинейном элементе и дифференцированию посредством стандартной дифференцирующей цепочки Далее, сигнал проходит через линию задержки, которая вносит запаздывание на время Т0=ЗТ/4 После прохождения через нелинейный квадратичный элемент и смешения со вспомогательным сигналом частоты ш0, он воздействует на осциллятор

Предполагается, чтоТ =1тсКЧсоа, где N - целое число Благодаря выбору 7о=37'/4, сигнал, испущенный в момент достижения максимальной величины параметра возбуждения, поступит в осциллятор как раз к началу оче-

редной стадии активности, обеспечивая затравку для начала генерации. Продемонстрировано присутствие хаоса и то обстоятельство, что отображение для фазы сигнала на периоде Т принадлежит к тому же топологическому классу, что и отображение Бернулли.

1-I ■-< X задержки --г

11 хих)—1-^

(а)

-7-71 ШШВШШВШШ^тЛ

2 <р 4 6 *'/

(б) (В)

Рис. 1. Схема экспериментального устройства на базе неавтономного осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью (а), итерационная диаграмма для фаз, полученная в эксперименте (б) и стробоскопическое сечение фазового портрета атграктора в проекции на плоскость переменных (и,0) (в).

Результаты экспериментов демонстрируют ожидаемый вид отображения для фазовой переменной (рис.16) и портрет странного аттрактора в стробоскопическом сечении (рис.1 в),

Во второй главе разработан принцип построения экспериментальных схем, математическими моделями которых являются дискретные отображения с хаотическим поведением. Предложены и реализованы радиотехнические схемы, отражающие поведение логистического отображения, комплексного аналитического отображения, а также системы отображений с пороговой связью. Приведены также результаты их экспериментальных исследований.

Исследование дискретных отображений проводится методами численного моделирования и экспериментального исследования радиотехнических

моделей, динамика которых описывается теми же дискретными отображениями. Экспериментальный способ изучения дискретных систем имеет ряд преимуществ. Именно при проведении натурного эксперимента появляется возможность исследования систем в реальном времени, что иногда позволяет существенно сократить трудоемкость проводимых исследований. Так, натурный эксперимент оказывает неоценимую услугу при исследовании систем с большим числом мультистабильных состояний. Кроме того, в экспериментальной системе существенными являются внутренние и внешние шумы и неидентичность отдельных подсистем, что приводит к «отсеиванию» режимов, неустойчивых по отношению к подобным возмущениям. Более того, совпадение результатов натурного и численного экспериментов позволяют с большей степенью доверия относиться к полученным результатам.

Радиотехническая схема, математической моделью которой является логистическое отображение, демонстрирует в эксперименте наличие последовательности бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу, а также наличие окон периодичности в закритической области.

а) б)

Рис. 2. Конфигурации множеств, возникающих на плоскости параметров нелинейности (¿Л, Щ при значениях параметра связи е=0.1 (а) и е=0.5 (б ). Штриховкой обозначена область со сложной динамикой, цифрами - периодические колебания соответствующего периода.

Для комплексного квадратичного отображения, являющегося обобщением на комплексный случай обычного квадратичного отображения, показано, что при помощи замены переменных его можно свести к двум квадратичным отображениям, связанным специфическим образом. Разработана радиотехническая схема, математической моделью которой является комплексное квадратичное отображение. В зависимости от величины параметра связи разбиение плоскости управляющих параметров на области характерных режимов (карта режимов) может принимать вид топологически различающихся

структур На рис 2 представлены варианты экспериментально полученных разбиений плоскости параметров при значениях параметра связи г^О 1 (ромбовидная форма) и е=0 5 (структура, подобная множеству Мандельброта)

Показано, что экспериментально полученные карты динамических режимов на плоскости параметров качественно совпадает с видом карт динамических режимов, полученных в численном эксперименте Наиболее интересна структура, сходная с множеством Мандельброта Она представлена на рис 26 Серым закрашены области, в которых радиотехническая схема демонстрирует динамику, характерную для конечных решений в численном эксперименте Белым цветом обозначены области, в которых наблюдается переходной процесс, приводящий к значениям напряжений, являющихся предельными для проводимого эксперимента (аналогично «убеганию на бесконечность» в численном эксперименте). Были получены изображения большой кардиоиды множества Мандельброта и лепестков с периодами 2, 3, 4, 5, 8, 9 При движении по диагонали можно наблюдать последовательность бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу Возможны и другие последовательности бифуркаций - утроения, учетверения, и т д периода Лепестки более высоких периодов и тонкую фрактальную структуру множества Мандельброта не удается наблюдать из-за погрешностей эксперимента

Исследованы два связанных логистических отображения с новым типом связи - пороговой связью

х,„1 = *„ (а - х„ ± * Б^(у„ - у,)),

Уг<\=УЛа~Уп±!1 я§п(*л - ))

Показано, что поведение новой системы существенным образом отличается от поведения логистических отображений с традиционными типами связей Построены карты режимов и приведены фазовые портреты, полученные в численном и физическом эксперименте

Экспериментально реализована схема двухуровневого управления хаосом в колебательном контуре с полупроводниковым диодом В этом случае управляющий параметр может принимать только два возможных значения в отличие от традиционного способа управления хаосом в схеме, предложенной Оттом, Гребоджи и Йорком Показана принципиальная возможность стабилизации периодической орбиты периода 2 Дискретная схема управления хорошо работает для экспериментальных систем Ее преимуществами по отношению к методам с непрерывным изменением управляющего параметра является предельная простота сравнения опорного и реального сигналов и простота конструкции усилителя возбуждения

В третьей главе разрабатываются методики реконструкции и оценки параметров модельных уравнений по экспериментальным временным рядам История вопроса (см ссылку 7 и литературу в ней) говорит о том, использование при реконструкции модельных уравнений по временным рядам универсальных методик, не учитывающих особенностей объекта, как правило, не приводит к успеху На хороший результат обычно можно рассчитывать лишь

при использовании специальных технологий реконструкции для достаточно узких классов объектов и конкретных ситуаций Целесообразный объем затрат на разработку таких технологий определяется фундаментальной и практической значимостью моделируемых объектов и ситуаций Это оправдано тем, что системы с задержкой представлены очень широко как в живой, так и в неживой природе Несколько технических приложений разработанного подхода представлены и в этой главе, и в главах 5,6 диссертации В качестве еще одного примера плодотворности специального подхода в данной главе представлен оригинальный метод оценки параметров одномерных отображений

Системы с задержкой обычно моделируются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом Такие модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии и химии В более или менее общем случае эти системы описываются бесконечномерным уравнением с запаздывающим аргументом:

+ +*,*(/) = /(*(/),*(/-г,),*(/-г2) х{1-тт)), (3)

где — состояние системы в момент времени /, *(/) - первая производная по времени, — производные по времени порядка к, /— нелинейная функция, г, -тт — время запаздывания, £[-£„ — параметры, характеризующие инерционность системы

В простейшем случае уравнения первого порядка с одним временем задержки (3) является математической моделью колебательной системы, представляемой кольцом из трех идеализированных элементов нелинейного, задержки и инерционного (см рис За) Уравнение первого порядка имеет следующий вид

е0х(() = -х(1) +/(*(<-То)) (4)

В радиофизическом варианте генератор с запаздывающей обратной связью представляет собой систему, состоящую из замкнутых в кольцо нелинейного усилителя с передаточной нелинейной функцией /, линии задержки на время «о, и фильтра низких частот, определяюще1 о величину параметра гь Для этого уравнения предложена технология оценки ги,/ и £о по временному ряду

Узловым моментом предложенной методики стало обнаружение и осознание типичности того, что во временной реализации системы (4) с задержкой г0 при е> 0 практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на г0 Таким образом, на графике т), представляющем собой зависимость числа N расстояний между экстремумами временного ряда, разделенных временем г, при г=т0 наблюдается минимум, соответствующий истинному времени задержки в системе Характерная конфигурация на графике //(г) в окрестности г= г0, представленная на рис 36, дублируется при больших г, в окрестностях т= 2 г0,3 г0, Положение максимума зависимости Д^ т) определяется величиной параметра инерционности

нелинейный / фильтр

усилитель

(а) (б)

Рис 3 Радиофизическая модель системы с запаздыванием (а) Число N пар экстремумов в реализации уравнения (4) при £о> 0, удаленных друг от друга на время г, в зависимости от величины т имеет четкий минимум при времени, соответствующем времени запаздывания системы Положение максимума определяется величиной параметра ео (б)

Опираясь на описанную особенность, удалось разработать процедуру оценки параметра инерционности бь, заключающуюся в следующем Перепишем уравнение (4) в следующем виде

e0x(0 + x(0 = /(x(t-T0)) (5)

Таким образом, точки временного ряда на плоскости (х(( - r0),£0x(t) + x(t)) при правильном выборе параметра инерционности ел ложатся на нелинейную функцию f Поскольку заранее величина s0 неизвестна, предложено строить зависимости s0x(t) + x(/) от х(/ - т0) для различных значений в, добиваясь наиболее компактного, близкого к однозначному, расположения точек на плоскости (x(t - r0),e0x(t) + x(t)) При отсутствии шумов такая ситуация возможна лишь при е=е0 В качестве количественного критерия однозначности при таком поиске s0 по аналогии с другими работами [Bunner М J , Popp М ] использовалась минимальная длина линии L(s), соединяющей точки на плоскости (x(t - r0),£0x(l) + x(t)), упорядоченные по величине координаты х(1-т0) Минимум зависимости L(s) будет наблюдаться при £=£0. а построенное при этом значении множество точек на плоскости - Tü),sax(t) + х(/)) воспроизведет нелинейную функцию, которую при необходимости можно аппроксимировать полиномом

Возможности метода продемонстрированы на примерах систем Икеды, Маккея-Гласса, в радиотехническом эксперименте на примере генератора с запаздывающей обратной связью Качественно вид зависимости N(t) сохраняется даже при наличии умеренного шума

Проведена реконструкция уравнения кольцевой системы с запаздыванием по различным динамическим переменным Показано, что если наблюдаемая переменная снимается со входа фильтра (см рис 3), то для оценки времени задержки можно использовать ту же самую процедуру нахождения минимума зависимости N(t), а для оценки остальных параметров системы необходимо отфильтровать наблюдаемую переменную, подбирая параметры

фильтра таким образом, чтобы зависимость /(д:(г-т0)) от и(/-г0) (где и(/-г0) — сигнал на выходе фильтра, сдвинутый на время г0) получилась наиболее близкой к однозначной

Установлено, что для систем с запаздыванием более высокого порядка вид зависимости Щт) также сохраняется, но при достаточно малых значениях параметра инерционности по сравнению с временем задержки Для систем с запаздыванием, имеющих два и более времен задержки показано, что в зависимости И{т) имеются локальные минимумы, соответствующие временам задержки в системе

Описание возможностей предложенной методики реконструкции систем с запаздыванием завершается примером оценки параметров для более сложной системы двух уравнений, описывающих динамику одномодового полупроводникового лазера (уравнение Ланга-Кобаяши)

Разработан новый метод оценки параметров одномерного отображения

вида

*л.1=Ж>а), (6)

где х — переменная, п - дискретное время, а - вектор параметров Метод основан на использовании обратных итераций модельного отображения при оценке целевой функции Единственная ляпуновская экспонента одномерного отображения в этом случае становится отрицательной и таким образом, чувствительность орбит отображения в обратном времени к начальным условиям исчезает, и можно ожидать меньшего числа локальных минимумов целевой функции, что облегчает оценку параметра Показано, что оценка параметров одномерного отображения в обратном времени во многих случаях является более точной и быстрой, чем разновидности оценки параметра в прямом времени

В четвертой главе предложены методы определения коэффициентов связи двух генераторов при априорном знании структуры уравнений систем, а также способ восстановления уравнений систем с задержкой под внешним воздействием и связанных систем с задержкой Проведено глобальное моделирование связанных систем как при наличии подробной информации о механизме функционирования каждой из них, так и при наличии лишь информации о том, что система может быть описана уравнением с задержкой Такой подход не претендует на выявление очень слабой связи (в отличие от анализа динамики фаз), но позволяет определить не только направление, но и характер связи, причем он работоспособен и при анализе режима синхронизации

Разработана экспериментальная установка для исследования системы двух автогенераторов с хаотическим поведением, связанных двунаправленной, однонаправленной и нулевой связью Автогенераторы построены по одинаковой схеме и содержат /?С-фильтр низких частот первого порядка (элемент 1 на рис 4), ЛАС-фильтр - колебательный контур (2) - и нелинейный элемент (3), замкнутые в кольцо Для осуществления взаимодействия в

схемы генераторов введены суммирующие усилители I Усилители с регулируемыми коэффициентами усиления а к а' служат для регулировки «силы» взаимодействия

Исследуемая система описывается следующей системой уравнений

С, их = (Uml - С/, - aU'0Ul)lRt, CfJ[ = ((/;„, - U[ - a'U0M)fR[,

с2и,„ = 12, с; [/;„ = /;, (?)

1*1=4 -Um-Wl, L4\ -R'li'l,

Эта структура уравнений служит опорой при эмпирическом моделировании Показано, что величина связи, а также ее направление могут быть определены из анализа коэффициентов моделей, полученных в результате проведения их оценки по временному ряду

Рис 4 Блок-схема экспериментальной установки Л1=1кОм, С1=С2=0 022 мкФ, Л2=60 Ом, ¿=6 м1 н В = 0 2 В 1 Параметры генератора 2 - такие же (с точностью 10 %) А и А - па-раме гры нелинейности генератора 1 и генератора 2, соответственно Т. - суммирующие усилители, а и а' - коэффициенты связи

В численном и физическом эксперименте исследованы системы с задержкой под внешним воздействием Показано, что для системы с задержкой А'под произвольным воздействием со стороны произвольной системы У существует возможность реконструкции уравнения с задержкой Рассмотрены различные случаи в воздействия системы У на систему X (см рис 5) В этих различных случаях динамика системы дописывается одним из уравнений

I е0х(0 = -х(!) + /(х(1-т0) + куу(1-та)), (8)

II £0х(О = -*(О + /{х(1-та) + куу(1)), (9)

III- £0х(1) = -х(1) + /{х((-т0)) + куу{1), (10)

где у(1) — состояние системы У в момент времени /, а ку — коэффициент связи, характеризующий величину воздействия К на X

Ill

1 * То * f 1 е0

х(Г) x(t-T о) /М'-То))

Рис 5 Блок-схема системы X с запаздывающей обратной связью Элементы, обозначенные го, /, и Еч обеспечивают, соответственно задержку, нелинейное и инерционное преобразования колебаний в системе Римскими цифрами I-III отмечены точки, в которых внешнее воздействие системы У может подаваться на систему X

Предложен метод, позволяющий по временным реализациям колебаний в системах X и У восстановить систему с запаздыванием X, определить точку подключения (различить ситуации, описываемые уравнениями (8)-(10)) и величину связи. Показано, что для оценки по наблюдаемой реализации х(/) времени задержки ц можно воспользоваться методом, предложенным в главе 3 Этот метод определения времени задержки применим в том случае, если на систему X действует система У, при условии, что внешнее воздействие не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы X

Для определения параметра е0 и функции /системы X, а также коэффициента связи ку, предложен метод, использующий временные реализации обеих наблюдаемых переменных x(t) и y{t) Суть метода состоит в следующем Предположим сначала, что нам известен способ воздействия У на X, то есть, известна структура уравнения, описывающего динамику системы с запаздыванием под внешним воздействием, и эта структура соответствует случаю I, описываемому уравнением (8) При этом переменная системы У вводится в кольцо обратной связи системы X после инерционного элемента Из уравнения (8) следует, что если построить на плоскости множество точек с координатами (x(t-T0) + kyy(t-T0),e0x(t) + x(t)}, то оно воспроизведет

функцию / Поскольку заранее величины £о и ку неизвестны, будем строить зависимости sx(t) + x(t) от x(t-т0) + ку(1 - г0) для различных значений ей к, добиваясь однозначной зависимости на плоскости

(х(/ - г0) + ky(t - T0),sx(t) + x(t)), которая возможна лишь при е= е0, к=ку В качестве количественного критерия однозначности при таком поиске £о и ку использовалась минимальная длина линии L(s,k), соединяющей точки на этой плоскости, упорядоченные по величине абсциссы Минимум L{e,k) наблюдается при е= е0, к=ку, а построенная при этих значениях зависимость ejc(i) +Jc(i) от - г0) + ky{t - г0) воспроизводит нелинейную функцию, которую при необходимости можно аппроксимировать полиномом Предложенный подход использует все точки временных рядов, что позволяет по коротким реализациям восстанавливать параметры и нелинейную функцию

Аналогичным образом можно восстановить нелинейную функцию / и параметры ео и ку систем, описываемых уравнениями (9) и (10), строя соот-

ветственно зависимости sx(t) + x(t) от x(t - г0) + ky(t) и ex{t) + x(t) - ky(t) от x(t - г0) для различных значений e и к Если априорно неизвестно, в какой именно точке, I, II или III, осуществляется воздействие Y на X, нужно провести реконструкцию каждого из трех модельных уравнений (8)—(10) В этом случае на единственно правильную из трех возможных структур модельного уравнения укажет однозначность восстановленной нелинейной функции и, следовательно, наиболее низкое из трех полученных значений Lmm(e,k) Таким образом, метод позволяет не только восстановить по временным рядам параметры системы с запаздыванием под внешним воздействием, но и определить вид модельного уравнения.

Работоспособность метода продемонстрирована для случаев, когда система с запаздыванием X описывается уравнением Маккея-Гласса, а внешнее воздействие системы У является гармоническим или хаотическим

По сравнению с другими методами определения связи между системами по временным рядам [Пиковский А С , Розенблюм M Г ], предложенная процедура имеет ряд преимуществ В отличие от индексов направленности, она применима к синхронизованным системам и позволяет определять величину связи, а не только ее направление, даже в случае связи принципиально различных систем Для оценки устойчивости работы метода по отношению к возмущениям, он был применен к зашумленным данным Метод оказывается более критичным к шуму в системе с запаздыванием Он еще остается работоспособным при уровнях шума в системе X порядка 10% Уровень шума в системе Y, может быть при этом в несколько раз выше

Проведены подробные исследования систем с запаздыванием, связанных различными способами

В случае, когда способы воздействия системы Х\ па Х2 и воздействия Х2 на Х\ совпадают, динамика связанных систем описывается одним из следующих уравнений

где — коэффициенты связи, характеризующие величину воздействия А', наХ2мХ2 наЛГ|, соответственно

Показано, что и в этом случае при оценке времени задержки методика, описанная для одиночной системы с задержкой, может быть успешно применена Условие применимости состоит в том, что воздействие со стороны второй системы не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы Х1 Такой метод определения времени запаздывания также обладает высоким быстродействием, поскольку использует только операции сравнения и сложения, не требуя вычисления каких-либо мер сложности движения или ошибки аппроксимации данных

Для определения параметра £\ и функции/i системы Х\, а также коэффициента связи к2, предложен метод, использующий временные реализации обеих наблюдаемых переменных x¡(t) и х2(/) Суть метода заключается в следующем Предположим сначала, что нам известен способ воздействия Хг на Хх, то есть, известна структура уравнения, описывающего динамику системы с запаздыванием Х\ В качестве примера рассмотрим случай, описываемый уравнением (11), при котором переменная системы Хг вводится в кольцо обратной связи системы X¡ перед элементом, обеспечивающим задержку Запишем уравнение (11) для системы Х^ в виде

*,*,(/) + X[(t) = / (х,(/ - т,) + k2x2(t - г,)) (14)

Из уравнения (11) следует, что если построить на плоскости множество точек с координатами (х,(/-г,)+ k2x2(í-Tí),slxi(t) + xx(t)), то оно воспроизведет функцию f\ Поскольку заранее величины £\ и к2 неизвестны, будем строить зависимости ext(t) + x¡(t) от xi(l-t¡) +kx2(t ~t¡) для различных значений £ и к, добиваясь однозначной зависимости на плоскости (jc1(/-T1) + fcc2(/-r,),«1(0 + -*i(0)> которая возможна лишь при s=s\, к=к2 В качестве количественного критерия однозначности при таком поиске Е\ и к2 будем использовать минимальную длину линии L(e,k), соединяющей точки на этой плоскости, упорядоченные по величине абсциссы Минимум Lmn(e,k) будет наблюдаться при £-£\, к=к2, а построенная при этих значениях зависимость £,*,(') + *,(/) от x¡(t - rt) + k2x2(t - t¡) воспроизведет нелинейную функцию, которую при необходимости можно аппроксимировать

Аналогичным образом можно восстановить нелинейную функцию f¡ и параметры е\ и к2 системы X¡, описываемой уравнением (12) или (13), строя соответственно зависимости £jc,(í) + jc,(i) от xt{t - г,) + к2х2(!) и £-jc,(/) + x¡(t)-k2x2(í) от jc,{/ — г,) для различных значений ги к Если априорно не известно, в какой именно точке, I, II или III, осуществляется воздействие Хг на Х[, нужно провести реконструкцию каждого из трех модельных уравнений (11)—(13) системы X¡ и определить для каждого из трех случаев ¿шш(^Д) Однозначность восстановленной нелинейной функции может наблюдаться только при правильном выборе модельного уравнения, вид которого определяет пространство вложения, в которое траектория движения системы с запаздыванием проецируется из ее бесконечномерного фазового пространства Следовательно, правильному выбору модели будет соот ветст-вовать наиболее низкое из трех полученных значений ¿m,n(£, к) Таким образом, метод позволяет не только восстановить по временным рядам параметры связанных системы с запаздыванием, но и определить вид модельног о уравнения

Восстановление системы с запаздыванием Х2 по временным рядам переменных х2(0 и x,(t) проводится аналогично описанному выше способу восстановления системы X, Метод позволяет восстановить параметры т2, е2 и нелинейную функцию/2 системы Х2, а также определить коэффициент связи

к\ и способ воздействия Х\ на Хг Установив вид связи между системами, и зная значения обоих коэффициентов связи к\ и кг, можно судить о характере взаимодействия между системами с запаздыванием Х} и Хг

Генераторы с запаздыванием хорошо подходят для построения схем связи с нелинейным подмешиванием сигнала Основная идея состоит в следующем В передатчике, представляющем собой генератор с запаздывающей обратной связью, добавляется информационный сигнал В приемнике, представляющем собой копию передатчика, информационный сигнал выделяется из общего сигнала несущей [Волковский А Р, Рульков Н С ]

Показано, что, несмотря на возможную высокую размерность аттрактора несущей, выделение информационного сигнала сторонним наблюдателем возможно в случае, если известно, что передатчик описывается уравнением с запаздыванием 1-го порядка

Основная идея состоит в том, что по временному ряду можно оценить параметры передатчика и построить приемную схему (или соответствующий алгоритм обработки), с помощью которой можно выделить информационный сигнал Выделение информационного сигнала проводилось в численном эксперименте на примере синусоидального и частотно модулированного сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса

050

200 300 / [пк]

0-,

-20-

-40-

-ЛП-

£ -

£ -80-

-100-

-120-

(б)

10

20 30 40

Г№

50 60

20 30 40

Рис 6 Гармонический сигнал на входе передатчика при Л = 0 25 В, /с = 27 Гц (а) и его спектр мощности (Ь) Сигнал в канале связи при ть = 54 7 мс, ДС=«•(,=4 215 мс (с) и его спектр мощности (с!)

В физическом эксперименте в качестве передатчика использована кольцевая система с задержкой, описываемая уравнением 1-го порядка (4) На рис 6 приведены временные ряды и спектры синусоидального сигнала, подмешиваемого в передатчике и сигнала на выходе передатчика Уровень несущей передатчика значительно превышает уровень информационного сигнала, что обеспечивает скрытность передачи информации по отношению к стандартным способам приема Тем не менее, этот сигнал можно выделить в приемнике с использованием методики, разработанной для систем с задержкой

На рис 7 представлены результаты выделения гармонического сигнала в случае, когда параметры передатчика неизвестны

0 50

-10-

-20-

-

/—\

р -40-

-50-

-60-

(б)

200 300 ¿[пв]

—I—I—I—I—I—г 10

20 30 40 50

/т

60

Рис 7 Выделенный гармонический сигнал (а) и его спектр мощности (Ь)

В пятой главе разрабатываются методы оценки параметров систем с задержкой по периодическому временному ряду Дело в том, что в хаотическом режиме движение более разнообразно и в типичном случае охватывает более широкую область фазового пространства, чем в периодическом режиме В определенном смысле это дает возможность более точно проанализировать систему и адекватно ее реконструировать. Движение на периодическом аттракторе более однообразно, и не позволяет проследить поведение системы в различных ситуациях Так, если движение периодическое, экстремумы расположены регулярным образом При этом классическая для хаотического режима картина, представленная на рис 36, вырождается в набор пиков, у которого отсутствует ярко выраженный минимум Следовательно, методика, предложенная в главе 3, не дает возможности оценить время задержки в системе

Задача оценки времени задержки автоколебательной системы по периодическому временному ряду часто возникает в реальных задачах Например, близки к периодическим колебания артериального давления в сердечнососудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей, и колебания многих других физиологических систем В данной главе предлагается ряд методов определения параметров систем с запаздыванием, совершающих периодические колебания

- метод подбора параметров,

- метод анализа отклика на слабое воздействие,

- метод определения параметров систем с запаздыванием по переходным процессам

Методы были апробированы в численном эксперименте на уравнении генератора с запаздывающей обратной связью вида (5) с различными видами нелинейности

Описанная методика была апробирована на исследовании системы медленной регуляции кровяного давления, которая демонстрирует колебания, близкие к периодическим Математическая модель этой системы была предложена ранее [Ringwood J V , Malpas S С ] Она представляет собой систему с задержкой, описываемую дифференциальным уравнением первого порядка вида (4), в котором динамическая переменная характеризует среднее артериальное давление Задержка обусловлена распространением сигнала в петле обратной связи, артериальные барорецепторы вносят инерционность, а нелинейная функция определяется соотношением вида .. .__с__с

ПХ)~1 + аехр4<™*> ~ 1 + aexp"i(x+'')' 05)

где параметры а, Ь, с, и х* определяют вид нелинейной характеристики Такой вид функции получен в результате аппроксимации зависимостей уровня симпатической нервной активности от изменения среднего артериального давления в более ранних исследованиях [Sato Т, Kawada Т ]

Развиваются модельные представления о системе регуляции артериального давления с частотой около 0 1 Гц Предложена усовершенствованная модель системы регуляции артериального давления в виде неавтономной автоколебательной системы с задержкой 1-го порядка, учитывающая влияние дыхательной активности

Проведена реконструкция модели медленной регуляции артериального давления по временному ряду Приводятся результаты оценки параметров

В шестой главе проводится анализ синхронизации систем по временным рядам Разработан анализ синхронизации системы внешним воздействием с изменяющейся частотой Такое исследование является частным случаем общей постановки задачи об исследовании синхронизации между системами по временным рядам Его можно провести далеко не всегда, но в случае, когда это удается, результаты могут дать более точное представление о системе, в отличие от традиционного способа изучения синхронизации В частности, в некоторых случаях такой эксперимент дает возможность при наблюдении сложного сигнала от двух систем отличить случай активного взаимодействия систем от случая просачивания сигнала одной системы в другую

Обработка данных производится методами вейвлет-анализа Преимущество такой обработки в том, что комплексное вейвлет-преобразование дает информацию о частотном составе колебаний и о фазе для выбранного частотного диапазона Вейвлет-преобразование применяется в качестве инструмента исследования синхронизации двух сигналов, один из которых изменяет частоту по линейному закону в зависимости от времени

Использован новый подход к анализу синхронизации колебаний [Ко-роновский А А , Храмов А Е ], называемый синхронизацией временных масштабов и основанный на введении непрерывного множества фаз, которое определяется с помощью непрерывного вейвлетного преобразования временного рядах(/)

где ^,„(0 - вейвлетная функция, получающаяся из материнского вейвлета

Временной масштаб s определяет ширину вейвлета 'о - времен-

ной сдвиг вейвлетной функции вдоль оси времени (звездочкой обозначено комплексное сопряжение) Следует отметить, что при проведении вейвлетного анализа понятие «временной масштаб», как правило, используется вместо понятия «частота», традиционного для Фурье-преобразования

В качестве материнского вейвлета используется Морлет-вейвлет

ц/0(1) = 4=ехрО®0^)ехр(-772/2) Выбор значения параметра вейвлета

s/7T

0)а = 2я обеспечивает соотношение s=l// между временным масштабом s вейвлетного преобразования и частотой/преобразования Фурье Вейвлетный спектр

0Ча,д=Имв)|ехр[Д((о)] (18)

характеризует поведение системы на каждом временном масштабе s в любой момент времени /0 Модуль величины W характеризует наличие и интенсивность временного масштаба s в момент времени t0 Для визуализации трехмерных вейвлетных поверхностей |W(j,/0)| обычно используюi их проекции на плоскость (s, t0) Интенсивность окраски на пропорциональна абсолютной величине коэффициентов |W(s,f0)|

Исследована модель асимметричного генератора Ван-дер-Поля под внешним периодическим воздействием с изменяющейся частотой

х-ах- х1 )х + alx = К sin(f(/)), (19)

где параметры // = 10 и со0 = 0 24л-, а К и <р- ампли гуда и фаза внешнего воздействия, соответственно Фаза <p(t) = 2n[(a + bllT)t\ определяет линейное изменение частоты внешнего воздействия от времени

а, = 2ж(0 03 + (0 2 - 0 03)/ / Т) (20)

где t - текущее время, У'= 1800 - время расчета

Для сравнения синхронизации колебаний со случаем «просачивания» сигнала, проводился анализ суммарного сигнала вида

xz(t) = x(t) + Rsm(<p0)), (21)

где х(1) - сигнал автономного генератора Ван-дер-Поля, а Лвш^/)) - внешнее воздействие с изменяющейся частотой

Анализировались временные ряды самого генератора и внешнего воздействия Показано, что отличие между случаем синхронизации сигнала генератора, богатым гармониками основной частоты, внешним сигналом, и случаем простого просачивания сигнала можно отслеживать по вейвлетному спектру мощности, сравнивая динамику масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам В случае эффекта «просачивания» какие-либо изменения динамики масштаба, частота которого близка к частоте внешнего сигнала, не приводят к изменению динамики других характерных масштабов В случае синхронизации характерный излом в вейвлетном спектре наблюдается на всех характерных масштабах

Кроме того, в данной главе предложен метод, основанный на непрерывном вейвлетном преобразовании, который позволяет диагностировать наличие синхронизации колебаний генератора внешним воздействием с изменяющейся частотой по одноканальным данным (скалярным временным рядам) Показано, что внутри областей синхронизации при линейном изменении частоты воздействия разность фаз, вычисленных в моменты времени, разделенные временем г, изменяется по закону, близкому к линейному в зависимости от Г и т При фиксированном г разность фаз ведет себя как

Эффективность методов демонстрируется на примере асимметричного генератора Ван-дер-Поля в численном эксперименте, и для генератора с запаздыванием в радиотехническом эксперименте

Уравнение радиотехнического генератора с запаздыванием под внешним воздействием записывается следующим образом

яси = -Щ0 + /да - г)) + /)51п(/„,(00, (22)

где х(1) - динамическая переменная, представляющая собой временную зависимость напряжения на выходе исследуемого генератора, ЛОО 46 мс характеризует инерционные свойства генератора, нелинейная функция, 7=1.5 мс — время задержки, А - амплитуда внешнего сигнала Параметры исследуемого генератора выбраны такими, что в нем реализуется периодический режим (период колебаний Т= 3 7 мс примерно равен двум временам задержки г) Было проведено четыре эксперимента при различных амплитудах воздействия Переменная частота /„, внешнего воздействия определяется по следующей формуле'

/„</) = и Ю';-(,)'2, (23)

где частота измеряется в Гц, у=220 Гц, управляющее напряжение 11„{() изменяется линейно в пределах и„ от 0 до 1 6 В в течении 800 мс Из формулы (23) следует, что частота внешнего воздействия меняется в пределах от 220 до ЮООНг по степенному закону

На рис 8 представлен вейвлетньш спектр мощности сигнала автогенератора с запаздыванием под внешним воздействием с изменяющейся частотой Видно, что в этом случае наблюдается классическая картина захвата

частоты генератора внешним сигналом, что выражается в появлении изломов вблизи моментов времени и ^ (отмечены на рисунке стрелками), когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике. Данный излом отражает эффект затягивания частоты генератора внешним сигналом и затем, при большой расстройке возвращение частоты колебаний генератора (а также ее гармоник) к собственной автономной частоте. При этом в области захвата частоты наблюдается рост амплитуды соответствующих коэффициентов вейвлетного спектра, которое хорошо согласуется с известным эффектом увеличения амплитуды колебаний в клюве синхронизации. На рис.9 показаны рассчитанные разности фаз А(/>„(?) с использованием временного сдвига г=0.66 те для различных амплитуд внешнего воздействия А. Хорошо видно, что на зависимостях разностей фаз от времени наблюдаются ярко выраженные области монотонного изменения разности фаз (отмечены стрелками на рис.9), которые соответствуют близости частоты внешнего воздействия частоте автономных колебаний и ее гармоникам, т.е. различным режимам синхронизации автоколебаний генератора с запаздывающей обратной связью.

--: Рис.8. Вейвлетный спектр

мощности /0)| сигнала,

порождаемого генератором с задержкой, синхронизируе-

0.01

0.008

0.006

0.004

мым внешней силои с изменяющейся частотой.

0.002 -

0.2

0.4

0.6

—г -0.8

Из рис.9 хорошо видно, что с ростом амплитуды внешнего воздействия область монотонного изменения разности фаз расширяется, что соответствует расширению области синхронизации генератора с увеличением интенсивности воздействия. Отметим также, что несмотря на то, что закон изменения частоты далек от линейного, при малых амплитудах внешнего воздействия разность фаз А<р0(1) изменяется практически линейно с течением времени в области клюва синхронизации. При большой амплитуде внешнего воздействия А—2У, когда ширина клюва синхронизации становится достаточно большой, характер изменения разности фаз в области клюва синхронизации начинает отклоняться от линейного. Вместе с тем изменение разности фаз А^оСО остается монотонным, что позволяет легко диагностировать режим синхронизации и определить границы клюва синхронизации.

Рис. 9. Динамика разности фаз Л(»0(() на временном масштабе ¿о, соответствующем первой гармонике частоты /о=270 Нг автономных колебаний генератора с запаздывающей обратной связью. Различные зависимости соответствуют различной амплитуде А внешнего воздействия с переменной частотой: 1- А=0.5 V; 2 - 1 V; 3 -1.5 V; 4 - 2 V. Мгновенные фазы определялись с помощью вейвлетного преобразования с материнским Морле-вейвлетом с сг = 2п. Временной сдвиг был выбран равным г =0.66 те

В седьмой главе проведены исследования синхронизации между тремя различными ритмами сердечно-сосудистой системы. К этим ритмам относятся: основной сердечный ритм, ритм дыхания и ритм медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Проводился анализ экспериментальных временных рядов электрокардиограмм, пульсограмм и записей дыхания. Исследована синхронизация трех ритмов при различных режимах дыхания: произвольном, с постоянной частотой и с переменной частотой для различных групп испытуемых. Продемонстрировано наличие у здоровых людей областей синхронизации между основным сердечным ритмом и дыханием, а также между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Между этими тремя ритмами наблюдается фазовая синхронизация с различными соотношениями п:т при различных режимах дыхания. В экспериментах с фиксированной частотой дыхания длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиениями и между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц в среднем была больше, чем в экспериментах с произвольным дыханием. Отмечено также, что в ходе одного эксперимента могут наблюдаться различные порядки синхронизации. В эксперименте с изменяющейся частотой дыхания убедительно продемонстрировано наличие синхронизации между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц.

Эволюция фазы во времени определяется различными способами (преобразование Гильберта с последующей фильтрацией, эмпирическая декомпозиция мод, вейвлетное преобразование). Продемонстрирована возможность выделения фаз трех основных ритмов сердечно-сосудистой системы по многоканальным временным рядам (электрокардиограмма и дыхание), а также по одиоканальным временным рядам (один канал электрокардиограммы). Показано, что результаты исследования синхронизации между тремя основ-

ными ритмами сердечно-сосудистой системы, полученные в случаях многоканальных и одноканальных данных, качественно совпадают

Проведено выделение ритма с частотой 0 1 Гц из различных временных рядов - Я-Я интервалов и ряда кровяного давления (пульсограммы) Показано, что для здоровых людей синхронизация между этими ритмами высокая, в то время как для больных ишемической болезнью сердца уровень синхронизации между этими ритмами значительно ниже Для количественной оценки уровня синхронизации введена новая мера, названная суммарным процентом синхронизации Расчеты суммарного процента синхронизации для этих больных в первые 3-5 дней с момента наступления инфаркта миокарда и на третьей неделе лечения показал, что суммарный процент синхронизации, рассчитанный на третьей неделе, увеличивается по сравнению с первой неделей заболевания в среднем примерно в 1 5 раза Показано, чго суммарный процент синхронизации между ритмами с частотой 0 1 Гц, выделенными из Я-Я интервалов и ряда пульсограммы, может быть использован в качестве диагностического признака для контроля эффективности лечения

Для оценки суммарного процента фазовой синхронизации созданы и зарегистрированы два программных продукта, которые используются в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии для диагностики состояния больных, перенесших инфаркт миокарда, а также для разработки новых методов медицинской диагностики. Основные результаты и выводы

1 Впервые предложена радиотехническая модель автогенератора на вакуумном микротриоде В численном и физическом эксперименте исследованы одиночный автогенератор, генератор под внешним гармоническим воздействием и связанные автогенераторы Показано, что в неавтономной системе могут наблюдаться хаотические колебания

2 Разработана принципиальная схема и проведены исследования неавтономной нелинейной системы с запаздыванием, которая является примером бесконечномерной системы, с гиперболическим странным аттрактором Система построена на базе осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью

3 Экспериментально исследованы модели одиночных и связанных дискретных отображений Впервые исследованы в эксперименте отображения с новым, пороговым типом связи

4 Создана и исследована радиотехническая схема, математической моделью которой является комплексное квадратичное отображение Впервые показано, что в экспериментальной системе возможно наблюдение эффектов комплексной аналитической динамики

5 Предложен метод оценки параметров одномерного отображения в хаотическом режиме с добавлением шума, основанный на рассмотрении итераций отображения в обратном времени Показано, что такой метод дает выигрыш в скорости и точности оценки параметров

6 Показано, что в хаотических временных реализациях автоколебательных систем с запаздыванием, описываемых дифференциальными урав-

нением первого порядка, количество расстояний между экстремумами во временном раде в зависимости от расстояния между экстремумами имеет минимум, соответствующий времени задержки. Разработана методика оценки времени задержки по хаотическому временному ряду Установлено, что для систем с запаздыванием более высокого порядка с увеличением отношения времени инерционности фильтра ко времени задержки минимум зависимости смещается в сторону меньших значений

7 Предложена методика оценки взаимодействия связанных кольцевых систем с двунаправленной, однонаправленной или нулевой связью по экспериментальным временным рядам Методика основана на глобальной реконструкции уравнений по экспериментальным временным рядам при наличии подробной информации о механизме функционирования каждой из них (известна структура уравнений, определяющих динамику систем)

8 Предложена методика реконструкции систем с задержкой под внешним воздействием и связанных систем с задержкой. Методика позволяет оценить параметры систем с задержкой и коэффициенты связи

9 Предложен метод диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом, основанный на анализе отклика при изменении частоты внешнего воздействия

10 Показано, что суммарный процент синхронизации между ритмами с частотой 0 1 Гц, выделенными из временных рядов RR-интервалов и пульсограмм пациентов может служить в качестве диагностического признака при контроле эффективности лечения

Список основных публикаций по теме диссертации

1 Безручко Б П , Кузнецов С П , Каменский В Ю , Пономаренко В И. Экспериментальное подтверждение закономерностей универсальности и подобия для модели генератора с запаздывающей обратной связью// Письма в ЖТФ - 1988 -Т 14, вып 11.-С 1014-1019

2 Астахов В В , Безручко Б П , Пономаренко В И Формирование муль-тистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах// Изв вузов, Радиофизика - 1991 - Т34, №1 -С 35-39

3 Астахов В В , Безручко Б П , Пономаренко В И, Селезнев Е П Муль-тистабилыюсть в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью// Радиотехника и электроника - 1991 - Т36, №11. - С 21672170

4 Пономаренко В И , Трубецков Д И Сложная динамика радиотехнической модели-аналога генератора на вакуумном микротриоде// ДАН -1994 -Т337,№5 -С602-604

5 Трубецков Д И , Пономаренко В И , Короновский А А Динамика сис-

тем с квадратичной нелинейностью и пороговой связью// Письма в ЖТФ.-1996 -Т22, №19 - С 60-64

6 Trubetskov DI, Mchedlova Е S , Anfinogentov V G, Ponomarenko VI, Ryskm N M Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave electronic devices//Chaos -1996 - Vol 6, No 3 -P 358-367

7 Короновский A A , Пономаренко В И , Трубецков Д И Колебания в системе двух модельных автогенераторов на вакуумных микротриодах с однонаправленной связью// Письма в ЖТФ - 1997 - Т23, вып 18 -С 55-61

8 Короновский А А, Пономаренко В И, Трубецков Д И Динамика отображений с пороговым типом связи// Прикладная нелинейная динамика - 1997 -Т 5,№2-3 -С 63-71

9 Безручко Б П , Иванов Р Н , Пономаренко В И Двухуровневое управление хаосом в нелинейных осцилляторах// Письма в ЖТФ - 1999 -Т 25, вып 4 - С 61-67

10 Bezruchko В Р, Karavaev A S , Ponomarenko VI, Prokhorov М D Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series// Physical Review E -2001 - Vol 64 -056216

11 Isaeva О В , Kuznetsov S P , Ponomarenko V I Mandelbrot set in coupled logistic maps and m electronic experiment// Physical Review E - 2001 -Vol 64 - 055201(R)

12 Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам// Письма в ЖТФ-2001 -Т27, вып 10 -С 43-51

13 Безручко Б П , Иванов Р Н , Пономаренко В И , Селезнев Е П , Экспериментальное исследование бифуркаций в системах с быстро меняющимся параметром//Письма в ЖТФ -2002 -Т29, вып 11 -С 58-65.

14 Пономаренко В И , Прохоров М Д Выделение информационной компоненты хаотического сигнала системы с запаздыванием// Письма в ЖТФ -2002 -Т28, вып 16 -С 37-44

15 Ponomarenko VI, Prokhorov М D Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system// Phys, Rev E - 2002 - V 66 -026215

16 Bezruchko В , Ponomarenko V, Rosenblum M G , Pikovsky A S Characterizing direction of coupling from experimental observations// Chaos -2003 -V 13, No 1 -P 179-184

17 Prokhorov M D , Ponomarenko V I, Gridnev V I, Bodrov M В , Bespyatov А В Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system//Phys Rev E -2003 -V 68 -041913

18 Ponomarenko VI, Prokhorov M D , Karavaev A S , Seleznev Ye P , Di-kanev T V Recovery of dynamical models of time-delay systems from time

series//Изв ВУЗов Прикладная нелинейная динамика -2003 -Т.11, № 3 - С 56-66

19 Bespyatov А В , Bodrov М В , Gridnev VI, Ponomarenko VI, Prokhorov M D Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system// Nonlin Phen m Compl Syst - 2003 - V 6, No 4 -P 885-893

20 Dikanev T, Smirnov D , Ponomarenko V and Bezruchko В Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities// Изв ВУЗов Прикладная нелинейная динамика -2003 -Т11,№3 -С 165-178

21 Прохоров МД., Пономаренко ВИ, Караваев АС. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам// Письма в ЖТФ - 2004. - Т.30, вып 2 - С 81-88

22 Пономаренко В И , Прохоров М Д Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам// Письма в ЖТФ - 2004 - Т 30, вып 22 - С 23-30

23 Пономаренко В И , Гриднев В И , Прохоров М Д, Беспятов А Б , Бодров М Б, Караваев А С Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием// Биомедицинские технологии и радиоэлектроника -2004 -№8-9 - С 40-51

24 Пономаренко В И , Прохоров М Д Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием//Радиотехника и электроника -2004 -Т49,№9 - С 1098-1104

25 Ponomarenko V I, Prokhorov М D, Bespyatov А В , Bodrov М В , Gridnev V.I Deriving mam rhythms of the human cardiovascular system from the heartbeat time series and detecting their synchronization// Chaos, Solitons and Fractals -2005 - Vol 23 -P 1429-1438

26 Пономаренко В И , Прохоров М Д Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам// Письма в ЖТФ -2005 -Т 31, вып 2 - С 41-48

27 Смирнов Д А , Власкин В С , Пономаренко В И Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам// Письма в ЖТФ - 2005 - Т 31, вып 2 - С 18-26

28 Пономаренко В И , Прохоров М Д Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду// Письма в ЖТФ - 2005 -Т 31, вып 6 - С 73-78

29 Smirnov D А , Vlaskin V S , Ponomarenko V I Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series// Physics Letters A -2005 - V 336 - P 448-458

30 Пономаренко В И , Прохоров М Д , Караваев А С , Безручко Б П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по

хаотическим временным реализациям//ЖЭТФ -2005 -Т127, выпЗ -С 515-527.

31 Prokhorov М D, Ponomarenko VI, Karavaev A S , Bezruchko В Р Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series// Physica D -

2005 -V 203, No 3-4 -P 209-223

32. Prokhorov M D , Ponomarenko V I. Estimation of coupling between time-delay systems from time series// Phys Rev. E. - 2005. - V. 72 - 016210

33. Пономаренко В И, Прохоров М Д , Корюкин И В Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам//Письма в ЖТФ -2005 -Т31,вып21 -С 79-86

34 Прохоров М Д , Бодров М Б , Пономаренко В И , Гриднев В И , Беспя-тов А Б Исследование синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека по последовательностям R-R-интервалов//Биофизика -2005 -Т50,вып 5.-С 914-919

35 Hramov А Е, Koronovskn А А, Ponomarenko V I., Prokhorov М D Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency// Phys Rev E - 2006 - Vol 73 - 026208

36 Короновский A A , Пономаренко В И , Прохоров М Д, Храмов А Е Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейв-летного анализа// Письма в ЖТФ - 2006 - Т 32, вып 11 - С 81-88

37 Пономаренко В И , Прохоров М Д Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием// Письма в ЖТФ -

2006 -Т32,вып 17 -С73-80

38 Караваев А С , Пономаренко В И , Прохоров М Д , Гриднев В И , Киселев А Р , Безручко Б П , Посненкова О М, Струнина А Н , Шварц В А Методика реконструкции модели системы симпатической барорефлек-торной регуляции артериального давления по экспериментальным временным рядам - Технологии живых систем - 2007 - Т 4, №4 - С 3441

39 Короновский А А, Пономаренко В И, Прохоров МД, Храмов АЕ Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа// Радиотехника и электроника. - 2007. - Т.52, № 5 - С. 581-592.

40 Киселев А Р , Беспятов А Б , Колижирина О М, Гриднев В И , Пономаренко В И , Прохоров М Д , Дов1 алевский П.Я Внутренняя синхронизация основных 0 1Гц-частотных ритмов в системе вегетативного управления сердечно-сосудистой системой// Физиология человека -

2007 -Т33,№2 -С 69-75

41 Короновский А А, Пономаренко ВИ, Прохоров МД, Храмов А Е. Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным

данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа// ЖТФ -2007 -Т 77, вып 9 -С 6-17.

42 Hramov А Е, Koronovskn А А , Ponomarenko VI, Prokhorov M D Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform// Phys.Rev E -2007 -V 75 -056207

43 Prokhorov M D., Ponomarenko VI, Karavaev A S , Bezruchko В P. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series Application to chaotic communication // Nonlinear Phenomena Research Perspectives, edited by С W Wang, Nova Science Publishers, New York - 2007 -P 7-53

44 Prokhorov M D, Ponomarenko VI Encryption and decryption of information m chaotic communication systems governed by delay-differential equations Chaos, Sohtons & Fractals -2008 -V 35, No 5 -P 871-877

45. Прохоров M Д, Пономаренко В.И Восстановление модельных уравнений цепочек связанных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ - 2008 - Т.34, вып 8 - С 29-35

46 Безручко Б П , Пономаренко В И , Прохоров M Д, Смирнов Д А , Тасс П А Моделирование и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по хаотическим временным рядам (приложения в нейрофизиологии)//УФН -2008 -Т178,№3 -С323-329

Пономаренко Владимир Иванович

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ, РЕКОНСТРУКЦИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ (СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ЗАДЕРЖКОЙ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук 01 04 03 - Радиофизика

Подписано в печать 04 06 2008 Формат 60x84 1/16 Гарнитура Тайме. Объем 2,0 п л

Отпечатано в типографии ООО «ИППОЛиТ-ХХ1век» 410012, г Саратов, Ул Б Казачья, 79/85 Тираж 140 экз. Заказ № ^^

Введение.

Глава 1. Радиофизические автоколебательные системы со сложной динамикой.

1.1. Введение.

1.2. Системы с задержкой.

1.2.1. Моделирование системы с задержкой.

1.2.2. Использование цифро-аналоговой системы для моделирования и исследования систем с задержкой.

1.2.3. Сложная динамика генератора с цифровой линией задержки.

1.3. Моделирование генератора с ЫС-фильтром.

1.4. Моделирование генератора на вакуумном микротриоде.

1.5. Гиперболический хаос в генераторе с задержкой.

1.5.1. Проблема гиперболичности.

1.5.2. Схема генератора гиперболического хаоса на базе осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью.

1.6. Выводы.

Глава 2. Исследование дискретных отображений в физическом эксперименте

2.1. Введение.

2.2. Моделирование дискретных систем.

2.3. Построение экспериментальной модели квадратичного отображения

2.4. Комплексное одномерное отображение как два связанных отображения в реальной системе.

2.4.1. Реализация комплексного аналитического отображения в физическом эксперименте.

2.4.2. Результаты исследования экспериментальной модели комплексного квадратичного отображения.

2.5. Отображения с пороговой связью.

2.6. Результаты численного и экспериментального исследования отображений с пороговой связью.

2.7. Двухуровневое управление хаосом в одномерном отображении и в нелинейном колебательном контуре под внешним воздействием.

2.7.1. Реализация процедуры двухуровневого управления на одномерном отображении.

2.7.2. Экспериментальная реализация схемы двухуровневого управления

2.8. Выводы.

Глава 3. Специализированные методики реконструкции модельных уравнений по временным рядам (системы с запаздыванием, одномерные отображения).

3.1. Введение.

3.2. Методика восстановления уравнений с запаздывающим аргументом

3.2.1. Уравнения с запаздывающим аргументом и подходы к их реконструкции.

3.2.2. Новый подход к реконструкции на примере уравнения 1 порядка

3.3. Примеры восстановления систем первого порядка по временному ряду и специфические особенности процедуры.

3.3.1. Восстановление системы Маккея-Гласса.

3.3.2. Оценка длины ряда, необходимой для построения статистики.

3.3.3. Восстановление параметров уравнения Икеды по временному ряду

3.3.4. Оценка параметров радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью.

3.4. Реконструкция кольцевых систем с запаздыванием по различным динамическим переменным.

3.5. Восстановление систем с запаздыванием более высокого порядка.

3.6. Восстановление систем с запаздыванием с двумя временами задержки

3.7. Оценка параметров системы Ланга-Кобаяши.

3.8. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам.

3.8.1. Оценка параметров «в прямом времени».

3.8.2. Оценка параметров «в обратном времени».

3.8.3. Сравнение работы методов оценки в прямом и обратном времени для одного параметра.

3.8.4. Оценивание нескольких параметров.

3.9. Выводы.

Глава 4. Моделирование по временным рядам в приложении к задачам оценки взаимодействия.

4.1. Введение.

4.2. Определение коэффициентов связи двух генераторов при априорном знании структуры уравнений систем.

4.2.1. Описание методики реконструкции.

4.2.2. Реконструкция уравнения связанных систем.

4.2.3. Экспериментальная система (объект моделирования).

4.2.4. Моделирование отдельного генератора.

4.2.7. Моделирование системы из двух генераторов.

4.3. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам.

4.4. Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам.

4.4.1. Метод реконструкции связанных систем с запаздыванием.

4.4.2. Восстановление связанных идентичных систем Маккея-Гласса.

4.4.3. Восстановление связанных неидентичных систем Маккея-Гласса в присутствии шума.

4.4.4. Восстановление модельных уравнений связанных генераторов с запаздывающей обратной связью по экспериментальным данным.

4.5. Выделение сигнала, подмешанного к хаотической несущей системы с запаздыванием.

4.5.1. Схемы связи с нелинейным подмешиванием информационного сигнала в систему с запаздыванием.

4.5.2. Восстановление параметров передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала.

4.5.3. Выделение информационного сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса.

4.5.4. Пример выделения сигнала в физическом эксперименте.

4.6. Выводы.

Глава 5. Оценка параметров систем с задержкой в периодическом режиме

5.1. Введение.

5.2. Методы реконструкции систем с задержкой в периодическом режиме

5.2.1. Реконструкция уравнений первого порядка методом подбора параметров.

5.2.2. Оценка характеристик автоколебательных систем с запаздыванием по отклику на слабое периодическое воздействие.

5.2.3. Определение по переходным процессам параметров систем с запаздыванием.

5.3. Реконструкция уравнения системы медленной регуляции кровяного давления.

5.3.1. Модельные представления о системе регуляции кровяного давления.

5.3.2. Реконструкция модели системы барорефлекторной регуляции кровяного давления по экспериментальным данным.

5.4. Выводы.

Глава 6. Изменение частоты внешнего сигнала как способ диагностики синхронизации.

6.1. Введение.

6.2. Исследуемая модель.

6.3. Вейвлет-преобразование и выделение фазы.

6.4. Результаты исследования асимметричного генератора Ван-дер-Поля под внешним воздействием.

6.4.1. Амплитудная динамика вейвлетных спектров неавтономного генератора и суммарного сигнала.

6.4.2. Фазовая динамика сигнала неавтономного генератора и суммарного сигнала.

6.4.3. Динамика неавтономной системы при одновременном наличии просачивания и синхронизации.

6.5. Диагностика синхронизации по унивариантным данным.

6.5.1. Описание метода.

6.5.2. Анализ синхронизации в асимметричном генераторе Ван-дер-Поля под внешним воздействием с изменяющейся частотой.

6.5.3. Влияние шумов и неточности определения базового временного масштаба.

6.5.4. Экспериментальное исследование синхронизации в генераторе с запаздыванием.

6.6. Выводы.

Глава 7. Применение новых методов к исследованию синхронизации в сердечно-сосудистой системе.

7.1. Введение.

7.2. Постановка задачи и описание исследуемой системы.

7.3. Получение данных и методы их обработки.

7.4. Результаты исследования синхронизации классическим способом при различных режимах дыхания.

7.4.1. Случай произвольного дыхания.

7.4.2. Случай дыхания с постоянной частотой.

7.4.3. Случай дыхания с линейно изменяющейся частотой.

7.5. Исследование синхронизации ритмов сердечно-сосудистой системы методом анализа вейвлет-спектров.

7.6. Исследование синхронизации ритмов сердечно-сосудистой системы по унивариантным данным.

7.7. Количественная оценка степени синхронизации между сигналами с помощью суммарного процента фазовой синхронизации.

7.8. Синхронизация ритмов сердечно-сосудистой системы как диагностический признак.

7.8.1. Методика исследований.

7.8.2. Результаты исследований.

7.8.3. Обсуждение.

7.9. Выводы.

Становление современной нелинейной динамики было связано как с формированием базовых теоретических концепций и разработкой эталонных математических моделей, так и с большим объемом экспериментальных исследований. Так, результаты анализа математических моделей (систем дифференциальных уравнений Лоренца, Ресслера, а также дискретных отображений) легли в основу теории динамического хаоса и определили направление экспериментальных исследований нелинейных и хаотических феноменов в реальных ситуациях, применительно к объектам различной природы. В свою очередь, наблюдение сложных электрических колебаний, механических движений тел, колебательных химических реакций, гидродинамических течений, эволюционных тенденций в ансамблях живых организмов и других природных явлений, а также процессов в искусственных объектах, стимулировали последовательное развитие нелинейной теории. Среди систем, созданных человеком, основным полигоном для изучения феноменов нелинейной динамики стали радиофизические и электронные системы. Это произошло благодаря разнообразию их конструкций и наблюдаемых явлений, свойств и возможностей управления ими. Важным достоинством является также развитая измерительная база. Изучение сложных автоколебаний генераторов Кияшко-Пиковского-Рабиновича [1], Анищенко-Астахова [2], Чу а [3], многоконтурных систем [4] не только обеспечило развитие фундаментальных представлений о поведении конечномерных нелинейных систем, но и продемонстрировало их прикладные возможности. Электронные СВЧ генераторы на основе лампы с бегущей волной [5] и лампа с обратной волной [6] наряду с гидродинамическими системами сыграли важную роль при изучении нелинейных эффектов и хаоса в распределенных системах.

Материальной основой для данной диссертации стал комплекс лабораторных макетов радиофизических колебательных систем различной степени сложности, сконструированных автором. В ней представлены результаты экспериментального построения и исследования оригинальных физических моделей со свойствами, акцентированными на проявление ряда нелинейных феноменов с целью демонстрации их существования и специфики проявления в реальном мире. Необходимость проведения такой работы диктуется не только целями поиска, но и определяется тем, что аналитически или численно исследуются системы, функционирующие по законам логики, а наблюдение предсказанных эффектов в эксперименте, даже специально поставленном, придает найденному статус «реально существующего». Это в первую очередь касается динамических систем с дискретным временем, широко используемых при исследовании нелинейных явлений. Эксперимент не только позволяет придать результатам компьютерных исследований физическое толкование, но и расширяет имеющиеся представления за счет дополнительных данных и специфических деталей. С другой стороны, если изучение объекта аналитическими или численными методами затруднено, как, например, для рассматриваемых в работе бесконечномерных систем с запаздыванием, физический эксперимент представляет собой наиболее подходящий, а зачастую и единственно возможный, инструмент изучения.

Сказанное обосновывает актуальность тематики диссертационной работы, в которой методами радиофизики рассматриваются фундаментальные проблемы нелинейной динамики (такие как хаос, хаотическая синхронизация, реконструкция нелинейных моделей), а о практической значимости говорит выбор объектов (в частности, системы с запаздыванием) и их приложение как к решению востребованных задач радиофизики, так и смежных областей знаний.

Классы задач, решаемых в диссертации, фактически перечислены в ее названии. Первым (и основным) направлением работы является реализация на радиотехнической базе максимально простых физических моделей, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики и изучение особенностей их проявления в конкретных ситуациях. Это необходимо для создания опорных представлений, позволяющих разобраться в сложнейшей картине хитросплетений нелинейных колебательных режимов объектов различной природы. Примером служат «карты режимов», помогающие ориентироваться в «море» возможных реальных ситуаций. Такие карты необходимы даже в сравнительно простых случаях: например, уже одиночный нелинейный колебательный контур под внешним гармоническим воздействием - наиболее доступный и популярный колебательный радиотехнический объект - демонстрирует столь сложную зависимость движений от нескольких управляющих параметров, что без опорных карт целенаправленный выбор колебательного режима становится проблемой.

Другое направление работы - эмпирическое моделирование в нелинейной динамике - отражено в названии диссертации словом «реконструкция». Речь идет о построении математических моделей по временным рядам экспериментально наблюдаемых величин. Реконструкция в целом - важная междисциплинарная проблема, которая составляет «сердцевину» теории обработки сигналов и имеет большое значение для физики, биологии, геофизики, медицины, техники. Ранее она развивалась в основном в рамках математической статистики [98] и была известна под названием «идентификация систем». На современном этапе подходы к ее решению развиваются в рамках нелинейной динамики [7-10, 100-104, 115121, 164, 165]. Значимость исследований в этом направлении определяется тем, что создание моделей многих практически важных систем, особенно живых, на основе первых принципов затруднительно или пока вообще невозможно. Единственным путем математического описания способа функционирования объекта является конструирование модельной системы уравнений по данным экспериментального наблюдения - реконструкция по временным рядам или другим множествам данных. Повсеместное использование в измерительных приборах аналого-цифровых преобразователей и распространение высокопроизводительной вычислительной техники существенно расширило базу и увеличило возможности такого моделирования. Если раньше речь шла об аппроксимации экспериментальных точек простыми функциями, то теперь -о реконструкции систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений.

Однако, как показывает опыт 90-х годов, и, в частности, неудачные попытки использования стандартных подходов, достижение успеха моделирования по временным рядам становится более реальным лишь при отказе от претензий на разработку единого для всех объектов универсального алгоритма. Необходимо создание набора специальных технологий реконструкции выделенных достаточно узких классов объектов. Такой подход подразумевает использование априорной информации о структуре и свойствах системы (или хотя бы предположение о том, к какому классу относится исследуемая система) и как следствие, создание таких технологий реконструкции, которые позволят использовать в работе не интуитивные догадки, а определенный алгоритм. Эта идеология всесторонне анализируется, а ее плодотворность демонстрируется в диссертации применительно к системам с задержкой, которые широко представлены в природе и технике, а их математические модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии и химии. Уравнения Маккея-Гласса [11], Икеды [12] и генератора с запаздывающей обратной связью [13] стали эталонами систем с запаздыванием.

Кроме задач создания различных моделей и их исследования, перечисленных в названии работы, большое внимание уделяется обсуждению возможных приложений разработанных методик. Выбор для этого областей радиофизики и физиологии обоснован тем, что:

- современная радиофизика все больше обращается к использованию сложных сигналов (шумоподобных, с широким спектром частот, с изменяющимися параметрами). С практической точки зрения важными являются проблемы построения сверхширокополосных систем связи с хаотической несущей и алгоритмы извлечения замаскированной информации

14]. Сложное и даже хаотическое поведение типично и для нелинейных колебательных систем различной природы. В этих условиях получили расширение и новое толкование некоторые базовые понятия радиофизики. Так, понятие фазы, очевидное для гармонических сигналов (аргумент гармонической функции), получило расширенное толкование и несколько способов определения (преобразование Гильберта, вейвлет-преобразование, и др.). Весьма востребованы результаты рассмотрения закономерностей изменения фазы сигналов - исследование фазовой динамики, например для диагностики связей колебательных систем по записям их хаотических (или зашумленных периодических) временных реализаций. Так как фаза колебаний наиболее чувствительна к воздействию на автоколебательную систему, эти методы обладают большой чувствительностью (способны на «преддиагностику»). Расширенное толкование получили представления о синхронизации автоколебательных систем - затягивание частоты, выравнивание частот двух генераторов гармонических сигналов, служившее символом синхронизации ранее, теперь является лишь частным случаем синхронизации. В связи с переносом понятия синхронизации на системы со сложным поведением появились необходимость описывать новые виды синхронизации [23, 24, 34, 175, 233-238] - фазовую, обобщенную, полную. Необходимы также количественные меры таких типов поведения. Эти обстоятельства требуют проведения работы по иллюстрации возможностей новых мер при анализе реальных систем, их адаптации к специфике практически важных объектов, внедрению в практику. Синхронизация является важнейшим фундаментальным явлением, и ее изучение дает дополнительную информацию о структуре исследуемой системы и ее месте среди других взаимодействующих систем;

- способность к синхронизации внешним сигналом говорит о том, что мы имеем дело с автоколебательной системой и в соответствии с этим можем выбирать вид реконструируемой модели. Если обнаруживается синхронизация между различными подсистемами, то можно предполагать наличие связи между ними, что также дает дополнительную информацию о структуре системы. Еще одна возможность получить дополнительную информацию о той или иной стороне исследуемой системы - поставить специальный эксперимент. В диссертационной работе предложена методика воздействия на систему различными тестовыми сигналами и анализа отклика на них. Развивается методика определения синхронизации между реальными системами при помощи управления частотой одной из систем. Такая методика позволяет определить наличие связи между отдельными подсистемами (или элементами полной системы) и, следовательно, определить глобальную структуру всей системы в целом;

- в последние годы развиваемые в работе методы становятся все более востребованными в медицине и физиологии для решения задач диагностики состояния функциональных систем организма. При этом востребованность представленных в диссертации подходов определяется двумя моментами. Во-первых, рассматриваемые модели отражают механизмы функционирования живых систем, например, наличие запаздывающих связей между элементами типично для организмов, а разработанные методики реконструкции уравнений с запаздывающим аргументом расширяют арсенал средств исследователя-физиолога. Во-вторых, радиофизические макеты систем со сложной динамикой позволяют реализовывать эталонные ситуации с контролируемыми параметрами, физический смысл которых понятен. Так, например, различные способы связи автогенераторов могут быть реализованы через элементы с заданными свойствами, подключаемые в различные точки схемы. Это направление актуально в настоящее время, когда активно внедряются новые меры оценки характера взаимодействия (связанности) элементов организма по записям снимаемых с них сигналов, характера и степени синхронизованности движений в его функциональных системах. Трудности решения этих задач определяется сложностью, часто хаотичностью, обрабатываемых сигналов, их нестационарностью и зашумленностью.

Таким образом, тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов нелинейной физики, а также прикладных вопросов радиофизики и других наук, в частности, климатологии, биологии, физиологии, медицины. Целесообразность такого выбора места работы определяется тем, что для перехода от фундаментальных представлений в область приложений необходим этап физического и численного эксперимента на моделях и макетах, отражающих специфику процессов в реальных объектах. Дальнейшее исследование возможностей рассматриваемых подходов в приложении к реальным системам позволит, кроме непосредственного позитивного выхода, наметить пути совершенствования моделей, методики и технологий работы со сложными сигналами и нелинейными системами. Цель работы состоит:

• в экспериментальной реализации и исследовании сложной динамики систем с запаздывающей обратной связью и систем с дискретным временем;

• в разработке технологии оценки параметров и реконструкции модельных уравнений с запаздыванием по экспериментальным временным рядам, развитии практики реконструкции уравнений систем с задержкой;

• в разработке новых методов диагностики синхронизации и количественной меры уровня синхронизации в автоколебательных системах.

Научная новизна:

• впервые проведены экспериментальные исследования генератора с запаздывающей обратной связью в широком диапазоне соотношений времени задержки ко времени инерции фильтра и показан универсальный характер изменения значений параметра неравновесности, при которых происходят последовательные удвоения периода и переход к хаосу;

• впервые реализованы и исследованы радиотехнические схемы, моделирующие поведение комплексного аналитического отображения и связанных отображений с пороговой связью;

• впервые реализован и исследован генератор Ван-дер-Поля с модуляцией параметров и запаздывающей обратной связью, в котором реализуется странный аттрактор, обладающий свойствами гиперболического;

• впервые предложена методика обработки временного ряда, основанная на подсчете статистики экстремумов и позволяющая определить время задержки системы, описываемой уравнением с задержкой первого порядка;

• разработан комплекс методик для оценки по временному ряду параметров системы с задержкой;

• разработана методика определения параметров связи по временному ряду взаимодействующих систем с задержкой;

• поставлен эксперимент, демонстрирующий синхронизацию основных ритмов сердечно-сосудистой системы с дыханием при изменении частоты дыхания.

Теоретическая и практическая значимость работы

Комплекс проведенных экспериментальных исследований радиофизических моделей устанавливает реальное существование ряда нелинейных явлений, обнаруженных на абстрактных моделях. Экспериментальное исследование двух связанных отображений, эквивалентных комплексному квадратичному отображению, демонстрирует наличие феноменов комплексной аналитической динамики в физической реальности. Разработанная неавтономная система с задержкой, обладающая странным аттрактором с гиперболическими свойствами, дает возможность исследовать гиперболические аттракторы в радиофизическом эксперименте. С практической точки зрения, отсутствие в гиперболическом аттракторе устойчивых орбит высоких периодов позволяет считать их перспективными для создания генераторов хаоса. Методы реконструкции и оценки параметров систем с запаздыванием, разрабатываемые в диссертационной работе, применимы во многих областях науки - радиофизике, оптике, физиологии, биофизике и др. В практическом плане идеи реконструкции систем с задержкой демонстрируют недостаточную скрытность систем передачи информации, основанных на синхронном хаотическом отклике. Методы диагностики синхронизации, предложенные в работе, применимы к системам самой различной природы, что обеспечивает их широкую применимость на практике. Результаты исследований использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета. Совместно с НИИ кардиологии получены свидетельства об официальной регистрации программ, предназначенных для исследования синхронизованности ритмов сердечно-сосудистой системы.

Достоверность научных результатов основана на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, на соответствии с результатами, которые в некоторых случаях могут быть получены и другими методами, на сравнении результатов анализа временных рядов и систем, генерирующих временные ряды, а также на воспроизводимости экспериментов.

Результаты и положения, выносимые на защиту

1. Разработан и экспериментально исследован комплекс радиотехнических моделей с запаздыванием и дискретным временем, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики.

2. Нелинейная система, содержащая генератор Ван-дер-Поля, управляющий параметр которого подвергается медленному изменению с периодом Т, и петлю нелинейной запаздывающей связи, сигнал в которой модулируется с частотой, близкой к частоте автоколебаний генератора Ван-дер-Поля, при значениях времени задержки порядка

3/4Т, может генерировать хаотические колебания, аттрактор которых по структуре близок к гиперболическому.

3. Экспериментальная модель дискретной системы в виде двух связанных особым образом логистических отображений демонстрирует конфигурацию бассейнов притяжения в виде множества Мандельброта, характерного для комплексного квадратичного отображения.

4. В хаотическом временном ряде систем с запаздыванием первого порядка и систем более высокого порядка при малых по сравнению со временем задержки временах инерционности отсутствуют экстремумы, расстояние между которыми равно времени задержки.

5. Итерирование одномерного отображения в обратном времени для оценки параметров методом наименьших квадратов при умеренных уровнях добавленного шума повышает точность определения управляющих параметров по сравнению с итерированием в прямом времени.

6. Разработана методика оценки связи, основанная на реконструкции уравнений связанных систем, преимуществом которой является возможность оценки связи при наличии синхронизации.

7. Разработан комплекс методик, позволяющих оценить время задержки, время инерционности и порядок фильтра в цепи обратной связи генераторов с запаздыванием, демонстрирующих периодическое поведение.

8. Методика, основанная на изменении частоты внешнего воздействия на автоколебательную систему и анализе разности фаз колебаний воздействия и системы позволяет различить ситуации наличия фазовой синхронизации и аддитивного сложения колебаний воздействия и системы.

Работа выполнялась в рамках НИР, проводимых по планам ИРЭ РАН,

Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации

Российской Академии Наук, при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 96-02-16755, 99-02-17735, 00-0217441, 02-02-17578, 03-02-17593, 05-02-16305, 06-02-16619, 07-02-00747), программы РАН «Фундаментальные науки - медицине», а также Американского фонда гражданских исследований и разработок (CRDF, грант REC-006). Результаты работы использовались при чтении курсов и проведении практических занятий со студентами специализации «Теория колебаний и волн» на кафедре электроники, колебаний и волн и на базовой кафедре динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета.

Апробация работы и публикации.

Основные материалы работы представлялись на зимних школах-семинарах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993, 1996), на конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1993, 1996, 1999, 2002, 2005), Международной конференции по нелинейной динамике и хаосу (Саратов, 1996), научной международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (Москва, 1996), 5th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic System (NDES'97, Moskow, 1997), международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС, Саратов, 1998, 2001, 2004, 2007), International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98, Crans-Montana, Switzerland, 1998), 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98, Budapest, Hungary, 1998), European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis EUROATTRACTOR'2000, Warsaw, 2000), 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-2001 Delft, The Netherlands, 2001), международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), 265 WE-Heraeus-Seminar «Synchronization in Physics and Neurosciences», 2001, Bad Honnef, Germany, International conference «Synchronization of chaotic and stochastic oscillations» (Saratov, 2002), «Topical Problems of Nonlinear Wave

Physics» (Nizhny Novgorod, Russia, 2003, 2005), International Conference «European Dynamics Days», (Palma de Mallorca, Spain, 2003, 2004), X Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (Звенигород, 2005), конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Казань, 2005), конференции «Наноэлектроника, нанофотоника, нелинейная физика» (Саратов, 2006, 2007), научной школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2006, 2008), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн, базовой кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии СГУ, лаборатории динамического моделирования и диагностики СФ ИРЭ РАН.

Основное содержание работы изложено в 140 публикациях (46 статей в журналах, 94 тезисов докладов и статей в сборниках).

Личный вклад соискателя.

В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений. Соискатель разработал и изготовил экспериментальные радиофизические устройства, использованные в экспериментальных исследованиях, непосредственно участвовал в проведении физиологических экспериментов, составлении программ численной обработки сигналов, осуществлял научное руководство исследованиями. Результаты по исследованию генераторов с запаздыванием получены в соавторстве с Кузнецовым С.П.; результаты по реконструкции систем с задержкой - в соавторстве с Безручко Б.П., Прохоровым М.Д., Караваевым A.C.; результаты по разработке методики исследования синхронизации -совместно с Прохоровым М.Д., Короновским A.A., Храмовым А.Е.

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, семи глав, списка литературы и заключения. Общий объем составляет 400 стр., в том числе 84 стр. рисунков. Список литературы содержит 323 наименования.

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, описана ее новизна и практическая значимость, сформулирована цель исследования. Приведены основные положения и результаты, выносимые на защиту, а также сведения о публикациях и апробации работы.

В первой главе описаны такие базовые модели нелинейной динамики, системы со сложным поведением, как генератор с КС-фильтром и генератор с задержкой в цепи обратной связи, а также оригинальные модели, построенные автором - модель генератора на вакуумном микротриоде и генератор гиперболического хаоса с линией задержки.

Исследован неавтономный автогенератор с ЯС-фильтром, построено разбиение плоскости параметров «амплитуда — частота внешнего воздействия» на характерные режимы. Определены принципы моделирования автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью, предложена схема и построен автогенератор с цифровой линией задержки. Проведено экспериментальное исследование автогенератора с задержкой в зависимости от управляющих параметров - времени задержки и параметров фильтра.

Предложена схема автогенератора на вакуумном микротриоде. Проведено численное моделирование уравнения автогенератора и экспериментальное исследование модели на операционных усилителях. Показано, что неавтономная модель автогенератора на вакуумном микротриоде может демонстрировать не только периодическое, но и хаотическое поведение. Приведены результаты экспериментального исследования плоскости параметров «амплитуда-частота внешнего воздействия».

Разработана принципиальная схема и проведены исследования неавтономной нелинейной системы с запаздыванием, которая является примером бесконечномерной системы, с гиперболическим странным аттрактором. Система построена на базе осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью.

Продемонстрировано присутствие хаоса и то обстоятельство, что отображение для фазы сигнала принадлежит к тому же топологическому классу, что и отображение Бернулли.

Во второй главе разработан принцип построения экспериментальных схем, математическими моделями которых являются дискретные отображения с хаотическим поведением. Предложены и реализованы радиотехнические схемы, отражающие поведение логистического отображения, комплексного аналитического отображения, а также системы отображений с пороговой связью. Приведены также результаты их экспериментальных исследований.

Исследование дискретных отображений проводится методами численного моделирования и экспериментального исследования радиотехнических моделей, динамика которых описывается теми же дискретными отображениями. Экспериментальный способ изучения дискретных систем имеет ряд преимуществ. Именно при проведении натурного эксперимента появляется возможность исследования систем в реальном времени, что иногда позволяет существенно сократить трудоемкость проводимых исследований. Так, натурный эксперимент оказывает неоценимую услугу при исследовании систем с большим числом мультистабильных состояний. Кроме того, в экспериментальной системе существенными являются внутренние и внешние шумы и неидентичность отдельных подсистем, что приводит к «отсеиванию» режимов, неустойчивых по отношению к подобным возмущениям. Более того, совпадение результатов натурного и численного экспериментов позволяют с большей степенью доверия относиться к полученным результатам.

Радиотехническая схема, математической моделью которой является логистическое отображение, демонстрирует в эксперименте наличие последовательности бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу, а также наличие окон периодичности в закритической области.

Для комплексного квадратичного отображения, являющегося обобщением на комплексный случай обычного квадратичного отображения, показано, что при помощи замены переменных его можно свести к двум квадратичным отображениям, связанным специфическим образом. Разработана радиотехническая схема, математической моделью которой является комплексное квадратичное отображение. В зависимости от величины параметра связи разбиение плоскости управляющих параметров на области характерных режимов (карта режимов) может принимать вид топологически различающихся структур.

Показано, что экспериментально полученные карты динамических режимов на плоскости параметров качественно совпадает с видом карт динамических режимов, полученных в численном эксперименте. Исследованы два связанных логистических отображения с новым типом связи - пороговой связью.

Показано, что поведение новой системы существенным образом отличается от поведения логистических отображений с традиционными типами связей. Построены карты режимов и приведены фазовые портреты, полученные в численном и физическом эксперименте.

Экспериментально реализована схема двухуровневого управления хаосом в колебательном контуре с полупроводниковым диодом. В этом случае управляющий параметр может принимать только два возможных значения в отличие от традиционного способа управления хаосом в схеме, предложенной Оттом, Гребоджи и Йорком [15]. Показана принципиальная возможность стабилизации периодической орбиты периода 2. Дискретная схема управления хорошо работает для экспериментальных систем. Ее преимуществами по отношению к методам с непрерывным изменением управляющего параметра является предельная простота сравнения опорного и реального сигналов и простота конструкции усилителя возбуждения.

В третьей главе разрабатываются методики реконструкции и оценки параметров модельных уравнений по экспериментальным временным рядам.

История вопроса [7] говорит о том, использование при реконструкции модельных уравнений по временным рядам универсальных методик, не учитывающих особенностей объекта, как правило, не приводит к успеху. На хороший результат обычно можно рассчитывать лишь при использовании специальных технологий реконструкции для достаточно узких классов объектов и конкретных ситуаций. Целесообразный объем затрат на разработку таких технологий определяется фундаментальной и практической значимостью моделируемых объектов и ситуаций. Это оправдано тем, что системы с задержкой представлены очень широко как в живой, так и в неживой природе. Несколько технических приложений разработанного подхода представлены и в этой главе, и в главах 5,6 диссертации. В качестве еще одного примера плодотворности специального подхода в данной главе представлен оригинальный метод оценки параметров одномерных отображений.

Возможности метода реконструкции систем с задержкой продемонстрированы на примерах систем Икеды, Маккея-Гласса, в радиотехническом эксперименте на примере генератора с запаздывающей обратной связью.

Описание возможностей предложенной методики реконструкции систем с запаздыванием завершается примером оценки параметров для более сложной системы двух уравнений, описывающих динамику одномодового полупроводникового лазера (уравнение Ланга-Кобаяши) [16].

Разработан новый метод оценки параметров одномерного отображения, основан на использовании обратных итераций модельного отображения при оценке целевой функции. Единственная ляпуновская экспонента одномерного отображения в этом случае становится отрицательной и таким образом, чувствительность орбит отображения в обратном времени к начальным условиям исчезает, и можно ожидать меньшего числа локальных минимумов целевой функции, что облегчает оценку параметра. Показано, что оценка параметров одномерного отображения в обратном времени во многих случаях является более точной и быстрой, чем разновидности оценки параметра в прямом времени.

В четвертой главе предложены методы определения коэффициентов связи двух генераторов при априорном знании структуры уравнений систем, а также способ восстановления уравнений систем с задержкой под внешним воздействием и связанных систем с задержкой. Проведено глобальное моделирование связанных систем как при наличии подробной информации о механизме функционирования каждой из них, так и при наличии лишь информации о том, что система может быть описана уравнением с задержкой. Такой подход не претендует на выявление очень слабой связи (в отличие от анализа динамики фаз), но позволяет определить не только направление, но и характер связи, причем он работоспособен и при анализе режима синхронизации.

Разработана экспериментальная установка для исследования системы двух автогенераторов с хаотическим поведением, связанных двунаправленной, однонаправленной и нулевой связью.

В численном и физическом эксперименте исследованы системы с задержкой под внешним воздействием.

Предложен метод, позволяющий по временным реализациям колебаний в системах X и У восстановить систему с запаздыванием X, определить точку подключения и величину связи. Показано, что для оценки по наблюдаемой реализации времени задержки можно воспользоваться методом, предложенным в главе 3. Этот метод определения времени задержки применим в том случае, если на систему X действует система У, при условии, что внешнее воздействие не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы X.

Работоспособность метода продемонстрирована для случаев, когда система с запаздыванием X описывается уравнением Маккея-Гласса, а внешнее воздействие системы Г является гармоническим или хаотическим.

По сравнению с другими методами определения связи между системами по временным рядам [17, 18], предложенная процедура имеет ряд преимуществ. В отличие от индексов направленности, она применима к синхронизованным системам и позволяет определять величину связи, а не только ее направление, даже в случае связи принципиально различных систем. Для оценки устойчивости работы метода по отношению к возмущениям, он был применен к зашумленным данным. Метод оказывается более критичным к шуму в системе с запаздыванием. Он еще остается работоспособным при уровнях шума в системе X порядка 10%. Уровень шума в системе У, может быть при этом в несколько раз выше.

Проведены подробные исследования систем с запаздыванием, связанных различными способами. Показано, что и в этом случае при оценке времени задержки методика, описанная для одиночной системы с задержкой, может быть успешно применена. Условие применимости состоит в том, что воздействие со стороны второй системы не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы. Такой метод определения времени запаздывания также обладает высоким быстродействием, поскольку использует только операции сравнения и сложения, не требуя вычисления каких-либо мер сложности движения [19] или ошибки аппроксимации данных [20, 21].

Генераторы с запаздыванием хорошо подходят для построения схем связи с нелинейным подмешиванием сигнала. В передатчике, представляющем собой генератор с запаздывающей обратной связью, добавляется информационный сигнал. В приемнике, представляющем собой копию передатчика, информационный сигнал выделяется из общего сигнала несущей [22]. Показано, что, несмотря на возможную высокую размерность аттрактора несущей, выделение информационного сигнала сторонним наблюдателем возможно в случае, если известно, что передатчик описывается уравнением с запаздыванием 1-го порядка.

Основная идея состоит в том, что по временному ряду можно оценить параметры передатчика и построить приемную схему (или соответствующий алгоритм обработки), с помощью которой можно выделить информационный сигнал. Выделение информационного сигнала проводилось в численном эксперименте на примере синусоидального и частотно модулированного сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса.

Проведен физический эксперимент, в котором в качестве передатчика использована кольцевая система с задержкой, описываемая уравнением 1-го порядка. Представлены результаты выделения гармонического информационного сигнала из сигнала хаотической несущей в случае, когда параметры передатчика неизвестны.

В пятой главе разрабатываются методы оценки параметров систем с задержкой по периодическому временному ряду. Дело в том, что в хаотическом режиме движение более разнообразно и в типичном случае охватывает более широкую область фазового пространства, чем в периодическом режиме. В определенном смысле это дает возможность более точно проанализировать систему и адекватно ее реконструировать. Движение на периодическом аттракторе более однообразно, и не позволяет проследить поведение системы в различных ситуациях.

В данной главе предлагается ряд методов определения параметров систем с запаздыванием, совершающих периодические колебания:

- метод подбора параметров;

- метод анализа отклика на слабое воздействие;

- метод определения параметров систем с запаздыванием по переходным процессам.

Методы были апробированы в численном эксперименте на уравнении генератора с запаздывающей обратной связью с различными видами нелинейности. Показано, что эти методы хорошо работают, даже при наличии шума.

Описанная методика была апробирована на исследовании системы медленной регуляции кровяного давления, которая демонстрирует колебания, близкие к периодическим.

В шестой главе проводится анализ синхронизации систем по временным рядам. Разработан анализ синхронизации системы внешним воздействием с изменяющейся частотой. Такое исследование является частным случаем общей постановки задачи об исследовании синхронизации между системами по временным рядам. Его можно провести далеко не всегда, но в случае, когда это удается, результаты могут дать более точное представление о системе, в отличие от традиционного способа изучения синхронизации. В частности, в некоторых случаях такой эксперимент дает возможность при наблюдении сложного сигнала от двух систем отличить случай активного взаимодействия систем от случая просачивания сигнала одной системы в другую.

Обработка данных производится методами вейвлет-анализа. Преимущество такой обработки в том, что комплексное вейвлет-преобразование дает информацию о частотном составе колебаний и о фазе для выбранного частотного диапазона. Вейвлет-преобразование применяется в качестве инструмента исследования синхронизации двух сигналов, один из которых изменяет частоту по линейному закону в зависимости от времени. Использован новый подход к анализу синхронизации колебаний [23, 24], называемый синхронизацией временных масштабов и основанный на введении непрерывного множества фаз, которое определяется с помощью непрерывного вейвлетного преобразования [25] временного ряда

Исследована модель асимметричного генератора Ван-дер-Поля под внешним периодическим воздействием с изменяющейся частотой. Анализировались временные ряды самого генератора и внешнего воздействия. Показано, что отличие между случаем синхронизации сигнала генератора, богатым гармониками основной частоты, внешним сигналом, и случаем простого просачивания сигнала можно отслеживать по вейвлетному спектру мощности, сравнивая динамику масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам. В случае эффекта «просачивания» какие-либо изменения динамики масштаба, частота которого близка к частоте внешнего сигнала, не приводят к изменению динамики других характерных масштабов. В случае синхронизации характерный излом в вейвлетном спектре наблюдается на всех характерных масштабах.

Кроме того, в данной главе предложен метод, основанный на непрерывном вейвлетном преобразовании, который позволяет диагностировать наличие синхронизации колебаний генератора внешним воздействием с изменяющейся частотой по унивариантным данным (скалярным временным рядам). Показано, что внутри областей синхронизации при линейном изменении частоты воздействия разность фаз, вычисленных в моменты времени, разделенные временем г, изменяется по закону, близкому к линейному в зависимости от ^ и т.

Эффективность методов демонстрируется на примере асимметричного генератора Ван-дер-Поля в численном эксперименте, и для генератора с запаздыванием в радиотехническом эксперименте.

В седьмой главе проведены исследования синхронизации между тремя различными ритмами сердечно-сосудистой системы. К этим ритмам относятся: основной сердечный ритм, ритм дыхания и ритм медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Проводился анализ экспериментальных временных рядов электрокардиограмм, пульсограмм и записей дыхания. Исследована синхронизация трех ритмов при различных режимах дыхания: произвольном, с постоянной частотой и с переменной частотой для различных групп испытуемых. Продемонстрировано наличие у здоровых людей областей синхронизации между основным сердечным ритмом и дыханием, а также между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Между этими тремя ритмами наблюдается фазовая синхронизация с различными соотношениями п:т при различных режимах дыхания. В экспериментах с фиксированной частотой дыхания длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиениями и между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц в среднем была больше, чем в экспериментах с произвольным дыханием. Отмечено также, что в ходе одного эксперимента могут наблюдаться различные порядки синхронизации. В эксперименте с изменяющейся частотой дыхания убедительно продемонстрировано наличие синхронизации между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц.

Эволюция фазы во времени определяется различными способами (преобразование Гильберта с последующей фильтрацией, эмпирическая декомпозиция мод, вейвлетное преобразование). Продемонстрирована возможность выделения фаз трех основных ритмов сердечно-сосудистой системы по многоканальным временным рядам (электрокардиограмма и дыхание), а также по одноканальным временным рядам (один канал электрокардиограммы). Показано, что результаты исследования синхронизации между тремя основными ритмами сердечно-сосудистой системы, полученные в случаях многоканальных и одноканальных данных, качественно совпадают.

Проведено выделение ритма с частотой 0.1 Гц из различных временных рядов - Я-Я интервалов и ряда кровяного давления (пульсограммы). Показано, что для здоровых людей синхронизация между этими ритмами высокая, в то время как для больных ишемической болезнью сердца уровень синхронизации между этими ритмами значительно ниже. Для количественной оценки уровня синхронизации введена новая мера, названная суммарным процентом синхронизации. Расчеты суммарного процента синхронизации для этих больных в первые 3-5 дней с момента наступления инфаркта миокарда и на третьей неделе лечения показал, что суммарный процент синхронизации, рассчитанный на третьей неделе, увеличивается по сравнению с первой неделей заболевания в среднем примерно в 1.5 раза. Показано, что суммарный процент синхронизации между ритмами с частотой 0.1 Гц, выделенными из Я-Я интервалов и ряда пульсограммы, может быть использован в качестве диагностического признака для контроля эффективности лечения.

Для оценки суммарного процента фазовой синхронизации созданы и зарегистрированы два программных продукта, которые используются в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии для диагностики состояния больных, перенесших инфаркт миокарда, а также для разработки новых методов медицинской диагностики. Каждая глава диссертации завершается выводами. В конце приведено краткое заключение.

Основные результаты диссертации в целом сводятся к следующему:

Построена и исследована радиотехническая модель генератора с запаздывающей обратной связью, в которой в качестве линии задержки использована цифровая схема, позволяющая регулировать задержку входного сигнала. Показано, что в этой модели наблюдается сложная динамика, так же как и в численном эксперименте, несмотря на факторы, сопутствующие физическому эксперименту - воздействие шумов, неидеальный характер нелинейности, влияние температуры, влажности и других мешающих факторов.

Построена и исследована радиотехническая модель генератора на вакуумном микротриоде, демонстрирующая наличие сложной динамики под внешнем воздействием и в модельном эксперименте, и в компьютерных расчетах.

Построена и исследована неавтономная нелинейная система на базе осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью, демонстрирующая режим, топологически эквивалентный гиперболическому странному аттрактору.

Представлена методика построения связанных действительных отображений, отражающих динамику комплексного квадратичного отображения. Развита идея построения отображений с новым, «пороговым» типом связи. Показано, что в таких специально построенных системах наблюдается динамика, характерная для математических моделей дискретных отображений.

Разработаны специализированные методики, позволяющие реконструировать уравнения систем с задержкой по хаотическому временному ряду. Методика оценки времени задержки основана на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда.

Предложен новый метод оценки параметров одномерного отображения по хаотическому временному ряду, основанный на использовании обратных итераций модельного отображения при оценке целевой функции. Показано, что в ряде случаев предложенный метод является более эффективным и точным.

Показано, что при наличии информации о механизме функционирования каждой из подсистем для определения направления и величины связи между исследуемыми системами эффективно использование методики глобальной реконструкции по временным рядам с перебором вариантов и подгонкой параметров связи.

Методика восстановления параметров передающих систем с запаздыванием открывает возможность выделения сообщения в схемах связи, использующих для их маскировки хаотические сигналы. Таким образом, коммуникационные системы, использующие сигналы систем с запаздыванием, могут обладать недостаточной скрытностью, несмотря на высокую размерность и большое число положительных ляпуновских показателей хаотических аттракторов таких систем.

Разработаны методы оценки параметров систем с запаздыванием, демонстрирующих периодическое поведение.

Предложен метод, основанный на изменении частоты внешнего сигнала, подаваемого на автоколебательную систему. Метод позволяет различить ситуации, при которых воздействие на систему приводит к синхронизации от ситуаций, когда существует просачивание внешнего сигнала. Предложена также модификация этого метода, позволяющая оценивать наличие синхронизации по одноканальным данным (скалярному временному ряду).

Проведены исследования синхронизации ритмов сердечно-сосудистой системы. В результате проведенных исследований синхронизации 0.1 Гц-колебательных процессов в сердечно-сосудистой системе, выделенных из вариабельности сердечного ритма и из пульсограммы, показано, что с помощью суммарного процента фазовой синхронизации между этими процессами можно осуществить разделение группы здоровых и больных людей, а также проверить эффективность проводимых лечебных мероприятий.

Заключение

Таким образом, в этой работе созданы экспериментальные макеты и проведено экспериментальное и численное исследование сложной динамики систем с запаздывающей обратной связью и моделей систем с дискретным временем, разработаны технологии оценки параметров систем с запаздыванием по экспериментальным временным рядам, экспериментально и численно исследован эффект синхронизации и разработаны новые методы его анализа, а также решен ряд практических задач с использованием разработанных методик.

1. Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением // Радиотехника и электроника. 1980. - Т.25, №2. - С.336-343.

2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 312 с.

3. Matsumoto Т. A Chaotic Attractor from Chua's Circuit // IEEE Transactions on Circuits & Systems. 1984. - Vol.CAS-31., No. 12. - P.1055-1058.

4. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

5. Кислов В.Я., Мясин Е.А., Залогин H.H. О нелинейной стохастизации автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. 1980. - Т.25, №10.-С. 2160-2168.

6. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе «электронный пучок-обратная электромагнитная волна» // Письма в ЖЭТФ. -1979. Т.29, №3. - С. 180-184.

7. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.

8. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы/ под ред. B.C. Анищенко. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1999.-368 с.

9. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Издательство физико-математической литературы, 2001. - 296 с.

10. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. 620 с.

11. Mackey M.C., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems// Science. 1977. -V. 197. - P. 287-289.

12. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system// Opt. Commun. 1979. - V. 30. -P. 257-261.

13. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор)// Изв. вузов. Радиофизика. 1982. - Т. 25, №12. -С. 1410- 1428.

14. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Издательство физико-математической литературы, 2002. - 252 с.

15. Ott Е., Grebogi С., and Yorke J.A. Controlling Chaos// Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - P. 1196-1199.

16. Lang R., Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection lasers // IEEE J. Quantum Electron. 1980. - V.16. -P.347-355.

17. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G. Detecting direction of coupling in interacting oscillator // Phys. Rev. E. 2001. - V.64. - 045202(R).

18. Rosenblum M.G., Cimponeriu L., Bezerianos A., Patzak A., Mrowka R. Identification of coupling direction: Application to cardiorespiratory interaction // Phys. Rev. E. 2002. - V. 65. - 041909.

19. Btinner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory // Eur. Phys. J. D.-2000.-V. 10.-P. 165-176.

20. Hegger R., Btinner M.J., Kantz H., Giaquinta A. Identifying and modeling delay feedback systems// Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 558-561.

21. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L., Cuenot J.-B., Levy P., Rhodes W.T. Cracking chaos-based encryption systems ruled by nonlinear time delay differential equations // Phys. Lett. A. 2003. - V. 308. - P. 54-60.

22. Волковский А.Р., Рульков Н.С. Синхронный хаотический отклик нелинейной системы передачи информации с хаотической несущей// Письма в ЖТФ. 1993. - Т.9, №3. - С.71-75.

23. Короновский А.А., Храмов А.Е., Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования // Письма в ЖЭТФ. 2004 - Т.79,№7. -С.391-395.

24. Hramov А.Е., Koronovskii А.А., An approach to chaotic synchronization // Chaos. 2004. - V.14, No.3 - P.603-610.

25. Wavelets in Physics, J.C. Van den Berg Edition, Cambridge University Press, 1998.

26. Тетерич H.M. Генераторы шума. M.-JL, Госэнергоиздат, 1961, 182 е., с илл.

27. Тетерич Н. М. Генераторы шума и измерение шумовых характеристик «Энергия», 1968. 216 с. с илл.

28. Бобнев М.П. Генерирование случайных сигналов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., Энергия, 1971.

29. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963. V.20.1. P.130.

30. Каплан A.E., Кравцов Ю.А., Рылов B.A. Параметрические генераторы и делители частоты. М.: Сов.радио. 1966. - 334 с.

31. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир,1968.

32. Einsay P.S. Period doubling and chaotic behaviour in a driven anharmonic oscillator//Phys.Rev.Lett. 1981. - Vol. 47, No. 19. - P.1349-1352.

33. Астахов B.B., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии // Радиотехника и электроника. 1987. - Т.32, №12. - С.2558-2566.

34. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах: Учебное пособие. Нижний Новгород, 2007. 258с.

35. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е. Экспериментальное исследование структуры странного аттрактора в модели генератора с инерционной нелинейностью // ЖТФ. 1983. - Т.53, вып.1. - С.152.

36. Анищенко B.C., Астахов В.В. Бифуркационные явления в автостохастическом генераторе при внешнем резонансном воздействии // ЖТФ. 1983. - Т.53, №11.- С.2165-2169.

37. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е. Многочастотные и стохастические автоколебания в генераторе с инерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника. 1982. - Т.27, №10. - С. 1972-1978.

38. Мацумото Т. Хаос в электронных схемах // ТИИЭР. 1987. - Т.75, №8. - С.66-87.

39. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972.

40. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971.

41. Mackey М.С., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science. 1977. - V. 197. - P. 287-289.

42. Gribkov D., Gribkova V. Teaming dynamics from nonstationary time series: Analysis of electroencephalograms // Phys. Rev. E. 2000. - V.61. -P.6538-6545.

43. Кац В.А., Кузнецов С.П. Переход к многомодовому хаосу в простой модели генератора с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 1987. - Т.13, №12. -С.727-733.

44. Ikeda К., Kondo К., Akimoto О. Successive higher-harmonic bifurcation in system with delayed feedback // Phys. Rev. Lett. 1982. - V.49, No.20. -P.1467-1470

45. Горелик Г. К теории запаздывающей обратной связи // ЖТФ. -1939. Т.9, вып.5. - С.450-454.

46. Азьян Ю.М., Мигулин B.B. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1956. -Т.1, №4. - С.418-427.

47. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Сов. Радио, 1977, 608 с.

48. Горошков Б.И. Радиоэлектронные устройства: Справочник. М.: Радио и связь. 1985. - 400 е., ил.

49. Кузнецов С.П., Пиковский A.C. Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде // Изв. вузов. -Радиофизика. 1985.-Т. 28, №3. -С.308-319.

50. Кузнецов С.П. Бифуркации удвоения в простой модели распределенной системы // Изв. вузов. Радиофизика. - 1982. - Т.25, №11. -С.1364-1368.

51. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: изд-во Горьковского ун-та. - 1983. -С. 3-26.

52. Rand D., Ostlund S., Sethna J., Siggia E.D. Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems // Phys.Rev.Lett. 1982. - V.49, No.2. - P.132-135.

53. Анищенко B.C. Разрушение квазипериодических колебаний и хаос в диссипативных системах // ЖТФ. 1986. - Т.56,вып.2. - С .225-237.

54. Spindt С.A., Holland G.E., Stowell R.D. Field emission cathode array development for high-current density applications // Appl. of Surface Science. -1983. V.16. -P.168-276.

55. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2000. - 560 с.

56. Orvis W.J., McConaghy C.F., Ciarlo D.R. et al. // IEEE Transaction on Electron Devices. 1989. V.36. №11. P.2651-2658; Asano T. // Ibid. 1991. V.38. №10. P.2392-2394.

57. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 е., ил.

58. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. Пер. с англ.: М: Факториал. 1999.

59. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца. Труды Московского мат. общества. - 1982. - Т.44. - С.150-212.

60. Mischaikow К., Mrozek М. Chaos in the Lorenz equations: A computer assisted proof. Part II // Mathematics of Computation. 1998. - Vol.67. - P. 10231046.

61. Mischaikow K., Mrozek M., Szymczak A. Chaos in the Lorenz equations: a computer assisted proof. Part III: the classical parameter values // J. Diff. Equ. 2001. -V. 169. - P. 17-56.

62. Kuznetsov S.P. Example of a Physical System with a Hyperbolic Attractor of the Smale-Williams Type // Phys. Rev. Lett. 2005. - V.95. - P. 144101.

63. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика со странным аттрактором типа Смейла Вильямса. // ЖЭТФ. 2006. - Т. 129, №2. - С. 1-13.

64. Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Проверка условий гиперболичности хаотического аттрактора в системе связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. - 2006. -Т.14. №5. - С. 3-29.

65. S.P.Kuznetsov and I.R.Sataev Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones // Physics Letters A. 2007. - V. 365. Nos. 1-2. - P. 97-104.

66. Синай Я.Г. // Нелинейные волны. Под ред. Гапонова-Грехова А.В. М.: Наука, 1979. С. 192-212.

67. Isaeva О.В., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Arnold's cat map dynamics in a system of coupled nonautonomous van der Pol oscillators // Phys. Rev. E. -2006. V.74. - 046207.

68. Жалнин А.Ю., Кузнецов С.П. О возможности реализации в физической системе странного нехаотического аттрактора Ханта и Отта // ЖТФ. 2007. - Т. 77. №4. - С. 10-18.

69. Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica D. 2007. - V. 232. - P. 87-102.

70. Gaspard P. // Encyclopedia of Nonlinear Science, Scott A., Editor. Routledge, New York: 2005. P. 548-553.

71. Kaneko K. Theory and aplications of coupled map lattices. John Wiley and Sons. Ltd. Baffins Lane. Chichester. West Sussex. P019 IUD. England. 1993. 191 P.

72. Шарковский A.H., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка. 1989. 216 с.

73. Смит Дж.М. Модели в экологии. М: Мир. 1976.

74. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 368 с.

75. Kamuro S., Takashi A. Numerical study on a coupled-logistic map as a simple model for a predator-prey system.// Journal of the Physical society о Japan. 1990. - Vol.59, No.4. - PP.1184-1198.

76. Аллен Дж.Р. Математическая экономия. М: Изд-во иностр. лит.1963.

77. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1995.

78. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть I: Сценарий Фейгенбаума // Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1993. - Т. 1, №.1-2. - С. 15-33.

79. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук, 1983. № 9. С.343-374.

80. Алексенко А.Г., Коломбет Е.А., Стародуб Г.И. Применение прецизионных аналоговых микросхем. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1985. - 256 е., ил.

81. Тимонтеев В.Н., Величко JI.M., Ткаченко В.А.Аналоговые перемножители сигналов в радиоэлектронной аппаратуре. М.: Радио и связь, 1982. - 112 е., ил.

82. Исаева О.Б. Комплексная аналитическая динамика в приложении к радиофизическим системам. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Саратов. 2003.

83. Feigenbaum M.J. Universality in chaos // Physica D. 1983. - V.7.1. P.16.

84. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М: Мир. 1991. 368 с.

85. Korsch H.J., Jodl H.-J. Chaos: A program collection for the PC. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. 1994. PP. 196-198.

86. Jetschke G. Mathematik der Selbstorganisation: Qualitative Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme und gleichgewichtsferner Strukturen in Physik, Chemie und Biologie. Berlin: Deutsch. Verl. der Wissenschaften. 1989. 336 S.

87. Kamuro S., Takashi А. Numerical study on a coupled-logistic map as а simple model for a predator-prey system // Journal of the Physical society о Japan. 1990.-V.59,No.4.-P.l 184-1198.

88. Андрушкевич А.В., Кипчатов А.А., Красичков JI.B., Короновский А.А. Экспериментальное двупараметрическое исследование неоднозначных режимов колебаний // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1995. - Т. 38, №11. -С.1195 - 1203.

89. Weidlich W. Physics and social science the approach of synergetics // Phys. Repts. - 1991. - V. 204, No. 1. - P. 1-169.

90. Hunt E.R. Stabilizing high-periodic orbits in a chaotic system: the diode resonator//Phys. Rev. Let. 1991. - V.67. - P. 1953.

91. Galias Z., Ogorzalek M.J. Bang-bang control of chaotic system // Proceedings of the 3rd International Workshop NDES'95. Dublin, Ireland. -1995. - P.229-232.

92. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev E.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map // Chaos, Solitons & Fractals. 1995. - Vol.5, No.l 1. - P.2095-2107.

93. Каплан A.E., Кравцов Ю.А., Рылов В.А., Параметрические генераторы и делители частоты, М: Сов. радио, 1966, 334 с.

94. Hegger R., Kantz Н., Schmuser F., Diestelhorst M., Kapsch R.-P., and Beige H. Dynamical properties of a ferroelectric capacitors observed through nonlinear time series analysis // Chaos. 1998. - Vol.8. - P.727-754.

95. Swameye I., Muller T.G., Timmer J., Sandra O., and Klingmuller U. Identification of nucleocytoplasmic cycling as a remote sensor in cellular signaling by databased modeling // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2003. - V.100. - P. 10281033.

96. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

97. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: изд-во Саратовского университета, 1999.

98. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

99. Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П., Безручко Б.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ. 2003. - Т. 29, вып. 19. - С. 69-76.

100. Аносов О. Д., Бутковский О .Я., Кравцов Ю.А. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности // Радиотехника и электроника. 1997. - Т. 42, вып. 3. -С. 313-319.

101. Фейгин A.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М. Прогноз качественного поведения динамической системы по хаотическому временному ряду // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 2001. - Т. 44, № 5-6. - С.376-399.

102. Smirnov D.A., Bezruchko В.Р. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Phys. Rev. E, 2003, Vol. 68, 046209.

103. Hale J.K., Lunel S.M.V., Introduction to Functional Differential Equations, Springer, New York, 1993.

104. Kuang Y., Delay Differential Equations With Applications in Population Dynamics, Academic Press, Boston, 1993.

105. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system // Opt. Commun. 1979. V. 30. - P. 257261.

106. Mackey M.C., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems// Science. 1977. - V. 197. - P. 287-289.

107. Bocharov G.A., Rihan F.A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations // J. Сотр. Appl. Math. 2000. - V. 125. - P. 183.

108. Farmer J.D. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system // Physica D. 1982. V. 4. - P. 366-393.

109. Hegger R., Biinner M.J., Kantz H. Identifying and modeling delay feedback systems // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81, N. 3. - P. 558-561.

110. Zhou C., Lai C.-H. Extracting messages masked by chaotic signals of time-delay systems // Phys. Rev. E. 1999. - V.60, No.l. - P. 320-323.

111. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L. Cuenot J.-В., Levy P., Rhodes W.T. Cracking chaos-based encryption systems ruled by nonlinear time delay differential equations // Phys. Lett. A. 2003. - Vol. 308. - P.54-60.

112. Tian Y.-C., Gao F. Extraction of delay information from chaotic time series based on information entropy // Physica D. 1997. - V. 108. - P. 113-118.

113. Bunner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Rau U., Parisi J. Recovery of scalar time-delay systems from time series // Phys. Lett. A. 1996. -V. 211.-P. 345-349.

114. Bunner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Parisi J. Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Phys. Rev. E. 1996. -V. 54.-P. 3082-3085.

115. Bunner M.J., Meyer Th., Kittel A., Parisi J. Recovery of the timeevolution equation of time-delay systems from time series // Phys. Rev. E. 1997. -V. 56.-P. 5083-5089.

116. Biinner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., Politi A. Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory // Eur. Phys. J. D. 2000. - V. 10. - P. 165-176.

117. Voss H., Kurths J. Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Phys. Lett. A. 1997. - V. 234. -P. 336-344.

118. Ellner S.P., Kendall B.E., Wood S.N., McCauley E., Briggs C.J. Inferring mechanism from time-series data: delay differential equations // Physica D.- 1997.-V. 110.-P. 182-194.

119. Voss H., Kurths J. Reconstruction of nonlinear time-delayed feedback models from optical data // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. - V. 10. -P. 805-809.

120. Мун Ф. Хаотические колебания. M.: Мир. 1990. - 311 с.

121. Ikeda К., Matsumoto К. High-dimensional chaotic behavior in systems with time-delayed feedback // Physica D. 1987. - V. 29. - P. 223-235.

122. Voss H., Kurths J. Reconstruction of nonlinear time-delayed feedback models from optical data // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. - V. 10. -P. 805-809.

123. Ahlers V., Parlitz U., Lauterborn W. Hyperchaotic dynamics and synchronization of external-cavity semiconductor lasers // Phys. Rev. E. 1998. -V.58. - P.7208-7213.

124. Sivaprakasam S., Shore K.A. Demonstration of optical synchronization of chaotic external-cavity laser diodes // Opt. Lett. 1999. - V.24, N.7. - P.466-468.

125. Fischer I., Liu Y., Davis P. Synchronization of chaotic semiconductor laser dynamics on subnanosecond time scales and its potential for chaos communication // Phys. Rev. A. 2000. - V.62. - 011801.

126. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1990. - V.64, N.8. - P.821-824.

127. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L.O., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1992. - V.2, N.3. - P.709-713.

128. Pecora L.M., Carroll T.L., Johnson G.A., Mar D.J., Heagy J.F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts, and applications // Chaos. 1997. - V.7, N.4. - P.520-543.

129. Parlitz U. Estimating model parameters from time series by autosynchronization // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.76. - P. 1232-1235.

130. Maybhate A., Amritkar R.E. Use of synchronization and adaptive control in parameter estimation from a time series // Phys. Rev. E. 1999. - V.59. -P.284-293.

131. Huang D. Synchronization-based estimation of all parameters of chaotic systems from time series // Phys. Rev. E. 2004. - Y.69. - 067201.

132. Sakaguchi H. Parameter evaluation from time sequences using chaos synchronization // Phys. Rev. E. 2002. - V.65. - 027201.

133. Konnur R. Synchronization-based approach for estimating all model parameters of chaotic systems // Phys. Rev. E. 2003. - V.67. - 027204.

134. Tao C., Zhang Y., Du G., Jiang J.J. Estimating model parameters by chaos synchronization // Phys. Rev. E. 2004. - V.69. - 036204.

135. Lang R., Kobayashi K. External optical feedback effects on semiconductor injection lasers // IEEE J. Quantum Electron. 1980. - V.16. -P.347-355.

136. Alsing P.M., Kovanis V., Gavrielides A., Erneux T. Lang and Kobayashi phase equation // Phys. Rev. A. 1996. - V.53. - P.4429-4434.

137. Koryukin I.V., Mandel P. Two regimes of synchronization in unidirectionally coupled semiconductor lasers // Phys. Rev. E. 2002. - V.65. -026201.

138. Jaeger L., Kantz H. Unbiased reconstruction of the dynamics underlying a noisy chaotic time series // Chaos. 1996. - V.6, N3. - P.440-450.

139. McSharry P.E., Smith L.A. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.83, N 21. -P.4285^288.

140. Judd K. Chaotic-time-series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods // Phys. Rev. E. 2003. - V.67. - 026212.

141. Horbelt W., Timmer J. Asymptotic scaling law for precision of parameter estimates in dynamical systems // Phys. Lett. A. 2003. - V.310. -P.269-280.

142. Pisarenko V.F., Sornette D. Statistical methods of parameter estimation for deterministically chaotic time series // Phys. Rev. E. 2004. - V.69. -036122.

143. Farmer J.D. and Sidorowich J.J. Optimal shadowing and noise reduction//Physica D. 1991.-V.47. -P.373-392.

144. Andreyev Y.V., Dmitriev A.S., Efremova E.V. Dynamic separation of chaotic signals in the presence of noise // Phys. Rev. E. 2002. - V.65. - 046220.

145. Appleton E.V. The automatic synchronization of triode oscillator // Proc. Cambridge Phil. Soc. (Math, and Phys. Sci.). 1922. - V.21. - P.231.

146. Heagy J.F., Caroll T.L., Pecora L.M. Synchronous chaos in coupled oscillator systems // Phys. Rev. E. 1994. - V.50. - P. 1874-1885.

147. Peterman D. W., Ye M., Wigen P.E. High frequency synchronization of chaos //Phys. Rev. Lett. 1995. -V. 74. - P. 1740-1742.

148. Rosa E.Jr., Pardo W. В., Ticos С. M., Walkenstein J. A., Monti M. Phase synchronization of chaos in a plasma discharge tube // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. - V. 10, No. 11. - P.2551-2563.

149. Fabiny L., Colet P., Roy R. Coherence and phase dynamics of spatially coupled solid-state lasers // Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - P.4287-4296.

150. Heil Т., Fischer In., Elsasser W., Mulet J., Mirasso C. R. Chaos Synchronization and Spontaneous Symmetry-Breaking in Symmetrically Delay-Coupled Semiconductor Lasers // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.86. - P.795-798.

151. Kocarev L., Parlitz U. General approach for chaotic synchronization with applications to communication // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74. - P.5028-5031.

152. Carroll T.L., Pecora L.M. Cascading synchronized chaotic systems // Physica D. 1993. - V.67. - P.126-140.

153. Wang W., Anderson B.T., Kaufmann R.K., Myneni R.B. The relation between the North atlantic oscillation and SSTs in the North atlantic basin. // Journal of climate. 2004. - V.17. - P.4752-4759.

154. Коновалов И.Б., Мольков Я.И., Фейгин A.M. Механизмы сложного динамического поведения мезосферной фотохимической системы // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Нелинейная динамика -синхронизация и ха-ос. 1997. - В.2. - С.119-142.

155. Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике, (перевод с английского). М.: Статистика. 1972.

156. Ting J.J. Causalities of the Taiwan stock market // Physica A. 2003. -V.324. -P.285-295.

157. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., and Kurths J. Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2001.

158. Schäfer С., Rosenblum M.G., Abel H., Kurths J. Synchronization in the human cardio respiratory system. // Phys. Rev. E. 1999. - V.60, No.l. -P.857-870.

159. Rosenblum M.G., Cimponeriu L., Bezerianos A., Patzak A., Mrowka R. Identification of coupling direction: application to cardiorespiratory interaction // Phys. Rev. E. 2002. - V.65. - P.041909.

160. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника. 1999. - Т.44, № 9. -С. 1075-1092.

161. Аносов O.JL, Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. - Т.8, № 1. -С.29-51.

162. Kantz Н., Schreiber Т., Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

163. Granger C.W.J. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods // Econometrica. 1969. - V.37, No.3. -P.424-438.

164. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1990. - V.64, No.8. - P.821-824.

165. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L.O., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1992. - V.2, No.3. - P.709-713.

166. Cuomo K.M., Oppenheim A.V. Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications // Phys. Rev. Lett. -1993. V.71, No.l. - P.65-68.

167. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче музыкальных и речевых сигналов с использованием динамического хаоса // Препринт ИРЭ РАН, М. 199. - №12 (600).

168. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.О. Experiments on speech and music signals transmission using chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. -V.5,No.4.-P. 1249-1254.

169. Pecora L.M., Carroll T.L., Johnson G.A., Mar D.J., Heagy J.F. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts, and applications // Chaos. 1997. - V.7, No.4. - P.520-543.

170. Дмитриев А.С., Панас A.M., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Успехи современной радиоэлектроники. 1997. - №. 10. - С. 4-26.

171. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление. // Успехи современной радиоэлектроники. - 1997. - №10. - С. 27-49.

172. Дмитриев А.С., Кузьмин JI.B. Передача информации с использованием синхронного хаотического отклика при наличии фильтрации в канале связи // Письма в ЖТФ. 1999. - Т.25, вып. 16. - С. 71-77.

173. Кальянов Э.В. Передача информации через радиоканал с использованием маскирующих колебаний // Письма в ЖТФ. 2001. - Т.27, вып. 16. - С. 1-9.

174. Pérez G., Cerdeira H.A. Extracting messages masked by chaos .// Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74, No.ll. - P. 1970-1973.

175. Short K.M. Signal extraction from chaotic communications // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997. - V.7, No.7. - P. 1579-1597.

176. Zhou C.-S., Chen T.-L. Extracting information masked by chaos and contaminated with noise: Some considerations on the security of communication approaches using chaos // Phys. Lett. A, 1997, V.234, P.429-435.

177. Short K.M., Parker A.T. Unmasking a hyperchaotic communication scheme // Phys. Rev. E. 1998. - V.58, No.l. - P. 1159-1162.

178. Yang T., Yang L.-B., Yang C.-M. Application of neural networks to unmasking chaotic secure communication // Physica D. 1998. - V.124, No. 1-3. -P.248-257.

179. Yang T., Yang L.-B., Yang C.-M. Breaking chaotic secure communication using a spectrogram // Phys. Lett. A. 1998. - V.247, No. 1-2. -P. 105-111.

180. Pyragas K. Transmission of signals via synchronization of chaotic time-delay systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1998. - V.8, No.9. -P.1839-1842.

181. Mensour B., Longtin A. Synchronization of delay-differential equations with application to private communication // Phys. Lett. A. 1998. -V.244. - P.59-70.

182. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L., Rhodes W.T. Communicating with optical hyperchaos: Information encryption and decryption in delayed nonlinear feedback systems // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.86. - P.1892-1895.

183. Zhou C., Lai C.-H. Extracting messages masked by chaotic signals of time-delay systems // Phys. Rev. E. 1999. - V. 60, No. 1. - P. 320-323.

184. Bezruchko B.P. and Smirnov D.A. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E. 2001. - V.63. - 016207.

185. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field reconstruction by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Phys. Rev. E. 1994. - V.49. -P.4955-4972.

186. Кислов В.Я., Дмитриев A.C. Нелинейная стохастизация колебаний в радиотехнических и электронных системах. В сб: Проблемы современной радиотехники и электроники. М.: Наука, 1987.

187. Song Y., Han М., Peng Y. Stability and Hopf bifurcations in a competitive Lotka-Volterra system with two delays // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. - V. 22. - P. 1139-1148.

188. Seidel H., Herzel H. Bifurcations in a nonlinear model of the baroreceptor-cardiac reflex // Physica D. 1998. - V. 115. - P. 145-160.

189. Kotani K., Takamasu K., Ashkenazy Y., Stanley H. E., Yamamoto Y. Model for cardiorespiratory synchronization in humans // Phys. Rev. E. 2002. -V. 65.-051923.

190. Mensour В., Longtin A. Synchronization of delay-differential equations with application to private communication // Phys. Lett. A. 1998. -V.244, No. 1-3 .—P.59-70.

191. Shahverdiev E.M., Sivaprakasam S., Shore K.A. Parameter mismatches and perfect anticipating synchronization in bidirectionally coupled external cavity laser diodes. Phys. Rev. E. - 2002. - V. 66. - 017206.

192. Bunner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Parisi J. Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Phys. Rev. E. 1996. -V. 54. - P.3082-3085.

193. Bunner M.J., Ciofmi M., Giaquinta A., Hegger R., Kantz H., Meucci R., Politi A., Reconstruction of systems with delayed feedback: (I) Theory // Eur. Phys. J. D. 2000. - V. 10. - P. 165-176.

194. Hegger R., Bunner M.J., Kantz H., Giaquinta A. Identifying and modeling delay feedback systems // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 558561.

195. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L., Cuenot J.-В., Levy P., Rhodes W.T. Cracking chaos-based encryption systems ruled by nonlinear time delay differential equations // Phys. Lett. A. 2003. - V. 308. - P. 54-60.

196. Smirnov D.A., Bezruchko B.P. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series. 2003. - Phys. Rev. E. - V. 68. -046209.

197. Udaltsov V.S., Goedgebuer J.-P., Larger L., Rhodes W.T. Communicating with optical hyperchaos: Information encryption and decryption in delayed nonlinear feedback systems // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 86. - P. 18921895.

198. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. Москва. Наука. 1969. 288 с.

199. Siefert М. Practical criterion for delay estimation using random perturbations // Phys. Rev. E. 2007. - V.76. - 026215.

200. Ringwood J.V., Malpas S.C. Slow oscillations in blood pressure via a nonlinear feedback model // Am. J. Physiol. Regulatory Integrative Сотр. Physiol. -2001. V. 280.-P. 1105-1115.

201. Ursino M., Magosso E. Short-term autonomic control of cardiovascular function: a mini review with the help of mathematical models // Journal of Integrative Neuroscience. 2003. - V.2, No.2. - P.219-247.

202. Bezruchko B.P., Dikanev T.V., Smirnov D.A. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series// Phys. Rev. E. -2001.-V.64.-036210.

203. Харкевич А.А. Борьба с помехами. Москва. Наука. 1965. 276 с.

204. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва. Высшая школа. 2000. 462 с.

205. Войшвилло Г.В. Усилительные устройства. Москва. Радио и связь. 1983. 264 с.

206. Malpas S. Neural influences on cardiovascular variability: possibilities and pitfalls // Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 2002. - V.282. - H6-H20.

207. Cevese A., Gulli G., Polati E. et al. Baroreflex and oscillation of heart period at 0.1 Hz studied by alpha-blockade and cross-spectral analysis in healthy humans //J. Physiol. (London). -2001. -V.531. -P.235-244.

208. Bernardi L., Leuzzi S., Radaelli A. et al. Low-frequency spontaneous fluctuations of R-R interval and blood pressure in conscious humans: a baroreceptor or central phenomenon? // Clinical Science. 1994. - V.87. - P.649-654.

209. Hyndman B.W., Kitney R.I., Sayers B.M. Spontaneous rhythms in physiological control systems // Nature. 1971. - V.233. - P.339-341.

210. Капранов M.B., Кулешов B.H., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 320 с.

211. Sayers B.M. Analysis of heart rate variability // Ergonomics. 1973. -V.16 - P.17-32.

212. Hirsh J.A., Bishop B. Respiratory sinus arrhythmia in humans; how breathing pattern modulates heart rate // Am J. Physiol. 1981. - 241. - H620-H29.

213. Akselrod S., Gordon D., Ubel F.A. et al. Power spectrum analysis of heart rate fluctuation: a quantitative probe of beat to beat cardiovascular control // Science. 1981. V.213.-P.220-222.

214. Ursino М. Interaction between carotid baroregulation and the pulsating heart: a mathematical model // American Physiological Society. 1998. -P.H1733-H1747.

215. Ottensen J.T. Modeling the dynamical baroreflex-feedback control // Math, and Сотр. Modeling. 2000. - V. 31. - P. 167-173.

216. Kotani K., Struzik Z.R., Takamasu K., Stanley H.E., Yamamoto Y. Model for complex heart rate dynamics in health and diseases // Phys. Rev. E. -2005.-V. 72.-041904.

217. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Sysoev I.V., Karavaev A.S. Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Izv. VUZ "AND". 2002. -T. 10. -№ 3. - C. 137-158.

218. DeBoer, R. W., J. M. Karemaker, and J. Strackee. Hemodynamic fluctuations and baroreflex sensitivity in humans: a beat-to-beat model // Am. J. Physiol. (Heart Circ. Physiol. 22). 1987. - V.253. - H680-H689.

219. Каплан А.Я. Нестационарность ЭЭГ: методологический и экспериментальный анализ // Успехи физиологических наук. 1998. - Т.29, №3. - С.35-55.

220. Chavez М., Adam С., Navarro V., Boccaletti S., Martinerie J. On the intrinsic time scale involved in synchronization: a data-driven approach // Chaos. -2005.-V.15.-02394.

221. Knyazeva M.G., Innocenti G.M. EEG coherence studies in the normal brain and after early-onset cortical pathologies // Brain Research Reviews. 2001. - V.36. -P.119-128.

222. Schafer C., Rosenblum M.G., Abel H.-H., Kurths J. Synchronization in the human cardiorespiratory system // Phys. Rev. E. 1999. - Vol.60. - P.857-870.

223. Janson N.B., Balanov A.G., Anishchenko V.S., McClintock P.V.E. Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. I. Basic theory // Phys. Rev. E. 2002. - V.65. - 036211.

224. Janson N.B., Balanov A.G., Anishchenko V.S., McClintock P.V.E. Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. II. Application to heart-rate-variability data // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.65. - 036212.

225. Короновский A.A., Храмов A.E. Непрерывный вейвлет-анализ и его приложения. -М.: Физматлит, 2003. 176 с.

226. Пиковский А., Розенблюм М., Куртц И. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003 496 с.

227. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.76, No.l 1. -P. 1804-1807.

228. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом // Радиотехника и электроника. 2002. -Т.47, №2. - С.133-162.

229. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Взаимосвязь частотных и фазовых характеристик хаоса. Два критерия синхронизации // Радиотехника и электроника. 2004. - Т.49, №1. - С. 123.

230. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. - Т.26., №9. - С.795-803.

231. Astakhov V., Shabunin A., Anishenko V. Synchronization of self-oscillations by parametric excitation // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1998. -V.8, No.7. - P.1605-1612.

232. Wavelets in Physics, J.C. Van den Berg Edition, Cambridge University Press, 1998.

233. Grossman A. and Morlet J. Decomposition of Hardy function into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. -V.15, No.4. - P.273.

234. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators // Proc. IRE. -1949. Y.34, No.6. - P.1380-1385.

235. Rossberg A.G., Bartolomo K., Voss H.U., Timmer J. Phase Synchronization from Noisy Univariate Signals // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.93. -154103.

236. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.T. Numerical Recipes // Cambridge University Press, Cambridge, UK. 1997.

237. Глас Л., Мэки M. От часов к хаосу: Ритмы жизни: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991.-248 е., ил.

238. Glass L. Synchronization and rhythmic processes in physiology // Nature, 2001, V. 410, P. 277-284.

239. Malpas S. Neural influences on cardiovascular variability: possibilities and pitfalls // Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 2002. - V.282. - H6-H20.

240. Ludwig С. Beiträge zur Kenntnis des Einflusses der Respirationsbewegung auf den Blutlauf im Aortensystem // Arch. Anat. Physiol. -1847.-V. 13.-P. 242-302.

241. Dornhorst A.C., Howart P., Leathart G.L. Respiratory variations in blood pressure // Circulation. 1952. - V.6. - P. 553-558.

242. Keyl С., Dambacher M., Schneider A., Passino C., Wegenhorst U., Bernardi L. Cardiocirculatory coupling during sinusoidal baroreeeptor Stimulation and fixed-frequency breathing // Clin. Sei. 2000. - V.99. - P. 113-124.

243. Cooke W.H., Hoag J.B., Crossman A.A., Kuusela T.A., Tahvanainen K.U.O., Eckberg D.L. Human responses to upright tilt: a window on central autonomic integration // J. Physiol. (London). 1999. - V.517. - P.617-628.

244. Taylor J.A., Eckberg D.L. Fundamental relations between short-term RR interval and arterial pressure oscillations in humans // Circulation. 1996. -V.93. -P.1527-1532.

245. Schäfer С., Rosenblum M.G., Kurths J., Abel H.-H. Heartbeat synchronized with ventilation // Nature. 1998. - V.392. - P. 239-240.

246. Rosenblum M.G., Kurths J., Pikovsky A., Schäfer C., Tass P., Abel H.-H. Synchronization in noisy systems and cardiorespiratory interaction // IEEE Eng. Med. Biol. Mag. 1998. - V. 17. - P. 46-53.

247. Seidel H., Herzel H. Analyzing entrainment of heartbeat and respiration with surrogates // IEEE Eng. Med. Biol. Mag. 1998. - V.17. - P. 5457.

248. Schäfer C., Rosenblum M.G., Abel H.-H., Kurths J. Synhronization in the human cardiorespiratory system // Phys. Rev. E. 1999. - V.60. - P. 857-870.

249. Bracic-Lotric M., Stefanovska A. Synchronization and modulation in the human cardiorespiratory system // Physica A. 2000. - V.283. - P. 451-461.

250. Janson N.B., Balanov A.G., Anishchenko V.S., McClintock P.V.E. Phase synchronization between several interacting processes from univariate data // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.86. - P. 1749-1752.

251. Rzeczinski S., Janson N.B., Balanov A.G., McClintock P.V.E. Regions of cardiorespiratory synchronization in humans under paced respiration // Phys. Rev. E 2002. - V.66. - 051909.

252. Hyndman B.W., Kitney R.I., Sayers B.M. Spontaneous rhythms in physiological control systems//Nature. 1971. - V.233. - P. 339-341.

253. Akselrod S.D., Gordon D., Madwed J.B., Snidman N.C., Shannon D.C., Cohen R.J. Power spectrum analysis of heart rate fluctuations: a quantitative probe of beat-to-beat cardiovascular control // Science. 1981. - V.213. - P. 220222.

254. DeBoer R., Karemaker J., Strackee J. Hemodynamic fluctuations and baroreflex sensitivity in humans: a beat-to-beat model // Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 1987. - V.253. - H680-H689.

255. Malliani A., Pagani M., Lombardi F., Cerutti S. Cardiovascular neural regulation explored in the frequency domain // Circulation. 1991. - V.84. -P.482-492.

256. Bernardi L., Leuzzi S., Radaelli A., Passino C., Johnston J.A., Sleight P. Low-frequency spontaneous fluctuations of R-R interval and blood pressure inconscious humans: a baroreceptor or central phenomenon? // Clin. Sei. 1994. -V.87.-P. 649-654.

257. Cevese A., Gulli G., Polati E., Gottin L., Grasso R. Baroreflex and oscillation of heart period at 0.1 Hz studied by alpha-blockade and cross-spectral analysis in healthy humans // J. Physiol. (London). 2001. - V.531. - P. 235-244.

258. Janson N.B., Balanov A.G., Anishchenko V.S., McClintock P.V.E. Phase synchronization between several interacting processes from univariate data // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.86. - P. 1749-1752.

259. Schäfer C., Rosenblum M.G., Abel H.-H., Kurths J. Synhronization in the human cardiorespiratory system // Phys. Rev. E- 1999. V.60. - P. 857-870.

260. Seidel H., Herzel H. Bifurcations in a nonlinear model of the baroreceptor-cardiac reflex // Physica D. 1998. - V.l 15. -P.145-160.

261. Kotani K., Takamasu K., Ashkenazy Y., Stanley H.E., Yamamoto Y. Model for cardiorespiratory synchronization in humans. Phys. Rev. E. - 2002. -V. 65.-051923.

262. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization, applications to living systems // Series A, Vol. 42, World Scientific, Singapore, 2002.

263. Malpas S. Neural influences on cardiovascular variability: possibilities and pitfalls // Am. J. Physiol. Heart Circ. Physiol. 2002. - V.282. - H6-H20.

264. Stefanovska A., Hocic M. Spatial synchronization in the human cardiovascular system // Prog. Theor. Phys. Suppl. 2000. - V.l39. - P.270-282.

265. Schafer C., Rosenblum M.G., Abel H.-H., Kurths J. Synhronization in the human cardiorespiratory system //Phys. Rev. E. V.60. - P.857-870.

266. Bracic-Lotric M., Stefanovska A. Synchronization and modulation in the human cardiorespiratory system //Physica A. V.283. - P.451-461.

267. Tass P., Rosenblum M.G., Weule J., Kurths J., Pikovsky A., Volkmann J., Schnitzler A., Freund H.-J. Detection of n:m phase locking from noisy data: Application to magnetoencephalography // Phys. Rev. Lett. 1998 -V.81. - P.3291-3294.

268. Kurths J., Voss A., Saparin P., Witt A., Kleiner H.J., Wessel N. Quantitative analysis of heart rate variability // Chaos. 1995. - V.5. - P.88-94.

269. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Каменский В.Ю., Пономаренко

270. B.И. Экспериментальное подтверждение закономерностей универсальности и подобия для модели генератора с запаздывающей обратной связью// Письма в ЖТФ. 1988. -Т.14, вып. 11, — С.1014-1019.

271. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов// Изв. вузов, Радиофизика. 1988. -Т.31, №5. - С.627-630.

272. Безручко Б.П., Кулешов A.B., Пономаренко В.И., Потапов В.Т. Нелинейные явления в колебательной системе с фотодиодом// Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, вып.2. - С.387-391.

273. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах// Изв.вузов, Радиофизика. 1991. - Т.34, №1.1. C.35-39.

274. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью// Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №11. - С.2167- 2170.

275. Безручко Б.П., Кулешов A.B., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Нелинейные колебания в резонаторе с варакторным диодом// Радиотехника и электроника. 1991. - Т.36, №8. - С. 1519-1525.

276. Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Сложная динамика радиотехнической модели-аналога генератора на вакуумном микротриоде// ДАН. 1994. - Т.337, №5. - С.602-604.

277. Трубецков Д.И., Пономаренко В.И., Короновский A.A. Динамика систем с квадратичной нелинейностью и пороговой связью// Письма в ЖТФ. 1996. - Т.22, №19. - С.60-64.

278. Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfmogentov V.G., Ponomarenko V.I., Ryskin N.M. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave electronic devices// Chaos. 1996. - Vol.6, No.3. - P.358-367.

279. Короновский A.A., Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Колебания в системе двух модельных автогенераторов на вакуумных микротриодах с однонаправленной связью// Письма в ЖТФ. 1997. - Т.23, вып.18. - С.55-61.

280. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Динамика отображений с пороговым типом связи// Прикладная нелинейная динамика. -1997. -Т.5, №2-3. -С.63-71.

281. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И. Двухуровневое управление хаосом в нелинейных осцилляторах// Письма в ЖТФ. 1999. -Т.25, вып.4. - С.61-67.

282. Bezruchko В.Р., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series// Physical Review E.-2001.-Vol.64.-056216.

283. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Ponomarenko V.I. Mandelbrot set in coupled logistic maps and in electronic experiment// Physical Review E. 2001. -Vol.64.-055201(R).

284. Караваев A.C., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам// Письма в ЖТФ. 2001. - Т.27, вып. 10. - С.43-51.

285. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П., Экспериментальное исследование бифуркаций в системах с быстро меняющимся параметром// Письма в ЖТФ. 2002. - Т.29, вып.11. - С.58-65.

286. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Выделение информационной компоненты хаотического сигнала системы с запаздыванием// Письма в ЖТФ. 2002. - Т.28, вып. 16. - С.37-44.

287. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system// Phys. Rev. E. 2002. - V.66. -026215.

288. Bezruchko В., Ponomarenko V., Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Characterizing direction of coupling from experimental observations// Chaos. -2003. V.13, No.l. -P. 179-184.

289. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Gridnev V.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system// Phys. Rev. E. 2003. - V.68. - 041913.

290. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Seleznev Ye.P., Dikanev T.V. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. - Т. 11, №.3. -С.56-66.

291. Bespyatov А.В., Bodrov М.В., Gridnev V.I., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system// Nonlin. Phen. in Compl. Syst. 2003. - V.6, No.4. -P.885-893.

292. Dikanev T., Smirnov D., Ponomarenko V., Bezruchko B. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. - Т. 11, №.3. - С.165-178.

293. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Караваев А.С. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам// Письма в ЖТФ. 2004. - Т.30, вып.2. -С.81-88.

294. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам// Письма в ЖТФ. 2004. - Т.30, вып.22. - С.23-30.

295. Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Прохоров М.Д., Беспятов А.Б., Бодров М.Б., Караваев А.С. Синхронизация сердцебиения и ритма регуляциисосудистого тонуса с дыханием// Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2004. - №8-9. - С.40-51.

296. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием// Радиотехника и электроника. 2004. - Т.49, №9. - С. 10981104.

297. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам// Письма в ЖТФ. -2005. Т.31, вып.2. - С.41^18.

298. Смирнов Д.А., Власкин B.C., Пономаренко В.И. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам// Письма в ЖТФ. 2005. - Т.31, вып.2. - С. 18-26.

299. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду// Письма в ЖТФ. -2005.-Т.31, вып.6. С.73-78.

300. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series// Physics Letters A. 2005. - V.336. - P.448-458.

301. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев A.C., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям// ЖЭТФ. 2005. - Т. 127, вып.З. -С.515-527.

302. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko В.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series// Physica D. -2005. V. 203, No.3-4. - P. 209-223.

303. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Estimation of coupling between time-delay systems from time series// Phys. Rev. E. 2005. - V. 72. - 016210.

304. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Корюкин И.В. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам// Письма в ЖТФ. 2005. - Т.31, вып.21. - С. 79-86.

305. Прохоров М.Д., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Беспятов А.Б. Исследование синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека по последовательностям R-R-интервалов// Биофизика. 2005. - Т.50, вып. 5. - С. 914-919.

306. Hramov А.Е., Koronovskii А.А., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency// Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 73. - 026208.

307. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием// Письма в ЖТФ. 2006. - Т.32, вып. 17. - С.73-80.

308. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е. Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа// ЖТФ. 2007. -Т.77, вып.9. - С.6-17.

309. Hramov А.Е., Koronovskii А.А., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform// Phys. Rev. E. 2007. - V. 75. - 056207.

310. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Encryption and decryption of information in chaotic communication systems governed by delay-differential equations. Chaos, Solitons & Fractals. 2008. - V. 35, No.5. - P.871-877.

311. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И. Восстановление модельных уравнений цепочек связанных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ. 2008. - Т.34, вып.8. - С.29-35.1. Благодарности

312. Считаю также своим приятным долгом поблагодарить администрацию Саратовского филиала ИРЭ РАН за создание условий для эффективной работы. Благодарю также всех сотрудников подразделений, с которыми взаимодействовал все время работы в филиале.