Экстремальные многочлены и римановы поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Богатырев, Андрей Борисович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2003
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах ■рукописи
Я/
БОГАТЫРЕВ Андрей Борисович
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ и РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
01.01.01 — Математический анализ 01.01.07 — Вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
МОСКВА- 2003
Работа выполнена в Институте вычислительной математики Российской академии наук
Научный консультант:
д.ф.-м.н., профессор В.И. ЛЕБЕДЕВ
Официальные оппоненты: д.ф-м.н, профессор В.И. ВЛАСОВ д.ф-м.н. С.П. СУЕТИН д.ф-м.н., профессор Я.М. ЖИЛЕЙКИН
Ведущая организация:
Институт прикладной математики РАН им М.В.Келдыша.
Защита состоится 18 июня 2003 года на заседании диссертационного совета Д002.045.01 при Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8, аудитория 727.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им. В.А.Стеклова.
Автореферат разослан б мая 2003 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета
доктор физико-математических наук
Г.А. БОЧАРОВ
W-I -1
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В начале 1850-х годов П.Л.Чебышёв совершил поездку в Англию для ознакомления с высокими технологиями того времени. Вернувшись в Россию, он занялся чисто инженерной задачей о минимизации трения в шарнирах параллелограмма Уатта, передававшего вращение от паровой машины на колёса. Следствием исследований стала замена параллелограммного механизма на криво-шипно-шатунный, использующийся по сей день. Как сопутствующий продукт технического прогресса были открыты многочлены Чебышёва, вошедшие с тех пор во все учебники и названные Ж.Бертраном un miracle d'analyse. Именно эти многочлены оказались решениями простейших задач об условной минимизации на пространстве вещественных многочленов
{Р„(аО = t csxs} = IT+l (1)
s=0
величины уклонения
:=ms«|P„(a:)|,
Е - компакт на вещественной оси. За минувшие полтора века паровые машины вышли из употребления, однако интерес к задачам о наименьшем уклонении сохранился. В наши дни он связан, например, с оптимизацией численных алгоритмов, обработкой сигналов и проектированием в электротехнике. Приведём примеры типичных задач.
Задача, А: Пусть Е - совокупность нескольких вещественных отрезков. Минимизировать норму ||Рп||е многочлена при зада,иных линейных связях на его коэффициенты cq, ci, ..., с„.
Задача Б: Hatimu максимальный отрезок Е = [0,f], t > 0, для которого единичный шар {Рп : ||Рп||я < 1} пространства (1) пересекается с плоскостью коразмерности г, образованной многочленами, приближающими в нуле ехр(—х) с порядком г — 1.
Численное решение подобных экстремальных задач при практически интересных степенях п sa 1000 известно своей трудностью. Существующие на сегодняшний день алгоритмы Ремеза, Лебедева, Пе-херсторфера-Шифермайра, методы выпуклого программирования требуют больших вычислительных затрат по следующим причинам, (i)
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С-Петерв ОЭ
'та/
Решение ищется итерациями в пространстве высокой (порядка п) размерности и (и) норма многочлена - негладкая и трудновычисляемая функция его коэффициентов.
От этих недостатков свободен классический подход, при котором решение принято давать в виде явной формулы. Полтора века назад электронных цифровых машин не существовало, поэтому итерационные методы решения не считались удовлетворительными. Первые задачи о наименьшем уклонении были решены в терминах явных параметрических выражений (П.Л.Чебышёв, 1853 и Е.И.Золотарёв, 1868):
Тп(и) := сое (гш); х(и) := сое (и),
и е
гп{и) := -
х(и) :=
Н(а + и)
+
Н(а — и) ел2 (и) + 8П2(О)
Н{а - и)
Н{а + и) иеС,
(2) (3)
ей2 (и) - зп2(а)'
где Я(-) - эллиптическая тета функция в (устаревших) обозначениях Якоби, вп(-) - эллиптический синус того же модуля к € (0,1), фазовый сдвиг а :— тК(к)/п, т = 1,2,... ,п — 1, К (к) - полный эллиптический интеграл модуля к. Эти параметрические формулы можно понимать так. Функция х(и) является автоморфной относительно группы <8, разрывно действующей в комплексной плоскости. Многообразие орбит С/® является сферой Римана в первом случае и тором - во втором. Выражения для Тп(и), Zn(u) корректно определены на соответствующих факторах и оказываются многочленами степени п от переменной х. Как видим, классические решения связаны с алгебраическими кривыми небольшого рода д = 0,1, а сложность их вычислений не зависит от степени п многочлена.
Суть предлагаемого в данной работе подхода к задачам наименьшего уклонения - поиск решения не во всем пространстве многочленов (1), а на некоторых его маломерных подмногообразиях. Открытый П.Л.Чебышевым принцип альтернанса, в дальнейшем объяснённый выпуклым анализом, говорит о типичности следующей ситуации. Подавляющее большинство критических точек решения Т(х) - простые со значениями ±||Т(ж)||£; и лежат на множестве Е. Такие многочлены весьма специфичны и заполняют в пространстве (1) многобра-
зия малой размерности. Вот геометрическая интерпретация. Решению экстремальной задачи соответствует касание (линейного) многообразия, описывающего в пространстве (1) ограничения задачи, и сферы, образованной многочленами одинаковой нормы. Шар, порождённый равномерной нормой, есть выпуклый криволинейный многогранник: его граница не является гладкой и разбита на гладкие грани разных размерностей. Маломерные грани шара являются его наиболее выступающими частями и неудивительно, что касание различных поверхностей и этих граней осуществляется наиболее часто. Напротив, многомерные грани шара являются линейчатыми многообразиями и могут касаться линейных многообразий по континууму - соответствующая задача на минимум не будет однозначно разрешима. Наши наблюдения лежат в основе следующего определения:
Вещественный многочлен Р(х) назовем (нормированным) д-экстремальным многочленом, если все его критические точки, за исключением д из них, простые со значениями ±1. Параметр д этого определения (^количество исключительных критических точек) подсчитывается по формуле
д= £ огс! Р'(х) + £ ¿огс! Р'(х)], (4)
х: Р(х)?± 1 х. Р(х)=± 1
где огс1 Р'(х) - порядок нуля производной многочлена Р в точке х £<С, [•] - целая часть числа. Многочлены с параметром экстремальности д = О и д = 1 были открыты полтора века назад и известны как многочлены Чебышёва и Золотарёва соответственно.
Научная новизна. Мы предлагаем решать задачи типа наименьшего уклонения в равномерной норме выбором подходящей подстановки (анзатца). В приложении к таким задачам важны экстремальные многочлены с небольшим д, они зависят от небольшого числа дискретных и непрерывных параметров. Идейно и технически предлагаемый подход к решению оптимизационных задач более сложен, чем упомянутые ранее. Выгода же его в том, что сложность вычисления решения по явным аналитическим формулам не зависит от степени п многочлена, что ясно видно для классических формул Чебышёва и Золотарёва. Вместе с тем, объём вычислений быстро растёт вместе с параметром
д, поэтому естественная область применения этого метода - большая степень п решения при малом числе связей на его коэффициенты и малом числе компонент множества Е.
Цель работы. Описание, параметризация и эффективные вычисления (/-экстремальных многочленов являются целью предлагаемой диссертации.
Многочлены, а также рациональные и алгебраические функции, с небольшим числом критических значений - классический предмет математического исследования, находящийся на стыке непрерывного и дискретного. Одна традиция в этих исследованиях восходит к А.Гурви-цу (1891) и связана с перечислением разветвлённых накрытий над сферой, изучением стратов возникающего дискриминантного множества, отображения Ляшко-Лойенги, парами Белого и детскими рисунками Гротендика. Этот подход интенсивно развивается в последнее время московской математической школой - см. комментарии и библиографию к задаче 1970-15 в книге "Задачи Арнольда". Так, Г.Б.Шабат и А.К.Звонкин исследовали (1994) многочлены с ровно двумя конечными критическими значениями и их приложения к теории чисел.
Другая традиция в исследованиях восходит к П.Л.Чебышёву (1853), а по существу к Н.Абелю (1826). Она связана с изучением уравнения Пелля1 с полиномиальным коэффициентом, разложениями в цепные дроби и условиями вырождения гиперэллиптических интегралов, при которых они выражаются через логарифмы. Обзор этого направления можно найти в работе М.Л.Содина и П.М.Юдицкого (1992), а также С.П.Суетина (2002). Характерной особенностью этой второй традиции являются эффективные вычисления и связь с приложениями. Учитывая приведённую в начале работы мотивацию, мы избираем второй подход и доводим его до эффективных компьютерных расчётов.
Программа Чебышева В работе "Теория механизмов, известных под названием параллелограммов" (1853) П.Л.Чебышёв отмечает, что решения сформулированных им задач на минимум удовлетворяют
'Диофангово уравнение Р2 - ОС}* = 1, где О - заданный целый коэффициент, а целые Р и <2 нужно найти, "изучалось У.Броункером (1657), П.Ферма и Дж.Валлисом. Л.Эйлер по недоразумению связал его с именем Дж Пелля". Н.Абель первым рассмотрел то же уравнение с коэффициентом 0{х) -многочленом. Проф. В.И Лебедев предлагает называть последнее уравнение именами Ферма и А-беля
уравнению Пелля (=Ферма-Абеля), решение которого он предлагает искать в виде косинуса от гиперэллиптического интеграла. При этом необходимо, чтобы этот интеграл выражался через логарифмы. Соответствующий критерий (хотя и не конструктивный) давал остроултый метод Абеля. Для эллиптических интегралов эта программа исследований была намечена самим П.Л.Чебышевым, и полностью выполнена его учеником Е.И.Золотарёвым в 1868-1877 годах. Следующее крупное продвижение по реализации чебышёвской программы принадлежит Н.И.Ахиезеру, применившему в этих задачах язык геометрической теории функции комплексного переменного. В 1928 году Н.И.Ахиезер предложил для решения задачи Золотарёва с тремя фиксированными коэффициентами использовать анзатц, включающий функции Шотт-ки кривых рода д — 2. Применение анзатца не было однако полностью обосновано. Например, не была выяснена разрешимость системы трансцендентных уравнений (Абеля) по определению параметров анзатца. Методология этой работы основывалась на аппарате функций Грина надлежаще разрезаной плоскости, что затемняло связь задачи с алгебраическими кривыми. К сожалению, Н.И.Ахиезер в дальнейших исследованиях по теории приближений ограничился применением эллиптических функций, т.е. по сути использовал многочлены Золотарёва.
В последние 15 лет мы наблюдаем возобновление интереса к эллиптическим функциям, теорию которых Ф. Клейн назвал жемчужиной математики XIX века. Интерес этот возник в теории экстремальных и ортогональных многочленов, в алгебро-геометрическом подходе в теории интегрируемых систем и рассеянием на двоякопериодических потенциалах, комплексно геометрической теории одномерных интегральных уравнений. Работы по реализации геометрического подхода к задачам о наименьшем уклонении в случае рода д > 1 ограничивались до сих пор кривыми с точками ветвления, лежащими на вещественной оси либо окружности.
Большой объем знаний, накопленый математиками об алгебраических кривых и их деформационных пространствах позволяет сегодня использовать эти объекты для реальных вычислений. Здесь следует назвать прежде всего пионерские работы А.И.Бобенко (1986) по нелинейным волнам. Ключом к численному анализу на пространстве мо-
дулей алгебраических кривых служит теорема этого автора о том, что вещественные кривые можно униформизовать специальными группами Шоттки 6, линейные тета-ряды Пуанкаре которых сходятся абсолютно и равномерно на компактах в области разрывности группы. Для общих групп Шоттки такой факт неверен (Пуанкаре даже считал что это неверно всегда) - историю вопроса и обзор результатов см. в работах ЧУ.Випкнае (1892), РЛ.МугЬе^ (1916), Т.Акага (1967).
Методы исследования. В диссертации используются методы выпуклого анализа, комплексного анализа, численного ананлиза, теория приближений, римановы поверхности, графы, теория групп, косы и их представления, квазиконформные отображения, пространства Тайхмюллера, гиперболическая геометрия, штребелевы слоения, теория униформизации, неравенства.
Практической! значимость. Результаты работы предоставляют возможность оптимизации следующих алгоритмов вычислительной математики. (1) Построение явных устойчивых разностных схем решения обыкновенных дифференциальных уравнений типа реализованных в известной программе БПМКА. (и) Чебышёвское ускорение при итерационном решении больших систем линейных уравнений с невырожденной симметричной матрицей. Методы данной работы могут быть применены при оптимизации электротехнических схем и частотных фильтров. Разработанные автором методы вычисления специальных функций, связанных с римановыми поверхностями, можно использовать при численном моделировании в конформной теории поля и теории конеч-нозонного интегрирования.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:
• в МИРАН им. Стеклова на семинаре Отдела комплексного анализа под руководством академика А.А.Гончара и профессора Е.М.Чирки;
• на Механико-математическом факультете МГУ на семинаре кафедры ОПУ под руководством профессора В.М.Тихомирова;
• в МИРАН им. Стеклова на семинаре Отдела дифференциальных
уравнений под руководством академиков Д.В.Аносова, А.А.Боли-бруха и профессора Ю.С.Ильяшенко;
• в Независимом Московском Университете на семинаре "Римано-вы поверхности, алгебры Ли и математическая физика" под руководством профессоров С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейн мана;
• на Механико-математическом факультете МГУ на семинаре " Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" кафедры высшей алгебры под руководством профессора Г.Б.Шабата;
• в ИВМ РАН на семинаре "Вычислительная математика и математическая физика" под руководством академика Н.С.Бахвалова и профессора В.И.Лебедева;
• в университете Кеплера (Линц, Австрия) на семинаре отдела теории приближений факультета естественных наук под руководством профессора Ф.Пехерсторфера;
• на Механико-математическом факультете МГУ на семинаре под руководством профессора А.И.Аптекарева;
• на международной конференции, посвященной 175-летию П.Л.Че-бышёва; (Обнинск, 1996)
• на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998);
• на международном семинаре "Orthogonal Polynomials" (Мадрид, 1998);
• на международной конференции "Foundations of computational math ematics" (Оксфорд, 1999);
• на 6-м международном симпозиуме "Orthogonal polynomials, Special Functions and Applications" (Рим, 2001);
На основе материалов диссертации в весеннем семестре 2000 года был прочитан курс лекций в университете Кеплера (Линц, Австрия).
Публикации Основные результаты диссертации содержатся в пяти печатных работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 119 наименований. Работа изложена на 101 странице и включает 22 рисунка и 4 таблицы.
Благодарности. Во время работы над диссертацией в 1997-2002 гг. автор получал стипендию OAD "Bewerber über aller Welt", грант Благотворительного фонда поддержки отечественной науки, грант РФФИ для молодых учёных 01-01-06299 и был поддержан грантами РФФИ 99-01-00141, 02-01-00651. Автор считает своим приятным долгом поблагодарить участников всех вышеперечисленных семинаров и своего научного консультанта профессора В.И.Лебедева.
Содержание работы
Введение. Приведены примеры экстремальных задач для многочленов. Сделан исторический обзор методов исследования и вычисления решений задач о наименьшем уклонении. Объясняются основные идеи нового подхода. Кратко изложено содержание диссертации. Приведён список обозначений.
Глава 1. начинается с перечисления областей науки и техники, где встречаются задачи о наименьшем уклонении. Далее задачи наименьшего уклонения исследуются при помощи выпуклого анализа. Приведён обобщённый принцип альтернанса - критерий решения задачи А. Этот принцип является мотивировкой данного выше определения экстремального многочлена: мы увидим, что чаще всего решениями становятся многочлены, которые мы назвали экстремальными. Исследуется задача Б, решением которой тоже оказывается экстремальный многочлен.
Решение задачи А ищется в пространстве (1) на заданной афин-ной плоскости in+1-r коразмерности г. Такую (п + 1 — г)-плоскость можно описывать как сдвинутый аннулятор r-мерного подпространства L* сопряженного пространства. Всякому ненулевому многочлену Т(х) пространства (1) сопоставим определяемый ниже многогранный выпуклый конус в этом же сопряженном пространстве. Экстремальными точками многочлена Т(х) относительно Е назовём множество extß(T) :— {х £ Е : Т(ж) = ±||Т||я}, с каждой точкой х которого свяжем функционал х* над пространством многочленов: {х*\Р) : — Р(х) - signТ(х). Многочлену Т(х) сопоставляется коническая оболочка этих m = ^extßiT) функционалов:
m m
сопе{хi, х*2,..., x*m} := asx*s : as > 0; £ а, > 0}. (5)
S=1 S=1
Теорема 1 Многочлен T 6 Ln+i_r доставляет минимум в задаче А о наименьшем уклонении тогда и только тогда, когда направляющая плоскость L* пересекает связанный с многочленом конус (5).
При фиксированном множестве Е вещественной оси, задачи А о наименьшем уклонении различаются положением плоскости Ln+i_r. а значит перечисляются точками вещественного проективного грассманиа-на Gr(n + 2,п + 2 — г) размерности г(п + 2 —г). Как видим, возмоясных
задач намного больше чем решений, поэтому естественно подсчитать частоту появления каждого многочлена из (1) среди решений задач о наименьшем уклонении. Афинные плоскости Ln+i_r, проходящие через заданную точку пространства перечисляются направляющими подпространствами L* € Gr(n + 1,г).
Теорема 2 Фиксированный многочлен Т является решением задач А, которым в грассманиане Gr(n + 1,г) отвечает лежащее на цикле Шуберта коразмерности тах(0, n + 2 — r — ^ехЬц(Т)) замкнутое множество с непустой внутренностью.
Какие же задачи о наименьшем уклонении заведомо имеют решением экстремальные многочлены? Всякая лежащая внутри Е экстремальная точка многочлена Т является критической, а значение ±||Г||в в ней имеет чётную кратность. Поэтому нас интересуют задачи, решения которых имеют много экстремальных точек, при условии что число граничных точек Е невелико. Так, число экстремальных точек решения не менее n+2—r, если подпространство многочленов, удовлетворяющих однородным связям задачи, является чебышевским. Это означает, что ненулевой многочлен из (L*)1 имеет не более dim(L*)x —1 = п—г нулей на Е. Основной поставщик чебышевских подпространств - это используемые в алгебраической геометрии пространства дивизоров. Пусть дивизор D на сфере Римана (т.е. конечная формальная сумма точек с целыми кратностями) симметричен при отражении в вещественной оси и D + п ■ оо > 0. Пространством такого дивизора назовем подпространство всех многочленов из (1), кратность нуля (полюс имеет отрицательную кратность) которых в любой точке сферы Римана не менее кратности этой точки в дивизоре:
£(-D) := {Р 6 Щх] : (Р) > D}.
Если носитель дивизора D не пересекается с множеством Е, то пространство дивизора будет чебышевским на Е. Связи в соответствующей задаче наименьшего уклонения - это фиксация значений решения Т{х) в конечных точках D (и нескольких первых производных если кратность точки в дивизоре больше 1), а также фиксация нескольких старших коэффициентов Т если коэффициент перед беско-
нечностью в дивизоре больше чем (—п). Следующая теорема принадлежит Н.С.Вернштейну:
Теорема 3 1) Если подпространство {L*)x является чебыые.в-ским на множестве Е, то решение задачи А о наименьшем уклонении имеет по крайней мере (п + 2 — г) экстремальных точек на Е. 2) Если подпространство (L*)х является чебышевским па выпуклой оболочке Е, то решение единственно и характерно тем, что имеет (п + 2 — г)-альтернанс на Е.
Задача Б формально не является задачей о наименьшем уклонении, но её решение является одновремено решением некоторой задачи А, поэтому выпуклый анализ позволяет определить вид решения.
Теорема 4 При г > 1 решение задачи Б существует., единственно и имеет (п + 2 — г)-алътернанс на Е \ {0}.
Глава 2 посвящена конструктивному представлению (/-экстремальных многочленов. Используемое нами построение основано на идеях П. Л.Че-бышёва и является геометрической интерпретацией уравнения Пелля (= Ферма-Абеля) с полиномиальным коэфициентом. Мотивация следующей конструкции чисто топологическая [2,3].
Построение: Всякому многочлену Р(х) сопоставим двулистную риманову поверхность
2S+2
M = М(е) = {(s, w) £ С2 : w2 = Д - е,)}> (6)
4=1
с ветвлением в точках е := {es}j="x2, где многочлен принимает значения ±1 с нечётной кратностью (т.е. в общем случае простые значения).
Лемма 1 Род сопоставляемой многочлену Р(х) кривой определяется формулой (4).
Пример: Пусть г связей экстремальной задачи задают чебышёв-ское подпространство (L*)1, а Е - это отрезок. Тогда нормированному решению Рп{х) := Тп(ж)/||Т„||е соответствует кривая M рода g < г — 1.
Для описания образа чебышевского соответствия и его обращения введём ряд определений, связанных с вещественными (т.е. допускающими отражение ш) (х, из)) римановыми поверхностями М. На всякой поверхности (6) существует единственный абелев дифференциал третьего рода
я-1
<к]м = ■чз {х9 + с5а;5) йх (7)
я=0
с вычетами ±1 на бесконечности и чисто мнимыми периодами. Указанная нормировка имеет ясный физический смысл: в находящиеся на бесконечности точки оо+ и оо_ нашей поверхности нужно посадить электрические заряды ±1, тогда возникающее на римановой поверхности М распределение потенциала будет вещественной частью соответствующего абелевого интеграла г/д,/.
Наличие отражения на поверхности М позволяет расщепить 1-циклы на чётные (инвариантные при отражении) и нечётные (меняющие знак). Целые нечётные циклы образуют решётку Н{(М, Щ ранга д+1, явный (не канонический) базис в которой показан на рис. 1. Для исследования чебышёвской конструкции важна подрешётка Ьм решётки нечётных циклов. Если число 2к точек ветвления кривой М на вещественной оси положительно, то решётку Ьм можно определить как проекцию удвоенной решётки целочисленных 1-циклов кривой М на подпространство нечётных 1-циклов: Ьм ~ {С — ¿С, С е Н\ (М, 2)}. Образ чебышёвского отображения многочленов на кривые и его обращение описывает
Теорема 5 Описанная выше конструкция взаимно однозначно сопоставляет вещественные многочлены Рп(х) степени п, взятые с точностью до знака, и вещественные гиперэллиптические кривые М, для которых периоды связанного с кривой дифференциала ¿гц^ по 1-циклам из решётки Ьм лежат в Ат Восстановить многочлен
по сопоставленой ему кривой М можно по формуле
где результат вычисления не зависит от пути интегрирования на, М, от двузначности в выборе ги(х) и от точки ветвления е5, й = 1, ...,2д + 2, выбраной в качестве начальной точки интегрирования.
Замечания: (¡) Метод доказательства этой теоремы по сути восходит к знаменитой работе Н.Абеля, исследовавшего уравнение Пелля с полиномиальным коэффициентом. (11) Формула (8) обобщает классические представления (2), (3) для многочленов Чебышёва и Золотарёва, а также представление Пехерсторфера для (неклассических) чебышёвских многочленов на нескольких отрезках. Эта формула описывает (/-экстремальные многочлены с помощью небольшого количества параметров - модулей кривой М. (111) Модули кривых М, порожденных многочленами данной степени п, как видим, не произвольны, а связаны уравнениями Абеля
где {С3 }®=0 - базис в решетке нечётных 1-циклов римановой поверхности М.
Глава 3. Уравнения Абеля (9), выделяющие порождённые многочленами кривые М, локально заданы на пространстве модулей вещественных гиперэллиптических кривых рода д с отмеченной точкой со+ на ориентированном вещественном овале.
Определение И*: Симметричным дивизором е типа (д, к) назовём неупорядоченый набор из различных точек е\, ...,е2д+2, включающий 2к вещественных точек и (д — к + 1) пар комплексно сопряженных точек. На подобных наборах свободно действует группа 21* сохраняющих
ориентацию аффинных движений вещественной оси: е = {е^Д* —> Ае + В = {Аей + B}li+2, А > Q,B еШ. Орбиты этого действия назовем пространством модулей Tig.
Пространство модулей Tig - это 2 <7-мерное гладкое вещественное многообразие, гомеоморфное произведению клетки на конфигурационное пространство (полу)плоскости. Фундаментальная группа Tig, группа кос Артина с g — к + 1 нитями, скольжениями действует на универсальной накрывающей щ пространства модулей. На предмет исследования полезно взглянуть с разных сторон, поэтому для последнего пространства мы даём четыре определения и показываем их эквивалентность. Стандартным является определение tig как пространства дивизоров ветвления е данного типа вместе с историей их движения от выделенного дивизора е°. Считая дивизор движущимся в вязкой среде и увлекающим за собой частицы этой среды, приходим к пространству Тайхмюллера Тд проколотого диска с отмечеными точками на границе - гибкому техническому средству, устанавливающему связь между различными точками зрения на предмет. Деформационные пространства Qg специальных клейновых групп дают глобальные координаты в исследуемом пространстве и эффективное построение аналитических объектов. Пространства лабиринтов Скд, наиболее наглядные из всех, позволяют вычислить образ отображения периодов, задаваемого на Нкд левой частью уравнений Абеля.
Определение Тд'. Квазиконформные гомеоморфизмы f(x) комплексной плоскости, обладающие зеркальной симметрией f{x) — f(x), образуют группу QC(H) относительно композиции. Движения /, стабилизирующие выделенный дивизор ветвления е° (допустимы перестановки точек), образуют подгруппу QC(H,е°). Отображения /, связанные с id неподвижной на бесконечности гомотопией проколотой сферы CPi \ е°, образуют нормальную подгруппу QC°(H,e°) С QC(H, е°). Эта подгруппа действует на QC(Н) умножениями справа, а аффинная группа 21^ действует умножениями слева. Такие действия перестановочны, поэтому корректно определен двусторонний фактор Тдк(е°) := 21^\<5С(1Н1)/^С0(1Н1, е°), называемый пространством Тайхмюллера.
Модулярная группа Mod(e°) := QC(M,e0)/ QC°(H,e°), действующая (справа) на пространстве Тайхмюллера, сохраняет метрику Тайхмюл-
лера и оказывается группой скольжений универсальной накрывающей. Определение Деформационное пространтво 0д образуют упорядоченные наборы дробнолинейных вращений второго по-
рядка с вещественными неподвижными точками с8 ± г$, я < к, либо с комплексно сопряженными св ± г>5, в > к:
1-й, 5 = 0,
с3 + г23/{и-с3), з = 1,...,к- 1, (10)
Св-гЦ{и- с$), в = к,...,д.
г Вещественные параметры с3, гя (модули) подобраны так, чтобы выпол-
нялось следующее геометрическое условие. На д занумерованных по возрастанию непересекающихся отрезках интервала (0,1) можно как на диаметрах построить окружности С\, ••■, Сд, проходящие через неподвижные точки соответствующих движений бь 02,---¡Од.
Модули {с5,Га}®=1, удовлетворяющие этому геометрическому условию, заметают область 2 «/-мерного евклидова пространства, задаваемую простой системой неравенств. Скольжения в этой модели выглядят как замена системы образующих в свободном произведением д групп второго порядка <5 (бо, (?!,..., Сд\С23 — гф. Пространство От является аналитической униформизацией т-конфигурационного пространства (полу)плоскости, действие группы кос на котором задаётся простыми явными формулами.
Определение £д: Лабиринтом (е, Л) типа (д, к) назовем пару из описанного выше дивизора е и набора Л = (Ло, Лх,..., Л9) не пересекающихся простых гладких дуг, попарно соединяющих точки дивизора (см. рис. 2). Первые к дуг лабиринта - это проекции ковещественных овалов {х € М : го2(х) < 0} кривой М(е). Оставшиеся д — к + 1 дуг соединяют комплексно сопряжённые точки е, инвариантны при отражении
* в вещественной оси и обходят первую группу дуг справа. Дуги ла-
биринта естественно упорядочены пересечением с вещественной осью. Два лабиринта (е, Л) и (е', Л') считаем эквивалентными, если найдется движение из 21^", переводящее е в е', а пути Л - в пути, которые можно непрерывно продеформировать в пути Л', при этом деформируемые пути и набор точек е' в любой момент времени образуют лабиринт. Всевозможные лабиринты типа (д, к) по модулю этого отношения эквивалентности назовём пространством лабиринтов £д.
}
Л*
Л1 •••Ак-1
Л0 Л1...Л* Ад
Рис. 2: а) Н с разрезом вдоль Л б) Полускручивания Дзна А,..., как скольжения Скд
Модулярная группа действует скольжениями на пространстве лаби- ' ринтов, скручивая лабиринт Л, но сохраняя дивизор ветвления е (см. рис. 26). |
Основной результат третьей главы - построение явных гомеомор- | физмов между пространствами Щ, Тдк, Од, Скд и К2®. :
Глава 4. Эффективное использование чебышёвского представления экстремальных многочленов предполагает изучение зависимости периодов абелева дифференциала йг]м как функций точки М пространства модулей. В этой главе разработан комбинаторно-геометрический подход к исследованию отображения периодов. Кривым М пространства модулей будем взаимнооднозначно сопоставлять деревья Г специального вида, рёбра которых нагружены положительными числами. Этим мы разбиваем пространства модулей %кд на перечисляемые деревьями клетки, в которых часть глобальных координат - это периоды связанного с кривой дифференциала. Похожая конструкция (Концевича-Штребеля) разбиения пространств модулей кривых на клетки применяется в конформной теории поля. Разработанная техника даёт наглядное представление и графическую классификацию экстремальных многочленов.
Всякому квадратичному дифференциалу на римановой поверхности сопоставляют два слоения, вертикальное и горизонтальное. Листами горизонтального слоения {(1г)м)2{х) > 0 на плоскости комплексной переменной х являются линии уровня (определяемой локально) функции 1гп/х(1г]м■ Листы вертикального слоения (с1г]м)2(х) < 0 -это линии уровня определённой на всей плоскости функции IV(х) :—
|Яе£%> <1г]м\- В силу нормировки ассоциированного с кривой дифференциала ¿г]м, функция \¥{х) корректно определена на плоскости переменной х, обращается в нуль во всех точках ветвления х = е^, ] = 1, ...,2д + 2, имеет логарифмический полюс на бесконечности и гармонична там, где не обращается в нуль.
Построение: Всякой кривой М € "Н сопоставим состоящий из двух частей, Г| и Г_, компактный граф Г = Г(М) на плоскости. Компоненту Г| := {х 6 С : \У(х) = 0} назовем вертикальной. Горизонтальной компонентой Г_ назовем совокупность всевозможных ориентированных по возрастанию Ш(х) отрезков слоения {¿г]м)2{х) > 0, соединяющих конечные критические точки слоения между собой или с Г|. Вершинами V графа Г служат все конечные точки дивизора (¿г)м)2, а также точки пересечения Г| П Г_. За вычетом вершин, граф есть совокупность конечного числа интервалов вертикальных и горизонтальных траекторий квадратичного дифференциала (¿г}м)2, которые мы называем его рёбрами. Две связанные с («1г}м)2 меры: \Яе{йг]м)\ и \1т(^г]и)\ позволяют определить соответственно ширину У/ и высоту Н каждой гладкой кривой на плоскости.
Итак, всякая вещественная гиперэллиптическая кривая порождает плоский граф Г с рёбрами двух типов: ориентированными горизонтальными рёбрами, нагруженными их шириной Щ и неориентированными вертикальными рёбрами, нагруженными их высотой Н. Несколько типичных графов Г(М) показаны на рис. 3, где двойной линией обозначена вертикальная компонента. Порядок квадратичного дифференциала (¿цм)2 в вершине V графа определяется чисто комбинаторно: огс^У") = Й{ вертикальные рёбра, инцидентные У}+ 2(|{входящие в V горизонтальные рёбра} — 2. Полный список ограничений на комбинаторику и веса графа Г, сопоставленного гиперэллиптической кривой даёт
Лемма 15 (А1) Г - симметричное относительно вещественной оси (включая все нагруженные структуры) конечное дерево.
(А2) Выходящие из одной вершины горизонтальные рёбра разделены входящими или вертикальными рёбрами. В частности, запрещены висячие вершины вида: •-►
(Аз) Вершины с огс1(У) = 0 бывают только двух видов:
=JL « J= .
(И.4) Сумма высот H всех вертикальных рёбер дерева равна 7Г.
(Л5) Если узел V € Г,, то W(V) = 0.
Чтобы по нагруженному графу Г, удовлетворяющему перечисленным аксиомам, восстановить гиперэллиптическую кривую М необходимо воспользоваться следующим наблюдением, сделанным впервые Н.И.Ахиезером. Абелев интеграл 3-го рода г]м{х) взаимнооднозначно отображает верхнюю полуплоскость, разрезанную вдоль Г, на горизонтальную полуполосу высоты 7г с конечным числом горизонтальных разрезов, начинающихся на вертикальной границе полуполосы. Основным результатом этой главы является
Теорема 12 Построение М —¥ Г осуществляет взаимно - однозначное соответствие между гиперэллиптическими кривыми М £И и нагруженными графами {Г}, удовлетворяющими аксиомам А\ - Ад.
Фиксируем топологический тип плоского графа Г. Наборы весов графа, допускаемых аксиомами А\ - А$, удовлетворяют ограничениям
H{R) >0; £ H(R) + 2 £ H{R) = тг, ребро R С Г+ U Г,°; (11) лег,0 ЯсГ,+
W{V) > 0; W{V') > W(V) при V' > V, узлы V, V € (Г+ U Г°) \ Г,,
(12)
напомним, что вершины горизонтальной части Г_ графа частично упорядочены. Координатным пространством И.[Г] графа Г назовем произведение открытого симплекса (11), заметаемого переменными H(R), на открытый конус (12), заметаемый переменными W(V). Точки координатного пространства параметризуют некоторое многообразие в пространстве модулей, зависящее только от комбинаторного типа [Г]. Пространство модулей распадающемся таким образом на непересекающиеся многообразия, перечисляемые допустимыми типами [Г]. Нетрудно перечислить комбинаторные типы графов, отвечающих клеткам старшей размерности в каждом пространстве модулей T~Lkg. Для пространства 'Щ эти типы (с точностью до центральной симметрии) показаны на рис. 3.
4™Н„ I
н-ч
44
Рис. 3: Устойчивые графы пространства
Теорема 13 Каждое пространство Л[Г] вещественно аналитически вложено в подходящее пространство модулей Tig.
Графы, порождаемые многочленами степени п, имеют (помимо А\ - Аь) дополнительное ограничение: определённые линейные комбинации высот вертикальных рёбер должны лежать в 7rZ/п. Так возникает наглядное графическое описание (/-экстремальных многочленов.
Глава 5. Исследуются многообразия пространства модулей, на которых выполненяются уравнения Абеля (9). Среди последних соотношений только <7 независимых, ибо цикл Е?=о С~ стягивается к полюсу дифференциала <1т}м с известным вычетом. Левые части уравнений Абеля являются локально однозначными аналитическими функциями точек ветвления кривой, но глобально они неоднозначны: поменяйте местами пару точек ветвления из верхней полуплоскости и вы прийде-те к другому базису в решётке нечётных циклов. Эта неоднозначность описывается косами, действующими на универсальной накрывающей пространства модулей кривых. Естественное продолжение левых частей уравнений Абеля на универсальную накрывающую пространства модулей осуществляется при помощи связности Гаусса-Манина в гомологическом расслоении. Так возникает отображение периодов П_ из Йд в пространство М®. Показано, что П_ везде имеет полный ранг, поэтому его слои являются гладкими (/-мерными подмногообразиями универсальной накрывающей пространства модулей. Многочлены степени п порождают в 'Щ слои, проектирующиеся в задаваемую пра-
« ••••••••
Рис. 4: Образ отображения периодов Ï1-ÇH*) при & = 3, 2, 1 (слева направо)
вой частью уравнений Абеля решётку ранга д, и предельно плотные в пространстве модулей при п —» оо. Привлечение аппарата предыдущей главы позволяет найти образ отображения периодов. При к = g -f 1 образ П-ОЙ*) это внутренность g-симплекса, при к — g это объединение к открытых g-симплексов и при к < g - бесконечно много открытых ^-симплексов, перечисляемых косами из Brg-k+1 и (д — к + 1)-элементными подмножествами множества мощности д. Пример: Двух и трёхмерные образы универсальной накрывающей пространства модулей обладающие простой геометрией, пока-
заны на рис. 4, 5
Глава 6. Для получения численных результатов используется представление Gg универсальной накрывающей пространства модулей. В этой модели мы униформизуем кривые M группами Шоттки 6, с образующими Sj := GjGo, j = 1,... ,g. При выполнении геометрического условия главы 3 линейные тета ряды Пуанкаре группы & сходятся абсолютно и равномерно на компактах в области разрывности этой группы. Суммируя эти ряды, мы получим абелевы дифференциалы на кривых и в частности dr)M. Почленно интегрируя линейные тета ряды и потенцируя их, получим функции (и, и'\ z, z'), Ei{u), впервые рассмотренные Ф.Шоттки в 1887 году. Всякая автоморфная относительно группы & функция является произведением нескольких функций Шоттки и
может быть конструктивно вычислена. Обсуждаются схемы суммирования по группе и даются асимптотические оценки остаточного члена тета рядов Пуанкаре для разных схем суммирования.
Для решения уравнений на пространстве модулей важно знать как изменятся функции Шоттки (= экспонента от определённого абелева интеграла) при деформации образующих группы 6. В линейном приближении ответ дают следующие вариационные формулы:
Теорема 19 Вариации абелевых интегралов описывают форму, лы:
6 Г' (IГ] = (2тгг)-г £ I Г1{и)г}т> (и) [М(и) • • Ё^и + о, (13)
4V
<5 Г с1т1 = (2т)-1 £ / т)(и)4-(и) Ц [М(и) ■ ■ в^и + о, (14)
^ ■'О!
<1г](и) г)(и)йи - абелев дифференциал с нормировкой на окружностях С\,..., Сд;
все окружности ориентированы против часовой стрелки;
все объекты в правой части равенств относятся к невозмущенной
группе;
¿г)т1 (и) - нормированный абелев дифференциал 3-го рода с полюсами в точках V, г/;
(и) - нормированный абелев дифференциал первого рода; с ■ (?■ ^ г2
¡3] := 11 3 3 3 - матричное представление образующей группы
II ^ II
Шоттки;
М(и) := (и, 1)' • (—1, и) 6 г¿2 (С) - матрица Хейхала; о ^(вариации модулей са, г3).
«ч
Прямое вычисление вариаций по формулам (13) - (14) является весьма дорогостоящим, поскольку квадратурные формулы требуют вычисления рядов в большом количестве точек. Однако существует обходной путь, позволяющий прийти к результату суммируя ряды лишь в 2д — 1 точке. В правых частях наших вариационных формул фигурирует отображение 5(и)(с1и)2 н^ ¡ст Е(и)М(и)с1и, т = 1,... ,д, из пространства (мероморфных) квадратичных дифференциалов в з/2(С). Это
-100 -OSO ООО OSO 100
Рис. 6: Экстремальные многочлены Pso(i) для д = 2, к = 3,2,1.
отображение вычислено в конечном виде для (относительных) квадратичных тета рядов Пуанкаре в работе Хейхала 1974 года. Квадратичные дифференциалы dr](u)dr]vv>, dr¡(u)dQ всегда можно представить в виде конечной суммы таких рядов.
Уравнения Абеля (9) и представление Чебышёва (8) можно переписать в терминах функций Шоттки, неявно зависящих от глобальных координат (cs, rs)j=1 деформационного пространства Qg.
Теорема 21 Уравнения Абеля (9) эквивалентны вещественным соотношениям:
е? (i) = • - • & * = i, • • • > а,
(15)
где Е]В имеют смысл экспонент от элементов матрицы периодов кривой М.
Замечание: Условия такого типа впервые появились в работе Н.И.Ахиезера 1928 года.
Обобщением классических представлений (2),(3) на случай экстремальных многочленов большего рода д являются следующие парамет-
рические формулы:
Рп = \{Рп + 1/Дг); Р„(«) = («,оо;-1,1)п П^ГМ;
3=1
х(и) — —(и, оо; 0,1)(и, оо; 0, —1),
при нормировке и = (0,1,оо) —> х = (0,оо,—1). Графики 2-экстре-мальных многочленов, вычисленных по этим формулам компьютерной программой ЕХРОСОМ, показаны на рис. 6.
Последний параграф этой главы содержит список отктытых вопросов.
Заключение: содержит основные результаты диссертации.
Основные результаты диссертации.
Следующий результат является основным в данной диссертации. Выполнена и доведена до численных расчётов программа исследований, сформулированная П.Л.Чебышёвым в 1853 году: изучена конст-струкция общих ^-экстремальных многочленов (ЭМ), которые при заданной степени зависят от д непрерывных и д целочисленных параметров и описываются при помощи вещественных гиперэллиптических кривых рода д > 0. Классические многочлены Чебышёва и Золотарёва в этой схеме получаются при д = 0 и д — 1. Выполнение чебышёвской программы состоит из нескольких этапов.
Введено понятие ^-экстремального многочлена - типичного решения задачи о наименьшем уклонении в равномерной норме при наличии линейных связей на коэффициенты многочлена. Мотивировка понятия ЭМ связана с критерием разрешимости экстремальных задач этого типа, обобщением чебышёвского принципа альтернанса.
Каждому ЭМ сопоставлена гиперэллиптическая кривая с ветвлением в точках, где многочлен принимает значения ±1 с нечётной кратностью. Образ этого соответствия описан в терминах трансцендентных уравнений Абеля, связывающих точки ветвления. Предложена формула эффективного восстановления многочлена по связанной с ним кривой, обобщающая формулы Чебышёва, Золотарёва и Пехерсторфе-ра. Сложность вычисления ЭМ по явной формуле не зависит от его степени п.
Введены и исследованы пространства модулей вещественных гиперэллиптических кривых, естественно возникающие при описании ЭМ. Эти пространства как правило неодносвязны поэтому уравнения Абеля следует задавать на универсальной накрывающей пространства модулей. Даны четыре представления этой универсальной накрывающей и доказана их эквивалентность.
Дано комбинаторно-геометрическое описание пространства модулей при помощи взвешенных графов специального вида. Фиксируя топологию графа, мы разбиваем пространство модулей на гладко вложенные клетки, часть глобальных координат которых - это периоды ассоциированного с кривой абелевого дифференциала, фигурирующего в урав-
нениях Абеля. Эта техника применяется для наглядной графической классификации ЭМ.
Исследованы уравнения Абеля - центральный объект всей теории. Показано, что отображение периодов, задаваемое левыми частями уравнений Абеля, имеет полный ранг. Следовательно, кривые порождаемые ^-экстремальными многочленами данной степени п заполняют в пространстве модулей гладкие ^-мерные многообразия, которые становятся плотными в пределе п —> оо. Образ отображения периодов найден в явном виде.
Развиты необходимые элементы численного анализа на пространстве модулей кривых в модели Шоттки. В терминах этой модели римано-вых поверхностей переписаны уравнения Абеля и представление для ЭМ. Численно реализовано решение уравнений Абеля и вычисление ЭМ.
При выполнении этой работы получен ряд новых результатов, представляющих более специальный интерес.
• Предложены новые представления универсальной накрывающей пространства модулей вещественных гиперэллиптических кривых, необходимых для описания экстремальных многочленов. Показана эквивалентность этих представлений. В частности, пространство От аналитически униформизует ш-конфигурационное пространство полуплоскости, а действие группы кос из т нитей на нем обладает простым координатным описанием.
• Произведена асимптотическая оценка остаточного члена в линейном тэта ряду Пуанкаре. Предложены методы суммирования последнего.
• Предложены новые формулы для вариаций абелевых интегралов и их периодов в модели Шоттки римановых поверхностей. Предложен метод вычисления производных от абелевых интегралов по направлениям в пространстве модулей, требующий суммирования (линейных и квадратичных) рядов Пуанкаре только в (2д — 1) точке, независимо от требуемой точности.
Публикации автора по теме диссертации
1. Bogatyrév A.B. Chebyshev polynomials and navigation in moduli space of hyperelliptic curves //Russ. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. V. 14, N 3, pp. 205-220, 1999.
2. Богатырёв A.B. Об эффективном вычислении многочленов Чебы-шёва для многих отрезков //Математический сборник 190:11 (1999) стр. 15-50,
3. Богатырёв А.Б. Многообразия опорных множеств многочленов Че-бышева //Математические заметки 67:6, (2000), стр. 828-836.
4. Богатырёв А.Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении //Математический сборник, 193:12 (2002), стр. 21-41.
5. Богатырёв А.Б. Представление пространств модулей кривых и вычисление экстремальных многочленов// Математический сборник, 194:4 (2003), стр. 3-28.
Издательская лицензия ИД №03991 от 12.02.2001. Компьютерный набор. Подписано в печать 14.04.2003. Усл. печ. л. 1.5. Тираж 50 экз. Институт вычислительной математики РАН 119991 ГСП-1, г. Москва, ул. Губкина, 8.
2оо£-Д Го og
.7 0 08
Введение
0.1 Обзор содержания диссертации.
0.2 Характеристика работы.
0.3 Обозначения.
1 Задачи о наименьшем уклонении
1.1 Примеры оптимизации.
1.1.1 Обращение симметричной матрицы.
1 1.1.2 Задача на собственные значения
1.1.3 Явные методы Рунге-Кутты. 1.1.4 Другие приложения.
1.2 Анализ оптимизационных задач.
1.3 Чебышёвские подпространства.
1.4 Задача Лебедева. 2 Чебышевское представление многочленов
2.1 Вещественные гиперэллиптические кривые.
2.1.1 Пространство гомологий и решётка Ьм
2.1.2 Пространство дифференциалов на кривой.
2.2 Многочлены и кривые. 2.2.1 Устойчивость чебышёвского представления. 3 Представления пространства модулей
3.1 Четыре определения. ^ 3.1.1 Пространство Тайхмюллера.
3.1.2 Деформационное пространство клейновой группы.
3.1.3 Пространство лабиринтов.
3.2 Вспомогательные результаты
3.2.1 Фундаментальная группа пространства модулей.
3.2.2 Пространство модулей - орбиты группы Mod.
3.2.3 Топология деформационного пространства.
3.2.4 Группа разветвлённого накрытия х(и).
3.2.5 Действие модулярной группы на группе (
4 \ 3.2.6 Эквивалентность лабиринтов.
3.2.7 Квазиконформная деформация. * 3.3 Эквивалентность представлений.
3.3.1 Изоморфность Тд и Q*.
3.3.2 Изоморфность Тдк и Щ.
3.3.3 Изоморфность Lkg\\Q).
4 Разбиение пространства модулей на клетки
4.1 Кривые и деревья.
4.1.1 Слоения и глобальная функция ширины.
4.1.2 Граф Г кривой М.
4.1.3 Характеристики графа Г.
4.1.4 Свойства графа кривой,.
4.1.5 Восстановление кривой М по ее графу Г.
4.2 Координатное пространство графа.
4.2.1 Координатное пространство в пространстве модулей.
4.3 Классификация экстремальных многочленов.
5 Уравнения Абеля
5.1 Отображение периодов.
5.1.1 Гомологическое расслоение и перенос циклов.
5.1.2 Расслоение дифференциалов и отображение периодов.
5.1.3 Свойства отображения периодов.
5.2 Уравнения Абеля на пространстве модулей.
5.3 Образ отображения периодов
6 Вычисления в пространстве модулей
6.1 Теория функций в модели Шоттки.
6.1.1 Линейные тэта ряды Пуанкаре.
6.1.2 Сходимость линейных рядов Пуанкаре.
6.1.3 Организация суммирования рядов Пуанкаре
6.1.4 Автоморфные функции и их струи.
6.2 Вариационная теория.-.
6.2.1 Зависимость дифференциалов от модулей.
6.2.2 Вариации абелевых интегралов.82.
6.2.3 Квадратичные тэта ряды Пуанкаре.
6.2.4 Формулы Хейхала.
6.2.5 Базис квадратичных тэта рядов Пуанкаре.
6.3 Вычисление многочленов.
6.3.1 Параметрическое представление.
6.3.2 Уравнения Абеля в пространстве G*.
6.3.3 Схема алгоритма
6.4 Открытые вопросы
В начале 1850-х годов П.Л.Чебышёв совершил поездку в Англию для ознакомления с высокими технологиями того времени. Вернувшись в Россию, он занялся чисто инженерной задачей о минимизации трения в шарнирах параллелограмма Уатта, передававшего вращение от паровой машины на колёса. Следствием исследований стала замена парал-лелограммного механизма на кривошипно-шатунный, использующийся по сей день. Как сопутствующий продукт технического прогресса были открыты многочлены Чебышёва, вошедшие с тех пор во все учебники и названные Ж.Бертраном ип miracle d'analyse. Именно эти многочлены оказались решениями простейших задач об условной минимизации на пространстве вещественных многочленов o.i) s=0 величины уклонения
P„||E:=max|Pn(x)|,
Е - компакт на вещественной оси. За минувшие полтора века паровые машины вышли из употребления, однако интерес к задачам о "наименьшем уклонении сохранился [13, 50]. В наши дни он связан, например, с оптимизацией численных алгоритмов [93, 39] и обработкой сигналов [4, 73]. Приведём примеры типичных задач.
Задача А: Пусть Е - совокупность нескольких вещественных отрезков. Минимизировать норму ||Рп||е многочлена при заданных линейных связях на его коэффициенты co,ci, .,сп. Задача Е.И.Золотарёва [50] соответствует Е = [—1,1] и нескольким заданным старшим коэффициентам многочлена.
Задача Б: Найти максимальный отрезок Е — [0, <], t > 0, для которого единичный шар {Рп : ||Рп||е < 1} пространства (0.1) пересекается с плоскостью коразмерности г, образованной многочленами, приближающими в нуле ехр(—х) с порядком г — 1. Задача (В.И.Лебедева) возникает при построении устойчивых явных схем (г — 1)-го порядка точности для интегрирования жёстких (stiff) систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численное решение подобных экстремальных задач при практически интересных степенях п ~ 1000 известно своей трудностью. Существующие на сегодняшний день алгоритмы Ремеза [44, 94, 83], Лебедева [91], Пехерсторфера-Шифермайра [101], методы выпуклого программирования [45, 50] требуют больших вычислительных затрат по следующим причинам. (i) Решение ищется итерациями в пространстве высокой (порядка п) размерности и (ii) норма многочлена - негладкая и трудновычисляемая функция его коэффициентов.
От этих недостатков свободен классический подход, при котором решение принято давать в виде явной формулы [43]. Сто пятьдесят лет назад электронных цифровых машин не существовало, поэтому итерационные методы решения не считались удовлетворительными. Первые задачи о наименьшем уклонении были решены в терминах параметрических выражений (П.Л.Чебышёв [57], 1853 и Е.И.Золотарёв [22], 1868 ):
Тп(и) cos (пи); х(и) := cos(u), tie С, (0.2)
Я (а + и)
Н(а — и)
Н(а - и)
Н(а + и)
0.3) snV)W(a) sn^u) — sn2(a) где Я(-) - эллиптическая тэта функция в (устаревших) обозначениях Якоби [52], sn(-) - эллиптический синус того же модуля к £ (0,1), фазовый сдвиг a := mK(k)/n, m = 1,2, .,п — 1, К (к) - полный эллиптический интеграл модуля к. Эти параметрические формулы можно понимать так. Функция х(и) является автоморфной относительно группы 0, разрывно действующей в комплексной плоскости. Многообразие орбит С/(5 является сферой Римана в первом случае и тором - во втором. Выражения для Tn(u), Zn(u) корректно определены на соответствующих факторах и оказываются многочленами степени п от переменной х. Как видим, классические решения связаны с алгебраическими кривыми небольшого рода д — 0,1, а сложность их вычислений не зависит от степени п многочлена.
Новизна предлагаемого подхода к задачам наименьшего уклонения в равномерной норме - это поиск решения не во всем пространстве многочленов (0.1), а на некоторых его маломерных подмногообразиях. Открытый П.Л.Чебышёвым принцип альтернанса [13, 50], в дальнейшем объясненный выпуклым анализом, говорит о типичности следующей ситуации. Подавляющее большинство критических точек решения Т(х) - простые со значениями ±||Т(х)||£; и лежат на множестве Е. Такие многочлены весьма специфичны и заполняют в пространстве (0.1) многобразия малой размерности. Вот геометрическая интерпретация. Решению экстремальной задачи соответствует касание (линейного) многообразия, описывающего в пространстве (0.1) ограничения задачи, и сферы, образованной многочленами одинаковой нормы. Шар, порождённый равномерной нормой, есть выпуклый криволинейный многогранник: его граница не является гладкой, но разбита на гладкие грани разных размерностей. Маломерные грани шара являются его наиболее выступающими частями и неудивительно, что касание различных плоскостей и этих граней осуществляется наиболее часто. Так, у старого чемодана наиболее истёрты углы; карандаш падает на пол как правило острием, а не плашмя и т.д. Напротив, многомерные грани шара являются линейчатыми многообразиями и могут касаться линейных многообразий по континууму - соответствующая задача на минимум не будет однозначно разрешима. Мы покажем, что многочлены, наиболее часто встречающиеся среди решений задач наименьшего уклонения, имеют описаный выше вид. Эти наблюдения приводят к следующему определению:
Вещественный многочлен Р{х) назовем (нормированным) g-экстремальным многочленом, если все его критические точки, за исключением g из них, простые со значениями ±1. Параметр g этого определения (= количество исключительных критических точек) подсчитывается по формуле g = £ ord Р'(х) + £ [^ord Р'(х)}, (0.4) х: Р(а:)#±1 х: Р(х)=± 1 Z где ord Р'{х) - порядок нуля производной многочлена Р в точке х бС, [■] - целая часть числа. Многочлены с параметром экстремальности д = 0 и д = 1 были открыты полтора века назад и известны как многочлены Чебышёва и Золотарёва соответственно. Графики нескольких 2-экстремальных многочленов приведены на рис. 6.3. В приложении к задачам о наименьшем уклонении важны многочлены с небольшим д.
Цель диссертации - описание, параметризация и эффективное вычисление ^-экстремальных многочленов.
Идейно и технически предлагаемый подход к решению задач о наименьшем уклонении в равномерной норме более сложен, чем упомянутые ранее. Выгода же его в том, что сложность вычисления решения по явным аналитическим формулам не зависит от степени п многочлена, что ясно видно для классических формул Чебышёва и Золотарёва. Вместе с тем, объём вычислений быстро растёт вместе с параметром д, поэтому естественная область применения этого метода - большая степень п решения при малом числе связей на его коэффициенты и малом числе компонент множества Е.
Многочлены, а также рациональные и алгебраические функции, с небольшим числом критических значений - классический предмет математического исследования, находящийся на стыке непрерывного и дискретного. Одна традиция в этих исследованиях восходит к А.Гурвицу ([89], 1891) и связана с перечислением разветвлённых накрытий над сферой, изучением стратов возникающего дискриминантного множества, отображения Ляшко-Лойенги, парами Белого и детскими рисунками Гротендика. Этот подход интенсивно развивается в последнее время московской математической школой - см. комментарии и библиографию к задаче 1970-15 в "Задачах Арнольда" [5], также диссертацию [28]. Так, в работе [106] изучаются многочлены с двумя конечными критическими значениями - многочлены Шабата - и их приложения к теории чисел.
Другая традиция в исследованиях восходит к П.Л.Чебышёву ([57], 1853), а по существу к Н.Абелю ([64], 1826). Она связана с изучением уравнения Пелля1 с полиномиальным коэффициентом, разложениями в цепные дроби и условиями вырождения гиперэллиптических интегралов, при которых они выражаются через логарифмы. Обзор этого направления можно найти в [46, 49]. Характерной особенностью этой второй традиции являются эффективные вычисления и связь с приложениями. Учитывая приведённую в начале работы мотивацию, мы избираем второй подход и хотим довести его до эффективных компьютерных расчётов [113, 115].
Программа Чебышева В работе [57] П.Л.Чебышёв отмечает, что решения сформулированных им задач на минимум удовлетворяют уравнению Пелля (=Ферма-Абеля), решение которого он предлагает искать в виде косинуса от гиперэллиптического интеграла. При этом необходимо, чтобы этот интеграл выражался через логарифмы. Соответствующий критерий (хотя и не конструктивный) давал остроумный метод Абеля. Для эллиптических интегралов эта программа исследований была намечена самим П.Л.Чебышевым, и полностью выполнена его учеником Е.И.Золотарёвым в 1868-1877 годах [22,23]. Следующее крупное продвижение по реализации чебышёвской программы принадлежит Н.И.Ахиезеру, применившему в этих задачах язык геометрической теории функции комплексного переменного. В 1928 году Н.И.Ахиезер предложил [6] для решения задачи Золотарёва с тремя
1Диофантово уравнение Р2 — DQ2 = 1, где D - заданный целый коэффициент, а целые Р и Q нужно найти, "изучалось У.Броункером (1657), П.Ферма и Дж.Валлисом. Л.Эйлер по недоразумению связал его с именем Дж.Пелля" [35]. Н.Абель первым рассмотрел [64] то же уравнение с коэффициентом D{x) -многочленом. Автор работ [91, 92] предлагает называть последнее уравнение именами Ферма и Абеля фиксированными коэффициентами использовать анзатц, включающий функции Шоттки кривых рода д = 2. Применение анзатца не было однако полностью обосновано. Например, не была выяснена разрешимость системы трансцендентных уравнений (Абеля) по определению параметров анзатца. Методология этой работы основывалась на аппарате функций Грина надлежаще разрезаной плоскости, что затемняло связь задачи с алгебраическими кривыми. К сожалению, Н.И.Ахиезер в дальнейших исследованиях [7, 9] по теории приближений ограничился применением эллиптических функций, т.е. по сути использовал многочлены Золотарёва.
В последние 15 лет мы наблюдаем возобновление интереса к эллиптическим функциям, теорию которых Ф. Клейн назвал жемчужиной математики XIX века [24]. Интерес этот возник в теории экстремальных и ортогональных многочленов [38, 92, 100], в алгебро-геометрическом подходе в теории интегрируемых систем и рассеянием на двояко-периодических потенциалах [75, 80, 81], комплексно геометрической теории одномерных интегральных уравнений [118, 119]. Работы по реализации геометрического подхода к задачам о наименьшем уклонении в случае рода д > 1 ограничивались до сих пор кривыми с точками ветвления, лежащими на вещественной оси либо окружности [46].
Большой объем знаний, накопленый математиками об алгебраических кривых и их деформационных пространствах позволяет сегодня использовать эти объекты для реальных вычислений. Здесь следует назвать прежде всего пионерские работы А.И.Бобенко ([15], 1986) по нелинейным волнам. Ключом к численному анализу на пространстве модулей алгебраических кривых служит теорема этого автора о том, что вещественные кривые можно униформизовать специальными группами Шоттки (5, линейные тэта-ряды Пуанкаре которых сходятся абсолютно и равномерно на компактах в области разрывности группы. Для общих групп Шоттки такой факт неверен (А.Пуанкаре даже считал что это неверно всегда) - историю вопроса и обзор результатов см. в [65, 97].
0.1 Обзор содержания диссертации
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Следующий результат является основным в данной диссертации. Выполнена и доведена до численных расчётов программа исследований, сформулированная П.Л.Чебышёвым в 1853 году [57, 46]: изучена констструкция общих ^-экстремальных многочленов (ЭМ), которые при заданной степени зависят от д непрерывных и д целочисленных параметров и описываются при помощи вещественных гиперэллиптических кривых рода д > 0. Классические многочлены Чебышёва и Золотарёва в этой схеме получаются при д = 0 и д = 1. Выполнение чебышёвской программы состоит из нескольких этапов.
Введено понятие ^-экстремального многочлена - типичного решения задачи о наименьшем уклонении в равномерной норме при наличии линейных связей на коэффициенты многочлена. Мотивировка понятия ЭМ связана с критерием разрешимости экстремальных задач этого типа, обобщением чебышёвского принципа альтернанса.
Каждому ЭМ сопоставлена гиперэллиптическая кривая с ветвлением в точках, где многочлен принимает значения ±1 с нечётной кратностью. Образ этого соответствия описан в терминах трансцендентных уравнений Абеля, связывающих точки ветвления. Предложена формула эффективного восстановления многочлена по связанной с ним кривой, обобщающая формулы Чебышёва, Золотарёва и Пехерсторфера. Сложность вычисления ЭМ по явной формуле не зависит от его степени п.
Введены и исследованы пространства модулей вещественных гиперэллиптических кривых, естественно возникающие при описании ЭМ. Эти пространства как правило неод-носвязны поэтому уравнения Абеля следует задавать на универсальной накрывающей пространства модулей. Даны четыре представления этой универсальной накрывающей и доказана их эквивалентность.
Дано комбинаторно-геометрическое описание пространства модулей при помощи взвешенных графов специального вида. Фиксируя топологию графа, мы разбиваем пространство модулей на гладко вложенные клетки, часть глобальных координат которых - это периоды ассоциированного с кривой абелевого дифференциала, фигурирующего в уравнениях Абеля. Эта техника применяется для наглядной графической классификации ЭМ.
Исследованы уравнения Абеля - центральный объект всей теории. Показано, что отображение периодов, задаваемое левыми частями уравнений Абеля, имеет полный ранг. Следовательно, кривые порождаемые ^-экстремальными многочленами данной степени п заполняют в пространстве модулей гладкие ^-мерные многообразия, которые становятся плотными в пределе п —> оо. Образ отображения периодов найден в явном виде.
Развиты необходимые элементы численного анализа на пространстве модулей кривых в модели Шоттки. В терминах этой модели римановых поверхностей переписаны уравнения Абеля и представление для ЭМ. Численно реализовано решение уравнений Абеля и вычисление ЭМ.
При выполнении этой работы получен ряд новых результатов, представляющих более специальный интерес.
• Предложены новые представления универсальной накрывающей пространства модулей вещественных гиперэллиптических кривых, необходимых для описания экстремальных многочленов. Показана эквивалентность этих представлений. В частности, пространство Q^ аналитически униформизует m-конфигурационное пространство полуплоскости, а действие группы кос из т нитей на нем обладает простым координатным описанием.
• Произведена асимптотическая оценка остаточного члена в линейном тэта ряду Пуанкаре. Предложены методы суммирования последнего.
• Предложены новые формулы для вариаций абелевых интегралов и их периодов в модели Шоттки римановых поверхностей. Предложен метод вычисления производных от абелевых интегралов по направлениям в пространстве модулей, требующий суммирования (линейных и квадратичных) рядов Пуанкаре только в (2д — 1) точке, независимо от требуемой точности.
1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям - М: Мир, 1969.
2. Альфорс Л., Верю Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения М: ИЛ, 1961.
3. Альфорс Л.В. Комплексно аналитическая структура пространства замкнутых римановых поверхностей в сборнике "Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения", М: ИЛ, 1961.
4. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование М., Радио и связь, 1983.5. "Задачи Арнольда" М., Фазис, 2000.
5. Ахиезер Н.И. Uber einige Furiktionen die in gegeben Intervallen am wenigsten von Null abweichen.// Изв. Казанского ф.-м. общества 3 (1928), вып.З.
6. Ахиезер Н.И. Uber einige functionen welche in zwei gegebenen Interuellen am wenigsten von Null abweichen I-III. //Известия АН СССР, 9(1932), стр 1163-1202; 4(1933).
7. Ахиезер Н.И. Об ортогональных многочленах на нескольких интервалах //ДАН СССР, 134 (1960), вып.1, стр. 9-12.
8. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации М: Наука, 1965.
9. Ахиезер Н.И, Левин Я. Неравенства для производных, аналогичные неравенству Бер-нштейна// ДАН СССР 117 (1957), стр. 735-738.
10. Бахвалов Н.С. Жидков Н.П. Кобельков Г.М. "Численные методы" М., Наука, 1987.
11. Бердон А.Ф. Геометрия дискретных групп М: Наука, 1986
12. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства многочленов М: ОНТИ, 1937.
13. Берс Л. Голоморфные дифференциалы как функции модулей-в сборнике "Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения", М: ИЛ, 1961.
14. Бобенко А.И.//ДАН СССР, 295(1987), стр. 268-272, см. также главу 5 в книге Belokolos E.D., Bobenko A.I., Enol'skii V.Z., Its A.R., Matveev V.B. Algebro-Geometric Approach to Nonlinear Integrable Equations Springer, Berlin, 1994.
15. Васильев B.A. Ветвящиеся интегралы, M: МЦНМО, 2000.
16. Васильев В.А. Введение в топологию, БСМ-3, М: Фазис, 1997.
17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия М: Наука, 1986.
18. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, М: Мир, 1982.
19. Звонкин Д.А., Ландо С.К. О кратностях отображения Ляшко-Лойенги на стратах дискриминанта //Функц. анализ и прилож. 33:3, 1999.
20. Здравковская С. Топологическая классификация многочленов // УМН 25:4, 1970, стр. 179-180.
21. Золотарёв Е.И. Об одном вопросе о наименьших величинах (1868), ПСС Е.И. Золотарёва, т. 2, Изд-во АН СССР, Л., 1932, с. 130 166.
22. Золотарёв Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля (1877), ПСС Е.И. Золотарёва, т. 2, Изд-во АН СССР, Л., 1932, с. 1-59.
23. Кляйн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии М: Наука, 1989.
24. Кондевич М.Л. 'Теория пересечений на пространстве модулей кривых //Функц. Анализ и Прилож. 25:2 (1991), стр. 50-57.
25. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы М., Мир, 1975.
26. Крейн М.Г., Левин Б.Я., Нудельман А.А Специальные представления многочленов положительных на системе отрезков и их приложения //препринт N 28-84, Физ.-Тех.Институт Низких Температур АН УССР, Харьков, 1984, перевод в AMS Transl. (2) Vol. 142 (1989).
27. Крейнес Е.М. Рациональные функции с немногими критическими значениями Кандидатская диссертация, МГУ, 2001.
28. Крушкаль С.Л., Апанасов Б.Н., Гусевский Н.А. Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах Новосибирск: СО Наука, 1981.
29. Лебедев В.И. Об итерационных методах решения операторных уравнений со спектром, лежащим на нескольких отрезках //ЖВМиМФ, 9:6 (1969), стр. 1247-1252.
30. Лебедев В.И. Как решать явными методами жёсткие системы дифференциальных уравнений М: Наука, в кн. Марчук Г.И. (ред.) "Вычислительные процессы и системы - 8", стр. 237-292, 1991.
31. Лебедев В.И., Медовиков А.А. Явный метод второго порядка точности для решения жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений //Известия ВУЗов, Математика, т.Ю (1995), стр. 37-52.
32. Малышев В.А. Уравнение Абеля //Алгебра и анализ, 13:6 (2001), стр. 1-55.
33. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях М: Мир, 1988.
34. Математическая Энциклопедия М: Советская Энциклопедия, 1984.3G. Мейман Н.Н. К теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля- ДАН, 130:2, 1960, стр. 257-260:
35. Натанзон С.М. Модули вещественных алгебраических кривых и их супераналогов. -УМН, 54:6, 1999, стр. 3-60.
36. Пакович Ф.Б. Эллиптические многочлены // УМН, 50:6 (1995), стр. 203,
37. Пашковский С. Вычислительные приложения многочленов и рядов Чебышева М: Наука, 1983
38. Прасолов В.В., Шварцман О.В. Азбука римановых поверхностей, М: Фазис, 1999
39. Пуанкаре А. Теория фуксовых групп // Acta Math., 1882, V 1.
40. Пуанкаре А. Мемуар о фуксовых функциях // Acta Math., 1882, V 1, pp. 193-294
41. Пуанкаре А. Аналитическое резюме//Acta Math., V.38 (1921).
42. Ремез Я.И. Общие вычислительные методы чебыгиевского приближения. Киев, Изд-во АН УССР, 1957.
43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ М: Мир, 1973.
44. Содин M.JL, Юдицкий П.М. Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах действительной оси.// Алгебра и анализ. 4:2 (1992), стр. 1-61.
45. Содин M.JL, Юдицкий П.М. Алгебраическое решение задач Е.И.Золотарёва и Н.И.Ахиезера о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля //Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 56 (1991), CTp./-6i.
46. Спрингер Г. Введение в теорию римановых поверхностей М: ИЛ, 1960.
47. Суетин С.П. Аппроксимации Паде и эффективное продолжение степенного ряда. //УМН, 57:1 (2002), стр. 45-142.
48. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений, М: МГУ, 1976.
49. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного, М: Физ-матгиз, 1960.
50. Уиттеккер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа т. 2 М: Физматгиз, 1963.
51. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии М: Наука, 1989.
52. Форд JI.P. Автоморфные функции M-JL: ОНТИ, 1936.
53. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.Д. Поверхности и разрывные группы М: Наука, 1988.
54. Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций M.-JL, ОГИЗ, 1948.
55. Чебышёв П.Л. Теория механизмов, известных под именем параллелограммов (фр-) СПб, 1853.
56. Чебышёв П.Л. Избранные труды М.-Л., ОГИЗ, 1946.
57. Чехов Л.О. Матричные модели: геометрия пространств модулей и точные решения //Теоретическая и математическая физика, 127:2 (2001).
58. Чжень Шен-Шень Комплексные многообразия М: ИЛ, 1961.
59. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ II (многие переменные) М: Наука, 1985.
60. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии М: Наука, 1988.
61. Шиффер М., Спренсер Д.С. Функционалы на конечных римановых поверхностях М: ИЛ, 1957.
62. Abel N. Sur I'integration la formule diferentielle.// J.Reine u. Angewand. Math. 1 (1826) pp. 105-144.
63. Akaza T. Singular sets of some Kleinian groups//Nagoya Math. J. 29(1967) pp.145-162
64. Arbarello E., Cornalba M., Grifiths P.A., Harris J. Geometry of algebraic curves I, II-NY: Springer 1985
65. Artin E. Theorie der Zopfe//Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg, 4(1925), S. 47-72.
66. Baker H.F. Abel theorem and allied theory, Cambridge, 1897.
67. Bers L. Uniformization, moduli and Kleinian groups//Bull. London Math. Soc, 4(1972) pp. 257-300.
68. Birman J.S. Braids, links, and mapping class groups Princeton U. Press, Princeton, NJ, 1974.
69. Burau W. Uber Zopfinvarianten //Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg, 4(1925), S. 47-72.
70. Burnside W. On a class of authomorphic functions //Proc. London Math. Soc. vol XXIII, 1892, pp. 49-88.
71. Cauer W. Theorie der linearen Wechselstromschaltungen Akademie Verlag, Berlin, 1954.
72. Earl C.J. On variation of projective structures in Riemann Surfaces and Related Topics, Princeton University Press, 1980, pp. 87-99.
73. Enol'skii V.Z., Rostov N.A. On the geometry of elliptic solitons// Acta Appl. Math,, 36(1994), pp. 57-86.
74. Farkas H., Kra I. Riemann Surfaces NY, Berlin: Springer Verlag, GTM-71, 1992.
75. Fay J. Theta functions on Riemann Surfaces Springer, Lect. Notes in Math.-352, 1973.
76. Fricke R., Klein F. Vorlesungen iiber die Theorie der automorphen Functionen. Leipzig: Teubner, 1926.
77. Gardiner F.P. Teichmiiller theory and quadratic differentials NY: John Wiley & Sons, 1987.
78. Gesztesy F., Weikard R. Picard potentials and Hill's equation on a torus j / Acta Math., 176(1996), pp. 73-107.
79. Gesztesy F., Weikard R. Elliptic algebro-geometric solutions of the KdV and AKNS hierarchies// Bull. AMS, 35(1998), pp. 271-317.
80. Gunning R.C. Lectures on Riemann Surfaces Princeton University Press, 1966.83. van der Houvven P.J., Kok J. Numerical solution of a maximal problem, Report TW 124/71, Mathematical Centre, Amsterdam, 1971.
81. Hairer E. Wanner G. Solving ordinary differential equations II. Stiff and differential algebraic problems. 2nd ed.,Springer Verlag, Berlin, 1996.
82. Hejhal D.A. Sur les parameters accessoires pour I'uniformization de Schottky// C.R. Acad. Sc. Paris, t.279 (1974) Serie A, pp. 713-716.
83. Hejhal D.A. On Schottky and Teichmiiller spaces// Adv. in Math., 15(1975), pp. 133-156.
84. Hejhal D.A. The variational theory of linearly polymorphic functions// Journal d'Analyse Mathematique, 30(1976), pp. 215-264.
85. Hejhal D.A. Monodromy groups and Poincare series// Bull. AMS, 84:3(1978), pp. 339-376.
86. Hurwitz A. Uber Riemannsche Flachen mit gegebenen Verzweigungspunkten //Math. Ann. 39 (1891) pp. 1-61.
87. Hubbard J.H. On monodromy of projective structures//in Riemann surfaces and Related topics, Princeton University Press, 1980, pp. 257-275.
88. Lebedev V.I. Zolotarev polynomials and extremum problems //Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling 9(1994), N3, pp. 231-263.
89. Lebedev V.I. Extremal polynomials with restrictions and optimal algorithms в сборнике Alekseev A.S., Bakhvalov N.S. Advanced Mathematics: Computation and Applications, Novosibirsk: NCC Publishers, 1995, pp. 491-502.
90. Lomax H. On the construction of highly stable, explicit numerical methods for integrating coupled ordinary differential equations with parasitic eigenvalues, NASA Technical Note NASATND/4547, 1968.
91. Magnus W. Braids and Riemann Surfaces // Comm. Pure and Appl. Math., 15(1972), pp. 151-161.
92. Medovikov A.A. High order explicit methods for parabolic equations // BIT, 38:2 (1998), pp. 372-390.
93. Myrberg P.J. Zur Theorie der Convergenz der Poincareschen Reihen.// Ann. Acad. Sci. Fenn. (A)9:4 (1916) pp. 1-75.
94. Nuttal J. Sets of minimum capacity, Pade approximants and the bubble problem в сборнике C.Bardos, D.Bessis (eds.) "Bifurcation phenomena in Math. Physics and related topics", pp. 185-201, D.Reidel Publ. Company, 1980.
95. Peherstorfer F. On Bernstein-Szego orthogonal polynomials on several intervals II.// Jounal of Appr. Theory 64 (1991), pp. 123-161.
96. Peherstorfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervalsj / J. Comput.& Appl. Math., 48 (1993), pp. 187-205.
97. Peherstorfer F., Schiefermayr K. Description of extremal polynomials on several intervals and their computation I,II // Acta Math. Hungar., 83(1999), pp. 71-102, pp. 103-128.
98. Rauch H.E. Weirstrass points, branch points and moduli of Riemann surfaces// Comm. Pure к Appl. Math. vol. XII(1959), pp. 543-560.
99. Schiffer M., Hawley N.S. Connections and conformal mappings // Acta Math. 107(1962), pp. 175-274.
100. Schiffer M., Hawley N.S. Half order differentials on Riemann surfaces // Acta Math. 115(1966), pp. 199-236.
101. Schottky F. Uber eine specielle Function welche bei einer bestimmten linearen Transformation ungeandert bleibt // J. Reine Angew. Math. 101(1887), S. 227-272.
102. Shabat G.B., Zvonkin A.K. Plane trees and algebraic numbers/J "Contemporary Mathematics", Vol. 178, pp. 233-275, 1994.
103. Strebel K. Quadratic differentials Springer Verlag: Berlin, NY, 1984.
104. Singer I. Cia mia buna aproximare on spatii vectoriale normate prin elemente din subspatii vectoriale Acad. RSR Bucuresti, 1967.
105. Tsuji M. Potential theory in modern function theory Maruzen, 1959.
106. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane //Adv.Math. 3(1969), pp. 127-232.
107. Zakharov V.E., Zaslavskii M.M., Kabatchenko I.M., Matushevskii G.V., Polnikov V.G. Conceptually new wind-wave model. Sydney, Australia, 1999, pp. 159-164.1. Публикации автора
108. Bogaty^v А.В. Chebyshev polynomials and navigation in moduli space of hyperelliptic curves //Russ. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 14:3 (1999), pp. 205-220.
109. Богатырёв А.Б. Об эффективном вычислении многочленов Чебышёва для многих отрезков //Математический сборник 190:11 (1999), стр. 15-50,
110. Богатырёв А.Б. Многообразия опорных множеств многочленов Чебышева //Математические заметки 67:6, (2000), стр. 828-836.
111. Богатырёв А.Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении //Математический сборник, 193:12 (2002), стр. 21-41.
112. Богатырёв А.Б. Представление пространств модулей кривых и вычисление экстремальных многочленов// Математический сборник, 194:4 (2003), стр. 3-28.
113. Bogatyrev А.В. On Tchebyshev polynomials in numerical solution of uniformization problems. Труды конф., посвященной 175-летию П.Л.Чебышева. Обнинск, 1996, стр. 161.
114. Богатырёв А.Б. Геометрический метод решения серии интегральных уравнений Пуанкаре-Стеклова //Математические заметки, 63:3 (1998), стр. 343 353.
115. Богатырёв А.Б. Интегральные уравнения Пуанкаре-Стеклова и задача монодромии Римана //Функциональный анализ и его приложения, 34:2 (2000), стр. 9 22.
