Экстремальные полиномы на нескольких отрезках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Привалов Иван Лчександрович !

, ООЗОБ2ББО

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ НА НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКАХ

01 01 01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математическич наук

I С ара юн 2007

003062660

Работа выпо шена на кафедре тсорли фрикций и прибтижении Саратовскою государственного университета имени Н Г Чернышевского

Научный руководитель

доктор фичико-чатематичса и\ наук, доцент Лукашов Але! сеи Леонидовчч

Официальные оппоненты

доктор физико-математичсс! и\ наук профессор Б\ланов Александр Павлович

Ведущая организация

Институт математики и механики УрО РАН

диссертационно!о совета К 212 243 02 пр^ Саратовском юсударсгвснном университете по адресу 410012, г Саратов,\т Астрахански 83, IX корпус СГУ

С диссертацией ложно ознакомиться р Зоначьнои научной библиотеке Саратовского государственною университета имен т Н Г Чернышевского

кандидат физико-матсматичс ских наук, доцент Скляров Вячеслав Петрович

Защита состоится

» ^

мин на заседании

Автореферат разослан « ->ъ<<' 2007 I

Ученый секретрь диссертационного совей кандидат фишко-ча1емагически\ на>к доцент

/

/

В В Корпев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Работа «Экстремальные полиномы на нескольких отрезках» посвящена оптимальным и -экстремальным рациональным функциям на нескольких отрезках Первым исследованием по теории экстремальных (наименее уклоняющихся от нуля) полиномов была работа П JI Чебышева 1853 года, в которой, а также в нескольких последующих работах П JI Чебышев нашел точные решения некоторых задач по этой тематике Многочтены Чебышева исследуются в многочисленных монографиях, и ни одна книга по теории приближений не обходится без раздела, посвященного многочтенам Чебышева и их свойствам Впоследствии, однако, в силу тою, что число точных решений задач теории приближений невелико, исследовались в большей степени приближение функций раз тачными методами, сравнение этих методов между собой и т д Но точные решения и классических, и вновь возникающих задач имеют много чистенные приложения в различных областях науки Назовем лишь некоторые из них вычислительная математика, электротехника, квантовая химия, математическая физика, физика твердого тела, математическая статистика Рассмотрим полиномы по чебышевским системам, наименее уклоняющиеся от нуля, а именно действительные рационазьные функции, наименее уклоняющиеся от нуля на

I

заданной конечной системе отрезков Е = (J [а_ ]с:М,тоесть

j — 1 J J

xn + b.xn'l+ +b

R (x,E,Q ) =-!--(1)

" " e„(*)

где Qn(x)— П (1+or, x),——e C\E,k = \, ,n - заданный действительный полином, k=1 K ak

такие что Л, -»mm

II " lic(£)

Задача поиска рациональных функций вида (1) тесно связана с другой задачей теории приближений, а именно поиском оптимальных рациональных функций на нескольких отрезках, то есть функции, наименее уклоняющихся от нуля и имеющих вид

где

<2и(х)= П (1+а7 х)>—~е С\(В<и{(!}),к = 1, ,п - заданный действительный к=1 к ак

полином, причем условие нормировки функций вида (2) имеет вид = 1

Ботее того, именно такие функции находят приложение в вычислительной линейной алгебре при построении итерационных методов (см, например,1 или *)

1 Лебедев В И Об итерационных методах решения операторных уравнений со спектром, лежащим на нескоикнх отрезках // Журн. вьрт матем и мат ем фш 1969 Т9 С 1247-1252

2 Lcbedev V I Extremal polynomials with restrictions and optimal algorithms h Advanced Mathematics Computations and Applications (eds A S Alekseev and N S Bakhvalov) Novosibirsk NCS Publ, 1995 P 491-502

Если £ = [—1,1], Qn - действитечьный многочлен, то в случае с]е К/[-1,1] очевидно соотношение, связывающее рациональные функции вида (1) и (2)

1}„(с1,Е,д„)

Если ¿еС\1, то задача становится существенно сложнее, ее решение в терминах эллиптических функций было получено лишь в 1999 году В С Виденским Б Фишером было доказано (см 3), что для = [-\,а\^\Ь,Х\,(1е [-],!]//*.' тождество

(3)

выполняется тогда и только тогда, когдаЛ^ имеет на Е максимальное число точек уклонения, то есть П + 2

Этот результат нетрудно переносится и на случай произвольного знаменателя Q„ Таким образом, даже для дв}-х отрезков вопрос о точном виде решения задачи поиска оптимальных рационатьных функций для произвольного (1(1 (о,Ь) оставался открытым Известна роль, которую играет в численных методах решение задачи о наилучшем 1

приближении функции

многочленами В частности, в работе М Хассона

1

приводится вид многочлена почти наилучшего приближения — на

X

Точное решение задачи отсутствовало

Возвращаясь к многочленам Чебышева, отмстим, что одним из ракурсов их многочисленных применений явтяется их экстремальность в задаче об оценке производной многочлена на отрезке П>сть Рп — почином степени не выше п Тогда

Р (х)

п

С([-1,1])

XG (—1,1) - неравенство С Н Бернштейна

!С([-1,1])

,хе [— 1,1]-неравенство Л Л Марков

3 Fisher B Polynomial Based Iteration Methods for Symmetric Lineir Systems Wiley-Teubner 1996

4 Hasson M. The degree of approximation by polynomials on some disjoint intervals in the complex plane // T Approx Theory 2007 V 144 P 119-132

Приведем также результат И Шура (1919, см , например,5)

1

Если дчя веек хе (-1,1)

Р (х) и —1

<М( 1-х2) 2,

РП- 1

<Мп

СН,1]

В частности, из неравенств Бернштейна и Шура немедленно получается неравенство Маркова Как известно, именно неравенство Маркова и его тригонометрический аналог (неравенство Бернштейна), а также их обобщения особенно важны в обратных теоремах теории приближений

Целью работы является поиск обобщения теоремы Фишера для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках действительной оси, получение явного вида для оптимальных рациональных функций на нескольких отрезках действию тьной оси, получение точного решения задачи о виде полинома, наименее

уклоняющегося от — на симметричной системе отрезков [— 1,— а] ^ [«, 1] и обобщение х

неравенства Шура для рациональных функций с произвольным знаменателем на нескольких отрезках действительной оси

Методика исследования В диссертационной работе широко испочьзуется аппарат теории приближения функций, методы теории функций комплексного переменного, а также общие результаты теории потенциала

Научная новизна Основные результаты работы явтяются новыми и состоят в следующем 1) обобщена теорема Фишера для рациональных функций с фиксированным знаменатетем на нескольких отрезках действшельнои оси, 2) по тучен явный вид решения экстремальной задачи для оптимальных рациональных функций с фиксированным значенатетем на нескольких отрезках действительной оси, 3) потучено точное решение

задачи о приближении — полиномами на [—1,—д] ^ [а,1] , 4) обобщено неравенство х

Ш\ра для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескочьких отрезках действительной оси, причем это обобщение включает как частный случай классическое неравенство Шура

Теоретическое значение и практическая ценность Рез>льтаты предтоженной работы вносят вктад в теорию приближения функций Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применения в теории приближений, теории квадратурных формул, вычислитетьной тинейной алгебре

5 Borwein Р, Erdetyi Т Polynomials and polynomial inequalities N Y Springer, 1995

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н К Бари и Д Е Меньшова (Саратов,2002), на Международной конференции «Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании» (Саратов-Энгельс, 2002), на 12-й и 13-й Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004, 2006), на научно-практических конференциях СГУ в 2003, 2004 и 2006 годах, а также на семинарах кафедры теории функций и приближений СГУ (руководитель - д ф м н доцент Лукашов АЛ)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5] Структура и объем диссертации Диссертационная работа изложена на 106 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 107 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается обоснование актуальности темы, обозначаются направления исследования, приводятся необходимые определения, методы, обзор результатов по исследуемой теме, описывается структура и формулируются основные результагы диссертации

Первая 1лаоа состоит из 6 параграфов и посвящена построению общего вида оптимальных рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких

1

отрезках и поиску точного вида полинома, наименее уклоняющегося от — на

х

[-1,-а]и[а,1]

В параграфе 1 1 вводятся общие определения, в том числе понятие оптимальных рациональных функций на нескольких отрезках, те дробей К$(х,с{,В,Оп), наименее уклоняющихся от нуля в чебышевской норме среди всех функций вида

<2„00

п \

где <2«(х)= П (\+а, х),--е С\(В<и{с1}),к = 1, ,п - заданный действительный

к=1 к ак

полином, причем

В параграфе 1 2 доказывается

Лемма 2 (обобщение теоремы Чебышева для (х, с1, Е^. (2п ) ) /

Пусть Е^ = и \-a2J-Ya2J^~^~a\<a2< <а2/ =1>^е Тогда

рациональная функция будет являться оптимальной на Е^ тогда и

только тогда, когда существует по крайней мере (п+1) точек < ?2 < < 1Е Е1, таких, что (Г,,£„£?„ )| = ¡Я ° , причем

+1 л,

У ^

(-1) кК%^ус1,Е1,дп),если с1(Е (а1к,а1к+А), (в) _/=!> = <Л

В параграфе 1 3 доказывается теорема, связывающая оптимальные и экстремальные рациональные функции на нескольких отрезках Теорема 4

/

Пусть Е^ — и [#2 = < а2 < < =' Тогда имеет место

7=1 У 7

тождество

Л°(х,<*,£„&) = кК(К(х),Е,/2„), где

/Ы

Параграф 1 4 посвящен обобщению результата Фишера для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескочьких отрезках Теорема 8 (Обобщение теоремы Фишера) I

Пусть С^ = и [а^ _уа2 ], — 1 = < сг^ < <а2!'1 Тогда тождество 7 = 1 3 7

(1 и)

Кп\(Х

выполняется тогда, когда Я*{х,Е1^п) имеет на Е! (п +/) точек максимального уклонения

В параграфе 1 5 выводится общий вид решения задачи поиска оптимальной рациональной функции на нескольких отрезках. Для нахождения этого решения необходима процедура расширения системы отрезков до максимальной по включению системы, на которой сохраняется норма оптимальной функции Эта процедура носит конструктивный характер Прежде, чем привести результат, введем необходимые обозначения Зададим множество

СдсдЕ1 = {а1,а2, ,а2!},

состоящее из произвольных q + 1 точек множества ( \<q<(2l-\)), множество

и множество

с N

Определение

Набор множеств назовем допустимым, если выполняются следующие

условия

1 последовательность не убывает, причем равенство к 1 — к; и = к 1 г2 невозможно ни при каком ] ,

2 для любого 7=1,2 ,#-1

при , _/+1 ровно одна из точек а2к ¡>а2к принадлежит Ся (кроме случая, когда с/е (а2к [, а1к ) ) Обозначим эту точку соответственно, а при

к] = ^/+1 С12к1 =®2]> а2к^1 = J+Ъ

В случае (1&{а2к^а1к) обе точки а2к ^,а2к могут не принадлежать С

я

3 ^ « = П, причем при к] = к].! выполняется равенство и +1 = 1

Кроме того, дтя учета случая, когда вырождена, т е полюсы

оптимальной рациональной функции Л® являются одновременно ее нулями, причем

других таких точек нет (это возможно для--6 (а,т ,а2т +Л, причем т Ф тк при

гу \ ~ 1 1 /

} Ф к ), допустимые наборы определятся как и выше с условиями я

3' =п — 1, причем при к} = выполняется равенство = 1

1=1

4 Каждая из рассматриваемых точек а2т ,С12т (1 принадлежит набору

С помощью теоремы 4 и резутьтатов А Л Л^кашова (6 и 7), в работе доказывается следующая лемма Лемма 12

I

Пусть Е,= и [а2 _]>я2 1 = а1<а2< <<^2^ = 1, ¿/е Если дтя

каждого ,1 сумма гармонических мер отрезка [я2 ,,а2у] относительно нулей

многочлена Qn{.x) является натуральным числом, точнее

Щ ]

--N,7=1, ,/,

тогда оптимальная рациональная функция может быть представлена в виде

6 Lukashov A L Oil Chebjshev-Markov Rational Functions over Several Intervals // J Appro* Theor) 1998 V 95 P 333-352

7 Л утл i г го в A JI Интерполяционные процессы на нескои»ки\ отрезках // Изв СГУ Сер Математика Механика Информатика Вып 1 2005 Т 5 С 34-38

где при--е

а,

■см-

1 (ах+аг-'с°пх{х)

2/

С* 5

-(—

2, (ал-ая)(х-£0

Н°(с1) а,+с! (х+аА)(алх + 1)

к=1

а при--е

а,

К+^-'С® (X)

а,

-о

1

)2

1

Н\сI) ах+с! ахх + \

Ся\(х) = П (х-с°),Я°(х) = П(х-я,)

к=\ к*] 1=1

Здесь =С°А„е Фгк^2к*\) однозначно определяются устовиями °2Ш „о

причем для аА 6 рассматриваются лишь кФ ]

Данная лемма дает способ построения вспомогательной рациональной функции по любому допустимому набору {КЧ,С } А следующая теорема доказывает, что среди вспомогательных рационачьных функций построенных с помощью леммы по всевозможным допустимым наборам {К и всевозможным 1<дг<(2/-1)

имеется ровно одна рациональная функция, которая является оптимальной Теорема 14

Оптимальная рациональная функция на множестве

/

Е1 = и [«2 -\>а2 ]'_^ = а1<а2< <а2/=1 имеет «Дно из следующих J = \ J }

представ тений

1 при д = 1 Р°(х) = = где Л/„(х)-дробь Чебышева-

Маркова, а нормирующий коэффициент К

2" 1 а, +с1

2 при9>1Л0(х) = Л°(х»^ ,б ).

км / ' '

причем Ёц- та из построенных в соответствии с леммой по всевозможным

*«

допустимым наборам систем отрезков, для которой \?т,\<т<д [а2]-\'а2]\

содержит ит точек альтерпанса (х,с!, К ^,)

1

Параграф 1 6 посвящен задаче поиска полинома, наименее уклоняющегося от —

X

на [—1 —а] ^ [я, 1], то есть

— - (а0 + а:х + + д„х") шт

Эта задача сводится к нечетному случаю

-> тш (4)

I ^ Г . . X

--(а,х+ +а2пПх )

Iх са-1-аМя1В

Следующая теорема дает точный вид решения задачи (4) Теорема 8 Точное решение задачи (4) имеет вид

Т гк\ Т /2х2 - (1 + Тп* (о) - Г«+1 (-;-2-)

Р„'(Ю =-^-,

Ь)

где = +

2 П(±) * Ь

V

П(у) = 4+1 = . * = + -), Ь = + -)

2 2 V 2 с

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена обобщению неравенства Шура на случай рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках

В параграфе 2 1 даются необходимые определения и вводятся некоторые понятия теории потенциалов Пусть

-тс =(р,<ф2< <ф2/_1<«р2,= о,

такие, что

I

Е1 = У }а2] - 1'°2у 1-1 = а\<а2< <а2 Г

а} = со 5(р]

Рассмотрим систему отрезков

и соответствующую ей систему дуг

Гс = {е"" ср е Н>2 ,<р2 ] ^ [<р3 ,ер4 ] и ^ [<р2/_3 ,<р2,_2 ] и [(р2/_,, -<р2М ] и

На системе Гг плотностью гармонической меры является функция й7г ), такая

что

где ю(Гв О Г(— 1,еа\С\Те,г) - гармоническая мера множества ГвоГ(—1,ев) в точке 2 относительно области С\ГЕ,где Г(— 1,£?й ) - дута единичной окружности (см, например,8)

Там же доказывается лемма, связывающая плотности гармонической меры на множествах Е1 и Гс Лемма 16

1 етг(со,2)+ст£.(0,2)= 2ет£[(со,х),

В параграфе 2 2, испочьзуя результаты и обозначения параграфа 2 1, доказывается обобщение неравенства Шура на случай рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках Теорема 17

Р (х) и Пусть Р„(х) = --, где О(х) = с Т| (х — х ) - полином порядка

£?(*) ~ у=Т

м

Ы , действительный, не обращающийся на Е, в 0 и Рп(х)~ действительный

1=1

полином степени не выше п

I

Тогда на Е^ — и _уа2 = < °2 к < я2/ справедливо

7 = 1 ] 1

следующее неравенство

||Д„| <жта\(К\{п + \-М + Ц/^П ).

' 1 II »1 II ]

где

1гг](ж) = Ь2]^{х) = ^х- а1}\х- ] = 1, (/-1), \{х) = /»2,(х)= л/1-х2,

1/11»II/!!«-,=11^-111^..,^=2, (/-1),

ИД, = IIД = .

8 Неваютпша Р Однозна'шые аналитические функцни М ГИТГЛ, 1941

К,

(«2^1 "

к = 1 /, прич

Работы автора по теме диссертации

1 Привалов И А Обобщение неравенства Шура на случай нескольких отрезков // Современные проблемы теории функций и их приложения Тезисы докладов 11 зимней школы Саратов Изд-во СГУ, 2002 С 57

2 Привалов И А Неравенства для рациональных функций//Изв СГУ Сер Математика Механика Сборник научных трудов Саратов Изд-во СГУ, 2003 С 45

3 Привалов И А Связь оптимальных рациональных функций с функциями Чебышева-Маркова на нескольких отрезках // Международная конференция «Информационные технологии в естественных науках» Тезисы Энгельс Изд-во ЭПИ, 2003 С 110-111

4 Привалов И А Обобщение неравенства Шура // Изв СГУ Сер Математика Механика Сборник научных трудов Саратов Изд-во СГУ, 2004 С 51-52

5 Привалов И А, Приближение 1/х полиномами на [— 1,— д]и[в,1] Математические заметки, 2007, т 81, вып 3, С 472^73

Привалов Иван Лзекслндровнч

ЭКГ! РЬМ\ЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ НЛ IIIСКОЛЬКИХ ОТРИКЛХ

01 01 01 -математический анализ

Лшорсфсрат диссертации па соискании ученом степени кандидата физнко-макчагичеа их наук

Подписано в исча! ь 04 04 07 Формат 60x84 1/16 Объем 1 Оп I Тираж 100 экз Заказ 40

Типография И?дат(.чьства С араговского университета 410012 Саратов Астраханская, 83

Введение

1 Оптимальные и экстремальные рациональные функции на нескольких отрезках

1. 1 Общие определения.

1.2 Обобщение теоремы Чебышева об альтернансе.

1.3 Связь оптимальных рациональных дробей с рациональными дробями, наименее уклоняющимися от нуля.

1.4 Обобщение теоремы Фишера на случай произвольного количества отрезков

1.5 Общий вид решения экстремальной задачи для оптимальных рациональных функций с фиксированным знаменателем.

1.6 Приближение — полиномами на двух симметричных отрезках.

2 Неравенства для рациональных функций с фиксированным знаменателем

2.1 Общие определения.

2.2 Обобщение неравенства Шура для рациональных функций с фиксированным знаменателем на нескольких отрезках.

1. Agarwal R.P., Milovanovic G.V. Extremal problems, inequalities, and classical orthogonal polynomials //Appl. Math. Comput. 2002. V.128. P.151-166.

2. Akhieser N.I. Uber einige Funktionen, die in gegebenen Intervallen am wenigsten von Null abweichen // Bull. Soc. Phys.-Mathem. Kazan. Ser.3. 1928. V.3. N2. P.l-69.

3. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwallen am wenigsten von Null abweichen, I // Изв.АН СССР.Отд.матем. и естеств. н. 1932. N9. С.1163-1202.

4. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Interwal len am wenigsten von Null abweichen,II // Изв.АН СССР. Отд. матем. и естеств.н. 1933. N3. С.309-344.

5. Achyeser N.I. Uber einige Funktionen, weiche in zwei gegebenen In terwallen am wenigsten von Null abweichen,III // Изв.АН СССР. Отд.матем. и естеств.н. 1933. N4. С.449-536.

6. Ахиезер Н.И., Левин Б.Я. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от целых функций // Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, сб. статей под ред. А.И.Маркушевича. М.:ГИФМЛ, 1960. С.111-165.

7. Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 1980. Т.27. С.539-547.

8. Baran М. Complex equilibrium measure and Bernstein type theorems for compact sets in Rn // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V.123. P.485-494.

9. Бари H.K. Обобщение неравенств С.Н.Бернштейна и А.А.Маркова // Изв. АН СССР, Сер. матем. 1954. Т. 18. N2. С. 159-176.

10. Белых В.М., Малоземов В.Н. Наилучшая рациональная аппроксимация на системе отрезков // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1.1978. Вып.2. С.5-8.

11. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Собрание сочинений. T.I. М.: Изд-во АН СССР, 1952. С.3-104.

12. Богатырев А.Б. Эффективное вычисление многочленов Чебышева на нескольких отрезках // Матем. сб. 1999. Т. 190. N11. С. 15-50.

13. Богатырев А.Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении //Матем. сб. 2002. Т. 193. N12. С.21-41.

14. Буланов А.П. Асимптотика наилучшей рациональной аппроксимации функции signxll Матем. сб. 1975. Т.96. N12. С.171-178.

15. Borwein P.B. Markov's and Bernstein's inequalities on disjoint intervals // Can. J. Math. 1981. V.33.N1. P.201-209.

16. Borwein P.B., Erdelyi T. Markov and Bernstein type inequalities on subsets of -1,1] and [-ж,ж] //ActaMath. Hung. 1994. V.65. P.189-194.

17. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and polynomial inequalities. N.Y.: Springer, 1995.

18. Carlson B.C., Todd J. Zolotarev's first problem the best approximation by polynomials of degree <n- 2 to x" - nax"~x in -1,1] // Aequation. Math. 1983. V.26. P.l-33.

19. Чебышев П.Jl. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С.611-648.

20. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций // Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С.462-578.

21. Черных Н.И. О некоторых экстремальных задачах для полиномов // Тр. МИАН. Т.78. С.48-89.

22. Chui С.К., Hasson М. Degree of uniform approximation on disjoint intervals //Рас. J. Math. 1983. V.105. P.291-297.

23. Cuenya H.H., Rodriguez C.N. Rational approximation in Ьф spaces on afinite union of disjoint intervals // Num. Funct. Anal. Optim. 2002. V.23. P.747-755.

24. Driscoll T.A., Toh K.-C, Trefethen L.N. From potential theory to matrix iterations in six steps // SIAM Rev. 1998. V.40. P.547-578.

25. Erdelyi Т., Kroo A., Szabados J. Markov-Bernstein-type inequalities on compact subsets of R // Anal. Math. 2000. V.26. P.17-24.

26. Дзядык B.K. О теории приближения функций на замкнутых множествах комплексной плоскости (a propos одной проблемы СМ. Никольского) // Тр. МИАН. 1975. Т. 134. С.63-114.

27. Dzyadyk V.K. On a problem of Chebyshev and Markov // Analysis Math. 1977. V.3. N3. P.171-175.

28. Дзядык B.K. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

29. Erdelyi Т., Kroo A., Szabados J. Markov-Bernstein-type inequalities on compact subsets of R // Anal. Math. 2000. V.26. P.17-24.

30. Fisher B. Polynomial Based Iteration Methods for Symmetric Linear Systems. Wiley-Teubner. 1996.

31. Fuchs W.H.J. On the degree of Chebyshev approximation on sets with several components // Изв. Акад. Наук Арм. ССР, Матем. 1978. Т.13. С.396-404.

32. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on sets with several components // Aspects of contemporary complex analysis. Durham, 1980. P.399-408.

33. Fuchs W.H.S. On Chebyshev approximation on several disjoint intervals // Complex approximation. Quebec, 1980. P.67-74.

34. Golinskii L., Lubinsky D.S., Nevai P. Large sieve estimates on arcs of a circle // J. Number Theory. 2001. V.91. P.206-229.

35. Гончар A.A. О наилучших приближениях рациональными функциями II Докл. АН СССР. 1955. Т.100. С.205-208.

36. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучшей аппроксимации на замкнутых множествах // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. С.25-28.

37. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. С.347-356.

38. Гончар А.А. Скорость рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями // Матем. сб. 1967. Т.73. С.630-638.

39. Горин Е.А. Неравенства Бернштейна с точки зрения теории операторов // Вестн. Харьк. ун-та. 1980. N205. С.77-105.

40. Freund R. On polynomial approximations to fa(z) = (z-a)~l with complex a and some applications to certain non-Hermitian matrices. // Approximation Theory Appl. 1989. No. l.P Л 5-31 (1989).

41. Freund R. On some approximation problems for complex polynomials // Constructive Approxymation. 1988. No .4. P. 111 -121.

42. Hasson M. The degree of approximation by polynomials on some disjoint intervals in the complex plane // J. Approx. Theory. 2007. V.144. P.l 19-132.

43. Kobindarajah C.K., Lubinsky D.S. L Markov-Bernstein inequalities on allarcs of the circle // J. Approx. Theory. 2002. V.l 16. P.343-368.

44. Крашенинникова Ю.В., Широков H.A. Аппроксимация многочленами в Lp -метрике на непересекающихся отрезках // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2000.Т.270. С. 175-200.

45. Крупицкий Э.И. Об одном классе полиномов, наименее уклоняющихся от нуля на двух интервалах // Докл. АН СССР. 1961. Т.138. С.533-536.

46. Лебедев В.И. Об итерационных методах решения операторных уравнений со спектром, лежащим на нескольких отрезках // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1969. Т.9. С.1247-1252.

47. Lebedev V.I. Extremal polynomials with restrictions and optimal algorithms // Advanced Mathematics: Computations and Applications (eds. A.S.Alekseev and N.S.Bakhvalov). Novosibirsk:NCS Publ., 1995. P.491-502.

48. Лебедев H.A., Тамразов П.М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной плоскости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т.34. С. 1340-1390.

49. Levy R. Generalized rational function approximation in finite intervals using Zolotarev functions // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1970. V.l8. P. 10521064.

50. Lubinsky D.S. Lp Markov-Bernstein inequalities on arcs of the unit circle // J. Approx. Theory. 2001. V.l08. P.l-17.

51. Лукашов А.Л. О задаче Чебышева-Маркова на двух отрезках // Сарат. ун-т. Деп. В ВИНИТИ 01.11.1989, N6615-В89.

52. Lukashov A.L. On Chebyshev-Markov Rational Functions over Several Intervals // J. Approx. Theory. 1998. V. 95. P. 333-352.

53. Лукашов А.Л. Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т.68. N3. С.115-138.

54. Лукашов А.Л. Интерполяционные процессы на нескольких отрезках // Изв. СГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып.1. 2005. Т.5. С.34-38.

55. Malozemov V.N. Best rational approximation on a system of intervals // Nonsmooth optimization methods and applications (Girmessi F.,ed.). Singapore: Gordon Brench, 1992. P.217-227.

56. Малышев В.А. Клеточная структура пространства вещественных полиномов // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15. N2. С.40-127.

57. Марков А.А. Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.244-291.

58. Марков А.А. Об одном вопросе Д.И.Менделеева // Избранные труды по теории непрерывных дробей и функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.-Л.: Гостехтеориздат,1948. С.51-75.

59. Мейман Н.Н. К теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля //Докл. АН СССР. 1960. Т. 130. С.257-260.

60. Мейман Н.Н. Решение основных задач теории полиномов и целых функций, наименее уклоняющихся от нуля // Тр. Моск. Мат. об-ва. 1960. Т. 9. С.507-535.

61. Межевич К.Г., Широков Н.А. Полиномиальная аппроксимация на непересекающихся отрезках // Проблемы математического анализа. 1998. Вып. 18. С.118-138.

62. Межевич К.Г., Широков Н.А. Об одном классе функций на непересекающейся системе отрезков // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1999. Т.262. С. 172184.

63. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: ГИТТЛ, 1941.

64. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1982.

65. Peherstorfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervals // J. Сотр. Appl. Math. 1993. V.48. P. 187-205

66. Peherstorfer F. Minimal polynomials on several intervals with respect to the maximum-norm — a survey // Complex methods in approximation theory (eds. A.M.Finkelshtein et al.), Almeria: Univ. Almeria, 1997. P. 137-159.

67. Peherstorfer F., Steinbauer R. Orthogonal polynomials on arcs of the unit circle, Il.Orthogonal polynomials with periodic reflection coefficients // J. Approx. Theory. 1996. V.87. P.60-102.

68. Peherstorfer F., Steinbauer R. Strong asymptotics of orthonormal polynomials with the aid of Green's function // SI AM J. Math. Anal. 2000. V.32. P.385-402.

69. Перельман ?? О нескольких задачах на экстремум интегралов. // Вестник Харьковского университета. Сер. Математика и механика. Вып.35. 1971. С.29-39.

70. Петухов А.П. Об ужах и приближении разрывных функций в метрике Хаусдорфа // Analysis Mathem. 1985. V.U. Р.55-73.

71. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. Кн. 1,2. Саратов: изд-во СГУ, 1990.

72. Привалов А.А. Аналоги неравенства А.А.Маркова. Приложение к интерполированию и рядам Фурье // Тр. МИАН. 1983. Т. 164. С.142-154.

73. Privalov I.I. Sur la convergence des series trigonometriques conjugees // С R. Acad. Sc. Paris. 1916. V.162. P. 123-126.

74. Привалов И.И. Интеграл Cauchy // Изв. Сарат. ун-та. Физ.-мат. ф-т. 1918. Вып.1. С.1-94.

75. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций, 2-е изд. М.-Л.:Гостехиздат, 1950.

76. Rahman Q.I., Schmeisser G. Les inegalites de Markoff et de Bernstein. Montreal: Presses Univ. Montreal, 1983.

77. Рахметов H.K. Равномерная аппроксимация непрерывных функций на непересекающихся интервалах // Изв. ВУЗов. Матем. 1988. N3. С. 78-80.

78. Rivlin T.J. Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory. 2nd ed. N.Y.:Wiley and Sons, 1990

79. Robinson R.M. Conjugate algebraic integers in real point sets // Math. Zeit. 1964.Bd.84. S.415-427.

80. Robinson R.M. Intervals containing infinitely many sets of conjugate algebraic units // Ann. Math. 1964. V.80. P.411-428.

81. Русак B.H. Рациональные функции как аппарат приближения. Минск: Изд-во БГУ, 1979.

82. Широков Н.А. Аппроксимация многочленами на компактных множествах с дополнением бесконечной связности // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. N1. С.248-264.

83. Широков Н.А. Обратная теорема приближения на бесконечном множестве отрезков // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2002. Т.290. С. 168-176.

84. Скалыга В.И. Многомерные аналоги неравенств В.А.Маркова и С.Н.Бернштейна // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. Т.65. N6. С.129-172.

85. Содин М.Л., Юдицкий П.М. Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах вещественной оси // Алгебра и анализ. 1992. Т.4. N2. С. 1-62.

86. Шталь Г. Наилучшие рациональные аппроксимации |х| на -1,1] // Матем. сб. 1992. Т. 183. N11. С.85-118.

87. Szabados J. Polynomial approximation on disjoint intervals // Approximation theory and functional analysis. 1984. P.257-267.

88. Szezgo G. On a problem of the best approximation // Abh. Math. Univ. Hamburg. 1964. B.27. S.193-19

89. Talbot A. On a class of Tschebysheffian approximation problems solvable algebraically //Proc. Cambr. Phil. Soc. 1962. V.58. P.244-266.

90. Теляковский C.A. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИАНе // Тр. МИАН. 1988. Т.182. С. 128-179.

91. Тихомиров В.М. Теория приближений // ИНТ ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. М.,1987. С. 103260.

92. Todd J. Applications of transformation theory: a legacy from Zolotarev (1847-1878) // Approximation theory and spline functions (Singh S.R., Ed.). Dordrecht:Dr.Reidel Publ.,1978. P.207-245.

93. Totik V. Polynomial inverse images and polynomial inequalities // ActaMath. 2001. V.187. P. 139-160.

94. Totik V. How to prove results for polynomials on several intervals? // Approximation Theory: a volume dedicated to B.Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P.397-410.

95. Totik V. On Markoffs inequalities // Constr. Approx. 2002. V.18. P.427-441.

96. Виденский B.C. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период // Докл. АН СССР. 1960. Т.130. N1. С.13-16.

97. Виденский B.C. Некоторые оценки производных от рациональных дробей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962. Т.26. С.415-426.

98. Виденский B.C. О тригонометрических многочленах полуцелого порядка //Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-матем. н. 1964. Т.17. N3. С.133-140.

99. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane // Adv. Math. 1969. V.3. P. 127-232.

100. Вячеславов H.C. О равномерной аппркосимации |x| рациональнымифункциями //Докл. АН СССР. 1975. Т.220. С.512-515.

101. Yuditskii Peter. A complex extremal problem of Chebyshev type // Journal d'analyse mathématique. 1999. Vol. 77. P. 207-235.

102. Золотарев Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Полн. собр. соч. Т.2. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1932. С Л-59.

103. Привалов И.А. Обобщение неравенства Шура на случай нескольких отрезков // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11 зимней школы. Саратов: Изд-во СГУ, 2002. С. 57.

104. Привалов И.А. Неравенства для рациональных функций // Изв. СГУ. Сер. Математика. Механика. Сборник научных трудов. Саратов: Изд-во СГУ,2003. С.45.

105. Привалов И.А. Связь оптимальных рациональных функций с функциями Чебышева-Маркова на нескольких отрезках // Международная конференция «Информационные технологии в естественных науках». Тезисы. Энгельс: Изд-во ЭПИ, 2003. С. 110-111.

106. Привалов И.А. Обобщение неравенства Шура // Изв. СГУ. Сер. Математика. Механика. Сборник научных трудов. Саратов: Изд-во СГУ,2004. С.51-52.

107. И.А.Привалов, Приближение 1/х полиномами на -1,-а]и[а,1]. Математические заметки, 2007, т. 81, вып. 3, В. 472-473.