Экстремальные задачи для начальных коэффициентов огранических однолистных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 з

На правах рукописи

ОДК 517.54

Гордиенко Валерий Геннадьевич

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАЧАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОГРАНИЧЕННЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - Математический анализ

Авторефер а,т диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

С

.САРАТОВ -1997

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Саратовского государственного педагогического института имени К.А. Федина

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Д.В.Прохоров. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор С.Р.Насыров. - кандидат физико-математических наук П.Н.Пронин. . Ведущая организация - Кубанский государственный

университет

Зашита состоится " /'"3 1997 г. в ^ час. на засе-

дании Диссертационного совета К 063.74.04 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ при Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410601, Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский госуниверситет, механико-матемагический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского госуниверситета.

Автореферат разослал " 1997 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория однолистных функций является центральной темой исследований в теории конформных отображений. Классы однолистных функций, нелинейные по своей структуре, оказываются весьма трудными объектами исследования. Наиболее актуальные задачи в этих классах формулируются как экстремальные задачи об областях значений непрерывных функционалов или сводятся к ним.

Одной из центральных тем исследований является проблема коэффициентов, относящаяся к классическим проблемам геометрической теории функций комплексного переменного. Экстремальным задачам, связанным с оценкой коэффициентов и коэффициентных функционалов, а также с описанием множеств значений коэффициентных функционалов, посвящено множество статей и монографий известных математиков, среди которых отметим Л.Бибербаха, К.Лёв-нера, Г.М.Голузина, И.Е.Базилевича, И.А.Александрова, Д.В.Прсхо-рова, О.Тамми.

Среди методов решения экстремальных задач геометрической теории функций выделим параметрический и вариационный, приведшие к наиболее значительным результатам. В последнее время успешно' применяется и метод оптимального управления, основанный на принципе максимума Понтрягина и разработанный в рамках параметрического метода. Впервые этот метод был применён в работах Г.Гудмана, Й.А.Апександроза, В.И.Попова. Наиболее успешно метод стал разрабатываться в работах Д.В.Прохорова.

Цель работы, получение описания множества значений начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций, а именно, описание свойств граничной гиперповерхности проекции шестимерного тела коэффициентов в пятимерное пространство. Целью работы является также описание некоторых свойств граничной гиперповерхности проекции (2га — 2) -• мерного тела коэффициентов в (2п -< 3) -мерное пространство а решение некоторых экстремальных задач,

связанных с оценкой коэффициентов и коэффициентных функционалов, в классах ограниченных однолистных функций.

Методика исследования. Выводы диссертации являются достоверными и обоснованными, доказанными в соответствии с современными представлениями о строгости математических доказательств. Доказательства проводятся параметрическим методом, основанным на представлении всюду -плотного подкласса однолистных функций интегралами дифференциального уравнения Лёвнера, и развитыми в рамках этой теории приложениями метода оптимального управления, принципа максимума Понтрягина, динамического программирования Бэллмана и алгоритмов построения достижимых множеств .управляемых систем дифференциальных уравнений.

Научная новизна . Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации: 1) впервые получено описание свойств гранично)! гиперповерхности тела коэффициентов размерности выше трёх; 2) показано, что граничная гиперповерхность проекции (2п — 2) - мерного тела коэффициентов в (2п — 3) - мерное пространство является аналитической всюду, за исключением множества особых точек алгебраического характера, имеющего меньшую размерность. Этот результат обобщает результаты К.И.Бабенко; 3) приведено решение некоторых экстремальных задач, связанных с оценкой коэффициентов ограниченных однолистных функций.

Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты и методы работы работы могут найти применение в геометрической теории функций комплексного переменного, в теории оптимального управления, динамического программирования, построении достижимых множеств, а также в прикладных вопросах, где используются конформные отображения и методы оптимизации. Доказанные положения могут быть использованы при чтении спецкурсов по геометрической теории функций комплексного переменного в Саратовском, Казанском, Томском, Кубанском государственных университетах и Саратовском государственном пединституте.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались:

на Саратовском городском научном семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного (руководитель профессор Прохоров Д.В.), на 7-й и 8-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (Саратов, 1994 г. и 1996 г.), на школе-конференции МГУ и КГУ "Теория функций и её приложения'' (Казань, 1995 г.). В целом работа докладывалась на объединённом научно-исследовательском семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, математической физики и вычислительной математики в Саратовском государственном университете имени Н.Г.Чернышевского (1996 г.). Работа по диссертации была поддержана 'грантом Государственного комитета по высшей школе РФ № 2-12-7-25 "Оптимизация в задаче о коэффициентах однолистных функций".

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 94 страницах машинописного текста и состоит из введения и двух глав, разбитых на десять параграфов. В диссертации имеется 9 рисунков н библиографический список, содержащий 82 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся необходимые определения, краткий анализ литературы по теме диссертации, даётся постановка задач и обзор результатов диссертации.

Основными классами, изучаемыми в работе, являются:

класс 5— класс голоморфных и однолистных з единичном круге Е = '{г: \г\ <1} функций

ОО

/(*) = г + £ апгп;

класс

3м- класс функций f(z) € 5, удовлетворяющих в Е

условию |/(г)| <М,М> 1, 5°° = 5-;

класс 5д — класс функций /(г) € , имеющих вещественные коэффициенты.

В первой главе диссертационной работы получено описание граничной гиперповерхности шестимерного тела коэффициентов в пятимерное пространство в классе 5м . Описаны некоторые свойства граничной гиперповерхности "проекции множества Уп(М) = {а^,.. ,,ап| } € Я7"'} в (2п —3)— мерное пространство в этом же классе функций.

В первом параграфе задача по описанию граничной гиперповерхности множества формулируется в терминах теории оптимального управления. Поскольку класс Б'"'1 инвариантен относительно вращения, а именно, вместе с каждой функцией ги — f(z) он содержит все функции ги = e~'af(eшz), а Е [0,27т), то множество 1-4(Л/) обладает определённым свойством симметрии. Вместе со всякой точкой (02,03.04) £ \\{М), точка (еша2, е2шаз, е3'ас4) также принадлежит множеству \\{М) . Поэтому вместо граничной гиперповерхности множества \'\{М), рассматривается граничная гиперповерхность дЩ(М) проекции Щ(М) — {а2, о3, Ее а4} шестимерного тела коэффициентов в шггимерное пространство.

Во втором параграфе с учётом специфических свойств функции Гамильтона даётся параметрическое представление граничной гиперповерхности дЩ(М) как объединения некоторого числа множеств П*. , попарно не имеющих общих внутренних точек. Множества П/с получадотся как решения задачи Коши для семейства управляемых систем, порождённых обобщённым дифференциальным уравнением Лёвнера

¿■ю * «!**+«> . . "

к .

к = 1,2,

3, А^ > 0, - ^ ) и сопряжённой системы с непрерыв-¿=1

ными ветвями управлений гт,-.

В третьем параграфе описываются свойства точек граничной ги-

€

перповерхности дЩ (М), соответствующих, функциям Пика, определяемых равенством

где

и свойства точек грагшчной гиперповерхности, доставляемых функцией , отображающей единичиый круг на круг радиуса

М с двумя разрезами вдоль отрезков на вещественной оси. С помощью вариации вектора начальных данных сопряжённой гамильтоно-вой системы устанавливается, что точки граничной гиперповерхности ди^(М), соответствующие функциям Пика, являются угловыми

, г

точками локально выпуклого характера. А множество точек граничной гиперповерхности, соответствующее функции (¿{¡^(г) , представляет особую кривую, а именно, является ребром граничной гиперповерхности, соединяющим угловые точки.

В четвёртом параграфе показано, что оставшаяся часть граничной гиперповерхности является аналитической, за исключением некоторого множества особых точек алгебраического характера, имеющего меньшую размерность. В конце параграфа, обобщая всё проделанное, формулируем тесрему

Теорема 1. Граничная гиперповерхность дЩ (М), являющаяся границей проекции множества Т^(М) в пространство (а2, а3, Не а4), является аналитической всюду, за исключением некоторого множества особых точек алгебраического характера, имеющего меньшую размерность. Эта гиперповерхность имеет две угловые точки локально выпуклого характера, соответствующие функциям Пика, и соеди-.ияющее их ребро.

В пятом параграфе рассмотрены локально опорные точки класса

5 . Из работ Дюрена1 и других авторов известна так называемая гипотеза о двух функционалах: если одна и та же функция доставляет экстремум двум линейным функционалам, которые линейно независимы, то это функция Кёбе К {г) = з/(1 — г)2 и её вращения. Частные случаи гипотезы доказаны в работе Го. 2 Известно также, что функции, отображающие круг Е на плоскость с двумя разрезами, не являются опорными в классе 5. Рассматривая функционал

£(/) = Ее {аа2 + ,ва3 + а4} ,

где а,/3- комплексные числа, а а2, аз, сц - коэффициенты функции } £ Бм , доказываем теорему

Теорема 2. Если

1. д=Ф3е {С2-4(1-1/М)},

а = е {с1 + (1 - 1/М)(7 — 1/М - 4с2)} , (сь с2) в М\{0,0), то

тах £(/) = 4/Мг - (4 + Зс2)/М2 + (8с2 - 2сг - б)/М-/6

,5С2_ + 2С1 + 6. •

2. /3 = Ф2 6 {с2+4(1-1/М)}, . .

а = € {«*■ + (1- 1/М)(7 — 1/М + 4с2)} , (с1>с2) € М?(0,0),

ТО •

шах 1(/) = —4/М5 - (4 - Зс2)/М2 + (8с2 + 2сх + 6)/М~ Ъс% — 2С| — 6.

• 3. Д = Ф.Т€{с1 + 4-8А+(8Л-4)/Д/Ь

а = € {(16А2 - 16А + 1)/М2 + (—32А2 + (32 + 8с2)А - 8-

)

'Элма РА Шт1а& {впей»в«.-5ргаве1ЛГ«ив,198:!.

г&* Б-Б. 5ирр<х1 ршЬ аЫ ¿вяШ&Л**// Ргос. Лшег. МакЬ. Soc.-l.994.- ».122, IV 2.-р.«3-468.

4с2)/М + 16А2 - (16 + 8с2)А + 4с2 + С! + 7} ,

(сьС2)€Л<^(0,0),

то

ш¿L(f) = (8А - 4)/М3 + (16с2А(1 - А) - 8А + 4-

3с2)/М2 + (2А2 - (12 + 32с2 + 4cj)A + 8с2 + 2сг + 6)/М-16с2А2 + (12 + 16с2 + 4CJA - 5с2 - 2сг - 6.

Из этой теоремы, устремляя М к бесконечности, получаем, что функции, отображающие круг Е на плоскость с двумя разрезами вдоль вещественной оси, являются локально опорными в классе S .

В шестом параграфе рассматриваются некоторые свойства граничной гиперповерхности dUn(M) проекции тела коэффициентов {а2,..:, ап} в пространство {п2,..., Re ап} . Доказана теорема Теорема 3. Граничная гиперповерхность 8Un(AI) проекции тела коэффициентов Vn(M) = {а2, • - ■, в пространство {о2,... ,Rc а„} является аналитической всюду, за исключением'"множества особых точек алгебраического характера, имеющего меньшую размерность. Эта гиперповерхность имеет, по крайней мере, две угловые точки локально выпуклого характера и соединяющее их ребро.

Во второй'главе диссертационной работы рассматриваются некоторые экстремальные задачи, связанные с оценкой коэффициентов и коэффициентных флгнкционалов.

В седьмом параграфе рассматривается применение методов оптимального управления к оценке функционала I(f) — — аа2, а £ R в классе S^f.

В параграфе восьмом доказывается теорема Теорема 4. Если / € 5$, то

(5 — 4а)/М2 — 8(1 — а)/М + 3 — 4а, а<1/(1'-М), А/)<| 2(/3 — 1)'/М2 + 1 — 1/М2, 1/(1 — М) < а < 1 — 1/logM, 1-1/М2, а > 1 — 1/ log М, где /3 £ (1|М) - вещественный корень равнения log(/3/M)+ «/(!-«)+!//?. "

I 1/М2-1, а<1,

~ \ (5 - 4а)/М2 - 8(1 -а)/М + 3 - 4а, а > 1. Все оценки точные. .

Описываются экстремальные функции теоремы 4.

В девятом параграфе доказываются две теоремы об оценке пятого и шестого коэффициентов в классе 5 м . Получена точная оценка шестого коэффициента для достаточно больших значений М Теорема 6. Функция Пика является экстремальной в задаче об оценке |а5| в классе 5 м для достаточно больших значений Л/ .

В десятом параграфе рассмотрен функционал = 04+^0203+

(р. у) 6 RA / £ SM . Применение принципа максимума Понтря-гина позволяет получить утверждение Теорема 7. Если для М > 1 выполняются условия

2/М2 - 9/М + 7 , а)у<~ ' (1-1/М)2 ' "

12(1 - 1/M)Y> -(13/М2 - 8/М + 3)р - 15/М2 - 8/М - 2, 12(1 - 1 /Mfq < -(13/М2 - 16/М + - 15/М2 + 8/М + 6, •

т

■ 2/М2 - 9/М + 7 „ 2/М — 1 б) ■ (i-i/му- -Р<1-1 /М' 12(1 - 1/M)2q > -(13/М2 - 8/М + 3)р - 15/М2 - 8/М - 2, 12(1 -- 1/M)2g < (1 - 1/М)У - (9/М2 -6/М + 5)р - 11/М2 -4/М-1,.

2/М-1 1 + 2/М

12(1,- 1/М)2з < (1 - 1/М)У - (9/М2 - б/М + 5)р - 11/М4 -—4/М - 1,

12(1 - 1/М)2$ > -(13/М2 - 16/М + 11)р - 15/М2 + 8/М - 10,

1+2[M

12(1 - 1 /M)2q < —(13/Jkf2 - 8/M + 3)p - 15/M2 - 8/M - 2, 12(1 - 1/M)2q > -(13/M2 - 16/M + ll)p - 15/M2 + 8/M - 10,

то функция Пика не максимизирует модуль функционал D±{f) в классе Su .

Выражаю искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Д.В.Прохорову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гордиенко В.Г. О коэффициентных неравенствах для ограниченных однолистных функций // Третьи математические чтения памяти М.Я.Суслина. Тезисы докл. - Саратов, 1994. - с.25.

2. Гордиенко В.Г. Оценка шестого коэффициент ограниченных однолистных функций // Теория функций и прибл. (Тр. 6-й Саратов, зимн. шк., 25 января-2 февраля, 1992г.).- Саратов,СГУ,- 1997. - ч.2.

- с.21-24.

3. Гордиенко В.Г. Множество значений начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций // Трз'ды шк.-конф. " Теория функций и её приложения", 15-22 июня 1995г. Тезисы докл. - Казань, 1995. - с.23-24.

4. Gordienko V.,Prokhorov D. Optimization in an extremal problem for bounded univalent functions // Folia Sei. Univ. Tech. Resoviensis - 1994.

- V.129. - p.39-46.

Ответственный за выпуск кандидат физико-математических наук Захаров A.M.

л • Подписано к печати 27,03.1997 г. Заказ 28

Тираж 100 экз. Издательство СГУ