Экстремальные задачи на некоторых классах гладких периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

}Г5 ОД

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СТЕКЛОВЛ

На правах рукописи УДК 517.5

.КАСЯНЧУК Нп.п&клл Сс-ргссп:?» (Нгуен Тхи Тхьеу Хоа)

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГЛАДКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в отделе теории функций Математическое института им. В.А.Стеклова РАН. НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ - академик С.М.Никольский. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук

А.П.Буслаев,

доктор физико-математических наук, проф. В.П.Моторный, доктор физико-математических наук К.Ю.Осипенко.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Институт математики и механики

Уральского отделения РАН Защита диссертации состоится 9.Ш .9Г в ^^ час. 00 мин. на заседании специализированного сове Д002.38.03 по защите диссертаций на соискание ученой степе доктора наук при Математическом институте имени В.А.Стекло РАН по адресу 117333, Москва, В-333, ул.Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиоте Математического института.

Автореферат разослан . ^

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

В.А.Вату

Актуальность темы. В работе рассматриваются два круга вопросов: первый из них относится к классической области математического анализа и состоит в поисках возможностей

расширения толкования теоремы Ролля о нулях производнойт" другой----------

круг вопросов относится к точным экстремальным задачам на периодических классах гладких функций. То, что эти области взаимосвязаны было уже видно на примере работ М. Г. Крейна [1] и А. Пинкуса [2]. Установление такой связи позволяло не только получать новые резульиты р тг-ории приближений, но и давало существенно более простой метод работы в этой области. Более того, развитие одной области требовало развития другой и помогало в эффективной постановке задач (это можно видеть уже на примере результатов Н.И. Ахиезера [3] и М. Г. Крейна [1] в задаче тригонометрического приближения классов функций). Однако эта связь имеет более глубокие корни. Осцилляционные методы

1 • Крейн ff. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // ДАН СССР. 1938, Т.18. N 4-5. С.245-249.

2. Pinkus A. N-width in approviтлtion theory. Berlin: Springer - Verlag, 1935.

3. Ахиезер H.И. О наилучшем приближении одного класса

периодических функций ' ДАН СССР. l')37 Т >7. N 9. С. 4е»! -453.

(проще говоря, методы, основанные на подсчете числа нулей функций) вошли в теорию приближений с П.Л. Чебышевым, доказавшим известную теорему об альтернансе, и С.Н.Бернштейном, введшим понятие чебышевских систем функций. Пойа [4, с.126] обнаружил связь (одностороннюю) между теоремой Ролля для дифференциального оператора и Марковостью (это некоторое усиление понятие Чебышевости) ядра этого оператора. Нами установлена равносильность понятий теоремы Ролля для оператора и чебышевости его ядра. Так что теория приближений с самого начала своего существования опиралась на факты, равносильные теореме Ролля.

Задача обобщения теоремы Ролля оказалась и сама по себе привлекательной. На прямой она была решена Пойа [5] и Шенбергом [6]. Инвариантные дифференциальные операторы, для которых

4. Полна Г. , Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. И. : Наука, 1978.

5. Polya G. Algebraiche Untersuchungen über ganze Funktionen vom Geschlechte Nul und Ein // J.Rein und ang. math. 1915. V.X45. P.224-249.

6. Schoenberg I.J. On totally positive functions, Laplace integrals and entire functions of the Laguerre-Polya-Schur

• type // Proc.Acad.Sei.USA. 1947. v.35. P.11-4 7

выполняется теорема Ролля на прямой, представляют собой целые функции из класса Лагерра-Пойа-Шура от оператора дифференцирования, то есть функции, допускающие компактное приближение в комплексной плоскости полиномами только с вещественными нулями. Естественным образом возникли обратные операторы, не увеличивающие осцилляцию. Для инвариантных относительно сдвига дифференциальных операторов обратными операторами яшшмтсл оперчтлры свертки. . Функция, с которой производится свертка получила название ядра, не увеличивали»™ осцилляцию (слово ядро мы используем и в смысле множества функций обнуляемых дифференциальными операторами, но по контексту понятно, что имеется в виду). Шенберг начал рассматривать ядра, не увеличивающие осцилляцию на окружности, н показал, что класс таких ядер шире аналогичного класса для прямой. Позже появились результаты, показывающие коренное отличие этого класса от предыдущего [7],_[а]. Они состояли в

7. Polya G., Schoenberg I.J. Remarks on de la Vallee-Poussin means and convex conformai maps of the circle // Pacif.J.Math. 1958. V.8. P.295-334. a. Mairhuber J.C. , Schoenberg I.J., Williamson R.E. On

variation diminishing transformations of the circle // Rend. Circ. Palermo. 1959. V.8. P.241-270.

том. что . коэффициенты Фурье периодических ядер. не увеличивающих осцилляцию, не только могут как угодно быстро

убывать, но могут вообще равняться нулю, начиная с некоторого

/

номера (для ядер, не увеличивающих осцилляцию на прямой, двустороннее преобразование Лапласа обратно целой функции порядка не выше двух с нулями, лежащими лишь на вещественной оси). В интересующем нас аспекте, (наряду с результатами М. Г.Крейна [1] и Пойа [4, с.126]) таковым было состояние этой области. О других приложениях осцилляционных методов см. [9].

В экстремальных задачах теории приближений все рассматриваемые нами задачи были решены ранее в классическом случае - для оператора обычного дифференцирования. в соболевских классах гладких функций. На это ушли усилия большого числа математиков, подробнее об истории каждой из задач мы говорим в соответствующих главах работы. Были разработаны методы, составившие основу решения и дальнейшего развития соответствующих экстремальных задач. Результаты М. Г.Крейна [1] в вопросах тригонометрической аппроксимации и А. Пинкуса. [2] в нахождении.поперечников классов, определяемых свертками с ядрами, не увеличивающими осцилляцию, показали, что

9. Гантиахер Ф. р. , Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и малые колебания механических систем. М.-Л. : Гостехиздат, 1941.

существенную часть технической работы в таких задачах можно сводить к теореме Ролля. Доказательства, благодаря этому, ~упрощались,-Мы стремились сделать подход к решению весьма разнообразных экстремальных задам универсальным - через теорему Ролля. Практически с помощью только теоремы Ролля удалось получить все результаты нашей работы (исключением является оценка снизу поперечников, для получения которой использована еще теорема Ьорсуки).

Научная новизна и общая методика исследований. 1. Обобщение теоремы Ролля. Нам удалось ослабить зависимость от порядка дифференциального оператора в ассимптотической теореме Ролля, которую впервые установил М. Г. Крейн [1]. В то же время, мы показали, что полностью избавиться от этой зависимости, как это предполагал М. Г. Крейн [1], нельзя. Мы установили (продолжая результат Пойа [4, с.126]) полное соответствие явления теоремы Ролля для дифференциального оператора и чебышеврсти его ядра на интервале. Выяснена вложенность понятия теоремы Ролля на окружности в такое *е понятие на интервале (продолжение результата Шенберга и др.[8] о вложимости этих понятий на прямой и окружности). Нами установлена теорема Ролля • на окружности (и интервале) для оператора Л (0)=0(02+1г) ■ • ■ (02+п2) , (D = d/dx^) .

Этим доказано, что и размерность ядра дифференциального оператора (множества функций, где он равен нулю), для которого имеет место теорема Ролля, может быть сколь угодно большой (раньше рассматривались лишь случаи, когда размерность ядра О или 1), и что точки спектра его могут располагаться далеко от вещественной оси. На основании теоремы Ролля для оператора Л (о) и свойства неувеличения осцилляции ядра Валле-Пуссена

п

получен точный порядок убывания коэффициентов Фурье ядер, который гарантирует их свойство неувеличения осцилляции. Этот результат (в продолжение работы [8]) показывает невозможность описания периодического класса ядер, не увеличивающих осцилляцию, аналитическими условиями на коэффициенты Фурье ядер (подобно тому как описан класс на. прямой через двустороннее преобразование Лапласа). Мы также установили, что спектральные свойства этих ядер влияют на скорость убывания их коэффициентов Фурье.

2. Эстремальные задачи теории приближений

Во второй главе работы мы рассматриваем два круга вопросов: некоторые ключевые в теории приближений неравенства для производных (в нашем случае - для дифференциальных полиномов); вопросы тригонометрического приближения функций и классов функций. При нашем подходе теорема Ролля здесь является единственным инструментом. Так в классическом вопросе об

интерполяции функций тригонометрическими полиномами, который является решающим в исследованиях по тригонометрическим — приближениям классов функций, теорема Ролля для оператора А^(о) дает простую и довольно универсальную замену ряду методов^.-' В частности получено короткое решение теоремы В. К.Дзядыка СЮ], [и] - задачи Фавара о тригонометрических приближениях на классах с ограниченной дробной производной. Нами получена I ри1 иаи.'-^грп"'":?-^'' формула Тейлора кратной интерполяции, исследованы вопросы интерполяции л аппроксимации тригонометрическими сплайнами.

Оптимальные квадратурные формулы на периодических классах.

В третьей главе рассматривается задача об оптимальных квадратурных формулах на периодических классах функций (период полагаем равным единице), определяемых дифференциальными полиномами а(о) с постоянными вещественными коэффициентами :

ю. Дзядык В.К. О наилучшем приближении на классе периодических функций. имеющих ограниченную б-ю производную (о<з<1) // Изв.АН СССР. 1953. Т. 17. С. 135-162.

11. Дзядык В. К. О ' наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Матем.заметки. 1974. Т.16, N 5. С.691-701.

= {Г | ГеЛ<1в9С,,||а(0)т||р<1}. ре[1.оо], &п - ^ | Т, , .... 11 - абсолютно непрерывны). Задача о наилучшей квадратурной формуле была впервые поставлена на соболевских классах непериодических функций С.И.Никольским (подробнее см.[12]). Первый шаг во всех нынешних решениях задач об оптимальных квадратурах - редукция к моносплайнам, основан на принципе двойственности

С.М.Никольского [13]. На соболевских классах периодических функций задача о наилучшей квадратурной формуле полностью решена В. П. Моторным [14], А.А.Лигуном [15] и А.А. Женсыкбаевым

12. Никольский С. М, Квадратурные формулы. М. : Наука. 1988.

13. Никольский С. М. Приближения -функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв.АН СССР. 1946. Т.10, N3. С. 207-256.

14. Моторный В. П. 0 наилучшей квадратурной формуле вида Ер f (х ) для некоторых классов периодических дифференцируемых функций // Изв.АН СССР. 1974. Т. 38. С. 583-614.

15. Лигун A.A. Точные неравенства для сплайн функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем.заметки. 1976. Т.16, N 6. С.913-926.

[16]. К.И.Осколков [17] начал рассматривать эту задачу для

дифференциальных полиномов второго порядка произвольного вида.

2 2

Он показал, что для полиномов о(г)-л +(2пи) , когда ы близко к целому числу, квадратурная формула~ прямоугольников не всегда наилучшая. К.И. Осколков также доказал, что если нули многочлена второго порядка вещественны, то формула прямоугольников оптимальна. Этот результат был обобщен М. А. Чахкиевым [18] на

г-пучай многочленов любого порядка с вещественными нулями. На_____

классах сверток в , определяемых' ядрами! не '' у№?лячивамцими ......

осцилляцию, оптимальность формулы прямоугольников установлена В.Ф.Бабенко и Т. А.Гранкиной [19]. Аналогичный результат в

16. Женсыкбаев A.A. Наилучшая квадратурная формула для некоторых классов периодических дифференцируемых функций // Изв. АН СССР. 1977. Т. 41. С. 1110-1124.

17. Осколков К. И. Об оптимальности квадратурной формулы с равноотстоящими узлами на классах периодических функций // ДАН СССР. 1979. Т.219. Nl. С.49-52.

18. Чахкиев H.A. Линейные дифференциальные операторы с вещественным спектром и оптимальные квадрратурные формулы // Изв. АН СССР. 1984. Т. 48. С.1078-1108.

14. Бабенко В.Ф., Гранкина Т.А. О наилучших квадратурных формулах на классах сверток с 0(М,Л)-я/pof».'' Исследование

метрике I. , Уре[1,<п], получен независимо автором [2], 13]. Р

Оптимальность формулы прямоугольников на произвольном классе начиная с некоторого порядка (тогда неустановленного), без

р

доказательства единственности оптимальной формулы, мы получили уже в кандидатской диссертации. В настоящей работе мы находим порядок, начиная с которого этот результат верен, и показываем единственность оптимальной формулы при ре(1,оо]. Чтобы получить эти факты, пришлось пойти на технические осложнения, отказавшись от сглаживания классов свертками с ядрами теплопроводности.

Основным инструментом нашей работы на всех этапах решения задачи об оптимальных квадратурах является теорема Ролля, что позволяет абстрагироваться от какой бы то . ни было специфики рассматриваемого класса гладких " функций. Например, для оператора Л (О) Р(02+12) • • • (Р2+п2) в первой главе работы

п

устанавливается теорема Ролля, поэтому формула прямоугольников (порядка выше п) оптимальна на классе 2п-периодических функций, удовлетворяющих условию ||Лп(ОИ|| ¿1. feйzn*1, р€[1,оо]. На этом

по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск: ДГУ, 1982. С. 6-13.

конкретном классе Шенберг [20] рассматривал задачу Сарда (по оптимальным квадратурных формулах с фиксир'ш/цши;:'.-. равноотстоящими узлами) в метрике 1 Рг.'шатТГ""да.-ке~тпку» --чл-чдчу-без опори на теорему Ролля для опера юра Л Си) нелетко.

п

Точные значения поперечников классов периодических фуш.щ;.-. На классах функций и0: а С о ^ 1= [] <1, мы устанавливаем точгпг-значения их поперечников по Колмогорову а ) и с1(ии,;-;.

г,03ч п р 1

а также примыкающих ПО ' СТГ.'С/ту /тугих иОаерОТтйСЯВ. Задачи и поперечниках- соболевских классов функций была поставлена А.Н.Колмогоровым [21]. С историей развития этой задачи можно ознакомиться по статье [22]; внутри нашей работы мы даем подробную библиографию результатов для соболевских классов функций, аналоги которых устанавливаются здесь для классов

р

Нам хотелось бы выделить три работы, определившие методы и

20. Schoenberg I.J. On trigonometric spline interpolation // J.Math.and Msch. 1964. V.13, N5. P.795-825.

21. Колмогоров A, H. Oabcr die ЬячЬа Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklassa // Ann.Math. 1936. V.37. P.107-110.

Г

22. Теляковский С.А. , Тихомиров В.П. Теория приближений // Колмогоров А.Н.. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1983. С.382-386.

направление настоящих исследований: работу М.Г.Крейна [1] в

вопросах тригонометрического приближения на классах ыа, работу

р

В.М.Тихомирова [23] в исследовании равномерных поперечников

соболевских классов результата Пинкуса [2] для классов,

определяемых свертками, не увеличивающими осцилляцию.

Приближения классов и® множеством ^ были получены

Н. И. Ахиезером [з] для полинома о с чисто мнимыми нулями при

Ы>Ь(0)/(2я), где Ко) = тах{1т г | а(г)=о}. М. Г. Крейн [1] решил

эту задачу- для произвольного полинома а при ы>з^(ОЬ1ь(и)/(2л),

где - количество пар невещественных корней полинома а(г).

И.Н.Володина [24] получила точную оценку снизу поперечника

а (мвл ) при гёз^'"^^)/^ Поперечники с) (иа,1. ) и гм т оо г гы оо 1

с! (иа,1. ) параллельно нам получены С.И.Новиковым [25]. Точная

23. Тихомиров ' В. И. Наилучше методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространстве c[-i,i] // Матем.сб. 1969. Т.80С122)., С. 290-304.

24. Volodina I.N. Exact value of widths of certain class of solutions of linear differential equations // Analysis Math. 1985. V.ll, N 1. P.85-92.

25. Новиков С. И. Поперечники одного класса периодических функций, определяемого дифференциальным оператором // Матем.заметки. 1987. Т.42, N 2. С.194-206.

оценка снизу поперечника а "Ри ^>1->(а)/и получен.>

В.Т. Шевалдиным [26], [27], там же им получен поперечин!;

- а ) Уре[1,«] при н>5''"''0!"1Ь(и)/(2п).

р 1 --------- . . ______

Равномерные поперечники юассин гармонических"ограниченных-----

функций до последнего времени не поддавались оценке спи.о .< отсутствия свойства неувелич'-шы осцилляции для ядер Пуасс..., • Именно на этих классах была пелуч-'-иа первая точная оценка птт!*—> аиасрс*.»!якр», не основанная непосредственно на теореме Рол. А. К. Кушпелем [28] на кру; г- -<>// " Т.

[29] при р<1/5. Анализ их подхода показывает, что, все таки, рассуждения связаны со свойством неувеличения осцилляции в несколько урезанном виде ядра Пуассона. Сведением рассмотрений к ядру аналитического продолжения в полосу функций нами

26. Шевалдин В. Т. (.-сплайны и поперечники // Матеч. заметки. 1983. Т. 33, N 5. С. 735-74 5.

27. Шевалдин В. Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных диЦиренциалышх операторов // Тр. МИАН. 1983. Т.161. <. /Гм "¡О.

28. Кушпель А. К. Точные оценки нии^-рочпш чн кл.н.сон стфгок ,'/ Изв. АН СССР. 1988. Т.52. ы 6. С.1303-1322.

29. Шевалдин В.Т. Поперечники классов сверток с ядром Пуассона // Матем. заметки. 199?.. Т. 51, N 6. С.126-136.

получена оценка снизу поперечников гармонических функций Урб(о,1), начиная с некоторого номера. Конечно, мы говорим об оценке снизу, совпадающей с верхней оценкой, установленной М.Г.Крейиом [1].

Теоретическая ценность работы. Полученные результаты могут применяться в ряде вопросов классического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. вычислительной математики. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. По результатам диссертации автором были сделаны доклады на Всесоюзной школе - конференции по теории функций и сингулярным операторам в г. Теберде 1988 г. , на Всесоюзной школе - конференции "Современные проблемы теории функций" в г. Баку 1989 г. , на Восьмом Всесоюзном семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" в Красновидово 1990 г. , на семинаре под руководством академика С.М.Никольского и члена-корреспондента Л.Д.Кудрявцева в МИАН, на семинаре под руководством профессора В.И.Тихомирова в МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ в центральных журналах.

Структура диссертации. Диссертация содержит введение и 4 главы, состоящие в общей сложности из 19 параграфов. Объем ее равен 219'машинописным страницам. В библиографии приведено 53

названия работ.

Обозначения. В работе нумерация фактов, на которые имеются

ссылки, делится на нумерацию формул, определений и утверждений.

Нумерация наминается и заканчивается внутри параграфа. Ссылки _

понимаются следующим образом. Формула (2.з.1), (3.1), (11

одна и таже из второй главы, третьего параграфа, пернт.ч

формула: в первом случае - ссылка извне соптвегстьуютей гл.чг>н,

во втором случае - внутри главы, но вне соохвествуга!!'-

параграфа, в 1ретьсп - внутри или ,„е иирлгрт*т. 1« *»• ^«мос

для определений и утверждений. Утверждения, доказанные другими

авторами мы подчеркиваем двойной чертой, чтобы отличать от

наших результатов, подчеркнутых одной чертой.

Введем необходимые обозначения. Пусть Е обозначает

некоторое подмножество вещее шеннин прямой . как правило ото

будет сама прямая К, отрезок [ 1, (■Ч . и и I г-рнал полуинтервал

[а,Ь) или отрезок с отождествленными концами (окружность)

ТГ=и(|Е|), где | Е | - период. Для функции f , определеной на Е и

не тождественно равной нулю ил тбом интервале, введем

следующие обозначения: чг?р~з обозначается число нулей f

на Е с учетом кратности, I ([-.¡) (где ^ « ¡н, число нулей

г

функции f со следующим учетом кратности: нуль кратности более э

г

считается з раз, остальные нули сштзптся в соответствии с кратностью, и(Е^) - число перемен знака функции f на С,

- расстояние между нулями функции г на Е. Через я" обозначаем класс функций с абсолютно непрерывными производными до порядка п-1 включительно. Через обозначаем множество

тригонометрических полиномов порядка не выше п. *

соответствующего периода. З"1 - обозначение ортогонального

л

дополнения к ^ .

п

Для алгебраического полинома а (г) с вещественными

коэффициентами величина И(а) определяет полосу, куда попали

нули полинома :

КО) = шах{1т г | 0(г)=0}.

Через с!ед а обозначаем степень полинома О,

Квг о(о) = | о(о)т=о) - ядро оператора 0(0),

0(а,х) = 2 е11сх/о(1к) для |р"| =2п - воспроизводящее к е£а<1№о

ядро оператора 0(0).

Содержание работы. Глава I. Обобщения теоремы Ролля. Теорема 1.2.1. Для любого дифференциального полинома 0(0) степени п и с постоянными коэффициентам выполняется теорема

I

Ролля в следущих видах:

а). уОГ.о^Ш^ (¥.1=), если |ТГ|<п/Ь(0).

л

б). Пункт а) выполняется V |¥|

: сЛэ^)<п/(Ь(0)с)ед0).

в).у((а,Ь),а(0Ш>2 ( (а, Ь) Л)-п, если Ь-а<л/Ь(0).

п

г) Пункт в) выполняется V (а,Ь)

VfeZ)n(a,b) : dist(f)<rí/(h(0)degQ).

Теорема 1.3.1. Если кег u(D) является обобщенно чебышевским

пространством,- то для o(D) верна теорема Ролля на (а,ь):

y((a.b),Q(D)f)>Z ((a,b),f)-n VfeDn(a,b), n-"deg О. n

И наоборот: из теоремы Ролля на интервале для a(D) следует обобщенная чебышевость Кег а (о) на том же интервале.

„ , к , г 2 . 2 2 .

следствие 1.3.1. ;>лн iiiicudiupú Л »■•■ir> +п )

— - --1 л

выполняется теорема Ролля на интервале (о,2л), а именно:

и((0.2гт),Л (D)f)>Z ((0.2ГГ) , f )-(2n + l) Vf е.»2"*' (0. 2rc).

n 2n+l

Предложение 1.3.5. Пусть о(о) - дифференциальный полином с 2 л - периодическими (возможно переменными) непрерывными коэффициентами. Пусть выполняется периодическая теорема Ролля на 1Г(2л), в следующем виде

1>(ТГ.С1(0)О>2 (Я, О ^ег)'1®30^), если 0(0)^0. Тогда выполняется теорема Ролля на интервале (у.^+гп) УуеК: »((г.г+гл) ,а(о)т)>г, ((у,?'+2п)л)-авд а. УтеЯ^^О-.у+гто.

авда

Теорема 1.3.1. у(Т,Л (D)f) > z (¥,f) Vf«Г .

--ri 2n+l n

Следствие 1. 5. 7. Ядра Г (х) тригонометрических сплайнов

-■--п

(т.е. воспроизводящие ядра оператора Л (о)) или эквивалентные

им ядра x-sinZn(x/2) на ТГ=[о,2п) не увеличивают осцилляцию в

следующем смысле:

Z (ТТ.Т +Г *f)<v(¥,'f) VfеГ1" , f20. VT еГ ; 2n+l г» л n n г»

Z (¥,T + íx-sin2n(x/2)l*f)<v(Tr.f) Vfsr*- , fZO. VT eT . 2n+i n I J n n n

Глава II. Некоторые применения обобщенной теоремы Ролля в теории приближений

Теорема 2.1.1. (Неравенство Колмогорова). Пусть р и а -многочлены 'с постоянными вещественными коэффициентами, и р делит о. Пусть

А>ГСЬ(<Э) |0(2Ь(а)1) 1/2 Тогда, если

f»"«"<R>. |f|t (R)<1. (|0(D)f<R>áA,

TO

llP(D)fIL (R) ¿ Bp(D)fib &

CO 0)

где f - периодическая функция с периодом гп/\, для которой Q(D)f(x) = A sign sin Хх,

»L <К>

СО

Теорема 2.2.1. (Неравенство Бернштейна). Пусть класс целых функций типа а. Если а>2Ь(0), то

Следствие 2.2.2. Пусть p<=[i,co), o->2h(o). Тогда

P---------------------------P

Под нормой функции f в пространстве L (К) понимаем ~велйчину

р

( j |f(*)|pd><],''p. R

Следствие 2.2.3. Если 1<р5со, n>2h(Q), то

¡!q(cOí¡¡ „ < ¡ • ¡mi „ .Vrcr н=> тгопк

p - P

Теорема 2.3.1. (Неравенство Фавара-Ахиезера-Крейна). Пусть

Q(z) - многочлен с вещественными коэффициентами, n>2h(o),

| ТГI =2iT. Тогда для любой функции feJ"1 nwQ(T) выполняется

п-1 со

неравенство

llfUllfJL

где f (х) 2п/п-периодическая функция такая, что

Q(D)f (х) = sign sin nx. n

Обозначим E(w,I,x) = sup inf ||oj-í|| .

■ÜJSV i €1

Следствие 2.3.2. Пусть Q(z) - многочлен с вещественными

коэффициентами,n>2h(Q). Тогда

E(w°.r ,С(ТГ)) г !|f II .

СО Г)-1 и n "С( и)

Предложение 2.4.1. (Тригонометрическая интерполяция ядер).

а) Если 0€Ягп+1(ТГ), и 1>(ТГ,Л (D)0)<2n+2. то

п

Z (1Г,П-Т )<2n+2, VT еГ 2nti n n п

б) Если OesffJ). и Z(T,A (D)fi)<2n+2, то

n

Z(ir,0-T )<2n+2, VT eT .

n rs n

В) Если 0б»2т1(0,2П) и W((0,2л).Л (D)fi)=0, то

п

Z С(0.2л),а-Т )<2n+l, VT еГ .

Zn+i n r> n

г) Если Пе»2п+2(о,2я) и y((o,2«),DA (D)0)=0, то

п

Z ('(0,2я),0-Т )<2rt+2, VT eJ* . 2n+2 n n п

Тригонометрическая формула .Тейлора.

Введем систему функций СФ (t)} 00 (tel. |Т|-2л):

rv п=0

<^о=1, ^k i(t)=sin2lc"i(t/2)cos(t/2). ^2k(t) = sinZlC(t/2). Введем последовательность дифференциальных операторов {Д(0)}Ю :

п п=0

AQ(D)=id - тождественный оператор, Aik_t(0)=D(02+l2)(D2+22)---(D2+(k-l)2). ■ Aa.(D)=D2(D2+l2>(D2+22)- • • (D2+(k-l)2), Запись fee"(Е) означает, абсолютную непрерывность функций f, ff<nl> в окрестности множества Е и непрерывность

<п>

функции f в точках множества е.

Теорема 2.5.1. Если fecn(t ), то при t->t • ---о о

п 2кД )

г(ь) - Е -5-+ •

к = 0 к!

Теорема 2.5.3. Если Гесп+1[0,х], п четное, то найдётся- --точка ?е(о,х) такая, что имеет место формула

п 2кД (О)ПО)

Г(х) = Е ----+

к = 0 к!

х

* <?"/п!) Д (0)Т(?) [з1п" (1/2)

г. * 1 J

О

Вопросы тригонометрической сплайн-интерполяции. Определение 2.6.1. Пусть 0< х < х < ...< х, <2п , х =х

--- ' 12 к кч-1 1

на ТГ, |ТГ| =2п ,и функция зе02п(ТГ) такая, что Л (0)Э=0 на каждом

п

интервале (х., Такая функция Э называется

тригонометрическим сплайном порядка п с узлами в точках х , пишем э е 5 .

п,к

Предложение 2.6.1. г (¥,5)<тах(2[к/2],2п). Уз е 5 .

—- 2г>+1 п,к

Теорема 2.6.2. Пусть ы>п. Тогда для любой функции Ре£гп+1 (ТГ) существует единственный тригонометрический сплайн Э^Дх) порядка п с узлами в точках Сп^/н}^"1, интерполирукиий функцию ? в точках {г71>^+п/(2Ю}^'~1, причем всюду на ¥ имеет место неравенство:

|Р(Х)-Э (х)|<|А (0)Р|| • (х)| ,

г " П "00

где fn>N(x) - периодическая функция с периодом 2п/н такая, что

Л (D) f (х) = sign sin Nx.< п n,n

Отметим, что этот интерполяционный способ является оптимальным (реализует четный поперечник) на классе функций ||An(D)fl|co<l, feDZn+1.

В четвертой главе работы по аналогии с тригонометрическими

сплайнами. рассматриваются сплайны, определяемые

!

дифференциальным оператором a(D) вместо оператора Л (D).

п

Устанавливаются аналогичные результаты для таких сплайнов.

Глава III. Наилучшие квадратурные формулы на классе wa _р

Теорема 3.4.3. Пусть pe(i,ю], n>n(a,p), n(q.p) определено формулами (3.4.4)-(3.4.6). Оптимальной квадратурной формулой

порядка N на классе функций wQ является формула прямоугольников

р

порядка N (и только она).

Теорема 3.4.4. На классе функций W® с периодом равным единице формула прямоугольников порядка N оптимальна

а) среди всех квадратурных формул порядка N>h(Q)degQ/n-,

б) среди квадратурных формул с простыми узлами и неотрицательными весами порядка N>h(Q)/n.

Глава iv. Поперечники периодических классов гладких функций

Здесь полагаем длину периода |ЧГ|=1, через f обозначаем периодическую функцию периода 1/N такую, что

Q(D)f^(x) = sign sin(2rcNx). Через d^Cp.q), dN(p,q), bNCp,q), XN(p,q) обозначаются соответственно N-e поперечники по Колмогорову, Гельфанду,

Бернштейну и линейные поперечники класса wQ в пространстве

р

L сю.

ч

Теорема 4.2.2. Пусть l<p,q<oo, p"i+q'1=x. Тогда

а) При N>h(Q)/n имеет место оценка X (a>,q)=\ (p,i)<||f II .

2N ' 2N ' " NHq

б) Если N достаточно большое, то

d2N(CD.q),d2N(a3,q)--\2N(o0,q)--d2N(p.l) = d2N(p,l)=X2N(p.l) = ||fNj|(? . При q-<x> утверждение пункта б) верно для N>h(Q)/rc.

Теорема 4. 2.5. При N>^(<3)/^ имеют место равенства

Ь (со,ао)^2Ы 1(оо,со)га (оо,ю)-Х = II .

¿N-1 2М-1 гм-1 " н"оо

Теорема 4.2.7. При м>Ь(а)/гс имеют место равенства Теорема 4.2.9. При ы>Ь(0)/п имеем

d (р.1 )^гм"1(оо,ч)г||г || , где р,Ч€[1,®], 1/р+1/ч=1. 2.М-1 11 N "а

Введем обозначения: о = {ze€ | |z|<p}, Р

И = £f | f-гармоническая во, |(f|

00 1

Теорема А.3.3. Пусть ре(о,1), тогда существует номер п(р) такой, что Vn>n(p) выполняются равенства

d (IH,C(D )) a d (И,С(D )) = (4/л) arctg(рп).

2П-1 р 2п р

Я благодарю своих учителей Сергея Михайловича Никольского и Владимира Михайловича Тихомирова за поддержку и постоянное внимание к работе, а также сотрудников отдела теории функций Математического института РАН за предоставленную возможность завершить работу над диссертацией в докторантуре.

Публикации по теме диссертации

Щ. Нгуен T. T. X. Об одной' экстремальной задаче для классов свертки, не увеличивакаднх осцилляцию // Вестн.МГУ. Серия 1. 1982. N S. С. 3-7. ----- ----------------

121. Нгуен T. T.X. О наилучших методах интегрирования и восстановления функций на классах, задаваемых свертками, не увеличивающими осцилляцию // YMH. 1984. Т.39, н 2. С. 177 - 178. .

LJJ - Нгуен Г. T. X. ii.ui.i,. чти? г»»лрятумшс iopry.'r) ч чешаы восстановления функций, определяемых ядрами, не увеличивающими осцилляцию // Матем. сб. 1986. Т 130, N 1. С. 105 - 119.

14]. Нгуен T. T. X. О коэффициентах фурье ядер, не увеличивающих осцилляцию // Вести.МГУ. Серия 1. 1987. N 3. С. 58-61.

[5]. Нгуен T. T. X. Теорема Ролля для дифференциальных операторов и некоторые экстремальные задачи теории приближений // ДАН СССР. 1987. Т.295, N 6. С. 1313 - 1318.

Г 61. Нгуен T. T. X. Неравенство Колмогорова для дифференцифльных операторов // Вестн. МГУ. Серия 1. 1988.. N 1'. С. 17-21.

Г71. Нгуен T.T.X. Осцилляционное свойство оператора D(D2+i2)...(D2+n2) и приложения // ДАН СССР. 1989. Т.304, N 2. С. 289 - 293.

£3J. Нгуен T. T. X. Теорема Ролля для некоторых дифференциальных

операторов и приложения // YMH. 1989. Т. 44, N 2. С.235 -

23(5.

[91. Нгуен Т. Т. X., Некоторые экстремальные задами на классах функций, задаваемых линейными дифференциальными операторами // Матем. сб. 1989. Т.180, N 10. С. 1355 -1395.

2 2' 22

[101-Нгуен Т.Т. X. Оператор D(D +1 )...(D +п ) и

тригонометрическая интерполяция // Analysis Mathematics. 1939.-T.15, N 4. С.291- 306. [111.Нгуен Т.Т.X. Осцилляционные свойства дифференциальных операторов и операторов свертки и некоторые приложения // Изв. АН СССР. 1989. Т. 53, N3. С. 590 - <506. Г121.Нгуен Т.Т.X. Тригонометрическая формула Тейлора, тригонометрический аналог -соболевских классов и тригонометрические сплайны // ДАН СССР. 1991. Т. 319, N 2. С. 283 - 286.