Экстремальные задачи теории приближений и нелинейные колебания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

1, 7 ;.Ш : РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.5

Буслаев Александр Павлович

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

И

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ( 01.01.01 - математический анализ )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедрах : общих проблем управления Московского Государственного Университета им.М.В.Ломоносова и прикладной математики Московского автомобильно-дорожного института

Официальные оппоненты

доктор физ.матем.наук,профессор КАШИН Б.С. доктор физ.матем.наук, профессор КОНДРАТЬЕВ В.А. доктор физ.матем.наук,профессор СУББОТИН Ю.Н. Ведущая организация

Московский Государственный Университет Транспорта

на заседании специализированного совета Д002.38.03 по защите

Стеклова РАН по адресу Москва 117333, ул.Вавилова,д.42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук

(МИИТ)

Защита состоится

диссертаций при Математическом институте им. В. А.

Автореферат разослан

И.о. Ученого секретаря Совета профессор

ТЕЛЯКОВСКИЙ С.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Работа является исследованием в области нелинейного анализа и теории экстремальных задач. Речь идет прежде всего об изучении связи колмогоровских поперечников

¿„(ида ад)

соболевских классов функций I = [0,1] —► К- и спектров нелинейных дифференциальных уравнений - стационарных точек релеевского отношения х. .

Я = д£р,д)= „11^(/) , 1<Р,9<оо. (1)

Начало этой проблематике положено А.Н.Колмогоровым , исследовавшим случай р = д = 2 (1936), который приводит к спектру линейного дифференциального уравнения. Систематическое изуче -ние нелинейного случая ((р— 2)2Ч-(<7—2)2 ф 0) началось после работ В.М.Тихомирова (1960 - 1970), в которых, в частности, полностью исследована эта проблема в равномерной метрике р — д = оо. При (р — 2)2 + (д — 2)2 ф 0 принципиальными являются не только вопросы аппроксимации, но и качественные свойства спектров соответст -вующих нелинейных уравнений.

В гораздо менее полном объеме в работе рассмотрена задача о стационарных точках отношения Ландау

I < р,Я,г < оо,п е N,1* £ < к < п.

Интерес к этой проблематике основан на работах Балле - Пуссена (1892) по оценкам нулей дзета - функции Римана, а также Ландау (1913) и Адамара (1914) и в большой степени стимулирован основополагающим результатом Колмогорова (1939).

Цель работы - описать стационарные точки функционала Ре-

лея

построить спектр соответствующего нелинейного уравнения и исследовать его свойства. Решить задачу о колмогоровскпх и других п -поперечниках IV^ в Ьц при различных соотношениях на р, д.

Методика исследования. Для доказательства существования первых точек спектра достаточно стандартных методов теории экстремальных задач (теорема Вейерштрасса). Конструкция спектра в общем случае получена соединением метода Келлога с исследованием образа октаэдра при отображении Пуанкаре.

Для оценки поперечников сверху используется метод аппроксимации интерполяционными сплайнами, предложенный Тихомировым (р = д = оо) и допускающий распространение на случай р > д. Оценки снизу получены композицией метода Пуанкаре и теоремы Тихомирова о поперечниках шара.

Большинство задач теории функций, рассматриваемых в работе, имеют естественный дискретный аналог, допускающий непосредственное применение вычислительной техники как одного из аппаратов исследования. Поэтому существенное место в работе зашкмают конечномерные задачи.

Научная новизна. Работа продолжает исследования, начатые Колмогоровым (1936) и существенно продвинутые затем Тихомировым (1960 - 1970), Пинку сом (1975 - 1985) и многими другими.

В диссертации содержатся следующие новые результаты.

1. Точные значения колмогоровских и бернштейновских попе -речников соболевских классов функций, определенных на единичном отрезке.

2. Конструкция спектров нелинейных уравнений , исследование их качественных свойств, вычислительные алгоритмы получения решений, асимптотика собственных значений.

3. Качественный анализ экстремальных функций в неравенствах Колмогорова для норм функции и ее производных.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер в области теории функций и теории дифференциальных уравнений, хотя существенное внимание уделяется и интерпретации полученных результатов в нелинейной механике, а также вычислительным методам.

Апробация работы и публикации. Основные результаты по мере их получения в рабочем порядке обсуждались на семинаре по теории приближений в МГУ (рук. проф. В. М. Тихомиров).

Различные фрагменты работы докладывались на следующих конференциях, школах и семинарах

1) Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, 1982г.; Рига, 1983г.; Тернополь, 1984 г.; Челябинск, 1986г.);

2) Международных конференциях по теории аппроксимации

(Киев, 1983 г.; Варна, 1987 г.);

3) Всесоюзных школах по теории функций (Саратов, 1986 г.; Ереван, 1987 г., Иркутск, 1987 г.; Воронеж, 1990г.);

4) Второй и Третьей Северо-Кавказских конференциях "Функционально - дифференциальные уравнения" ( Махачкала, 1988г. и 1992г.)

5) Республиканской научной конференции "Экстремальные задачи теории приближений" (Киев, 1990г.);

6) семинаре по теории функций в МИРАН,руководители акад. С.М. Никольский и член-корр. Л. Д. Кудрявцев (1992);

7) семинаре по теории аппроксимации в МИРАН, руководители проф. С.Б. Стечкин и проф. С. А. Теляковский (1992г.);

8) семинаре по теории ортогональных рядов в МИРАН, руко-

водители проф. Б.С.Кашпн и проф.В.Н.Темляков (1990-1992 г.г.);

9) семинаре по теории функций в МГУ, руководители чл. - корр. П.Л.Ульянов и проф. Б.С.Кашин (1992);

10) семинаре по дифференциальным уравнениям в МГУ , руководитель проф. А.Г.Костюченко (1991);

11) семинаре кафедры общей математики ВМК МГУ, руководители чл. корр. Бицадзе A.B. , акад. Ильин В.А., проф. Моисеев Е.И. (1992) .

12) семинаре по теории функций в РУДН , руководитель проф. В.И. Буренков (1992).

13) семинаре по дифференциальным уравнениям в Харьковском университете, руководитель акад. Марченко В.А. (1992).

14) семинаре по дифференциальным уравнениям в МНИТ , руководитель проф. Мышкис А.Д. (1993).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах ( 3 из них в соавторстве).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пред -варительных сведений, введения, трех глав и списка литературы, содержащего 181 название; работы автора по теме диссертации пере -числены с 15 по 30 позиции списка литературы.

Общий объем диссертации - 282 страницы машинописного текста.

Содержание работы.

В первой главе рассматривается дискретная модель. Пусть А = (oij)ij-i матрица размера m х т, 1 < p,q < оо. Рассмотрим стационарные точки отношения Релея

||Л*||,Г

w (3)

При 1 < р, q < оо это пары (Л, х), Л > 0, х € Rm такие, что имеет место соотношение (1)

АТ(Ах)(ч) = А«(:г)(р) (4)

!in m m I

• xiI ' xi) = Л' 1 < г < m > .

•=i i=1 i=i J

Множество нетривиальных решений задачи (4) обозначим

SP(A,p,q).

Пусть Р(х)— число перемен знака координат х. Введем обозначения SPn(A,p,q) = {(Л,®) е SP(A,p,q),P(x) = п}

и

spn(A,p,q) = {А : (А,х) G SPn(A,p,q)}.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть 1 < p,q < оо,0 < п < m и все миноры матрицы А положительны (вполне положительная матрица). Тогда

SPn{A,p,q)j.<b.

Вполне положительности матрицы А вообще говоря недостаточно для единственности ( с точностью до нормировки ) спект -ральной пары из SPn(A,p, q) на множестве параметров 1 < р, q < оо.

Приведем пример. Пусть д = 2, гп = 2 а > О, Ь > О, с > Ьас - Ь2 > О.

Можно показать что при достаточно большом р система

2а 6\ /хЛ _ Лх^-^пяЛ А с)\х2)- \,к2|р-188ПХ2;'

И|Р+|х2|Р = 1 имеет три решения с одной переменой знака.

Следующая теорема показывает при каких дополнительных ограничениях имеет место единственность

ТЕОРЕМА 1.2.2.

Если

(I) 1 < р = д < сю или

(II) п = О, 1 < д < р < оо или

(III) п = т — 1, 1<р<<7<оо,

то в условиях теоремы 1.2.1 спектральная пара из 8Рп(А,р, д) единственна.

Одна из целей в этой главе — установить связь между спектром врп{А,р,д) и колмогоровскпм (1п и бернштейновским Ьп поперечниками Л-образа р-эллипсоида (шара) в I™.

ТЕОРЕМА 1.2.3. В условиях теоремы 1.2.1 имеют место следующие соотношения

а) если 1 < д < р < оо, то

йп{АВ™,1,т) = А„ = тш{А|А £ *рп(А,р,д)};

б) если 1 < р < д < оо, то

Ьп(АВ™,1= А„ = шах{А|А € 8Рп(А,Р,д)}.

Класс вполне положительных матриц сформировался в работах Перрона , Фробениуса ,Келлога , Крейна и Карлина. Гантмахером и Крейном введен и изучен в связи с исследованием малых колебаний механических систем класс осцилляционных матриц, включающий в себя вполне положительные. Вариационное описание проблемы о сингулярных числах в евклидовой метрике (р = <? = 2) восходит к работам Релея , Пуанкаре , Фишера , Вейля , Куранта . Поперечник (1п ,введенный Колмогоровым, оказался в задаче о наилучшей аппроксимации класса АВ™ в I™ тесно связанным с минимаксной характе-ризацией Фишера-Вейля-Куранта. Исследование задачи о поперечниках р - эллипсоидов в функциональном случае в метрике 1Ч , начато Тихомировым в 60-х годах .Им же были введены величины Ь„ — (бернг-штейновские поперечники),дп— (гельфандовские поперечники), /„— (линейные поперечники).

Проблема "спектр-поперечник" для пары (АВ™,1в дискретном варианте активно разрабатывалась в американской школе теории приближений (Карлин , Шенберг и их ученики), где наиболее существенный вклад внесли Мелкман, Мичелли и Пинкус. Пинкус, в частности, полностью исследовал случай 1 < р = д < оо, опираясь на работы Люстерника и Шнирельмана по качественным свойствам спектра однородной нелинейной системы

где ^-однородная функция степени 21 .

Этот метод не приводит к нужному результату в задаче о поперечниках при рфц-

Кроме перечисленных вопросов в главе 1 рассматриваются также

1) двойственные соотношения между спектрами для матриц А, Ат и Ас~ ассоциированной с А (лемма 1.4.5);

2) полное исследование количества решенпй(4) для вполне положительной матрицы А в случае тп — 2 (лемма 1.4.6.);

3) достаточные условия на матрицу А для которой

с1п(АВ™,1= А„, при 1 < р < д < оо

т.е. в "нижнем треугольнике" (лемма 1.6.З.);

4)динамика бифуркаций решений системы (4) для матрицы

-С i):

ж .ж а = с = eos—, b = sin— 6 6

в области параметров 1 < р < q < оо.

В §§1.7-1.8 исследуются свойства отображения Пуанкаре

(*(í+1))(p) = 7 ,(АТ){АхЫ)м, (5)

\\x{a+1)\\,r = l,s>0,X^eRm.

5) для диагональной матрицы

Л = Л = {А,Л;}£=1

Ai > А2 > • • • > Ат > 0, 1 < р, q < оо

все точки спектра классифицированы по отношению к отобра -жению (5) как источники, стоки (ловушки) и седла (лемма 1.8.З.);

6)вместо отношения Релея ||Лг||;т/||:с||{т рассматривается

mm(||i4ar-y|||m/||®||,r). vet» * »

Показало, что основные конструкции главы 1, из которых получается теорема существования для (4), справедливы и в этом случае (леммы 1.9.1.-1.9.2.);

7) рассматривается сценарий Лагранжа перехода от квадратичного отношения Релея и соответствующей линейной системы для стационарных точек к нелинейному случаю. В простейшем варианте речь идет о введении неравновесной меры

Мг(ш) = + wí е Д+,|Нк =1

и экстремумах сингулярных чисел А по множеству мор и) € В\" П Н™ (лемма 1.9.3.). Этот подход интересен тем, что позволяет отказаться от свойства вполне положительности матрицы А.

Перейдем к обзору главы 2.

I = [0,1], г € N, и),• : I —+ Л, I = О V г — неп1>ерывны н положительны на I , за исключением может быть конечного числа точек внутри I, |И')||д,(«.) = 1Ич(ш).

Пусть Г - набор граничных условий : 1\,г = 0У1,:с|а/б1\ (1(Л(|) = 0, 7= 0,1);

Г = ГО + ГЬ;(Г)'Г = Г0; Г0- отсутствие условии; (Га)7 = Г; Г - периодические условия; (Г)7 = Г;

Го<=> хС-)(1±Ь1)1) = 0, г = 0, • • •, г — 1.

Соболевский класс функций

= {х : / —хг-1-лок.абс.непр.,

1|х(г)1иг->) < 1. х\д! € г}.

совокупность спектральных пар (1) с н переменами знака спектральных функций внутри I,

«Р.. (г, ]>,<?. Г.«' о,и>г) - множество соответствующих собственных значений.

Теорема 2.3.1. Пусть г € N , 1 < р,д < оо, Гб{(Го,ГьГ,Г0,ГО)ГГ,Г), П > {п(г, Г)} = {О, Г € {Го, Г!, Г, Га, ГЛ; г, Г = Г0, Г = Г},

ги0 € ВЬв0,гиг 6 ВЬвг,з0 >1,зг > (р-,1)-1.

Тогда

5Р„(г,р,д,Г,«;о,и;г) ф 0 при Г^Г

и

Теорема 2.3.2. Пусть г € N , 1 < < оо,Г = Г0 V Г V Г V Га V Г0, u;o(•) и отделены от нуля.

Тогда для любых п € Z+) 1 < р,д < оо множество

9> Г, «Л), »г)

конечно и при выполнении одного из следующих условий содержит с точностью до нормировки не более одного элемента.

а) Р = 91

б) р > д, Г = Го V Га V Г, п = 0;

в)р>д,г = 1,Г = Г0,

™о\г) V

г) 1 < д < р < оо, Г = Г0 и

или

(и;0(<) = ¿!(а* + Ь)е,/-1,юГ1(0 = + 6)с'/а"1),

12

где а, 6, Со,сг,^1,Й2 - некоторые константы.

Утверждение теоремы 2.3.2 а), Г = Го,шо — тг — 1 доказано ранее Пинкусом.

Теорема 2.3.3. Пусть г Е И, 2п - четное натуральное число,

1 < р, <7 < оо, и>0 = = 1,

(Ьп,Х2п) € 5Р2п(г,9,р,Г,«>о,г«г),а:2п(0) = 0.

Тогда для любого /с = 0, • • •, 2п — 1 функция х2п симметрична относительно точек (^,0) и относительно вертикальных прямых

* =

[Je. "til in J

с точностью до сдвига начала координат, отражений и растяжении по осям является спектральной функцией из SPo(r,p,q,ra,wo,utr). Обратно : если

(Хо,х0) £ SPQ(r,p,q,Та, w0,wr),

то

(Л = (in)r,x2„(t) = z(nt)) 6 SP-2n(r,q,p,r,w0,wr),

где

z(t) = {x0(4t),Q < t < i;

-®o(4i - 2), I < t < -«0(4i - 4), | < i < 1}. При дополнительном условии p > q

SPo{r,p, q, Га, w0,wr)ySPtn(r, q,p, Г, w0, wr) состоят из одного элемента.

Пусть Т— таблица значений

Теорема 2.3.5. Пусть г € N , п € п > п(г, Г), Г = Г0УГ1 УГУГ0УГ„ - четно), и>0(-) и мг(-) удовлетворяют

условиям теоремы существования. Тогда при 1 < д < р < со,

А"1 = (шах{А, Л 6 5РП})~1 =

nun sup lFllf.,(lu„) =

r-|7|="i€W;(<i>r)(r),I|r=o

= ^(lVpr(wjr),Lg(wo)); При оо > g > p > 1

bn(W^Wr){D, I,(u,o)) = X-1 = (min{A, А e SP,,})"1.

Теорема 2.3.6. Пусть г & N , n £ Z+, Г = Г0 V Га V Г0 V Г„ V Г, l<Q<P<oo, wq(-) и Wr(-) удовлетворяют условиям теоремы существования. Тогда

lim (n'Ä-1) = А-Д( /(WJWp')"di)', n-oo J,

где Arp, = SP2(r,p,g,t, 1, l),^"1 = r+\-\.

Теорема 2.3.7. Пусть г 6 N , п G Z+, Г = Г0, 1 < р,д < оо, w0(-) и wr(-) удовлетворяют условиям теоремы существования. Пусть

*n = K(w;{Wr)(r),L4{W0))

Ai(si) := inf ,Bi(s{) := sup,i = OVr. IKIk=i ИшЛ.,

Тогда имеют место неравенства а) если в0 > 1 ,то

А0(в0)(х~1(\¥;{тг)(г),ьч{шо)) > КЧМ^Г),^)-,

в) если вг > (р — 1)-1,то

г)если зг < —1, то

АР(»Г)(А-1 (И^даг)(Г),Ьч(и!о}) >

При дополнительном условии р = </ неравенства в а) и г) обращаются в равенства.

Дадим краткую историю сформулированных выше результатов. Простейший вариант уравнения (1) - это уравнение гармонического осциллятора:

или (х(0) = ¿(1) = 0).

Уравнения, подобные (6), возникли в 18 веке в работах Д.Бер-

нулли, Даламбера, Эйлера, Лагранжа в связи с моделированием колебаний струны и другими физическими задачами. Нелинейные уравнения вида

естественным образом возникают в классической механике в задаче о колебаниях системы с неквадратичной функцией Лагранжа, и их начали изучать также в 18 веке.

х + А2х = 0,х(0) = х(1) =0

(6)

((х)^)/™!)' + а-чи>0х(ч) = 0

(7)

Уравнения, подобные (7) , встречаются также при решении задачи оптимизации формы и структуры деформируемых тел (впервые поставленной Лагранжем в 1770 г.) и в других задачах опти -мального проектирования конструкций .

Задача Лагранжа состоит в отыскании распределения материала по осп стержня, максимизирующего значение критической силы потери устойчивости при заданном объеме и длине стержня и эквивалентна следующей экстремальной задаче

[ (g(t))pdt —* extr, и" + g(t)u = 0, u(0) = u(l) = 0, </(•)> 0. (8)

Jo

Задача Лагранжа положила начало огромному направлению по оптимизации формы и структуры деформируемых тел, оптимальному проектированию механических систем.

Задача (8) оказалась связана также с проблемой устойчивости решений уравнения Штурма - Лиувилля. Этой теме впоследствии были посвящены работы Ляпунова , Борга, Жуковского , М.Крейна , Левина А.Ю., Егорова и Кондратьева и другие.

Различные проблемы анализа линейных и нелинейных уравне -ний штурм - лиувиллевского типа исследовались в работах Ильина В.А., Марченко В.А., Ñecas J., Fucek S., Otani M., Nehari Z., Rabinowitz P.H., в многомерном случае - в работах Кондрашова В.И., Похожаева С.И., Drabek Р. и других.

К исследованию спектра приводят некоторые задачи теории при - ближений , начало которым положили работы Колмогорова 1935 -1939 г. В 1936 г. Колмогоров ввел в теорию приближений понятие поперечника. Исследуя поперечники соболевских классов Wj¡ (Га) в метрике L2 он обнаружил, что они связаны с собственными числами уравнения

(-l)r+V2r) + А2* = 0, (9)

с граничными условиями

x(r+¿)(0) = z(r+i)(l) = 0, i = 0,• • •, г — 1

следующим образом

¿к{\уг{Тг),Ь2) = Ак|!22Г#,

а2к{\уцт),ь2) = = > 1,

причем наилучшим аппроксимирующим пространством в последнем соотношении были указаны тригонометрические полиномы.

Тихомировым (1965) были вычислены поперечники

и впервые применены топологические методы для оценки поперечников снизу.

Затем им же был исследован "интегрируемый" случай г = 1 ,р = ц, где впервые возникла изопериметрическая проблема,приводящая к нелинейному дифференциальному уравнению. В 1969 г. Тихомиров сумел получить общий результат , Ьч),р > <7 и, кроме того, им

полностью исследован случай р — д — оо,г £ N (непериодический вариант). В последнем случае наилучшим приближающим пространством оказалось пространство сплайнов.

Исследование задачи о поперечниках при р = оо, 1 < д < оо и 1 < р < оо, д = 1 для различных краевых условий проь„дено Суббо-тиным(1970) р = д = 1 , Тихомировым (1975), Мичелли и Пинкусом (1979), Лигуном (1979), Маковозом (1979) и Пинкусом (1979).

В 1985 г. Пинкус решил задачу о вычислении

В том же году Буслаевым и Тихомировым был анонсирован общий результат (Г), Ьч),р> д. Подробные доказательства и другие

факты опубликованы в 1990 г.

Наши теоремы содержат все перечисленные результаты и обобщают их.

В смысле порядковой асимптотики рассматриваемые в данной работе поперечники исследовались в работах Стечкина, Тихомирова, Субботина, Исмагплова, Кашина. Окончательное решение задачи дано Кашиным (1977) , из результатов которого, в частности,

следует существенность условия р > д в теореме 2.3.5, хотя при фиксированном п это утверждение остается верным на более широком множестве р > р*{д). В нашей работе содержится алгоритм для определения этого критического значения р* — р*{ц) > 1.

Кроме перечисленных выше тем в главе 2 рассматриваются также следующие

1) классические ортогональные полиномы и поперечники;

2) квадратуры Эйлера-Лагранжа и спектры;

3) спектры и квадратуры Гаусса.

Показано, что классические ортогональные полиномы являются экстремальными в соответствующих задачах о поперечниках соболевских классов с весом (хорошо известно также, что они удовлетворяют линейным уравнениям Штурма - Лиувилля со специальными весами). Анализируется одна из возможных постановок задачи о квадратурах, приводящая также к спектру исследуемого нами нелинейного уравнения-

Остановимся подробнее на квадратурах. В параграфе 2.13 анализируются два подхода к постановкам задач об оптимальных квадратурах соболевских классов функций с весовыми нормами: оптимальные квадратуры по Колмогорову - Никольскому и оптимальные квадратуры, которые редуцируются к рассматриваемым в диссертации экстремальным задачам и названы, вследствие этого, квадратурами Эйлера - Лагранжа. В этом параграфе мы пытаемся обосновать утверждение, что вторая постановка является естественной для квадратур с весом.

Проблема вычисления х(<)и>о(<)Л в случае достаточно общей весовой функции требует ее аппроксимации , как правило , полиномами

где Р*:(<) аппроксимирует в метрике ыу. Будем предполагать, что интегралы /01 ¿'а:(*)Л вычисляются по оптимальным квадратурам Колмогорова - Никольского на классе IV^ш ^(Го). Таким образом, возникает вопрос об оптимальной квадратуре

где

Теперь необходимо конкретизировать понятия " интегрирую щая функция" и "вес".

Из теоремы двойственности Никольского

вир

г(»*)

I

У" х(0у(г)(0Л - 1(Т, с, х)

О

т п

.=1 >=1

Предполагается, что при фиксированном весе ¡/г'(<) необходимо вычислять много интегралов

1

J а(0»(г)(0Л.

В этом случае оптимизируются коэффициенты с^ квадра турной формулы

т и{ .=1 1=1

т.е.

е{у, 5(Т), = пнп \\у - - ¿»у

. = 1 ; = 1

Теперь среди множества таких алгоритмов найдем наихудший

вес

т п

вир пип ||у - У) У2 с0(< - <,) + 1 1II

•г 1Г,\ С ■—

Наконец, выберем таблицу Т из условия

(10),

которое и приводит в случае д > р' к спектру (1) с весами. Оптимизация (10) весам приводит к невесовым спектрам (1) (задача Лагранжа для квадратур ).

Перейдем к обзору третьей главы.

Пусть линейные нормированные пространства, Вк-

линенные операторы, В : X —* У, : X —» а 6 I = (0,1]. Отношением Ландау назовем величину

Ограниченность ¿(ж), х 6 X равносильна существованию кон -станты С\ > 0 такой, что

Цх) = \\Вх\\у/(\\П4°2\\х\\1х-°).

< С1\\Юх\\г\\х\\1ха,х е X.

(Н)

Наименьшая из констант С\ ,для которых (11) справедливо, называется наилучшей константой в мультипликативном неравен -стве и обозначается С.

Отделенность Ь(х), х £ X от нуля равносильна существованию константы С2 > 0 такой, что

||Дх||у > С^ОхГгЫх"- (12)

Наибольшая из констант С^ , для которых (12) справедливо, обозначается С.

В настоящей главе мы ограничимся следующими частными случаями

а) X = У = 2 = Лт, А - квадратная матрица т х т, п и т -натуральные числа,

1 < к < п,

II' Их = II • 11(г> II' Иг = II • 1||у. II • \\г = || • ||(~,

1 <Р,Ч,г< оо;

б) 5 = /V Я V П+,Х = ЬГ(3),Б - оператор интегрирования порядка п (I?-1 - оператор дифференцирования п-го порядка), сопоставляющий х —+ Их, Ох\о[ & Г, В - оператор интегрирования (п—к) порядка,

II' Иг = II • |и,(5),|| • IIV = || • ||х,(5),

т.е. при у — Ох рассматривается задача об отыскании наилучшей константы в неравенствах

^11»|1г,(5)11^п)11мя).УЫ 6 Г, (13)

Наша цель в главе 3 - понять вариационную природу постав -ленных задач, описать, где это возможно, решения или предъявить алгоритмы их отыскания. Связь с предыдущими главами состоит в том,что при а = О V 1 отношение Ландау переходит в отношение Релея, которое по существу и является обьектом исследования глав 1-2.

В 3.2 рассматривается конечномерная задача и соответствую -щая нелинейная спектральная проблема

- р) + - (14) 1М"хИрИа'11г-" = 1,А = Ь(х).

Показано, что

5Р(Л,п,А;,р,д,г,а) ф О,

и

с = а,£ = А,

т.е. наилучшие константы в неравенствах (12) и (13) суть соответственно максимальные и минимальные спектральные числа (14). Предъявлены алгоритмы, сходящиеся к С и С на множествах ненулевой меры.

Например, нижний степенной метод . Пусть

_ {А")т(А«хМ)(р) (хО)(г) ||.4"х*||£ + \\х*\\г '

|И"^(*+1)||р||2('+1)||г1-а = 1, (15)

а,(|| А"л;('+"||р/|И"^')||р) + (1 - ^)(||хС+1)||г/||х^>||г) = 1. Имеет место ТЕОРЕМА 3.2.1 Пусть

1 < 1>,Ч,г < 00,«/ Ф 1.0 <к< «,0 < а < 1,|А| ф 0.

Тогда для любого х'0' 6 Лт

а)последовательность {х*} 6 Дт определена соотношениями

(15) корректно; ,

б)последовательность 75 не возрастает, 7, < и схо -дится к некоторому положительному числу А = Л(х^);

в)любая сходящаяся подпоследовательность {зг*} сходится к вектору х такому; что (А, ж) спектральная пара (14);

г)если число спектральных пар (14) с А = А(х*0)) конечно , то последовательность {хл(х*°))} сходится целиком.

В 3.£ исследуется проблема существования экстремальной функции в неравенстве (13) и оценки наилучших констант . В частности, доказаны

ТЕОРЕМА 3.3.3. Экстремальная функция в неравенстве (13)

при

5 = 11+, а = (п — к)/п, 1<р = д = г<оо существует.

ТЕОРЕМА 3.3.4 а)Пусть п е N,0 < к < п,г > 1,

1^-1. -1 ^ .п - к + - р-1 п - к к>Я 1-р \а<тгп( п+г1_рг1 ,--)■

Тогда

а) экстремальная функция в неравенстве (13) при (5 = /,Г = Га) существует;

б)при 0 < к < п,гх<р,а £ ,экстремальной функцией является многочлен Эйлера.

В 3.^ рассматривается случай п = 2 , который играет особую роль в теории мультипликативных неравенств для производных на Л и Я+, поскольку подавляющее число точных решений относится к варианту, когда п = 2. Среди решений есть несколько весьма интересных, связанных с яркими новыми явлениями.Одно из таких явлений - так называемый четтеринг режим, обнаруженный Фулле-ром при решении задачи равносильной задаче о нахождении кон -

станты С при 5 = R+,n = 2,к = 0,р = 2,q — г = оо. Результаты Фуллера были обобщены Габушиным и Магарил-Ильяевым. Оказывается эффект Фуллера имеет место и при других значениях параметров k,p,q,r. Мы будем говорить,что экстремальная функция х задачи о неравенствах для производных обладает групповым свойством, если для некоторых г > 0, а ф О, Ь > 0, в > 0, выполнено соотношение

x(t+b) = ax({t-T)e + b),t>T. (16)

ТЕОРЕМА 3.4.1 Пусть

S = R,n = 2,к = 1,1 < p,q,r < оо, а = (п — к)/п.

а)Для того,чтобы экстремальная функция в неравенствах для производных имела~групповое свойство необходимо, чтобы

dzoov ^ = + 1 (17)

Г q р г

б) при ^ = 4- экстремальная функция не существует, но наилучшая константа

С = К{п, k,p, q, г, a, R) = К(п, k, р, q, г, а, Т) = = K(n,k,p,q,r,ot,(I, Г0)),

причем экстремали в соответствующих задачах на Т и (I, Г„) существуют и единственны с точностью до преобразований

x(t) -* ax(bt + с); (18)

в) если q = оо ,то экстремальная функция имеет групповое свойство , причем одной из образующих функций является единственная с точностью до преобразований координат (18) экстремаль в соответствующей задаче для L

-х(1) = 7«(0), шах (1.,(ц/я(0)) = У(1 + 7),

а коэффициент подобия в > 1 при г > р; 0 = 1 ,г = р; в < 1 при р > г.

Аналогичное утверждение получено и для 5 = Л+ (т.3.4.2). Кроме того, в главе 3 получены некоторые неравенства между наилучшими константами при различных значениях параметров, а также исследовано асимптотическое поведение при п —> оо.

Задача о неравенствах для производных возникла в исследованиях Балле - Пуссена о нулях дзета - функции Римана .После этого Ландау (1913) получил первое точное неравенство

||х(1)||с(Д+) < гИгИ^я^П^ПЙ,^,- (19)

В 1914 г. Адамар установил аналогичное неравенство на

•||я(1)||с(Я) < ^'ЧАс^щР^ЧУ!- (20)

В это же время Боль исследовал вопрос о неравенствах для производных функций, определенных на I и имеющих на этом отрезке вместе со всеми рассматриваемыми производными по крайней мере по одному нулю. В конце тридцатых годов Колмогоров поставил перед своим учеником Шиловым Г.Е. задачу распространить неравенство Адамара на случай п раз дифференцируемых функций. Шилов, доказав ряд частных результатов , сформулировал гипотезу о том , что экстремальными функциями в задаче будут функции Фавара:

з/п)(<) = sgnsinní

Эта гипотеза была доказана самим Колмогоровым , который в своей работе получил более сильное утверждение, т.н. теорему

сравнения, использовавшееся далее не только для вывода неравенства

\\xW\\cW < ^n-fc^llxli^llx«")!!^,

но и во многих других задачах анализа и теории приближений. Работа Колмогорова стимулировала общую постановку задачи об отыскании наилучшей константы в неравенстве , однако результа -тов, сравнимых с колмогоровским по общности, до сих пор немного:

5 = R,0 < к < п,р = q = г = 2, (Харди-Литтлвуд );

S = R, 0 < к < п,р = q = г — I (Стейн);

S = .R, 0 < к < п,р = г = 2, q = оо (Тайков);

S — i?+,0 < к < п,р = q — г = 2 (Любич, Купцов);

S = R+,0 << п,р = г = 2, q = оо (Габушин).

Интерес к этой тематике возрос также после того, как Стечкин С.Б. обнаружил связь между задачей определения наилучшей константы в (13) и задачей о наилучшем приближении оператора дифференцирования на классах функций, которая в общей постановке состоит в следующем :Хи Y линейные нормированные пространства , А : X —» У - линейный оператор,

We Da ex.

Требуется определить

sup ||Ac-Sx||y —► inf, (22)

iew

где inf берется по всем линейным операторам 5 6 L(X,Y) с нормой, не превосходящей N. Задача (21) также тесно связана с задачей восстановления оператора А при условии, что элементы х 6 W заданы с ошибкой

sup sup IIАх - Sx||y —»inf, (23)

причем inf в (23) берется по всем Т е AA(X,Y), AA(X,Y) -

некоторое подмножество операторов из X в У, не обязательно линейных.

Стечкин решил задачу (22) для

W = W^,(R), п — 2,3,0 <к <п,Х = Y = BC(R),A = (d/dt)k,

и далее эту тему разрабатывали Арестов , Габушин , Субботин и Тайков, Бердышев и др . Было получено также большое количество частных решений (13) п = 2.

Для их описания рассмотрим подмножество точек единичного

куба

{(Р-1, г-1, <7-1)>, 1 <p,q,r < оо,

для которых константа К в (13) ограничена.

Обозначим G = ABCDKLM— многогранник с вершинами

(0,0,0), В = (1,0,0), С = (1,1,0), D = (0,1,0),

/Г = (1,0, (м — к)/п), L = (1,1,1), М = (0,1, к/п)

-множество ограниченности в силу теоремы Габушпна. Су- шествование экстремальной функции доказано во всех точках, кроме верхней границы AKLM, S — RVR+. Большинство значений параметров (п, к, р, q, г), при которых задача полностью решена, т.е. найдено значение и описаны экстремальные функции, относится к верхней AKLM или нижней ABCD границам многогранника G. При этом описываемые экстремали в некоторых случаях обладают одним из следующих свойств: "правильной периодичностью", когда

К(п,к,р, <7, г, a*, R) = К(п, k,p,q,r,a*,Т),

и экстремаль для S = Т является склейкой сдвигов и отражений экстремалей для 5 = (I, Г„) при тех же значениях параметров, и "групповым свойством" (18).

Правильная периодичность экстремалей имеет место в следующих случаях S = R, AKLM— верхняя граница: 1) Колмогоров

п £ N,0 < k < п,р= q= г = оо;

2) Харди,Литтлвуд, Полна

гг е N,0 < к < п,р = ^ = г = 2;

3) Штейн

п е N,0 < к < п,р = 9 = г = 1;

4) Арестов

п = 2,к = 1,ребр оБМ;

5) Арестов,Бердышев

п = 2, к = 0,1, ребро //Л/;

6) Габушин

и = 2,3,0 < £ < п, реброАЛГ;

7) Квонг, Зеттл

п = 2, А: = 1,1 < р = ^ = г < оо;

8) Соляр

г»<= ЛГ,п = 2М = 2, г =р/(р- I)"1.

Групповое свойство экстремалей имеет место лишь при (кроме одного случая п = 3, & = 1,2,р = д = оо, 1<г< оо— Арестов) 5 = Л+, АКЬМ— верхняя граница. 1) Ландау

п — 2, к — 1,р = д = г = оо;

2) Харди, Литтлвуд

п = 2,к = 1,р = q = г = 2;

3) Бердышев

п = 2,Л = 1,р= д = г = 1;

4) Арестов

п = 2, А: = 0,1,р = оо, ребро£>М; • 28

5) Арестов, Бердышев

п = 2, к = 0,1, ребро ЬМ;

6) Арестов

п = 2,к = 0,1, ребра АО, ОС;

7) Фуллер

п = 2, = 0,1,р = 2,д — г = со;

8) Танков

п = 2, к = 0,1,р = г = 2,д = со;

9) Магарил Ильяев

п — 2, к = 0,1, ребро АВ;

10) Магарил-Ильяев

п = 2, к = 0,1, ребро ВС;

Таким образом, интересующие нас свойства экстремалей, по -видимому, имеют место лишь на верхней границе АКЬМ много -гранника С при в = Я. При п = 2 задача нами полностью исследо -вана.

Основные результаты диссертации опубликованы в ра

- ботах

1.Буслаев А.П. О наилучшем приближении оператора диффе -ренцирования / / ДАН СССР. - 1979 - т. 248 - в. 5 - с. 1041-1044

2.Буслаев А.П. О приближении оператора дифференцирования / / Матем. заметки.-1981.-т.29.-В. 5.-е.731-742

3. Буслаев А.П., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О существовании экстремальных функций в неравенствах для произ -водных //Матем. заметки. - 1982 - т. 32 - в. 6-е. 823-833

4.Буслаев А.П. Об оценках точных констант и существовании экстремальных функций в неравенствах для производных. 7-Шко -ла по теории операторов: Тезисы докладов.Рига,1983.

5.Буслаев А.П. Векторы с непрерывным знаком и нелинейный спектральный анализ матриц//Тр.МИАН СССР.-1989.-Т.190.-с.40-48.

6.Буслаев А.П.' О вариационном описании спектра вполне поло

- жительных матриц и экстремальных задачах теории приближений //Матем. заметки. - 1990. - т. 47. - в.1 - с. 39-46.

7.Буслаев А.П. Нелинейные спектры матриц и экстремальные задачи //ЖВМ и МФ.-1990.-т.30.-в.6- с.803-816.

З.Буслаев А.П.,-Тихомиров В.М. Некоторые вопросы нелиней -ного анализа и теория приближений. // ДАН СССР. - 1985 - т.283.

- в.1- с.13-18.

Э.Буслаев А.П. Экстремальные задачи теории приближений и нелинейные колебания. // ДАН СССР. - 1989. - т.305 - в.6 - с.1289-1294.

Ю.Буслаев А.П.,Тихомиров В.М. Спектры нелинейных уравне -ний и поперечники соболевских классов. // Матем.сб. -1990. -т.181

- в.12 -с.1587-1606.

П.Буслаев А.П. Поперечники случайных векторов и их применения в теории приближений. // Матем. заметки. - 1988. - т.43. -в.4. - с.474-497.

12.Буслаев А.П. О точных константах и экстремальных функци

- ях в неравенствах для производных. // Матем. заметки. - 1987. -т.41. - в.2. - с.159-174.

13.Буслаев А.П. О точных константах и экстремальных функци

- ях в неравенствах для производных. - в кн. Теория приближения функций. Труды Международной конференции по теории приблпжс

- нпя функций. 1983. Киев. - М: Наука, 1987. - с.80-82.

14.Буслаев А.П. Об асимптотике поперечников и спектров нелинейных дифференциальных уравнений. Алгебра и анализ. - 1991. -т.З - в.6 - с.108-118.

15.Буслаев А.П. О неравенствах Бернштейна - Никольского и поперечниках соболевских классов // Доклады РАН. - 1992. - т. 323. в.2, с.202-205.

16.Буслаев А.П. О наилучшем приближении случайных функ

- ций и функционалов // Труды 3-й Саратовской зимней школы. -1988, Изд. Саратовского ун-та.

31

ПАДИ. 8.243 т.150 5.04.93г.