Электрические зонды в медленно движущейся и покоящейся столкновительной плазме тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОПдаОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени профессора Н.Е. Жуковского

На правах рукописи

КАШЕВАРОВ Алексей Васильевич

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗОНДЫ В МЕДЛЕННО ДВИЖУЩЕЙСЯ И ПОКОЯЩЕЙСЯ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность 01.02.05 - «Механика жидкости, газа и плазмы»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. Жуковский - 2005

Работа выполнена в Центральном аэрогидродинамическом институте им. Н£. Жуковского

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор

Стасенко Альберт Леонидович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Котельников Вадим Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент.

Ромишевский Евгений Анатольевич

Ведущая организация: Объединенный институт

высоких температур РАН

Защита состоится «_»_ 2006 года в_ на заседании

специализированного диссертационного совета К.212.156.07 при Факультете аэродинамики и летательной техники Московского физико-технического института по адресу 140180, Московская обл., г. Жуковский, ул. Гагарина, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФАЛТ МФТИ.

Автореферат разослан «_»_

. 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

А.И.Киркинский —т

/ров А 6№

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Электрический зонд Ленгмюра - наиболее простое средство диагностики плазмы, как с точки зрения его конструкции, так и методики проведения измерений, что обусловливает широкое применение зондов в экспериментальной практике. Основная трудность при этом состоит в интерпретации результатов зондовых измерений. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) зовда, в принципе, содержит полную информацию об основных параметрах плазмы, таких как концентрация электронов и их температура в плазме и ее потенциал. Однако чтобы установить их связь с параметрами ВАХ зонда, необходимо предварительно решить сложную математическую задачу, постановка которой зависит от условий работы зонда.

Зонд Ленгмюра уже длительное время используется для диагностики разреженной плазмы, когда число Кнудсена Кп = У Я » 1, где X - характерная длина свободного пробега частиц, Я - характерный размер (радиус) зонда. Для этого условия теория зонда достаточно хорошо развита. С начала шестидесятых годов прошлого века активно начата разработка теории зонда для другой сравнительно новой области его применения - плазмы высокой плотности при числах Кп « 1, т.е. когда зонд работает в режиме сплошной среды. Несмотря на громадное количество работ, из-за сложности проблемы и большого разнообразия условий проведения экспериментов с зондами в плотной плазме до сих пор остаются весьма слабо изученные с точки зрения теории зонда области его применения.

Одним из пробелов теории по состоянию на 1988 год, когда была начата работа над представленной диссертацией, был режим медленного обтекания зонда при числах Рейнольдса Яе = и«Д!\ ~ 1, где 1/т - скорость набегающего потока, v - коэффициент кинематической вязкости. Этот режим течения реализуется при зондовых измерениях, в частности, в пламенах лабораторных горелок. Лабораторные пламена представляют собой удобную среду для проведения тонких физико-химических экспериментов таких как, например, исследования процессов ионизации присадок различных химических элементов, главным образом щелочных и щелочноземельных, отличающихся малым потенциалом ионизации. Это предъявляет повышенные требования к точности определения концентрации заряженных частиц с помощью зонда и стимулирует развитие его теории.

Цель работы первоначально заключалась в создании методики определения по ВАХ зонда концентраций заряженных частиц в плазме лабораторных пламен. В процессе работы над диссертацией получающиеся результаты стали выходить за поставленные рамки создания методики зондовой диагностики пламен и затрагивают, проблему зондовых измерений в медленно движущейся слабоионизованной плотной плазме в целом, в том числе в неподвижной как предельный случай.

Научная новизна:

• для цилиндрического и сферического неохлаждаемых зондов найдена связь между ионным током насыщения и концентрацией заряженных частиц в движущемся при Не ~ 1 потоке термически равновесной столкновительной плазмы с замороженными химическими реакциями;

• диагностические формулы, полученные при замороженных химических реакциях, распространены на случай двухтемпературной плазмы с постоянным отношением т температур положительных ионов и электронов;

• выведены аналитические выражения для токов насыщения зондов различной конфигурации в приближении холодных ионов (т 0);

• учтено влияние кинетики реакции ионизации атомов присадки и рекомбинации заряженных частиц на ионный ток насыщения зондов в движущейся при Яе ~ 1 плазме;

• построены ВАХ неохлаждаемого и охлаждаемого цилиндрического зонда в движущейся при Яе « 1 плазме в условиях тонкого слоя объемного заряда;

• построены ВАХ стеночных зондов, установленных в передней критической точке сферы и цилиндра, обтекаемых в режиме пограничного слоя при йе»1;

• исследована разрешимость краевой задачи для цилиндрического зонда в неподвижной химически реагирующей плазме;

• в случае неподвижной плазмы аналитически найдены решение для эволюции зондового тока в переходном режиме, когда потенциал сферического зонда скачкообразно изменяется от малого значения до нуля, и выражения для импеданса сферического зонда с синусоидально модулированным потенциалом;

• в рамках модели тяжелых многозарядных ионов рассмотрена зондовая диагностика пылевой плазмы и получены выражения для токов насыщения положительных ионов, электронов и пылевых частиц на сферический зонд в неподвижной плазме и стеночный зонд, установленный в критической точке сферы, обтекаемой в режиме пограничного слоя;

• рассмотрено математическое приложение теории электрического зонда к теории второго уравнения Пенлеве, порождающего нелинейную специальную функцию математической физики, и проведено численное построение этой функции.

Достоверность, в частности, диагностических формул подтверждается на основе имеющейся в теории зонда тепловой аналогии; сравнением с результатами других авторов, полученных в рамках теории пограничного слоя; серией экспериментов, проведенных в ацетиленовоздушном пламени с присадками щелочных и щелочноземельных элементов.

Практическая и научная ценность работы подтверждается следующими ссылками других авторов на публикации соискателя по теме диссертации:

Ершов А.П., Тимофеев И.Б., Чувашев С.Н., Быцкевич СЛ. Эволюция структуры и параметров плазменной струи при импульсной инжекции в атмосферу // ТВТ. 1990. Т. 28, №3. С. 59Т-589 - ссылка на работу [1].

Benilov M.S., Rogov В. V. Ion saturation currents to spherical and cylindrical electrostatic probes in collisional plasmas // J. Appl. Phys. 1991. V. 70. No. 11. P. 6726-6731 - [1,2].

Бенилов M. С. Электрические зонды в режиме сплошной среды // Низкотемпературная плазма. 9. Диагностика низкотемпературной плазмы. Новосибирск: Наука, 1994, с. 214-247 - [1].

Fiaïkov A.B. Investigations on ions in flames // Progr. Energy Combust. Sei. 1997. V. 23. No. 5-6. P. 399-528 - [1].

Синкевич O.A. Исследования по физике и технике низкотемпературной плазмы (по материалам журнала «Теплофизика высоких температур» за 1992— 1997 гг.) // ТВТ. 1998. Т. 36. №4. С. 660-673 - [7, 8,12].

Taccogna F., Longo S., Capitelli M. A particle-in-cell/Monte Carlo model of the Ar+ ion collection in He gas by a cylindrical Langmuir probe in the transition regime // Europ. Phys. J., Appl. Phys, 2003. V. 22. No. 1. P. 29-39 - [13].

Ершов А.П., Калинин A.B., Сурконт О.С., Тимофеев КБ., Шибкое В.М., Черников В.А. Поперечные электрические разряды в сверхзвуковых потоках воздуха. Макроскопические характеристики разряда // ТВТ. 2004. Т. 42. №6. С. 856-864-[15].

В работах Ершова и др. некоторые из приведенных в диссертации диагностических формул использовались при интерпретации реальных зондовых измерений.

Положения, выносимые на защиту:

• диагностические формулы, связывающие ионный ток насыщения цилиндрического и сферического зондов с концентрацией заряженных частиц в медленно движущемся потоке изотермической плазмы;

• ионные токи насыщения на зонды в двухтемпературной плазме, в том числе аналитические решения в приближении холодных ионов;

• В АХ неохлаждаемого и охлаждаемого цилиндрического зонда в движущейся при Re « 1 плазме;

• ВАХ стеночных зондов, установленных в передней критической точке сферы и цилиндра при их обтекании в режиме вязкого пограничного слоя;

• эволюция тока на сферический зонд в переходном режиме и импеданс сферического зонда с модулированным потенциалом;

• результаты зондовой теории для диагностики пылевой плазмы, полученные в рамках модели тяжелых многозарядных ионов.

Апробация работы. Материалы диссертации, касающиеся диагностики пылевой плазмы, были доложены на Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность» (Обнинск, 2005) и на 48-ой Научной конференции МФТИ (Жуковский, 2005).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 204 стр., рисунков - 59, таблиц - 6, список литературы включает 141 название.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Глава I диссертации посвящена определению токов насыщения на цилиндрический и сферический зонды при различных условиях их работы в медленно движущейся слабоионизованной плазме высокой плотности. Известно, что при малом отношении а дебаевского радиуса к радиусу зонда вокруг него имеется тонкий слой объемного заряда, а большая часть пространства остается квазинейтральной. При исчезающе тонком слое (а 0) и больших потенциалах зонда, когда он собирает заряженные частицы только одного знака, зондо-вый ток стремится к некоторой постоянной величине и не зависит от потенциала, т.е. достигает насыщения.

В §1 обобщена теория токов насыщения на случай двухтемпературной >

плазмы, когда отношение температур электронов и ионов т < 1 постоянно во всем поле течения. Безразмерные ионный /* и электронный /* токи насыщения связаны со средней по поверхности зонда нормальной производной <п'р> квазинейтральной концентрации заряженных частиц соотношением

/; = (1 + т*1)<л;>, причем <п'р> находится из решения уравнения

Pe(uV)« - Дл = 0

с граничными условиями п = 0 на поверхности и п -> 1 на бесконечности.

Здесь Ре = ReSc - диффузионное число Пекле, Sc = (т + ß)Sc+/(l + т) - ам-биполярное число Шмидта (ß = DJD_ « 1 - отношение коэффициентов диффузии положительных ионов и электронов; Sc+ = v/D+ - ионное число Шмидта), и - безразмерное поле скоростей несущего нейтрального газа. При т = 1 в представленном уравнении вместо числа Ре фигурирует Ree/2, где Reä = ReSc+ = UJVD+ - электрическое число Рейнольдса.

Далее найдены аналитические выражения для <п'р> в виде рядов по

комбинациям различных специальных функций при двух модельных распределениях скоростей вокруг поперечно обтекаемого цилиндрического зонда бесконечной длины: для равномерного невозмущенного поля скоростей и для потенциального обтекания. Показано, что эти выражения имеют конкретный физический смысл. Они определяют токи насыщения на цилиндрический зонд в двухтемпературной плазме в приближении холодных ионов т 0. В диапазоне 1 й Ре < 18 на основе второго из них имеем аппроксимацию <п'р> = 0.74 Ре0,49.

При Ре « 1, т.е. при т -» 0 и Re ~ 1, оба выражения дают < п'р >= ~[1п(Ре/4) + С]"1, где С = 0.5772...- постоянная Эйлера.

Размерные токи насыщения J*± на отрезок цилиндрического зонда длиной L определяются как J* = 2neNmDtLl'±, где е - заряд электрона, Nm - концентрация заряженных частиц в набегающем потоке.

На основе аналитических решений в приближении т -> 0 получены диагностические формулы для других конфигураций зонда. Для зонда в виде пла-

стины, обе поверхности которой проводящие, с соотношением сторон L « h имеем

J'± = 2(l + х)eNaD±h<n'p>, <n'p> = 1.18 PeL049, 4 < Pe¿ < 72.

Этой же формулой без коэффициента 2 описываются токи насыщения на стеночный плоский зонд. Для плотности токов насыщения в критической точке цилиндрического или сферического зонда имеем соответственно j± = (1 + хщ)2л[рё/%, =(1 + тТ1 )л/3Ре/тс.

Для сферического зонда при Ре « 1 имеем <п'р> - 1 + Ре/2. При Ре ~ 1 в

результате численного решения найдено < п'р >-1 + 0.43Ре°69, 1 < Ре < 26. Раз-• мерные интегральные токи насыщения на сферический зонд связаны с безраз-

мерными формулой J*± = 4KeNaD±RI*±.

В §2 описана процедура и результаты расчета токов насыщения на цилиндрический и сферический зонды в случае их реального обтекания потоком вязкой изотермической плазмы при х = 1, которое было найдено путем численного интегрирования полных уравнений Навье-Стокса. Использовался разностный итерационный метод. Вычисления проводились для трех значений ионного числа Шмидта Sc+ = 0.5, 1 и 1.5 в диапазоне чисел Re = 1 - 15 для цилиндрического и 1 - 65 для сферического зонда, когда их обтекание является стационарным. На рис. 1 представлены рассчитанные зависимости <п'р> от Ree

для цилиндрического зонда. При Sc+ = 1 предложена аппроксимация <п'р >=0.43Re®'42. На основе расчетов для сферического зонда получено следующее выражение для безразмерного тока насыщения:

Эти результаты распространены далее на случай двухтемпературной плазмы с постоянным отношением х. Соответствующие диагностические формулы принимают вид 1+ = 0.58(1 + 1/т)0'6 Ree0'4 для цилиндрического зонда и I* = 1 + 1/т + 0.28(1 + 1/т)0-34 Ree0 66 для сферического при т > 1/7.

В §3 рассмотрена тепловая аналогия, существующая в теории зонда, и на ее основе подтверждена правильность проведенных расчетов. При х = 1 задача определения тока насыщения аналогична определению числа Нуссельта, построенного по диаметру, в задаче конвективной теплоотдачи тела в несжимаемой вязкой жидкости с постоянными физическими свойствами. Эти две задачи становятся полностью тождественными при выполнении условия Sc+ = 2Рг, где Рг - число Прандтля. Между числом Ree и числом Пекле Ре = RePr при этом имеется связь Re„ = 2Ре. На рис. 1 нанесены данные работы Dennis et al (Phys. Fluids, 1968), в которой численно исследовался теплообмен цилиндра в вязкой жидкости. Видно хорошее совпадение результатов численного решения двух различных физических задач.

На рис. 1 приведена также зависимость

<п'р> = 0.092 + 0.190Rei°-5 + 0.146(Ree/0.73)\ % = 0.247 + 0.0476Reea'68,

полученная на основе тепловой аналогии из приведенного в работе Fand & Keswani (Int. J. Heat Mass Transf., 1972) единого уравнения, связывающего теп-

лоотдачу от кругового цилиндра при поперечном обтекании его воздухом, которое является аппроксимацией опытных данных. С помощью этого выражения можно определить концентрацию заряженных частиц в потоке при больших числах Ле вплоть до И.е = 10 .

Рис. 1. Зависимости <п'р >(Re*) для цилинд- Рис. 2. Зависимости безразмерной плотно-

рического зонда: о - Sc+ = 0.5, • - 1, х - 1.5. ста тока насыщения Ц от Ree в критиче-

На основе тепловой аналогии: V - Sc+ = 1.46, ской точке цилиндрического зонда: J -

А - 2 (Dennis et al)\ штриховая линия - Ротер и Бергман (1977), 2 - Chen Xi (1982),

Sc+ = 1.46 (Fand & Keswani) З-Беншов и др. (1981), 4 - Кашеваров [4]

В §4 проведено сравнение результатов вычислений плотности тока насыщения в передней критической точке цилиндрического зонда, полученных соискателем (на основе решения полных уравнений Навье-Стокса и массопере-носа заряженных частиц) и другими авторами в рамках приближения пограничного слоя. Необходимость такого сравнения была вызвана тем, что при исследовании плазмы пламен экспериментаторы иногда использовали цилиндрический зонд, у которого проводящей являлась лишь небольшая часть поверхности вблизи передней критической точки, причем концентрация заряженных частиц определялась по диагностической формуле, выведенной в рамках теории пограничного слоя, которая, как считается, справедлива при числах Re » 1. Результаты сравнения, приведенные на рис. 2, свидетельствуют, что в окрестности передней критической точки цилиндра приближение пограничного слоя пригодно и для небольших Re вплоть до Re = 1. Более того, как показано в диссертации, приближение пограничного слоя дает неплохие результаты и для интегрального тока насыщения на полную поверхность цилиндрического зонда при сравнительно малых числах Re. Применение теории пограничного слоя в случае сферического зонда дает несколько худшие результаты.

Так как электроны и положительные ионы в пламени с присадкой существуют не сами по себе, а образуются и исчезают в результате реакций ионизации-рекомбинации А + М ;s А+ + е" + М, где А и А+ - атом и ион присадки, М -любая молекула, то в §5 исследоваро влияние кинетики этих реакций на ион-

ный ток насыщения зондов. Для этого проводилось численное интегрирование уже двух уравнений

lRee(uV)«- Дп = Dm(па - и2 ), ßaRee(uV)na -Апа= ß„KDm(«2 -па).

Здесь па - числовая концентрация атомов присадки, ßa = DJDa - отношение коэффициентов диффузии ионов и атомов присадки, к = NJNm - степень ионизации атомов присадки, Dm = vrftTmNaJ{1/D+ - число Дамкелера (Nm - концентрация молекул основных компонентов плазмы, v, - константа скорости рекомбинации).

Ионный ток насыщения определялся при трех типах условий для па на поверхности зонда, отражающих различные механизмы взаимодействия атомов и ионов присадки с поверхностью. Если ионы присадки, попадая на зонд, теряют свой заряд и возвращаются в плазму в виде свободных атомов, то это приводит к условию дпа/дг\гшХ =-2icßa ди/Зг^. Другой возможностью является

дпа/Эг| = 0, когда атомы присадки не осаждаются на поверхности зонда, а

ионы, попадая на зонд, теряют заряд и остаются на поверхности. Наконец, для атомов присадки можно поставить условие их полного поглощения па|r= ¡ = 0.

В результате многопараметрических расчетов была проведена коррекция диагностических формул с учетом кинетики ионизации-рекомбинации. Для цилиндрического зонда имеем

< и; >= 0.46Re°'39+0.69Re'06 y0-60K-060 + BRe° ß»ycic(l + Cßf у"ек)"2,

где для первого условия В = 0.38, С = 0.14, а = 1.08, Ъ = 1.60, с = 0.48, d = 1.24, е = 0.24; для второго В = -2.52, С= 0.60, а = 1.10, Ъ = 1.79, с = 0.31, d = 1.69, г = 0.69. Для третьего условия второй член формулы равен 0.20Ree° ^у0 40к"°40, а коэффициенты В = -0.16, С = 0.79, а = 0.36, Ъ = 0, с = 0.09, d = 0, е = 0. Здесь введен параметр у = tcDm/Re/ = v,NmDJUw2 (v¡ - константа скорости ионизации), который в конкретном пламени не зависит ни от радиуса зонда, используемого в измерениях, ни от концентрации заряженных частиц, а только от свойств присадки.

Безразмерный ток насыщения на сферический зонд дается формулой

£ = 2+0.47 Re°58+1.18 Re' n у °'î9k"° 59 + В Re? ß'y 'sk(i + Cß^y"^)"2, для первого условия В = 2.25, С = 0.55, а = 1.07, Ь = 1.48, с = 0.59, d = 1.01, е = 0.01, для второго В = -2.00, С = 1.54, а = 1.56, Ъ = 1.96, с = 0.60, d = 1.20, е = 0.20, для третьего второй член формулы равен 0.43Ree0'8ly0'33k"°'3î, а коэффициенты В = -0.33, С = 0.84, а = 1.00, Ь = 0, с = 0.41, d= 0, е = 0.

Учет кинетики увеличивает ионный ток насыщения. Максимальное влияние имеет место для первого условия, минимальное - для третьего.

При определении концентрации заряженных частиц по ионному току насыщения зондовой характеристики, полученной в эксперименте, возникает вопрос о выборе на характеристике точки, в которой ток равен теоретическому току насыщения. Ответить на него можно только зная полную ВАХ зонда.

Глава П посвящена построению зондовых характеристик.

В §6 на основе асимптотического анализа уравнений

тЯеБс+ (иУ)и+ - У(т- и+Уу) = 0, {3Б1е8с+(иУ)и_ + У(Уи_ + п_Уу) = 0,

а2У2\1/ = - п_,

и последующего численного интегрирования уравнения слоя объемного заряда построены ВАХ неохлаждаемого цилиндрического зонда в движущейся при Яе « 1 плазме в условиях тонкого слоя а «1.

Здесь п+ и к. - числовые концентрации положительно и отрицательно заряженных частиц, - безразмерный электрический потенциал, связанный с размерным ср соотношением у = -еср 1кТ- (к - постоянная Больцмана, Г_ - температура отрицательно заряженных частиц). Предполагалось, что результаты можно качественно распространить на случай Ке ~ 1, характерный для плазмы лабораторных пламен. Поскольку на ВАХ зонда в плазме пламени могут влиять отрицательные ионы, рассмотрены два предельных случая, когда отрицательный заряд переносится только электронами (р « 1) или только ионами (|3 = 1, х = 1). Примеры построенных ВАХ приведены на рис. 3.

Рис. 3. ВАХ цилиндрического зонда при Яег = 0.2/(1 + (3) и т - 1: 7 - а = 0.1,2 - 0.01,3 - 0.001; штриховая линия - уровень ионного тока насыщения

Из рис. 3 видно, что когда ионный ток достигает насыщения (/_ 0) его величина весьма близка к теоретическому значению лишь для достаточно малого значения а = Ю-3, Насыщение ионного тока для этого а наступает при потенциале \\1Р = 10. При \\!р = 0 безразмерные токи положительно и отрицательно заряженных частиц равны между собой и составляют половину от токов насыщения. Этот факт можно использовать для определения собственного потенциала плазмы по реальной ВАХ, снятой в плазме пламени. Результаты свидетельствуют также, что при полной замене в теоретической модели электронов на отрицательные ионы увеличение тока насыщения положительных ионов на зонд составляет всего лишь около 30%.

и

Кроме того, в процессе анализа выяснилось, что в рассматриваемой двумерной постановке возникает проблема существования краевой задачи для представленной выше системы уравнений. Необходимо, чтобы потенциал ц/ -» О на бесконечности. Однако это условие может быть выполнено лишь при |3 -> О и /_ -> 0. В общем случае для цилиндрического зонда условие —» 0 при г -> <» должно быть заменено на более слабое -» 0.

Так как в реальном эксперименте с зондом в пламени его температура всегда ниже, чем температура окружающей среды, в §7 исследовано влияние охлаждения цилиндрического зонда на его ВАХ в движущейся при Яе « 1 плазме. Для охлаждаемого зонда в поле течения существенно изменяются коэффициенты диффузии ионов и электронов, а также плотность нейтрального ' газа, что приводит к модификации выписанных выше основных уравнений.

Анализ модифицированных уравнений проводился по аналогии с неохлаждае-мым зондом для переноса отрицательного заряда только электронами или только ионами. В последнем случае отрицательно заряженная компонента находится в локальном тепловом равновесии с несущим нейтральным газом. Для электронов был дополнительно рассмотрен случай их замороженной температуры в поле течения. Были найдены выражения для токов насыщения, которые показали небольшое уменьшение величины тока насыщения при охлаждении зонда, причем влияние температурного фактора уменьшается с ростом Яе.

На рис. 4-6 представлены примеры ВАХ при Яе = 0.2, Бс+ = 1 и температуре поверхности зонда Тр = 0,25 (обезразмерена через температуру газа на бесконечности). Видно, что охлаждение зонда влияет на потенциал начала насыщения зондового тока: насыщение наступает тем раньше, чем меньше температура. Однако, если обезразмеривание потенциала зонда проводить через температуру его поверхности Т° (кружок обозначает размерную величину), то можно утверждать, что насыщение электронного (для обоих случаев температуры электронов) и ионного (для равновесной температуры электронов) токов по-прежнему наступает при е\(р\/кТ° ~ 10. В случае замороженной температуры

электронов ионный ток достигает насыщения при е|<р|/кТ° ~ 10. Это можно использовать для оценки температуры электронов и поверхности зонда. Рис. 5 по-Ь казывает, что влияние температурного фактора на зондовый ток уменьшается с

увеличением потенциала зонда и с увеличением отношения а.

Асимптотический подход был применен в §8 для построения ВАХ сте-ночных неохлаждаемых зондов, установленных в передней критической точке ' сферы или кругового цилиндра. Рассмотрение приведенных выше основных

уравнений проводилось с привлечением теории пограничного слоя, формально пригодной при Яе » 1, а фактически и при Яе ~ 1, по крайней мере, для цилиндрического зонда. Считалось, что толщина слоя объемного заряда много меньше толщины вязкого пограничного слоя. Для плотностей токов насыщения было получено

Л = (1 + т;1 )(2 + е)"2 Яе"2 //(Бс), = х/+,

где е = 0 для цилиндра и е = 1 для сферы, а ДБс) - некоторая интегральная функция, при Эс < 1 аппроксимируемая формулой

/(вс) = (тс/2) 1/2Зс~1/2( 1 +0.4058с0-427).

- уровень ионного тока на- Рис. 5. То же при больших ц)р в сравнении с неохлаждаемым сышения зондом (штриховые линии)

Рис. б. То же для замороженной темпера 1уры электронов

На рис. 7, 8 показаны некоторые ВАХ для стеночного зонда на сфере. Видно, что движение плазмы практически не влияет на начало насыщения ионного тока, которое по-прежнему наступает при \ур = 10. Однако с ростом числа Яе требуется все меньшие значения параметра а, чтобы ионный ток медленно менялся в области больших потенциалов зонда. Зондовые характеристики при X = 1 не симметричны относительно вертикальной оси. Обращает на себя внимание неравенство токову'+ >_/'_ пр#-ур = 0. Этот факт можно объяснить различ-

ной интенсивностью конвективного переноса ионов и электронов. При движении с заметными скоростями точка, в которой_/'+ =_/_, смещается в область \\гр « О, тем больше, чем больше Яе, что затрудняет использование этой точки для определения собственного потенциала плазмы при умеренных и больших 11е. ВАХ в случае цилиндра выглядят аналогично. Как и для Яе « 1, возникает проблема существования решения задачи для стеночного зонда, установленного в критической точке цилиндра.

\ \ 28 \\ 1-3\\4' 5. Р у 2/

\\ 20

VI

-60 -20 20 £0 Ц>р ЮС Рис. 8. То же при т = 0.5

■100 -60 -20 20 60 % 100 Рис. 7. Зависимости плотностей ионного]+ (1-4) и электронного {Г-4') токов в критической точке сферического зонда от его потенциала при Яе = 100, х = 1:1 - а =10"4,2 -10~3,3 - Ю-2, 4-10-1

Глава Ш посвящена экспериментальной проверке применимости полученных в диссертации теоретических результатов.* В §9 описана лабораторная установка и методика проведения исследований ионизации щелочных элементов. Установка была создана на базе пламенного фотометра РЬАРНО 4 (производство ГДР). Ацетиленовоздушное пламя предварительно перемешанных газов создавалось горелкой, состоящей из 11 трубочек диаметром 1.5 мм, расположенных по окружности диаметром 15 мм. Через предусмотренный в конструкции прибора распылитель с кольцевой щелью в пламя подавались водные растворы солей различных элементов. Для измерения концентрации свободных атомов присадки щелочного элемента использовался метод интегрального коэффициента поглощения спектральной линии. Все измерения, как спектральные, так и зондовые, проводились на высоте 20-25 мм над внутренними конусами пламени в зоне, где, как предполагалось, имеет место химическое и термодинамическое равновесие. Диаметр пламени в этой зоне составлял 20 мм. Температура пламени Т= 2370 ± 10 К была измерена методом обращения спектральной линии натрия. Зондовые измерения осуществлялись цилиндрическими зондами, изготовленными из тугоплавкого вольфрам-рениевого сплава, различного диаметра от 0.5 до 3 мм и длины (в основном 9 мм). Использовался

' Основная работа по постановке эксперимента выполнена З.М.Егоровой и Н.С.Цхаем, соавторами ряда публикаций соискателя.

также сферический зонд диаметром 2 мм. Одиночный зонд при фиксированном потенциале относительно заземленного корпуса горелки кратковременно (~2 с) вводился в пламя с помощью специального устройства. Ток на зонд регистрировался с помощью лу-координатного самопишущего потенциометра как падение напряжения на шунтирующем сопротивлении. Скорость движения газов пламени, необходимая при интерпретации зондовых измерений для определения концентрации заряженных частиц, была измерена оптическим методом и составила 4.4 ± 0.5 м/с. Для оценки пригодности той или иной диагностической формулы зондовой теории концентрация заряженных частиц, полученная из зондовых измерений, сравнивалась с равновесной концентрацией, рассчитанной на основе данных спектральных измерений по формуле Саха.

В §10 представлены результаты экспериментов в пламени с присадками 1

различных щелочных элементов. На рис. 9 представлена типичная ВАХ цилиндрического зонда (диаметр 0.5 мм), снятая в пламени с присадкой натрия. Число Ree = 2.1, что позволило провести качественное сравнение экспериментальной ВАХ с теоретическими результатами для цилиндрического зонда в медленно движущейся при Ree« 1 плазме.

Обращает на себя внимание незначительное превышение электронного тока насыщения над ионным, что свидетельствует в пользу образования отрицательных ионов у холодной поверхности зонда. По соотношению токов насыщения было найдено «эффективное» значение р = 0.15 для отношения коэффициентов диффузии суммарной отрицательной компоненты (смеси электронов и ионов) и положительных ионов. По формуле /о = 0.5 7*(1 - 1/(3), где /0 - зондо-вый ток при потенциале зонда равном собственному потенциалу плазмы, было найдено, что потенциал плазмы составляет 0.5 В относительно заземленного корпуса горелки. Насыщение электронного и ионного токов наступает при одном и том же безразмерном потенциале |\|/р| « 5, что говорит о локальном тер-

мическом равновесии отрицательно заряженной компоненты с несущим газом и соответствует температуре зонда « 950 К.

Рис. 10. Записи тока на цилиндрический зонд: 1 - потенциал срр = -12 В, 2 - ур = 0 В (относительно корпуса горелки), 3 - то же, что и 2, но для зонда ббльшей длины и толщины

Рис. 11. Расчетные зависимости зондового тока от температуры зонда при Яе = 0.2, = 2.5, Р = 0.15: 7 - а =0.1,2 - 0.01, 3 - 0.001. Сплошные линии - равновесная температура электронов, штриховые - замороженная

На рис. 10 представлены типичные записи зондового тока с течением времени по мере разогрева зонда в пламени. Интерес представляет кривая 2, полученная при слабо отрицательном потенциале зонда относительно потенциала плазмы фр = -0.5 В (\|/р = 2.5). Поведение тока до точки А согласуется с показанными на рис. 11 теоретическими результатами §7 для охлаждаемого зонда при равновесной температуре электронов. Дальнейшее поведение тока от точки А до точки В обусловлено эмиссией электронов, вызванной поверхностной ионизацией адсорбированных на зонде частиц присадки, причем увеличивающийся ток эмиссии компенсирует дальнейшее уменьшение тока, которое следует из теории. В пользу поверхностной ионизации говорит небольшое понижение тока от точки В до точки С, которое можно объяснить тем, что тепловая энергия образующихся ионов оказывается достаточной при некоторой температуре зонда для преодоления потенциального барьера и возникновения термоионной эмиссии. Резкий рост тока, начиная с точки С, вызван уже термоэлектронной эмиссией самого материала зонда. Вероятно, при соответствующем развитии теории метод электрического зонда можно будет использовать для изучения поверхностной ионизации.

Результаты экспериментальной проверки предложенных в диссертации диагностических формул в пламени с присадками щелочных элементов показаны на рис. 12 для цилиндрического зонда и в таблице для сферического.

Рис. 12. Сравнение результатов теории цилиндрического зонда с экспериментальными данными для различных присадок. Эксперимент: в, о, х - Иа (к = 0.14, 0.099 и 0.077 соответственно); 0, + - К (к = 1.7,1.1, 0.77); Д - Юз, □ -1л. Теория; 1 - замороженные химические

реакции; штриховые линии - учет химических реакций: 2 - 1Д, 3 (к = 0.077), 4 - К (к = 1.1), 5 - Ш). а - условие непоглощения атомов зондом, б - условие рекомбинации ионов на поверхности и возвращения получившихся атомов в плазму

Элемент К, ю'°см3 по Саха к У, Ю-2 Ы+ зонда / №. Саха

1 2 ' 3

и 0.82 0.11 0.15 1.3 1.3 1.7

№ 2.3 0.14 0.22 1.9 1.8 2.5

3.1 0.099 1.7 1.6 2.3

4.1 0.077 1.7 1.6 2.4

К 9.0 1.7 3.8 1.3 0.9 1.8

13 1.1 1.2 0.9 1.7

20 0.77 1.0 0.8 1.5

ЛЬ 15 2.4 4.0 0.9 0.7 1.2

1 - учет реакций, непоглощения атомов; 2 - учет реакций, рекомбинация ионов и возвращение атомов в плазму; 3 — замороженные реакции

Видно, что при измерениях цилиндрическими зондами имеет место превышение экспериментально определенного значения <п'р> над теоретическим:

для лития в среднем в 3.2 раза, для натрия в 3.5, для калия в 2.4 и для рубидия в 1.5 раза. Согласие улучшается при учете кинетики реакций ионизации-рекомбинации. Так, для условия непопгощения атомов присадки поверхностью зонда расхождение составляет 2.1 раза для лития, 1.9 для натрия, 1.6 раза для калия и

практически отсутствует для рубидия. Еще лучшее соответствие наблюдается для сферического зонда.

В § 11 излагается методика и результаты экспериментов с присадкой бария. Известно, что ионизация щелочноземельного элемента в пламени отличается от ионизации щелочного и сопровождается образованием ионов ВаОЕГ. С помощью монохроматора с дифракционной решеткой был снят спектр излучения пламени с введенной в него присадкой соли ВаС12х2Н20. Степень ионизации атомов бария # + /ЛгВа, составившая 0.038, определялась по методу относительных интенсивностей линий атома Ва I 5535.48 А и иона Ва П 4554.04 А. Для определения концентрации свободных атомов бария Л^» = 3.2-109 см-3 использовалось измеренное отношение полной энергии, поглощаемой резонансной линией бария из непрерывного спектра, к интенсивности падающего излучения. По измеренному значению степени ионизации, получено N , = 1.2-108 см-3.

Концентрация электронов, найденная по уравнению Саха, составила Ие = 2.4-10й см-3, что практически совпадало с концентрация ионов ВаОН* ввиду малости концентрации ионов Ва+. Диагностические формулы §2 для замороженных химических реакций дали эту же величину концентрации ВаОН* при измерениях цилиндрическим зондом и несколько меньшее значение 1.5-1011 см-3 для сферического зонда.

В §12 проводится обсуждение результатов применения электрических зондов для диагностики плазмы пламен с присадками, в том числе других авторов. Основное внимание уделено причинам расхождений между значениями концентраций заряженных частиц, полученных из зондовых и спектральных измерений. Рассмотрена простая модельная задача для оценки времени достижения ионизационного равновесия в углеводородном пламени. Известно, что при наличии углеводородов в зоне реакции вблизи среза горелки возникает избыточная ионизация щелочного элемента за счет реакции с ионами Н30+, и при удалении от среза концентрация ионов щелочной присадки релаксирует к равновесному значению. Решение модельной задачи показывает, что значительное превышение измеренных зондом концентраций над равновесными значениями в случае лития и натрия объясняется отсутствием химического равновесия в зоне измерений для этих элементов. Например, для лития оценка дает, что концентрация его ионов в 3.2 раза превышает равновесную, что совпадает с полученным превышением при измерениях цилиндрическими зондами, когда обработка ВАХ проводится без учета химической кинетики.

В Главе IV рассматриваются некоторые вопросы зондовой диагностики, уже не затрагивающие непосредственно проблему зондовых измерений в плазме пламени. Так как была выявлена проблема существования решения краевой задачи, описывающей работу цилиндрического зонда в плотной плазме, в §13 исследована ее разрешимость в двумерном случае цилиндрического зонда в неподвижной плазме с реакциями ионизации-рекомбинации. Исследование проводилось асимптотическим методом в предположении а « 1 и ТУт « 1. Найдено, что краевая задача имеет ограниченное на бесконечности решение, как для концентраций частиц, так и для электрического потенциала, лишь в случае

большого потенциала зонда » 1 при условии, когда атомы присадки не поглощаются поверхностью, а ионы присадки, попадая на зонд, рекомбинируют и возвращаются в газ в виде свободных атомов. Кроме того, при малой степени ионизации присадки к 0 ограниченное решение для концентраций частиц существует и при ~ 1, однако условие \|/ (г) 0 при г <ю не выполняется и должно быть заменено на более слабое <Ьц1с1г 0. Показано также, что характеристики при Ее = 0.2 и От = 0, изображенные на рис. 3, можно трактовать как полученные при Ке = 0 и Бт = 0.0025. Проблему существования решения необходимо учитывать при численном интегрировании зондовых уравнений.

В §14 рассмотрены две задачи нестационарной теории сферического зонда Ленгмюра в неподвижной плазме. Первая касается эволюции зондового тока в переходном режиме при скачкообразном изменении потенциала зонда от небольшого значения до нуля. Для случая толстого слоя объемного заряда а —» со операторным методом Лапласа найдено аналитическое решение этой задачи, подтвердившее наличие заброса зондового тока (рис. 13), по которому, в принципе, можно найти температуру и концентрацию электронов в плазме. Затем релаксация тока к новому стационарному значению происходит по закону ~ 11-[г.

0.6

1.12

1.08

1.04

1.00

10

20

30

40

Рис. 13. Эволюция электронного (ионного) тока при различных начальных потенциалах зонда: 1 - [уР1 = 0.1, 2- 0.2

30 г 2

Ф

-30

-60

-90

(б)

Рис. 14. Амплитуда (я) и сдвиг фаз (б) колебаний электронного тока: 7 - а -> со, 2 - а = 0.1, 5-0.01, 4-0.001. Кривые 1 - зависимости Л/(со) и Ф(св), остальные кривые - M(fl), Ф(Д),

" П = о4/3со

Вторая задача затрагивает проблему зонда с потенциалом, совершающим гармонические колебания малой амплитуды с частотой ю вокруг потенциала плазмы. Малое синусоидальное возмущение потенциала зонда расширяет возможности диагностики, позволяя, в принципе, определить коэффициент диффузии ионов. В результате аналитического исследования определен импеданс 1 = АГ1ехр(-гФ), где М- модуль и Ф - сдвиг фаз переменного тока (рис. 14а, б), такого зонда для режима тонкого столкновительного а « 1 и толстого а —> оо слоя объемного заряда. Кроме того, для тонкого слоя найдено аналитическое выражение для наклона стационарной зондовой -характеристики при \цр = О <И.{\>р)1<ЬУр 1ч,,,=о= 3/(1па"2 +3"1/2тс + 2С + 1пЗ).

Представленные аналитические решения могут быть полезными при верификации результатов возможных численных исследований.

§15 посвящен зондовой диагностике пылевой плазмы. Пылевые частицы трактовались как дополнительная плазменная компонента в виде тяжелых многозарядных ионов. Сначала рассмотрена задача о сферическом зонде в неподвижной пылевой плазме в условиях тонкого слоя объемного заряда а « 1. В результате анализа этой задачи получены выражения для безразмерных токов насыщения положительных ионов I*, электронов /* и пылевых частиц . В случае отрицательно заряженной пыли имеем

где у = ЩИ, - отношение концентраций электронов и ионов на бесконечности, 2 - зарядовое число. Построены ионные ветви В АХ (рис. 15).

Таким образом, введение отрицательно заряженной пыли уменьшает ионный ток насыщения сферического зонда в неподвижной плазме до двух раз при у 0. Кроме того, как видно из рис. 15, наличие пыли приводит к несколько более раннему наступлению насыщения тока при ц/р = 8 для у = 0.1. Ввиду малого коэффициента диффузии пылевых частиц их вклад в суммарный размерный ток пренебрежимо мал. Для отношения 3 размерных токов насыщения отрицательно и положительно заряженных частиц на сферический зонд в неподвижной плазме при у «1 получено 3 » 2у/(3. Напомним, что без пыли 3 = 1/(3. Эти результаты легко распространяются на случай положительно заряженной пыли.

рочастиц пыли с большим отрицательным зарядом 2 1 - а » 0.001, 2 - 0.01, 3 - 0.1. Штриховые кривые - у = 1 (пыль отсутствует), сплошные линии-у = 0.1, пунктир -уровни ионного тока насыщения

Далее рассмотрена задача о стеночном зонде, установленном в передней критической точке сферы. Рассмотрение велось аналогично §8 в предположении, что большая часть электронов собирается пылевыми частицами (у 0). В такой постановке электрическое поле возникает только из-за разделения зарядов, переносимых положительными ионами и отрицательными пылевыми частицами, что позволяет затем определить плотность тока насыщения электронов, диффундирующих в найденном электрическом поле (конвективным переносом электронов пренебрегается ввиду малости отношения коэффициентов диффузии (3). В результате для безразмерных плотностей токов насыщения в критической точке сферы получено:

=(1+г-')з1/2ае1/2//(8с), = г/п ¡\ = /лг+ р„).

Здесь амбиполярное число Шмидта Бс = (¡З^ + 2)8с+/(1 + 2), Р^ - отношение коэффициентов диффузии положительных ионов и пылевых частиц. При Бс » 1 найдено, что

/(Бс) = 21/33_2/3[/1"(0)]~|/э5с"1/3Г(1/3)» 2.353с~ш, так как значение гамма-функции Г(1/3) » 2.68, а/] (0) « 0.332 (функция/! - коэффициент в первом члене ряда Блазиуса). Для оценок принято ¡3^ ~ 2.5-107, 2- 103, т.е. Бс = 25000. Из сравнения с выражением §8 для ДБс) при Бе = 0.5 найдено, что отрицательные пылевые частицы увеличивают плотность тока насыщения положительных ионов в критической точке в 14.4 раз. Это связано с падением коэффициента амбиполярной диффузии и, следовательно, с увеличением интенсивности конвективного переноса ионов при введении пыли. Для отношения 3 размерных плотностей токов насыщения получено 3 » (2/рДу/р + 1), где первый член во второй скобке описывает вклад электронов в суммарный ток отрицательных частиц. При у = 0.05, р = 1.7-10"3 вклад электронов остается преобладающи)»«, однако имеем 3 » 1.2-10"3, т.е. превышение плотности тока насыщения положительных ионов более чем в 800 раз над плотностью тока насыщения отрицательно заряженных частиц. Значительное уменьшение тока отрицательных частиц связано не только с уменьшением доли электронов у в потоке, но, в большей степени, с выполаживанием профиля их концентраций вдоль линии торможения потока из-за перераспределения электрического поля.

Как частный случай рассмотрены обычные однозарядные отрицательные ионы 2= 1, Р^ = 1. При наличии отрицательных ионов плотность тока насыщения положительных ионов увеличивается максимум на 31%. Отношение 3 «у/2р + 1 « 15.7.

Далее анализ был распространен на случай пылевых частиц с положительным зарядом, возникающим из-за термоэлектронной эмиссии, в предположении, что она приводит к отрыву температуры электронной компоненты т ф 1 и к существенному увеличению концентрации электронов, так что отношение у = //,/7^ 0. Для плотностей токов насыщения в критической точке получено

Л' =31/211е,/2(т/2+ \УЩс\ и = 2ГЛ /(р„т),

где Бс = (Р^т + р^БсДт + 2) » 1. Плотность ионного тока насыщения определена в приближение холодных ионов т —> 0. Оценка при т = 0.1 и у = 0.1 дает, что вклад пыли в суммарный ток в ~500 раз превышает вклад положительных ионов. При сделанных предположениях положительно заряженная пыль уменьшает плотность тока насыщения при отрицательном размерном потенциале в -65 раз. Для отношения 3 = 3\ /У* « [З/с/ф/Г)» 1.5-106.

В Главе V излагается математическое приложение теории зонда к аналитической теории дифференциальных уравнений, а именно теории второго уравнения Пенлеве (сокращенно Р2), которое имеет следующий канонический вид

¿1у1<Ыг^2уг +ху-\, где v - свободный параметр. Уравнение Р2 описывает в теории зонда распределение электрического поля в слое объемного заряда при условии изотермично-сти плазмы т = 1. Уже долгое время это уравнение изучается с позиций теории аналитических функций комплексного переменного и дает нелинейную специальную функцию математической физики, в общем случае не выражающуюся через другие элементарные и специальные функции. Общее решение уравнения Р2, которое часто называют функцией Пенлеве второго рода, представляет собой разрывную функцию с подвижными особенностями в виде полюсов первого порядка, т.е. расположение разрывов зависит от начальных данных. В общем случае не существует какого-либо математического описания этой функции, например, в виде ряда или интегрального представления, которое позволило бы вычислять ее значения. Единственным способом является численное интегрирование.

В §16 показано, как в результате асимптотического анализа краевой задачи для сингулярно возмущенной системы уравнений, описывающей работу сферического зонда в неподвижной столкновительной плазме, проявляют себя некоторые известные свойства уравнения Р2 и возникают его решения, убывающие на +оо. Найдено два члена асимптотики этих решений. Показано, что известная связь между решениями уравнения Р2 при v = 1/2 и v = 0 осуществляется посредством уравнения

иа = -и1~х/2 + еги/2, где индекс обозначает производную по х.

Еще один результат рассмотрения уравнения Р2 в рамках теории зонда касается матрицы монодромии метода изомонодромных деформаций. В этом методе с уравнением Р2 ассоциируется некоторая линейная система из обыкновенных дифференциальных уравнений для двух функций комплексного переменного Анализ этой системы позволяет получать асимптотики решений уравнения Р2 на ±ао в терминах множителей Стокса £2> ¡ъ, связывающих формальные асимптотические разложения при £ —> со двух линейно независимых решений системы в смежных секторах комплексной плоскости. Матрица монодромии показывает, как меняется фундаментальная матрица решений системы при обходе вокруг нулевой точки комплексной плоскости. В диссертации уточнен один из элементов эТой матрицы для V = 1/2.

В §17 выведены условия интегрирования, обеспечивающие численное построение решений уравнения Р2 с асимптотикой у(х) -> у/х при х +оо. Рассмотрены случаи полного и неполного поглощения заряженных частиц поверхностью зонда. Для численного построения решений необходимо отыскать начальную точку интегрирования ха, которая при выполнении в ней условий

Уо = ±^-^о/2 + (т1о++г1о-)/4. Уо = (т1о+ -•по-)/4 приводит к указанной выше асимптотике. Здесь т|о+ и т]о_ - некоторые величины, связанные с поглощением заряженных частиц. Для полного поглощения г|о+ = т]о- = 0. В результате построены разнообразные численные решения уравнения Р2 с асимптотиками^) -» у/х при х +оо при различных v, а на их основе с использованием известных связей некоторые решения с другими асимптотиками. На рис. 16,17 показаны примеры рассчитанных решений.

Рис. 16. Численные решения уравне- Рис_ 17> решения уравнения Р2

ния Р2 при т|о+ - -По- = 0: при V = 0.4 и различных тц», ло-

/ - v = 0.1,2 - 0.2,3 - 0.3,4 - 0.4 •

Полученные результаты обсуждены с позиций метода изомонодромных деформаций. Чтобы выделить конкретное решение, для функции Пенлеве второго рода предложено обозначение Р2(х; v, у, ¿2), где у - мнимая часть множителя Стокса и ^ - вещественный множитель. Тогда, например, вычисленные здесь решения с асимптотикой у ~ у/х при х -> +оо будут обозначены как Р2(*; v, у, 0).

ВЫВОДЫ

1. Получены диагностические формулы, связывающие ионный ток насыщения на цилиндрический и сферический зонды Ленгмюра с концентрацией заряженных частиц в медленно движущемся при числе Re ~ 1 потоке.

2. Построены вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в медленно движущейся при Re « 1 плазме и характеристики стеночных зондов в передней критической точке сферы и цилиндра, обтекаемых в режиме пограничного слоя при Re >> 1.

3. Проведено экспериментальное подтверждение предложенных диагностических формул в ацетиленовоздушном пламени с присадками различных щелочных элементов (лития, натрия, калия, рубидия) и щелочноземельного элемента — бария.

4. Найдены аналитическое решение для эволюции зондового тока в переходном режиме и аналитические выражения для импеданса сферического зонда с синусоидально модулированным потенциалом в неподвижной плазме.

5. В рамках модели тяжелых многозарядных ионов рассмотрена зондовая диагностика пылевой плазмы. Получены выражения для токов насыщения положительных ионов, электронов и пылевых частиц на сферический зонд в неподвижной плазме и стеночный зонд, установленный в критической точке сферы, обтекаемой в режиме пограничного слоя.

6. Обнаружено математическое приложение теории электрического зонда к теории второго уравнения Пенлеве. Проведено численное интегрирование второго уравнения Пенлеве в условиях полного и неполного поглощения заряженных частиц. Представлены разнообразные численные решения и предложена их классификация.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Егорова З.М., Кашеваров A.B., Фомина Е.М., Цхай Н.С. Об измерении концентрации заряженных частиц цилиндрическим зондом Ленгмюра в плазме пламени // ТВТ. 1988. Т. 26. №3. С. 577-581.

2.Егорова З.М., Кашеваров A.B., Цхай Н.С. Ионный ток насыщения на электрические зонды в потоках плазмы при малых числах Рейнольдса // ПМТФ. 1990. №1. С. 159-163.

3. Егорова З.М., Кашеваров A.B., Цхай Н.С. Об ионном токе насыщения на электрические зонды в плазме пламени со щелочной присадкой // ТВТ. 1992. Т. 30. №3. С. 448-456.

4. Кашеваров A.B. О зондовых измерениях в плазме пламени // ТВТ. 1992. Т. 30. №6. С. 1220-1223.

5. Егорова З.М., Кашеваров A.B. О вольт-амперной характеристике цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1993. №2. С. 3-10.

6. Егорова З.М., Кашеваров A.B., Цхай Н.С. Определение концентраций заряженных частиц в плазме пламени с присадкой бария // ТВТ. 1993. Т. 31. №2. С. 190-193.

7. Кашеваров A.B. О влиянии кинетики рекомбинации на ток насыщения зонда Ленгмюра в плазме пламени с присадкой // ТВТ. 1994. Т. 32. №1. С. 1215.

8. Кашеваров A.B. Вольт-амперная характеристика цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме при больших потенциалах зонда // ТВТ. 1994. Т. 32. №2. С. 173-176.

9.Егорова З.М., Кашеваров A.B. Охлаждаемый цилиндрический зонд Ленгмюра в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1994. Т. 35. №4. С. 3-12.

10. Кашеваров A.B. О плотности тока насыщения в критической точке электрического зонда//ТВТ. 1995. Т. 33. №1. С. 140-144.

11. Кашеваров A.B. Тепловая аналогия в теории зонда Ленгмюра // ИФЖ. 1995. Т. 68. №4. С. 629-632.

12. Кашеваров A.B. Характеристика охлаждаемого цилиндрического зонда в медленно движущейся плазме при больших потенциалах // ТВТ. 1996. Т. 34. №4. С. 519-524.

13. Кашеваров A.B. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Некоторые численные решения // ЖВММФ. 1998. Т. 38. №6. С. 9921000.

14. Кашеваров A.B. Применение электрических зондов для диагностики плазмы пламен с присадками // ТВТ. 1998. Т. 36. №5. С. 700-705.

15. Кашеваров A.B. О диагностике двухтемпературной столкновительной плазмы электрическими зондами // ТВТ. 1999. Т. 37. №1. С. 150-152.

16. Кашеваров A.B. Задача нестационарной теории электрического зонда в столкновительной плазме. Аналитическое решение // ТВТ. 2000. Т. 38. №1. С. 147-149.

17. Кашеваров A.B. Характеристика зонда в движущейся столкновительной плазме для точки торможения потока // ТВТ. 2001. Т. 39. №3. С. 381-386.

18. Кашеваров A.B. Сферический зонд с переменным потенциалом в неподвижной столкновительной плазме // ЖТФ. 2001. Т. 71. №9. С. 21-25.

19. Кашеваров A.B. О зондовой диагностике пылевой плазмы // ТВТ. 2002. Т. 40. №5. С. 702-705.

20. Кашеваров A.B. Исследование разрешимости задачи о цилиндрическом зонде в неподвижной столкновительной плазме с химическими реакциями // Ученые записки ЦАГИ. 2003. Т. 34. №3-4. С. 59-64.

21 .Кашеваров A.B. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Численные решения в случае неполного поглощения заряженных частиц поверхностью // ЖТФ. 2004. Т. 74. №1. С. 3-9.

22.Кашеваров A.B. Плотности токов насыщения в критической точке сферического зонда в движущейся столкновительной плазме с отрицательными ионами или пылевыми частицами // ЖТФ. 2005. Т. 75. №4. С. 37-41.

•

I %

I t

»

! i !

I ¡

)

V i

!

Í ¡

i

4

i

i

1006А

Ь2%,

О 6-682

Подписано в печать 7.12.05.

Тираж 80 экз. Заказ 8/9. - Множительная база ЦАГИ.

Введение

Глава I. Токи насыщения

§1. Аналитические выражения для токов насыщения. Зонды в двухтемпературной плазме: приближение холодных ионов

§2. Токи насыщения на зонды в потоках плазмы при малых числах

Рейнольдса

§3. Тепловая аналогия в теории зонда Ленгмюра

§4. Плотность тока насыщения в критической точке зонда.

Об использовании приближений пограничного слоя

§5. Влияние реакций ионизации-рекомбинации

Глава II. Полные ВАХ зондов при условии тонкого слоя объемного заряда

§6. Неохлаждаемый цилиндрический зонд в медленно движущейся плазме

§7. Охлаждаемый цилиндрический зонд в медленно движущейся плазме

§8. Характеристики сферического и цилиндрического зондов для точки торможения потока

Глава III. Экспериментальные исследования

§9. Описание установки и методики исследований

§ 10. Результаты экспериментов с присадками щелочных металлов

§11. Методика и результаты экспериментов с присадкой бария

§12. Обсуждение результатов применения электрических зондов для диагностики плазмы пламен с присадками

Глава IV. Специальные вопросы

§13. Исследование разрешимости задачи о цилиндрическом зонде в неподвижной столкновительной плазме с химическими реакциями

§14. Нестационарные режимы работы зонда в столкновительной плазме

§15.0 зондовой диагностике плазмы в присутствии пылевых частиц или отрицательных ионов

Глава V. Приложение теории зонда к аналитической теории дифференциальных уравнений

§ 16. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда

§ 17. Численные решения второго уравнения Пенлеве

Электрический зонд Ленгмюра - наиболее простое средство диагностики плазмы, как с точки зрения его конструкции, так и методики проведения измерений, что обусловливает широкое применение зондов в экспериментальной практике. Основная трудность при этом состоит в интерпретации результатов зондовых измерений.

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) зонда, в принципе, содержит полную информацию об основных параметрах плазмы, таких как концентрация электронов и их температура в плазме и ее потенциал. Однако чтобы установить их связь с параметрами ВАХ зонда, необходимо предварительно решить сложную математическую задачу, постановка которой зависит от условий работы зонда.

Зонд Ленгмюра уже длительное время используется для диагностики разреженной плазмы, когда число Кнудсена Kn » 1. Для этого условия теория зонда достаточно хорошо развита [1-3]. С начала шестидесятых годов прошлого века активно начата разработка теории зонда для другой сравнительно новой области его применения - плазмы высокой плотности при числах Kn « 1, т.е. когда зонд работает в режиме сплошной среды.

Основные достижения теории для этого случая зондовой диагностики плазмы излагались в [1—5]. Несмотря на громадное количество работ, из-за сложности проблемы и большого разнообразия условий проведения экспериментов с зондами в плотной плазме до сих пор остаются весьма слабо изученные с точки зрения теории зонда области его применения.

Одним из пробелов теории был режим медленного обтекания зонда. Степень влияния конвективного движения плазмы на показания зонда можно характеризовать электрическим числом Рейнольдса Ree = ReSc+ = [1], где Re - газодинамическое число Рейнольдса, Sc+ - ионное число Шмидта, £/«, -скорость набегающего потока, R — радиус зонда (или другой характерный размер), D+ — коэффициент диффузии положительных ионов. Так как число Sc+ = v/D+ ~ 1 (v - коэффициент кинематической вязкости), то числа Ree и Re одного порядка. В [1] были рассмотрены два случая движения плазмы: предельно малого влияния конвекции Ree -> 0, фактически неподвижная плазма, и сильного влияния Ree » 1, когда справедливо приближение пограничного слоя.

Важным для практики является часто встречающийся в экспериментах с зондами случай умеренного влияния конвекции Ree ~ 1, совершенно не затронутый в [1], а также в [2-4]. Этот режим течения реализуется при зондовых измерениях по меньшей мере в двух источниках плазмы: в плазменных струях и пламенах лабораторных горелок. В обзоре [5] отмечены лишь две работы [6, 7], в которых изучалась проблема интерпретации показаний зонда при Ree ~ 1 применительно к плазменным струям.

Они отличаются сравнительно высокими значениями абсолютной скорости потока, которые составляли в [6, 7] £/«, = 230 и 130 м/с соответственно. Однако высокая температура потока Т = 13240 и 15500 К приводит к большим значениям коэффициента диффузии ионов, и при радиусе цилиндрических зондов, использовавшихся в [6, 7], равных R = 0.6 и 0.15 мм, течение оказывается медленным с числами Ree« 14 и 3 соответственно.

Считается, что при таких числах Ree приближение пограничного слоя не применимо, и для теоретического определения параметров ВАХ приходится решать полные уравнения переноса заряженных частиц, что представляет более трудную задачу. Особенностью плазменных струй является значительная степень ионизации плазмы, которая была равна в [6, 7] 0.26 и ,0.66 соответственно, так что наличие электрически заряженных компонентов оказывает влияние на течение ионизованного газа в целом. Это еще более усложняет решение теоретической проблемы зондовых измерений. Поэтому в указанных работах расчеты проведены только для конкретных экспериментальных уеловий. В [6, 7] не приводятся диагностические формулы, позволяющие определить по ВАХ зонда концентрацию заряженных частиц в плазме.

Таким образом, по состоянию на 1988 год, когда была начата работа над представленной диссертацией, не была решена теоретическая проблема зондо-вых измерений в медленных потоках плотной плазмы при числах Ree ~ 1. В диссертации обобщается многолетний опыт деятельности автора по решению этой проблемы.

Проведенные теоретические и экспериментальные исследования сначала преследовали конкретную практическую цель - создание методики определения по ВАХ зонда концентраций заряженных частиц в плазме лабораторных пламен, т.е. пламен создаваемых горелками типа Мекера [8]. Это другой известный случай, когда имеет место медленное движение плазмы при зондовых измерениях.

Лабораторные пламена представляют собой удобную среду для проведения тонких физико-химических экспериментов как, например, исследования процессов ионизации присадок различных химических элементов [9], главным образом щелочных и щелочноземельных, отличающихся малым потенциалом ионизации. Это предъявляет повышенные требования к точности определения концентрации заряженных частиц с помощью зонда и стимулирует развитие его теории. Кроме того, проверка тех или иных результатов теории зонда чаще всего происходит именно в плазме пламен. Стандартная методика заключается в сравнении концентрации ионов присадки, определенной по ВАХ зонда с поv мощью какой-либо диагностической формулы, с равновесной концентрацией, рассчитанной по уравнению Саха на основе измеренной спектральными методами концентрации свободных атомов присадки (см., например, [10]).

Хотя числа Ree при зондовых измерениях в пламени, как правило, небольшие, нельзя пренебречь движением плазмы и использовать при обработке снятых ВАХ статическую теорию зонда (Ree = 0), так как это приводит к завышению значений концентрации заряженных частиц [11], так что в [12] даже рассматривался вопрос об аномальных токах на зонд, причиной которых, как было показано, являлся неучет движения плазмы.

В [12-15] предложены для применения при зондовой диагностике пламен формулы, связывающие токи на цилиндрический и сферический зонды при больших электрических потенциалах с концентрацией заряженных частиц в набегающем плазменном потоке. Они получены на основе приближенной, нестрогой в математическом отношении теории, развитой для условия Ree » 1. Экспериментальная методика проверки представленных соотношений предусматривала быстрое движение зонда поперек пламени, что не обеспечивало локальности измерений.

В экспериментах [16-18], проводившиеся в пламени с присадками различных щелочных элементов, концентрация их ионов определялась по ионному току насыщения В АХ. Связь между ними была установлена в [19] при условии обтекания цилиндрического и сферического зондов в режиме пограничного слоя, который, как считается, реализуется при больших числах Re. Ввиду этого, были использованы зонды относительно большого размера, неподвижные в плазме: в [16] сферический зонд с R - 2.5 мм, в [17, 18] цилиндрические зонды с R = 6 и 3 мм. Для обеспечения локальности измерений конструкция цилиндрического зонда была усложнена: проводящим была лишь небольшая его часть в окрестности передней критической точки.

В диссертации предлагаются диагностические формулы, позволяющие найти концентрацию заряженных частиц в пламени по показаниям обычно применяемых зондов в виде тонкой проволочки или сферы небольшого радиуса, не движущихся в плазме. Представлены результаты экспериментальной проверки этих формул.

Теоретический анализ проблемы зонда в пламени проще, чем для плазменных струй. Плазма пламени обычно слабо ионизована, что позволяет отделить электрическую задачу определения зондовых токов от необходимой для ее решения гидродинамической задачи определения полей скорости и температуры нейтрального несущего газа. В процессе работы над диссертацией получающиеся результаты стали выходить за поставленные рамки создания методики зондовой диагностики пламен и затрагивают проблему зондовых измере ний в медленно движущейся слабо ионизованной плотной плазме в целом, в том числе в неподвижной как предельный случай.

К моменту начала диссертационной работы сложились все необходимые предпосылки для решения указанной проблемы. Хорошо известна система уравнений, описывающая работу зонда в движущейся столкновительной слабо ионизованной плазме, и необходимые для ее решения граничные условия [1]. Эта нелинейная система уравнений эллиптического типа весьма сложна даже для численного решения. Кроме того, в двумерном случае цилиндрического зонда возникает проблема существования краевой задачи

Полные ВАХ зонда удалось к настоящему времени получить лишь в редких случаях. К ним относится сферический зонд в неподвижной термически равновесной нереагирующей плазме с постоянными переносными свойствами. Его ВАХ рассчитана в [21] в широком диапазоне значений а = XrJR отношения дебаевского радиуса экранирования к радиусу зонда, которое является одним из главных параметров, определяющим вид зондовой характеристики. При малых а с использованием методов асимптотического анализа ВАХ сферического зонда найдены в классических работах [22, 23].

Условие а « 1, характеризующее так называемый случай тонкого слоя объемного заряда, наиболее часто реализуется в экспериментах с зондами. Решение зондовой системы уравнений, позволяющее найти полные ВАХ зонда, при этом весьма сложно, в особенности для плазмы, движущейся при Ree ~ 1. Основное изменение электрического поля происходит в тонком слое у поверхности зонда, в то время как концентрация заряженных частиц изменяется во всем пространстве, большая часть которого оказывается квазинейтралыюй, т.е. концентрации положительно и отрицательно заряженных частиц в этой области почти одинаковы.

Для условия тонкого слоя объемного заряда в [20, 24] развита теория токов насыщения, существенно упрощающая проблему определения концентрации заряженных частиц по ВАХ зонда. Анализ системы уравнений показал, что при а —> 0 и достаточно большом зондовом потенциале ток на зонд стремится к некоторому постоянному значению и не зависит от потенциала. Система уравнений зонда вырождается в одно уравнение для квазинейтральной концентрации заряженных частиц, решение которого достаточно для нахождения тока насыщения и получения конкретных диагностических формул. Например, с использованием асимптотического анализа они получены в [25] для зондов различной формы в плазме, движущейся при Re « 1.

Определению токов насыщения на цилиндрический и сферический зонды при различных условиях их работы в медленно движущейся слабо ионизованной плазме высокой плотности посвящена Глава I диссертации.

В §1 дополнены результаты [20, 24], касающиеся токов насыщения: получены общие выражения для токов насыщения в случае отрыва температуры электронов от температуры ионов Т+, когда т = 7У71 = const Ф 1, безотносительно к режиму обтекания зонда. Показано, что при т Ф 1 влияние конвективного движения плазмы на показания зонда характеризует диффузионное число Пекле Ре = ReSc, где Sc - амбиполярное число Шмидта. Представлены аналитические выражений для токов насыщения при двух модельных случаях обтекания цилиндрического зонда и установлен их физический смысл. Эти выражения описывают токи насыщения в приближении холодных ионов (т —> 0) для предельно малых Ре « 1 и умеренных Ре ~ 1 чисел Пекле. При Ре « 1 приведено также аналитическое выражение для тока насыщения на сферический зонд. Предложены диагностические формулы определения концентрации заряженных частиц в приближении холодных ионов.

Используя эти результаты в качестве тестовых, были рассчитаны токи насыщения на цилиндрический и сферический зонды для реальных полей скорости, найденных из численного решения уравнений Навье-Стокса. Результаты расчетов и полученные на их основе диагностические формулы, в том числе для двухтемпературной плазмы, представлены в §2.

В §3 изложена имеющая место в теории зонда Ленгмюра тепловая аналогия и на ее основе подтверждена правильность проведенных расчетов путем сравнения с имеющимися в литературе численными результатами по теплоотдаче цилиндра. Предложена диагностическая формула определения концентрации заряженных частиц в термически равновесной плазме по ионному току насыщения вплоть до числа Ree = 105 на основе являющегося аппроксимацией опытных данных единого уравнения, связывающего теплоотдачу кругового цилиндра при поперечном обтекании его воздухом.

§4 посвящен сравнению результатов вычислений плотности тока насыщения в передней критической точке цилиндрического зонда, полученных на основе решения полных уравнений Навье-Стокса и массопереноса заряженных частиц н в рамках приближения пограничного слоя. Показано, что пределы применимости теоретических результатов [19], касающиеся передней критической точки и полученные в приближении пограничного слоя, могут быть существенно расширены для цилиндрического зонда вплоть до чисел Ree~l.

В §5 учтено влияние конечности скоростей реакций ионизации атомов присадки и рекомбинации заряженных частиц на зондовые токи насыщения, что особенно важно при диагностике плазмы пламен. В результате многопар-метрических расчетов проведена коррекция диагностических формул §2 с учетом кинетики химических реакций.

При использовании токов насыщения возникает вопрос о выборе точки на реальной зондовой характеристике, в которой ток равен теоретическому току насыщения. Ответить на него можно только зная полную ВАХ зонда. Глава II посвящена построению зондовых характеристик.

В §6 асимптотические методы решения основных уравнений зонда, развитые в [22, 23] для сферы в покоящейся плазме, распространены на случай не-охлаждаемого цилиндрического зонда в движущейся при Ree « 1 плазме и найдены его полные ВАХ при условии тонкого слоя объемного заряда а « 1.

В §7 в рамках того же подхода исследовано влияние температуры цилиндрического зонда на его ВАХ для режима медленного течения.

В §8 построены ВАХ стеночных неохлаждаемых зондов, установленных в передней критической точке сферы или кругового цилиндра, обтекаемых в режиме пограничного слоя при Re » 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанных численных, аналитических и экспериментальных исследований работы электрического зонда в столкновительной слабоио-низованной плазме можно сделать следующие выводы.

1. Получены диагностические формулы, связывающие ионный ток насыщения на цилиндрический и сферический зонды Ленгмюра с концентрацией заряженных частиц в медленно движущемся при числе Re ~ 1 потоке.

2. Построены вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в медленно движущейся при Re « 1 плазме и характеристики стеночных зондов в передней критической точке сферы и цилиндра, обтекаемых в режиме пограничного слоя при Re » 1.

3. Проведено экспериментальное подтверждение предложенных диагностических формул в ацетиленовоздушном пламени с присадками различных щелочных элементов (лития, натрия, калия, рубидия) и щелочноземельного элемента - бария.

4. Найдены аналитическое решение для эволюции зондового тока в переходном режиме и аналитические выражения для импеданса сферического зонда с синусоидально модулированным потенциалом в неподвижной плазме.

5. В рамках модели тяжелых многозарядных ионов рассмотрена зондовая диагностика пылевой плазмы. Получены выражения для токов насыщения положительных ионов, электронов и пылевых частиц на сферический зонд в неподвижной плазме и стеночный зонд, установленный в критической точке сферы, обтекаемой в режиме пограничного слоя.

6. Обнаружено математическое приложение теории электрического зонда к теории второго уравнения Пенлеве. Проведено численное интегрирование второго уравнения Пенлеве в условиях полного и неполного поглощения заряженных частиц. Представлены разнообразные численные решения и предложена их классификация.

1. Чан П., Тэлбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. М.: Мир, 1978. 202 с.

2. Cherrington В.Е. The use of electrostatic probes for plasma diagnostics -a review // Plasma Chem. Plasma Process. 1982. V. 2. No. 2. P. 113-140.

3. Алексеев Б.В., Котельников B.A. Зондовый метод диагностики плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1988. 240 с.

4. Smy P.R. The use of Langmuir probes in the study of high pressure plasmas // Adv. Phys. 1976. V. 25. No. 5. P. 517-553.

5. Ъ.Беттов M.C. Теория электрических зондов в потоках слабоионизо-ванной плазмы высокого давления // ТВТ. 1988. Т. 26. №5. С. 993-1004.

6. Kanzcrwa A., Nonouchi S. Distribution of current density and heat flux around a cylindrical probe under atmospheric pressure // Int. Chem. Eng. 1976. V. 16. No. l.P. 184-189.

7. Negishi N., Kimura I. Probe measurement in a high-density ionized gas // Bull. JSME. 1980. V. 23. No. 181. P. 1171-1179.

8. Гейдоп А.Г., Волъфгард Х.Г. Пламя. Его структура, излучение и температура. М.: Металлургиздат, 1959. 333 с.

9. Лаутон Д., Вайнберг Ф. Электрические аспекты горения. М.: Энергия, 1976. 296 с.

10. Carabetta R., Porter R.P. Absolute positive-ion concentration measurements in flames with Langmuir probes // 12th Symp. (Intern.) on Combustion. Pittsburgh: Combust. Inst., 1965. P. 423-435.

11. Clements R.M., MacLatchy C.S., Smy P.R Verification of static probe theory in a moving high-pressure plasma// J. Appl. Phys. 1972. V. 43. No. 1. P. 31-37.

12. Clements R.M., Smy P.R. Anomalous currents to a spherical electrostatic probe in a flame plasma//Br. J. Appl. Phys. 1969. V. 2. No. 11. P. 1731-1737.

13. Clements R.M., Smy P.R. Electrostatic probe studies in a flame plasma // J. Appl. Phys. 1969. V. 40. No. 11. P. 4553-4558.

14. Clements R.M., Smy P.R. Ion current to a spherical probe in a flowing high-pressure plasma under thin sheath conditions // Proc. IEEE. 1970. V. 117. P. 1721-1724.

15. Clements R.M., Smy P.R. Ion current from a collision dominated flowing plasma to a cylindrical electrode surrounded by a thin sheath // J. Appl. Phys. 1970. V.41.No. 9. P. 3745-3749.

16. Васильева И.А., Косое В.Ф. Особенности использования ионных частей зондовых характеристик в потоках продуктов сгорания с легкоионизирую-щейся щелочной присадкой //ТВТ. 1981. Т. 19. №5. С. 1022-1030.

17. Бенилов М.С., Косое В.Ф., Рогов Б.В., Синелыциков В.А. Токи насыщения на электрические зонды в потоках химичски реагирующей плазмы с разными сортами ионов //ТВТ. 1987. Т. 25. №3. С. 573-581.

18. Косое В.Ф., Молотков В.К, Нефедов А.П. Измерения концентраций заряженных частиц в плазме продуктов сгорания методами электрического зондирования // ТВТ. 1991. Т. 29. №4. С. 633-640.

19. Бенилов М.С., Рогов Б.В., Тирский Г.А. Теоретическое определение ионного тока насыщения на электрические зонды в дозвуковых потоках плазмы //ТВТ. 1981. Т. 19. №5. С. 1031-1039.

20. Lam S.H. A general theory for the flow of weakly ionized gases // AIAA J. 1964. V. 2. No. 2. P. 256-262.ll.Baum E., Chapkis R.L. Theory of a spherical electrostatic probe in a continuum gas: an exact solution // AIAA J. 1970. V. 8. No. 6. P. 1073-1077.

21. Cohen I.M. Asymptotic theory of spherical electrostatic probes in a slightly ionized, collision-dominated gas // Phys. Fluids. 1963. V. 6. No. 10. P. 14921499.

22. Su C.H., Lam S.H. Continuum theory of spherical electrostatic probes // Phys. Fluids. 1963. V. 6. No. 10. P. 1479-1491.

23. Бенилов M.C., Тирский Г.А. О токах насыщения в плотной плазме // ПМТФ. 1979. №6. С. 16-24.

24. Бенилов М.С., Рогов Б.В., Тирский Г.А. Об ионном токе насыщения на электрический зонд в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1982. №3. С. 513.

25. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Фомина Е.М., Цхай Н.С. Об измерении концентрации заряженных частиц цилиндрическим зондом Ленгмюра в плазме пламени // ТВТ. 1988. Т. 26. №3. С. 577-581.

26. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Цхай Н.С. Ионный ток насыщения на электрические зонды в потоках плазмы при малых числах Рейнольдса // ПМТФ. 1990. №1. С. 159-163.

27. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Цхай Н.С. Об ионном токе насыщения на электрические зонды в плазме пламени со щелочной присадкой // ТВТ. 1992. Т. 30. №3. С. 448-456.

28. Кашеваров А.В. О зондовых измерениях в плазме пламени // ТВТ. 1992. Т. 30. №6. С. 1220-1223.

29. Егорова З.М., Кашеваров А.В. О вольт-амперной характеристике цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1993. №2. С. 3-10.

30. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Цхай Н.С. Определение концентраций заряженных частиц в плазме пламени с присадкой бария // ТВТ. 1993. Т. 31. №2. С. 190-193.

31. Кашеваров А.В. О влиянии кинетики рекомбинации на ток насыщения зонда Ленгмюра в плазме пламени с присадкой // ТВТ. 1994. Т. 32. №1. С. 12-15.

32. Кашеваров А.В. Вольт-амперная характеристика цилиндрического зонда Ленгмюра в медленно движущейся плазме при больших потенциалах зонда//ТВТ. 1994. Т. 32. №2. С. 173-176.

33. Егорова З.М., Кашеваров А.В. Охлаждаемый цилиндрический зонд Ленгмюра в медленно движущейся плазме // ПМТФ. 1994. Т. 35. №4. С. 3-12.

34. Кашеваров А.В. О плотности тока насыщения в критической точке электрического зонда// ТВТ. 1995. Т. 33. №1. С. 140-144.

35. Кашеваров А.В. Тепловая аналогия в теории зонда Ленгмюра // ИФЖ. 1995. Т. 68. №4. С. 629-632.

36. Кашеваров А.В. Характеристика охлаждаемого цилиндрического зонда в медленно движущейся плазме при больших потенциалах // ТВТ. 1996. Т. 34. №4. С. 519-524.

37. Кашеваров А.В. Применение электрических зондов для диагностики плазмы пламен с присадками // ТВТ. 1998. Т. З6.№5. С. 700-705.

38. Кашеваров А.В. О диагностике двухтемпературной столкновительной плазмы электрическими зондами //ТВТ. 1999. Т. 37. №1. С. 150-152.

39. Кашеваров А.В. Задача нестационарной теории электрического зонда в столкновительной плазме. Аналитическое решение // ТВТ. 2000. Т. 38. №1. С. 147-149.

40. Кашеваров А.В. Характеристика зонда в движущейся столкновительной плазме для точки торможения потока // ТВТ. 2001. Т. 39. №3. С. 381-386.

41. Кашеваров А.В. Сферический зонд с переменным потенциалом в неподвижной столкновительной плазме //ЖТФ. 2001. Т. 71. №9. С. 21-25.

42. Кашеваров А.В. О зондовой диагностике пылевой плазмы // ТВТ. 2002. Т. 40. №5. С. 702-705.

43. Кашеваров А.В. Исследование разрешимости задачи о цилиндрическом зонде в неподвижной столкновительной плазме с химическими реакциями // Ученые записки ЦАГИ. 2003. Т. 34. №3-4. С. 59-64.

44. Кашеваров А.В. Плотности токов насыщения в критической точке сферического зонда в движущейся столкновительной плазме с отрицательными ионами или пылевыми частицами //ЖТФ. 2005. Т. 75. №4. С. 37-41.

45. Кашеваров А.В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Некоторые численные решения // ЖВММФ. 1998. Т. 38. №6. С. 9921000.

46. Кашеваров А.В. Второе уравнение Пенлеве в теории электрического зонда. Численные решения в случае неполного поглощения заряженных частиц поверхностью // ЖТФ. 2004. Т. 74. №1. С. 3-9.

47. Кашеваров А.В. Обтекание сферы и кругового цилиндра в приближе-, нии Озеена//Ученые записки ЦАГИ. 2000. Т. 31. №1-2. С. 132-141.

48. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матьё. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953. 476 с.

49. Кашеваров А.В. Точное решение задачи конвективного теплообмена для кругового цилиндра в жидкости с малым числом Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 1994. №1. С. 43-48.

50. Кашеваров А.В. Точное решение задачи конвективного теплообмена для эллиптического цилиндра и пластины в жидкости с малым числом Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 1996. №3. С. 26-31.

51. Кашеваров А.В. О решении задачи конвективного теплообмена при плоском обтекании тела жидкостью с малым числом Прандтля // Изв. РАН. МЖГ. 1997. №6. С. 180-183.

52. Кашеваров А.В. Теплоотдача при обтекании препятствий плоским потенциальным потоком // ТВТ. 2000. Т. 38. №5. С. 115-119.

53. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

54. Ершов А.П., Тимофеев И.Б., Чувашев С.Н., Быцкевич С.П. Эволюция структуры и параметров плазменной струи при импульсной инжекции в атмосферу // ТВТ. 1990. Т. 28. №3. С. 583-589.

55. Вап-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.310 с.

56. Hamielec А.Е., Raal J.D. Numerical studies of viscous flow around circular cylinders // Phys. Fluids. 1969. V. 12. №1. P. 11-17.

57. Корявое П.П., Павловский Ю.Н. Численное решение задачи о движении кругового цилиндра в потоке вязкой жидкости // Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971. С. 247-261.

58. Dermis S.C.R., Hudson J.D., Smith N. Steady laminar forced convection from a circular cylinder at low Reynolds numbers // Phys. Fluids. 1968. V. 11. No. 5. P. 933-940.

59. Ершов А.П., Калинин A.B., Сурконт O.C., Тимофеев И.Б., Шибкое

60. B.М., Черников B.A. Поперечные электрические разряды в сверхзвуковых потоках воздуха. Макроскопические характеристики разряда // ТВТ. 2004. Т. 42. №6.1. C. 856-864.

61. Benilov M.S., Rogov B.V. Ion saturation currents to spherical and cylindrical electrostatic probes in collisional plasmas // J. Appl. Phys. 1991. V. 70. No. 11. P. 6726-6731.

62. Ротер В., Бергман Ф. Измерение ионного тока насыщения с помощью цилиндрических зондов в сильноточной аргоновой дуге при атмосферном давлении // Физика и техника низкотемпературной плазмы. Минск: ИТМО им. А.В.Лыкова, 1977. С. 62-71.

63. Apelt C.J., Leadwich М.А. Heat transfer in transient and unsteady flows past a heated circular cylinder in the range 1 < Re < 40 // J. Fluid Mech. 1979. V. 95. No. 4. P. 761-777.

64. Jain P.C., Goel B.S. A numerical study of unsteady laminar forced convection from a circular cylinder // Trans. ASME, J. Heat Transf. 1976. No. 2. P. 303307.

65. ChenXi. Ion saturation current density and specific heat flux on a cylindrical probe immersed in a dense plasma flow// J. Phys. D: Appl. Phys. 1982. V. 15. No. 9. P. 1695-1708.

66. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

67. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача. М.: Высшая школа, 1988. 479 с.

68. Carrier G.F., Fendell F.E. Electrostatic probe in a reacting gas // Phys. Fluids. 1970. V. 13. No. 12. P. 2966-2982.

69. Sajben M. Boundary conditions for adsorbing-emitting electrodes in contact with seeded, dense plasmas // AIAA J. 1970. V. 8. No. 3. P. 400-406.

70. Taylor J.B., Langmidr I. The evaporation of atoms, ions and electrons from caesium films on tungsten // Phys. Rev. 1933. V. 44. No. 6. P. 427-458.

71. Синкевич О. А. Исследования по физике и технике низкотемпературной плазмы (по материалам журнала «Теплофизика высоких температур» за 1992-1997 гг.) //ТВТ. 1998. Т. 36. №4. С. 660-673.

72. Su С.Н., Kiel R.E. Continuum theory of electrostatic probes // J. Appl. Phys. 1966. V. 37, No 13. P. 4907-4910.

73. Бенилов M.C., Гринэ B.M., Лаш А.А., Рогов Б.В., Юндев Д.Н. Снижение концентрации электронов в плазме продуктов сгорания вследствие образования отрицательных ионов // ТВТ. 1990. Т. 28. №3. С. 620-622.

74. Wortberg G. Die zylindrische Langmuir-Sonde im langsam stromenden Plasma hoher Dichte. Dissertation. Aachen, 1966. 57 S.

75. Голубев B.B. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1950. 436 с.

76. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 368 с.

77. Chapkis R.L., Вант Е. Theory of a cooled spherical electrostatic probe in a continuum gas//AIAA J. 1971. V. 9. No. 10. P. 1963-1968.

78. Лойцяпский Л.Г. Аэродинамика пограничного слоя. Л., М.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1941. 412 с.

79. S3. Львов Б.В. Атомно-абсорбционный спектральный анализ. М.: Наука, 1966. 392 с.

80. Егорова З.М., Кашеваров А.В., Фомина Е.М., Цхай Н.С. Определение концентрации атомов щелочных металлов в углеводородном пламени // ЖПС. 1988. Т. 48. №6. С. 1023. Деп. в ВИНИТИ, per. №1433-В88.

81. Толанский С. Спектроскопия высокой разрешающей силы. М.: ИЛ, 1955.436 с.

82. УнзольдА. Физика звездных атмосфер. М.: ИЛ, 1949. 630 с.

83. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М: ФМ, 1963.640 с.

84. Boss С.В., Hieftje G.M. A new accurate method for the measurements of rise velocities in laminar flames // Appl. Spectroscopy. 1978. V. 32. No. 4. P. 377380.

85. Mallard W.G., Smyth K.S. Mobility measurements of atomic ions in flames using laser-enhanced ionization // Combust. Flame. 1982. V. 44. No. 1. P. 61-70.

86. Зандберг Э.Я., Ионов Н.И. Поверхностная ионизация. М.: Наука, 1969. 432 с.

87. Ashton A.F., Hay hurst A.N. Kinetic of collision ionization of alkali metal atoms and recombination of electrons with alkali metal ions in flames // Combust. Flame. 1973. V. 21. No. 1. P. 69-75.

88. Бенилов M.C. Электрические зонды в режиме сплошной среды // Низкотемпературная плазма. 9. Диагностика низкотемпературной плазмы. Новосибирск: Наука, 1994, с. 214-247.

89. Fialkov А.В. Investigations on ions in flames // Progr. Energy Combust. Sci. 1997. V. 23. No. 5-6. P. 399-528.

90. Jensen D.E. Production of electrons from alkaline earths in flames: equilibrium and kinetic considerations // Combust. Flame. 1968. V. 12. No. 3. P. 261— 268.

91. Jensen D.E., Jones G.A. Reaction rate coefficient for flame calculations// Combust. Flame. 1978. V. 32. No. 1. P. 1-34.

92. Финкельнбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая плазма. М.: ИЛ, 1961.369 с.

93. Ванин А.А., Каспаров М.Г., Мохов А.В., Нефедов А.П. Профили концентраций гидроксила в пограничном слое продуктов сгорания // ТВТ. 1991. Т. 29. №6. С. 1148-1156.

94. Moore G.E., Allison H.W. Adsorption of strontium and of barium on tungsten//J. Chem. Phys. 1955. V. 23. No. 9. P. 1609-1621.

95. Паттерсон Г.Н. Молекулярное течение газов. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. 272 с.

96. Ашин М.И., Васильева И.А., Косое В.Ф., Нефедов А.П. Определение температуры и концентрации электронов зондом в потоке плазмы при атмосферном давлении // Физика плазмы. 1975. Т. 1. №3. С. 483-487.

97. Benilov M.S. Can the temperature of electrons in a high-pressure plasma be determined by means of an electrostatic probe? // J. Phys. D: Appl. Phys. 2000. V. 33. No. 9. P. 1683-1696.

98. Власов П.А., Карасевич Ю.К., Панкратьева И.Л., Полянский В.А. Зондовый метод диагностики низкотемпературной плазмы с отрицательными ионами // ТВТ. 1988. Т. 26. №6. С. 1047-1056.

99. Cohen I.M., Schweitzer S. First-order effects of production on the continuum theory of spherical electrostatic probes // AIAA J. 1968. V. 6. No. 2. P. 298304.

100. Cohen I.M. Transient current overshoot to electrostatic probes in continuum, slightly ionized plasmas //Phys. Fluids. 1973. V. 16. No. 5. P. 700-701.

101. Алексеев Б.В., Котельников B.A. Нестационарный зонд в режиме сплошной среды// ТВТ. 1981. Т. 19. №6. С. 1272-1276.

102. Chang J.S., Laframboise J.G. Probe theory for arbitrary shape in a large Debye length, stationary plasma // Phys. Fluids. 1976. V. 19. No. 1. P. 25-31.

103. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

104. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

105. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

106. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.

107. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.344 с.

108. Бакшт Ф.Г. Низкочастотный импеданс зонда в плотной плазме // ЖТФ. 1978. Т. 48. №10. С. 2019-2026.

109. Прозоров Е.Ф., Ульянов КН. Импеданс плоского зонда в неизотермической локально-столкновительной плазме // ТВТ. 1983. Т. 21. №3. С. 538543.

110. Прозоров Е.Ф., Ульянов КН. Импеданс цилиндрического зонда в неизотермической локально-столкновительной плазме. II // ТВТ. 1983. Т. 21. №6. С.1179-1185.

111. Справочник по специальным функциям/ Под ред.: Абрамовица М. и Стегун И.М. М.: Наука, 1979. 832 с.

112. Таблицы интегральной показательной функции в комплексной области/ Библ. матем. табл. под ред. Карпова К.А., вып. 31. М.: ВЦ АН СССР, 1965.636 с.

113. Rothman M. Tables of the integrals and differential coefficients of Gi(+x) and Hi(-x) // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1954. V. 7. No. 3. P. 379-384.

114. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.528 с.

115. Бенилов М.С., Тирский Г.А. Об одном точном решении задачи о проводящей сфере в покоящейся слабоионизизованной плазме // ДАН СССР. 1978. Т. 240. №6. С. 1324-1327.

116. Woodward P.M., Woodward A.M. Four-figure tables of the Airy functions in the complex plane // Phil. Mag. 1946. V. 37. Ser. 7. No. 267. P. 236-261.

117. Цытович B.H. Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака // УФН. 1997. Т. 167. №1. С. 57-99.

118. Нефедов А.П., Петров О.Ф., Фортов В.Е. Кристаллические структуры в плазме с сильным взаимодействием макрочастиц // УФН. 1997. Т. 167. №11. С. 1215-1226.

119. Игнатов A.M. Квазигравитация в пылевой плазме // УФН. 2001. Т. 171. №2. С. 213-217.

120. Клшюнтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608 с.

121. Touryan K.J., Chung P.M. Flush-mounted electrostatic probe in the presence of negative ions // AIAA J. 1971. V. 9. No. 3. P. 365-370.

122. Bailey P.В., Touryan K.J. Continuum electrostatic probes in the presence of negative ions//AIAA J. 1973. V. 11. No. 9. P. 1225-1226.

123. Громак В.И. О транцендентности уравнений Пенлеве // Диф. уравнения. 1996. Т. 32. №2. С. 154-160.

124. Громак В.И. О решениях второго уравнения Пенлеве // Диф. уравнения. 1982. Т. 18. №5. С. 753-763.

125. Flaschka Н., Newell А.С. Monodromy- and spectrum-preserving deformations I // Commun. Math. Phys. 1980. V. 76. No. 1. P. 65-116.

126. Капаев А.А., Новокшенов В.Ю. Двухпараметрическое семейство вещественных решений второго уравнения Пенлеве // ДАН СССР. 1986. Т. 290. №3. С. 590-594. ' ; ^

127. Ъ2.Итс А.Р., Капаев А.А. Метод изомонодромных деформаций и формулы связи для второго трансцендента Пенлеве // Изв. АН СССР, сер. Мате-матческая. 1987. Т. 51. №4. С. 878-892.

128. Капаев АЛ. Асимптотические формулы для функций Пенлеве второго рода // Теор. и матем. физ. 1988. Т. 77. №3. С. 323-332.

129. БлюЭ., Инголъд Д., Озеров В. Диффузия электронов и ионов в нейтральном газе // Термоэмиссионное преобразование энергии. М.: Атомиздат, 1965. Т. 2. С. 65-72.

130. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.

131. McCoy В.М., Tang Sh. Connection formulae for Painleve V functions // Physica D. 1986. V. 19. No. 1. P. 42-72.

132. Ъ1.Бордаг JI.А., Капаев A.A., Китаев А.В. Асимптотическое описание вещественных решений второго уравнения Пенлеве при v = ±1/2. Сообщ. ОИЯИ, Р5-86-679, Дубна: ОИЯИ, 1986.14 с.

133. Its A.R., Novokshonov V.Yu. The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equation// Lecture notes in math. V. 1191, Berlin etc.: Springer, 1986.317 р.

134. Rosales R.R. The similarity solution for the Korteweg-de Vries equation and the related Painleve transcendent// Proc. Roy. Soc. London. 1978. V. A361. No. 1706. P. 265-275, : :

135. Miles J. W. On the second Painleve transcendent // Ibid. P. 277-281.

136. Taccogna F., Longo S., Capitelli M. A particle-in-cell/Monte Carlo model of the Ar+ ion collection in He gas by a cylindrical Langmuir probe in the transition regime // Europ. Phys. J., Appl. Phys. 2003. V. 22. No. 1. P. 29-39.