Электродинамические свойства металлодиэлектрических и фотонно-кристаллических структур

Стефюк, Юлия Валентиновна

Электродинамические свойства металлодиэлектрических и фотонно-кристаллических структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Стефюк, Юлия Валентиновна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Электродинамические свойства металлодиэлектрических и фотонно-кристаллических структур»

Автореферат диссертации на тему "Электродинамические свойства металлодиэлектрических и фотонно-кристаллических структур"

На правах рукописи

СТЕФЮК Юлия Валентиновна

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ФОТОННО-КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР: МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- О НОЯ 2012

Саратов-2012

005054662

Работа выполнена кафедре радиотехники и электродинамики ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Давидович Михаил Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

доцент

Комаров Вячеслав Вячеславович

доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ,

лауреат Государственной премии РФ,

Мещанов Валерий Петрович

Ведущая организация: ЗАО "Научно-производственный центр

"Алмаз-Фазотрон", г. Саратов

Защита состоится 09 ноября 2012 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 при ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского" по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, корп. 3, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан О£. №. 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.243.01

доктор физико-математических наук, профессор

В.М. Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Диссертационная работа посвящена исследованию актуальных вопросов современной радиофизики и прикладной электродинамики. В ней теоретически исследованы важные аспекты физики диэлектрических структур: диэлектрических волноводов (ДВ), диэлектрических резонаторов (ДР), включая структуры с линейными и нелинейными полупроводниковыми слоями, а также и свойства фотонных кристаллов (ФК), фотонно-кристаллических волноводов (ФКВ) и ФК структур (ФКС). ФК (или электромагнитные кристаллы) - периодические и квазипериодические структуры с диэлектрическими, магнитными, металлическими, полостными и полупроводниковыми включениями в основу - являются объектами передового направления исследований. Они составляют наиболее обширно используемый класс искусственных сред -метаматериалов, применяемых от микроволнового до оптического диапазонов. Достоинство метаматериалов в том, что их синтез и создание имеет цель получения веществ и устройств на их основе с новыми требуемыми электрофизическими и электродинамическими свойствами. Это выводит моделирование таких свойств на первое место по сравнению со сложным и дорогим экспериментом. Большинство работ и математических моделей для ФК использует различные приближенные методы теоретического исследования (квазистатические, оптические и т.п.), а также коммерческие пакеты программ, поэтому большое значение имеет развитие строгих электродинамических подходов к их анализу. Актуальным является синтез электрофизических (электродинамических) свойств метаматериалов, в частности, ФК, заключающийся в проведении гомогенизации. Она является обратной задачей, решение которой требует построения моделей для прямой задачи - получения полей для большого разнообразия микроструктурированных или наноструктурированных ФК. В работе в качестве инструмента исследования использован метод интегральных уравнений (ИУ) и метод интегродифференциальных уравнений (ИДУ) с итерационными методами их решения. Важным является исследование свойств ФК и ФКВ при наличии потерь, нелинейности, учете материальной дисперсии реальных включений (металлов, полупроводников и т.п.), для квазипериодических структур. Для всех задач ИУ и ИДУ являются весьма общими и удобными подходами к моделированию.

Различного рода диэлектрические, магнитодиэлектрические, полупроводниковые и металлодиэлектрические структуры активно используются в широком частотном диапазоне. Их применение и теоретические исследование началось еще с 40-х годов прошлого века. ДВ и ДР начали широко исследоваться еще с 60-х годов. Большой вклад здесь был сделан рядом отечественных и зарубежных ученых (JI.A. Вайнштейн, В.Ф. Взятышев, Б.З. Каценеленбаум, М.Е. Ильченко, А.Г. Свешников, A.C. Ильинский, В.В. Шевченко, H.A. Хижняк, В.Н. Дмитриев, Е.В. Захаров, E.H. Васильев, Г.И. Веселов С.Б. Раевский, Д.А. Усанов, В.А. Неганов, Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский, A.M. Jlepep, В.Н. Мелехин, А.Б. Маненков,

B.Е. Любченко, А.Б. Самохин, Ф.Г. Басс, Ю. Швингер, Л. Левин, М. Адаме, Д. Маркузе, Дж. Мидвинтер и др.). Рядом научных школ для их моделирования были разработаны методы ИУ. Тем не менее, ряд вопросов здесь до конца не исследован. К ним, в частности, относятся: радиационные потери в ДР и ДВ; ДР и ДВ с неоднородными, анизотропными, бианизотропными средами; учет диссипации и материальной дисперсии в средах, включая и металлические структуры; влияние нелинейных свойств сред; вытекающие волны ДВ ниже отсечки, вытекающие волны ДВ при наличии потерь, активных или нелинейных слоев, ДВ со сложной структурой поперечного сечения. Развиваемые в работе подходы пригодны для исследования перечисленных вопросов, а ряд таких задач является объектом исследования в диссертации.

C.А. Третьяков, И.С. Нефедов, A.M. Желтиков, С.А. Никитов, Е.А. Виноградов и др.). Здесь актуальной является гомогенизация - задача определения эффективных материальных параметров метаматериалов электродинамическими методами.

Итерационные методы решения операторных уравнений являются мощным инструментом в численных методах и весьма разработаны. В диссертации они используются и развиваются для ИУ и ИДУ, т.е. для интегродифференциальных операторов электродинамики, включая и нелинейный случай.

Первой задачей, решаемой в диссертации, является выбор и развитие метода ИУ и ИДУ для исследуемых задач, в том числе для ФК, ФКВ, ДР и ДВ, а также развитие итерационных методов их исследования. ИУ для численного исследования ДР и ФК используются сравнительно редко, что определяется достаточной трудоемкостью построения алгоритмов при сложной конфигурации. В основном используются либо коммерческие пакеты на основе методов сеток и методов конечных элементов, либо указанные методы развиваются для конкретных структур. ИУ позволяют рассчитывать структуры весьма точно и быстро, при этом основное их преимущество - корректный учет условия излучения - проявляемся для открытых структур. Для диэлектрических ФК используют метод плоских волн, а развитие быстрых и точных алгоритмов является актуальной задачей.

ИУ методом возмущений (Л.Б. Гольдберг), ПДР - чаще всего приближенно или без учета радиационного излучения (A.W. Glisson, D. Kajfez, S.J. James, P. Guillon, Y. Garault, R.K. Mongia, S.Y. Ke, Y.T. Cheng). Моды ДВ исследованы выше частот отсечек. Было их исследование при приближении к частоте отсечки сверху (А.Г. Рожнев, А.Б. Маненков). Примененный в диссертации итерационный метод решения дисперсионного уравнения (ДУ) позволил получить дисперсию во всем частотном диапазоне.

Третьей решаемой в работе задачей является исследование ФКВ, включая получение потерь для вытекающих мод, на основе нового полученного в работе ИУ. Следует заметить, что ФК и ФКВ анализировались в основном с использованием медленно сходящегося метода плоских волн и приближенно: методами изочастот и сверхрешетки.

Четвертой решаемой в диссертации задачей является гомогенизация и исследование электрофизических (электродинамических) свойств ФК. Развиваются три метода гомогенизации: на основе усреднения полей с решением ИУ и вычислением дипольных моментов ячейки периодичности; на основе усреднения дисперсионных зависимостей по углам распространения волн при решении задач дифракции падения плоской волны на конечную пластину ФК или полубесконечную ФК структуру (при различных углах падения, т.е. путем усреднения по ним). В последнем случае ФК имеет квазипериодическую структуру, поэтому указанный подход является более строгим при использовании полученных гомогенных параметров в задачах дифракции. Частотный диапазон здесь в принципе не ограничен, как и частотный диапазон при гомогенизации на основе строгих дисперсионных зависимостей, тогда как введение усредненных по ячейке дипольных моментов и усредненных полей предполагает, что использованные длины волн много больших максимального периода ячейки. К этой же задаче примыкает исследование свойств квазипериодических структур, включая и структуры с потерями и нелинейностями. Численные результаты в диссертации получены для одноосных металлических и диэлектрических ФК, а гомогенизация проведена на основе вычисления замедления п с использованием соотношения е=(к0,к)=п2 =к2/£0, при этом в полосе запирания (bandgap) волновой вектор к мнимый.

Цели работы:

1. Теоретическое исследование свойств (излучаемых мод) ДР цилиндрической и прямоугольной конфигураций и разработка методов итерационного решения соответствующих ИУ и ИДУ.

2. Теоретическое исследование собственных и квазисобственных (комплексных) мод планарных ДВ и ДВ с прямоугольной конфигурацией, включая вытекание ниже частот отсечки, а также разработка методов итерационного решения соответствующих ИУ и ИДУ.

3. Теоретическое исследование волн в ДВ с нелинейными и полупроводниковыми слоями итерационными методами с целью управления их свойствами.

4. Исследование волн и определение их затухания в фотонно-кристаллическом волноводе методом интегрального уравнения.

5. Гомогенизация и исследование свойств металлических фотонных кристаллов с различной конфигурацией и построение моделей для диэлектрических фотонных кристаллов.

Методы исследования. Методами исследования в работе являются построение математических моделей и математическое моделирования на основе интегральных и интегродифференциальных уравнений электродинамики с итерационными алгоритмами их решения.

Научная новизна работы:

1. Для краевых задач электродинамики предложена новая модификация метода минимальных невязок с замораживанием на предыдущем шаге, заключающаяся в том, что линеаризация нелинейного операторного уравнения или функционала осуществлена с использованием значения нелинейного члена в невязке на предыдущем шаге итерации.

2. На основе интегрирования методом рядов предложено новое решение задачи дифракции и туннелирования плоской электромагнитной волны через слой с сильно нелинейными свойствами, включая случаи наличия отрицательной действительной части диэлектрической проницаемости (ДП), насыщения и потерь, демонстрирующее возможность ограничения мощности волны.

3. Впервые итерационным алгоритмом на основе метода ИУ решены задачи для излучаемых мод ЦДР и ПДР, причем последняя структура строго исследована впервые. Предложена новая классификация мод ЦДР и ПДР, основанная на симметрии и введении комплексных индексов.

4. Впервые итерационным алгоритмом с использованием аналитического ДУ и метода ИУ исследованы вытекающие (квазисобственные) моды ДВ и металлодиэлектрических волноводов ниже частот отсечки. Впервые строго в электродинамическом подходе произведено исследование волн ДВ с нелинейными слоями, включая низкочастотную область.

5. Впервые исследованы вытекающие моды и потери в ФКВ на основе предложенного нового ИУ для соответствующей квазипериодической структуры.

6. Впервые исследованы одномерные квазипериодические активные и диссипативные ФК на основе метода матриц передачи и одномерного ИУ.

7. Предложены новые методы гомогенизации ФК на основе решения обратной задачи методом наименьших квадратов для дисперсии волн в кристалле и в гомогенной модельной среде, а также на основе определения замедления по дисперсии и через эффективные материальные параметры гомогенной среды.

8. Впервые получены электрофизические параметры — тензоры эффективной диэлектрической проницаемости ряда штыревых проволочных конфигураций металлических ФК строгим электродинамическим методом.

Научно-практическая значимость работы. Результаты, полученные в настоящей работе, представляют существенный практический интерес

для проектирования и расчета устройств на основе ДР, ДВ, ФК, включая управляемые структуры с диссипативными, активными и нелинейными свойствами, а также при создании метаматериалов с заданными свойствами. Они, в частности, могут быть использованы при анализе распространения и туннелирования импульсов в фильтрующих конечных ФК структурах и ДВ, в отрезках волноводов с нелинейными свойствами, при решении задач о возбуждении отрытых структур (ДВ, ДР и ФКВ), фотонно-кристаллических резонаторов.

Отдельный практический интерес представляют следующие результаты:

1. Разработанная в работе модификация метода минимальных невязок с замораживанием на предыдущем шаге позволяет анализировать методом ИУ сильно нелинейные структуры при хорошей сходимости.

2. Разработанные методы решения задач дифракции и туннелирования электромагнитных волн на основе решения нелинейного волнового уравнения прямыми методами высокого порядка при итерационном подходе к минимизации невязок дают возможность исследовать сильно нелинейные структуры при высокой сходимости алгоритма.

3. Проведенное исследование спектра комплексных излучаемых волн вДР и комплексных мод ДВ позволяет решать задачи о возбуждении открытых структур на основе ДР и ДВ, а также о распространении импульсов через конечные и бесконечные структуры ДВ, в металлодиэлектрических волноводах и в ФКВ.

4. Развитые в работе подходы к гомогенизации ФК и методы их анализа дают возможность моделировать структуры с заданными электрофизическими (электродинамическими) свойствами.

Достоверность результатов. Достоверность результатов работы основана на использовании строгих электродинамических моделей анализа, основанных на уравнениях Максвелла, и сходящихся алгоритмов их решения. Достоверность части численных результатов подтверждена их совпадением и сравнением с аналогичными как теоретическими, так и экспериментальными результатами других авторов.

Защищаемые положения и результаты (положения и результаты, выносимые на защиту):

1. Модификация метода минимальных невязок с замораживанием на предыдущем шаге в сочетании с начальным применением метода спуска приводит к увеличению скорости сходимости решения нелинейных операторных уравнений и к уменьшению числа итераций.

2. При туннелировании плоской электромагнитной волны через диссипативный слой с нелинейными свойствами диэлектрической проницаемости, определяемыми насыщением ее отрицательной реальной части имеет место эффект ограничения мощности прошедшей волны.

с их использованием частоты должны быть комплексными, а вдоль осей координат в объеме резонаторов не укладываются целые числа полуволновых вариаций полей.

4. Моды открытых ДВ без потерь, моды ФКВ и волноводов типа канал в диэлектрике с многослойной и импедансной оболочками демонстрируют следующие особенности: выше частоты осечки волна медленная при импедансе канала меньше импеданса оболочки (среды) и быстрая в противном случае; при переходе частоты через отсечку и дальнейшем ее уменьшении замедление сначала резко уменьшается, а затем начинает возрастать, волна становится медленной с близким к 90° углом вытекания и растущими обратно пропорционально частоте потерями; быстрые моды волноводов типа полый канал в диэлектрике и полых ФКВ с уменьшением частоты переходят в медленные волны, практически полностью вытекающие в оболочку.

5. Результаты решения дисперсионного уравнения для вытекающих волн ФКВ на основе интегрального уравнения, демонстрирующие резонансный характеру затухания основной моды с чередованием минимумов и максимумов и уменьшение средних потерь с ростом частоты.

6. Гомогенизация на основе определения дисперсии для одноосных идеально проводящих проволочных штыревых металлических ФК дает положительные компоненты тензора диэлектрической проницаемости в зоне пропускания, которые для ряда компонент становятся отрицательными в зоне непропускания, причем при переходе через эту зону волна из медленной превращается в быструю, а затем опять становится медленной.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих международных школах, конференциях и семинарах: 10-я, 11-я, 12-я и 13-я международные школы-конференции по оптике, лазерной физике и биофизике "Saratov Fall Metting", Саратов, 2007-2010; Международная конференция "Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2009", Дивноморск, 2009; 13-я международная конференция "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory", 2010, Киев (Украина), 12-я международная конференция "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory", Одесса (Украина), 2008; Международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2008", 2008, Саратов; Международный семинар "Metamaterials, Meta08", 2008, Нанджин (Китай).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 26 печатных работ, в том числе 7 статей в рецензируемых российских журналах, рекомендованных ВАК, 18 статей в сборниках международных конференций, периодических международных и российских изданиях, реферируемых сборниках научных работ.

Личный вклад автора: Лично автором произведена основная часть расчетов и интерпретирована значительная часть полученных в работе результатов. Постановка задач и разработка алгоритмов проводилась совместно с научным руководителем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников и приложения —

списка обозначений и аббревиатур. Работа изложена на 229 страницах машинописного текста и содержит 52 рисунка и 4 таблицы. Список использованных источников содержит 209 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена обзору методов интегральных и интегродифференциальных уравнений электродинамики для металло-диэлектрических структур, а также формулировке ряда новых форм таких уравнений. В п. 1.1 дано краткое введение в проблему и сформулированы гиперсингулярные объемные и объемно-поверхностные интегральные уравнения

Е(г) = Е0(г)+ {¿(С(г - г'Мг'Кг' +

\[]соЕоП{с{т - г'Х^(г') - 1)Е(г')) - х С(г - г'ХаИ - 1)н(г')}/3<

Н(г) = Н0 (г) + |У х (<7(г - г')1(г - гV +

■ |[^0£"(с(г - г')0/(г')- 1)н(г'))+ X С(г -г'Х^(г')-1)Е(г')^3

(1)

(2)

а также основные модели структур на их основе. В этих ИУ обозначены дифференциальные операторы, определенные соотношениями

А.(г)_ ГО,А-(Г) = V А'(г)-V X А-(г),

](оей

А-(г) + ГО/А*(г) = ¿-А-(г) + V х А" (г)

и используются в общем случае (для структур с границами) тензорные функции Грина (ФГ) структур, интегрально связывающие токи л'''"'1 (источники) и вектор-потенциалы а''™'. Для свободного пространства ФГ скалярная: с(г) = (4л-|г|)"'ехр(-Д0|г|). Для описания магнитодиэлектрических структур введены токи поляризации: Л'Дсч) = ](ога((:((о)-1)Е(«>) и У;(а>)=]о)м0Ои(<а)-1)н(й}).

В п. 1.2 получены ИУ и ИДУ с понижением особенности на основе векторных интегральных теорем. Приведены результаты для связанных ИУ и ИДУ относительно обоих полей, а также и для электрического и магнитного поля, полученные переносом операторов дифференцирования с координат точки наблюдения истока на координаты точки истока. Использованы теоремы о дивергенции (Гаусса), о роторе и о градиенте. Предложен метод преобразования уравнений на основе теоремы Гельмгольца и представления искомых векторов с помощью векторных и скалярных потенциалов. Ряд полученных ИДУ нагружен поверхностными интегралами, возникающими в результате преобразований. В п. 1.3 рассмотрены сингулярные интегральные уравнения на основе выделения особенности, не нагруженные поверхностными интегралами. П. 1.4 посвящен ИУ и ИДУ для ДР. В. п. 1.4.1 изложено введение в проблему.

П. 1.4.2 посвящен анализу мод и резонансных частот ЦДР. Рассмотрены уравнения для основной азимутально симметричной моды Hms и произвольных мод. Сформулированы итерационные подходы для одновременного определения резонансных частот и распределения полей. Общие ИУ относительно электрического поля ЦДР имеют вид Ep(p,q>,z) = k2 Jc(r -r'Xe(r')-l]{E<I(r,)cos(?»-9>')+ £>')sin(p-~

E¿j>,<p,z) = к2 jG(r -г')[г(г')- l]{s,(r')cos(í>- <p')-^(r')sm((5- cp'))¡V' -

E:(p,<p,z) = к2 jG(r - r'^(r')-\]E:(r')iV-

В п. 1.4.3 предложен метод понижения порядка сингулярности (особенности ядра) интегрального уравнения ДР путем интегрирования по точке наблюдения. Метод удобен для резонаторов с координатными границами, в частности для прямоугольного диэлектрического резонатора. В п. 1.4.4 рассмотрены поля в дальней зоне и диаграмма направленности (излучения) произвольного диэлектрического резонатора. П. 1.5 посвящен ИУ и ИДУ для диэлектрических волноводных структур. Путем введения экспоненциальной зависимости от продольной координаты объемное трехмерное ИУ преобразовано в двумерное ИУ в плоскости поперечного сечения волновода

EtrJ^fcv, --у>0) + Л02]|я«%|г, -rI|Mrl)E(ri)&'rf/ . (3) 4 i Далее это ИУ изложенными выше методами преобразуется к ИУ и ИДУ, которые могут быть нагружены контурными интегралами. Параграф 1¡6 посвящен ИУ и ИДУ для ФК. В. п. 1.6.1 дано введение в проблему. В п. 1.6.2 рассмотрены скалярные и векторные ФГ периодически расположенных и сфазированных источников (периодические ФГ) для ФК и ФКС. Скалярная трехмерно-периодическая ФГ имеет вид:

lio » (k+gn) -к'ец „ Здесь имеет место трехмерное суммирование в импульсном пространстве по векторному мультииндексу n, g - тензор обратной решетки. ФГ (4) упрощается при совпадении направлений трансляций с осями координат. Приведены соответствующие ИУ и ИДУ для различного рода периодических и квазипериодических включений (диэлектрических,

магнитодиэлектрических, металлических, полостей) в диэлектрическую основу. В п. 1.7 содержатся краткие выводы по главе 1.

Во втором главе дан обзор итерационных методов и изложены итерационные методы и алгоритмы для решения задач электродинамики. П. 2.1 является обзорным и излагает итерационные решения для действительной функции действительного аргумента. В п. 2.1.1 изложен метод простой итерации. В п. 2.1.2 излагается метод минимальных невязок и дается его модификация для решения нелинейных задач. Суть метода заключается в линеаризации путем замораживания значений на предыдущем шаге итерации, что позволяет получить явный вид параметра итерации, в частности для метода минимальных невязок (ММН).

В п. 2.1.3 изложены многопараметрические и многошаговые ММН. В п. 2.1.4 рассмотрены итерационные методы спуска. П. 2.1.5 посвящен исследованию сходимости. Исследование выполнено для случая выполнения условия сжимающих отображений, т.е. при достижении условия сходимости итераций. П. 2.2. посвящен итерациям для комплексной функции комплексного аргумента. Результаты предыдущих разделов здесь обобщены для комплексного случая. В п. 2.3 рассмотрены общие системы нелинейных уравнений, решаемые итерационными методами. Для указанных систем обобщены результаты предыдущих разделов. Параграф 2.4 посвящен операторным уравнениям в банаховых пространствах и связанным с ними функционалам. Рассмотрены пространства со скалярным произведением (пространства Гильберта) и итерационные методы решения операторных уравнений в них. В п. 2.4.1 формулируется решение задачи на собственные значения Ах = Ах линейного оператора в виде одновременных итераций для однородного операторного уравнения и соответствующего функционала. Невязка уравнения есть А(х) = х-А~1Ах. Вводятся функционалы 2, Ф(х,Л) = Л-л(х,Л), второй из которых определяет невязку АЛ собственного значения. Если оператор от X не зависит, то в силу линейности получаем явные параметры одновременной итерации операторного уравнения и функционала на шаге п\

г, = (Д)/(Л„-„Д„_,) = Я^(д„_„ Ас„_,)/|Д„_,|2, дп = Л„_, / ДА„Ч = А(х„_,, А_,)/ АЛ„_,. (5) В задачах электродинамики ФГ нелинейно зависит от волнового числа к0 и возможны нелинейные ИУ, поэтому соотношения (5) обобщены (линеаризованы) путем "замораживания", т.е. использования при вычислении нелинейных частей значений, полученных на предыдущем шаге. В п. 2.4.2 рассмотрены итерационные решения неоднородной задачи для линейного и нелинейного оператора. В п. 2.5 приведены краткие выводы по главе 2.

Третья глава содержит результаты определения электродинамических параметров диэлектрических резонаторов и волноводов на основе итерационного решения интегральных и интегродифференциальных уравнений. Схематически на рис.1 представлены основные исследуемые структуры: ЦЦР - 1, ПДР - 2, многослойный сферический концентрический резонатор (СКР) - 3, ДВ с плоскослоистым покрытием - 4, волновод типа полый канал с плоскослоистой оболочкой - 5. П. 3.1 содержит результаты

моделирования цилиндрического диэлектрического резонатора путем итерационного решение интегрального уравнения. Рассмотрены основная Нш и первые высшие моды. Показано, что индексы мод не целые и, вообще

говоря, комплексные. Предложена классификация мод.

На рис. 2 представлены результаты исследования сходимости для резонансной частоты основной моды Нщб от числа базисных функций N при кусочно-постоянной (1,2) и полиномиальной квадратичной (3) аппроксимациях для г = 38, радиусе г0=5мм и высотах: /г = 7мм (1) и И = 4 мм (2,3). На рис. 3, 4 даны зависимости резонансных частот и добротностей.

I О

16.0^

На рис. 5 и 6 приведено распределение компоненты электрического поля . В силу радиационных потерь частоты колебаний и поля комплексные, а в диэлектрике по каждой из координат не укладывается целое число полуволн.

4 5

Рис.1. Схематическое изображение структур

0.0 4.0 8.0 12.0 16.0

Рис. 2. Исследование сходимости для ЦДР

0.0 25.0 50.0 75.0 100.0

Рис. 3. Зависимость резонансной частоты и добротности от проницаемости для ЦДР

00 1".......I.........I......"Ч................I"

0.2 0.5 0.7 1.0 1.2 1.5

г0 т

Рис. 4. Зависимость резонансной частоты от отношения радиуса к высоте для ЦДР

Для использования обычной связи резонансной частоты с индексами моды следует характеризовать моды комплексными индексами. П. 3.2 посвящен анализу мод прямоугольного диэлектрического резонатора. В п. 3.2.1 рассмотрено введение в проблему.

Рис. 5. Зависимость Яе^) (сплошные кривые) и 1т(£р) (штриховые кривые) от координаты р (см) для ЦДР £ = 100 , г0 = И = 5 мм: 1 - мода Нш при г = 0.09; 2 - мода #011 при г = 2.41; 3 - мода Нои при г = 0.09

Рис. 6. Зависимость (сплошные

кривые) и Ьп(£ ) (штриховые кривые) от координаты г (мм) для ЦДР с £ = 100 , г0 = И = 5 мм: 1,2 - мода Нш при р = 3.4 и р = 1.66 мм; 2 - мода Нои при р = 4.46 мм

В п. 3.2.2 приведены объемные и объемно-поверхностные ИУ и ИДУ. В п. 3.2.3 получено уравнение для прямоугольного диэлектрического резонатора, основанное на тригонометрическом представлении объемных распределений поля. Указанное уравнение позволяет существенно уменьшить порядок задачи по сравнению с метолом конечных элементов для объемного интегрального уравнения. В п. 3.2.4 приведены численные результаты для прямоугольного диэлектрического резонатора, дана классификация его мод на основе симметрии. Показано, что наряду с высокодобротными модами существуют моды низкого порядка с малыми добротностями. Предложена классификация мод ПДР на основе симметрии (четности-нечетности по трем координатам) и введении комплексных индексов. В пределе е -> а> (отсутствие вытекания энергии) предложенная классификация совпадает с традиционной. На рис. 7 даны результаты для ПДР. П. 3.2.5 содержит краткие выводы по параграфу 3.2. П. 3.3 содержит результаты по моделированию и модам многослойного концентрического сферического резонатора. Указанный резонатор хорошо соответствует модели Земля-ионосфера. Соответствующие результаты приведены на рис. 8. В п. 3.3.1 обосновано и дано введение в проблему. В п. 3.3.2 построена модель многослойного магнитодиэлектрического многослойного КСР с использованием метода матриц передачи. П. 3.3.3 как частный случай рассматривает однородный диэлектрический

сферический резонатор, производится сравнение с известными результатами. В п. 3.3.4 приведено характеристическое уравнения многослойного концентрического сферического резонатора и получены его решения итерационными методами. В частности, определены резонансные частоты и добротности первых резонансов Шумана для системы Земля-ионосфера.

I 0/10

Рис. 7. Резонансные частоты/, ГГЦ (сплошные Рис. 8. Частота/, Гц (сплошные кривые) и

кривые) и добротности 2 (штриховые кривые) мод добротность £?■/(?"' (штриховые кривые)

ПДР в зависимости от с. кривые 1, 2, 3 - первого резонанса Шумана в зависимости

соответственно моды Н, , Н°°°6 кубического от влажности ц\ 1 и 3 - модель на основе

ДР для а = 1 см; звездочки (* * * ) и кривая 4 - мода импедансного алгоритма для ¡3 =30 и

для о, = а2 = 1, аъ = 0.5 и а3 = 0.25 см 40 км; 2 - модель на основе матричного

соответственно алгоритма для ^=30 км

В п. 3.3.5 дана стационарная теория возбуждения многослойного концентрического сферического резонатора радиальным диполем. П. 3.3.6 содержит краткие выводы по параграфу 3.3. П. 3.4 посвящен анализу мод прямоугольного и многослойных планарных диэлектрических волноводов. Использованы интегральные уравнения диэлектрических волноводов в сочетании с методами сшивания и матриц передачи слоистых структур. В п. 3.4.1 содержится введение в проблему и обосновывается важность решаемых задач. В п. 3.4.2 методом ИУ анализируются Я-моды однородного ПДВ. Обнаружены перескоки с оной дисперсионной ветви на другую при итерационном решении. В указанных областях перескоков использованы методы поиска комплексных корней. Найдены решения вблизи частотных отсечек. В п. 3.4.3 на основе дисперсионных уравнений строятся итерационные алгоритмы и анализируются ЬМ - моды многослойного ПДВ. Алгоритмы позволяют определять дисперсию во всем частотном диапазоне. В п. 3.4.4 приведены численные результаты для основной ЬМ- моды и высших мод. Волны ЬМ„ с номерами п > 0 ниже частоты отсечки становятся быстрыми вытекающими, но на очень низких частотах замедление и потери на вытекание начинают расти, угол вытекания стремится к л 12, а волна становится медленной. В п. 3.5 приведены

результаты для многослойных диэлектрических волноводов

с полупроводниковыми слоями. Полупроводниковый слой моделировался как диэлектрик с плазмой носителей зарядов (электронов и дырок). Исследовано влияние плазменных частот и частот столкновений на дисперсионные свойства. Рассчитаны дисперсионные характеристики во всем диапазоне, включая и сверхнизкие частоты, где наблюдается переход от быстрой вытекающей волны к медленной с более сильным вытеканием.

к0Ь и

Рис. 9. Замедление волн ЬМа в зависимости Рис. 10. Зависимость замедления п = у'/к0 от

нормированного волнового числа для круговой частоты для ПДВ с полупроводнико-

плоскопараллельного ДВ с е = 3 выми слоями {тр = 500, а>с = 100 и сос = 50 ГГц)

П. 3.6 посвящен итерационному анализу мод, дисперсии и потерь в плоскопараллельном волноводе типа полый канал с многослойной оболочкой или с импедансными стенками. Указанные структуры имеют важное значение и широкое применение. В частности, рассмотрены квазипериодические (фотонно-кристаллические) оболочки. В п. 3.6.1 содержится введение в проблему, обоснование значимости решаемых задач. В п. 3.6.2 содержится постановка задач и приведены алгоритмы решения. П. 3.6.3 содержит полученные численные результаты. В частности, анализируется дисперсия в плоскопараллельном волноводе с неидеальными стенками ниже частоты отсечки, а также в волноводе с многослойной оболочкой, включая квазипериодический случай. В п. 3.6.4 содержатся краткие выводы по п. 3.6. П. 3.7 посвящен моделированию нелинейного туннелирования электромагнитной волны через слой с кубической нелинейностью и насыщением диэлектрической проницаемости. Указанная задача соответствует прохождению сильной электромагнитной волны через нелинейный плазменный слой полупроводника. Рассмотрены феноменологические зависимости диэлектрической проницаемости от квадрата модуля поля с кубической (керровской) нелинейностью и нелинейностью с насыщением в сильном поле. При этом насыщения достигает плазменная частота (концентрация носителей). В п. 3.7.1 содержится введение в проблему и обосновывается ее актуальность.

В п. 3.7.2 содержится постановка задачи, приводятся дифференциальные и интегральные уравнения, а также развиваются новые методы интегрирования дифференциальных уравнений и решения интегральных уравнений. Интегрирование основано на интерполяции интеграла с применением метода рядов и получения формул высокого порядка. В п. 3.7.3 приводятся численные результаты и их сравнение с известными методами. Показана возможность ограничения мощности сильной электромагнитной волны при ее туннелировании через слой с насыщением диэлектрической проницаемости рис. 11. П. 3.7.4 содержит краткие выводы по п. 3.7. В п. 3.8 содержатся выводы по п. 3.8.

Глава 4 посвящение моделированию и гомогенизации ФКС. Использован подход на основе периодических ФГ и ИДУ. Рассмотрены также квазипериодические структуры, в том числе плоскослоистые и ФКВ. В п. 4.1 содержится введение в проблему ФКС и их гомогенизацию. В п. 4.2 изложены методы построения дисперсионных уравнений периодических ФК с магнитодиэлектрическими и металлическими включениями. П. 4.3 содержит описание методов гомогенизации и решения обратных задач для ФКС. В п. 4.4 рассмотрены и численно исследованы фильтрующие структуры на основе квазипериодических ФК. На рис. 12 представлено искажение дисперсионных кривых в одномерном плоскослоистом ФК с активным и диссипативным диэлектрическими слоями. При этом зона Ьапё§ар исчезает, но для некоторых значений компоненты волнового вектора распространение не имеет места.

Рис. 11. Ограничение мощности волны в Рис. 12. Искажение дисперсии в 1-0 полупроводниковой плазме на длине с1 = 2 см, диэлектрическом ФК с диссипативным и различных параметрах и в зависимости от активным слоями в периоде при ¡¡¡=<¿2=11/2,

отношения амплитуды к внутреннему полю е[ =2, е'2 = 4 : кривые 1 - е" = 0.2, с" =-0.4;

кривые 2 - е" = — 1.0, е"2 = 2.0 П. 4.5 содержит результаты по ФКВ разной конфигурации. Рассмотрены дефекты в 2-В ФК, структуры с планарной оболочкой и 2-Э ФК с конечной квазипериодической оболочкой. П. 4.5.1 дает введение

в проблему. В п. 4.5.2 получено новое интегральные уравнения 2-Т) ФК. В п. 4.5.3 выведено дисперсионные уравнения бесконечного 2-0 ФК, включая случай наличия волнового канала вдоль одной из осей. В п. 4.5.4 получен новый вид интегрального уравнения для ФКВ с неограниченной квазипериодической оболочкой. В п. 4.5.5 приведено интегральное уравнение ограниченного ФКВ, основанное на обычной ФГ. В п. 4.5.6 получены численные результаты для ФКВ, демонстрирующие резонансный полосовой характер погонных потерь на вытекание и постоянных распространения в зависимости от частоты в широком частотном интервале. Результаты получены путем итерационного решения дисперсионного уравнения и представлены на рис. 13. П. 4.6 посвящен электродинамическому анализу электрофизических свойств металлических ФК рис. 14. В п. 4.6.1 содержится введение и обоснование важности исследования металлических ФК. П. 4.6.2 содержит постановку задачи для проволочных металлических ФК в виде прямых проволочных включений. Рассматривается также общая задача о включениях произвольной формы. П. 4.6.3 содержит постановку задачи для одноосные и двухосные МФК с неконтактирующими проволочками конечной длины и большой (бесконечной) длины (в случае 2-0 ФК).

У а, 1п(п) ^

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

к, а X

Рис. 14. Общий вид одноосного 3-0 проволочного МФК с тонкими проволочками конечной длины

Рис. 13. Логарифм замедления (сплошные кривые) и нормированные потери (штриховые кривые) первой НЕ- моды полого канала размера а*а со сплошной бесконечной оболочкой (1), полого канала с конечной одномерной фотонно-кристаллической оболочкой (2) и двумерного ФКВ. £ = 3.0 - 0.05]

В п. 4.6.4 приведены численные результаты для дисперсии (зонной структуры) рассмотренных металлических ФК и получены тензоры их диэлектрической проницаемости. Использованы методы гомогенизации на основе вычисления дипольного момента и путем сравнения дисперсии с дисперсией в гомогенной среде. Показана возможность наличия отрицательной компоненты тензора диэлектрической проницаемости в зоне непропускания при идеальной проводимости проволочек. На рис. 15 даны

примеры расчета зонной структуры, а на рис. 16, 17 приведены результаты гомогенизации. В п. 4.7 содержаться выводы по главе 4.

В заключении сформулированы основные выводы настоящей работы, формулируются основные полученные результаты и подводится итог проведенных исследований.

8.0-

0.0

'1111 6.0 кха

кпа

ю.о 8.0 6.0^ 4.02.0-. 0.0

6.0 К а

Рис. 15. Зонная структура З-Э-Р проволочного метаматериала при к. =кг =0, Иа = 0.6 для гIа = 0.01 (а) и г/а = 0.06 (б)

Рис. 17. Компонента £:: в зависимости от компонент волновых векторов в в основном секторе первой зоны при к. = 0 для 2-0 МФК с бесконечными проволочками

-2.(Ь_

.........I....................

0.0 2.0 4.0 6.0

К*

Рис. 16. Значение компоненты е.. в зависимости от нормированной частоты при движении по нижней дисперсионной ветви с переходом при кха = я", ку= 0 на следующую прямую дисперсионную ветвь для рис. 6: а - кривая 1, б - кривая 2

Основные результаты диссертационной работы

итерационных процедур типа минимальных невязок с линеаризацией, выполненной замораживанием значений на предыдущем шаге итерации.

2. Получены новые виды интегродифференциальных уравнений с понижением особенности ядер относительно полей и потенциалов в объеме ДР и на поперечном сечении магнитодиэлектрических волноводов, на основе которых исследованы метолом итерационного решения моды указанных структур с учетом излучения и потерь. Показано, что использование действительных и тем более целых индексов для классификации мод является приближением, поскольку указанные индексы комплексные. Показано наличие высокодобротных и низкодобротных мод. Исследованы моды диэлектрических, металлодиэлектрических и фотонно-кристаллических волноводов с импедансными, многослойными, квазипериодическими и нелинейными оболочками. Для ДВ с сердцевиной расчеты демонстрируют переход от медленных поверхностных мод ДВ к быстрым вытекающим модам при понижении частоты, а затем опять к медленным модам с очень высоким уровнем вытекания при дальнейшем понижении частоты. Для волноводов типа полый канал, ФКВ и канал с металлической оболочкой на высоких частотах вытекание слабое, волна в основном распространяется в канале; на сверхнизких частотах угол вытекания близок к 90 градусам, волна становится медленной и распространяется в основном в оболочке. Для квазипериодической оболочки затухание носит резонансный характер при изменении частоты.

3. Исследовано линейное и нелинейное туннелирование через плоскослоистые структуры с диссипацией и активными слоями, а также через нелинейный плазменный полупроводниковый слой с насыщением диэлектрической проницаемости (концентрации носителей) в сильном поле. Показана возможность ограничения мощности сильной электромагнитной волны.

4. Развиты методы гомогенизации фотонных кристаллов, исследованы различные фотонно-кристаллические структуры, в том числе металлические проволочные фотонные кристаллы. Определены их электрофизические параметры. В частности, показана возможность наличия отрицательных компонент тензора диэлектрической проницаемости у одноосного и двухосного проволочного металлического ФК с идеально проводящими проволочками. Указанные параметры получены для структур, где бианизотропией и магнитными свойствами можно пренебречь. В общем случае проницаемости и два тензора кросс-поляризации, описывающие ФК, зависят от частоты и волнового вектора, т.е. от дисперсионной поверхности (ветви). В зоне непропускания волновой вектор может иметь мнимые компоненты, что соответствует отрицательным значениям компонент постоянных распространения. Наличие потерь, конечность структуры, нарушение периодичности или монохроматичности приводят к размыванию (исчезновению) зон непропускания (Ьапс^ар). При этом волновые векторы и проницаемости становятся комплексными. Возможность распространения с большим затуханием волн в Ьапс^ар приводит к тому, что осуществляется переход с одной дисперсионной ветви на другую через указанные зоны,

причем групповая скорость изменяется от очень малых значений на их границе к весьма большим значениям в центре, многократно превышающим скорость света. Наличие диссипативных и активных диэлектрических слоев в одномерных ФК существенно искажает дисперсионную картину, при этом зона непропускания исчезает, но появляются запрещенные зоны для компонент волнового вектора.

Список публикации автора по теме диссертации

I. Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК:

1. Давидович М.В., Стефюк Ю.В., Шиловский П.А. Металлические проволочные фотонные кристаллы. Анализ электрофизических свойств // ЖТФ. 2012. Т. 82. Вып. 3. С. 7-14.

2. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Итерационные методы и алгоритмы для интегральных уравнений диэлектрических резонаторов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2010. Т. 53. № 4. С. 1-14.

3. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Интегральные уравнения для фотонно-кристаллических волноводов // Оптика и спектроскопия. 2010. Т. 109. № 4. С. 643655.

4. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Нелинейное прохождение электромагнитной волны через слой с квадратичной и дробно-полиномиальной зависимостями диэлектрической проницаемости // ПНД. 2010. Т. 18. № 3. С. 160-177.

5. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Волны плоскопараллельного волновода типа «канал с многослойными стенками» // Известия ВУЗов, Радиофизика. 2010. Т. 53. № 1. С. 31-40.

6. Альтшулер Е.Ю., Давидович М.В., Стефюк Ю.В. LM-волны полупроводниково-диэлектрического плоскослоистого волновода с диссипативными и активными слоями РЭ. 2010. Т. 55. № 1. С. 25-32.

7. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Моды многослойного концентрического сферического резонатора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. № 4. С. 18-27.

II. Статьи в других реферируемых периодических изданиях, сборниках

и в трудах международных научных конференций:

8. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Интегральные уравнения фотонно-кристаллических волноводов // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2009. Серия Физика. Т. 9. В. 1. С. 2-17.

9. Davidovich M.V., Bushuev N.A, Stephuk J.V. Dispersion of open helix // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics . Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 47-56.

10. Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilovsky PA. Metallic wire photonic crystals: analysis of electrophysical properties // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 79-92.

11. Давидович M.B., Савин A.H., Стефюк Ю.В. Металлические фотонные кристаллы: анализ электрофизических свойств // Труды 21-й Международной Крымской конференций СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (CriMiKo'2011). Севастополь, Украина. 2011. Р. 289-290. ISBN 978-966-335-355-5. IEEE Catalog Number: CFP11788-PRT.

12. Давидович M.B., Стефюк Ю.В., Шиловский П.А., Явчуновская C.B. Материальные параметры металлических проволочных фотонных кристаллов // Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2011. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2011. С. 246-250.

13. Davidovich M.V., Stephuk J.V. Modes of rectangular and plane-parallel waveguides with impedance walls // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 13-th International Conference (MMET'2010), September 6-8, 2010. Kiev, Ukraine. 978-1-4244-8860-5/10/S26.00 © 2010 IEEE. 4 P.

14. Davidovich M.V., Stephuk J.V. Iteration methods for analysis of dielectric waveguides and resonators // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 13th International Conference (MMET), September 6-8, 2010. Kiev, Ukraine. 978-1-4244-8860-5/10/S26.00 © 2010 IEEE. 4 P.

15. Давидович M.B., Савин A.H., Стефюк Ю.В. Гомогенизация периодических метаматериалов в виде проволочных включений // Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2009. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2009. С. 370-375.

16. Давидович М.В., Савин А.Н., Стефюк Ю.В. Прямой метод высокого порядка интегрирования нелинейного неоднородного одномерного уравнения Гельмгольца// Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2009. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2009. С. 331-335.

17. Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilin I.V. Waves in active and dissipative flat-layered periodic and pseudo-periodic structures // Proc. of SPIE. 2007. V. 6537. P. 65370F-65370K.

18. Davidovich M.V., Stephuk J.V. H- and LM- modes of rectangular and square section dielectric waveguides // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2009. Issue 9. P. 13-25.

19. Davidovich M.V., J.V. Stephuk., Yu.S. Myasoedov. New approach for pulses in structures with dispersive nonlinear inhomogeneous media // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 9-21.

20. Davidovich M.V., Stephuk J.V. Homogenization of periodic metamaterials // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 12-th International Conference (MMET'2008). Odessa, Ukraine. 2008. P. 527-529.

21. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic wire and dielectric metamaterials // 2008 International Workshop on Metamaterials, Meta08. Nov. 9-12, Nanjing, China. 2008. P. 251-254.

22. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. H-modes of rectangular dielectric waveguide // Proceedings of International conference Actual Problems of Electron Devices Engineering (APEDE-2008). 2008. SSTU. P. 308-312.

23. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Integral and integrodifferential equations for quasiperiodic structures // Proceedings of International conference Actual Problems of Electron Devices Engineering (APEDE-2008). 2008. SSTU. P. 312-316.

24. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic artificial media // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 67-75.

25. Давидович M.B., Шилин И.В. Стефюк Ю.В. Волны в активных и диссипативных плоскослоистых периодических и квазипериодических одномерных фотонных кристаллах // Проблемы оптической физики. Материалы 10-й международной школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов: изд-во «Новый ветер». 2007. С. 150-153.

III. тезисы докладов международных школ и семинаров:

26. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Итерационные методы и алгоритмы для интегральных уравнений диэлектрических резонаторов и волноводов // Материалы XIX международной зимней школы-семинара по электронике сверхвысоких частот и радиофизике. 2009. Саратов: Издательский центр «РАТА». С. 36.

Подписано к печати 28.09.2012 года. Формат 60x48 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ № 240-Т

Отпечатано в типографии СГУ Саратов, Большая Казачья 112-а Тел. (8452) 27-33-85

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Стефюк, Юлия Валентиновна

Введение.

Глава 1. Интегральные уравнения и итерационные алгоритмы для диэлектрических и фотонно-кристаллических структур электродинамики.

1.1. Гиперсингулярные интегральные уравнения для диэлектрических структур.

1.2.Интегральные и интегродифференциальные уравнения с понижением особенности на основе векторных интегральных теорем.

1.3.Сингулярные интегральные уравнения на основе выделения особенности

1.4. Интегральные уравнения для диэлектрических резонаторов.

1.4.1. Введение.

1.4.2. Цилиндрический ДР.

1.4.3. Понижение особенности методом непосредственного интегрирования

1.4.4. Поля в дальней зоне.

1.5.Интегральные уравнения для диэлектрических волноводных структур.

1.6.Интегральные уравнения для фотонных кристаллов.

1.6.1. Введение.

1.6.2. Функция Грина и интегральные уравнения.

1.7. Выводы.

Глава 2. Итерационные методы решения интегродифференциальных уравнений электродинамики.

2.1. Итерационные решения для действительной функции. действительного аргумента.

2.1.1. Метод простой итерации.

2.1.2. Метод минимальных невязок.

2.1.3. Многопараметрические и многошаговые ММН.

2.1.4. Методы спуска.

2.1.5. Исследование сходимости.

2.2. Итерации для комплексной функции комплексного аргумента.

2.3. Системы нелинейных уравнений.

2.4. Операторные уравнения.

2.4.1. Задача на собственные значения линейного оператора.

2.4.2. Неоднородная задача для линейного оператора.

2.5. Выводы.

Глава 3. Электродинамические параметры диэлектрических резонаторов и волноводов на основе итерационных решений.

3.1. Цилиндрический диэлектрический резонатор: итерационное решение интегрального уравнения.

3.2. Моды прямоугольного диэлектрического резонатора.

3.2.1. Введение.

3.2.2. Объемные и объемно-поверхностные ИУ и ИДУ.

3.2.3. Уравнения для ПДР.

3.2.4. Численные результаты.

3.2.5. Выводы.:.

3.3. Моды многослойного концентрического сферического резонатора.

3.3.1. Введение.

3.3.2. Модель многослойного КСР.

3.3.3. Однородный КСР.

3.3.4. Характеристическое уравнение многослойного КСР.

3.3.5. Стационарное возбуждение КСР радиальным диполем.

3.3.6. Выводы.

3.4. Моды прямоугольного и многослойных планарных диэлектрических волноводов.

3.4.1. Введение.

3.4.2. Я-моды однородного ПДВ.

3.4.3. ЬМ- моды многослойного ПДВ.

3.4.4. Численные результаты для ЬМ- моды.

3.5. Диэлектрические волноводы с полупроводниковыми слоями.

3.6. Итерационный анализ дисперсии и потерь в плоскопараллельном волноводе с импедансными стенками.

3.6.1. Введение.

3.6.2. Постановка задачи.

3.6.3. Численные результаты.

3.6.4. Выводы.

3.7. Нелинейное туннелирование электромагнитной волны через слой с кубической нелинейностью и насыщением диэлектрической проницаемости.

3.7.1. Введение.

3.7.2. Постановка задачи, дифференциальные и интегральные уравнения.

3.7.3. Численные результаты.

3.7.4. Выводы.

3.8. Выводы.

Глава 4. Моделирование и гомогенизация фотонно-кристаллических структур.

4.1. Введение.

4.2. Дисперсионные уравнения периодических ФК с магнитодиэлектрическими и металлическими включениями.

4.3. Гомогенизация и решение обратных задач для ФКС.

4.4. Фильтрующие структуры на основе квазипериодических ФК.

4.5. Фотоно-кристаллические волноводы.

4.5.1. Введение.

4.5.2. Интегральные уравнения 2-D ФК.

4.5.3. Дисперсионные уравнения бесконечного 2-D ФК.

4.5.4. Интегральные уравнения неограниченного ФКВ.

4.5.5. Интегральное уравнение ограниченного ФКВ.

4.5.6. Численные результаты.

4.6. Электрофизические свойства металлических ФК.

4.6.1. Введение.

4.6.2. Постановка задачи.

4.6.3. Одноосные и двухосные МФК с неконтактирующими проволочками

4.6.4. Численные результаты.

4.7. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Электродинамические свойства металлодиэлектрических и фотонно-кристаллических структур"

Актуальность. Диссертационная работа посвящена исследованию актуальных вопросов современной радиофизики и прикладной электродинамики от сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона до оптического диапазона включительно. В работе теоретически изучены важные аспекты физики диэлектрических структур: диэлектрических волноводов (ДВ) и диэлектрических резонаторов (ДР), включая структуры с линейными и нелинейными полупроводниковыми слоями, а также и свойства фотонных кристаллов (ФК), фотонно-кристаллических волноводов (ФКВ) и ФК структур (ФКС).

ФК (или электромагнитные кристаллы) - периодические и квазипериодические структуры с диэлектрическими, магнитными, металлическими, полостными и полупроводниковыми включениями в основу -являются объектами передового направления современных исследований [1-16]. Они составляют наиболее обширно используемый класс искусственных сред -так называемых метаматериалов [1-6], применяемых от микроволнового до оптического диапазонов. Достоинство метаматериалов в том, что их синтез и создание имеет цель получения веществ и устройств на их основе с новыми требуемыми электрофизическими и электродинамическими свойствами. Это выводит моделирование таких свойств на первое место по сравнению со сложным и дорогим экспериментом. Большинство работ и математических моделей для метаматериалов в настоящее время, в том числе и для ФК, использует различные приближенные методы теоретического исследования (квазистатические, оптические и т.п.), поэтому большое значение имеет развитие строгих электродинамических подходов к их анализу. Актуальным в настоящее время является синтез электрофизических (электродинамических) свойств ФК, заключающийся в проведении гомогенизации. Она, по сути, является обратной задачей, решение которой требует построения моделей для прямой задачи -получения полей для большого разнообразия микроструктурированных или наноструктурированных ФК. В работе в качестве инструмента исследования использован метод интегральных уравнений (ИУ) и метод интегродифференциальных уравнений (ИДУ) с итерационными методами их решения. Важным является исследование свойств ФК и ФКВ при наличии потерь, для квазипериодических структур, при наличии нелинейности, с учетом материальной дисперсии реальных включений (металлов, полупроводников и т.п.) и для других случаев. Для всех задач ИУ и ИДУ являются весьма общими и удобными подходами к моделированию.

Различного рода диэлектрические, магнитодиэлектрические и металлодиэлектрические структуры широко используются в широком частотном диапазоне (вплоть до оптической области частот). Их применение и теоретические исследование началось еще с 40-х годов прошлого века. ДВ начали широко исследоваться еще с 60-х годов. Большой вклад здесь был сделан рядом отечественных и зарубежных ученых (JI.A. Вайнштейн, В.Ф. Взятышев, Б.З. Каценеленбаум, М.Е. Ильченко, А.Г. Свешников, A.C. Ильинский, В.В. Шевченко, H.A. Хижняк, В.Н. Дмитриев, Е.В. Захаров, E.H. Васильев, Г.И. Веселов С.Б. Раевский, Д.А. Усанов, В.А. Неганов, Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский, A.M. Jlepep, В.Н. Мелехин, А.Б. Маненков, В.Е. Любченко, А.Б. Самохин, Ф.Г. Басс, Ю. Швингер, Л. Левин, М. Адаме, Д. Маркузе, Дж. Мидвинтер и др.). Рядом научных школ для их моделирования были разработаны методы ИУ. Тем не менее, ряд вопросов здесь до конца не исследован. К ним, в частности, относятся: радиационные потери в ДР и ДВ; ДР и ДВ с неоднородными, анизотропными, бианизотропными средами; учет диссипации и материальной дисперсии в средах, включая и металлические структуры; влияние нелинейных свойств сред; вытекающие волны ДВ ниже отсечки, вытекающие волны ДВ при наличии потерь, активных или нелинейных слоев, ДВ со сложной структурой поперечного сечения. Развиваемые в работе подходы пригодны для исследования перечисленных вопросов, а ряд таких задач является объектом исследования в диссертации.

Метаматериалы (искусственные диэлектрики) изучались еще в 40-х годах прошлого века (Л. Левин). Однако широкое распространение их исследования приобрели с начала 90-х годов после ряда работ (Э. Яблонович и др.). Периодические метаматериалы (ФК) в общем случае бианизотропные. К настоящему времени имеется большое число публикаций по данной тематике (Джон Д. Джоаннопоулос, Джон Пендри, К. Сакода, В. Линделл, С.А. Третьяков, И.С. Нефедов, A.M. Желтиков, С.А. Никитов, Е.А. Виноградов и др.). Здесь актуальной является гомогенизация - задача определения эффективных материальных параметров метаматериалов электродинамическими методами. Существенная часть таких задач является объектом исследования диссертации.

Итерационные методы решения операторных уравнений являются мощным инструментом в численных методах и весьма развиты [16-27]. В данной работе они используются и развиваются для ИУ и ИДУ, т.е. для интегродифференциальных операторов, включая и нелинейный случай. Для линейных задач электродинамики большой вклад в развитие итерационных методов внес А.Б. Самохин [16]. Эти результаты развиты для задач о возбуждении (дифракции волн). Однако уже для задач на собственные значения спектральный параметр (волновое число или его обратное значение) входит в уравнения нелинейно. В диссертации получены алгоритмы, пригодные как для линейных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра, так и для нелинейных задач с нелинейными по полю включениями магнитодиэлектрических структур.

Первой задачей, решаемой в диссертации, является выбор и развитие метода ИУ и ИДУ для исследуемых задач, в том числе для ФК, ФКВ, ДР и ДВ, а также развитие итерационных методов их исследования. Следует отметить, чтоИУ для исследования ДВ и ДР используются сравнительно редко [12-16,2226,28], что определяется достаточной трудоемкостью построения алгоритмов при сложной конфигурации. С другой стороны, ИУ позволяют рассчитывать структуры весьма точно и быстро, при этом основное их преимущество -корректный учет условия излучения - проявляемся для открытых структур. В последнее время в основном используют либо коммерческие пакеты на основе методов сеток и методов конечных элементов, либо развивают указанные методы для конкретных структур [29-31]. Поэтому развитие быстрых и точных алгоритмов исследования структур продолжает быть актуальной задачей.

Второй из решаемых задач является исследование затухающих колебаний с учетом излучения в цилиндрическом ДР (ЦДР) и прямоугольном ДР (ПДР), а также квазисобственных волн в многослойных ДВ и ДВ с прямоугольной конфигурацией во всем частотном диапазоне (в том числе ниже частоты отсечки), при наличии потерь, активных и нелинейных слоев. Здесь следует отметить, что ЦДР исследовались приближенно [7] и на основе ИУ методом возбуждений [32], ПДР - только приближенной и в основном без учета радиационного излучения [3343]. Моды ДВ исследованы выше отсечки. Было исследование при приближении к частоте отсечки сверху (А.Г. Рожнев, А.Б. Маненков). Примененный в диссертации итерационный метод решения дисперсионного уравнения (ДУ) позволил получить дисперсию во всем частотном диапазоне. В работе введена новая классификация мод для линейных структур и исследованы волны в нелинейных структурах.

Третьей решаемой в работе задачей является исследование ФКВ, включая получение потерь для вытекающих мод, на основе нового полученного в работе ИУ. Следует заметить, что ФК и ФКВ исследуются в основном с использованием метода плоских волн, метода изочастот, метода сверхрешетки и численно с использованием коммерческих программ.

Четвертой решаемой в диссертации задачей является гомогенизация и исследование электрофизических (электродинамических) свойств ФК. Развиваются три метода гомогенизации: на основе усреднения полей - решений ИУ и вычисления дипольных (мультипольных) моментов, усредненных по ячейке периодичности; на основе усреднения дисперсионных зависимостей по углам распространения волн на основе решения задач дифракции падения плоской волны на конечную пластину ФК или полубесконечную ФК структуру при различных углах (т.е. путем усреднения по углам падения). В последнем случае ФК имеет квазипериодическую структуру (КПС), поэтому указанный подход является более строгим при использовании полученных гомогенных параметров в задачах дифракции. Частотный диапазон его применения в принципе не ограничен, как и частотный диапазон гомогенных свойств при использовании строгих дисперсионных зависимостей, тогда как введение усредненных по ячейке дипольных моментов и усредненных полей предполагает использование длин волн существенно больших, чем максимальный период ячейки. К этой же задаче примыкает исследование свойств квазипериодических структур, включая и структуры с потерями и нелинейностями. Численные результаты в диссертации получены для металлических и диэлектрических ФК. Численные результаты получены для одноосных металлических и диэлектрических ФК, а гомогенизация проведена на основе вычисления замедления п с использованием соотношения е„(&0,к) = и2 =к2/к0, при этом в полосе запирания (Ьапё§ар) волновой вектор к мнимый. Из поставленных задач следуют цели работы.

Цели работы:

2. Теоретическое исследование собственных и квазисобственных (комплексных) мод планарных ДВ и ДВ с прямоугольной конфигурацией, включая вытекание ниже частот отсечки, и разработка методов итерационного решения соответствующих ИУ и ИДУ.

Научная новизна работы:

8. Впервые получены электрофизические параметры - тензоры эффективной диэлектрической проницаемости ряда штыревых проволочных конфигураций металлических ФК строгим электродинамическим методом.

Научно-практическая значимость работы. Результаты, полученные в настоящей работе, представляют существенный практический интерес для проектирования и расчета устройств на основе ДР, ДВ, ФК, включая управляемые структуры с диссипативными, активными и нелинейными свойствами, а также при создании метаматериалов с заданными свойствами. Они, в частности, могут быть использованы при анализе распространения и туннелирования импульсов в фильтрующих конечных ФК структурах и ДВ, в отрезках волноводов с нелинейными свойствами, при решении задач о возбуждении отрытых структур (ДВ, ДР и ФКВ), фотонно-кристаллических резонаторов.

Отдельный практический интерес представляют следующие результаты:

3. Проведенное исследование спектра комплексных излучаемых волн в ДР и комплексных мод ДВ позволяет решать задачи о возбуждении открытых структур на основе ДР и ДВ, а также о распространении импульсов через конечные и бесконечные структуры ДВ, в металлодиэлектрических волноводах и в ФКВ.

Защищаемые положения и результаты (положения и результаты, выносимые на защиту):

3. Среди нескольких низших мод открытых цилиндрических и прямоугольных ДР есть моды как с высокой, так и с низкой радиационными добротностями, при этом индексы мод комплексные в том смысле, что вычисляемые по формулам экранированных резонаторов с их использованием частоты должны быть комплексными, а вдоль осей координат в объеме резонаторов не укладываются целые числа полу волновых вариаций полей.

4. Моды открытых ДВ без потерь, моды ФКВ и волноводов типа канал в диэлектрике с многослойной и импедансной оболочками демонстрируют следующие особенности: выше частоты осечки волна медленная при импедансе канала меньше импеданса оболочки (среды) и быстрая в противном случае; при переходе частоты через отсечку и дальнейшем ее уменьшении замедление сначала резко уменьшается, а затем начинает возрастать, волна становится медленной с близким к 900 углом вытекания и растущими обратно пропорционально частоте потерями; быстрые моды волноводов типа полый канал в диэлектрике и полых ФКВ с уменьшением частоты переходят в медленные волны, практически полностью вытекающие в оболочку.

I. Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК:

3. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Интегральные уравнения для фотонно-кристаллических волноводов // Оптика и спектроскопия. 2010. Т. 109. № 4. С.643-655.

5. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Волны плоскопараллельного волновода типа «канал с многослойными стенками» // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2010. Т. 53. № 1. С. 31-40.

6. Альтшулер Е.Ю., Давидович М.В., Стефюк Ю.В. LM-волны полупроводниково-диэлектрического плоскослоистого волновода с диссипативными и активными слоями // РЭ. 2010. Т. 55. № 1. С. 25-32.

II. Статьи в других реферируемых периодических изданиях, сборниках и в трудах международных научных конференций:

9. Davidovich M.V., Bushuev N.A, Stephuk J.V. Dispersion of open helix // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics . Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 47-56. lO.Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilovsky PA. Metallic wire photonic crystals: analysis of electrophysical properties // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 79-92.

П.Давидович M.B., Савин A.H., Стефюк Ю.В. Металлические фотонные кристаллы: анализ электрофизических свойств // Труды 21-й Международной Крымской конференций СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (CriMiKo'2011). Севастополь, Украина. 2011. Р. 289-290. ISBN 978-966-335-355-5. IEEE Catalog Number: CFP11788-PRT.

12. Давидович M.B., Стефюк Ю.В., Шиловский П.А., Явчуновская С.В. Материальные параметры металлических проволочных фотонных кристаллов // Излучение и рассеяние электромагнитных волк ИРЭМВ-2011. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2011. С. 246-250.

13.Davidovich M.V., Stephuk J.V. Modes of rectangular and plane-parallel waveguides with impedance walls // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 13-th International Conference (MMET'2010), September 6-8, 2010. Kiev, Ukraine. 978-l-4244-8860-5/10/$26.00 © 2010 IEEE. 4 P.

14.Davidovich M.V., Stephuk J.V. Iteration methods for analysis of dielectric waveguides and resonators // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 13-th International Conference (MMET), September 6 - 8, 2010. Kiev, Ukraine. 978-1-4244-8860-5/10/$26.00 © 2010 IEEE. 4 P.

16. Давидович М.В., Савин А.Н., Стефюк Ю.В. Прямой метод высокого порядка интегрирования нелинейного неоднородного одномерного уравнения Гельмгольца // Излучение и рассеяние электромагнитных волн ИРЭМВ-2009. Труды конференции, Таганрог, ТРТУ. 2009. С. 331-335.

17.Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilin I.V. Waves in active and dissipative flat-layered periodic and pseudo-periodic structures // Proc. of SPIE. 2007. V. 6537. P. 65370F-65370K.

18.Davidovich M.V., Stephuk J.V. H- and LM- modes of rectangular and square section dielectric waveguides // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2009. Issue 9. P. 13-25.

19.Davidovich M.V., J.V. Stephuk., Yu.S. Myasoedov. New approach for pulses in structures with dispersive nonlinear inhomogeneous media // Modeling in Applied

Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 921.

21. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic wire and dielectric metamaterials // 2008 International Workshop on Metamaterials, Meta08. Nov. 912, Nanjing, China. 2008. P. 251-254.

23.Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Integral and integrodifferential equations for quasiperiodic structures // Proceedings of International conference Actual Problems of Electron Devices Engineering (APEDE-2008). 2008. SSTU. P. 312316.

24. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic artificial media // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 67-75.

III. тезисы докладов международных школ и семинаров:

26.Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Итерационные методы и алгоритмы для интегральных уравнений диэлектрических резонаторов и волноводов // Материалы XIX международной зимней школы-семинара по электронике сверхвысоких частот и радиофизике. 2009. Саратов: Издательский центр «РАТА». С. 36.

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» (г. Саратов, Россия).

Личный вклад автора: лично автором произведена основная часть расчетов и интерпретирована значительная часть полученных в работе результатов. Постановка задач и разработка алгоритмов проводилась совместно с научным руководителем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников и приложения - списка обозначений и аббревиатур. Работа изложена на 229 страницах машинописного текста и содержит 52 рисунка и 4 таблицы. Список использованных источников содержит 209 наименований.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Разработаны итерационные алгоритмы решения однородных и неоднородных операторных уравнений с определением собственных значений путем достижения экстремума функционала на основе совместных итерационных процедур типа минимальных невязок с линеаризацией, выполненной замораживанием значений на предыдущем шаге итерации.

Исследованы моды диэлектрических и металлодиэлектрических и фотонно-кристаллических волноводов с импедансными, многослойными, квазипериодическими и нелинейными оболочками. Для ДВ с сердцевиной расчеты демонстрируют переход от медленных поверхностных мод ДВ к быстрым вытекающим модам при понижении частоты, а затем опять к медленным модам с очень высоким уровнем вытекания при дальнейшем понижении частоты. Для волноводов типа полый канал, ФКВ и канал с металлической оболочкой на высоких частотах вытекание слабое, волна в основном распространяется в канале; на сверхнизких частотах угол вытекания близок к 90 градусам, волна становится медленной и распространяется в основном в оболочке. Для квазипериодической оболочки затухание носит резонансный характер при изменении частоты.

4. Развиты методы гомогенизации фотонных кристаллов, исследованы различные фотонно-кристаллические структуры, в том числе металлические проволочные фотонные кристаллы. Определены их электрофизические параметры. В частности, показана возможности наличия отрицательных компонент тензора диэлектрической проницаемости у одноосного и двухосного проволочного металлического ФК с идеально проводящими проволочками. Указанные параметры получены для структур, где бианизотропией и магнитными свойствами можно пренебречь. В общем случае проницаемости и два тензора кросс-поляризации, описывающие ФК, зависят от частоты и волнового вектора, т.е. от дисперсионной поверхности (ветви). В зоне непропускания волновой вектор может иметь мнимые компоненты, что соответствует отрицательным значениям компонент постоянных распространения. Наличие потерь, конечность структуры, нарушение периодичности или монохроматичности приводят к размыванию (исчезновению) зон непропускания (Ьапс^ар). При этом волновые векторы и проницаемости становятся комплексными. Возможность распространения с большим затуханием волн в Ьапс^ар приводит к тому, что осуществляется переход с одной дисперсионной ветви на другую через указанные зоны, причем групповая скорость изменяется от очень малых значений на их границе к весьма большим значениям в центре, многократно превышающим скорость света.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в настоящей работе исследования позволили дать ответ на ряд актуальных вопросов электродинамики, оптики и фотоники. Впервые строго исследованы моды ЦДР, ПДР и многослойных СКР с учетом потерь и радиационных добротностей и потерь в материале. Показано наличие высоко добротных и низкодобротных мод. распределение полей в ДР не соответствует обычно используемой индексации мод, при этом следует использовать комплексные индексы.

Показан переход от медленных поверхностных слабо вытекающих (при наличии потерь в структуре) мод открытых диэлектрических и многослойных волноводов к быстрым вытекающим модам, которые затем становятся медленными и сильно вытекающими в процессе изменение частот от больших значений до сверхнизких величин. При этом отсечке соответствует равенство коэффициента замедления единице. Исследованы волноводы типа полый канал с импедансными многослойными стенками, а также фотонно-кристаллические волноводы. Произведено исследование туннелирование сильной электромагнитной волны через нелинейные структуры и показана возможность ограничения ее мощности.

Разработаны методы гомогенизации для ФК и ФКС и определены электрофизические параметры простейших проволочных металлических ФК.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Стефюк, Юлия Валентиновна, Саратов

1. Pendry J.B., Holden A. J., Stewart W. J. Youngs I. Extremely low frequency plasmons in metallic meso structures // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 4773-4776.

2. Sievenpiper D.F., Sickmiller M.E. Yablonovitch E. 3D wire mesh photonic crystals // Phys. Rev. Lett. 1996, Vol. 76. P. 2480-2483.

3. Pendry J.B., Holden A.J., Robbins D.J., Stewart W.J. Low frequency plasmons in thin wire structures // J. Phys. Condens. Matter. 1998. Vol. 10, pp. 4785-4809.

4. Sievenpiper D.F., Yablonovitch E., Winn J.N., Fan S., Villeneuve P.R., Joannopoulos J.D. 3D metallo-dielectric photonic crystals with strong capacitive coupling between metallic islands // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80. P. 2829-2832.

5. Pendry J.B., Holden A.J., Robbins D.J., Stewart W.J. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena // IEEE Trans. 1999. Vol. MTT- 47. No. 11. P. 20752084.

6. Smith D.R., Padilla W.J., Vier D.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 4184-4187.

7. Ильченко M.E., Взятышев В.Ф., Гассанов Л.Г. и др. Диэлектрические резонаторы. М.: Радио и связь, 1989. 328 с.

8. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н., Шатров А.Д. Собственные волны диэлектрических волноводов сложного сечения // РиЭ. 1979. Т. 24. № 7. С. 1246— 1263.

9. Соколов Г.Е. Особенности сходимости метода частичных областей при исследовании дисперсии волн в диэлектрических волноводах // Известия вузов. РФ. 1986. Т. 29, № 6. С. 705-713.

10. Клеев А.И., Маненков А.Б. Расчет диэлектрических волноводов методом коллокаций//Известия вузов. РФ. 1988. Т. 31, № 1. С. 93-102.

11. Клеев А.И., Маненков А.Б. Отражение от обрыва прямоугольного диэлектрического волновода//Известия вузов. РФ. 1989. Т. 32, № 1. С. 106-109.

12. Давидович М.В. Фотонные кристаллы: функции Грина, Интегродифференциальные уравнения, результаты моделирования // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2006. Т. XLIX. № 2. С. 150-163.

13. Давидович М.В. Двумерные интегральные уравнения для анализа оптических волноводов // Радиотехника. Всеукр. межвед. н-т сб. Вып. 110. 1999. С. 119-124.

14. Davidovich M.V. Analysis of optical waveguides using the two-dimensional integral equations // Proceedings of International Conference on Transparent Optical Networks. Kielce, Poland. 1999. P. 181-184.

15. Давидович М.В., Стефюк Ю.В., Шиловский П.А. Металлические проволочные фотонные кристаллы. Анализ электрофизических свойств // ЖТФ. 2012. Т. 82. Вып. 3. С. 7-14.

16. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь, 1998. 160 с.

17. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А., Итерационные методы и квадратичные функционалы. В сб.: Методы вычислительной математики, Новосибирск, Наука, 1975.

18. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итерационные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

19. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

20. Красносельский М.А., Крейн М.Г. Итерационные процессы с минимальными невязками // Математ. Сб. 1952. Т. 31. № 2. С. 315-354.

21. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др., Приближенное решение операторных уравнений, М.: Наука, 1969.

22. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Итерационные методы и алгоритмы для интегральных уравнений диэлектрических резонаторов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2010. Т. 53. № 4. С. 1-14.

23. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Интегральные уравнения для фотонно-кристаллических волноводов // Оптика и спектроскопия. 2010. Т. 109. № 4. С. 643655.

24. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Нелинейное прохождение электромагнитной волны через слой с квадратичной и дробно-полиномиальной зависимостями диэлектрической проницаемости // ПНД. 2010. Т. 18. № 3. С. 160-177.

25. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Волны плоскопараллельного волновода типа «канал с многослойными стенками» // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2010. Т. 53. № 1. с. 31-40.

26. Альтшулер Е.Ю., Давидович М.В., Стефюк Ю.В. LM-волны полупроводниково-диэлектрического плоскослоистого волновода с диссипативными и активными слоями РиЭ. 2010. Т. 55. № 1. С. 25-32.

27. Давидович М.В., Стефюк Ю.В. Моды многослойного концентрического сферического резонатора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. № 4. С. 18-27.

28. Гольдберг Л.Б., Пензяков В.В. Расчет аксиально-симметричных Н-колебаний в диэлектрических резонаторах методом интегральных уравнений // РиЭ. 1982. Т. 27. №9. С. 1735-1740.

29. Давидович М.В. Метод конечных элементов в пространственно-временной области для нестационарной электродинамики // ЖТФ. 2006. Т. 76. Вып. 1. С. 13-23.

30. Давидович М.В. Новые типы интегральных уравнений электродинамики на основе регуляризации ядер // Направляющие линии, функциональные устройства, элементы технических установок СВЧ. Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. техн. ун-т, 1997. С. 18-28.

31. Давидович М.В. Численный метод для задач дифракции на полубесконечных структурах // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2006. Т. XLIX. № 3. С. 235-245.

32. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. 272 с.

33. Glisson A.W., Kajfez D., James S.J. Evaluation of Modes in Dielectric Resonators Using a Surface Integral Equation Formulation // IEEE Trans. 1983. Vol. MTT-31, No. 12. P. 1023-1029.

34. Guillon P., Garault Y. Accurate resonant frequencies of dielectric resonators // IEEE Trans. 1977. Vol. MTT-25, No. 11. P. 916-922.

35. Mongia R.K. Theoretical and experimental resonant frequencies of rectangular dielectric resonators // IEE Proceedings-H. 1992. Vol. 139, No. 1. P. 98-104.*35

36. Ke S.Y., Cheng Y.T. Integration Equation Analysis on Resonant Frequencies and Quality Factors of Rectangular Dielectric Resonators // IEEE Trans. 2001. Vol. MTT-49, No. 3. P.571-574.

37. Guillon P., Garault Y. An accurate design of dielectric resonators. P. 197-199.

38. Liu Y., Safavi-Naeini S., Chaudhuri S.K., Sabry R. Efficient simulation of rectangular dielectric resonators using volume MPIE-MoM formulation with combined entire-domain and subdomain basis functions // IEEE Trans. 2004. Vol. AP-52, No. 1. P. 327331.

39. Вайнштейн Jl.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966. 476 с.

40. Хижняк Н.А. Функции Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред // ЖТФ. 1958. Т. 28, № 7. С. 1892-1910.

41. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев.: Наук, думка, 1986. 280 с.

42. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры: М.: Мир. 1977. 486 с.

43. Дмитриев В.Н., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1987. 167 с.

44. Ильинский А.С., Свешников А.Г. Численные методы в теории дифракции. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 90 с.

45. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высш. шк., 1991. 224 с.

46. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983.296 с.

47. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих экранах (псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции). М.: ИПРЖР, 1996. 176 с.

48. Захаров Е.В., Дмитриев В.Н. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. 184 с.

49. Эскин Г.Э. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука. 1973.232 с.

50. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир. 1985. 472 с.

51. Davidovich M.V. Regularization of kernels for volume integral equations // Modeling in applied electromagnetics and electronics. Saratov. Saratov University Press. 2006. Issue 7. P. 30-38.

52. Гюнтер H.M. Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953. 416 с.

53. Van Bladel J. On the resonances of dielectric resonator of very high permittivity // IEEE Trans. Vol. MTT-23. No. 2. P. 199-208.

54. Дао Л.Ц. Математические методы в физике. М.: Мир, 1965. 296 с.

55. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. 832 с.

56. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1971. 664 с.

57. Smith D.R., Knoll N. Negative refractive index in left-handed materials // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 2933-2936.

58. Shelby R., Smith D., Schultz S. Experimental verification of a negative index of refraction. Science. 2001. Vol. 292. P. 77-79.

59. Pokrovsky A.L., Efros A.L. Lens based on metallic photonic crystals and the problem of left-handed materials // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89. P. 093901(1-4).

60. Luo C., Johnson S.G., Joannopoulos J.D., Pendry J.B. All-angle negative refraction without negative effective index // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 201104(1-4).

61. Maslovski S.I., Tretyakov S.A., Belov P.A. Wire media with negative effective permittivity: a quasistatic model // Microwave Opt. Technol. Lett. 2002. Vol. 35. 47-51.

62. Belov P.A., Marque R., Maslovski S.I., Nefedov I.S., Silveirinha M., Simovski R., Tretyakov S.A. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit //Phys. Rev. В 67. 2003 P.l 13103(1-4).

63. Luo C., Johnson S.G., Joannopoulos J.D., Pendry J.B. Subwavelength imaging in photonic crystals // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 045115(1-15).

64. Pokrovsky A.L. Analytical and numerical studies of wire-mesh metallic photonic crystals //Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. P. 195108(1-7).

65. Simovski C.R., Belov P.A. Low-frequency spatial dispersion in wire media // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 046616(1-8).

66. Smith D.R., Pendry J.B., Wiltshire M.C.K. Metamaterials and negative refractive index // Science. 2004. Vol. 305. P. 788-782.

67. Shen J.T., Catrysse P.B., Fan S. Mechanism for designing metallic metamaterials with a high index of refraction // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94, P. 197401(1-4).

68. Silveirinha M.G., Fernandes C.A. Homogenization of 3D- Connected and Non-Connected Wire Metamaterials // IEEE Trans. 2005. Vol. MTT-53. P. 1418-1430.

69. Belov P.A., Simovski C.R., Ikonen P. Canalization of subwavelength images in layers by electromagnetic crystals // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 71. P. 193105(1-4).

70. Nefedov I.S., Viitanen A.J., Tretyakov S.A. Electromagnetic wave refraction at an interface of a double wire medium // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 245113(1-9).

71. Nefedov I.S., Simovski C.R., Belov P.A., Viitanen A.J. Tretyakov S.A. Negative refraction at the interface of double wire media // EPFL Latsis Symposium 2005. Programme & abstracts. Lausanne. 2005. P. 117.

72. Silveirinha M.G., Fernandes C. A., Costa J.R. Superlens made of a metamaterial with extreme effective parameters // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 78. P. 195121(1-7).

73. Давидович M.B. Фотонные кристаллы: функции Грина, интегродифференциальные уравнения, результаты. Саратов, изд-во Сарат. ун-та, 2005. 40 с.

74. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic artificial media // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 67-75.

75. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic metamaterials // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 12-th International Conference (MMET'2008). Odessa, Ukraine. 2008. P. 527-529.

76. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Homogenization of periodic wire and dielectric metamaterials // 2008 International Workshop on Metamaterials, Meta08. Nov. 9-12, Nanjing, China. 2008. P. 251-254.

77. Davidovich M.V., Stephuk J.V. Homogenization of periodic metamaterials // Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Proceedings of 12-th International Conference (MMET'2008). Odessa, Ukraine. 2008. P. 527-529.

78. Davidovich M.V., Bushuev N.A, Stephuk J.V. Dispersion of open helix // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 47-56.

79. Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilovsky PA. Metallic wire photonic crystals: analysis of electrophysical properties // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2011. Issue 10. P. 79-92.

80. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

81. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1973; М.: Наука, 1987.

82. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.

83. Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М.: Физматгиз, 1959.

84. Варга Р., Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974.

85. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука, 1989.

86. Давидович М.В. Определение параметров эквивалентной схемы открытого конца микрополосковой линии на основе электродинамического анализа микрополоскового резонатора // Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1984. Вып. 6(366). С. 28-31.

87. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

88. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука. 1990. 528 с.

89. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

90. Davidovich M.V. Regularization of kernels for volume integral equations // Modeling in applied electromagnetics and electronics. Saratov: Saratov University Press. 2006. Issue 7. P. 30-38.

91. Doncker P.D. A potential integral equations method for electromagnetic scattering by penetrable bodies // IEEE Trans. 2001. Vol. AP-49, No. 7. P, 1037-1042.

92. Nisbet A. Electromagnetic potentials in a heterogeneous nonconducting medium // Proc. R. Soc. Lond. A, Math. Phys. Sei. 1957. Vol. 240. P. 375-381.

93. Sarma M.S. Potential functions in electromagnetic field problems // IEEE Trans. 1970, Vol. Magnet. 6, No. 3. P. 513-518.

94. Mayergoyz I.D. Some remarks concerning electromagnetic potentials // IEEE Trans. 1993. Vol. Magn.-29, No. 2. P. 1301-1305.

95. Приходько Г.И., Синявский Г.П. Электродинамический анализ микрополосковой линии на подложке с градиентом диэлектрической проницаемости // РиЭ. 1998. Т. 43, №3. С. 271-275.

96. ЮО.Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз. 1962.

97. Davidovich M.V. Regularization of kernels for volume integral equations // Modeling in applied electromagnetics and electronics. Saratov: Saratov University Press. 2006. Issue 7. P. 30-38.

98. Müller С. Foundation of the Mathematical theory of electromagnetic waves. SpringerVerlag, New York, 1969.

99. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1997. 352 с.

100. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. 460 с.

101. Давидович М.В. К нестационарной теории возбуждения резонатора // РиЭ, 2001, Т. 46, № 10. С. 1198-1205.

102. Давидович М.В. К нестационарной теории возбуждения волноводов // РиЭ, 2001, Т. 46, № 11. С. 1285-1292.

103. Л.А.Вайнштейн. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440 с.

104. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 540 с.

105. Семенов A.A. Теория электромагнитных волн. Изд-во Московск. ун-та. 1968. 180 с.

106. Гуревич Л.Г. Полые резонаторы и волноводы. М. Сов. радио, 1952. 75 с.

107. Пановский В. Филипс. Классическая электродинамика. М.: ГИФМЛ, 1963. 432 с.

108. JI. Левин. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981. 312 с.

109. Harrington R.F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. N. Y.: McGraw-Hill. 1961.

110. Марков Г.Т. Возбуждение шара // ЖТФ, 1953. Т. 23, №. 5.

111. Rode D.L. Concentric Spherical Resonator Eigenfrequencies // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1968. Vol. MTT-16. No. 6. P. 369-372.

112. Еременко 3.E., , Филиппов Ю.Ф. Резонансные колебания в изотропном неоднородном сферическом резонаторе // 9-th International Crimean Microwave Conference. 1999. Microwave & Telecommunication Technology. 1999. C. 390 391.

113. Julien A., Guillon P. Electromagnetic Analysis of Spherical Dielectric Shielded Resonators // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1986. Vol. MTT-34. No. 6. P. 723-729.

114. Wolff I. A Generalized Description of the Spherical Three-Layer Resonator with an Anisotropic Dielectric Material // MTT-S International Microwave Symposium Digest. 1987. Vol. 87. Issue 1. P. 307-310.

115. Gastine M., L. Courtois L., Dormann J.L. Electromagnetic Resonances of Free Dielectric Spheres // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1967. Vol. MTT-15. No. 12. P. 694-700.

116. Bressan M., Conciauro G. Singularity Extraction from the Electric Green's Function for a Spherical Resonator // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1985. Vol. MTT-33. No. 5. P. 407-414.

117. Tobar M.E., Krupka J., Ivanov E.N., Le Floch J.-M., Cros, D. Spherical resonators with Bragg confinement // 2004 Digest of the LEOS Summer Topical Meetings: Biophotonics/Optical Interconnects and VLSI Photonics/WBM Microcavities. 2004. P. 14-15.

118. Hrabar S., Eres Z., Kumric H. Spherical resonators acting as rf replicas of plasmonic nanospheres // 2007 IEEE Antennas and Propagation International Symposium. 2007. P. 4340-4343.

119. Фейнман P., Лейтон P., Сендс M. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм. Т. 5. М.: Мир, 1966, 298 с.

120. Альперт Я.Л. Молния и распространение электромагнитных волн звуковой частоты // УФН. 1956. Т. 40, вып. 3. С.369-389.

121. Марков Г.Т., Петров В.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Сов. радио, 1970. 376 с.

122. Басс Ф.Г., Гуревич Ю.Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда. М.: Наука, 1975. 400 с.

123. Морс Ф.М., Фешбах Г.Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958, т.1. 930 с.

124. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978, Т.1. 548 с.

125. Schlosser W., Unger H.G. Partially filled waveguides and surface waveguides of rectangular cross-section / in Advances in Microwaves. New York: Academic Press, 1966. P. 319-387.

126. Goell J.E. A Circular-Harmonic Computer Analysis of Rectangular Dielectric waveguides // Bell Syst. Tech. J. 1969. Vol. 48, No. 7. P. 2133 2160.

127. Marcatili E. A. J. Dielectric Rectangular Waveguide and Directional Coupler for Integrated optics // Bell Syst. Tech. J. 1969. Vol. 48, No. 7. P. 2071 2102.

128. Goell J.E., Standley R.D. Integrated optical circuits // Proceedings of IEEE. 1970. Vol. 58. No. 10. 1504-1516.

129. Pregla R. A method for the analysis of coupled rectangular dielectric waveguides // Arch. Elekt. Übertragung. 1974. Vol. 28. P. 349-357.

130. Горобец A.H., Дерюгин Л.И., Сотин B.E. К анализу прямоугольного диэлектрического волновода // РиЭ. 1975. Т. 20, № 1. С. 86-94.

131. Jacobs H., Novick G., LoCascio C.M., Chrepta M.M. Measurement of Guide Wavelength in Rectangular Dielectric Waveguide // IEEE Trans. 1976. Vol. MTT-24, No. 11. P.815 820.

132. Ogusu K. Measurements of Dispersion Characteristics and Field Distributions in Rectangular-Dielectric Waveguide and its Modifications // IEEE Trans. 1978. Vol. MTT-26, No. 3.P. 169-171.

133. Yeh C. W. Optical waveguide theory // IEEE Trans. 1979. Vol. CAS-26. P. 1011-1019.

134. Kot J., Rozzi Т.Е. Rigorous Modelling of Single and Coupled Rectangular Dielectric Waveguide by Transverse Resonance Diffraction // 14th European Microwave Conference, 1984. P. 424 429.

135. Bierwirth K., Schulz N., Arndt F. Finite-Difference Analysis of Rectangular Dielectric Waveguide Structures // IEEE Trans. 1986. Vol. MTT-34, No. 11. P. 1104 1114.

136. Адаме M. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984. 512 с.

137. Давидович М.В. Улучшение самофильтрации мод в полых волноводах с многослойной магнитодиэлектрической оболочкой // РиЭ. 1994. Т.39. № 1. С. 5361.

138. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. H-modes of rectangular dielectric waveguide // Proceedings of International conference Actual Problems of Electron Devices Engineering (APEDE-2008). 2008. SSTU. P. 308-312.

139. Davidovich M.V., Stephuk J.V. H- and LM- modes of rectangular and square section dielectric waveguides // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2009. Issue 9. P. 13-25.

140. Davidovich M.V., Stephuk J.V., Shilin I.V. Waves in active and dissipative flat-layered periodic and pseudo-periodic structures // Proc. of SPIE. 2007. Vol. 6537. P. 65370F-65370K.

141. Голант Е.И. Новый подход к расчету вытекающих мод многослойных волноводных структур, основанный на точном методе конечных разностей // Письма в ЖТФ. 2005. 51, вып. 24. С. 81-87.

142. Голант Е.И., Голант К.М. Новый подход расчета спектра и радиационных потерь вытекающих мод многослойных оптических волноводов // ЖТФ. 2006. Т.76, вып. 8. С. 99-106.

143. Котельников И.А. О затухании в волноводе // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 9. С. 91-96.

144. JI.A. Вайнштейн. Распространение импульсов // УФН, 1976. Т. 118. В. 2. С. 339— 367.

145. Davidovich M.V., J.V. Stephuk., Yu.S. Myasoedov. New approach for pulses in structures with dispersive nonlinear inhomogeneous media // Modeling in Applied Electromagnetics and Electronics. Saratov University Press. 2007. Issue 8. P. 9-21.

146. Давидович M.B.O плотности электромагнитной энергии ее скорости в среде с аномальной положительной дисперсией // Письма в ЖТФ. 2006.'Т.32. Вып. 22. С 53-63.

147. Егоров Ю.В. Частично заполненные прямоугольные волноводы. М.: Сов. Радио. 1967.216 с.

148. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 630 с.

149. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М. Физматгиз, 1960. 550 с.

150. Любченко В.Е., Мартяхин В.А. Усиление миллиметровых волн при взаимодействии с дрейфующими электронами в слоистых полупроводниковых диэлектрических волноводах // РиЭ. 1993. Т. 38. № 10. С. 1900 1903.

151. Глущенко А.Г. Теория волноведущих структур СВЧ с нелинейными пленками // Изв. Вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 9. с. 1098-1103.

152. Смирнов Ю.Г. О распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // РиЭ. 2005. Т. 50, №2. С. 196-202.

153. Лерер А.М. Простой метод исследования распространения электромагнитных волн в нелинейных диэлектрических средах // РиЭ. 1997. Т. 42, № 6. С. 649 652.

154. Макеева Г.С., Голованов O.A. Электродинамический анализ взаимодействия электромагнитных волн с нелинейными гиромагнитными включениями в волноведущих структурах // РиЭ, 2006. Т. 51, № 3. С. 261-267.

155. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1988. 240 с.

156. Белоцерковский О.М. Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: 1982.

157. Исаков М.В. Пермяков В.А. Численный анализ распространения Н-волны в прямоугольном волноводе с включением нелинейного диэлектрика // Известия Вузов. РФ. 1988. Т. 31, №9. С. 1139-1140.

158. Альтшулер Е.Ю., Давидович М.В. Дифракция сильной электромагнитной волны на полупроводниковых элементах в прямоугольном волноводе // Успехи современной радиоэлектроники. 2008. № 10. С. 39-46.

159. Альтшулер Е.Ю., Давидович М.В. Нелинейная дифракция электромагнитной волны на полупроводниковом элементе в прямоугольном волноводе // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2008. Т. 11. № 4. С. 64-69.

160. Молотков И.А. Маненков А.Б. О нелинейных туннельных эффектах // РиЭ. 2007. Т. 52. № 7. С. 799-806.

161. Тихонровов A.B., Трубецков М.К. Новые задачи многослойной оптики // РиЭ. 2005. Т. 50, № 2. С. 265-272.

162. Yablonovich Е. Photonic band structures: the face-centered-cubic case employing nonspherical atoms // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 67. № 17. P. 2295-2298.

163. Shelby R.A., Smith D.R., Schultz S. Experimental verification of a negative index of refraction // Science. 2001. Vol. 292, no. 4. P.77-79.

164. Smith D.R., Kroll N. Negative refractive index in left-handed Materials // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85, no. 14, P.2933-2936.

165. Smith D.R., Schultz S., Markos P., Soukoulis C.M. Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients //Phys. Rev. В., Condens. Matter. 2002. Vol. 65. P. 1951041-1951045.

166. Silveirinha M.G., Fernandes C.A. Homogenization of Metamaterial Surfaces and Slabs: The Crossed Wire Mesh Canonical Problem // IEEE Trans. 2005. Vol. AP-53, No. 1. P. 59-69.

167. Silveirinha M.G., Fernandes C.A. Homogenization of 3-D-Connected and Nonconnected Wire Metamaterials // IEEE Trans. 2005. Vol. MTT-53, No. 4. P. 1418— 1430.

168. Третьяков C.A. Электродинамика сложных сред: киральные, бианизотропные и некоторые другие материалы // РиЭ. 1994. Т. 39. № 10. С. 1457-1470.

169. Бутылкин B.C., Крафтмахер Г.А. "Левая" композиционная среда на основе волноведущих структур с бианизотропным заполнением // РиЭ. 2005. Т. 51, № 5. С. 518-532.

170. Davidovich M.V., J.V. Stephuk. Integral and integrodifferential equations for quasiperiodic structures // Proceedings of International conference Actual Problems of Electron Devices Engineering (APEDE-2008). 2008. SSTU. P. 312-316.

171. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: ИЛ, 1954. 216 с.

172. Brown W.F. Dielectrics. Handbuch der Physik 17. Springer, Berlin. 1956.

173. Силин P. А. Периодические волноводы. M.: ФАЗИС. 2004. 460 с.

174. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G.C. "Homogenization in Deterministic and Stochastic Problems". Stochastic Problems in Dynamics, ed. B.L. Clarkson, Pitman, London, 1977. P. 106-115.

175. Папаниколау Дж. В сб. Нелинейные электромагнитные волны. М.: Мир, 1983. Гл. 9. С. 185-191.

176. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 372 с.

177. El Feddi М., Ren Z., Razek A. Homogenization Technique for Maxwell Equations in Periodic Structures // IEEE Trans. 1997. Vol. Magn. 33, no. 2. P. 1382-1385.

178. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Едиториал УРСС, 2003. 377 с.

179. Ouchetto О., Zouhdi S., Bossavit A., et al. Modeling of 3-D periodic multiphase composites by homogenization // IEEE Microwave Theory and Techniques. 2006. Vol. MTT-54, no. 6, part 2. P. 2615 2619.

180. Ordal M.A., Long L.L., Bell R.J., et al. Optical properties of the metals Al, Co, Cu, Au, Fe, Pb, Ni, Pd, Pt, Ag, Ti, and W in the infrared and far infrared // Applied Optics. 1983. Vol. 22. No. 7. P. 1099-1120.

181. Yasumoto K., Yoshitomi K. Efficient calculation of lattice sums for free-space periodic Green's function // IEEE Trans Antennas and Propagat. 1999. Vol. AP-47, no. 6. P. 1050- 1055.

182. Graglia R.D., Uslenghi P.L.E., Zich R.E. Dispersion relations for bianisotropic materials and its symmetry properties // IEEE Trans. 1991. Vol. AP-39, no. 1. P. 83-90.

183. Briks T.A., Roberts P.J., Russell P.St.J., Atkin D.M., Shepherd T.J. Full 2-D photonic bandgap in silica/air structures // Electron. Lett. 1995. Vol. 31. N. 22. P. 1941-1943.

184. Cregan R.F., Mangan B.J., Knight J.C., Briks T.A., Russell P.St.J., Roberts P.J., Allan D.C. Single mode photonic bandgap guidance of light ion air // Science. 1999. Vol. 285. N. 5433. P. 1537-1539.

185. Желтиков A.M. Дырчатые волноводы // УФН. 2000. Т. 170. № 11. С. 1203.

186. Мелехин В.Н., Маненков А.Б. Диэлектрические трубы как волноводы с малыми потерями // ЖТФ. 1968. Т. 38. № 12. С. 2113-2115.

187. Мелехин В.Н., Маненков А.Б. Диэлектрические трубы открытые волноводы с малыми потерями и редким спектром / В кн. Электроника больших мощностей. М. Наука, 1969. № 6. С. 161-178.

188. Казанцев Ю.Н., Харлашкин О.А. Прямоугольные волноводы класса «полый канал в диэлектрике» // РиЭ. 1978. Т 23ю № 10. С. 2060-2068.

189. Chou R.C., Lee S.W. Modal attenuation in multilayered coated waveguides // IEEE Trans. 1988. Vol. MTT-36. No. 7. P. 1167-1176.

190. Давидович M.B. Улучшение самофильтрации мод в полых волноводах с многослойной магнитодиэлектрической оболочкой // РиЭ. 1994. Т.39. № 1. С. 5361.

191. Benisty Н. Modal analysis of optical guides with two-dimensional photonic band-gap boundaries // J. Appl. Phys. 19965. Vol. 79. P. 7483-7492.

192. Du F., Lu Y., Wu S. Electrically tunable liquid-crystal photonic crystal fiber // Appl. Phys. Lett. 2004. Vol. 85. N. 12. P. 2181-2183.

193. Давидович M.B., Стефюк Ю.В. Интегральные уравнения фотонно-кристаллических волноводов // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2009. Серия Физика. Т. 9. В. 1. С. 2-17.

194. Давидович М.В. Фотонные кристаллы: функции Грина, интегродифференциальные уравнения, результаты. Саратов, изд-во Сарат. ун-та, 2005. 40 с.

195. Kamenetskii Е.О. Nonreciprocal microwave bianisotropic materials: reciprocity theorem and network reciprocity // IEEE Trans. 2001. Vol. AP-49, No. 3. P. 361-366.

196. Альтшулер Е.Ю. Высокочастотные волновые процессы в электродинамических системах с тонкими полупроводниковыми элементами // Диссертацияд.ф.-м.н., Саратов, СГУ, 2010, 321 с.

197. Список аббревиатур и основные обозначения

198. ДВ диэлектрический волновод,

199. ДП диэлектрическая проницаемость,

200. ДР диэлектрический резонатор,

201. ДУ дисперсионное уравнение,

202. ИДУ интегродифференциальное уравнение,1. ИС искусственная среда,

203. ИУ интегральное уравнение,

204. КПС квазипериодическая структура,

205. КСР концентрический сферический резонатор,1. КЭ конечный элемент,

206. МКР метод конечных разностей,

207. МКЭ метод конечных элементов,

208. ММН метод минимальных невязок,

209. МПП метод последовательных приближений,

210. МПИ метод простой итерации,1. МРК метод Рунге-Кутта,

211. МФК металлический фотонный кристалл,

212. МЧО метод частичных областей,

213. ОИУ объемное интегральное уравнение,

214. ПДР прямоугольный диэлектрический резонатор,

215. ПИУ поверхностное интегральное уравнение,

216. ПИВ плоскопараллельный волновод,

217. ПКД полый канал в диэлектрике,

218. РФП резонатор Фабри-Перро,1. СВЧ сверхвысокие частоты,1. СНЧ сверхнизкие частоты,1. СР сферический резонатор,

219. ТЭДП тензор эффективной диэлектрической проницаемости,1. ФГ функция Грина,1. ФК фотонный кристалл,

220. ФКВ фотонно-кристаллический волновод,

221. ФКС фотонно-кристаллическая структура,

222. ЦДР цилиндрический диэлектрический резонатор,1.0 одномерный,2.0 двумерный,3.0 трехмерный.

223. Везде векторы в трехмерном пространстве обозначены жирными буквами, например, Е(г).

224. Векторы в пространстве Гильберта обозначены стрелкой сверху (или нежирным шрифтом), например, /.

225. Точка истока обозначена штрихом: г', а точка наблюдения как г.

226. Поперечные составляющие векторов имеют знак J, например, Е±.

227. Для дифференциальных операторов использованы обозначения: V = grad, Vx ее rot, V- s div, VV- = V®V = (grad\div) = grad • div, V2 ее (div\grad).v означает внешнюю нормаль к поверхности.d3r = dV элемент объема.d2r = dS- элемент поверхности.

228. Тензоры и операторы обозначены шляпками сверху, например, ё, L, D.

229. Скалярное произведение обозначено так: (F(r)E(r)) = (F(r),E(r)) = jF*(r)E(r)dV.к

230. Звездочка означает комплексное сопряжение.

231. Матрицы обозначены большими буквами нежирным шрифтом, например, А или А.