Электроконвекция диэлектрических и слабопроводящих жидкостей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

-

Ильин Владимир Алексеевич

ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И СЛАБОПРОВОДЯЩИХ ЖИДКОСТЕЙ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006

Работа выполнена на кафедре физики фазовых переходов Пермского государственного университета

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук

Смородин Борис Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Тарунин Евгений Леонидович (Пермский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Вертгейм Игорь Иосифович

(Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь) Ведущая организация -

Пермский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится " 2&"н Л.2006 года в 15.15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан " 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доцент

Г. И. Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Поведение гидродинамических систем в электрическом поле имеет ряд особенностей, связанных с характером возникновения заряда в жидкости и взаимодействием его с внешним полем, что важно для фундаментальной науки. В переменном электрическом поле, при определённом соотношении между амплитудой и частотой модуляции, возможны: 1) резонансные явления, связанные с резким понижением порога конвекции, усилением интенсивности электроконвективных движений, или 2) ослабление и даже полное подавление конвекции. Знание законов действия электрического поля на конвективные течения актуально и с практической точки зрения в связи с проблемой эффективного управления конвекцией и тепло- и массоперено-сом в различных технологических ситуациях, в частности, в электрогидродинамических насосах и немеханических переключателях.

Исследования, вошедшие в диссертацию, проводились в порядке выполнения работы над фантгами Российского фонда фундаментальных исследований (01-01-00515, 03-01-00327, 05-01-00789), Ведущие научные школы РФ (1981.2003.1), Научно-образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" (РЕ 009-0).

Цель работы: исследование нелинейных режимов электроконвекции неоднородно нагретых жидкостей в постоянном или переменном электрическом поле горизонтального конденсатора, при действии диэлектрофоретического или электрокондуктивного механизмов зарядообразования; изучение конкуренции электрических и гравитационных механизмов конвекции.

В работе исследуются:

- характер ветвления слабонелинейных режимов электроконвекции идеального диэлектрика в постоянном электрическом поле для случая свободных неде-формируемых границ;

- возникающие в маломодовых моделях электротермической конвекции нелинейные режимы и сценарии перехода к хаотическому движению идеальных диэлектриков и слабопроводящих жидкостей в случае постоянного или переменного воздействия;

- полученные с помощью прямого численного моделирования (методом конечных разностей) стационарные и волновые конечно-амплитудные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле.

Научная новизна работы состоит в систематическом исследовании надкритических режимов электроконвекции в диэлектрических и слабопроводя-щих жидкостях, помещенных в постоянное или переменное поле горизонтального конденсатора. В работе впервые

- изучен характер ветвления монотонных режимов электроконвекции неизотермического идеального жидкого диэлектрика, находящегося в постоянном электрическом и гравитационном полях.

- на основе модифицированных моделей Лоренца изучен характер электроконвективных движений в переменном поле:

а) для идеального диэлектрика на плоскости период-амплитуда поля найдены области равновесия, периодических и хаотических колебаний;

б) для идеального диэлектрика при нагреве слоя сверху исследована временная эволюция надкритических синхронных колебаний, принадлежащих двум различным классам; обнаружено, что средние теплопотоки в различных режимах отличаются в несколько раз; найдены интервалы гистерезисных переходов между различными режимами электроконвекции;

в) для слабопроводящей жидкости (в случае мгновенной релаксации заряда) получена карта режимов и определены области синхронизации нелинейных колебаний с внешним полем;

- на основе восьмимодовой модели, учитывающей конечное время релаксации заряда, исследованы нелинейные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости в постоянном поле; обнаружены гистерезисные переходы между монотонными и колебательными режимами; продемонстрировано качественное совпадение результатов с экспериментальными данными;

- на базе маломодовых моделей определены сценарии перехода к хаосу при произвольных частотах и амплитудах переменного электрического поля; в модели электрокондуктивной конвекции обнаружен и проанализирован переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода:

- в слабопроводящей жидкости изучены трансляционно-симметричные режимы бегущих волн нелинейной электротермической конвекции; обнаружены асимметричные волновые движения, возникающие в результате нарушения трансляционной симметрии; проанализировано их пространственно-временное поведение и гистерезисные переходы между ними.

Автор защищает:

- Результаты определения характера ветвления монотонных режимов электроконвекции идеального диэлектрика.

- Результаты исследования нелинейных колебаний, полученные на основе трёхмодовой модели электроконвекции идеального диэлектрика; карты режимов; анализ поведения и свойства двух типов синхронных колебаний, соответствующих различным областям параметрического возбуждения; результаты изучения конкуренции и гистерезисных переходов между данными режимами.

- Результаты исследования нелинейных режимов электроконвекции слабопро-водящей жидкости на основе маломодовых моделей. Определение границ областей существования периодических, квазипериодических и хаотических режимов на плоскости период-амплитуда электрического поля.

- Результаты определения сценариев перехода к хаосу в маломодовых моделях электроконвекции.

- Результаты численного моделирования пространственно-временной эволюции стационарных и колебательных конечно-амплитудных режимов электроконвекции слабопроводящей жидкости.

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты исследования нелинейных движений жидких диэлектриков могут быть полезны как при планировании новых экспериментальных исследований, так и для решения практических задач об эффективном управлении электроконвекгивным движением диэлектрических жидкостей в различных технологических ситуациях (в электрогидродинамических насосах, в высоковольтных устройствах). Решённые в диссертации задачи и обнаруженные новые эффекты углубляют понимание особенностей действия разных механизмов электроконвекции. Результаты исследований надкритических режимов, и обнаруженные сценарии перехода к хаосу в маломодовых моделях электроконвекции дополняют теорию динамических систем и позволяют более глубоко понять природу перехода к турбулентности в реальных элекгрогидродинамических системах.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных методов исследования, хорошим согласием с ранее известными результатами в общих областях значений параметров; пороги устойчивости и чатота колебаний, полученные методом конечных разностей, согласуются с данными линейной теории.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 14]. Из них [1 - 5] - статьи, остальные тезисы. Работы [3, 6,1,9 -12] выполнены автором лично. В работах [1, 2, 4, 5, 8, 13, 14] автор проводил вычисления и участвовал в обсуждении результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на: Международной конференции по фундаментальным наукам "Ломоносов -2002" (Москва); 11-ой Всероссийской конференции молодых учёных "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2002); конференциях молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2002, 2003, 2004, 2005); XXXI, XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" (С. Петербург, 2003, 2004); VII международной конференции ''Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей" (С. Петербург, 2003); 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред (Пермь, 2005); а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого.

Структура и содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав с результатами исследований автора, заключения и списка литературы (109 названий). Общий объём диссертации 137 страниц, включая 47 рисунков и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе (во введении) показана актуальность исследований, приведён обзор литературы по рассматриваемой проблематике, дана общая характеристика работы, обсуждаются новизна и достоверность результатов.

Во второй главе на основе электрогидродинамического приближения изучается электроконвекция неоднородно нагретой идеальной диэлектрической жидкости в электрическом поле плоского горизонтального конденсатора, когда существенную роль играет диэлектрофоретический механизм неустойчивости, связанный с неоднородной поляризацией жидкости. Считается, что диэлектрическая проницаемость s = еъ (I - ßcT) - линейная функция температуры с положительным коэффициентом Д..

В первом параграфе главы формулируется задача об электротермической конвекции идеального диэлектрика в плоском горизонтальном слое толщиной h, к границам которого приложена разность температур ©. Напряжение на границах слоя постоянно, либо изменяется по гармоническому закону: A<p = UcosfQ/), где U-амплитуда, Q = 27t///- частота, tf - период модуляции. Считается, что разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения ¡7», начиная с которого необходимо учитывать инжек-цию заряда.

Конвекция диэлектрика обусловлена двумя механизмами неустойчивости: термогравитационным и диэлектрофоретическим, и характеризуется тепловым Ra = PogfíQh1 ¡tjx и электрическим Rat=£uU2(Д.©)2 jrjx числами Рэ-лея, а также числом Прандтля Pr = r¡¡ хра и безразмерной частотой модуляции электрического поля co = p0Qh2/rj (g - ускорение свободного падения, pa,rj,х,Р~ плотность жидкости, коэффициенты вязкости, температуропроводности и теплового расширения).

Во втором параграфе проведён слабонелинейный анализ характера ветвления конечно-амплитудных режимов монотонной моды неустойчивости в постоянном электрическом поле и поле тяжести. С помощью метода многих масштабов (разложения решений в ряд по степени над критичности) получено амплитудное уравнение, позволяющее определить характер ветвления вторичных режимов. Для случая свободных границ аналитически рассчитаны коэффициенты амплитудного уравнения, анализ которых показал, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий.

В третьем параграфе с помощью метода Галёркина получена трёхмодо-вая модель электроконвекции, которая является обобщением модели Лоренца на случай переменного электрического поля и описывает эволюцию амплитуд крупномасштабных пространственных мод. В модели присутствуют следующие параметры: г = Ra/ Rao и е - Rat/Ra£„ — нормированные тепловое и электрическое числа Рэлея; b = 4/(1 + к2) - геометрический параметр, к - волновое число (Rao = я-4(1 + к2)3/к2, Rae0 = я* + к2)4 / к4 - пороги термогравитационной и диэлектрофоретической конвекции в постоянном поле).

Система уравнений для амплитуд интегрировалась численно методом пошагового интегрирования Рунге-Кутта-Мерсона. Для интегрирования дифференциальных уравнений использовались постоянные начальные условия, либо осуществлялась процедура продолжения по параметру. Полученные реализации временной эволюции амплитуды анализировались с помощью быстрого преобразования Фурье, и определялся спектральный состав отклика конвективной системы на внешнее электрическое поле. Для идентификации хаотического режима вычислялся наибольший показатель Ляпунова.

Расчеты проведены для Рг = 10. Геометрический параметр b = 2 при к = 1 (критическое волновое число при Ra = 0). Исследование нелинейных режимов конвекции идеального диэлектрика в переменном электрическом поле проведено в невесомости (г = 0) и при нагреве сверху (г = -10), когда термогравитационная конвекция не возникает, причиной движения служит диэлектрофоре-

тическая неустойчивость. На плоскости период tf -\!v (обратная частота) -амплитуда модуляции е построены карты режимов электроконвекции (рис. 1), где можно выделить области с различным поведением жидкости: I - равновесие, II - периодические колебания; III - хаотические колебания.

В случае невесомости (рис. 1 а) при высоких внешних частотах (малых периодах) переход к хаосу, как и в триплете Лоренца, осуществляется из стационарного состояния при электрическом числе е = 41.78 - в два раза большем, чем в постоянном поле (е0 = 20.89). Это связано с тем, что благодаря периодическому воздействию е cos2®/ в высокочастотном пределе при усреднении по времени получается ео = е/2. При умеренных частотах переход от периодических к хаотическим колебаниям (область III) происходит через квазипериодичность (в спектрах колебаний кроме удвоенной внешней частоты присутствует несоизмеримая с ней собственная частота). На рис. 1 а три "языка" хаотических режимов (1, 2, 3) разделены областями квазипериодичности. Выше третьего "языка" хаоса обнаружены близко расположенные области с периодическим (окна периодичности) и хаотическим поведением, которые тянутся в область низких частот (больших периодов).

Рис 1 Карты режимов на плоскости период модуляции - электрическое число Рэлея а) в случае невесомости (г = 0), б) при нагреве сверху (г = -10), I - равновесие, II - периодические режимы, III - хаотические режимы

На карте режимов электроконвекции для случая нагрева сверху в поле тяжести (рис. 1 б, г = -10) существуют резонансные области электроконвекции с синхронными колебаниями двух различных классов' Н1 (среднее за период

значение функции тока равно нулю), Н2 (среднее за период значение функции тока отлично от нуля)1. При высоких частотах и больших надкритичностях (выше области Н2), а также в области периодов 1.5 < tf< 3.3 (на границе II -

III) переход к хаосу происходит через квазипериодичность. Выше области HI, вблизи нижней границы области III существуют окна периодичности. При определённом соотношении амплитуды и частоты внешнего поля переход к хаосу возможен из состояния равновесия: при tj >3.3 ниже границы областей I - III

хаотические колебания затухают - система приходит в равновесие, выше этой границы жёстким образом рождается хаотический режим.

Для характеристики интенсивности теплопереноса через конденсатор использовалось среднее значение теплопотока (число Нуссельта Nu). Вычисления показали, что для колебаний класса HI - Nu ~ 1, для возмущений класса Н2 - приблизительно в два с половиной раза больше. В окрестности точки пересечения резонансных областей (штриховая линия на рис. 1 б) происходит конкуренция возмущений этих классов. На рис. 2 приведён график зависимости среднего по времени числа Нуссельта от амплитуды поля е для частоты внешнего поля v = 0.7 (tf= 1.43).

Из графика видно, что при с = 25.5 мягко рождается режим класса HI (NUmax = 1.08). Резкое увеличение теплопотока (Numax = 2.65) в интервале амплитуд поля 29.3 < е < 36.7 связано с переходом к возмущениям класса Н2, рождающимся жёстким образом. В области 29.3 < е < 33 происходит конкуренция режимов HI и Н2, а в области 33 < е < 36.7 - конкуренция колебаний класса Н2 и равновесия Eq. В интервале амплитуд 36.7 < е < 39.3 в диэлектрике возможно только равновесие (Eq). Дело в том, что в отсутствие электрического поля жидкость, нагреваемая сверху (г = -10), находится в состоянии сильной устойчивости. Переменное поле может параметрически возбудить неустойчивость только в резонансных областях, характеризующихся определённой амплитудой и час-

'Smorodin В I , Velarde M G On the parametric excitation of electrothermal instability in a dielectric liquid layer using an alternating electric field// J of Electrostat 2001 Vol 50, No 3 P 205226

Рис. 2 Безразмерный средний теплопоток при у 0.7 (<г= 1.43)

тотой. Выход из области резонанса связан с затуханием возмущений и равновесием жидкости - переменное поле в этих областях не способно возбудить электроконвекцию. При е > 39.3 происходит жёсткий переход к хаосу из равновесия. В области хаоса расположены окна периодичности. Первое из них лежит в интервале амплитуд поля 40 < е < 40.8.

В третьей главе обсуждается конвекция слабопроводящей жидкости в электрическом поле горизонтального конденсатора. В первом параграфе главы формулируется задача об электроконвекции. Основным механизмом зарядооб-разования, а, следовательно, неустойчивости, в этом случае считается электро-кондуктивный механизм, обусловленный линейной зависимостью электропроводности среды от температуры: а = сгй(1 + Д,Г), где Д, -положительный температурный коэффициент электропроводности. В этом случае градиент температуры порождает неоднородность электропроводности жидкости и приводит к накоплению свободного заряда в её объёме, который посредством ку-лоновской силы взаимодействует с внешним электрическим полем и может приводить жидкость в движение, даже в невесомости. Диэлектрофоретическая часть электрической силы не существенна. Электроконвективные движения в этом случае характеризуются электрическими числами Рэлея RafcQsU^/rjx и Прандтля Рге = £7]/Игр0ад. Малость параметра Д,©«1 даёт возможность использовать безындукционное приближение, в котором пренебрегается электрическим полем, связанным с перераспределением заряда в жидкости, по сравнению с внешним электрическим полем.

Во втором параграфе для свободных и недеформируемых границ слоя с помощью метода Галёркина получена восьмимодовая модель электроконвекции слабопроводящей жидкости, в которой е = Rao/Ra^o - нормированное электрическое число Рэлея, характеризующее электрокондуктивную неустойчивость (Raoo = Зж4(1 + к2)*/&к2 - порог электрокондуктивной конвекции в постоянном поле); d = (4 + £2)/(l + &2) - второй геометрический параметр, параметр ge = Рг/(РгУ(1 + *2) характеризует время релаксации заряда.

В третьем параграфе исследование линейной устойчивости равновесия и нелинейных режимов конвекции слабопроводящей жидкости проведено в частном случае мгновенной релаксации электрического заряда (Рге = 0). Расчёты проведены для числа Прандтля Рг = 100. Рассмотрен случай невесомости (г = 0). Значения геометрических параметров b = 2.077, d = 2.56 рассчитаны для

е

150

минимума нейтральной кривой в постоянном поле (к = 0.962, частота колебаний v. = 2.55, критическое электрическое число е, = 41.51).

При превышении порога устойчивости в постоянном поле мягко возбуждается колебательный режим. При е„ = 519.11 происходит переход от периодического режима колебаний к перемежаемому хаосу - хаотическому движению, которое прерывается периодами регулярного движения. Отношение электрического параметра, при котором наступает перемежаемость, к критическому электрическому числу: е„/ е, = 12.5.

На карте режимов электроконвекции в переменном поле (рис. 3) изображены области: I - равновесия; II - вынужденной синхронизации колебаний жидкости с внешним полем (1, 2, 3, 4); III - квазипериодических и IV - хаотических колебаний. По терминологии второй главы движения в областях 1 и 3 являются синхронными колебаниями класса HI, а в областях 2 и 4 - класса Н2.

Рост параметра е при приближении к границам областей III - IV приводит к появлению большого числа комбинированных частот на фоне двух несоизмеримых основных и переходу к хаосу через квазиперио-

100

50

1 lf\ N /1 V IV r- \ W IV

\\ 111 III l \ \'\ i \ III III 4\

24 1 4"4

0.5

1.0

1.5

2.01/v

Рис. 3 Карта режимов на плоскости период модуляции - электрическое число Рэлея (в случае невесомости г = 0): I - равновесие, П - периодический (области синхронизации 1, 2, 3, 4), III - квазипериодический и IV - хаотический режимы

личность. Области синхронизации в пространстве параметров вклиниваются сверху в область хаотических режимов. При выходе из области синхронизации периодический сигнал с частотой, связанной с частотой внешнего поля, и её высшими гармониками становится хаотическим. Переход к хаосу происходит из одночастотного периодического режима.

В четвёртом параграфе для случая постоянного поля исследована вось-мимодовая модель электроконвекции в случае, когда время релаксации заряда конечно, при разных нагревах в поле тяжести. Для расчетов брались значения параметров Рг = 400, Рге = 30, соответствующих данным эксперимента. Волновое число к ~ 0.933 выбиралось в минимуме нейтральной кривой при г = 0. Ему соответствуют значения параметров b - 2.138, d = 2.604, ge - 0.722.

Nu 25

Зависимость среднего числа Нуссельта от электрического параметра е представлена на рис. 4 для надкритичности г = 1.1. В отсутствие электрического поля наблюдается монотонная термогравитационная конвекция. Во внешнем электрическом поле конвективный поток тепла уменьшается (участок АВ на

рис. 4) - электрическое поле подавляет тепловую конвекцию до тех пор, пока не установится равновесие при ев = 1.3. При значении электрического поля ее = 3.4 мягко возникает колебательный режим конвекции, который существует на участке СЕ. Обнаружен гистерезис: при еЕ = 9.8 происходит переход от колебательного режима к монотонному режиму (участок СИ); при движении в пространстве пара-

метров справа налево при ес, = 6.5 наблюдается обратный переход.

В области 7.98 < е < 8.2 обнару-

1 5

12

Рис 4 График зависимости тегшопотока от электрического числа при г = 1.1

жена последовательность бифуркаций удвоения периода, в результате которой происходит переход к хаосу (в области хаоса ОЕ существуют окна периодичности). Интервал между последовательными бифуркациями удвоения периода уменьшается с ростом их номера в соответствии с законом Фейгенбаума. Вычисленная по первым четырём бифуркациям константа Фейгенбаума 8 -4.674 отличается от точного значения на 0.1 %.

Зависимости числа Нуссельта от электрического числа, рассчитанные в результате интегрирования маломодо-вой модели, представлены на рис. 5. Проведено качественное сравнение с экспериментом2. Общим в результатах является то, что при подкритическом нагреве (г = 0.8) при некотором значе-

Рис 5 Зависимость среднего геплопотока от электрического числа при иадкритичпо-стях г = 0.8, 1.1,1.3

2Kosvtntsev S R, Smorodin B L , Zhdanov S A, Makankhin I Yu Electroconvective stability in a honzontal capacitor// Proceedings of Intern. Conf "Modern Problems of Electrophysics and Elec-trohydrodynamics of Liquids" (MPEEL) St-Petersburg 2000 P 79-82

нии напряжения конвекция возникает мягко, колебательным образом. При надкритическом нагреве (г = 1.1, 1.3) для нулевого напряжения теплоперенос отличается от 1, наблюдается монотонная конвекция. Теплоперенос убывает с ростом напряжения - электрическое поле подавляет её. При критическом значения напряжения теплоперенос достигает минимума, после которого начинает возрастать, в слое наблюдается колебательная конвекция.

В четвёртой главе изучено поведение периодических вдоль горизонтальной оси конечно-амплитудных электроконвективных движений слабопроводящей жидкости, в которой действует электрокон-дуктивный механизм зарядообразо-вания, в постоянном электрическом поле горизонтального конденсатора, ограниченного твёрдыми изотермическими границами. Рассмотрен случай мгновенной релаксации заряда. Исследовано взаимодействие элек-трокондуктивного и термогравитационного механизмов конвекции.

В первом параграфе данной главы формулируется задача. Во втором - обсуждается численный метод её решения, описывается конечно-разностная схема. Для вычислений используется неявная схема, уравнение Пуассона решается методом последовательной верхней релаксации. При расчётах использованы ячейки ¿0= 2я/& = 1.54 и Ь = 2 £о- В третьем параграфе представлены результаты прямого численного моделирования. Вычисления проведены при параметрах: Рг = 1, Яа = 2500. Данное значение числа Прандтля позволяет уменьшить сложность проблемы, а основные черты электроконвекции при этом сохраняются.

В качестве переменной, характеризующей конвективные режимы, использовано среднее за период значение максимальной функции тока ц/т. Построена карта режимов электроконвекции (рис. 6). Обнаружено, что электрическое поле ослабляет монотонную термогравитационную конвекцию ("$1:") - с ростом поля максимальная функция тока уменьшается, обращаясь в нуль при Яа^ = 1560. При дальнейшем росте электрического поля из состояния равнове-

Рис. 6. Карта режимов электроконвекции при фиксированных параметрах Рг = 1, Яа = 2500. .«и - монотонный режим; в ячейке £о = 1 54. 1 - волна, бегущая вправо, 2 - волна, бегущая влево; в ячейке Ь = 3.08: 3 - волна, бегущая вправо, 4 - волна, бегущая влево

сия жёстким образом при Яа,, = 3796 рождается электроконвективный режим колебаний жидкости. Частота колебаний в переходном процессе вблизи порога конвекции совпадает с данными линейной теории с точностью 2.7%, пороги возникновения монотонного режима - 0.7%, колебательного режима - 4 %.

В результате эволюции колебаний в слое устанавливаются бегущие волны (1,3- движение вправо, 2, 4 - влево). В одинарной ячейке ¿0 = 1.54 обнаружены две бегущие волны, которые дважды воспроизводятся в ячейке Ь ~ 210 - трансляционно-симметричные режимы (1, 2). Кроме того, в ячейке двойной длины I. ~ 3.08 существуют ещё два асимметричных (3, 4) колебательных режима. Кроме бегущих волн с постоянной амплитудой (1,2, 3 - БЕ, 4 - П) обнаружены амгагатудно-модулированные бегущие волны (3 - АВ, ВС; 4 - РС, ОБ). Причём только на участках ВС и СИ амплитудно-модулированные бегущие волны связаны с перестройкой во времени структуры полей (происходит последовательная смена: двух - четырёх - трёх - двух вихрей). Обнаружены и исследованы гистерезисные переходы между режимами на участках СО и Н1.

В заключении перечислены основные результаты исследований, изложенные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для случая свободных границ проведён слабонелинейный анализ возбуждения электроконвекции идеального диэлектрика. Определены коэффициенты амплитудного уравнения. Показано, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий.

2. На базе трёхмодовой модели электроконвекции идеального диэлектрика изучены нелинейные регулярные и хаотические колебания в переменном электрическом поле. Получены карты режимов электроконвекции; определены спектральные свойства колебаний и характеристики теплопереноса при различных значениях амплитуды и частоты электрического поля.

3. Обнаружены различные режимы нелинейных синхронных колебаний идеального диэлектрика, отличающиеся относительно трансляции на половину периода. Показано, что интенсивность теплопереноса в одном режиме примерно в два раза больше чем в другом. Определены области гистерезисных переходов между различными типами регулярных колебаний.

4 На основе маломодовых моделей исследованы нелинейные режимы электроконвекции неравномерно нагретой слабопроводящей жидкости. Определены границы существования квазипериодических и хаотических колебаний. По-

казано, что периодические движения в различных областях синхронизации принадлежат различным классам синхронных колебаний. Для произвольных частот и амплитуд модуляции электрического поля построена карта режимов электроконвекции.

5. В случае конечного времени релаксации заряда для исследования электроконвекции слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле предложена восьмимодовая модель. На ее основе изучено влияние электрического поля на монотонные и колебательные движения. Результаты расчётов качественно согласуются с данными эксперимента. Обнаружены гистерезисные переходы между различными конвективными режимами.

6. Определены сценарии перехода от стационарных состояний (в том числе равновесия) или периодических движений к хаосу в маломодовых моделях электроконвекции; продемонстрированы сценарии перехода к хаосу через квазипериодичность, перемежаемость, субгармонический каскад.

7. В случае постоянного электрического поля методом конечных разностей исследовано возникновение и эволюция двумерных нелинейных структур электроконвекции слабопроводящей жидкости. Показано, что при больших значениях поля жёстким образом рождаются нелинейные режимы бегущих волн, различающиеся пространственно-временным поведением: с постоянной амплитудой и модулированные волны. В пространстве параметров задачи определены области существования этих режимов и гистерезисные переходы между ними.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Периодические и хаотические режимы электроконвекции жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе// Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, Вып. 10. С. 57 - 63.

2. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Конвекция омической жидкости в переменном электрическом поле// Вестник Пермского университета. Физика. Вып. 1. Пермь. 2003. С. 102- 107.

3. Ильин В. А. Слабонелинейный анализ режимов конвекции идеального жидкого диэлектрика в горизонтальном слое// Вестник Пермского университета. Физика. Вып. 1. Пермь. 2004. С. 100 - 105.

4. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Конвекция идеального диэлектрика в переменном электрическом поле// Вестник Пермского университета. Физика. Вып. 1. Пермь. 2005. С. 94-100.

«8- 4 9 5 2 -wsl

5. Смородин Б. JI., Ильин В. А. Электроконвективные колебания слабопро-водящей жидкости в переменном электрическом поле// Сб. докл. VII межд. науч. конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей». С.- Петербург. 2003. С. 247 - 250.

6. Ильин В. А. Характер ветвления слабонелинейных режимов конвекции в идеальных жидких диэлектриках// Тезисы докладов Международной конференции «Ломоносов - 2002», секция «Физика». МГУ. Москва. 2002. С. 68.

7. Ильин В. А. Стационарные, периодические и хаотические режимы конвекции в постоянном и переменном электрических полях// Тезисы докладов 11-ой Всероссийской конференции молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь. 2002. С. 17.

8. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Конвекция слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле// Тезисы докладов конференции молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2002. С. 51.

9. Il'in V.A. Investigation of electroconvection of poorly conducting liquid in alternating electric fleld on the base of five-mode model// Abstr. XXXI Summer School - Conference «Advanced Problems in Mechanics». St. Petersburg. 2003. P. 49 - 50.

10. Ильин В. А. Конвекция слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле// Тезисы докладов конференции молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2003. С. 40 - 41.

11. Il'in V. А. Electroconvection of poorly conducting liquid in electric field// Abstr. XXXII Summer School - Conference «Advanced Problems in Mechanics». St. Petersburg. 2004. P. 54.

12. Ильин В. А. Надкритические режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости// Тезисы докладов конференции молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2004. С. 34.

13. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Исследование надкритических режимов электроконвекции в идеальном диэлектрике,'/ Тезисы докладов 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь. 2005. С. 141.

14. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Динамика электроконвективных структур слабопроводящей жидкости// Тезисы докладов конференции молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2005. С. 39 - 40.

Подписано в печать 21 февраля 2006 г Формат 60 х 84/16 Печать офсетная Уел печ л 0.9 Тираж 100 экз. Заказ3V.iT Отпечатано на ризографе ООО «Учебный Центр «Информатика», 614990 г Пермь, ул Букирева, 15

1. ВВЕДЕНИЕ.

1.1. Обзор литературы.

1.1.1. Электроконвекция жидких диэлектриков.

1.1.2. Динамические режимы.

1.2. Общая характеристика диссертации.

2. ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИЯ ИДЕАЛЬНОГО ЖИДКОГО ДИЭЛЕКТРИКА.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Слабонелинейный анализ.

2.3. Маломодовая модель электроконвекции идеального жидкого диэлектрика.

2.3.1. Невесомость.

2.3.2. Нагрев сверху в поле тяжести.

3. МАЛОМОДОВАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ СЛАБОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Модель электроконвекции слабопроводящей жидкости.

3.3. Случай мгновенной релаксации заряда.

3.3.1. Постоянное поле.

3.3.2. Переменное поле.

3.4. Учёт конечного времени релаксации заряда в постоянном поле.

4. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОКОНВЕКТИВНЫХ СТРУКТУР СЛАБОПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Численный метод.

4.3. Стационарные и колебательные режимы электроконвекции.

Под действием гравитационных сил, благодаря пространственной неоднородности плотности жидкости или газа, могут возникать конвективные движения. Если неоднородность плотности вызвана неравномерным нагревом, то это движение называется термогравитационной конвекцией (или свободной тепловой конвекцией). При определённых условиях жидкость или газ остаются в механическом равновесии (т. е. в них отсутствуют макроскопические движения), не находясь при этом в тепловом равновесии. Это происходит, когда градиент температуры направлен вертикально, а величина его постоянна. В том случае, когда вертикальная величина неоднородности температуры превышает некоторое критическое значение, равновесие становится неустойчивым и начинается конвекция. Конвективные движения могут возникать и при сколь угодно малых неоднородностях температуры, если не выполняются условия равновесия жидкости.

Проблема конвективной устойчивости является одной из важных проблем гидродинамики (механики жидкости и газа) [1-4]. Конвекция служит источником атмосферных и океанических движений, объясняет процессы, происходящие в мантии Земли, недрах и оболочках звёзд; конвекция жидкостей и газов, обладающих электропроводностью, приводит к генерации магнитных полей космических объектов.

В электрическом поле движение жидкости возможно, как в изотермическом случае, так и при неоднородном нагреве. Такие движения называют электроконвекцией. Электрическое поле может модифицировать порог тепловой конвекции благодаря действию специфических электроконвективных механизмов неустойчивости, связанных с различными способами образования электрического заряда в жидкости. Взаимодействие свободных зарядов с внешним полем может привести к возникновению конвекции жидкости даже в невесомости. Электроконвективные явления обнаруживаются в средах, допускающих возможность существования в них достаточно сильных электрических полей. Иными словами, они наблюдаются в жидкостях, которые на практике считаются изоляторами (трансформаторное масло, бензол, фреон, дихлорэтан, керосин и другие).

Движение в диэлектрических жидкостях при наличии в них электрических пол^й было обнаружено и исследовано ещё Майклом Фарадеем [5]. В конце XIX -в начале XX столетий были начаты исследования свойств и движений диэлектриков на высоком экспериментальном уровне, в частности с применением теневых оптических методов. В последующие годы пытались выяснить причины и механизмы изотермической электроконвекции (в монографии [6] дан обзор этих работ). После выяснения роли неоднородностей среды в электрогидродинамических явлениях основное внимание стало уделяться вопросам электротермической конвекции. Начиная с 60-х годов XX века, в результате поисков магнитогидродинамических аналогов в области электричества, возникло и успешно развивается новое направление в физике - электрогидродинамика (ЭГД). Основоположником ЭГД в нашей стране принято считать Г. А. Остроумова [7]. На сегодняшний день вопросами электроконвекции занимается множество исследователей за рубежом и в России.

Поведение гидродинамических систем в постоянном и переменном электрическом поле имеет ряд особенностей, имеющих важное значение, как для фундаментальной науки, так и для многочисленных приложений. Параметрическое воздействие на жидкость может приводить либо к подавлению конвективных движений, либо к их динамическому возбуждению, либо к переходу от одного режима движения к другому. Резонансные явления, связанные с резким понижением порога конвекции, а также резкое усиление или ослабление интенсивности электроконвективных надкритических движений возможны при определённом соотношении между амплитудой и частотой модуляции электрического поля. При больших над-критичностях могут возникать различные режимы движений жидкости, включая бегущие волны с постоянной амплитудой или амплитудно-модулированные бегущие волны.

Исследование влияния электрического поля на конвективные течения актуально с практической точки зрения в связи с проблемой управления конвекцией и тепло - и массопереносом в различных технологических ситуациях. В частности, эти исследования важны благодаря возможности более эффективного управления движением диэлектрических жидкостей в электрогидродинамических насосах, и в другах электрогидродинамических устройствах.

Результаты исследований в электрогидродинамике могут быть использованы в прикладных областях, связанных с практическим применением ЭГД процессов: в технике [9-12], в космических технологиях в условиях невесомости [13]. В технике применяются ЭГД преобразователи энергии, в которых реализуется процесс непосредственного преобразования энергии электрического поля в кинетическую или внутреннюю энергию рабочего вещества. К таким устройствам относятся ЭГД насосы для перекачки слабопроводящих жидкостей типа углеводородных топлив, масел и т. п. С помощью электрического поля можно эффективно удалять газовые пузырьки из жидкости, усиливать коагуляцию взвешенных в углеводородной жидкости капель воды. Перспективными являются ЭГД расходомеры для органических жидкостей, ЭГД устройства для диагностики качества моторных масел, ЭГД компрессоры для холодильных машин. ЭГД процессы применяются в электрокаплест-руных технологиях [14] для нанесения покрытий или надписей на поверхности сложной формы при помощи струй заряженных порошков или капель чернил, а также для распыления в сильном электрическом поле растворов ядохимикатов при обработке растений. Можно перечислить и другие применения: в электрофильтрах для очистки диэлектрических жидкостей от примесей, в ЭГД эмульгаторах, в ЭГД регуляторах потока жидкости и в различных других технологических ситуациях и устройствах.

В механике жидкостей теоретическое рассмотрение электроконвективных движений ведётся на основе нелинейной системы дифференциальных уравнений, включающей уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса), уравнение переноса тепла, уравнение неразрывности, закон сохранения заряда, закон Гаусса и дополнительные специфические уравнения, характеризующие свойства среды [6, 7, 8, 15]. Эти нелинейные уравнения не могут быть решены аналитически в общем виде.

Существуют различные подходы к решению проблемы конвективной устойчивости. Один из подходов состоит в анализе поведения малых возмущений и позволяет перейти от исследования нелинейных уравнений конвекции к более простым - линейным. Обзор методов, используемых при этом, рассмотрен в работах [3, 4, 16-18]. Линейная теория конвективной устойчивости позволяет получить критические параметры, при которых малые возмущения равновесия или движения начинают нарастать. В неустойчивом состоянии малые возмущения равновесия экспоненциально растут, и наступает момент, когда их эволюция перестаёт подчиняться линейным уравнениям. Поведение возмущений конечной амплитуды может быть проанализировано лишь на основе полных нелинейных уравнений.

Один из методов нелинейного анализа уравнений конвекции заключается в разложении гидродинамических полей в ряды по степеням малого параметра. В качестве такого параметра можно использовать степень надкритичности, при которой рассматривается вторичное конвективное движение. В рамках данного подхода можно сделать заключение о характере ветвления нелинейных режимов конвекции, а в случае мягкого ветвления, когда амплитуда движения нарастает постепенно, -найти форму надкритических движений и исследовать их устойчивость. В случае жёсткого ветвления скачком возникает конвекция конечной амплитуды, и это свидетельствует о существовании нижней критической точки. Обзор методов исследования вторичных режимов приведён в монографиях [19-23].

Рассмотренный метод исследования имеет один существенный недостаток -он применим только при небольших значениях надкритичности. Другой метод -метод прямого численного моделирования, основанный на замене частных производных в нелинейных уравнениях их конечно-разностными аналогами, не связан с подобными ограничениями. Он позволяет исследовать структуру и определять характеристики вторичных режимов вдали от критической точки, рассматривать как стационарные, так и колебательные режимы конвекции. Различают методы конечных разностей и конечных элементов. Описанию подходов и приёмов расчёта конечно-амплитудных движений посвящена обширная литература [24-34].

В последние десятилетия во многих областях нелинейной динамики были обнаружены новые явления, главное из которых - хаотические движения [35]. Хаотические движения - это неупорядоченные движения в совершенно детерминированных системах [36]. Такие движения и раньше обнаруживались в механике жидкостей, но недавно их заметили в несложных механических и электрических системах, и даже в задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими открытиями пришло понимание того, что дифференциальные уравнения могут иметь ограниченные непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в эти:: уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало развитию новых математических идей, новых подходов к динамическим решениям, широко используемых сейчас исследователями.

В литературе [36-41] широко обсуждается маломодовый динамический хаос - самый простой из того, что встречается в природе и технике и поддаётся описанию с помощью детерминированных моделей. Хаотическую динамику небольшого числа заданных в пространстве мод (или структур) можно отождествить с реальной динамикой нелинейного поля (скорости, давления в гидродинамическом движении) лишь в узком интервале значений параметров. Более точно, при относительно малом превышении порога неустойчивости, или, как часто говорят, при малой над-критичности. С ростом надкритичности число степеней свободы (или поля), эффективно вовлекаемых в хаотическое движение, в общем случае увеличивается, корреляция между ними разрушается, и хаос становится всё более сложным. Этому соответствует увеличение размерности странного аттрактора, вложенного в фазовое пространство течения. Например, для термогравитационной конвекции в горизонтальном слое по мере увеличения числа Рэлея регулярная решётка конвективных структур - ячеек Бенара - "плавится", появляются дефекты, несоизмеримая модуляция и, наконец, пространственно-временной хаос, который и есть собственно турбулентность. Маломодовый хаос характеризуется сложным временным, но весьма простым пространственным поведением, отвечающим регулярной картине поля. В турбулентном режиме сложным будет и временное, и пространственное поведение [1].

Настоящая диссертационная работа направлена на исследование нелинейных режимов электроконвекции неоднородно нагретых жидких диэлектриков, в которых действует диэлектрофоретический или электрокондуктивный механизм заря-дообразования, в плоском горизонтальном конденсаторе, находящемся в постоянном или переменном вертикальном электрическом поле, в невесомости или в поле тяжести с различными динамическими условиями на границах. Для случая свободных недеформируемых границ на основе модельных уравнений исследованы нелинейные надкритические режимы электроконвекции и сценарии перехода к хаотическим режимам колебаний идеального диэлектрика и слабопроводящей жидкости. Для случая твёрдых границ с помощью численного моделирования методом конечных разностей исследованы конечно-амплитудные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости.

- Результаты исследования нелинейных режимов электроконвекции слабопроводящей жидкости на основе маломодовых моделей. Определение границ областей существования периодических, квазипериодических и хаотических режимов на плоскости период-амплитуда электрического поля.

- Результаты определения сценариев перехода к хаосу в маломодовых моделях электроконвекции.

- Результаты численного моделирования пространственно-временной эволюции стационарных и колебательных конечно-амплитудных режимов электроконвекции слабопроводящей жидкости.

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты исследования нелинейных движений жидких диэлектриков могут быть полезны как при планировании новых экспериментальных исследований, так и для решения практических задач об эффективном управлении электроконвективным движением диэлектрических жидкостей в различных технологических ситуациях (в электрогидродинамических насосах, в высоковольтных устройствах). Решённые в диссертации задачи и обнаруженные новые эффекты углубляют понимание особенностей действия разных механизмов электроконвекции. Результаты исследований надкритических режимов, и обнаруженные сценарии перехода к хаосу в маломодовых моделях электроконвекции дополняют теорию динамических систем, и, кроме того, позволяют более глубоко понять природу перехода к турбулентности в реальных электрогидродинамических системах.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных методов исследования, хорошим согласием с ранее известными результатами в общих областях значений параметров; пороги устойчивости, полученные методом конечных разностей, согласуются с данными линейной теории.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах [96 - 109]. Из них [99, 101, 103, 106, 107] - статьи, остальные тезисы. Работы [96, 97, 100, 102-105] выполнены автором лично. Остальные работы выполнены совместно с научным руководителем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на: Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов - 2002" (Москва); 11-ой Всероссийской конференции молодых учёных "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2002); конференциях молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2002, 2003, 2004, 2005); XXXI, XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" (С. Петербург, 2003, 2004); VII международной конференции "Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей" (С. Петербург, 2003); 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред (Пермь, 2005); а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого.

Структура и содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав с результатами исследований автора, заключения и списка литературы (109 названий). Общий объём диссертации 137 страниц, включая 47 рисунков и 7 таблиц.

В первой главе (во введении) показана актуальность работы, приведён обзор литературы по рассматриваемой проблематике, дана общая характеристика диссертационной работы, обсуждаются новизна и достоверность результатов.

Вторая глава посвящена результатам исследования электротермической конвекции неоднородно нагретой идеальной диэлектрической жидкости в плоском горизонтальном конденсаторе, находящемся в постоянном или переменном вертикальном электрическом поле. Основным механизмом зарядообразования, а, следовательно, неустойчивости, в идеальном диэлектрике в этом случае является ди-электрофоретический механизм, обусловленный линейной зависимостью диэлектрической проницаемости среды от температуры. Рассмотрено поведение жидкого диэлектрика в невесомости и в поле силы тяжести, когда происходит взаимодействие диэлектрофоретического и термогравитационного механизмов конвекции.

В первом параграфе данной главы формулируется задача электротермической конвекции идеального диэлектрика, описываются рассматриваемые приближения и механизмы неустойчивости. Во втором параграфе проведён слабонелинейный анализ режимов электроконвекции в постоянном электрическом поле и в поле тяжести. С помощью метода многих масштабов получено амплитудное уравнение, характеризующее ветвление конвективных режимов. Для случая свободных границ аналитически рассчитаны коэффициенты амплитудного уравнения, анализ которых показал, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий. В третьем параграфе с помощью метода Галёркина получена трёхмодовая модель электроконвекции. На основе данной модели исследованы нелинейные режимы электроконвекции в постоянном и переменном электрическом поле, в невесомости и в поле тяжести при подогреве сверху. Выделены стационарные, периодические и хаотические режимы поведения жидкости. Построены карты режимов: в пространстве параметров найдены границы существования областей равновесия, периодических и хаотических колебаний. Обнаружены два класса синхронных возмущений, различающихся временным поведением. Определены сценарии перехода к хаотическому режиму колебаний жидкости. В случае невесомости в постоянном электрическом поле и в переменном поле высокой частоты переход к хаосу происходит, как и в триплете Лоренца - из стационарного состояния, при умеренных частотах в переменном поле - через квазипериодичность. При нагреве сверху в поле тяжести при определённом соотношении амплитуды и частоты внешнего поля переход к хаосу возможен из состояния равновесия.

В третьей главе обсуждается поведение слабопроводящей жидкости в постоянном и переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. Основным механизмом зарядообразования, а, следовательно, неустойчивости, в этом случае является электрокондуктивный механизм, обусловленный линейной зависимостью электропроводности среды от температуры. Рассмотрение проведено в случае невесомости и в поле тяжести. Изучено взаимодействие электрокондуктив-ного и термогравитационного механизмов конвекции.

В первом параграфе данной главы формулируется задача электротермической конвекции слабопроводящей жидкости, рассматриваемые приближения и механизмы неустойчивости. Во втором параграфе для свободных и недеформируе-мых границ слоя получена восьмимодовая модель электроконвекции слабопроводящей жидкости, учитывающая конечное время релаксации заряда. В третьем параграфе рассмотрен частный случай мгновенной релаксации электрического заряда, который описывается пятимодовой моделью. На основе данной модели проведено исследование линейной устойчивости равновесия пятимодовой модели, и исследованы нелинейные надкритические режимы конвекции в постоянном и переменном электрическом поле в случае невесомости. Выделены стационарные, синхронные периодические, квазипериодические и хаотические режимы поведения жидкости. В пространстве параметров найдены границы существования областей с этими режимами. Определены сценарии перехода от периодического режима к хаотическому режиму колебаний жидкости: в постоянном поле хаос наступает через перемежаемость, в переменном поле - чрез квазипериодический режим. При определённом соотношении амплитуды и частоты электрического поля обнаружена синхронизация колебаний жидкости с колебаниями внешнего поля.

В четвёртом параграфе в случае, когда время релаксации заряда конечно, исследована восьмимодовая модель электроконвекции в постоянном поле при разных нагревах. Обнаружены гистерезисные переходы между монотонными и колебательными режимами. Продемонстрировано качественное совпадение зависимости среднего теплопотока от амплитуды электрического поля с результатами экспериментов. Выделены периодические и хаотические режимы движения жидкости. Показано, что переход от периодического к хаотическому режиму происходит через субгармонический каскад бифуркаций удвоения периода.

В четвёртой главе изучено поведение конечно-амплитудных электроконвективных движений слабопроводящей жидкости, в которой действует электро-кондуктивный механизм зарядообразования, в постоянном вертикальном электрическом поле горизонтального конденсатора при подогреве снизу. Применяется прямое численное моделирование, основанное на методе конечных разностей. Исследуются периодические вдоль горизонтальной оси х электроконвективные движения, устанавливающиеся в слое жидкого диэлектрика, ограниченного твёрдыми изотермическими границами. Рассмотрено взаимодействие электрокондуктивного и термогравитационного механизмов конвекции. Исследование проведено в случае, когда время релаксации заряда много меньше характерных гидродинамических времён.

В первом параграфе данной главы формулируется задача. Во втором - обсуждается численный метод её решения, описывается конечно-разностная схема. В третьем - представлены результаты прямого численного моделирования. Обнаружено, что в отсутствие электрического поля при достаточных нагревах в слое существует монотонная термогравитационная конвекция. Электрическое поле ослабляет движение - с ростом поля максимальная функция тока уменьшается, обращаясь в ноль при некотором критическом электрическом числе Рэлея. С ростом электрического поля из состояния равновесия жёстким образом рождаются электроконвективные колебания жидкости. Частота колебаний в переходном процессе вблизи порога конвекции совпадает с данными линейной теории с точностью 2.7%, пороги возникновения монотонного и колебательного режимов - 0.7% и 4% соответственно. Для стационарных и колебательных режимов электроконвекции построены: изолинии функции тока, изотермы и изолинии объёмной плотности электрического заряда, характеризующие поведение конвективных структур, и исследована их эволюция со временем. Обнаружены колебательные режимы (бегущие волны), отличающиеся пространственно-временным поведением. В качестве переменной, характеризующей конвективный режим, использовано среднее за период значение максимальной функции тока ipm.

В заключении перечислены основные результаты исследований, изложенных в диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность Б. JL Смородину за руководство работой, а также К. И. Морозову за ценные советы и замечания.

2. ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИЯ ИДЕАЛЬНОГО ЖИДКОГО ДИЭЛЕКТРИКА

Данная глава посвящена результатам исследования нелинейных режимов электротермической конвекции неоднородно нагретой идеальной диэлектрической жидкости в плоском горизонтальном конденсаторе, находящемся в постоянном или переменном электрическом поле. Основным механизмом зарядообразования, а, следовательно, неустойчивости, в идеальном диэлектрике является диэлектрофоре-тический механизм, обусловленный линейной зависимостью диэлектрической проницаемости среды от температуры. Рассмотрено поведение жидкого диэлектрика в невесомости и в поле силы тяжести, когда происходит взаимодействие диэлектро-форетического и термогравитационного механизмов конвекции.

В первом параграфе данной главы формулируется задача электротермической конвекции идеального диэлектрика, описываются рассматриваемые приближения и механизмы неустойчивости.

Во втором параграфе проведён слабонелинейный анализ режимов электроконвекции в постоянном электрическом поле и в поле тяжести. С помощью метода многих масштабов получено амплитудное уравнение, характеризующее ветвление конвективных режимов. Для случая свободных границ аналитически определены коэффициенты амплитудного уравнения, анализ которых показал, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий.

В третьем параграфе с помощью метода Галёркина получена трёхмодовая модель электроконвекции, которая отличается от триплета Лоренца наличием переменных коэффициентов. На основе данной модели исследованы нелинейные режимы электроконвекции в постоянном и переменном электрическом поле, в невесомости и в поле тяжести при подогреве сверху. Выделены стационарные, периодические и хаотические режимы поведения диэлектрической жидкости. В пространстве параметров найдены границы существования областей с этими режимами. Определены сценарии перехода от периодического режима к хаотическому режиму колебаний жидкости.

2.1. Постановка задачи

Рассмотрим плоский бесконечный горизонтальный конденсатор (рис. 2.1), заполненный вязкой несжимаемой диэлектрической жидкостью, находящейся в вертикальном электрическом поле Е и поле силы тяжести g. Ось х располагается в середине слоя и направлена вдоль границ, ось z перпендикулярна границам.

Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора имеют координаты z = - h/2, h/2 (h - толщина слоя) и нагреты до разной температуры T(-h/2) = 0, T(h/2) = 0. Здесь Г-температура, отсчитываемая от некоторого среднего значения, 0 - характерная разность температур, А = -УГ0 - градиент температуры в состоянии равновесия. Случай 0 > 0 соответствует подогреву снизу, а 0 < 0 -нагреву сверху. Выберем за начало отсчёта потенциала - потенциал верхней границы: (p{h!2) = 0, будем полагать, что потенциал нижней границы - либо постоянный, либо изменяется со временем по гармоническому закону: <p(-h/2) = Ucos(Q/). Здесь U- амплитуда напряжения, Q = 2л:///- частота, tf - период модуляции электрического поля. При нулевой частоте получается частный случай постоянного поля. Т= 0 h/2 <р=0

1 ^ Ф 0 t Л = -VT0 f Е = -V (р Х 8 = 80 (1 -РвТ)

Т= 0 -h/2 (р= t/cos(Q t)

Рис. 2.1. Конденсатор с идеальным диэлектриком. Геометрия задачи и оси координат

Рассматривая поведение диэлектрической жидкости в электрическом поле, будем использовать электрогидродинамическое приближение [6], которое соответ-ств>ет условию малости магнитных эффектов по сравнению с электрическими и определяется соотношениями: 1 сг« — L

Г ££0 Л

1/2 У

О. с 2 /г L где s - диэлектрическая проницаемость, р - магнитная проницаемость жидкости, с - фазовая скорость электромагнитной волны в жидкости, L - характерный масштаб, на котором существенно меняется магнитное поле. Для значения параметров ££0 да88.5- 1(Г12 Ф/м, рр0 «4;г-1(Г7 Гн/м, Z, да 0.1м, с»108 м/с получаются следующие ограничения на электропроводность жидкости и частоту модуляции: сг«0.1 Ом-1 м-1, Q«109 рад/с.

Для жидкостей с очень низкой электропроводностью <т ~1(Г" -И (Г9 Ом1м1 (трансформаторное, конденсаторное или кукурузное масла) роль индуцируемых полей оказывается действительно пренебрежимо малой в широком диапазоне частот. В этом случае основное влияние на динамику жидкости оказывает электрическая сила.

В общем виде электрическая сила fe, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости, может быть записана в виде [15]: fe=PeE-U2V£ + ^

PJT-Л (2.2) дР J здесь ре - свободный заряд единицы объема, р - плотность жидкости. Первая (кулоновская) часть силы (2.2) связана со свободными электрическими зарядами в жидкости. В идеальных диэлектриках она отсутствует, так как в них свободные заряды отсутствуют. Критерием идеальности диэлектрика может служить отношение д(еЕ) L ч тока смещения к току сквозной проводимости —~—-/(сг£)« T/t0 » 1, если оно велико, то токами проводимости можно пренебречь. Здесь т = е! <т - время релаксации электрического заряда в жидкости, t0 - характерное время изменения поля.

Этот критерий равносилен условию равенства электропроводности нулю. В переменных электрических полях, когда период поля мал по сравнению со временем релаксации заряда, свободные заряды не успевают возникать в объёме диэлектрической жидкости [59, 60]. Второе слагаемое в формуле для силы - диэлектрофоре-тическая сила, действующая в случае неоднородности поляризации жидкости. Последнее слагаемое имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления в уравнении Навье - Стокса. В данной главе рассматриваются идеальные диэлектрики, движение в которых может вызвать только вторая (диэлектрофоретическая) часть силы (2.2).

В идеальном диэлектрике заряд может возникнуть только из-за неоднородности поляризации жидкости, вызванной неравномерным нагревом. Будем считать, что диэлектрическая проницаемость е = s0{\- /ЗеТ) - линейная функция температуры с положительным коэффициентом Д., так что £ уменьшается с ростом температуры. Такая зависимость соответствует первым членам разложения функции s(T) в ряд Тейлора около средней температуры.

Предположим, что максимальная разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения U*, начиная с которого существенно влияние инжекции на движение жидкости. В уравнении теплопроводности пренебрежём вязкой диссипацией и джоулевым разогревом. Коэффициенты динамической вязкости и температуропроводности можно считать постоянными. Используем приближение Буссинеска. Возникновение конвекции обуславливает пространственная неоднородность плотности и диэлектрической проницаемости. С учётом этого система уравнений конвекции идеального жидкого диэлектрика в гравитационном и электрическом полях запишется в виде: Р t N ! dV / V74 + (v-V)v at -Vp + 77Дv + pg--^E2We, at divv = 0, 6xv(EE) = 0, E = -Vcp, (2.3) p = p0(\-PT), s = sQ{\-PeT).

Здесь v, p, T- поля скорости, давления и температуры, 77 - динамическая вязкость, X, Р, Д. - коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и температурный коэффициент диэлектрической проницаемости. Как правило, р и Ре ~10"3 -г Ю-4 град-1 (табл. 2.1), поэтому в обычных условиях неравенства /?0 « 1, РЕ 0 « 1 соблюдаются с достаточной точностью вплоть до десяти градусов. Результаты теоретических расчётов пороговых значений электроконвективной неустойчивости, основанной на неоднородности е, использующие условие Ре0 «1, хорошо согласуются с экспериментом [59].

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для случая свободных границ проведён слабонелинейный анализ возбуждения электроконвекции идеального диэлектрика. Определены коэффициенты амплитудного уравнения. Показано, что при любых параметрах задачи характер ветвления мягкий.

2. На базе трёхмодовой модели электроконвекции идеального диэлектрика изучены нелинейные регулярные и хаотические колебания неравномерно нагретого идеального диэлектрика в переменном электрическом поле. Получены карты режимов электроконвекции; определены спектральные свойства колебаний и характеристики теплопереноса через конденсатор при различных значениях амплитуды и частоты электрического поля.

3. Обнаружены различные режимы нелинейных синхронных колебаний диэлектрика, отличающиеся относительно трансляции на половину периода. Показано, что интенсивность теплопереноса в одном режиме примерно в два раза больше чем в другом. Определены области гистерезисных переходов между различными типами регулярных колебаний.

4. На основе маломодовых моделей исследованы нелинейные режимы электроконвекции неравномерно нагретой слабопроводящей жидкости. Изучены периодические, квазипериодические и хаотические колебания. Показано, что периодические движения в различных областях синхронизации принадлежат различным классам колебаний. Для произвольных частот и амплитуд модуляции электрического поля построена карта режимов электроконвекции.

5. В случае конечного времени релаксации заряда для исследования электроконвекции в постоянном электрическом поле предложена восьмимодовая модель. На ее основе изучено влияние электрического поля на монотонные и колебательные движения слабопроводящей жидкости. Результаты расчётов качественно согласуются с данными эксперимента. Обнаружены гистерезисные переходы между различными конвективными режимами.

6. Определены различные сценарии перехода от стационарных состояний (в том числе равновесия) или периодических движений к хаосу в маломодовых моделях электроконвекции; продемонстрированы сценарии перехода к хаосу через квазипериодичность, через перемежаемость, через субгармонический каскад.

7. В случае постоянного электрического поля методом конечных разностей исследовано возникновение и эволюция двумерных нелинейных структур электроконвекции слабопроводящей жидкости. Продемонстрировано, что электрическое поле подавляет термогравитационную конвекцию. Показано, что при больших значениях поля жёстким образом рождаются различные нелинейные волновые режимы, различающиеся пространственно-временным поведением: бегущие волны с постоянной амплитудой и модулированные бегущие волны. В пространстве параметров задачи определены области существования этих режимов и гистерезисные переходы между ними.

1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 736 с.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987. 840 с.

3. Гершуни Е. М., Жуковицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.

4. Гершуни Г. 3., Жуковицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука. 1989. 320 с.

5. Фарадей М. Экспериментальные исследования по электричеству. М.: Изд-во АН СССР. 1947. 540 с.

6. Болога М. К., Гроссу Ф.П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца. 1977. 320 с.

7. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Физматгиз. 1972. 292 с.

8. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во ЛГУ. 1989. 172 с.

9. Панкратьева И. Л., Полянский В. А. Моделирование электрогидродинамических течений в слабопроводящих жидкостях// ПМТФ. 1995. Т. 36. С. 36-44.

10. Болога М. К., Кожухарь И. А., Кожевников И. В., Сажин Т. М. Электрогидродинамические процессы и устройства// Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей. Доклады V Междунар. науч. конф. СПб. 1998. С. 147-151.

11. Малахов А. В. К вопросу о типах (классификации) электрогидродинамических насосов// Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей. Доклады V Междунар. науч. конф. СПб. 1998. С. 223-236.

12. Авдуевский В. С., Успенский Г. Р. Космическая индустрия. М.: Машиностроение. 1989. 568 с.

13. Безруков В. И. Основы электрокаплеструйных технологий. СПб.: Судостроение. 2001.246 с.

14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1982. 736 с.

15. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир. 1971.350 с.

16. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука. 1972. 392 с.

17. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир. 1981. 638 с.

18. Вайнберг М. М. Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 527 с.

19. Йосс Ж., Джозев Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир. 1983.301 с.

20. Найфэ А. X. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535 с.

21. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. /Под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба. М.: Мир. 1984. 344 с.

22. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир. 1985. 420 с.

23. Том А., Эйплт К. Числовые расчёты полей в технике и физике. Москва-Ленинград: Энергия. 1964. 208 с.

24. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971. 552 с.

25. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. 1980. 616 с.

26. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир. 1980.279 с.

27. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука. 1984. 288 с.

28. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат. 1984. 152 с.

29. Полежаев В. И., Бунэ А. В., Веризуб и др. Математическое моделирование тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука. 1987. 272 с.

30. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Том I. М.: Мир. 1990. 384 с.

31. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Том 2. М.: Мир. 1990. 392 с.

32. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. -Иркутск: изд-во Иркут. Ун-та. 1990. 228 с.

33. Арушанян О. Б., Залёткин С. Ф. Численное решение дифференциальных уравнений на Фортране. М.: изд-во МГУ. 1990. 336 с.

34. Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб.: Амфора. 2001. 398 с.

35. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир. 1990. 312 с.

36. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991. 368 с.

37. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир. 1988. 240 с.

38. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Издательство физ.-мат. лит. 2001. 296 с.

39. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1984. 432 с.

40. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир. 1981.528 с.

41. Сканави Г. И. Физика диэлектриков: область слабых полей. М. Физматгиз. 1949. 500 с.

42. Сканави Г. И. Физика диэлектриков: область сильных полей. М. Физматгиз. 1958.908 с.

43. Адамчевский И. Электрическая проводимость жидких диэлектриков. Л. Энергия. 1972. 296 с.

44. Жакин А. И. Ионная электропроводность и комплексообразование в жидких диэлектриках// УФН. 2003. Том 173, №1. С. 51-68.

45. Pontiga F., Castellanos A. Physical mechanisms of instability in a liquid layer subjected to an electric field and a thermal gradient// Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, No. 5. P. 1684-1701.

46. Gross M. J., Porter J. E. Electrically induced convection in dielectric liquids// Nature. 1966. Vol. 212, No. 5068. P. 1343-1345.

47. Turnbull R. J. Electroconvective instability with a stabilizing temperature gradient. II. Experimental results// Phys. Fluids. 1968. Vol. 11, No. 12. P. 2597-2603.

48. Lee Ch. O. Thermal instability of a slightly conducting liquid layer in a vertical electric field// Proc. 5th Int. Heat Transfer Conf. Tokyo. 1974. Vol. 3. P. 173-177.

49. Косвинцев С. P. Экспериментальное исследование электроконвекции в плоском слое неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости// Вестн. Перм. ун-та. 1994. Вып. 2. (Физика). С. 128-140.

50. Turnbull R. J. Electroconvective instability with a stabilizing temperature gradient. I. Theory//Phys. Fluids. 1968. Vol. 11, No. 12. P. 2588-2596.

51. Bradley R. Overstable electroconvective instabilities// Quart. J. Mech. appl. Math. 1978. Vol. 31, Pt.3. P. 381-390.

52. Martin P. J., Richardson A. T. Conductivity Models of Electrothemal Convection in a Plane Layer of Dielectric Liguid// Heat Transfer. 1984. Vol. 106. P.131-136.

53. Baygents J. C., Baldessari. Electrohydrodynamic instability in a thin fluid liquid layer an electrical conductivity gradient// Phys. Fluids. 1998. Vol. 10, No. 1. P. 301-311.

54. Жданов С. А., Косвинцев С. P., Макарихин И. 10. Влияние электрического поля на устойчивость термогравитационного течения в вертикальном конденсаторе// Журн. эксперим. и теор. физики. 2000. Т. 117, Вып. 2. С. 398-406.

55. Саранин В. А. О конвективной устойчивости слабопроводящей жидкости в электрическом поле// Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. N 5. С. 16-23.

56. Макарихин И. Ю. О влиянии электрического поля на устойчивость конвективного течения в вертикальной полости// Изв. РАН. МЖГ. 1994. N 5. С. 35-41.

57. Roberts P. Н. Electrohydrodynamic convection// Quart. J. Mech. Appl. Math. 1969. Vol. 22, No. 2. P. 211-220.

58. Turnbull R. J., Melcher J. R. Electrohydrodynamic Rayleigh-Taylor bulk instability// Phys. Fluids. 1969. Vol. 12, No. 6. P. 1160-1166.

59. Takashima M., Hamabata H. The stability of natural convection in a vertical layer of dielectric fluid in the presence of a horizontal ac electric field// J. Phys. Soc. Japan. 1984. Vol. 53, No. 5. P. 1728-1736.

60. Felici N. Phenomenes hydro et aerodynamiques dans la conduction des dielectriques fluides// Revue Gen. Electricite. 1969. T. 78. P. 717-734.

61. Atten P., Lacroix J. C. Electrohydrodynamic stability of liquids subjected to unipolar injections: non-linear phenomena// J. Electrostat. 1978. No. 5. P. 439-452.

62. Worraker W. J., Richardson A. T. The effect of temperature-induced variations in charge carrier mobility on stationary electrohydrodynamic instability// J. Fluid. Mech. 1979. Vol. 93, No. l.P. 29-45.

63. Castellanos A., Atten P., Velarde M. G. Electrothermal Convection: Felici's Hydraulic Model and the Landau Picture of Non-Equilibrium Phase Transitions// J. Non-Equilib. Thermodyn. 1984. Vol. 9. P. 235-243.

64. Castellanos A., Atten P., Velarde M. G. Oscillatory and steady convection in dielectric liquid layers subjected to unipolar injection and temperature gradient// Phys. Fluids. 1984. Vol. 27, No. 7. P. 1607-1615.

65. Pontiga F., Castellanos A. Electrical Conduction of Electrolyte Solution in Nonpolar Liquids// IEEE Transactions on Industry Applications. 1996. Vol. 32, No 4. P.816-824.

66. Chicon R., Castellanos A., Martin E. Numerical modeling of Coulomb-driven convection in insulating liquids// Fluid Mech. 1997. Vol. 344. P. 43-66.

67. Жакин А. И. Редокс-системы в электрогидродинамике и расчёт электроконвективных течений// Магнитная гидродинамика. 1982. №2. С. 70-78.

68. Жакин А. И. Электрогидродинамика жидких диэлектриков на основе диссоциа-ционно-инжекционной модели проводимости// Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 4. С.3-13.

69. Жакин А. И. Исследование электроконвекции и электроконвективного тепло-преноса в жидких диэлектриках при униполярной инжекционной проводимости// Изв АН СССР. МЖГ. 1988. N 2. С. 14-20.

70. Жакин А. И. Развитие электроконвекции в жидких диэлектриках// Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. N 1. С. 34-42.

71. Верещага А. Н., Тарунин Е. JI. Надкритические режимы униполярной конвекции в замкнутой полости// Численное и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений в невесомости. Свердловск: УрО АН СССР. 1988. С. 93-99.

72. Зерещага А. Н. Унарная электроконвекция в плоском слое// Гидродинамика и процессы тепломассопереноса. Свердловск: УрО АН СССР. 1989. С. 42-47.

73. Polyansky V. A., Pankratiava I. L. Electric current oscillations in lowconducting liquids// J. of Electrostatics. 1999. V. 48. P. 27-41.

74. Иоффе H. В., Калинин H. В., Эйдельман Е. Д. Возможность дорэлеевской конвекции в жидких полупроводниках// Письма в ЖТФ. 1976. Т. 2, Вып. 9. С. 395-396.

75. Саранин В. А. Влияние электрического поля термо-ЭДС на возникновение конвекции в ионных расплавах// Магнитная гидродинамика. 1983. N 1. С. 85-89.

76. Эйдельман Е. Д. Влияние граничных условий на возникновение дорэлеевской конвекции в жидких полупроводниках// Журн. технич. физ. 1987. Т. 57, Вып. 6. С. 1145-1147.

77. Эйдельман Е. Д. Конвекция под действием термоэлектрического поля в жидких полупроводниках// Журн. эксперим. и теор. физ. 1993. Т. 103, Вып. 5. С. 1633-1644.

78. Эйдельман Е. Д. Термоэлектрическая конвекция в горизонтальном слое жидкости//Журн. эксперим. и теор. физики. 1993. Т. 104, Вып. 3(9). С. 3058-3069.

79. Брискман В. А., Шайдуров Г. Ф. Параметрическая неустойчивость поверхности жидкостей в переменном электрическом поле// Доклады АН СССР. 1968. Т. 180, N 6. С. 1315-1318.

80. Меледин В. Г., Павлов В. А., Цвелодуб О. Ю., Яворский Н. И. Поверхностные волны в жидком диэлектрике. Новосибирск: Изд-во Института теплофизики СО РАН. 2005. 106 с.

81. Семенов В. А. Параметрическая неустойчивость неравномерно нагретого горизонтального слоя жидкого диэлектрика в переменном электрическом поле// Изв. РАН.МЖГ. 1993. N5. С. 184-186.

82. Пуятс В. В. Электроконвекция при импульсном электрическом поле// Электронная обработка металлов. 1971. N 6. С. 44-50.

83. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в переменном электрическом поле// Магнитная гидродинамика. 1980. N 3. С. 139-142.

84. Бережное В. В., Косвинцев С. Р. Экспериментальное исследование электроконвективной неустойчивости неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости впеременных и импульсных электрических полях// Вестник Перм. ун-та. 1995. Вып. 4 (Физика). С. 128-140.

85. Веларде М. Г., Смородин Б. JI. Конвективная неустойчивость плоского горизонтального слоя слабопроводящей жидкости в переменных и модулированных электрических полях// Изв. РАН. МЖГ. 2000. N 3. С. 31-38.

86. Smorodin В. L. Electroconvecton in a low-frequency modulated electric field// Proceedings of Intern. Conf. "Modern Problems of Electrophysics and Electrohydrodynam-ics of Liquids" (MPEEL). St-Peterburg. 2000. P. 75-78.

87. Смородин Б. JI. Об устойчивости плоскопараллельного течения жидкого диэлектрика в поперечном переменном электрическом поле// Изв. РАН. МЖГ. 2001. N4. С. 25-33.

88. Смородин Б. JI. Влияние переменного электрического поля на конвекцию жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе// Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27, Вып. 24. С. 79-84.

89. Смородин Б. JI. Возникновение конвекции жидкого диэлектрика в периодическом электрическом поле// Вестн. Перм. ун-та. 2002. Вып. 1 (Физика). С. 90-98.

90. Гольберг А. И., Синай Я. Г., Ханин К. JI. Универсальные свойства для последовательности бифуркаций утроения периода// Усп. матем. наук. 1983. Т. 38, Вып. I. С. 159-160.

91. Закс М. А., Любимов Д. В., Пиковский А. С. Универсальные сценарии перехода к хаосу через гомоклинические бифуркации.// Препринт. Свердловск: УрО АН СССР. 1987. 74 с.

92. Guckenheimer J., Worfolk P. Instant chaos// Nonlinearity. 1992. Vol. 5. P. 12111222.

93. Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003.292 с.

94. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Конвекция слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле// Тезисы докладов конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь. 2002. С. 51.

95. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Конвекция омической жидкости в переменном электрическом поле// Вестн. Перм. ун-та. 2003. Вып. 1 (Физика). С. 102-107.

96. Ильин В. А. Конвекция слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле// Тезисы докладов конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь. 2003. С. 40-41 .

97. Ильин В. А. Слабонелинейный анализ режимов конвекции идеального жидкого диэлектрика в горизонтальном слое// Вестн. Перм. ун-та. 2004. Вып. 1 (Физика). С. 100-105.

98. Il'in V. A. Electroconvection of poorly conducting liquid in electric field// XXXII Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics". June 24 - July 1, 2004, St. Petersburg (Repino), Russia, АРМ 2004, abstr. P. 54.

99. Ильин В. А. Надкритические режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости// Тезисы докладов конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь. 2004. С. 34.

100. Ильин В. А., Смородин Б. JI. Конвекция идеального диэлектрика в переменном электрическом поле//Вестн. Перм. ун-та. 2005. Вып. 1 (Физика). С. 94-100.

101. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Периодические и хаотические режимы электроконвекции жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе// Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, Вып. 10. С. 57-63

102. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Исследование надкритических режимов электроконвекции в идеальном диэлектрике// Тезисы докладов 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь. 2005. С. 141.

103. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Динамика электроконвективных структур слабопроводящей жидкости// Тезисы докладов конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь. 2005. С. 39-40.