Электронные и структурные свойства сильно неупорядоченных материалов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Теоретической Физики им. Л. Д. Ландау

На правах рукописи

ИОСЕЛЕВИЧ Алексей Соломонович

ЭЛЕКТРОННЫЕ И СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА СИЛЬНО НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Черноголовка - 2006

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН В.Л.Гуревич,

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Л. А. Максимов,

доктор физико-математических наук, академик РАН Г. М. Элиашберг.

Ведущая организация:

Институт физики твердого тела РАН

Защита состоится 1 сентября 2006 года в 11 час. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан июня 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

П. Г. Гриневич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нет необходимости исследования| неупорядоченных материалов:

доказывать важность почти все системы,

встречающиеся в природе - в той или иной степени неупорядочены. Инженерами и технологами накоплено громадное количество эмпирических данных о практически важных неупорядоченных системах (таких, как

композитные материалы, различные смеси природные и искусственные пористые и гранулированные С другой стороны, теоретики в основном занимались моделями беспорядка (моделью Андерсона, стандартными

сплавы и твердые растворы, с суспензии, материалы), простейшими

чувствуется

перколяционьыми моделями и т.п.). В последнее время все сильнее

необходимость в развитии

каких-то приближенных полуфеноменологических методов, которые, будучи, с одной стороны, физически прозрачными и убедительными, позволяли бы, с другой стороны, описывать сложные реальные системы и предсказывать их свойства.

Большой интерес представляют искусственные неупорядоченные материалы с раданными свойствами, создаваемые в сильно неравновесных технологических процессах. Стандартные модели часто оказываются не в состоянии адекватно описать такие вещества. Это, в частности, относится к пористым материалам, которые обычно описывают с помощью перколяционных моделей, не учитывающими важных топологических ограничений, накладываемых условиями механической устойчивости материала.

Чрезвычай* системах, пр

о важны и интересны квантовые эффекты в неупорядоченных оявляющиеся, как правило, при низких температурах. Сюда относятся, в первую очередь, транспортные явления, прыжковая

проводимость. Эти явления очень много исследовались, начиная с пионерских работ Мотта, Андерсона, Шкловского и Эфроса 60-х и 70-х годов прошлого века. Тем не менее, многие аспекты прыжковой проводимости, особенно в сложных системах, где существенны взаимодействия электронов с другими степенями свободы (спиновыми, решеточными, магнитными) остаются не вполне понятными и привлекают большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов.

В последние годы возникло понимание важности квантовых эффектов и эффектов электрон-электронного взаимодействия для описания необычных низкотемпературных свойств гранулированных металлов. Естественный

беспорядок, присутствующий в гранулированных материалах, несомненно играет здесь важную роль и его необходимо учитывать при описании этих эффектов.

Цель работы. Одной из задач настоящей диссертации является построение приближенных методов и моделей, пригодных для описания перколяционных и транспортных явлений в сложных ситуациях и их использование для изучения различных физических систем: полидисперсных композитных материалов (таких, как смеси проводящих и непроводящих шариков случайных размеров), процессов образования пористых металлов, прыжковой проводимости в легированных полупроводниках при наличии различных конкурирующих факторов.

Мы хотим исследовать прыжковую проводимость в полупроводниках, где электроны сильно взаимодействуют с магнитной подсистемой. Последняя может быть как упорядоченной (антиферромагнетик), так и неупорядоченной (парамагнетик или спиновое стекло). В качестве примера упорядоченной системы мы рассматриваем слабо легированный антиферромагнитный ЬагСиС^ и подробно исследуем особенности его магнитосопротивления в различных магнитных фазах. Для магнитно неупорядоченных полумагнитных полупроводников мы изучаем влияние связанных магнитных поляронов на прыжковую проводимость и объясняем некоторые ее особенности, обнаруженные в экспериментах.

Мы также ставим перед собой задачу изучения эффектов беспорядка в проводимости и туннельной плотности состояний гранулированного металла. Эти эффекты, вместе с эффектами кулоновского взаимодействия, существенными при небольших размерах гранул, оказываются чрезвычайно важными при низких температурах, без их учета невозможно правильное описание физических процессов переноса и правильная интерпретация экспериментальных данных.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, сводятся к следующему:

1. Разработан способ описания свойств сложных перколяционных систем, в которых узлы характеризуются набором "цветов" - случайных параметров с (дискретных или непрерывных), от которых зависят вероятности р^ установления связей между узлами. Предложено

нетривиальное обобщение понятия приближенной симметрии (или инвариантности) для цветных задач перколяции.

Сформуй

„ пировано понятие приближенной глобальной симметрии задач перколяции, позволяющее соотносить друг с другом не только пороги перколяции разных задач, но и зависимости плотности Р бесконечного кластера от параметров. Получено нелинейное "уравнение состояния", позволяющее найти парциальные (по разным цветам) плотности бесконечного кластера Рс для всего класса задач, охватываемых приближенной симметрией, если известна зависимость Р(п) для какой-нибудь простой одноцветной задачи, принадлежащей классу.

2. Описанный выше общий метод использован для определения перколя^ионных свойств полидисперсного композита: смеси проводящих (доля х) и непроводящих (доля 1-х) зерен с известными функциями распределения по размерам. Показано,

I (сг)

что поррг перколяции по металлическим зернам Хт зависит только от двух безразмерных параметров: отношения р2 средних площадей поверхностей металлических и диэлектрических зерен и относительной дисперсии Д площадей поверхности металлических зерен. Оказывается, что порог перколяции понижается с ростом дисперсии (этой зависимости дано качественное объяснение).

3. Построена

теория орбитального

магнитосопротивления явно использующая

полупроводника в прыжковой области,

квазикла|хичность подбарьерного движения электрона в магнитном поле. Метод позволяет найти полевую зависимость сопротивления во всей области полей (включая промежуточную).

4. На основе разработанного приближенного метода исследования цветной перколяции построена теория, позволяющая (без учета корреляционных эффектов) единым образом описывать проводимость как с прыжками между ближайшими соседями, так и с переменной длиной | прыжка. В соответствующих предельных случаях получаются известные результаты: закон Аррениуса и закон Мотта. Проанализирована относительная доля узлов с различными энергиями в бесконечном кластере, показано, что в моттовском режиме она резко убывает при удалении от поверхности Ферми.

5. Предыдущая задача обобщена на случай присутствия в системе

нескольких сортов примесей, вероятность прыжков между которыми существенно различна. Сюда, например, относится задача об антиферромагнетике, в котором прыжки между примесями из различных подрешеток менее вероятны (из-за необходимости переворота спина), чем внутри одной подрешетки. Найдена глобальная проводимость такой системы; показано, что в одной области параметров проводимость осуществляется по каждому сорту примесей независимо, а в другой происходит срастание соответствующих бесконечных кластеров, так что в глубине этой области прыжки с переменой подрешетки происходят столь же часто, как и без перемены.

6. Исследовано влияние связанных магнитных поляронов на прыжковую проводимость разбавленных полумагнитных полупроводников. В пренебрежении взаимодействием между магнитными ионами получена зависимость проводимости от температуры и магнитного поля. Показано, что в большинстве случаев прыжки происходят по бесфононному флуктуационному сценарию, при котором спины ионов формируют оптимальную флуктуацию, позволяющую электрону резонансным образом протуннелировать между двумя примесями. Дифференциальная энергия активации прыжковой проводимости зависит от температуры и от внешнего магнитного поля, причем эти зависимости немонотонны, что и наблюдается на эксперименте.

7. Та же задача решена для случая, когда при температуре эксперимента взаимодействие между спинами магнитных ионов является существенным и подсистема магнитных ионов переходит в спин-стекольное состояние. Показано, что связанные магнитные поляроны в магнитно-неупорядоченной системе (спиновом стекле) существенно отличаются как от обычных (решеточных) поляронов, так и от магнитных поляронов в упорядоченном магнетике. Из-за сильного подавления динамики намагниченности, в спиновом стекле при низкой температуре не наступает туннельный режим возникновения оптимальной флуктуации: вплоть до самых низких температур доминирует классический активационный механизм. Полученный результат объясняет экспериментально наблюдавшееся явление возврата от закона Эфроса-Шкловского к простой активационной зависимости проводимости при самых низких температурах.

8. Построена теория прыжкового магнитосопротивления слабо

легированного диэлектрического ЬагСиО^ Исследована магнитная фазовая диаграмма этого слоистого антиферромагнетика. Предложен спиновый микроскопический механизм магнитосопротивления. Рассмотрены различные типы дырочных состояний, локализованных вблизи |акцепторов и различные типы симметрии локального ромбического искажения, возникающего вблизи акцептора. Из всего множества вариантов удается выбрать единственный, совместимый со всем комплексом экспериментальных данных. Количественное согласие с экспериментом (демонстрирующим скачки или изломы зависимости сопротивления от магнитного поля при магнитных фазовых | переходах) достигается при большой величине локального ромбического искажения (сильном поляронном эффекте).

9. Предложена и исследована модель образования пористого металла. Показано, что запрет на образование отдельных кластеров, не связанных с основным массивом (такие кластеры, очевидно, должны снова прилипать к массиву, так что связность восстановится) приводит к необычным свойствам системы. При увеличении пористости в ней может происходить фазовый переход в "квазидревесное" состояние, в которой проводимость и упругость системы обращаются в ноль, причем система остается связной, а ее плотность - конечной. Исследованы особенности фазового перехода и фрактальные свойства новой квазидревесной фазы.

10. Изучено влияние замороженных флуктуаций кондактансов на проводимость и туннельную плотность состояний гранулированого металла (в случае, когда эти кондактансы велики). Показано, что роль неоднородных флуктуаций возрастает с понижением температуры, так что переход металл-диэлектрик всегда происходит в существенно неоднородном режиме. Характер этого перехода в большой степени является перколяционным. Подробно исследована ситуация, когда исходный (определенный при высокой температуре) уровень беспорядка мал. В обратном предельном случае экспоненциально сильного исходного беспорядка зависимость проводимости от логарифма температуры становится универсальной нелинейной функцией, не зависящей ни от типа геометрической укладки гранул, ни от конкретного вида функции распределения кондактансов.

11. Построена теория прыжковой проводимости с переменной длиной

прыжка в гранулированном металле (такая проводимость наблюдалась во множестве экспериментов). Перенос электрона между удаленными друг от друга резонансными гранулами осуществляется путем множественного последовательного котуннелирования электронов по цепочкам гранул, характерная длина которых зависит от температуры. Показано, что проводимость таких систем описывается модифицированным законом Эфроса-Шкловского (с дополнительной логарифмической зависимостью от температуры). В реальных условиях неупругое котуннелирование должно доминировать над упругим. Рассмотрен вопрос о магнитосопротивлении гранулированного металла, связанном с интерференцией вкладов различных цепочек.

Научная новизна и достоверность. Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы как надежностью применявшихся аналитических и численных методов, так и согласием с данными физических и численных экспериментов, выполненных другими авторами.

Научная и практическая ценность. Развитые в работе методы могут быть (и уже были) использованы при проектирования композитных материалов, используемых в суперконденсаторах и топливных элементах. В частности, так называемые высокотемпературные топливные элементы изготавливаются из керамики, содержащей три существенных компонента: зерен с металлической проводимостью, зерен с ионной проводимостью, и пор. Все они несут свою функциональную нагрузку: ионы кислорода поступают к месту реакции по подсистеме с ионной проводимостью, электроны - по подсистеме с электронной проводимостью, газообразный водород - по порам. Оптимизация состава и дисперсии размеров компонент для максимальной производительности системы на единицу объема представляет собой важную технологическую задачу, решение которой существенно облегчается при использованиии результатов наших работ.

Обнаруженный нами фазовый переход пористого металла в квазидревесное состояние, сопровождаемый катастрофической деградацией его свойств, возможно, позволит объяснить природу "плохих образцов", часто получающихся в процессе изготовления пористых материалов.

Результаты по прыжковой проводимости магнитных полупроводников и гранулированных металлов формируют новые представления о процессах,

сопровождающих прохождение электрического тока в этих веществах и объясняют результаты многих экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: XII Всесоюзном совещании по теории полупроводников (Ереван, 1987), 62-ой Международной конференции по статистической механике (Rutgers, 1989), Международной конференции "Высокотемпературная проводимость и локализационные явления" (Москва, 1991), на Конференциях (Miniworkshops) го сильно коррелированным электронам Международного центра теоретической физики (ICTP Trieste 1991, 1997), на конференциях "Landau Days" (2003, 2004, 2005) , на семинарах в ИТФ РАН, ИФП РАН, ИФТТ РАН, СПбФТИ РАН, СПбИЯФ РАН, РНЦ "Курчатовский Институт", на семинарах в Высшей технической школе Аахена (RWTH Aachen), в Гарвардском университете, Университете Ратгерс, университетах Миннесоты, Юты, Карлсруэ, Хельсинки, Нью-Йорка (CUNY), Лондона (Imperial College London), Парижа (Paris-Sud), Тель-Авива, Иерусалима, в Высшей технической школе Цюриха (ЕТН Zürich), в научных центрах Гренобля (Institut Laue-Langevin), Саклэ (СЕА Saclay, Laboratoire Leon Brillouin), Реховота (Weizman Institute), Юлиха (Forschungszentrum Jülich).

Публикаций. По материалам диссертации опубликовано одиннадцать научных работ, список которых приводится в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, четырех приложений, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обрисовано общее положение в физике неупорядоченных систем, обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, обоснованы новизна и практическая ценность полученных результатов. Здесь же раскрыто содержание диссертации по главам.

Вторая |глава посвящена построению приближенной теории перколяционных систем, в которых узлы характеризуются набором "цветов"

- случайных параметров с (дискретных или непрерывных), от которых зависят вероятности рсс? установления связей между узлами.

Основой для этой теории служит эмпирическая концепция приближенной симметрии (или инвариантности), которая давно была известна и использовалась в стандартных (одноцветных) задачах перколяции. Согласно этой концепции, существуют достаточно широкие классы моделей, пороги перколяции в которых приближенно связаны друг с другом. Например, для всех задач связей на решетках фиксированной размерности d инвариантом является величина В = Zp (р - вероятность образования связи, Z -координационное число решетки), имеющая смысл среднего числа связей у одного узла. Пороги перколяции для всех решеток одной размерности связаны соотношением Ваа пороге = Zpc « BCI sa d/(d— 1). Приближенные симметрии имеются и для решеточных задач узлов, и для топологически неупорядоченных моделей случайных узлов и случайных упаковок. В начале главы мы даем обзор известных приближенных симметрий для стандартных задач.

Далее мы предлагаем обобщение понятия симметрии для цветных систем. Это обобщение нетривиально: оно учитывает перераспределение узлов по цветам в бесконечном кластере (по сравнению с априорными вероятностями пс разных цветов) в зависимости от структуры матрицы Pcj, т.е. от того, какие цвета обнаруживают большую склонность к образованию связей. Инвариантом В для цветной задачи оказывается максимальное собственное число матрицы

bai = (псПс-)1/2Ьсс', (1)

где bed = Zpccf для моделей с фиксированным Z, а для топологически неупорядоченных моделей (с флуктуирующим Z) "матрица связывания" bed должна рассматриваться, как независимая характеристика системы. В практически важном частном случае, когда матрица связывания факторизуется: bcc> = AcA<j, инвариант В легко находится в общем виде:

B=(A*) = J2naAl, (2)

а

Для всех моделей (цветных и одноцветных), принадлежащих к одному "классу симметрии", порог перколяции определяется условием

■Вна пороге ~ ВС1, (3)

с фиксированным ВС1, характеризующим данный класс.

Дальнейшее обобщение теории связано с введенным нами понятием "приближенной глобальной симметрии" задач перколяции, позволяющим соотносить друг с другом не только пороги перколяции разных моделей, но и зависимости плотности Р бесконечного кластера от параметров. Внимательное рассмотрение численных данных для известных классов симметрии показывает, что с той же точностью, с которой для всех задач одного класса совпадают значения Внл пороге, совпадают также и функции Р{В) при всех значениях инварианта В. Распространение этой идеи на цветные задачи приводит к нелинейному "уравнению состояния"

Рс = W

У^Ьсс>п(?Рс>

(4)

позволяющему найти парциальные (по разным цветам) плотности бесконечного кластера Рс для всего класса задач, охватываемых приближенной симметрией, если известна зависимость V{n) для какой-нибудь простой одноцветной задачи, принадлежащей классу.

Универсальная функция одной переменной W (х) (см. рис. 1), характеризующая класс, связана с функцией V(n) функциональным соотношением W = V{x/W) (отсюда, в частности, следует, что W(x) w х/Вст при х —» 0). Порог перколяции определяется, как такая точка, в которой у уравнения (4) впервые появляется нетривиальное решение; это условие немедленно приводит к выражению (1).

Вероятность того, что данный узел будет принадлежать к бесконечному кластеру, является универсальной (в рамках данного класса симметрии) функцией среднего числа других узлов из бесконечного кластера (а не просто всех уЗлов!), с которыми он оказывается связан. Самосогласование этого условия, лежащего в основе нашей теории, и приводит к уравнению (4). Указанная универсальность, в свою очередь, означает независимость! топологии бесконечного кластера от его цветового состава. Это фундаментальное предположение, конечно, является приближенным и выполняется далеко не всегда. Мы оцениваем его точность на примере нескольких простых моделей.

В третьей главе мы применяем описанный выше формализм для исследования практически важной задачи о полидисперсном композитном материале: случайной упаковке проводящих (доля хт) и непроводящих (доля Х{ = 1 - хт) шариков с известными функциями распределения по размерам пт(г) и тгта(г). Роль непрерывного "цвета" в этой задаче играет

Рис. 1. Типичный вид универсальной функции IV(х). Показанная конкретная ее форма относится к модели случайной упаковки (композитного материала), рассмотренной в третьей главе.

размер шариков. Так как случайная упаковка топологически неупорядочена, то координационное число не определено, и имеет смысл говорить только о матрице (точнее - о линейном интегральном операторе) связывания Ь(г, г1).

Анализ эмпирических зависимостей и численных данных, в изобилии имеющихся для относительно простого случая "бинарной смеси" (для которой пт(г) = 5(г — Нт) и пт(г) = ¿(г — Л*)), с учетом строгих геометрических ограничений, позволяет заключить, что для шариков с радиусами не слишком (не более, чем в три раза) отличающихся от среднеквадратичного размера Д, матрица связывания металлической подсистемы хорошо описывается факторизованной формулой Ь(г, г') =

а Щп = (г2)т и Й- = (г2); - среднеквадратичные размеры, соответственно, металлических и диэлектрических шариков. Использование формул (2) и (3) из предыдущей главы приводит к следующему уравнению для критической концентрации металлических шариков 1™':

А(г)А(г'), где:

(5)

= В,

'СГ|

(6)

причем, согласно результатам численного моделирования, для трехмерных случайных упаковок Вст рз 2. В уравнение (6) входят всего две безразмерные характеристики системы: параметр асимметрии р и относительная дисперсия Д^ площадей поверхности (5 = 4тгг2) металлических шариков

, ¿ = _((г2-^)2)т_((5"-(5)т)2)т

Р да - <5>т' ^ - <3)2, ' [П

Заметим, что дисперсия площадей поверхностей диэлектрических шариков на ответ вообще не влияет. В симметричном случае (при р = 1) уравнение (6) легко решается:

(сг) _

-

3(1 + Дт/4)' (8)

Итак, в полидисперсной системе (с Дт ф 0) перколяция в металлической подсистеме наступает при более низкой концентрации металла, чем в монодисперсной (с Ат = 0). Физическая причина этого эффекта заключается в том, что при наличии дисперсии более мелкие шарики, располагаясь в порах системы, составленной из более крупных, могут выступать в роли "клея" и, не разрушая непосредственных связей, имеющихся между крупными шариками, создавать дополнительные новые "мостики" между ними.

В четвертой главе мы решаем некоторые задачи прыжковой проводимости, которые сводятся к нестандартным перколяционным моделям, зависящим от нескольких параметров.

из

Первая

магпитосопрот:

ивлении

задача о положительном орбитальном в прыжковой области, была ранее решена

Шкловским в ^предельных случаях слабых и сильных полей. Явно используя квазиклассичность подбарьерного движения электрона в магнитном поле при его туннелировании между примесями, в комбинации с соображением о приближенной симметрии возникающей перколяционной задачи (последнее соображение для этой одноцветной проблемы было, впрочем, известно уже и до нашей работы) нам удалось найти магиитосопротивление во всем диапазоне полей. Ответ описывается универсальной функцией безразмерногс| поля, для определения которой нам пришлось численно решить некоторое трансцендентное уравнение, в остальном же задача полностью поддается аналитическим методам. Результат показывает, что выход на асимптотику сильного поля происходит гораздо позже, чем ожидалось.

Вторая задача - описание температурного кроссовера между простой активацией при относительно высоких температурах (прыжки на ближайших соседей) и законом Мотта - при низких (проводимость с переменной длиной прыжка). Мы рассмотрели эту задачу, как "цветную" задачу перколяции на случайных узлах в обычном (¿-мерном пространстве, роль непрерывного цвета в которой играет случайная энергия €{ электрона на г-ой примеси. В соответствии с общей схемой, построенной во второй главе, эта задача сводится к определению максимального собственного значения В(£) линейного интегрального оператора с ядром

£(«'[« = №М01 «"4 [«- [«■-, т

где 1>(е) - зависящая от энергии плотность состояний, а - радиус примесного состояния,

= Ы + Ы + Ь-'Л (10)

стандартная энергетическая комбинация, всегда возникающая в теории прыжковой проводимости. Находя затем £с, как решение уравнения £?(£) = Вст, где Ва соответствует обычной (одноцветной) задаче о перколяции по случайным узлам, мы, в принципе, определим зависимость проводимости а ос е-^ как от температуры, так и от формы плотности состояний. В общем случае эта программа может быть выполнена только численно, но в предельных режимах задача допускает аналитическое исследование.

При высоких температурах можно вычислить зависящую от температуры поправку к дифференциальной энергии активации. Эта поправка отличается от более ранних результатов других авторов, которые не учитывали эффект перераспределения мест в бесконечном кластере в пользу узлов, лежащих ближе к поверхности Ферми.

При низких температурах воспроизводится функциональный вид закона Мотта, причем численная константа ¡Зд, входящая в моттовскую температуру Тм = Дг/^О)^] с хорошей точностью совпадает с ее истинным значением, известным из прямого численного счета. Это указывает на справедливость нашего предположения о наличии приближенной симметрии, связывающей задачи этого класса. Можно быть уверенным, что и в области кроссовера между двумя предельными режимами метод дает такую же точность.

Мы проанализировали относительную долю узлов с различными энергиями в | бесконечном кластере (т.е., собственную функцию 6(ее')), и убедились, что она резко убывает при удалении от поверхности Ферми. Именно учет| этого обстоятельства приводит к возможности построения хорошо работающей теории: ранние работы, авторы которых пытались построить интерполяцию между двумя предельными режимами, считали узлы бесконечного кластера равномерно распределенными по энергиям, что приводило к неудовлетворительным результатам.

Далее мы обобщили предыдущую задачу на случай присутствия в системе нескольких сортов примесей, вероятность прыжков между которыми различна. Сюда, например, относится задача об антиферромагнетике, в котором прыжки между примесями из различных подрешеток менее вероятны из-за необходимости переворота спина. Если рассматривать сорт примеси, как еще один дополнительный дискретный цвет с, а вероятность прыжка меж,;у двумя узлами с цветами с и </ представить в виде Г^0^ = Гу'е-'5«', где ¿ее» - некоторая матрица по цветовым индексам, то мы придем

1 f'

к проблеме нахождения максимального собственного числа В(£) оператора

с матричным

М«'Ю =

ядром

Е(ее'

Мы исследовали глобальную проводимость такой системы и показали, что при больших 6 проводимость осуществляется по каждому сорту примесей независимо, а при малых происходит срастание соответствующих бесконечных кластеров, так что при 8 £ прыжки с переменой цвета происходят почти столь же часто, как и без перемены.

В пятой главе диссертации исследовано влияние связанных магнитных поляронов на прыжковую проводимость полумагнитных полупроводников (таких, как СсЦ-гМпхТе). В этих веществах спип ст электрона, связанного на доноре, контактно взаимодействует со спинами 8„ магнитных ионов Мп2+:

и поляризует радиус связаг

Hmt = jJ2(Sn-<r)5{r-rn),

(12)

~ Na? ~ 102 этих ионов (здесь JV - их концентрация, а -ного состояния электрона на доноре). Сначала мы изучили ситуацию, когда прямым взаимодействием между спинами Мп2"" можно пренебречь (что справедливо либо при не слишком

а

d

Рис. 2. Схематическая зависимость дифференциальной энергии активации от 1 /Т при различных значениях магнитного поля: (а) - Jh — 0, (6) — Зц J, (с) - Jh ~ J, (<¿) _ Jh S> J. Горизонтальная прямая отвечает £¿¡11 =

низкой температуре, либо при очень малом х < 5%) и определили зависимость проводимости от температуры и магнитного поля как в линейном режиме (когда электрон лишь чуть-чуть поляризует близлежащие магнитные ионы и эта поляризация может быть описана в рамках теории линейного отклика), так и в режиме насыщения, когда электрон полностью выстраивает спины окружающих его ионов. Мы показали, что в большинстве случаев прыжки происходят по бесфононному флуктуационному сценарию, при которым спины ионов формируют оптимальную флуктуацию, позволяющую электрону резонансным образом протуннелировать между двумя ямами. Необходимая для этого энергия активации оказывается гораздо ниже, чем в случае фононного прыжка, происходящего при равновесной конфигурации спинов.

Дифференциальная энергия активации прыжковой проводимости Edite зависит от температуры (см. рис. 2) и от внешнего магнитного поля, причем эти зависимости немонотонны, что и наблюдается на эксперименте. Подчеркнем, что речь здесь идет об относительно высоких температурах, когда проводимость осуществляется путем прыжков по ближайшим соседям, и в обычной ситуации энергия активации от температуры вовсе не зависит.

В отсутствие магнитного поля £d¡ff сначала (в области слабого обменного поля J = J/e3<T) растет при понижении температуры по закону

(13)

при Т ~ J достигает максимума е,

■тах

(Na3)J, затем довольно резко падает

и при Г< J выходит на насыщение с

еж = ё ~ (Иа3)1^ С (14)

Внешнее магнитное поле уменьшает энергию активации, так что £ш = ё в области сильных полей Jн = вцодН Т независимо от соотношения 3 и Т. Самое интересное должно происходить в области 7я < Т < где

еш{Н) = £аиг(0) - МКо?) (15)

линейно убывает с полем и может даже стать отрицательной, если ■/(ЛГа3)"1^ < ,/я < г < I.

Та же задача была решена для случая, когда при (низкой) температуре эксперимента взаимодействие между спинами магнитных ионов является существенным и подсистема магнитных ионов переходит в спин-стекольное состояние. Например, если концентрация ионов ~ 10%, то это происходит при Т < Тд ~ 1 К.

Мы показали, что связанные магнитные поляроны в магнитно-неупорядоченной системе (спиновом стекле) существенно отличаются как от обычных (решеточных) поляронов, так и от магнитных поляронов в упорядоченном магнетике. Из-за сочетания трех факторов:

• Закона сохранения полной намагниченности;

• Короткодействующего характера прямого обменного взаимодействия магнитных ионов между собой;

• Неупорядоченности магнитной подсистемы, затрудняющей распространение магнонов;

квантовая динамика намагниченности в спиновом стекле сильно подавлена. Поэтому при низкой температуре не наступает туннельный режим возникновения оптимальной флуктуации: вплоть до самых низких температур доминирует классический активационный механизм.

Это позволяет, в линейном по обменному полю приближении, решить задачу тем же методом, что и при отсутствии взаимодействия, пользуясь, вместо восприимчивости х ~ ^(в + 1)/371 идеального парамагнетика, восприимчивостью Хзд спинового стекла (с присущими ей температурной и полевой зависимостями).

Полученный результат объясняет феномен возврата от закона Эфроса-Шкловского

а^аехр^Го/Г)1'2}, (16)

описывающего проводимость с переменной длиной прыжка, осуществляющуюся при низких температурах, к простой активационной зависимости

<т(Т)осехр{-Ян/Г} (17)

при дальнейшем понижении Т. Это явление экспериментально наблюдалось в ряде полумагнитных а также классических полупроводников. Низкотемпературная энергия активации

Ен~(Ма?)Х*д{Т,Н)32, (18)

перестает зависеть от температуры при Т < Тд. Кроссовер между законами (16) и (17) происходит при Т^оев ~ Е^/То. Внешнее магнитное поле подавляет восприимчивость, что приводит, в полном соответствии с экспериментом, к исчезновению эффекта возврата.

Мы также исследовали специфику эффекта, возникающую вблизи перехода металл-диэлектрик, где величина Ен сильно понижается из-за "разбухания" электронных волновых функций и соответственного уменьшения величины обменного поля Л.

Шестая глава посвящена теории спинового прыжкового магнитосопротивления в слабо легированном ЬагСиО^ Мы построили магнитную фазовую диаграмму этого слоистого антиферромагнетика, в котором важную роль играет анизотропное взаимодействие Дзялошинского-Морийя, обусловленное небольшим ромбическим искажением решетки. Как показывают эксперименты, сопротивление (температурная зависимость которого описывается законом Мотта, что говорит о ее прыжковом и трехмерном характере) испытывает скачки или изломы при магнитных фазовых переходах.

Мы предложили следующий микроскопический механизм магнитосопротивления: Спин г-го акцепторного состояния (возникающего в результате сильного взаимодействия спина локализованной дырки со спинами ионов меди из ближайшего окружения) равен 1/2. Со стороны остальной системы (характеризуемой локальным вектором антиферромагнетизма п;) на этот спин действует молекулярное поле

м = [щ х ы,], (19)

не равное нулю только при ненулевом локальном ромбическом искажении (которому пропорционален вектор и>г). Молекулярное поле расщепляет

примесное состояние, так что вероятности прыжков между двумя акцепторами (происходящих, преимущественно, без переворота спина дырки) зависят от взаимной ориентации молекулярных полей на этих акцепторах. Эта ориентация управляется внешним полем, что и обусловливает механизм магнитосопротивления.

Мы подробно проанализировали возможные типы дырочных состояний, локализованных вблизи акцепторов, и отобрали те из них, которые обладают симметрией по отношению к замене магнитных подрешеток, необходимой для того, чтобы:

• Спин состояния был полуцелым (во всех рассмотренных случаях этот полуцелый спин оказывался равным 1/2), так что основное состояние вырождено по Крамерсу и расщепляется молекулярным полем.

• В молекулярном поле отсутствовал обменный вклад А,-0^ = ^п;. При наличии такого вклада молекулярные поля были бы направлены хаотически (из-за случайного расположения примесей относительно подрешеток) и их переориентация магнитным полем не приводила бы к изменению сопротивления.

Мы также предположили, что вибронное взаимодействие локализованной дырки с двукратно вырожденной мягкой ромбической Е4-МОДОЙ, ответственной за структурный фазовый переход в ЬагСиО,^ вызывает поляронный эффект, сводящийся к локальному усилению ромбичности. Это предположение необходимо для объяснения большой величины эффекта: в эксперименте сопротивление изменяется магнитным полем на величину ~ 50%, в то время как равновесная объемная ромбичность очень мала и могла бы приводить только к эффекту в сотые доли процента. При поляронном эффекте, помимо усиления того слабого однородного ромбического вращения кислородных октаэдров вокруг оси а, которое существует во всем объеме кристалла, по-видимому, должна возникать вторая компонента ромбичности - вращение вокруг оси с:

= где щ = ±1. (20)

Случайные поля, взаимодействие между примесями и кинетические эффекты могут приводить к различным типам упорядочения (или беспорядка) дискретных переменных щ на разных акцепторах.

В зависимости от магнитной фазы, типа примесного состояния, и типа упорядочения с-компонент ромбичности возникают ситуации с одной,

двумя, или четырьмя подрешетками акцепторов, молекулярные поля на которых одинаковы и одинаково направлены. Соответственно, возникает перколяционная задача с одним, двумя, или четырьмя типами примесей, к которой применяется метод, разработанный в третьей главе диссертации.

Из всего множества вариантов удается выбрать единственный, совместимый со всем комплексом экспериментальных данных. В простейшем случае (когда переходами с переворотом спина можно пренебречь) зависимость сопротивления от магнитного поля при Н || Ь описывается формулой

л/бОр, Н < Нс, 1, Я > Яс,

где р = р{Т) — шМ/2Т, М = М{Т) - антиферромагнитный параметр порядка (намагниченность подрешетки). Сопротивление испытывает скачок в поле Яс, где происходит переход из антиферромагнитной в слабо ферромагнитную фазу.

В поле Н || с сопротивление испытывает только изломы в полях Н\ и Я2, соответствующих, первое - переходу между двумя разными спин-флоп фазами, второе - переходу в слабо ферромагнитную фазу:

1/2

1 | _4- Т1 ГП 4-Т1

Д(Я) = До

ад

= До |

(21)

(1 + х) сЬ (р-у/1 + X) 1х сЬ (ру/т+х) + 1 - X

(22)

где

ЯЯ,

х =

-Я2] '

КГ-

Я<яь

(23)

|Я!(Я2 + Я1)

Г И!2

Н1<Н< я2. 1, я2 < я.

При большой величине и> (сильном поляронном эффекте) эти формулы хорошо описывают экспериментальные данные.

В седьмой главе предложена и исследована модель образования пористого металла путем последовательного удаления порообразователя (например, частиц угля) из смеси с металлическими частицами. Показано, что естественное механическое ограничение: запрет на образование отдельных кластеров, не связанных с основным массивом (такие кластеры, очевидно, должны снова прилипать к массиву, так что связность восстановится) приводит к необычным свойствам системы.

Рис. 3. Иллюстрация к алгоритму модели SRBP.

Наша модель SRBP (Self Repairing Bond Percolation) устроена следующим образом. Из системы случайным образом удаляются связи согласно следующему алгоритму (см. Рис.3):

• Начинаем с целой решетки (все связи присутствуют).

• Каждый шаг процесса состоит из двух частей: Сначала случайным образом выбираем одну из оставшихся в системе связей и удаляем ее; затем проверяем: не возникли ли в системе конечные кластеры? Если нет - то переходим к следующему шагу, если возникли то восстанавливаем только что разорванную связь и переходим к следующему шагу.

• Процесс можно формально продолжать до бесконечности, но, начиная с некоторого шага, он выродится: система превратится в дерево и все вновь разорванные связи придется восстанавливать.

Предлагаемая система обладает свойством самозалечивания: в ходе ее постепенного разрушения допускается возникновение только таких "некатастрофических" дефектов, которые не приводят к нарушению связности, катастрофические же дефекты мгновенно устраняются.

Мы показали, что при увеличении пористости (т.е., при уменьшении доли оставшихся связей р до некоторой критической рс) в ней происходит фазовый переход второго рода из обычного "сетевидного" - в новое "древовидное" состояние, в котором проводимость и упругость системы обращаются в ноль, причем система остается связной, а ее плотность - конечной. В случае квадратной решетки критическая концентрация может быть найдена точно:

Рс = 3л/^~3 ю 0.54904. (24)

В древовидном состоянии на бесконечном графе, узлы которого изображают металлические частицы, а ребра - контакты между ними, имеются только

конечные циклы, у такого графа отсутствует "скелет" (backbone), который, собственно, и отвечает за глобальные упругость и проводимость системы. Древовидное состояние существует в конечном интервале концентраций Ptree < Р < Рс- При р = ptree (для квадратной решетки Ptree = 1/2) система превращается в истинное дерево (совсем без циклов) и дальнейшее уменьшение р становится невозможным.

Мы исследовали особенности фазового перехода и построили теорию скейлинга, позволяющую связывать разные критические показатели этой задачи. В простейшей модели SRBP, допускающей частичное сведение к стандартным моделям перколяции, эти показатели выражаются через стандартные. В случае более сложных (хотя качественно мало отличающихся) моделей задачу удается исследовать только численно, при этом обнаруживается отсутствие универсальности критических показателей.

В древовидной фазе система остается связной: для любых двух узлов существует связывающий их путь. Этот путь, однако, является фрактальным; длина кратчайшего пути t нелинейно связана с геометрическим расстоянием R между точками:

£(R,p) ос Rdm,n. (25)

Мы показали, что во всем интервале ptree < Р < Рс> где существует древовидная фаза, показатель d^a одинаков и совпадает со своим значением для истинного дерева.

Древовидная фаза в чистом виде не может существовать в природе, в частности, из-за своей бесконечной хрупкости. Если подойти очень близко к переходу, то образующиеся при этом громадные мертвые концы за счет неучтенных нами внешних воздействий начнут обламываться и смыкаться, вновь образуя циклы. При этом, строго говоря, древовидная фаза не возникнет, но - если упомянутые выше внешние эффекты относительно слабы - на ее месте образуется "квазидревовидная" фаза, в которой циклы присутствуют, но в малом количестве, и только очень большие. Соответственно, можно ожидать, что жесткость и проводимость этой фазы будут конечны, но малы, а соответствующий фазовый переход - размыт.

Прямых - "сознательных" - экспериментальных наблюдений фазовых переходов в древовидную фазу, насколько нам известно, пока не было, хотя во многих прикладных работах имеются указания на "плохие образцы" - легко разрушающиеся, обладающие низкими механическими

и электрическими характеристиками. Такими образцами никто особенно не интересовался - их просто отбрасывали, хотя, возможно как раз они-то и являлись древовидными (или, скорее, квазидревовидными). Нам представляется очень важным заинтересовать этой проблемой экспериментаторов, которые могли бы должным образом исследовать такие плохие образцы.

В восьмой главе мы исследуем влияние случайного разброса межгранульных кондактансов на проводимость и туннельную плотность состояний гранулированого металла. Мы рассматриваем случай, когда гранулы довольно малы, так что существенны эффекты кулоновского взаимодействия, а безразмерные кондактансы велики, так что для описания системы можно пользоваться моделью Амбегаокара Экерна и Шёна, впервые примененной для описания гранулированного металла в работах Ефетова и Тшериша. Мы обобщаем эту модель на случай неоднородного материала и выводим систему уравнений ренормгруппы,

^ = -2 ¡,уДу, (26)

описывающую эволюцию индивидуальных межгранульных кондактансов д^ при понижении температуры. Здесь t = Ы(д0Ес/Т), Ее - характерная кулоновская энергия, д0 1 - характерное значение кондактанса при высокой температуре, Ду - сопротивление системы между гранулами г и 3-

Оказывается, что роль неоднородных флуктуаций возрастает с понижением температуры, так что переход металл-диэлектрик всегда происходит в существенно неоднородном режиме. Характер этого перехода, по-видимому, в большой степени является перколяционным, приближение к нему сопровождается последовательным выпадением из системы "почти изолированных" конечных кластеров из гранул (см. рис. 4). Контакт этих кластеров с основным массивом имеет низкий кондактанс (нулевой, если верить непосредственно уравнениям (26)). Нужно, однако, иметь в виду, что уравнения (26) справедливы только для д 1, поэтому правильнее считать, что этот кондактанс ~ 1, в то время как характерные кондактансы в массиве все еще остаются большими (з> 1).

Мы подробно исследовали ситуацию, когда исходный (определенный при высокой температуре) уровень беспорядка мал, и для решения уравнений ренормгруппы применима теория возмущений по отклонению ду от среднего

Рис. 4. Конфигурации проводящих связей при различных значепиях t. Результат численной симуляции системы уравнений (26) на квадратной решетке 20 х 20 с функцией распределения кондактансов Ро(д) = (2<?o0(s)/?r)/(ff2+<?o)- а) £ = 0.64§о: доля проводящих связей - 95% ; b) i = 1.08<?о: доля проводящих связей - 55% .

значения д(Т). Показано, что при понижении температуры характерный масштаб флуктуаций кондактансов Дд(Т) убывает медленнее, чем средний кондактанс д(Т). В частности, для квадратной решетки

Ав(Т) = Ддо д0/д(Т) _

9{Т) до у/2Ы[д0/д(Т)]Ы1пШ9(Т)}' У° '' К '

Относительная флуктуация становится порядка единицы (и теория возмущений перестает работать) еще при ~д(Т) !S> 1, т.е., при температурах, заметно выше перехода металл-диэлектрик. При этих же температурах становятся большими и относительные локальные флуктуации туннельной плотности состояний. Эффект роста локальных флуктуаций при понижении температуры должен приводить и к неоднородному характеру сверхпроводящего перехода в гранулированном металле, даже если в нормальном состоянии, при относительно высокой температуре, этот металл демонстрировал достаточно однородное поведение.

В случае, когда уровень беспорядка умеренно велик (относительная вариация порядка единицы), эволюция проводимости системы при изменении температуры с хорошей точностью описывается в рамках метода эффективной среды (см. рис.5). Этот метод, однако предсказывает одновременное обращение в "нуль" (в том же условном смысле, что и выше) большой части (половины - для квадратной решетки) индивидуальных кондактансов при той же температуре, при которой обращается в нуль проводимость. Как показывают результаты численного моделирования, на самом деле кондактансы обращаются в нуль постепенно, небольшими группами, в соответствии с описанным выше кластерным сценарием.

е ЧЧ. Ч\ > ■сч \ Чу 1 1 1 ч. » \ » X »

6 \ Л. | 1 •

1 1 V

в ч

\\ NN N \ч \ч \ч

в п \ч

.1 5

Рис. 5. Сравнение результатов метода эффективной среды (штриховые линии) и численной симуляции на квадратной решетке 32x32 (сплошные линии) для проводимости деп(£) и доли проводящих связей Лго(4).

Это обстоятельство, однако, по-видимому не слишком существенно для глобальной проводимости системы, так как последняя очень хорошо следует предсказанию метода эффективной среды, за исключением непосредственной окрестности перехода металл-диэлектрик.

В случае экспоненциально сильного исходного беспорядка зависимость проводимости от логарифма температуры становится универсальной нелинейной функцией, не зависящей ни от типа геометрической укладки гранул, ни от конкретного вида функции распределения кондактансов.

Вообще говоря, нелинейность зависимости проводимости от логарифма температуры не обязательно связана с беспорядком (мы показали, что нелинейность произвольного знака может возникать и в регулярной решетке при наличии неэквивалентных кондактансов в элементарной ячейке), но сильный беспорядок наверняка приводит к такой нелинейности, причем как раз такого знака, как наблюдаемая в эксперименте.

В девятой главе построена теория прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка, экспериментально наблюдаемой в гранулированных металлах в диэлектрическом режиме. Перенос электрона между удаленными друг от друга резонансными гранулами осуществляется здесь путем множественного последовательного котуннелирования (упругого или неупругого) электронов по цепочкам гранул, характерная длина которых зависит от температуры.

Подробно рассмотрен случай сильного зарядового беспорядка, характерный для "естественных" гранулированных металлов. Он характеризуется большим разбросом случайных "сторонних зарядов" д{, появляющиеся в кулоновской части гамильтониана системы

Йс = \Е~ - (28)

у

где щ - оператор числа избыточных электронов на грануле i. При сильном беспорядке можно считать $ независимыми случайными величинами, равномерно распределенными в интервале (—1/2,1/2).

Показано, что проводимость систем с сильным беспорядком описывается модифицированным законом Эфроса-Шкловского (с дополнительной логарифмической зависимостью от температуры):

С{Т)

/8п2Е \

Ci ln ( ——— ) , Т <С Тс, упругое котуннелирование

TES(T) ~ £(Т)ЕС> (29)

8тг2_Ес\

V Àl96 J , .

ci ln —2Ъ£2 J ' ^ неУпРУгое котуннелирование,

где Ее - характерная кулоновская энергия, g - межгранульный кондактанс, S - расстояние между уровнями в грануле. Неизвестная константа ci ~ 1 зависит от статистической геометрии гранулированного материала, а константы Âi,Â2 - от степени зарядового беспорядка (при сильном беспорядке обе они порядка единицы, но при слабом - Ai резко уменьшается). Температура кроссовера между упругим и неупругим режимами

Тс ~ VE^S/C, (31)

Зависимость Tes и Тс от размеров гранул грубо может быть описана, как Tes ос а-1 и Тс ос а-2. Логарифмический фактор С в типичном случае велик: С. ~ 10. В реальных условиях (при а ~ 10 — 20 nm и g ~ 0.3) температура кроссовера Tc ~ 1К и при обычных экспериментальных температурах неупругое котуннелирование должно доминировать над упругим.

Вероятность перехода электрона по цепочке находилась нами по теории возмущений в N + 1-том (N - число промежуточных гранул в цепочке)

порядке по амплитуде туннелирования электрона между соседними гранулами. Для того, чтобы наша теория была справедлива, характерное значение ЛГ, 7У(Т) ~ [Ее/(С(Т)Т)]^2 должно быть велико. В противном случае проводимость будет определяться прыжками между ближайшими соседними гранулами.

Отдельно рассмотрена модель "короткодействующего кулоновского взаимодействия", для которой Ес^ = Ее В этом случае удается решить задачу не только в предельных случаях, но и при Т ~ Тс и определить явную зависимость констант Ач от степени зарядового беспорядка.

Мы исследовали вопрос о магнитосопротивлении гранулированного металла, связанном с интерференцией вкладов различных цепочек. Неупругий характер котуннелирования, естественно, подавляет интерференцию, поэтому заметного магнитосопротивления следует ожидать только при очень низких температурах, когда доминирует упругое котуннелирование.

Также был рассмотрен и случай слабого зарядового беспорядка, характеризующийся малой величиной зарядов д,-. Этот случай, по-видимому, может осуществляться в специально контролируемых регулярных решетках квантовых точек. При реальных температурах эксперимента здесь следует ожидать, скорее, закона Мотта для температурной зависимости проводимости, так как плотность состояний на уровне Ферми оказывается мала и, соответственно, мала ширина кулоновской щели. Зато значительно увеличивается температура кроссовера между упругим и неупругим режимами: Тс ос (<22)_1/'2, что, возможно, позволит легче наблюдать интерференционные эффекты в таких системах.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы, выносимые на защиту.

В приложения вынесен ряд громоздких вычислений и доказательств.

ВЫВОДЫ

1. При решении цветных перколяционных задач необходимо учитывать отличие цветового состава бесконечного кластера от состава всей исходной системы: цвета, имеющие большую склонность к образованию связей, будут преимущественно представлены бесконечном кластере. Этот эффект можно приближенно описывать в рамках представления

о приближенной симметрии класса цветных перколяционных моделей, предполагающей независимость топологии бесконечного кластера от его цветового состава.

2. Хорошо известная приближенная симметрия классов перколяционных моделей, обычно используемая только для определения связи между порогами протекания разных моделей, на самом деле может быть, без потери точности, существенно расширена до глобальной симметрии. Эта симметрия позволяет связывать между собой не только пороги протекания, но и вероятности перколяции разных моделей при всех значениях параметров.

3. Прыжковая проводимость по ближайшим соседям и проводимость с переменной длиной прыжка на самом деле относятся к одному классу приближенной симметрии цветных задач перколяции на случайных узлах в обычном ¿-мерном пространстве, в котором роль непрерывного цвета для узла играет энергия связи электрона на нем. При корректном учете эффекта перераспределения, описанного в пункте (1), удается с большой точностью единым образом описывать как оба этих предельных режима проводимости, так и промежуточную ситуацию.

4. Свойства композитных материалов также естественно описывать в терминах цветной перколяции, где роль цвета играет размер зерен в композите. Опираясь на многочисленные эмпирические данные для простых бинарных систем (с двумя цветами), можно построить обобщение на полидисперсную систему (с непрерывным распределением цветов) и вывести зависимость порога перколяции от дисперсии размеров зерен, а также определить распределение частиц в бесконечном кластере по размерам. Оказывается, что перколяция облегчается при увеличении дисперсии.

5. Магнитные поляроны в магнитно неупорядоченных системах существенно отличаются от других типов поляронов из-за сильного подавления динамики намагниченности в спиновом стекле. В результате электрон, совершающий прыжок между двумя удаленными узлами при низкой температуре, не может "взять с собой свою поляронную шубу" и перенести ее на новое место туннельным образом, как он сделал бы, скажем, в случае обычного решеточного полярона. Вместо этого он вынужден дожидаться подходящей термической

флуктуации даже при очень низких температурах. Это обстоятельство позволяет объяснить явление "жесткой магнитной щели", наблюдаемое во многих магнитных полупроводниках.

6. Для объяснения экспериментальной зависимости сопротивления диэлектрического ЬагСиС^ от магнитного поля, по-видимому, необходимо предположить, что (i) акцепторные состояния имеют определенную симметрию; (ii) Вблизи примесей локальная ромбичность значительно усилена за счет вибронного эффекта; (iii) Эта локальная ромбичность, помимо обычной а-компоненты имеет также и с-компоненту, причем знаки последней на разных акцепторах скоррелированы между собой.

7. При изготовлении пористого металла - если стремиться к очень высокой степени его пористости - по-видимому, могут получаться патологические "древовидные" или "квазидревовидные" образцы с очень плохими механическими и электрическими характеристиками. Это явление должно возникать при уменьшении плотности образца, как фазовый переход второго рода. Оно является компромиссом между тенденцией к разрушению образца, с одной стороны, и топологическим запретом на отрыв от системы конечных кластеров, с другой. Последний запрет связан с требованием механической устойчивости. С математической точки зрения переход проявляется, как исчезновение "скелета" (backbone) бесконечного кластера и является неуниверсальным.

8. Случайный разброс межгранульных кондактансов, всегда присутствующий в естественных гранулированных металлах, имеет тенденцию эффективно усиливаться при понижении температуры. Даже при малом исходном уровне беспорядка, при приближении (с уменьшением температуры) к переходу металл-диэлектрик, этот беспорядок становится стопроцентно важным и сам переход происходит в сильно неоднородном - перколяционном - режиме. В результате зависимость проводимости системы от логарифма температуры отличается от линейной, предсказываемой для идеальной решетки гранул. Нелинейность становится универсальной в случае экспоненциально сильного исходного беспорядка.

9. Низкотемпературная прыжковая проводимость гранулированных

металлов в диэлектрической области осуществляется с помощью множественного котуннелирования по цепочкам нерезонансных гранул, соединяющим пары удаленных резонансных гранул. В результате эта проводимость описывается модифицированным законом Эфроса-Шкловского. Модификация (дополнительная логарифмическая температурная зависимость величины Tes) возникает из-за неупругого характера котуннелирования, проявляющегося при не слишком низких температурах. Эта же неупругость подавляет магнитосопротивление, которое могло бы возникать за счет интерференции вкладов различных цепочек.

ПУБЛИКАЦИИ, ВОШЕДШИЕ В ДИССЕРТАЦИЮ

[1] А. С. Иоселевич, "Прыжковая проводимость в произвольном магнитном поле", ФТП 15, 2373 (1981).

[2] А. С. Иоселевич, "Флуктуационный механизм прыжковой проводимости в полумагнитных полупроводниках", Письма в ЖЭТФ, 43, 148 (1986).

[3] А. О. Гоголин, А. С. Иоселевич, "Спиновый механизм прыжкового магнитосопротивления L^CuCV', Письма в ЖЭТФ 51, 154 (1990).

[4] А. О. Гоголин, А. С. Иоселевич, "Механизм прыжкового магнитосопротивления в антиферромагнитных изоляторах, Приложение к ЬагСиО/. ЖЭТФ 98, 681, (1990).

[5] А. О. Gogolin, A. S. Ioselevich, "Anomalous hopping magnetoresistance in semiconductors with complex magnetic structure: application to lightly doped La2Cu04", Solid State Commun. 78, 205, (1991).

[6] A. S. Ioselevich, "Spin polarons and variable range hopping in magnetically disordered systems", Phys. Rev. Lett. 71, 1067 (1993).

[7] A. S. Ioselevich, "Multicomponent percolation criterion and its application to hopping in disordered conductors", Phys. Rev. Lett. 74, 1411 (1995).

[8] A. S. Ioselevich, A. A. Kornyshev, "Approximate symmetry laws for percolation in complex systems: percolation in polydisperse composites", Phys. Rev. E 65, 021301, (2002).

[9] A. S. Ioselevich, D. S. Lyubshin, "Phase transition in a self-repairing random network", Письма в ЖЭТФ 79, 286 (2004).

[10] M. V. Feigelman, A. S. Ioselevich and M.A. Skvortsov, "Quantum percolation in granular metals", Phys. Rev. Lett. 93, 136403 (2004).

[11] M. V. Feigelman, A. S. Ioselevich, "Variable range cotunneling and conductivity of a granular metal", Письма в ЖЭТФ 81, 341 (2005).

[12] A. R. Akhmerov and A.S.Ioselevich, "Universal temperature dependence of the conductivity of a strongly disordered granular metal", Письма в ЖЭТФ 83, 251 (2006).

1 Общее введение

2 Приближенные симметрии для перколяции в сложных системах

2.1 Введение.

2.2 Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции: обзор

2.2.1 Задачи перколяции на регулярных решетках

2.2.2 Задачи перколяции на случайных узлах.

2.2.3 Случайно упакованные сферы: бинарные смеси.

2.2.4 Почему топологически неупорядоченные задачи узлов обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках?.

2.3 Локальная симметрия для многоцветных систем.

2.3.1 Матрица связывания.

2.3.2 Построение инварианта.

2.3.3 Порог перколяции.

2.3.4 Парциальные вероятности перколяции вблизи порога: критические моды.

2.3.5 Простые примеры моделей цветной перколяции.

2.4 Глобальная симметрия

2.4.1 Глобальная симметрия для цветных моделей

3 Перколяционные свойства полидисперсных композитных материалов

3.1 Введение.

3.2 Применение идеи глобальной симметрии для описания свойств полидисперсного композита

3.2.1 Модель композитного материала

3.2.2 Статистика координации в случайной упаковке.

3.2.3 Перколяциониые свойства металлической подсистемы

4.2 Прыжковая проводимость в произвольном магнитном поле . 45

4.2.1 Вычисление подбарьерного действия.46

4.2.2 Магнитосопротивление.49

4.3 Прыжковая проводимость при произвольной температуре . 53

4.3.1 Общий подход, основанный на приближенной локальной симметрии .53

4.3.2 Высокие температуры, закон Аррениуса и поправки к нему 55

4.3.3 Низкие температуры, закон Мотта.56

4.4 Прыжковая проводимость с несколькими сортами примесей . 59

5 Прыжковая проводимость в магнитно неупорядоченных системах 62

5.1 Флуктуационный механизм прыжковой проводимости в разбавленных полумагнитных проводниках.63

5.1.1 Связанные магнитные поляроны в полумагнитных полупроводниках.63

5.1.2 Прыжковая проводимость: фононные и флуктуационные прыжки.64

5.1.3 Высокие температуры.66

5.1.4 Низкие температуры: роль неоднородных флуктуаций . . 67

5.1.5 Эффект магнитного поля.68

5.2 Связанные магнитные поляроны в спиновых стеклах и проблема жесткой магнитной щели в прыжковой проводимости.70

5.2.1 Введение.70

5.2.2 Стандартное объяснение возврата простой активации за счет жесткой магнитной щели и его внутренняя противоречивость .72

5.2.3 Связанные магнитные поляроны в спиновых стеклах: уникальная возможность классического описания при низких температурах.74

5.2.4 Полуфеноменологическая теория.76

5.2.5 Применение к полумагнитному полупроводнику Cdo.9iMno.o9Te:In.79

5.2.6 Вблизи перехода металл-диэлектрик.81

5.2.7 Другие системы.84

6 Прыжковое магнитосопротивление в полупроводниках со сложной магнитной структурой 86

6.1 Введение.86

6.2 Магнитная структура ЬагСи04 во внешнем поле.91

6.3 Примесные состояния, вибронные эффекты и молекулярные поля 96

6.3.1 Гамильтониан дырок и классификация акцепторных конфигураций.97

6.3.2 Вибронные эффекты .100

6.3.3 Взаимодействие с аптиферромагиитным окружением: молекулярные поля.101

6.4 Сетка сопротивлений Миллера-Абрахамса.104

6.4.1 Туннельные интегралы перекрытия.105

6.4.2 Поляронные прыжки.106

6.4.3 Переходы с переворотом и без переворота спина .106

6.4.4 Антиферромагнитное окружение: теория среднего поля . 107

6.4.5 Сопротивления переходов для различных магнитных фаз и типов упорядочения примесей.108

6.5 Обобщенная задача протекания.110

6.6 Обсуждение и сравнение с экспериментом.115

6.6.1 Магнитное поле Н || b.115

6.6.2 Магнитное поле Н ± b.116

6.6.3 Эффекты многодоменности .118

6.6.4 Эффекты магнитных флуктуаций.120

6.6.5 О возможности определения молекулярных полей в оптических экспериментах.121

6.7 Заключение.121

7 Перколяционные модели пористых металлов 123

7.1 Введение.123

7.2 Модель с самозалечивающимся связями.125

7.2.1 Постановка задачи.125

7.2.2 Топологический фазовый переход: сетевидная и древовидная фазы.126

7.2.3 Блочная структура и критическое поведение вблизи перехода.129

7.2.4 Фрактальные свойства древовидной фазы.132

7.3 Заключение.136

8 Эффекты беспорядка в хорошо проводящих гранулированных металлах 140

8.1 Введение.140

8.2 Регулярные решетки: нетривиальный пример.143

8.3 Кластеризация и перколяционный характер перехода металл-диэлектрик в неупорядоченной системе.144

8.4 Слабые неоднородные флуктуации кондактансов.146

8.4.1 Теория возмущений: квадратная решетка .148

8.4.2 Пространственные корреляции перенормированных кондактансов.150

8.4.3 Пространственные флуктуации локальной плотности состояний.151

8.5 Умеренно сильные неоднородные флуктуации кондактансов . . . 153

8.5.1 Приближение эффективной среды: общая формулировка 154

8.5.2 Применение к узким распределениям. 155

8.5.3 Применение к "симметричным" распределениям произвольной ширины . 156

8.6 Очень сильные неоднородные флуктуации кондактансов. 159

8.7 Заключение. 161

9 Прыжковая проводимость гранулированных металлов 164

9.1 Введение.; 164

9.2 Котуннелирование через одну гранулу: обзор. 167

9.3 Котуннелирование через цепочку гранул. 168

9.3.1 Теория возмущений: общий подход. 169

9.3.2 Модель с короткодействующим кулоновским отталкиванием 176

9.3.3 Эффективная задача перколяции и вывод закона Мотта для случая короткодействующего взаимодействия . 179

9.4 Магнитосопротивление.182

9.5 Заключение

184

10 Общее заключение 186

Приложения 193

А Точное решение уравнений ренормгруппы для решетки с двумя кондактансами на связи.193

Б Вычисление геометрической константы сг для двух простых моделей.194

Б.1 Двумерная идеальная плотно упакованная решетка . 194

Б.2 Двумерный поликристалл .195

В О короткодействующем характере эффективного взаимодействия 197

Г Вычисление константы Ь2.198

Г.1 Двумерный случай .199

Г.2 Трехмерный случай.202

Литература 206

1 Общее введение

Каждая глава этой диссертации имеет свое собственное введение, в котором подробно описан соответствующий круг проблем. Поэтому в настоящем "Общем введении" мы остановимся только на самых общих вопросах, затронутых в ней.

Неупорядоченные материалы - самые широко распространенные в природе системы, поэтому необходимость их изучения никогда не вызывала сомнений. Долгое время, однако, исследование неупорядоченных систем происходило по двум, очень мало пересекающимся, линиям. Физики, в особенности теоретики, старались исследовать как можно более простые системы (такие, как модель Андерсона, стандартные перколяционные модели и т.п.) и интересовались в основном общими, универсальными их свойствами. Инженеры подробно изучали важные для приложений сложные системы на чисто эмпирическом уровне, так что накопленные в их исследованиях конкретные результаты физику даже довольно трудно "переварить"и использывать. Только в последнее время появилась тенденция проникновения серьезной "физической культуры" в науку о реальных сложных неупорядоченных материалах.

Одной из задач данной лиссертации является разработка приближенных полуфеноменологических методов, которые, будучи, с одной стороны, физически прозрачными и убедительными, позволяли бы, с другой стороны, опираясь на эмпирические данные, описывать сложные реальные системы и предсказывать их свойства. Приближенность этих методов искупается сложностью доступных для них задач, которая не дают даже возможности надеяться на применение каких-либо точных схем.

Большой интерес представляют искусственные неупорядоченные материалы с заданными свойствами, создаваемые в сильно неравновесных технологических процессах. Стандартные простые модели часто оказываются не в состоянии адекватно описать такие вещества. Это, в частности, относится к пористым материалам, которые обычно описывают с помощью перколяционных моделей, не учитывающими важных топологических ограничений, накладываемых условиями механической устойчивости материала. В диссертации мы рассматриваем модели, в которых этот недостаток устранен и обсуждаем важные физические последствия, к которым приводят топологические ограничения.

Чрезвычайно важны и интересны квантовые эффекты в неупорядоченных системах, проявляющиеся, как правило, при низких температурах. Сюда относятся, в первую очередь, транспортные явления, прыжковая проводимость. Эти явления очень много исследовались, начиная с пионерских работ Мотта, Андерсона, Шкловского и Эфроса 60-х и 70-х годов прошлого века. Тем не менее, многие аспекты прыжковой проводимости, особенно в сложных системах, оставались непонятыми. Некоторые их таких проблем, связанные с присутствием в системе дополнительных степеней свободы (магнитных, решеточных и других) решены в этой диссертации. Для исследования возникающих в процессе решения этих физических задач нестандартных перколяционных моделей оказываются полезными приближенные методы, о которых говорилось выше.

В последние годы возникло понимание важности квантовых эффектов и эффектов электрон-электронного взаимодействия для описания низкотемпературных свойств гранулированных металлов. В диссертации мы исследуем специфику этих эффектов, связанную с беспорядком. Беспорядок оказывается очень важным не только потому, что гранулированные материалы, как правило, изначально являются существенно неупорядоченными. Оказывается, что эффекты беспорядка имеют тенденцию усиливаться при приближении к переходу металл-диэлектрик, даже если изначальная степень беспорядка была небольшой.

План диссертации следующий:

• В главе 2 предложен приближенный общий метод решения "цветных" задач перколяции, применимый ко многим практически важным системам. Он основан на приближенной "симметрии" классов перколяционных моделей, позволяющей находить решение для всех моделей класса, если оно известно хотя бы для одного его представителя.

• В главе 3 этот метод последовательно применяется для исследования перколяционных свойств смеси металлических и диэлектрических гранул со случайными размерами (полидисперсный композит). Изучается влияние дисперсии размеров гранул на порог перколяции.

В главе 4 приближенные симметрии перколяционных моделей используются для решения некоторых важных задач прыжковой проводимости: в магнитном поле, в режиме кроссовера между простой активацией и законом Мотта, а также при наличии в системе нескольких сортов существенно различающихся примесей.

В главе 5 исследуется прыжковая проводимость в магнитно-неупорядоченной среде: парамагнетике или спиновом стекле. Конкретные вычисления делаются для случая полумагнитных полупроводников. Дается объяснение известному явлению возврата от закона Мотта (или Эфроса-Шкловского) к простой активации при самых низких температурах в этих системах.

В главе б предлагается микроскопический механизм прыжкового магнитосопротивления в полупроводнике со сложной магнитной структурой, таком, как слабо легированный La2Cu04. Этот механизм объясняет скачки и изломы в зависимости сопротивления от магнитного поля, экспериментально наблюдаемые в точках магнитных фазовых переходах. Сравнение с экспериментом позволяет выделить наиболее подходящую структуру примесного состояния из множества вариантов, допускаемых симметрией.

В главе 7 предложена и исследована модель процесса образования пористого металла. На простой модели показано, что запрет на образование отдельных кластеров, не связанных с основным массивом (в реальности такие кластеры, очевидно, должны снова прилипать к массиву, так что связность восстановится) приводит к необычным свойствам системы. При увеличении пористости в ней может происходить фазовый переход в "квазидревесное" состояние, в котором проводимость и упругость системы обращаются в ноль.

В главе 8 исследовано влияние замороженных флуктуаций межгранульных кондактансов на проводимость и туннельную плотность состояний гранулированого металла (в случае, когда эти кондактансы велики). Показано, что роль этих флуктуаций возрастает с понижением температуры, так что переход металл-диэлектрик всегда происходит в существенно неоднородном режиме. Исследованы как ситуация, когда исходный (определенный при высокой температуре) уровень беспорядка мал, так и обратная, когда он экспоненциально велик.

В главе 9 построена теория прыжковой проводимости в гранулированном металле с малыми межгранульными кондактансами. Показано, что перенос осуществляется путем множественного последовательного котуннелирования электронов по цепочкам гранул, а проводимость описывается модифицированным законом Эфроса-Шкловского (с дополнительной логарифмической зависимостью от температуры). Рассмотрен вопрос о магнитосопротивлении такой системы, связанном с интерференцией вкладов различных цепочек.

В Заключении приведены основные результаты диссертации.

В Приложение вынесены громоздкие технические вычисления и некоторые "вставные сюжеты", использованные для доказательства приведенных в основном тексте утверждений.

9.5 Заключение

В построенной нами теории прыжки между удаленными друг от друга резонансными гранулами осуществляются с помощью процессов котуннелирования по цепочке промежуточных нерезонансных гранул, соединяющих две резонансные. Среди этих процессов, вообще говоря, встречаются как упругие (доминирующие при низкой температуре Т <ТС), так и неупругие (доминирующие при Т > Тс). В присутствии дальнодействующего кулоновского взаимодействия, закон Эфроса-Шкловского для проводимости выведен для предельных случаев Г < Гс и Г > Тс. Для модели локального (сильно заэкранированного) отталкивания, действующего только в пределах одной гранулы, нам удалось рассмотреть и общую ситуацию, включающую случай Т ~ Тс, когда в равной мере существенны как упругие, так и неупругие процессы котуннелирования. В этой модели удается найти явное (с численными коэффициентами) выражение для температуры кроссовера Тс (см. (9.26,9.51).

Как показывают оценки, в реальных гранулированных металлах Тс оказывается весьма низкой. В частности, для алюминиевых гранул размера а ~ 20nm получаем Ее ~ 500К" и 5 ~ 0.05/С, что приводит (при д ~ 0.3, так что С ~ 12) к оценке Тс ~ 0.5Я". Для меньших гранул, с а ~ 10nm, получим Тс ~ 2К. Можно заключить, что подавляющая часть экспериментальных данных, относящихся к интервалу температур от комнатной до жидкого гелия, должна интерпретироваться в терминах чисто неупругого котуннелирования. Это, в частности, может служить объяснением того факта, что эффект магнитосопротивления в гранулированных металлах столь слаб - в противоположность обычным неупорядоченным полупроводникам. Мы ожидаем, что реальное наблюдение заметного отрицательного магнитосопротивления, обусловленного интерференцией процессов котуннелирования по различным цепочкам, могло бы быть возможно при температурах ниже 1К в гранулированной среде из очень маленьких гранул (< 10 nm), сделанных из несверхпроводящего металла (например, меди, серебра, или золота).

В неупругом режиме (при Т > Тс) величина Tes, входящая в закон Эфроса-Шкловского (9.1), сама оказывается зависящей от температура: она слабо (логарифмически) возрастает с уменьшением температуры, выходя на насыщение при Т ~ Тс. Эта дополнительная температурная зависимость должна приводить к несколько более быстрому возрастанию сопротивления при понижении температуры, чем предсказывается стандартным законом (9.1).

Развитая нами теория предполагала слабую связь между гранулами: д 1. При д > 1 использованная теория возмущений прямо не применима: входящие в нее величины сильно перенормируются. Необходимая модификация теории для этого случая пока не закончена.

10 Общее заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Предложен способ описания свойств сложных перколяционных систем, в которых узлы характеризуются набором "цветов" - случайных параметров с (дискретных или непрерывных), от которых зависят вероятности установления связей между узлами. Предложено обобщение понятия приближенной симметрии (или инвариантности) для цветных задач перколяции. Это обобщение нетривиально: оно учитывает перераспределение узлов по цветам в бесконечном кластере (по сравнению с априорными вероятностями пс разных цветов) в зависимости от структуры матрицы Pcd, т.е. от того, какие цвета обнаруживают большую склонность к образованию связей.

Сформулировано понятие приближенной глобальной симметрии задач перколяции, позволяющее соотносить друг с другом не только пороги перколяции разных задач, но и зависимости плотности V бесконечного кластера от параметров. Получено нелинейное "уравнения состояния", позволяющее найти парциальные (по разным цветам) плотности бесконечного кластера Vc для всего класса задач, охватываемых приближенной симметрией, если известна зависимость V(n) для какой-нибуль простой одноцветной задачи, принадлежащей классу. Метод обобщен также и на важный для приложений случай топологически неупорядоченной сети.

2. Описанный выше общий метод использован для описания перколяционных свойств полидисперсного композита: смеси проводящих (доля х) и непроводящих (доля 1-х) зерен с известными функциями распределения по размерам. На основе имеющихся в литературе подробных численных и экспериментальных данных по бинарным системам (в которых все проводящие зерна имеют одинаковый радиус Rm, а непроводящие - Ri) построено обобщение на случай конечной дисперсии. Показано, что порог перколяции по металлическим зернам хс зависит только от двух безразмерных параметров: отношения р средних площадей поверхностей металлических и диэлектрических зерен и относительной дисперсии Д площадей поверхности металлических зерен. Оказывается, что порог перколяции понижается с ростом дисперсии (этой зависимости дано качественное объяснение). Построенная теория (как и эвристические зависимости для бинарных смесей, на основе которых она построена) является приближенной: она справедлива, когда разброс размеров зерен не слишком велик: при 1/3 < р < 3 и 1/3 < Л < 3.

3. Построена теория положительного орбитального магнитосопротивления полупроводника в прыжковой области, явно использующая квазиклассичность подбарьерного движения электрона в магнитном поле. Метод позволяет найти полевую зависимость сопротивления во всей области полей (включая промежуточную); в предельных случаях слабого и сильного полей результаты совпадают с полученными ранее в работах Б.И.Шкловского. Как следует из результата, выход на асимптотику сильного поля происходит гораздо позже, чем ожидалось.

4. На основе разработанного в первой главе метода построена теория, позволяющая (без учета корреляционных эффектов) единым образом описывать проводимость как с прыжками между ближайшими соседями, так и с переменной длиной прыжка. Случайная энергия е* электрона на г'-ой примеси играет роль непрерывного "цвета". Линейный интегральный оператор, максимальное собственное число которого определяет проводимость системы, может быть численно диагонализован для произвольной зависимости плотности состояний от энергии. В соответствующих предельных случаях получаются известные результаты: закон Аррениуса и закон Мотта. Хорошее совпадение полученной нашим методом численной константы /?, входящей в закон Мотта, с ее значением, известным из прямого численного счета, указывает на справедливость нашего предположеня о высокой точности приближенной симметрии, связывающей задачи этого класса. Можно быть уверенным, что и в области кроссовера между двумя предельными режимами метод дает такую же точность. Проанализирована относительная доля узлов с различными энергиями в бесконечном кластере, показано, что, несмотря на постоянство плотности состояний, она резко убывает при удалении от поверхности Ферми. Этот факт приводит к важным последствиям, которые ранее не были известны.

5. Предыдущая задача обобщена на случай присутствия в системе нескольких разных сортов примесей, вероятность прыжков между которыми существенно различна. Сюда, например, относится задача об антиферромагнетике, в котором прыжки между примесями из различных подрешеток менее вероятны (из-за необходимости переворота спина), чем внутри одной подрешетки. Найдена глобальная проводимость такой системы; показано, что в одной области параметров проводимость осуществляется по каждому сорту примесей независимо, а в другой происходит срастание соответствующих бесконечных кластеров, так что в глубине этой области прыжки с переменой цвета происходят столь же часто, как и без перемены.

6. Исследовано влияние связанных магнитных поляронов на прыжковую проводимость разбавленных полумагнитных полупроводников. В пренебрежении взаимодействием между магнитными ионами (справедливом при их концентрации ниже 5% вплоть до самых низких температур) получена зависимость проводимости от температуры и магнитного поля как в линейном режиме (когда связанный на доноре электрон лишь чуть-чуть поляризует близлежащие магнитные ионы и эта поляризация может быть описана в рамках теории линейного отклика), так и в режиме насыщения, когда электрон полностью выстраивает спины окружающих его ионов. Показано, что в большинстве случаев прыжки происходят по бесфононному флуктуационному сценарию, при которым спины ионов формируют оптимальную флуктуацию, позволяющую электрону резонансным образом протуннелировать между двумя ямами. Необходимая для этого энергия активации оказывается в четыре раза меньше, чем в случае фононного прыжка, происходящего при равновесной конфигурации спинов. Дифференциальная энергия активации прыжковой проводимости зависит от температуры (из-за температурной зависимости магнитной восприимчивости) и от внешнего магнитного поля, причем эти зависимости немонотонны, что и наблюдается на эксперименте.

7. Та же задача (но только в линейном приближении) решена для случая, когда при температуре эксперимента взаимодействие между спинами магнитных ионов является существенным (например, если концентрация ионов ~ 10%, то оно существенно при Т < 1 К). При низких температурах подсистема магнитных ионов переходит в спин-стекольное состояние. Показано, что связанные магнитные поляроны в магнитно-неупорядоченной системе (спиновом стекле) существенно отличаются как от обычных (решеточных) поляронов, так и от магнитных поляронов в упорядоченном магнетике. Из-за сильного подавления динамики намагниченности, в спиновом стекле при низкой температуре не наступает туннельный режим возникновения оптимальной флуктуации: вплоть до самых низких температур доминирует классический активационный механизм. Это позволяет решить задачу тем же методом, что и при отсутствии взаимодействия, пользуясь, вместо восприимчивости идеального парамагнетика, восприимчивостью спинового стекла (с присущими ей температурной и полевой зависимостями).

Полученный результат объясняет феномен возврата от закона Мотта (или Эфроса-Шкловского) к простой активационной зависимости проводимости при самых низких температурах, экспериментально наблюдавшийся в ряде полумагнитных а также классических полупроводников. При этом удается снять внутренние противоречия, содержавшиеся в сценарии "жесткой магнитной щели", предлагавшемся ранее для объяснения этого явления. Исследована специфика эффекта, возникающая, если система находится вблизи перехода металл-диэлектрик.

8. Построена теория прыжкового магнитосопротивления полупроводника со сложной магнитной структурой, с приложением к случаю ЬагСи04- Исследована магнитная фазовая диаграмма этого слоистого антиферромагнетика, в котором важную роль играет анизотропное взаимодействие Дзялошинского-Морийя, обусловленное небольшим ромбическим искажением решетки. Как показывают эксперименты, сопротивление (температурная зависимость которого описывается законом Мотта, что говорит о ее прыжковом и трехмерном характере) испытывает скачки или изломы при магнитных фазовых переходах.

Предложен следующий микроскопический механизм магнитосопротивления: Спин акцепторного состояния (возникающего в результате сильного взаимодействия спина локализованной дырки со спинами медей из ближайшего окружения) равен 1/2. Со стороны остальной системы на этот спин действует молекулярное поле, не равное нулю только при ненулевом ромбическом искажении. Оно расщепляет примесное состояние, так что вероятности прыжков между различными акцепторами (происходящих, преимущественно, без переворота спина дырки) зависят от взаимной ориентации молекулярных полей на акцепторах. Эта ориентация управляется внешним полем, что и обусловливает механизм магнитосопротивления. В зависимости от магнитной фазы и типа примесного состояния возникают ситуации с одной, двумя, или четырьмя подрешетками акцепторов, молекулярные поля на которых одинаковы и одинаково направлены. Соответственно, возникает перколяциоиная задача с одним, двумя, или четырьмя типами примесей, к которой применяется метод, разработанный в разделе 4.4.

Рассмотрены различные типы дырочных состояний, локализованных вблизи акцепторов и различные типы симметрии локального ромбического искажения, возникающего вблизи акцептора. Из всего множества вариантов удается выбрать единственный, совместимый со всем комплексом экспериментальных данных. Количественное согласие с экспериментом достигается при большой величине локального ромбического искажения (сильном поляронном эффекте).

9. Предложена и исследована модель образования пористого металла путем последовательного удаления (выжигания) порообразователя (например, частиц угля) из смеси с металлическими частицами. На простой модели этого процесса показано, что естественное механическое ограничение: запрет на образование отдельных кластеров, не связанных с основным массивом (такие кластеры, очевидно, должны снова прилипать к массиву, так что связность восстановится) приводит к необычным свойствам системы. При увеличении пористости в ней может происходить фазовый переход в "квазидревесное" состояние, в котором проводимость и упругость системы обращаются в ноль, причем система остается связной, а ее плотность - конечной. В этом состоянии на бесконечном графе, узлы которого изображают металлические частицы, а ребра - контакты между ними, имеются только конечные циклы, у такого графа отсутствует "скелет" (backbone), который, собственно, и отвечает за глобальные упругость и проводимость системы.

Исследованы особенности фазового перехода и фрактальные свойства новой квазидревесной фазы. Построена теория скейлинга, позволяющая связывать разные критические показатели этой задачи. В простейшей модели, допускающей частичное сведение к стандартным моделям перколяции, эти показатели выражаются через стандартные. В случае более сложных (хотя качественно мало отличающихся) моделей задачу удается исследовать только численно, при этом обнаруживается отсутствие универсальности критических показателей.

10. Изучено влияние замороженных флуктуаций кондактаисов на проводимость и туннельную плотность состояний гранулированого металла (в случае, когда эти кондактансы велики). Показано, что роль неоднородных флуктуаций возрастает с понижением температуры, так что переход металл-диэлектрик всегда происходит в существенно неоднородном режиме. Характер этого перехода, по-видимому, в большой степени является перколяционным. Показано, что зависимость проводимости от логарифма температуры далеко не всегда является линейной.

Подробно исследована ситуация, когда исходный (определенный при высокой температуре) уровень беспорядка мал, и для решения уравнений ренормгруппы применима теория возмущений. В случае, когда исходный уровень бепорядка умеренно велик (относительная вариация порядка единицы), эволюция системы при изменении температуры с хорошей точностью описывается комбинацией уравнений ренормгруппы и метода эффективной среды. В случае экспоненциально сильного исходного беспорядка зависимость проводимости от логарифма температуры становится универсальной нелинейной функцией, не зависящей ни от типа геометрической укладки гранул, ни от конкретного вида функции распределения кондактансов.

11. Построена теория прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка в гранулированном металле, экспериментально обнаруженной во множестве экспериментов. Перенос электрона между удаленными друг от друга резонансными гранулами осуществляется путем множественного последовательного котуннелирования (упругого или неупругого) электронов по цепочкам гранул, характерная длина которых зависит от температуры.

Подробно рассмотрен случай сильного зарядового беспорядка, характерный для "естественных" гранулированных металлов. Показано, что проводимость таких систем описывается модифицированным законом Эфроса-Шкловского (с дополнительной логарифмической зависимостью от температуры). В реальных условиях неупругое котуннелирование должно доминировать над упругим при температурах выше одного кельвина. Также исследован и случай слабого беспорядка, который, по-видимому, может осуществляться в специально контролируемых регулярных решетках квантовых точек. Здесь следует ожидать, скорее, закона Мотта для температурной зависимости проводимости.

Рассмотрен вопрос о магнитосопротивлении гранулированного металла, связанном с интерференцией вкладов различных цепочек. Неупругий характер котуннелирования, естественно, подавляет интерференцию, поэтому заметного магнитосопротивления следует ожидать только при очень низких температурах или в системах со слабым зарядовым беспорядком, где неупругие процессы относительно подавлены по сравнению с упругими.

1. Fractals and Disordered Systems, eds. A.Bunde and S.Havlin, Springer, Berlin (1996)

2. Disorder and Granular Media, eds. D.Bideau and A.Hansen, North-Holland, Amsterdam, (1993)

3. R.Jullien, P.Meakin and A.Pavlovitch, Growth of Packings, chapter 4 in the book Ref.2], p.103.

4. D.S.McLachlan, M.Blaszkiewicz and R.E.Newnham, Electrical resistivity of composites. J.Am.Ceram.Soc. 73, 2187 (1990).

5. G.Auvinet, in: Proc. Fifth Panam. Conf on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Buenos Aires, (1972).

6. G.Auvinet and D.Bouvard, in: Proc. Fourth Int. Conf. on Application of Statistics and Probability in Soils and Structural Engineering, Pitagora Ed-itrice, Firenze, (1983).

7. L.Oger, J.P.Troadec, D.Bideau, J.A.Dodds and and M.J.Powell, Properties of disordered sphere packings. II. Electrical properties of mixtures of conducting and insulating spheres of different sizes. Powder Technol. 46,121; 133 (1986).

8. R.Ben Aim and P.Le GofF, La coordinance des empilements desordonnes de spheres. Application aux melanges binaires de spheres. Powder Technol. 2, 1 (1968).

9. M.Suzuki and T.Oshima, Estimation of the coordination number in a multi-component mixture of spheres. Powder Technol. 35, 159 (1983).

10. D.Bouvard and F.F.Lange, Relation between percolation and particle coordination in binary powder mixtures. Acta metall.mater, 39, 3083 (1991).

11. L.P.Troadec and J.A.Dodds, Global Geometrical description of Homogeneous Hard Sphere Packings, chapter 5 in the book Ref.2], p.133.

12. C.-H.Kuo and P.K.Gupta, Rigidity and conductivity percolation thresholds in particulate composites. Acta metall. mater., 43, 397 (1995).

13. J.P.Fitzpatrick, R.B.Malt and F.Spaepen, Percolation theory and the conductivity of random close packed mixtures of hard spheres. Phys. Lett., 47A, 207 (1974).

14. A.J.Matheson, Computation of a random packing of hard spheres. J. Phys. C7, 2569 (1974).

15. H.Ottavi, J.Clerc, G.Giraud, J.Roussenq, E.Guyon and C.D.Mitescu, Electrical conductivity of a mixture of conducting and insulating spheres: an application of some percolation concepts. J. Phys. Cll, 1311 (1980).

16. M.J.Powell, Computer-simulated random packing of spheres. Powder Tech-nol, 25, 45 (1980)

17. M.J.Powell, Distribution of near neighbours in randomly packed hard spheres. Powder Technol, 25, 45 (1980); 26, 221 (1980).

18. M.J.Powell, Site percolation in randomly packed spheres. Phys. Rev., B21, 3725 (1980).

19. A.S.Ioselevich, Multicomponent percolation criterion and its application to hopping in disordered conductors. Phys. Rev. Lett. 74, 1411 (1995).

20. A.S.Ioselevich, A.A.Kornyshev, Approximate symmetry laws for percolation in complex systems: percolation in polydisperse composites. Phys. Rev. E 65, 021301, (2002).

21. А.О.Гоголин, А.С.Иоселевич, Механизм прыжкового магнитосопротивления в антиферромагнитных изоляторах. Приложение к La2Cu04. ЖЭТФ 98, 681, (1990)

22. A.O.Gogolin, A.S.Ioselevich, Anomalous hopping magnetoresistance in semiconductors with complex magnetic structure: application to lightly doped La2Cu04. Solid State Commun 78, 205, (1991)

23. C.Domb and M.F.Sykes, Cluster size in random mixtures and percolation processes. Phys. Rev. 122, 77 (I960).

24. V.A.Vyssotsky, S.B.Gordon, H.L.Frisch, and J.M.Hammersley, Critical percolation probabilities (bond problem). Phys. Rev. 123, 1566 (1961).

25. J.M.Ziman, The localization of electrons in ordered and disordered systems. In J. Phys. CI, 1532 (1968).

26. H.Scher and R.Zallen, Critical density in percolation processes. J.Chem.Phys. 53, 3759 (1970).

27. V.K.S.Shante and S.Kirkpatrick, An introduction to percolation theory, Adv.Phys. 20, 325 (1971).

28. А.С.Скал, Б.И.Шкловский, Концентрационная зависимость прыжковой проводимости. ФТП 7, 1589 (1973)

29. G.E.Pike and C.H.Seager, Percolation and conductivity: a computer study. Phys. Rev. BIO, 1421 (1974).

30. D.Stauffer and A.Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor and Fransis, London, (1994)

31. Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, (1979). B.I.Shklovskii and A.L.Efros Electronic Properties of Doped Semiconductors, Springer, Berlin, (1984)]

32. J.Gurland, An estimate of contact and continuity of dispersion in opaque samples. Trans. Metall. Soc. AIME 236, 642 (1966).

33. S.M.Aharoni, Electrical resistivity of a composite of conducting particles in an insulating matrix. J.Appl.Phys 43, 2463 (1972).

34. S.Kirkpatrick, Percolation and conduction. Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).

35. J.W.Halley, Polychromatic percolation, in: Percolation Structures and Processes, eds G.Deutscher, R.Zallen and J.Adler. Hilger, Bristol, (1983)

36. H.L.Frisch, J.M.Hammersley, and D.J. A. Welsh, Monte Carlo estimates of percolation probabilities for various lattices. Phys. Rev. 126, 949 (1962).

37. J.A.Dodds, The porosity and contact points in multicomponent random sphere packings calculated by a simple statistical geometrical model. J.Coll.Interf.Sci. 77, 317 (1980).

38. R.Zallen, Polychromatic percolation: Coexistence of percolating species in highly connected lattices. Phys. Rev. В 16, 1426 (1977).

39. Б.И.Шкловский, Нгуен Ван Лиен, Прыжковое магнитосопротивление п-германия. ФТП 12, 1346 (1978)

40. Б.И.Шкловский, Прыжковая проводимость в сильном магнитном поле. ЖЭТФ 61, 2033, (1971)

41. Б.И.Шкловский, К теории экспоненциального магнитосопротивления полупроводников. ФТП 8, 416 (1973)

42. V.Ambegaokar, B.I.Halperin, J.S.Langer, Hopping conductivity in disordered systems. Phys. Rev. В 4, 2612 (1971).

43. А.С.Иоселевич, Прыжковая проводимость в произвольном магнитном поле. ФТП 15, 2373(1981)

44. А.И.Базь, Я.Б.Зельдович, A.M.Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, Москва, Наука, 1971.

45. H.Kahlert, in: Proc. second Intern. Conf. on Application of High Magnetic Fields in Semiconductor Physics, p.470, Wuerzburg, (1974)

46. О.В.Емельяненко, Т.С.Лагунова, Д.Н.Наследов, Д.Д.Недеогло, И.Н.Тимченко, Проводимость по примесям в n-GaAs. ФТП 7, 1919 (1973)

47. G.Biskupski and Н. Dubois, Impurity conduction and negative magnetore-sistance in compensated n-type indium phosphide at low temperature. Solid. State Commun. 28, 601 (1978)

48. B.I.Shklovskii and B.Z.Spivak, Scattering and interference effects in variable range hopping conduction. In: Hopping transport in solids, ed. by M.Pollak and B.Shklovskii, p.271, (Elsevier, Amsterdam, (1991)

49. А.С.Скал, Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Энергия активации прыжковой проводимости. ФТТ 17, 506 (1975)

50. Нгуен Ван Лиен, В.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Энергия активации прыжковой проводимости слабо легированного полупроводника. ФТП, 13, 2192 (1979)

51. N.F.Mott, Conduction in glasses containing transition metal ions. J. Non-Cryst. Solids 1,1 (1968)

52. Н.Ф.Мотт, Э.Дэвис, Электронные процессы в некристаллических веществах. М.: Мир, (1979). N.F.Mott, E.A.Davis, Electronic Processes in N on-Crystalline Materials, (Clarendon Press, Oxford, 1979)]

53. А.С.Скал, Б.И.Шкловский, О формуле Мотта для низкотемпературной прыжковой проводимости. ФТТ 16, 1820 (1976)

54. P.N.Butcher, K.J.Hayden, Analytical formulae for d.c. hopping conductivity. Degenerate hopping in wide bands. Philos. Mag., 36, 657 (1977)

55. K.J.Hayden, P.N.Butcher, Philos. Mag., 38, 603 (1978)

56. N.B.Brandt, V.V.Moshchalkov, Semimagnetic Semiconductors. Adv.Phys. 33, 193 (1984)

57. И.И.Ляпилин, И.М.Цидильковский, Узкощелевые полумагнитные полупроводники. УФН 146, 35 (1985)

58. М.А.Кривоглаз, Флуктуонные состояния электронов. УФН 111, 617 (1973)

59. Э.Л.Нагаев, Физика магнитных полупроводников, М.: Наука, 1979.

60. T.Kasuya, A.Yanase, Anomalous transport phenomena in Eu-Chalcogenide alloys. Rev. Mod. Phys., 40, 684 (1968)

61. T.Dietl, J.Spalek, Effect of fluctuations of magnetization on the bound magnetic polaron: Comparison with experiment. Phys. Rev. Lett. 48, 355 (1982)

62. T.Dietl, J.Spalek, Effect of thermodynamic fluctuations of magnetization on the bound magnetic polaron in dilute magnetic semiconductors. Phys. Rev. В 28, 1548 (1983)

63. D.Heiman, P.A.Wolff, J.Warnock, Spin-flip Raman scattering, bound magnetic polaron, and fluctuations in (Cd,Mn)Se. Phys. Rev. В 27, 4848 (1983)

64. T.Dietl, J.Antoszewski, L.Swierkovski, Hopping conduction of the bound magnetic polarons in n-CdMnSe. Physica B+C 117-118, 491 (1983)

65. A.Mycielski, J.Mycielski, Acceptors in semimagnetic semiconductors. J.Phys. Soc. Japan Suppl, A 49, 807 (1980)

66. J.R.Anderson, W.B.Johnson, D.R.Stone, Transverse magnetoresistance and Hall effect in wide-gap p-type Hgi-xMn^Te. J. Vac. Sci. and Techn., A. 1, 1761 (1983)

67. А.С.Иоселевич, Флуктуационный механизм прыжковой проводимости в полумагнитных полупроводниках. Письма в ЖЭТФ, 43, 148 (1986)

68. I.Terry, T.Penney, S. von Molnar, P.Becla, Low-temperature transport properties of Cdo.9iMno.ogTe:In and evidence for a magnetic hard gap in the density of states. Phys. Rev. Lett. 69, 1800 (1992)

69. P.Dai, Y.Zhang, M.P.Sarachik, Low-temperature transport in the hopping regime: evidence for correlations due to exchange. Phys. Rev. Lett. 69, 1804 (1992)

70. А.В.Алешин, A.H.Ионов, Р.В.Парфепьев, И.С.Шлимак, A.Heinrich, I.Schumann, D.Elefant, Особенности низкотемпературной проводимости и магнитосопротивления аморфных пленок системы Германий-Хром. ФТТ, 30, 696 (1988)

71. H.Vinzelberg, A.Heinrich, G.Gladun, D.Elefant, Philos. Mag., В 65, 651 (1992)

72. R.W.van der Heijden, G.Chen, A.T.A.M.de Waele, H.M.Gijsman, F.P.B.Tielen, Simple activated transport in ion-implanted Si:As at temperatures below 0.5 K. Solid. State Commun. 78, 5 (1991)

73. V.Voegele, S.Kalbitzer, K.Boringer, Philos. Mag., В 52, 153 (1985)

74. A.S.Ioselevich, Spin polarons and variable range hopping in magnetically disordered systems. Phys. Rev. Lett. 71, 1067 (1993).

75. A.L.Efros, Coulomb gap in disordered systems. J. Phys., С 9, 2021 (1976)

76. С.Д.Барановский, Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Элементарные возбуждения в системах с локализованными электронами. ЖЭТФ 78, 395 (1980)

77. I.S.Shlimak, in: Hopping and Related Phenomena, eds H.Pritzsche and M.Pollak, (World Scientific, Singapore, 1990), p.49

78. J.J.Kim, H.J.Lee, Observation of a nonmagnetic hard gap in amorphous In/InOx films in the hopping regime. Phys. Rev. Lett. 70, 2798 (1993)

79. R.Chicon, M.Ortuno, B.Hadley, M.Pollak, Philos. Mag., В 52, 69 (1988)

80. J.H.Davies, Philos. Mag., В 52, 511 (1985)

81. M.Pollak, Philos. Mag., В 65, 657 (1992)

82. J.K.Furdyna, Diluted magnttic semiconductors. J. Appl. Phys., 64, R29 (1988)

83. M.Pollak, Discuss. Faraday Soc., В 50, 13 (1970)

84. M.Pollak, Proc. Roy. Soc. London, A 325, 383 (1971)

85. N.F.Mott, The effect of electron interaction on variable-range hopping. Philos. Mag., 34, 643 (1976)

86. M.Pollak, Philos. Mag., В 42, 781 (1980)

87. M.Mochena, M.Pollak, Low-temperature properties of interacting particles in disordered media: a method with application to Coulomb gas. Phys. Rev. Lett. 67, 109 (1991)

88. M.L.Knotek, M.Pollak, J. Non-Crys. Solids 8-10, 505 (1972)

89. M.L.Knotek, M.Pollak, Correlation effects in hopping conduction: a treatment in terms of multielectron transitions. Phys. Rev. В 9, 664 (1974)

90. S. von Molnar, IBM J. Res. Dev. 14, 269 (1970)

91. T.Sugiura, Y.Masuda, J. Phys. Soc. Japan 35, 1254 (1973)

92. K.Binder, A.P.Young, Spin glasses: experimental facts, theoretical concepts, and open questions. Rev. Mod. Phys. 58, 801 (1986)

93. S.Oseroff, P.H.Keesom, in: Diluted Magnetic Semiconductors, eds J.K.Furdyna, J.Kossut, Semiconductors and Semimetals, Vol. 25, (Academic Press, NY, 1988), p.73

94. J.H.Harris, A.V.Nurmikko, Formation of the bound magnetic polaron in (Cd,Mn)Se. Phys. Rev. Lett. 51, 1472 (1983)

95. D.D.Awschalom, J.-M.Halbout, S.von Molnar, T.Siegrist, F.Holtzberg, Dynamic spin organization in dilute magnetic systems. Phys. Rev. Lett. 55,1128 (1985)

96. M.A.Novak, O.G.Symko, D.J.Zheng, S.Oseroff, Spin-glass behavior of Cdi-zMn^Te below the nearest neighbor percolation limit. J. Appl. Phys. 57, 3418 (1985)

97. H.Aoki, Critical behavior of extended states in disordered systems. J. Phys. С 16, L205 (1985)

98. C.M.Soukoulis, E.N.Economou, Fractal character of eigenstates in disordered systems. Phys. Rev. Lett. 52, 565 (1984)

99. L.B.Ioffe, I.R.Sagdeev, V.M.Vinokur, A large dispersion of physical quantities as a consequence of Anderson localization. J. Phys. С 18, L641 (1985)

100. R.N.Bhatt, P.A.Lee, Scaling studies of highly disordered spin 1/2 antiferro-magnetic systems. Phys. Rev. Lett. 48, 344 (1982)

101. J.H.Davies, P.A.Lee, T.Rice, Electron glass. Phys. Rev. Lett. 49, 758 (1982)

102. M.Grunewald, B.Pohlmann, L. Schweitzer, D.Wurtz, Mean field approach to the electron glass. J. Phys. С 15, L1153 (1982)

103. M.Pollak, Philos. Mag., В 50, 265 (1984)

104. D.Monroe, A.C.Gossard, J.H.English, B.Golding, W.H.Haemmerle, M.A.Kastner, Long-lived Coulomb gap in a compensated semiconductor the electron glass. Phys. Rev. Lett. 59, 1148 (1987)

105. M.Ben-Chorin, Z.Ovadiahu, M.Pollak, Nonequilibrium transport and slow relaxation in hopping conductivity. Phys. Rev. В 48, 15025 (1993)

106. А.О.Гоголин, А.С.Иоселевич, Спиновый механизм прыжкового магнитосопротивления La2Cu04. Письма в ЖЭТФ 51, 154 (1990)

107. T.Thio, T.R.Thurston, N.W.Preyer, P.J.Picone, M.A.Kastner, H.P.Jenssen, D.R.Gabbe, C.Y.Chen, RJ.Birgeneau, A.Aharony, Antisymmetric exchange and its influence on the magnetic structure and conductivity of ЬагСи04. Phys. Rev. В 38, 905 (1988)

108. T.Thio, C.Y.Chen, B.S.Freer, D.R.Gabbe, H.P.Jenssen, M.A.Kastner, P.J.Picone, N.W.Preyer, RJ.Birgeneau, Magnetoresistance and the spin-flop transition in single-crystal Ьа2Си04+г/. Phys. Rev. В 41, 231 (1990)

109. S.W.Cheong, Z.Fisk, J.O.Willis, S.E.Brown, J.D.Thompson, J.P.Remeika, A.S.Cooper, R.M.Aikin, D.Schiferl, G.Guner, Novel phase transition in non-antiferromagnetically ordered crystals of ЬагСи04. Solid. State Commun. 65, 111 (1988)

110. Дж.Аппель, Поляроны. Под ред. Ю. А. Фирсова. М.: Наука, (1975).

111. Б.З.Спивак, Аномальное спиновое магнитосопротивление в области прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка. ЖЭТФ 87, 1371 (1984)

112. I.G.Bednorz, K.A.Muller Z. Phys. В 64,189 (1986)

113. R.J.Birgeneau, G.Shirane, Physical Properties of High Temperature Superconductors. Ed. by Ginsberg. Singapore: World Scientific, (1989)

114. А.С.Боровик-Романов, А.И.Буздин, Н.М.Крейнес, С.С.Кротов, Неколлинеарные магнитные структуры в антиферромагнитпом La2Cu04. Письма в ЖЭТФ 47, 600 (1988)

115. С.С.Кротов, Р.М.Фарзетдинова, Спин-переориентационные переходы и антиферромагнитный резонанс в ЬагСиОд. Сверхпроводимость 2, 60 (1989)

116. А.Н.Бажан, В.И.Бевз, В.А.Мержанов, Э.А.Тищенко, И.С.Шаплыгин, Исследование магнитных свойств La2Cu04 с недостатком La3+ и магнитными примесями. Письма в ЖЭТФ 48, 21 (1988)

117. I.Dzyaloshinsky, A thermodynamic theory of "weak" ferromagnetism of anti-ferromagnetics. J. Phys. Chem. Sol.,4, 241 (1958)

118. T.Moriya, Anisotropic superexchange and weak ferromagnetism. Phys. Rev. 120, 91 (1960)

119. M.A.Kastner, R.J.Birgeneau, C.Y.Chen, Y.M.Chiang, D.R.Gabbe, H.P.Jenssen, T.Junk, C.J.Peters, P.J.Picone, T.Thio, T.R.Thurston, H.L.Tuller, Resistivity of nonmetallic La2j/Srj/CuixLi:r045 single crystals and ceramics. Phys. Rev. В 37, 111 (1988)

120. N.W.Preyer, R.J.Birgeneau, C.Y.Chen, D.R.Gabbe, H.P.Jenssen, M.A.Kastner, P.J.Picone, T.Thio, Conductivity and Hall coefficient in La2Cu04+y near the insulator-metal transition. Phys. Rev. В 39, 11563 (1989)

121. А.О.Гоголин, А.С.Иоселевич, Структура нейтральных акцепторов в диэлектрическом La2Cu04. Письма в ЖЭТФ 50, 468 (1989)

122. Y.Nagaoka, Ferromagnetism in a narrow, almost half-filled s-band. Phys. Rev. 147, 392 (1966)

123. A.Aharony, R.J.Birgeneau, A.Coniglio, M.A.Kastner, H.E.Stanley, Magnetic phase diagram and magnetic pairing in doped La2Cu04. Phys. Rev. Lett. 60, 1330 (1988).

124. Л.И.Глазман, А.С.Иоселевич, Немагнитный спиновый полярон в обобщенной модели Хаббарда для Си02-плоскостей. Письма в ЖЭТФ 47, 464 (1988)

125. D.C.Jonston, S.K.Shinha, A. J.Jacobson, J.M.Newsam, Superconductivity and magnetism in high-Tc copper oxides. Physica С 153- 155, 572 (1988)

126. J.W.Rogers, N.D.Shinn, J.E.Schirber, E.L.Venturini, D.S.Ginley, B.Morosin, Identification of a superoxide in superconducting La2Cu04+(j by x-ray photo-electron spectroscopy. Phys. Rev. В 38, 5021 (1988)

127. C.Y.Chen, N.W.Preyer, P.J.Picone, M.A.Kastner, H.P.Jenssen, D.R.Gabbe, A.Cassanho, R.J.Birgeneau, Frequency dependence of the conductivity and dielectric constant of La2Cu04+1/ near the insulator-metal transition. Phys. Rev. Lett. 63, 2307 (1989)

128. V.L.Pokrovsky, G.V.Uimin, On properties of localized holes in weakly doped high-Tc superconductors La2ISrICu04. Physica С 160, 323 (1989)

129. V.J.Emery, Theory of high-Tc superconductivity in oxides. Phys. Rev. Lett. 58, 2794 (1987)

130. А.Ф.Барабанов, Л.А.Максимов, Г.В.Уймин, Об элементарных возбуждениях в плоскостях Cu02. Письма в ЖЭТФ 47, 532 (1988)

131. E.Lieb, D.Mattis, Theory of ferromagnetism and the ordering of electronic energy levels. Phys. Rev. 125, 164 (1962)

132. И.Б.Берсукер, Эффект Яна Теллера и вибронные взаимодействия в современной химии. М.: Наука, (1987).

133. T.R.Thurston, R.J.Birgeneau, D.R.Gabbe, H.P.Jenssen, M.A.Kastner, P.J.Picone, N.W.Preyer, J.D,Axe, P.Boni, G.Shirane, M.Sato, K.Fukuda, S.Shamoto, Neutron scattering study of soft optical phonons in La2ISrICu04-y. Phys. Rev. В 39, 4327 (1989)

134. H.Sher, T.Holstein, Philos. Mag., В 44, 343 (1981)

135. С.Д.Барановский, В.Г.Карпов, Многофоннонная прыжковая проводимость. ФТП, 20, 1811 (1986)

136. Л.И.Глазман, А.С.Иоселевич, Магнитная структура слаболегированных купратов. Письма в ЖЭТФ 49, 503 (1989)

137. L.I.Glazman, A.S.Ioselevich, Theory of the reentrant transition in a lamellar antiferromagnet: doped La2Cu04. Z.Phys. В Condensed Matter, 80, 133, (1990)

138. S.R.Broadbent, J.M.Hammersley, Percolation processes. I. Crystals and mazes. Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 629 (1957)141142143144145146147148149150151152153

139. G. Wypych, Handbook of Material Weathering, (ChemTec Publishers, 2003); The Effect of UV Light and Weather on Plastics and Elastomers (PDL Staff, Plastics Design Library, 1994).

140. A.S.Ioselevich, D.S.Lyubshin, Phase transition in a self-repairing random network. Письма в ЖЭТФ 79, 286 (2004)

141. S. S. Manna, B. Subramanian, Quasirandom spanning tree model for the early river network. Phys. Rev. Lett. 76, 3460 (1996).

142. R. Dobrin, P. M. Duxbury, Minimum spanning trees on random networks. Phys. Rev. Lett. 86, 5076 (2001).

143. H. N. V. Temperley, E. H. Lieb, Proc. R. Soc. London, A 322, 251 (1971).

144. R. M. Ziff, S. Finch, V. Adamchik, Universality of finite-size corrections to the number of critical percolation clusters. Phys. Rev. Lett. 79, 3447 (1997).

145. F. Harary, Graph Theory (Addison-Wesley, 1969).

146. P. Grassberger, Conductivity exponent and backbone dimension in 2-d percolation. Physica A 262, 251 (1999).

147. С. M. Newman and D. L. Stein, Spin glass model with dimension-dependent ground state multiplicity. Phys. Rev. Lett. 72, 2286 (1994).

148. M. Cieplak, A. Maritan, J. R. Banavar, Invasion percolation and Eden growth: geometry and universality. Phys. Rev. Lett. 76, 3754 (1996).

149. R.W.Simon, B.J.Dalrymple, D.Van Vechten, W.W.Fuller, S.A.Wolf, Transport measurements in granular niobium nitride cermet films. Phys. Rev. В 36, 1962 (1987).

150. A.Gerber, A.Milner, G.Deutscher, M.Karpovsky, A.Gladkikh, Insulator-superconductor transition in 3D granular Al-Ge films. Phys. Rev. Lett., 78, 4277 (1997).

151. К. B. Efetov and A. Tschersich, Europhys. Lett. В 59, 114 (2002).

152. К. В. Efetov and A. Tschersich, Coulomb effects in granular materials at not very low temperatures. Phys. Rev. В 67, 174205 (2003).

153. I. S. Beloborodov, К. B. Efetov, A. V. Lopatin and V. M. Vinokur, Transport properties of granular metals at low temperatures. Phys. Rev. Lett. 91, 246801 (2003).

154. I. S. Beloborodov, A. V. Lopatin, G. Schwiete and V. M. Vinokur, Tunneling density of states of granular metals. Phys. Rev. В 70, 073404 (2004).

155. A.Altland, L. I. Glazman, and A. Kamenev, Electron transport in granular metals. Phys. Rev. Lett. 92, 026801 (2004).

156. J. S. Meyer, A. Kamenev and L. I. Glazman, Electron transport in two-dimensional arrays. Phys. Rev. В 70, 045310 (2004).

157. V. A. Ambegaokar, U. Eckern and G. Schon, Quantum dynamics of tunneling between superconductors. Phys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982)

158. G. Schon and A. D. Zaikin, Quantum coherent effects, phase transitions, and dissipative dynamics of ultra small tunnel junctions. Phys. Rep. 198, 237 (1990).

159. M.V.Feigelman, A.S.Ioselevich and M.A.Skvortsov, Quantum percolation in granular metals. Phys. Rev. Lett. 93, 136403 (2004).

160. B. L. Altshuler and A. G. Aronov, Electron-electron interaction in disordered conductors, in: Electron-electron interactions in disordered solids, edited by A. L. Efros and M. Pollak (North-Holland, Amsterdam, 1985).

161. A. M. Finkelstein, in Electron liquid in disordered conductors, v. 14 of Soviet Scientific Reviews, edited by I. M. Khalatnikov (Harwood AP, London, 1990).

162. L. S. Levitov and A. V. Shytov, Semiclassical theory of Coulomb anomaly. Письма в ЖЭТФ 66, 214 (1997).

163. G.-L. Ingold and Yu. V. Nazarov, in: Single Electron Tunnelling, edited by H. Grabert and M. H. Devoret, (Plenum Press, New York and London, 1992).

164. W. Escoffier, C. Chapelier, N. Hadacek and J-C. Villegier, Anomalous proximity effect in an inhomogeneous disordered superconductor, cond-mat/0403764.

165. B.Abeles, P.Sheng, M.D.Coutts, Y.Arie, Structural and electrical properties of granular metal films. Adv. Phys., 24, 406 (1975).

166. C.J.Adkins, In: Proceedings of the sixth international conference on hopping and related phenomena, eds. O.Millo, Z.Ovadyahu (Jerusalem: Racah Institute of Physics, 1995), p.245.

167. T.Chui, G.Deutscher, P.Lindenfeld and W.L.McLean, Conduction in granular aluminium near the metal-insulator transition. Phys. Rev. В 23, 6172 (1981).

168. A.L.Efros and B.I.Shklovskii, Coulomb gap and low-temperature conductivity of disordered systems. J.Phys. С 8, L49 (1975).

169. J.Zhang and B.I.Shklovskii, Density of states and conductivity of granular metal or array of quantum dots. Phys.Rev. В 70, 115317 (2004)

170. P.Sheng, B.Abeles, Y.Arie, Hopping conductivity in granular metals. Phys. Rev. Lett., 31, 44 (1973).

171. C.J.Simanek, The temperature dependence of the electrical resistivity of granular metals. Solid State Commun. 40, 1021 (1981)

172. M.Pollak, C.J.Adkins, Conduction in granular metals. Philos.Mag. В 65, 855 (1992)

173. B.Sixou, J.P.Travers, Simulation of the temperature dependence of the DC conductivity in ganular systems with the effective medium theory. J.Phys. -Condensed Matter, 10, 593 (1998).

174. Е.З.Мейлихов, Термоактивированная проводимость и вольт-амперная характеристика диэлектрической фазы гранулированных металлов. ЖЭТФ 115 1484 (1999)

175. I.P.Zviagin and R.Keiper, Conduction in granular metals by hopping via virtual states. Philos.Mag. В 81, 997 (2001)

176. В.И.Козуб, В.М.Кожевин, Д.А.Явсин, С.А.Гуревич, Транспорт электронов в монодисперсных наностуктурах металлов. Письма в ЖЭТФ 81, 287 (2005)

177. M.V.Feigelman, A.S.Ioselevich, Variable range cotunneling and conductivity of a granular metal. Письма в ЖЭТФ 81, 341 (2005).

178. I.S.Beloborodov, A.V.Lopatin, V.M.Vinokur and V.I.Kozub, Effective description of hopping transport in granular metals, cond-mat/0501094

179. I.S.Beloborodov, A.V.Lopatin, V.M.Vinokur, Coulomb effects and hopping transport in granular metals. Phys.Rev. В 72, 125121 (2005).

180. T.B.Tran, I.S.Beloborodov, X.M.Lin, T.P.Bigioni, V.M.Vinokur, H.M.Jaeger, Multiple cotunneling in large quantum dot arrays. Phys.Rev.Lett., 95, 076806 (2005).

181. D.A.Averin and Yu.V.Nazarov, Virtual electron difFussion during quantum tunneling of the electric charge. Phys. Rev. Lett, 65, 2446 (1990).

182. В.Л.Нгуен, Б.З.Спивак, Б.И.Шкловский, Осцилляции Ааронова-Бома с нормальным и сверхпроводящим квантами потока в прыжковой проводимости. Письма в ЖЭТФ 41, 35 (1985).

183. U.Sivan, O.Entin-Wohlman and Y.Imry, Orbital magnetoresistance in the variable range hopping regime. Phys.Rev.Lett., 60, 1566 (1988)

184. H.L.Zhao, B.Z.Spivak, M.P.Celfand and S.Feng, Negative magnetoresistance in variable-range-hopping conduction. Phys.Rev. В 44, 10760 (1991)

185. L.I.Glazman and M.Pustilnik, Kondo effect in quantum dots, cond-mat/0501007

186. D.V.Averin and K.K.Likharev, In: Mesoscopic Phenomena in Solids, ed. by B.L.Altshuler, P.A.Lee, and R.A.Webb (Elsevier, Amsterdam, 1991).

187. D.A.Huse, C.L.Henley, Pinning and roughening of domain walls in Ising systems due to random impurities, Phys.Rev.Lett. 54, 2708 (1985)

188. M.Kardar, D.R.Nelson, Commensurate-incommensurate transitions with quenched random impurities, Phys.Rev.Lett. 55, 1157 (1985)

189. M.Kardar, G.Parisi, Y.C.Zhang, Dynamic scaling of growing interfaces, Phys.Rev.Lett. 56, 889 (1986)

190. M.Kardar, Y.C.Zhang, Scaling of directed polymers in random media, Phys.Rev.Lett. 58, 2087 (1987)

191. Y.C.Zhang, Ground state instability of a random system, Ph.ys.Rev.Lett. 59, 2125 (1987)

192. D.S.Fisher, D.A.Huse, Directed paths in a random potential, Phys.Rev. В 43, 10728 (1991)

193. T.Hwa and D.S.Fisher, Anomalous fluctuations in directed polymers in random media. Phys.Rev. В 49, 3136 (1994)