Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи ) А

Россовский Леонид Ефимович

Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

11 дпр т

Москва - 2013

005051620

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук РУДН

Научный консультант:

Скубачевский Александр Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и математической физики РУДН;

Официальные оппоненты:

Власов Виктор Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета;

Доброхотов Сергей Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, заведующий лабораторией механики природных катастроф;

Суслина Татьяна Александровна, доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет, заведующая кафедрой высшей математики и математической физики физического факультета.

Ведущая организация: Московский энергетический институт.

Защита состоится 23 апреля 2013 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан « » 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Калябин Геннадий Анатольевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Диссертационная работ» относится к области нелокальных задач для уравнений с частными производными. В ней рассматривается новый класс линейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих в старшей части слагаемые со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции.

Теорияэллнптнческнх функциопалыю-дифферепциальиых уравнений в ограниченных областях стала интенсивно развиваться в 1970-х годах. Интерес к пей был вызван многочисленными естественнонаучными приложениями, а также применением к эллиптическим задачам с нелокальными краевыми условиями (задача. Бицадзе-Самарского ). В авиастроении и ракетостроении широкое применение находят многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем. В работе Г. Г. Оиапова, А. Л. Скубачев-ского2 было показано, что упругую модель пластины с гофрированным заполнителем можно описать сильно эллиптической системой дифференциально-разностных уравнений. Сведение к дифференциально-разностным уравнениям позволяет получить ряд результатов для полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов.3 Систематическое исследование эллиптических функционально-дифференциальных уравнений было начато А. Л. Скубачевским 3'4 и продолжено в работах его учеников Ё. Л. Цветкова, В. В. Подъянольского, М. А. Скрябина, В. А. Попова и

ДР-

С изучением сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнении связано значительное продвижение в решении известной проблемы о квадратном корне из m-аккретивного оператора, которая была сформулирована Т. Като в 1961 году.' Проблему Като в случае абстрактных операторов рассматривали Ж. Л. Лионе (1902), А. Макинтош (1972). Дальнейшее развитие эти исследования в приложении к дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям получили в работах А. Макинтоша, (с соавторами),А. Л. Скубачевского, Р. В. Шамипа.8 Н

Вопросами спектральной устойчивости классических краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений занимались многие авторы, начиная с 1960-х годов. В'работах Дж. Хэйла, Э. Б. Дэвиса, В. И. Бурепкова, П. Д. Ламбертн и др. были получены различные оценки изменения собственных значений, вызванного возмущением области н коэффициентов оператора. В то же время, для функциопалыю-

ISKlyxb" л. В., Самвгсшй А. .4. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых -мят//

Докл. акад. наук СССР. - WW. - т № 4. - С. 730-740.

го»««» Г. Г., Сч/Йачмжий Л. Л. Дифференциальные уравнении с отклоняющимися аргументами и стационарных чадачах механики деформируемого тела// Прикл. мех. - 187». - 15, № 5. - С. 39-47.

3Skubaclmkii .4. L. Elliptic Functional-Differential Equations and Applications, Operator Theory: Advances and Applications, 01. Basel: Birkhiuser Vcrlag, 1997.

* Sbdmthamktt -4. L. TIw first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations// J. of Differential Equations. — 19*6. — <<"< — Г- 332-301.

•'Kato T. Fractional powers of dissipative operators// J. Math. Soc. Japan. - 1901. - 13, * 3. - 1 . 240-274

Mwtcfter P.. Hafmann S.. Mcintosh A., Tc.hmitr.hian P. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on R"/7 J. Evolution Equations. - 2001. - 1. № 4. -P. 301-385. , „„

гАтс1мт A.. Keith S„ Mcintosh A. The Kato square root problem for mixed boundary value problems// J. London blatti.

«ос — 2U0B. — 74. — P. 113-130.

" Sl;ubachevskii A. £., Shamin R. V. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation/,/ Functional Differential Equations. - 20U1...... 8, № 3-4. - P. 407-424.

«Швлшн P. в. О п|х.етранствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, ,

Мат. сб. - 2003. - I'M. № 9. - С. 1411-142«.

дифференциальных уравнении вопросы, связанные с изменением собственных значений краевых задач при деформации области, оставались открытыми. В диссертации получены первые результаты такого сорта для функционально-дифференциальных уравнений.

Предшествующие исследования функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями либо растяжениями аргумента касались преимущественно одномерного случая. Рассматривали«, вопросы разрешимости начальной задачи, асимптотического поведением решений на бесконечности, существованиея периодических и почти периодических решении и т.д., в основном для уравнений первого порядка (уравнение пантографа у = ay(\t) + by(t) и различные его обобщения). Такие уравнения, начиная с 1970-х годов, научались в работах Т. Като, Дж. Б. Маклеода,10 А. Изерлеса11 и других авторов. Уравнение пантографа возникает в самых разных областях: астрофизике (В.А. Амбарцумян, 1914, поглощение света, межзвездной матерней), технике (Дж. Р. Океидон, А. Б. Тай-лер, 1971, математическая модель динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава), биологии (А. Дж. Холл, Г. О. Уэйк, 19S9, моделирование процесса роста и деления клеток).

Отметим, что в иной постановке эллиптические функгцюиально-дпфферепцпальные уравнения рассматривались А. Б. Аптоневпчем, А. В. Лебедевым,12 А. Ю. Савиным. Б. Ю. С'терннным.13 В работах этих авторов была построена эллиптическая теория (теорема о фредгольмоиостн. формула индекса) фупкппопа. п.по-дпфферепцпа.тытых уравнений, ассоциированных с диффеоморфизмами области или гладкого замкнутого многообразия на себя.

Цель работы. Целью работы является построение теории краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями аргументов искомой функции в старших производных, включая вопросы разрешимости в различных функциональных пространствах, регулярности решений и спектральные свойства.

Научная повпзна. Все результаты диссертации являются новыми. Подробное изучение краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов в старших членах проводится впервые. Построенная для указанного класса уравнений теория существовала, в аналогичной общности лишь для дифференциально-разностных уравнений. При этом вопрос о спектральной устойчивости для функционально-дифференциальных операторов прежде вообще не рассматривался.

Важной отличительной особенностью рассматриваемых задач является то, что область Q, где задано уравнение, содержит неподвижную точку для операторов сжатия ц растяжения (начало координат). При этом под действием преобразований аргумента внутри области S2 оказывается счетное число сдвигов границы дй, стягивающихся к началу координат. Это создает принципиальные трудности в исследовании по сравнению со случаем дифференциально-разностных уравнений. С другой стороны, уравнения со

T'Kiito Т., MuLml J. Li. Fimrtioi.al-diKcrciitial rqwtbu il m u;/(A<) + b.y(<) ' Bull. Aiikt. Matli Sor. - 1471 - 77 Ж <í -P. f\91-í)37. ....

^^hcrlcs .4. Oil the t'/ tir.r'i!:/^! pantograph fuma¡<ma¡-clIíFcretitial equation// European ,J. Appl. Math — 1<ЮЗ. — 4 —

"Антонами А. В.. ДЫкМа .4. В. О иегерпюои ^нкш.омалы.о-даффсрсшшалыи.со оператора с .»пиыми itpoir.-водными, содержащего линейное прсо^ра.опаппе аргумс.па/У Дпфферст. уршпкния. - ИЮ2. - J4. - С. т7-«Ю.

Л. Ю„ Стернин Б. Ю. ОГ.

202, № 10. — С. UU-130.

индексе эклиптических операторов для .........л растмжении/7 Матем. об. — 2011.

сжатиями и растяжениями обладают рядом новых свойств. Так, ядро краевой задачи для эллиптического уравнения со сжатием аргументов может быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции. Гладкость решения краевой задачи во многих случаях равносильна его единственности. Имеет место и следующий интересный эффект: свойства краевой задачи в основном определяются значениями, которые коэффициенты при нелокальных членах (т.е. членах, содержащих преобразованные аргументы) принимают лишь в начале координат.

Среди представленных результатов выделим следующие.

1) Для модельного эллиптического функционально-дифференциального уравнения найдены необходимые н достаточные условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи с условиями Дирихле, а также исследована гладкость обобщенных решений; показано, что задача может иметь бесконечномерные ядро или коядро, а гладкость обобщенного решения может нарушаться всюду в области.

2) Получен ряд необходимых условий и достаточных условий выполнения неравенства типа Горднпга для функционально-дифференциального оператора. 2то-го порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старших производных; в случае постоянных коэффициентов найденные условия являются одновременно необходимыми и достаточными.

3) Доказана фредгольмова разрешимость общей краевой задачи в пространствах Соболева для эллиптического уравнения 2т-го порядка со сжатиями аргументов в старших производных и переменными коэффициентами.

4) Для эллиптического функционально-дифференциального уравнения 2;л-го порядка без младших членов и с постоянными коэффициентами получены достаточные условия однозначной разрешимости вГв весовых пространствах В.А. Кондратьева; показано, что если часть оператора, отвечающая слагаемым без преобразований аргументов, эллиптична, то подбором показателей дифференцируемое™ и веса всегда можно добиться однозначной разрешимост и в соответствующей паре весовых пространств.

5) Исследован вопрос спектральной устойчивости задачи Неймана для эллиптического уравнения с растяжениями и сжатиями аргументов в случае симметрического оператора; получены оценки изменения собственных значений при малых внутренних деформациях области.

Все полученные в работе результаты являются конструктивными, условия теорем выражаются непосредственно через коэффициенты уравнений и легко проверяются для конкретных примеров.

Методы исследования. Общие методы, известные для эллиптических уравнений и систем, потребовали существенной модификации. В работе широко используются современная теория функциональных пространств, теория Гельфаида коммутативных банаховых алгебр и теория псевдодифферепциальных операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. В пей изучаются краевые задачи в принципиально повой ситуации: преобразования аргументов присутствуют в старших производных, могут отображать точки границы внутрь области и порождают внутри области бесконечные орбиты, при этом область содержит точку сгущения орбит. Результаты диссертации и разработанные в пей методы имеют существенное значение при построении общей теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечной пеизометриче-

ckoíí группой сдвигов. Кроме того, выделен новым класс операторов, удовлетворяющий гипотезе Т. Кито о квадратном корне.

Апробация. Результаты диссертации докладывались в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН па семинаре иод руководством С. М. Никольского, Л. Д. Кудрявцев», О. В. Бесова, С. II. Похожаева: в Санкт-Петербургском отделении Математического институт на семинаре иод руководством II. Н. Уральцевой; па семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством В. А. Кондрат!,ева, иод руководством А. А. Шпаликова, иод руководством В. А. Са-довпнчего; в Московском энергетическом институте на семинаре под руководством Ю. А. Дубипского; в IInc-штуге проблем механики им. А. Ю. Ншлннского РАН па семинаре под руководством С. Ю. Доброхотова; в Российском университете дружбы пародов на семинаре иод руководством А. Л. Скубачевского; п Техииопе (Хайфа. Израиль) на семинаре под руководством Ш. Раиха, в университете г. Хайдельберга (Германия) на семинаре под руководством В. Егера, в Свободном университете г. Берлина на семинаре под руководством Б. Фпдлера: па Международных конференциях rio дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 1094, 1999, 2005, 2(111): ты Пятой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (Севастополь, Украина, 1994): па Втором Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины, Греция, 1996): па совместных заседаниях семинара им. II. Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1993): па Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягнпа (Москва. 1998); па международном симпозиуме по дифференциальным уравнениям в Математическом институте Обервольфаха (Германия, 1999), на международном симпозиуме „Открытые проблемы комплексного анализа и динамических систем" в ОРТ Колледже им. Брауде (Карми-ель, Израиль, 2008); па Российской Школе-конферешши ..Математика, информатика, их приложения и роль в образовании* (Москва, 2009): па Международной конференции * Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной И. Г. Петровскому (Москва, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 11 печатных работах, опубликованных в рецензируемых журналах |1-1 1|. а также S тезисах конференций [15-22].

Структура и объем диссертации. Диссертация, изложенная на 223 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 89 наименований, включая основные работы автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор работ по теме диссертации и сформулированы основные полученные в пей результаты.

В первой главе рассматривается краевая задача, вида

-ДЯии) = /(х) (хеО), (1)

= 0, (2)

где

Яи{х) = и(х) + -)\и{ц 'ж) + ъи(дх),

(3)

Я > 1, 71.72 е С, / е Ь2(П), а О — ограниченная область в К", удовлетворяющая условию 9. С Для корректного определения оператора Я в формуле (3) полагаем и(цх) = 0 при дж ^ П.

Уравнение (1) является наиболее простым по структуре в классе рассматриваемых в диссертации уравнений: оно содержит лишь один функциональный оператор под знаком старших производных и имеет непосредственный аналог в одномерном случае.

Через НР(П) (р = 1,2,...) обозначается пространство Соболева комплексных функции в П, чьи обобщенные производные до порядка р включительно принадлежат 12(П), со скалярным произведением

а через Н"{П) замыкание С£°(П) в НЦП). Пространство Щ0С(П) состоит из тех заданных в П функций, которые принадлежат Н"{П') для любой строго внутренней подобласти О'.

Обобщенным решением задачи (1), (2) называется всякая функция и е Н (П), продолженная нулем в Ж" \ И и удовлетворяющая интегральному тождеству

Разрешимость задачи (1), (2) в случае, когда уравнение (1) содержит только сжатие аргумента, описывается теоремой 1.

Теорема 1. Пусть -.1 ф 0, ~/2 = 0. Тогда задача (1), (2) разрешима для любой правой части / 6 Ь2(И), при этом

1) сели | ^ д1_"/2, то всякое обобщенное решение задами (1), (2) является решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона

2) если |7,| > ц1~п1'2, то при / = 0 однородная задача (1), (2) имеет бесконечно много линейно независимых обобщенных решений, не принадлежащих Щос(И);

3) если 51-"/2 < |->,| < ср~п/г, 'по существует единственное обобщенное решение и задачи (1), (2). принадлежащее Щос(П) и непрерывно (по норме Н2(И') для любой строго внутренней подобласти Я') зависящее от /.

Вопрос о принадлежности решения пространству Я2(П) в пунктах 1) и 3) теоремы связан только с регулярностью границы области П.

В следующей теореме рассматривается случай, когда уравнение (1) содержит только растяжение аргумента.

Теорема 2. Пусть ^ = 0, у2 ф 0. Тогда задана (1), (2) не может иметь более одного обобщенного решения, при этом

п

п

ос

■Аи(х) = £(-71/92)к/(9"к*) (* € П);

1) если 1721 < i]п/г 1, то всякое обобщенное решение задачи (1), (2) имеет вид

и(х) = ¿(-^ufaM.

¡Ь=0

где V есть решение задача Дирихле для уравнения Пуассонп -Av(x) — f(x) в Q;

2)если 1021 > Чп/2~1, то задача (1). (2) разрешима тогда и только тогда, когда функция f ортогональна бесконечномерному подпространству в L2(ü).

В ситуации 1) теоремы обобщенное решение и задачи (1). (2) может не принадлежать Hfpc{íl) даже при / е C¿°(íi).

Если же уравнение (1) содержит как сжатие, так и растяжение аргумента (71 ф О, 72 Ф 0), то для описания разрешимости криекоЛ задачи (1), (2) ниодится ..характеристическая функция" r(A) = 1 + 7iЛ + 72/Л (A S С). Обозначим А1: Л2 ее корни.

Теорема 3. 1) Если |Ai| ^ <Г'*~1, |А3| < q"'2'1, то задача (1), (2) имест единственное обобщенное решение для любой функции / € ¿2(íí);

2) если |Ai,2| < <f*'l~l, ню задача (1), (2) разрешима для любой функции /. при гтюм соотвстствуюа/.ая однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых решений;

3) если |Ai.2| S5 то задача (1), (2) разрешима в том и только том случае, когда ¡функция / ортогональна беелмпечномернлму подпроснгранству в L2(íl), при лтом. однородная задача имеет единственное тривиальное ¡хлиен/ие.

Все результаты теорем 1-3 непосредственно обобщаются на случай конечных сумм вида Ru(x) = 52k'<ku(q~kx): разрешимость краевой задачи (1), (2) описывается при помощи корней характеристической функции г(А) = ->*А*. При выполнении условий на г(А), равносильных однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2) для всех значений параметра q > 1, Слизких к 1, показана сходимость n II1 (Q) при q -t 1 + 0 семейства обобщенных решении к решепшо предельной залами Дирихле для уравнения Пуассона -Ди = //г(1), которое формально получается из уравнения (1). если положить 9 = 1.

При переменных коэффициентах в операторе К получены достаточные условия фред-гольмовоП разрешимости задачи (1), (2). Кроме того, рассмотрено приложение к теории управления (и = 1).

Во второй главе рассматривав гея задача

ArU(X)= Y. !>'4LJ)'u:x\ fr: (xeil), (4)

ja|.j 3\-~1тп

Ц>|зн = 0 (¡i = 0,.... m — 1) (5)

(задача Дирихле) для сильно эллиптического уравнения (4) с операторами Ra3 вида

= ааМ*)Ф) + <Wl Wv(í"'l) + Oaß.-l(xMqx)- (0)

Здесь вновь q > 1; aaßj Е f g 12{й) — заданные комплекснозиачные функции.

Считаем, что ограниченная область П с 8" удовлетворяет условию П С nii для всех к > 1. В формуле (G) по-прежнему полагаем v(qx) = 0 при qx 0 ft.

Уравнение (4) называется сильно эллиптическим в Ю, если существуют постоянные С1 > 0, с2 > 0 такие, что неравенство

11с(Лли,иЬ2(п) > с111и11я"(П) - «ЫНИ^п)

выполняется для всех функций и € Со°(П).

Центральная часть главы посвящена решению проблемы коэрцитивное™, которая состоит в нахождении _алгебраических условий, обеспечивающих сильную эллиптичность уравнения (4) (в П). Следующие ниже утверждения представляют собой различные необходимые условия и достаточные условия сильной эллиптичности.

Теорема 4. Для сильной эллиптичности уравнения (4) необходимо, чтобы функциональный оператор с параметром £

]Г + Кр) ■■ ь«(П) Ь2(П)

был положительно определен при 0 ф 5 е Н". В частности, должно выполняться неравенство

а(х,0= ^ 1геаада(х)Г+Р>0 (х € П, 0 ф 5 £ К").

|а!,1/3|=т

Непосредственная проверка условия теоремы 4 затруднительна. Для формулировки более простого необходимого условия вводится выражение

р(х''> = / ! < су

|а|.|/3|=т

Следствие 1. Условия.

1/9(0,5)1 <1/2, 1/0(1,5)1 <1 (хе а 151 = 1)

являются необходимыми для сильной эллиптичности уравнения (4).

Полученные в диссертации достаточные условия сильной эллиптичности уравнения (4) также формулируются при помощи функции р(х, 5)-

Теорема 5. УЪюьия _

\р(х. 5)1 < 1/л/2 (х 6 и, 151 = 1),

|р(х,5)| <1/2 (X е д-'Гг, 151 = 1).

являются достаточньши для сильной ямиптичности уравнения (4). Теорема 6. Если существует функция <5 € СХ{П X 5'1"1), 0 < <5(х,5) < 1 такая, что |р(х,5)|2 < 6(еГ1х,0 (1 - <5(х,5)) (х 6 П, |5| - 1).

то уравнение (4) является, сильно элшптическим,.

В случае, когда коэффициенты операторов Яав в старшей части уравнения (4) постоянны, имеем критерий сильной эллиптичности:

1р(х,0\ = 1Ж)| < 1/2 (lil = i).

В то же время, для любого числа, г > 0 можно указать такой сильно эллиптический оператор Ап с переменными коэффициентами, для которого 1 — е < |/э(а;.£)| < 1 в некоторых точках х е il, |х[ < г.

Необходимое условие сильной эллиптичности и теореме 1 основано на сведении к

сильно эллиптической системе из N дифференциальных уравнений, N — 1.2..... и

предельном переходе при N -S- оо. Оно справедливо и для операторов

Raev{x) = y^iaa03(x)ijq'Jx) з

с любым конечным числом слагаемых. При постоянных коэффициентах это условие имеет вид

Е >1) ([Л| = f / о) (7)

>а\.\3\=т ]

и является достаточным — принципиальным здесь является тот факт, что отображения «(О Мя±10 15 образах Фурье перестановочны с операторами умножения па однородные функции нулевой степени. Это позволяет применить комбинацию преобразований Фурье и Гельфанда.

Но на переменные коэффициенты критерий (7) не переносится: неверно было бы требовать выполнение неравенства-

Е 0

в каждой точке х € ii. Трудность нерехода от постоянных коэффициентов к переменным заключается в том, что метод локализации, основанный на разбиении единицы и „замораживании" коэффициентов, в рассматриваемой ситуации не работает, поскольку не существует подходящего разбиения единицы. Для вывода достаточных условии сильной эллиптичности оператора Лц в случае переменных коэффициентов (теоремы 5. С) применяется подход, основанный па построении специального разложении оператора Aft 15 классе рассматриваемых функциональных операторов и нсевдодпфферешшаль-ных операторов.

Далее во второй главе рассматриваются вопроси разрешимости п регулярности решений, а также спектральные свойства краевой задачи (4). (5) в случае, когда уравнение (4) сильно эллиптическое.

Под обобщенным решением задачи (4), (5) понимается всякая функция и 6 Ят(П). удовлетворяющая интегральному тождеству

\a\.\3\im

при любой функции v Е Hm(V.). Соответствующим образом вводится отвечающий задаче (4), (о) неограниченный оператор

Ад : V(Ar) С Ь2(П) ¿2(П)

с областью определения Т>(Лц) = {и £ Нт{П):Лки € Ь2(П)}, действующий в пространстве обобщенных функций Р'(П) по формуле (4).

Стандартными методами функционального анализа выводятся фредгольмовость оператора Ля, дискретность и секториальная структура его спектра. Оператор Ля, отвечающий сильно эллиптическому уравнению (4), является ш-секторнальным ассоциированным с нолуторалинейнон формой

аяМ= ]Г (Да/з^'Ч £><Ч')Ма) («,«еЯт(П)).

Исследуется вопрос о поведении обобщенных решений задачи (4). (5) при q 1 + 0. При некоторых дополнительных условиях, обеспечивающих однозначную разрешимость задачи для всех значений параметра д > 1, близких к 1, доказана сходимость в Ят(П) семейства обобщенных решений к решению задачи Дирихле для „предельного" сильно эллиптического дифференциального уравнения.

Ряд результатов, касающихся гладкости обобщенных решений, удается получить для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения второго порядка вида

-¿а,3(Я^)х.-=/(х) (хеП), (8)

где

к

Доказана гладкость обобщенных решений в подобластях

П, = 91-,'(П\д-1П) (р = 1,2....).

А именно, показано, что € Я2(ПР), если и € Нг(П) обобщенное решение задачи (8), (2) и / £ Ь2(П). Показано также, что гладкость обобщенного решения сохраняется во всей области П (т.е., для любой функции / € Ь2(П) обобщенное решение принадлежит Я2($2)) лишь тогда, когда сильно эллиптическое уравнение (8) не содержит растяжений аргументов. Приведен пример сильно эллиптического уравнения (8) с растяжением аргументов, для которого обобщенное решение и принадлежит Я2($1 \ Ве) для любой е-окрестности Вс- начала координат, по не принадлежит Н2(И).

Методы, развитые для функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями, применяются в заключительной части второй главы для исследования дифференциально-разностного уравнения

]Г ВаЯацО!)и = }{х) (а: еП): (9)

|а!.!(ЗКт

на3г-(х) = + Л"2,..., хп) (е > 0, аад,- 6 С),

в цилиндрической области П = (0.1) х С (С — ограпичепная область в К""1). Понятия сильной эллиптичности и обобщенного решения задачи Дирихле формулируются аналогично уравнению (4).

Сильно эллиптические дифференциалыю-разпостиые уравнения (причем гораздо более общего вида, нежели (9)) к настоящему времени достаточно хороню изучены.3 Новым же здесь является то, что уравнение (9) рассматривается для всех (в том числе сколь угодно малых) значений параметра сдвига е. Находятся условия па коэффициенты а^}}, обеспечивающие сильную эллиптичность уравнения (9) для всех г > 0. Эти условия (одновременно необходимые и достаточные) формулируются в виде положительности действительной части скалярного символа дифферепцналыго-разиостного оператора, который отличается от обычного и имеет вид

«пЫ) = £ Л (чек, С 6 Е"),

|п|-!;3| = т \Л<.-1

где г — мнимая единица. Переменная £ € К", отвечающая дифференцированию, и переменная е К, отвечающая сдвигу, изменяются независимо (обычным же символом будет

Исследуется поведение обобщенных решений задачи (9), (5) при £ —)• 0. При дополнительном условии, обеспечивающем однозначную разрешимость краевой задачи для всех- достаточно малых значений параметра г, доказана сходимость в Ит(И) семейства обобщенных решений к решению задачи Дирихле для ..предельного" сильно эллиптического дифференциального уравнения.

В третьей главе рассматривается общая краевая задача I

Аи = Л Е а}а(х)П»(и(д-Ь;)) -/(.г) (х е $2), (10)

Т}(х, О)и(х) = д,(х) (] 1.....т: х е М) (11)

I! ограниченной области И С х'1 с гладкой границей, удовлетворяющей условию П с дП. Считаем, что коэффициенты уравнения гладкие в Я функции, п 7)(х,В) дифференциальные операторы порядка т7 с гладкими па Ш коэффициентами.

Задаче (10), (11) отвечает ограниченный оператор в соболевских прострапствах

711

ь = \A.Ti.....Т,„) : Я'+гт(Й) -Т шцпищ = //■'($>) X \[1Г-2п-т^1'2{сК1).

з^л

8 > 0, з + 2т — шахт, > 1. С оператором А связывается выражение

I

а(х,£, = ^ ^ (х € С € К". Л € С).

3—0 !а1—2т

Целью главы является доказательст во фредгольмовостп оператора Ь. Естественным предположением для этого в свете результатов предыдущей главы является эллиптичность соответствующей „локальной" задачи

Ь0 = [Л0,7\,...Лт], Ао= £ (в пен собраны члены, не содержащие преобразовании аргументов).

Теорема 7. Пусть оператор L0 эллиптичен и, кроме того,

а (О, е, Л) ф О (|Л| г/1/2"2™, 0 / ^ е R").

Тогда ограпичетти оператор

L : Hs+l,n(il) Н5(П;Ш)

фредкольмов Оля всех s > 0, в + 2т — max nij > 1.

Опираясь na существование регуляризатораPu : H*(ii;c)ii) -+ Hs+2m(U) „локальной" задачи. n условии теоремы 7 можно построил, регулярщатор Р исходной задачи в форме Р — Р,,В. где

коэффициенты ряда /^.(.г.17) — некоторые псевдодифферепциальные операторы нулевого порядка, о 6 подходящая срезающая функция, Е — единичная т х т-матрица.

Результат теоремы 7 спндстельствуег о том, что на фредгольмовость оператора Ь (в и ре. дно.1южепнн эллиптичности его ..локальной" части Ьо) влияют значения коэффициентов а]а(х) (.7 = 1,____1) при членах с преобразованными аргументами лить в начале

координат.

В четнертой главе устанавливается разрешимость уравнения

(с однородной старшей частью и постоянными коэффициентами) в шкале весовых пространств В. А. Кондратьева Щ(Ш.П) (в, в € К). Пространство #|(Rn) при целом неотрицательном s вводится как пополнение множества C*(Rn\{0}) финитных бесконечно дифференцируемых в К" \ {0} функций по норме

При помощи преобразования Меллнна11 эту норму можно распространить па случай произвольного вещественного а. Предполагается, что

Это ограничение связано с используемой в данной главе техникой работы с весовыми пространствами и состоит в требовании изоморфпости преобразования Фурье

В = " : ЩП; 0П) Н"(П; дП),

Bv(x) = v(x) + Y,Bk{x,D) ((4>v)(q~kx)) ,

(12)

,д-афп/2+р: ¡3 - a - 2m ф -n/2 - p (p = 0,1,...)

F : Щ(R") ->• tff(M"), F : Hs+2m(Rn) -> tff+2m(K").

s+2m

'' Uji:iAV:U' <irKUs: Б. .4. Алгебры пс-еидодифференциальных оператор)!!. M.: Наука, 19*6.

При этом уравнению (12) отвечает ограниченный оператор А : Я|+2т(Е") —» Я|(МП).

Условие однозначной разрешимости уравнения (12) в весовых пространствах формулируется вновь при помощи ..характеристической функции"

I

к=0 \а\=2т

Теорема 8. При выполнении неравенства

а(£, А) ф 0 (0 ф ( е ®МА| ^ (13)

уравнение (12) имеет единственное решение и € Щ^2т(К") для любой правой части

Метод доказательства теоремы 8 близок к рассуждениям предыдущей главы: условие (13), означающее в 'том числе эллиптичность „локальной" части Д)(0) = £|о|=2т Ооа1У оператора А (достаточно положить А = 0) и, соответственно, существование ограниченного обратного оператора А^1 : Щ(М") Я|+2т(К"), дает возможность построить ограниченный обратный оператор А~1 : Я|(М") Я|+2п1(Кп) в форме -4"1 = ,4дгде = Еь^о^ {ь'(1~кх)) 1 а Ф*; есть операторы свертки с некоторыми однородными функциями.

Преимущество использования весовых пространств состоит в том, что в условие (13) включены параметры з и ¡3. Уменьшая ¡5 и (или) увеличивая в, мы ослабляем условие па а(£, А): уменьшается круг, где это выражение не должно обращаться в ноль. За счет выбора в и 6' указанный круг может быть сделан сколь угодно малым. В то же время, не обращаясь в ноль при А = 0, выражение а(£, А) будет отличным от пуля и в некотором круге, так что эллиптичность „локальной" части уравнения (12) гарантирует однозначную разрешимость уравнения при всех функциях / Е Нд{М").

Следствие 2. При выполнении неравенства

аМ) = «(?,()) ф о (ОтЧеК")

найдется число у € К такое, что для всех € К, ¡3 — я < 7, уравнение (12) имеет единственное решение и е Я/|+2т(Еп) для любой функции / е Я|(КП).

В пятой главе рассматривается задача Неймана

-сПу (Еп^и(х)) = Пх) (16 0), (14)

ЙпЪи{х) • и(х) = 0 (же Ш), (15)

где П С М" — ограниченная область. и(х) — единичный вектор внешней нормали к сК2 в точке х 6 дП. Вначале рассматривается случай, когда самосопряженный оператор Я содержит три слагаемых,

Пу{х) = ау(х) + Ьу(д~1х) + д"б1'(д.т),

а коэффициенты удовлетворяют условию а > 2§П;'2|Ь|, означающему положительную определенность Я в Ь-2(Ш.п). Употреблением индекса £2 в операторе Яп мы подчеркиваем, что производные продолжены нулем в Е" \ 12 перед применением оператора Я.

Относительно области делаются следующие предположения:

Гй С дП, (1С)

Н1(О) компактно вложено в ¿¡(И). (17)

Свойство (17) связано с регулярностью 80. и выполнено, например, для всякой ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса.

При заданной функции / 6 Ь2{£1) интегральное тождество

ал,п[и, г] - (ЯпУщ Уь-)ьт = (/, у)Ыщ (V е Я>(П)) (18)

определяет обобщенное решение и £ задачи (14), (15).

В рассматриваемой ситуации задача (14), (15) порождает неотрицательный самосопряженный оператор с компактной резольвентой в пространстве /^(П). Она имеет дискретный спектр. Собственные значения А,„, 0 = А! < ^ ... —> +оо, и (обобщенные) собственные функции ¡рт е Н1(П) (¡Р\ = |П|-1/2), образующие ортонормированный базис удовлетворяют тождеству

^ = \miVm-«) (V € Н1{П)).

Вначале при дополнительном, более сильном условии па коэффициенты

а> д'"'2{д + д~г)\Ь\ (19)

доказывается, что всякое обобщенное решение задачи (11), (15) принадлежит Я(2С(П). Соответственно, все собственные функции ¡рт также принадлежат Н2ос({1) и удовлетворяют неравенству Ц'ЛпНя^д-'П) ^ С(\т + 1) с постоянной С > 0, зависящей лишь от области. Условие (19) всюду далее считается выполненным.

Основные результаты пятой главы связаны с вопросом о поведении собственных значений Ат при малых внутренних возмущениях области. Наряду с задачей (14), (15) в области П, при неизменных параметрах оператора В. рассматривается аналогичная задача 1! возмущенной области П' С П, удовлетворяющей условиям, аналогичным (10) и

(17). Форма ад,п'[и, г'] п обобщенные решения возмущенной задачи вводятся аналогично

(18) с заменой О. па П'. Собственные значения возмущенной задачи обозначаются А'т. В качестве характеристики близости ¡2 и {V используется мера \ Г2'|.

Теорема 9. Ееяи II1 (П) непрерывно вложено в Ьр(£1) для некоторого р > 2, то существуют постоянные 5т > 0 и Ст > 0, зависящие лишь от П и чисел а, 6, д, такие, что неравенство

А,т<Ап, + Ст|Я\ПТ_2/р

выполняется, для собственных значении Хт и Х'т, как только |П \ П'| < 5т.

Хорошо известно, что (непрерывное) вложение Н1 (Г2) в ЬР(И) имеет место, например, для любой ограниченной области П, удовлетворяющей условию конуса или звездной

относительно шара; при этом р — 2п/(п — 2) для п > 2, и р > 2.......любое, если п = 2.

В основе рассуждений лежит известная вариационная формула для собственных значений неотрицательного самосопряженного оператора с компактной резольвентой. Её использование строится на оценке выражения ац,п'[и,и}/\\и\\2ь^п^ на конечномерном линейном подпространстве в Я1(Г2), натянутом па первые т собственных функций ^

формы ав П. В случае 52' С П это возможно сделать, просто взяв сужения на П' функций из Я'(П). Полученный результат существенно использует внутреннюю гладкость собственных функций.

Для получения противоположного неравенства приходится накладывать дополнительные ограничения как па исходную область, так и на класс возмущений. Пусть, например, исходная область О — звездная относительно шара, содержащего начало координат, а области О' — звездные относительно произвольных шаров, содержащих начало координат, диаметра не меньше где <1 > 0 — сколь угодно малое, но фиксированное число. Тогда имеет место следующий результат.

Теорема 10. Существуют, постоянные 0 < ет < 1 и С'т > 0, зависящие лишь от П, (I и чисел а, Ь, д, такие, что неравенство

у > \ _ с И-2/р

выполнено, как только (1 — е)И С 12' С 52, 0 < е ^ ет.

Заметим, что вложение Н1 в Ьр (как для $2, так и для $2') гарантируется условием звездности.

В заключительной части пятой главы вопрос спектральной устойчивости при малых внутренних возмущениях области рассматривается для более общего функционально-дифференциального оператора. Задаче Неймана теперь отвечает непрерывная па Я1 (О) полуторалипейная форма.

Г "

ая,п[и,1']= / ^{Щпих^Ух^х {и, V е Я1^)), Ъ

Щг'(х) = ^2а^к1<(д~кх) к

(суммы конечны). Форма адо[(г, ь'] предполагается эрмитовой: Я^ = или, что то же самое,

Гц(ш) = гц(ы) (И=9"/2)> где гу = ^ау*(Л

к

Выполнение же условия

Е г^т >о (о ф е с, м = яп'2)

гарантирует коэрцитишюсть формы ад.^:

Од.п[«,и] {иен1 т.

В этом случае при тех же предположениях относительно области вновь можно говорит!, о собственных значениях А„, задачи Неймана и использовать для них вариационный принцип. Однако, внутреннюю гладкость обобщенных собственных функций в этой более общей но сравнению с предыдущими пунктами главы ситуации доказать не удается. Получен ослабленный вариант теоремы о пулупепрерьтвностн собственных

значений, не использующий внутреннюю гладкость собственных функций: для любого £ > 0 и для каждого натурального т существует 5 > 0 такое, что неравенство

А'т Ат + £

выполняется для соответствующих собственных значений в П и любой подобласти П' такой, что \ < 5.

В то же время, утверждения теорем 9 и 10 непосредственно переносятся на случай, когда операторы Яу пропорциональны одному и тому же оператору Я, Яу = ауЯ, т.е. форма ад,¡¡[и, и] имеет вид

Г п

Ь

еде

№{х) = ]Г аМч~кх) (а* е С), к

матрица (ау)?,}=1 положительно определённая эрмитова

и

кг,

гН а*и)* = ао + (°кШк + дкпаки>~к) ф 0 (д"'/2 ^ \ш\ ^ д1+п'2).

к к=1

Последнее условие, более сильное, нежели требование коэрцитнвиости формы Пд.^, накладывается для того, чтобы гарантировать внутреннюю гладкость собственных функций.

Список литературы

[1] КукК., Роееовекий Л. Е., Скубачевекий А. Л. Краевая задача для функционал ьно-дифференциального уравнения с линейно преобразованным аргументом,// Дифферент уравнения. 1995. 31, К» 3. С. 1300 1370.

[2] Роееовекий Л. Е. Коэрцитнвпость фупкцпопалыю-дифферепцнальпых уравнений//' Маг. замет. - 1990. - 5.9, № 1. — С. 103-113.

[3| Роееовекий Л. Е. Коэрцитивиость одного класса функционально-дифференциальных уравнения// Функц. анал. и его ирил. — 1990. — 30, 1. — С. 81-83.

[4] Роееовекий Л. Е., Скубачевекий А. Л. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических фупкцнопалыго-днффереицпальиых уравнений, Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения, 06. М.: ВИНИТИ, 1999^ С. 114-192.

[5] Роееовекий Л. Е. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов// Тр. Моск. мат. о-ва. — 2001....... 02........С. 199 228.

[6] Россовский Л. Е. Сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы в полуогранпченпом цилиндре// Фунд. и нрикл. матем. — 2001. — 7, № 1. — С. 289293.

[7| Rossovskii L. Е. Oil the boundary value problem for the elliptic functional-differential equation with contractions// Functional Differential Equations. — 2001. — 8, № 3-4. — P. 395-400.

[8] Rossovskii L. E. On boundary value problems for a class of functional-differential equations// Nonlinear Analysis. Theory, Methods, and Applications. — 2002. — 49, № 0. P. 799 810.

[9] Россовский Л. E. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатиями аргументов// Докл. акад. паук. — 2000. — 411, № 2. — С. 101-103.

[10] Бородулина Л. В., Россовский Л. Е. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых пространствах// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2007. — 26. — С. 37-55.

[11] Россовский Л. Е. Спектральные свойства некоторых функционально-дифференциальных операторов и неравенство типа Гординга// Докл. акад. наук. — 2010. — 434, № 4. - С. 450-453.

[12] Россовский Л. Е. О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных уравнений// Мат. замет. — 2011. — 00, № 0. — С. 885 901.

[13] Россовский Л. Е. Об одном классе секториальных функционально-дифференциальных операторов// Днфферепц. уравнения. - 2012. — 48, № 2. — С. 227-237.

[14] Россовский Л. Е. К вопросу о коэрцитивное™ функционально-дифференциальных уравнений// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2012. — 45. - С. 122-131.

[15] Россовский Л. Е. Первая краевая задача для одного эллиптического функционально-дифференциального уравнения. Совместные заседания семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества// Успехи математических наук. — 1998. — 53, вып. 4(322). - С. 107.

[10] Ii.ossovskii L. Е. Boundary value problems for elliptic functional differential equations with contractions// Tagungsbericht 11/1999, Gewöhnliche Differentialgleichungen: Harmonic, Subharmonic, Homoclinic, and Heteroclinic Solutions, Mathematisches Forschungsinstitute Oberwolfach, Germany. — 1999. — P. 13-14.

[17] Borodulina L. V., Rossovskii L. E. Functional differential equations with compressions of the arguments// Abstracts of International Conference and Workshop „Function Spaces, Approximation Theory, Nonlinear Analysis"' dedicated to the centennial of S. M. Nikolskii, Moscow, the Steklov Mathematical Institute. — 2005. — P. 208.

[18] Borodulina L. V., Rossovskii L. E. Solvability of functional differential equations with contractions// Abstracts of the Fourth International Conference oti Differential and Functional Differential Equations, Moscow. — 2005. — P. 2G 27.

[19] Roftsovdii L. E. About some unsolved problems in the theory of elliptic functional differential equations// Abstracts of International Workshop ..Open Problems in Complex Analysis and Dynamical Systems," ORT Braude College, Karmiel, Israel. — 2003. - P. 11-12.

[20| Россоы-кий Л. E. О спектральной устойчивости задачи Неймана для функционально-дифференциального уравнения// Сборник тезисов докладов Российской Школы-копферешши „Математика, информатика, их приложения и роль в образовании'1, Москва. -- 2009. — С. 90.

|21| Rossovskii L. Е., Tasevich A. L. Oil the Carding inequality for a class of functional differential equations// Abstracts of International Conference „Differential Equations and Related Topics" dedicated to I. G. Petrovskii, Moscow. - 2011. - P. 100-101.

|22| Rumowkii L. E. Functional-Differential Equations with Reseating: the Garding-Type inequality// Abslracts of the Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow. — 2011. — P. 58-59.

JI. Е. Россовский

Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции

В работе проводится подробное исследование краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов неизвестной функции в старших производных. Для простейшего по структуре уравнения второго порядка найдены необходимые и достаточные условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи с условиями Дирихле, исследована гладкость обобщенных решений; показано также, что задача может иметь бесконечномерные ядро или коядро, а гладкость обобщенного решения может нарушаться всюду в области. В случае уравнения 2т-го порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старшей части и с переменными коэффициентами получены алгебраические условия выполнения неравенства типа Гордипга. Доказана фредгольмова разрешимость общей краевой задачи в пространствах Соболева для эллиптического уравнения 2т-го порядка со сжатиями аргументов в старших производных и переменными коэффициентами. Для уравнения без младших членов и с постоянными коэффициентами получены достаточные условия однозначной разрешимости в R" в весовых пространствах. Исследован вопрос спектральной устойчивости задачи Неймана для эллиптического уравнения с растяжениями и сжатиями аргументов в случае симметрического оператора: получены оценки изменения собственных значений при малых внутренних деформациях области. Все результаты являются конструктивными, условия теорем выражаются непосредственно через коэффициенты уравнений и легко проверяются для конкретных примеров.

L. Е. Rossovskii

Elliptic functional differential equations with contracted and expanded

arguments

The work is devoted to detailed investigation of boundary value problems for elliptic functional differential equations with contracted and expanded arguments of the unknown function in the principal part. For a prototype second order equation, necessary and sufficient conditions for the unique and the Fredholm solvability of the Dirichlet problem are obtained and the regularity of generalized solutions is studied; we show that the problem can have either infinite dimensional kernel or cokernel and that the smoothness of generalized solutions can be violated everywhere in the domain. Algebraic conditions of the Gârding-type inequality are obtained for a higher-order functional differential operator with contractions and expansions and variable coefficients. The Fredholm solvability in Sobolev spaces of the general boundary value problem is established. Sufficient conditions for the unique solvability of an equation in RB are obtained in the weighted spaces. Spectral stability estimates under small interior perturbations of the domain are proved for the Neumann problem in the case of a non-negative selfadjoint functional differential operator with contractions and expansions. The conditions of all theorems are directly expressed in terms of coefficients and can easily be verified for concrete equations.

Подписано в печать 04.04.2013 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме.

_Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 194.

Российский университет дружбы народов

_115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

Типография РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, тел. 952-04-41

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

О 5 2 0 1 3 5 0 О 2 На правах рукописи

Россовский Леонид Ефимович

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

диссертация на соискание ученой степени до кто ра ф и з и ко- м ате м ат и ч ее к и х н ау к

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Скубачевский

Москва — 2012

Оглавление

Введение 3

1 Модельная краевая задача 30

1 1 Класс функциональных операюров 30 1 2 Разрешимос1ь модельной краевой задачи Случаи уравнения

со ежа! нем арг> мешов 37 1 3 Разрешимое! ь модельной краевой задачи Случаи уравнения

со ежа 1 нем и рас1яжеипсм аргументов 47

1 4 Уравнение с переменными коэффицисшамп 57

1 5 Приложение к задаче об успокоении сисхсмы управления с

запаздыванием пропорциональным времени 69

2 Сильно эллип I ические уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции 79

2 1 Проблема коэрцитивное!и Случай уравнения с посюянпыми

коэффпцпеи 1амп 79

2 2 Проблема коэрци I пвноо и Сличай \ равнения с переменными коэффициентами 94 2 3 Разрешимое!ь и спемр первой краевой задачи для сильно

эллшп пчсского \ равнения 125

2 4 Гладкое]ь обобщенных решений 136

2 5 Приложение к лифференциально-разностым уравнениям 143

3 Общая краевая задача в прос 1 ране 1 вах Соболева для уравнения высокого порядка со сжатием аргументов неизвестной функции 149

3 1 Операторы сжатия в пространствах символов 149

3 2 Псевдодпффереициальные операторы со сжатием аргументов 159

3 3 Фредгольмова разрсипшосхь общей краевой задачи в шкале

пространеib Соболева 169

4 Разрешимость функционально-дифференциального уравнения в весовых просгрансi вах 175

4 1 Весовые npociранетва и преобразование Фурье 175 4 2 Оценка для операюра умножения на однородную функцию

Операторы свертки в весовых npocipaiiciBax 179

4 3 Операюры сверичи со сжашями ар1уменюв 187

4 4 Разрешимое!ь функционально-дифференциального уравне-

ния в шкале весовых прооранслз 189

5 Спектральная усюйчивосгь функционально-дифференциального оператора 194

5 1 Вариационные свойсхва с0бс1вспны\ значений неотрицатель-

ною самосопряженного операюра 194

5 2 Гладкос1ь обобщенных решений и обобщенных собсгвенных функции задачи Неймана <|,ля функционально-дифференциально! о уравнения 198 5 3 Поведение собственных значеппй задачи Неймана для функционально- лиффсрснниально1 о \ равнения при малых впм-ренннх ^формациях облас iн 202 5 4 Нскоюрые обобщения 208

Литература

215

Введение

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена линейным уравнениям с частными производными четного порядка, содержащим сжатия и растяжения аргументов неизвестной функции под знаком старших производных. В основном изучаются краевые задачи для таких уравнений в ограниченных областях пространства Исключение составляет глава 4. где уравнение рассматривается во всем пространстве.

В теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами пространственных переменных в старших производных в настоящее время существует несколько направлений. Одно из них восходит к известной работе Т. Карлемана [66]. В 1932 году им была рассмотрена задача о нахождении голоморфной в ограниченной области О функции Ф, удовлетворяющей на границе условию

Ф(г) а(г)Ф(д(г)) = ф(г) (гбШ);

связывающему значение функции в точке г 6 сЮ с ее значением в точке д(г) £ <ЭГ2. где д — диффеоморфизм <9П периода 2. При сведении такой задачи на границу возникает сингулярное интегральное уравнение со сдвигом. Его естественным обобщением является уравнение

Е '(•'•)) = ./ (•■'') е м) (0.1)

уес;

на гладком замкнутом многообразии М. в котором суммирование ведется по конечному числу элементов д некоторой группы С диффеоморфизмов многообразия М. а ад(х, И) — заданные дифференциальные или псевдодифференциальные операторы на М. При этом сама группа С может

быть как конечной, так и бесконечной. К изучению уравнений вида (0.1) сводятся нелокальные краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений в областях К", отвечающие диффеоморфизмам границы в краевых условиях [3,6].

Существенные результаты по теории Фредгольма уравнений (0.1) (как для конечных, так и для бесконечных групп диффеоморфизмов) получены в работах А. Б. Антоневича, А. Б. Антоневича и А. В. Лебедева [3-6.59]. Были предложены различные эквивалентные конструкции символа оператора (0.1) (эллиптичность в этой ситуации определялась как обратимость символа и влекла за собой фредгольмовость уравнения в подходящих пространствах Соболева); в случае конечной группы С при помощи вспомогательного эллиптического псевдодифференциального оператора на многообразии была установлена формула индекса. Следует отметить, что результаты. полученные в случае конечной группы диффеоморфизмов, близки к известным результатам для эллиптических дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие (случай бесконечной группы диффеоморфизмов) теория индекса операторов вида (0.1) получила в работах А. Ю. Савина [42], А. Ю. Савина и Б. Ю. Стернина |41] (см. также монографию ]80|).

Кроме упомянутых работ, эллиптические уравнения со сдвигами по пространственным переменным в этом направлении рассматривались также в [28,83] и ряде других работ.

В теории упругости |22,82,89|, теории многомерных диффузионных процессов |50,89|, а также в связи с нелокальными краевыми задачами типа А. В. Бицадзе, А. А. Самарского [8,45,48] возникает необходимость рассматривать эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в другой ситуации, когда присутствующие в старших производных преобразования аргументов могут отображать некоторые точки границы внутрь области. Так. например, упругие модели конструкций, содержащих многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем, могут быть сведены к сильно эллиптическим системам дифференциалы-ю-разностных уравнений вида.

-Д7?.пг/,(.г) - /(.г) (.г е О). (0.2)

и{х) = О {хе дП). (0.3)

Здесь

Я/и(х) — и(х.], Х2) + 1\и(х\ + 1.Х-2) -I- 72^(^1 - 1, Хо).

А — оператор Лапласа. О, = (0,2) х (0,1), 71,72 £ К, ./' € ^(П). Понятно, что для корректного определения действия оператора Я необходимо задавать краевые условия не только на границе, но и в некоторой окрестности дП. Поэтому вводится оператор Яп = ЯпЯ/п, где 1ц — оператор продолжения функций нулем в К2 \ П. Рп — оператор сужения функций на О.

о 1

Решения краевой задами (0.2). (0.3) следует искать в пространстве Н (П) (обобщенные решения). Это отвечает ее исходной вариационной формулировке (о связи краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с задачами на минимум функционалов с отклоняющимся аргументом см. также [14]).

Отметим, что при 7172 ф 1 задача (0.2), (0.3) эквивалентна нелокальной краевой задаче для уравнения Пуассона

-Аги(х) = /(х) (хеП),

•</;(./• ,.•()) = ю{х1: 1) = 0 (0 < .г-1 < 2),

'«ДО. .г2) = 71'«Д1, хо), 'ю(2.Х2) = 12'Ш{1./Х2) (0 < х-2 < 1).

Интенсивное изучение нелокальных задач такого сорта, вызванное их приложениями в физике (теория плазмы), началось с известной работы |8].

Впервые влияние сдвигов в старших производных, отображающих точки границы в область, на разрешимость эллиптических краевых задач и гладкость обобщенных решений исследовалось А. Л. Скубачевским [44-49,88). В указанных работах были разработаны основы общей теории краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений: получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гор-динга, исследованы вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева и весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Был обнаружен

эффскi появления степенных особенностей \ производных решений в некоторых точках как на i рашщс 1ак и Biiyipn области Наиболее полно эш резулыа1ы представлены в moiioiрафии |89]

Дальнейшим исследованиям краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений посвящены работы (25-27,52,53 56,57] Характерной черюй рассмафпваемых в пасюящсй щссерихцпп задач тоже являеюя наличие преобразований отображающих i ранпцу внутрь области Вместо сдвигов на постоянные векторы уравнение содержит сжатия и растяжения api умен tob г н> q~lz i i—> c¡% (q > 1) в старших производных Примером можс! сл\жпiь задача вица (0 2) (0 3) в которой операюр R задан формулой

fía(j) = и (i) -I- 7i u(q'1x) 72 u(qx)

a fi - некоторая oí ранпчеппая o6iacib в IR" С\ щсствепные различия с теорией дпфференцпально-разпост ных уравнений проявляются в случае когда в область Q где рассматривается уравнение попадает начало координат являющееся ючкой ci ущения орбит {q~' 7 Л = 0,1, } т е Q С этим связаны принципиальные 1р\дносги в исследовании )равнений со сжатиями и растяжениями Так сведение к эллипшческим системам дифференциальных \ равнений использовавшееся в теории дифференцпаль-но-разностных уравнений имеет здесь весьма ограниченное приложение 1еперь значения коюрые решение принимает в окрссшости ö(то) произвольной точки 0 ^ го G связаны уравнением с его значениями в счетном семсйс1ве окресшостсй q~kö(i 0) стя! ивающихся к началу координат Кроме тот о известный метод локализации [1 70 89] применяющийся обычно в теории краевых задач для исследования i ладкостп решений до казательсгва априорных оценок замораживания коэффициентов и т д в рассматриваемой ешхацип не работает Основ) этого метода составляет разбиение единицы {^Д')} подчиненное подходящему покрытию Г2 открытыми множествами (например такими в которых коэффициенты мало меняются) при этом в теории функцпопально-дпфференциальных уравнений па разбиение единицы накладывается дополнительное алгебраическое

условие: умножение на функции <Ру(х) должно коммутировать или „почти" коммутировать с действием функциональных операторов того или иного класса. Но из результатов работы |43] вытекает несуществование разбиения единицы такого, что <ру{дх) = если область содержит начало координат.

С другой стороны, уравнения со сжатиями и растяжениями обладают рядом новых свойств. Так. ядро краевой задачи для эллиптического уравнения со сжатием аргументов может быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции. Гладкость решения краевой задачи во многих случаях равносильна его единственности. Имеет место и следующий интересный эффект: свойства краевой задачи в основном определяются знамениями. которые коэффициенты при нелокальных членах (т.е. членах, содержащих преобразованные аргументы) принимают лишь в начале координат.

Исследование сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений (в диссертации им посвящена глава 2) имеет непосредственное отношение к известной проблеме Т. Като |75] о совпадении областей определения квадратных корней из тп-аккретивного оператора и сопряженного к нему. Для абстрактных операторов этот вопрос изучался в [78,79]. Дальнейшему исследованию проблемы Като в приложении к дифференциальным и функционально-дифференциальным операторам посвящены работы [58, 60, 61, 87|. Полученные в диссертации результаты позволяют выделить новый класс операторов, для которых гипотеза Като имеет положительное решение. Проблема Като тесно связана с описанием пространства начальных данных для соответствующих параболических уравнений [58,87].

Подчеркнем, что по обыкновенным уравнениям со сжатием (растяжением) аргумента имеется довольно обширная библиография. Первые работы появились в литературе в 1940-х годах, еще до систематического изучения уравнений с отклоняющимся аргументом, начало которому было положено А. Д. Мышкисом [21].

Хорошо известное классическое уравнение пантографа выглядит следу-

ющим образом

у'{1) = ауЦ) -I- Ьу(д1) (/ > 0) (0 4)

где а 6 е М (или С) 1 ^ д > 0 Э101 термин появился после статьи [81], в ко юрой рассматрива 1ась маюмашческая модель динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава (пашографом называют токоприемник на крыше трамвая или поезда) Однако, уравнение вида (0 4) можно пай 1П еще в работе В А Амбарцумяна [2| 1944-го года, где описывалось по1 лощение света межзвездной материей Через некоторое время уравнение панто1рафа возникло п в др\ч их приложениях например, в биолопш при моделировании процесса роста клеюк [72] При оюм если в первом сл\ час (юхппка) значимыми с физической ючкп зрения были значения д < 1 ю во втором и 1ре1ьем случаях (астрофизика биология) уравнения выводились для д > 1

Первой рабоюй в ко юрой уравнение паню1 рафа подвер1 лось ссрьезно-м\ ма юмаI пческомх псслсцовапшо была ста 1ья 1 Каю к Дж В Макле-ода [76] посвященная в основной своей части асимптотическому анализу решений при / —> -|-оо Позже, в [73 74] и ряде других работ изучалось обобщенное уравненуе пантографа

</(0 = "</(0 + Ш) I- и/{ф) (¿>0) «/(0) = «/о (0 5)

Были найдены различные формы представления решения исследовались аспмпютпчсскос поведение п \словпя существования почт периодических решений Методы в зпачп тельной сюпенп опирались на использование рядов Дирихле Показано что разрешимость задачи (0 5) зависит от коэффициента с и класса гладкости решений Так при с ф 1 д~1 д~2, су-тцествует и единственно решение из С°°[0 -|-оо) но мог\п существовать (в зависимости от г) и др\ I ие СЯ-решення не принадлежащие С00[0 +оо) (похожий эффект завпспмосш колпчес1ва решений от выбора пространства решений \С1ановлен п для рассматриваемых в диссертации краевых задач см главу 1) На аспмптошк) же решений в основном влияют параметры а Ь £ С Например если п ^ 0 п Иса ^ 0 то асимптотическое поведение решения определяется характеристическим уравнением а Ьдх = О

CioiiJL oiMCiMib чго теория уравнения (0 5) в корне отличается от хорошо нзвес i ной leopmi [7] для дпфферспциально-разносшого уравнения

y'(t) = ay(t) I- by(t - т) -I- cy'(t -т) (t > 0) (0 6)

y{t) = yo(t) (-r<t^0)

В io время как для (0 6) характерно нарушение гладкое:и решений в точках т, 2т, решение (0 5) в случае единственности обязаюльно бесконечно 1ладкое Условие усюйчивосш л,ля уравнения (0 6) сосюящее в oicyi-ствии в правой полуплоскости корней характерно! пческ01 о квазиполинома г — а — е~~г(Ь + cz) существенно опшчастся oí cooi вехС1вующего условия для ) равнения (0 5) Уравнение (0 6) порождает оюбраженпе в пространстве функций на oí резке [—т 0] в ю время как (0 5) с ючки зрения динамических систем ведет себя значшельно сложней

В 1лавс 1 1,иссср1ацпп в качестве при юженпя рассмофспа задача об оптимальном чепокоепип системы управления для уравнения (0 5) Первые резулыа!ы по обобщенным решениям краевой задачи для уравнения со сжатием аргумеша в одномерном случае

ay(t/2))" = f(t) (0 < í < 1) 1/(0) = 1/(1) = О

были получены в |18j Новизна резуль гаiов

В дпссср!ацип впервые проводихся подробное исследование краевых задач для 3ji лип i пчеекпх ф> нкцпональпо-дифференциальных уравнений с рас-1яжеппямп и сжашями api умспюв неизвестной функции под знаком старших производных Рассма!риваю1ся вопросы однозначной и фредгольмо-вой разрешимости в различных функциональных пространствах падкости обобщенных решений спектральные свойства и др Значительное внимание хцслястся аспектам связанным с построением символа и определением опипп i ичиост п и сильной эллппшчности ф\ икцпоналыю-дпфферен-циального \ равнения

Построенная в диссертации теория линейных краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями аргументов существовала в аналогичной общности лишь для дифференциально-разностных уравнений. При этом вопрос о спектральной устойчивости для функционально-дифференциальных операторов прежде вообще не рассматривался. Ранее известные результаты для уравнений со сжатиями и растяжениями аргумента относятся к одномерному случаю и связаны с разрешимостью начальных задач, асимптотическим поведением решений па бесконечности и т.д. в основном для уравнений первого порядка.

Сформулируем основные результаты работы:

• для простейшего функционально-дифференциального уравнения второго порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старших производных найдены необходимые и достаточные условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи с условиями Дирихле, а также исследована гладкость обобщенных решений: показано, что такая задача может иметь бесконечномерные ядро или коядро, а гладкость обобщенного решения может нарушаться всюду в области:

• получен ряд необходимых условий и достаточных условий выполнения неравенства, типа Гордынга для функционально-дифференциального оператора 2'т-го порядка с растяжениями и сжатиями аргументов в старших производных; в случае постоянных коэффициентов найденные условия являются одновременно необходимыми и достаточными;

• доказана фредгольмова разрешимость общей краевой задачи в пространствах Соболева для эллиптического уравнения 2??г-го порядка со сжатиями аргументов �