Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ II

КИБЕРНЕТИКИ

Р Г Б -ш—--

2 2 ДПР 1996

На правах рукописи

РОССОВСКИЙ Леонид Ефимович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ

01.01.02 дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на факультете прикладной математики Московского Государственного авиационного института.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических профессор А.Л.Скубачевский '

наук,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.Дубинский

доктор физико-математических яаук, профессор А.И.Йбрагимов

Новгородский Государственный

Университет

Защита состоится ЫЛ&Л^ 1996 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Iv.053.05.87 в МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-ой учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М.Говоров

Актуальность темы

Ряд задач математической физики и, в частности, механики деформируемого твердого тела и нелинейной оптики, приводит к краевым задачам для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. В работе Г. Г. Онанова, А. Л. Скубачевского1 рассматривается задача об упругих деформациях трехслойной пластины с гофрированным наполнителем. Математическая модель этой задачи описывается сильно эллиптической системой дифференциально-разностных уравнений. Некоторые задачи нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью приводят к нелинейным параболическим функционально-дифференциальным уравнениям с преобразованиями аргументов типа поворот, сдвиг, растяжение, сжатие (см. М.А. Vorontsov, N. G. Iroshnikov, R. L. Abernathy2).

Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений рассматривались в работах А.Б.Антоневича, В.С.Рабиновича и др. Результаты этих работ аналогичны результатам для локальных эллиптических задач, т.к. авторами предполагалось, что выполнены некоторые ограничения, например, сдвиги аргумента - карлемановские или уравнение рассматривается во всем пространстве R" п т.д. Теория краевых задач для эллиптических днфференпнально-разностных уравнений в ограниченной области Q С R" была построена в работах А.Л.Скубачевского3. Им были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гордннга, исследованы вопросы однозначной, фредгольмо-вой и нетеровон разрешимости в пространствах Соболева и весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области Q даже при бесконечно дифференцируемой правой части н сохраняется лишь в некоторых подобластях Qr С Q (Ur Qr = Q) ■

Оказалось, что эти задачи также тесно связаны с нелокальными эллиптическими задачами и теорией многомерных диффузионных процессов. Так, в известной работе А. В. Бицадзе, А. А. Самарского4 решалась краевая задача для эллиптического дифференциального оператора второго порядка с краевыми условиями, связывающими значе-

'Онанов Г.Г. Скубачевский А.Л. - Прикл. мех., 1979, т.15, N5, с.39-47.

2Vorontsov М.А., Iroshnikov N.G., Abernathy R.L. - Chaos, Solitons and Fractals, 1994, v.4, N8/9, p.1701-1716.

3Skubachevskii A.L. - J. Differential Equations. 1986, v.63, N3, p.332-361.

4Бицадзе A.B., Самарский A.A. - ДАН СССР, 1969, т.185, N4, с.739-740.

ния функции на части границы с ее значениями на внутреннем многообразии (см. также W. Feller5, A. JI. Скубачевский6.)

В отличие от краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов в литературе не изучены. Более того, не проводилось систематических исследований даже в одномерном случае, хотя известны работы, посвященные начальной задаче для функционально-дифференциального уравнения со сжатием аргумента (см. T. Kato, J. В. Mcleod7.)

В настоящей диссертации рассматриваются краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов, а также краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом в одномерном случае.

Цель работы

Основной целью диссертации является исследование обобщенных решений краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих сжатия и растяжения аргументов в старших членах.

Новизна результатов

В диссертации впервые проводится подробное исследование краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованными аргументами в старших производных. Важной отличительной особенностью рассматриваемых задач является то, что область, где ставится уравнение, содержит начало координат - неподвижную точку для операторов сжатия и растяжения. Под действием преобразований аргумента внутри области Q оказывается счетное число сдвигов границы dQ , стягивающихся к началу координат. Это создает принципиальные трудности в их исследовании по сравнению со случаем дифференциально-разностных уравнений.

С другой стороны, такие задачи обладают рядом новых свойств, например, наличием бесконечномерного ядра, состоящего из негладких функций даже в том случае, когда аргумент подвергается только

5Feller W. - Ann.Math, 1952, v.55, N3, р.468-519.

6 Скубачевский A.JI. - Дифференц. уравнения, 1989, т.25, N1, с.127-136.

7Kato Т., Mcleod J.B. - Bull. Amer. Math. Soc., 1971, v.77, N6.

сжатиям (не выводящим за границы области). Нетерову разрешимость удается при этом получить, если рассматривать решения в подходящих весовых пространствах.

Новым в диссертации является также решение проблемы коэрци-тивности на основе специального символа уравнения - результата преобразований Фурье и Гельфанда функционально-дифференциального оператора.

Новый подход применялся и для исследования уравнений с переменными коэффициентами, поскольку традиционный способ "замораживания" коэффициентов оказывается затруднен в силу особого характера нелокалъности операторов.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (52 наименования). Общий объем диссертации - 88 страниц. Центральное место работы - главы 3 и 4, посвященные краевым задачам для эллиптического и сильно эллиптического функционально-дифференциальных уравнений с линейно преобразованными аргументами. Вводится понятие обобщенного решения, рассматриваются вопросы разрешимости, а также гладкости решений краевых задач. Использование аналогичных методов позволяет получить новые результаты и в теории функционально-дифференциальных уравнений в одномерном случае. Чтобы сделать изложение более наглядным, эти задачи рассматриваются в главе 1. Глава 2 посвящена приложению результатов главы 1 к задаче Н.Н.Красовского об успокоении системы с последействием в случае, когда запаздывание пропорционально времени. При исследовании всех рассматриваемых задач применяется общий подход, откопанный на сопоставлении функционального (функционально-дифференциального) оператора и его "символа" - алгебраического выражения.

Содержание диссертации

В главе 1 исследуется функционально-дифференциальное уравнение с линейно преобразованным аргументом в одномерном случае. В §1 главы 1 рассматриваются вспомогательные результаты, касающиеся свойств в пространстве Ь2 и пространствах Соболева операторов вида

ПиЦ) = £ ат(г)«(?-тг), (1)

т=О

где q > 1 , функция u(t) определена на интервале (О, Т) , ат € C*[0,T] (т = 0,..., /; А; = 0,1,...).

Пусть Vf = {и в Wfc(R+) : u(t) = О (i > Т)} , к = 0,1,..., где R+ = {t £ R : t > 0} , а через Wk{a,b) (-00 < а < Ь < оо) обозначается пространство абсолютно непрерывных функций, имеющих (к — 1) абсолютно непрерывных производных и производную порядка к из L2(a,b) . Для к > 1 полагаем Vp = {и : u(0) = 0} и отождествляем ^'(О, Т) с Щ , считая функции из Wl(0,T) продолженными нулем в R+ . Вводится оператор Р , определенный по формуле Pu(t) — u(q~lt) .

При исследовании уравнений с постоянными коэффициентами существенную роль играют следующие леммы:

Лемма 1. а) Пусть |А0| > q. Тогда для любого к = 0,1,... отображение (Р — X0I) : Wk(0,T)Wk(0,T) есть изоморфизм;

б) Пусть |А0| < qll2~k, к = 0,1,... . Тогда отображение (Р — ДоI) : Vp —> VkT есть изоморфизм. При к > 1 отображение (Р — А,)/) : Vk- —> íyr есть изоморфизм.

Лемма 2. Пусть |А0| = ql/2 , и £ L2(0,T) , v = (Р - А01)и . Тогда

а) u(t) = - £m=o v(q-»t)/\rl (t e (0, Г));

б) Если v 6 Wk(0, Т) , то и £ Ж*(0, Т) (к = 1,2,...).

По оператору R = R(t,P) вида (1) строится выражение r(t,X) —

i

Am (А £ €). Изучение уравнений с переменными коэффици-

т=0

ентами основано на теореме:

Теорема 1. Пусть r(t, А) удовлетворяет условиям

1. r(t,0) = a0(t) ф 0 (t е [0,т]),

2. r(0,A)^0 (|А| < <71/'2).

Тогда существует ограниченный обратный оператор R~l : Wk{0,T) Wk(0,T) .

В §2 изучается краевая задача

-(Ru)" + Aiu = f (te(0, Г)), (2)

и(0) = и0,и(Т) = иТ, (3)

б

где Л1 : И-1 (О, Т) —> 12(0, Т) - линейный ограниченный оператор, / € ¿2(0, Т) , ыо,мт€С.

Функция и € И'1 (О, Т) называется (обобщенным) решением задачи (1),(2), если Пи 6 И/2(0,Т) и выполняются уравнение (2) и краевые условия (3).

Показано, как разрешимость задачи (2),(3) зависит от распо-

/

ложения корней полинома г (О, Л) = ат(0)Ат на комплексной

т=0

плоскости относительно окружности |Л| = д"1^2 . Так, условие г(0, А) ф О (|А| < д-1^2) , гарантирующее гладкость обобщенного решения, позволяет свести задачу (2),(3) к краевой задаче для возмущенного (нелокальными) младшими членами оператора двойного дифференцирования и доказать ее фредгольмову разрешимость.

Теорема 2. Пусть коэффициенты в уравненхм (2) постоянные.

Тогда для фредголъмовой разрешимости задачи (2),(3) необходимо и достаточно, чтобы г(А) ф О (|А| < .

В случае переменных коэффициентов справедлива

Теорема 3. Пусть »-(О, А) ф О (А € С : |А| < д-1/2) . Тогда задача (2),(3) фредгольмова.

Отсутствие фредгольмовой разрешимости в условиях теоремы 2 -результат возникновения в задаче (2),(3) бесконечномерного ядра (в состав которого могут входить негладкие функции и £ И'2(О, Т) ). В §3 рассматривается краевая задача

-(П„)" + А1и = / ((6(0,Т)), (4)

«(0)=щ,и(0=т ((е(Т,д^Т)), (5)

лг,

где теперь /?«(£) = ^ атм(д~тг) , ^ > 0, N2 > 0 - це-

m=-N2

лые числа, коэффициенты ат £ С - постоянные, а^а-дт2 ф 0; Л] : Н71(0, дг^'Т) —> ¿2(0,Т) - линейный ограниченный оператор; / € ¡.-¿(О, Т) , ф £ И*2(Г, <!Х~Т) - заданные комплекснозначные функции, ?/0 е с.

Поскольку сдвиги аргумента в операторе Я могут отображать точки интервала (0, Т) во внешность интервала, краевые условия

задаются в окрестности правой границы интервала в виде краевой функции.

Вначале рассматривается уравнение

-(Ru)" = f (i 6 (О,Г))

с краевым условием

u(t) — 0 (t £ (О, Т)).

Вводится неограниченный оператор Ar : L2(0,T) —» L2(0, Т) с областью определения T>(Ar) = {г« € V^ : Ru G 1У2(0,Т)} по формуле Arii = —(Ru)" . Следующая теорема устанавливает связь между

N,

расположением нулей функции r(A) = ^ amXm и разрешимостью

m=~N2

уравнения Aru = / в пространстве L2(Q,T) .

Теорема 4. Пусть т0 - число корней полинома XNlr(X) , лежащих вне круга |А| < q~'/2 . Тогда

а) если N\ = то , то существует ограниченный обратный оператор Añl : L2(0,T) fy ;

б) если N i > mo , то Im Ar — L2(0,T) , dim Ker Ar — оо ;

о) если N\ < 7 tí о , mo Ker Ar = {0} , IiuAr = IimAr , dim Cokcr Ar = oo .

Далее, в случае m0 — N\ изучаются гладкие решения задачи (4),(5).

Теорема 5. Пусть число корней полинома АЛ'2г(А) , удовлетворяющих условию |А| > q~x¡2 равно JV, , а остальные N2 корней удовлетворяют условию |А| < q~3^2 . Тогда ограниченный оператор Cr : И/2(0, qN-T) L2(0,T) х С х W2{T,qN*T) , CRu = {—(Ru)" + ^i«, u(0), w|(r <JN2rj} - нетеров, и ind Cr = dim Ker Cr — dim Coker Cr = — 1 .

В §4 выясняются некоторые условия, при которых оператор Ar = (-ÍM+Ai) ■■ ¿2(0,T) -» Lt(0,T) , V(Ar) = {« e ^'(O.T) : Ru' e Ti'1 (0, T)} , имеет дискретный спектр.

Теорема 6. Пусть выполняется одно из следующих условий:

a) Ai = 0 , а число корней полинома АЛзг(А), удовлетворяющих условию |А| > q1^2, равно ;

б) г(А) = r(A) , г(А) ф О (|Л| = <71/2) , и для любых н,г £

, (^IU,W)£,(o,D = (M,A,u)tî(o,T) / вJ /?ег(А)>0 (|Л| = qx'2) .

Тогда спектр cr(Ajt) оператора А а дискретный, и для каждого v £ <?(Ац) резольвента (Ar — vl)~l компактна.

Заметим, что во втором случае оператор Ац самосопряженный и его спектр вещественный, а в третьем случае а (Ад) - полуограниченный.

В главе 2 изучается задача об успокоении системы с последействием, когда запаздывание пропорционально времени. В §5, глава 2, формулируется задача: найти управление u(t) приводящее систему

2/'(0 + ay'{q-lt) + by(t) + cy(q'lt) = u(t) (t > 0),

У( 0) = 2/o (6)

в состояние равновесия

2/(0 = 0 (t>T) (7)

к заданному моменту времени Т > 0 , и обладающее минимальной энергией. Другими словами, требуется исследовать на экстремум функционал

чт

■ЧУ) = /{?/(0 + ay'(q~lt.) + hy(t) + aj[q'lt)}2dt min (8) о

на множестве функций y(t) , удовлетворяющих условиям (G),(7).

В §С устанавливается связь между вариационной и краевой задачами.

Теорема 7. Функция у 6 Vj. доставляет минимум вариационной задачи (6),(7),(8) тогда и только тогда, когда у - обобщенное решение краевой задачи для уравнения

-((1 + a2q)y'{t) + ay'{q-xt) + aqy'(qt))' + (nb - cq-l)y'{q~4) +

+ (cq ~ abq2)y'(qt) + (b2 + c2q)y(t) + Ьсу(Ч'Ч)+ (9)

+bcqy(qt) = 0 (t G (0,Г))

с краевыми условиями (6),(7).

В §§7-8 развитый в главе 1 аппарат используется для исследования разрешимости и гладкости решений полученной краевой задачи (С),(7),(9).

Теорема 8. Пусть |а| ф . Тогда задача (6),(7),(9) имеет единственное обобщенное решение у £ V? .

Теорема 9. Пусть |п| $ {<?-3,'2,Ч-1''2,<}1/2} , У £ V? ~ обобщенное решение задачи (6),(7),(9). Тогда у £ V-} .

В главе 3 исследуется эллиптическое функционально-дифференциальное уравнение с линейно преобразованными аргументами.

В §9, глава 3, содержатся результаты, касающиеся свойств функционального оператора

I

Ли(ж) - ^ ат(х)и(Ч-тх) (10)

т=0

в пространствах Соболева \\гк(($) . Здесь х = (хх,х2,.. - ,хп) , <7 > 1 , ат £ Ск((}) , а ограниченная область (} С К" удовлетворяет условию

0 С (11)

Пространство \Ук{(}) состоит из функций, принадлежащих вместе с обобщенными производными до порядка к включительно, и 11*((2) -замыкание СЦ°(С2) в . Вводится оператор Р по

формуле Ри(х) = н((/_1а:) .

Справедливы следующие утверждения (аналоги лемм 1,2 ц теоремы 1):

Лемма 3. а) Пусть |Ао| > г/'^2 . Тогда для любого к = 0,1,... отображение (Р — А0/) : И4'((7) —> есть изоморфизм;

б) Пусть |А0| < , ¿ = 0,1,.... Тогда отображение (Р —

А0/) : \Ук(С)) —> есть изоморфизм.

Лемма 4. Пусть |А0| = цп'2 , г( £ Ь^) , и = (Р - А0/)и . Тогда

СО

а) и(х) = - £ ь(Ч~тх)/(х £ Я) ;

ш=0

б) Если V е \\гк(С)) , то и 6 Ич(<2) .

I

Теорема 10. Пусть г(х. А) = ^2ат(х)\т удовлетворяет условиям

т=0

1. г(х,0) = ай(х) ф 0 {х<=С}),

2. г(0, А) ф 0 (|А|<д"/2).

Тогда существует ограниченный обратный оператор II 1 : \Ук(0) —)

\¥к(С)) .

В §10 рассматривается задача Дирихле для эллиптического функционально-дифференциального уравнения

- АЙи + А!« = / (хб <?), (12)

«1«? = о. (13)

где А\ : И-> Ь2(б?) - линейный ограниченный оператор, / £ 1 оператор Л имеет вид (10), от € С2((?) , а область

<5 удовлетворяет условию (11). Введем неограниченный оператор Ап : £2(£?) Ь2(Я) с областью определения 1>(Лл) = {и 6 И71^) : 6 £2(0} 1 по формуле Лдм = —Д7?г< +. Обобщенным решением краевой задачи (12),(13) назовем всякое решение операторного уравнения Ацп = / в пространстве Ьг(<5) . Установлены результаты о разрешимости, аналогичные одномерному случаи).

Теорема 11. Пусть коэффициенты в уравнении (12) постоянные. Тогда для фредгольмовой разрешимости задачи (12),(13) необходимо и достаточно, чтобы г (А) ф 0 (|А| < д"^2"1) .

Для переменных коэффициентов справедлива

Теорема 12. Пусть г(0,А) ^ 0 (|А| < (г"72-1) . Гог^а задача (12),(13) фредгольмово разрешима и обобщенные решения принадлежат 1Г2((?) .

Как и прежде, отсутствие фредгольмовостц - результат появления бесконечного множества линейно независимых решений и £ \У1((£) однородной задачи.

В §11 рассматривается краевая задача

-ДЛн + Л1н = / (яе<2), (14)

и(г) = 0 (а; ^ р), (15)

N1

когда Яи(х) = <1гПи(<Гтх) , N2 > 0 , а коэффициенты ат € С

ш = -Л'5

- постоянные. Обобщенная разрешимость задачи (14),(15) (в смысле

И

операторного уравнения Aru — f ) установливается в следующей теореме

Теорема 13. Для существования индекса в задаче (14),(15) необходимо и достаточно, чтобы число корней полинома XN2r(X) , расположенных вне круга {А Е С : |А| < д"/2-1} равнялось Ni .

В условиях теоремы задача оказывается фредгольмовой (однозначно разрешимой, если Л) = 0 ). Нарушение условия теоремы приводит к появлению бесконечномерных ядра либо коядра оператора Ац .

В §12 решение краевой задачи (12),(13) рассматривается в весовых пространствах H^(Q) с нормой

IMk(Q> = (£ /И2W+M'k)\vauW\

Вводится ограниченный оператор

• CR : {и £ Я*+2((?) : u\0Q = 0} -» Я*(<?),

Cru — -ARu + Aiu

(линейный оператор Л) ограничен из H*+I(Q) в H¡¡(Q) ). Предполагаются выполненными условия (аналог теоремы 10 для весовых пространств), при которых уравнение Сци = f сводится к локальной эллиптической задаче в Q . Нетеровость последней, как и в известных работах по эллиптическим задачам в областях с угловыми точками, сформулирована в виде отсутствия на прямой ImX = -('■-+ а — к — Z) полюсов конечномероморфноп операторнозначной функции £(А)-1 , разрешающей эллиптическое уравнение с параметром С(Х)й = C(üj,i\,d/dus)ü(\,uj) = F(A,u>) на сфере S"-1 .

Теорема 14. Пусть

1. г(х, 0) 0 (я е Q) ,

2. r(0, A) 0 (|А| < 9т+»-*"2) ,

3. С(А)-1 не имеет полюсов на прямой ImX = —+ а — к — 2) . Тогда оператор Сц - нетеров.

Смысл введения весовых пространств заключается в том, что даже в случае вырождения полинома г(0, А) в круге |А| < можно

так подобрать коэффициенты дифференцируемости к и веса а , что задача (12),(13) будет нетеровой в весовых пространствах.

Глава 4 посвящена задаче Дирихле для общего функционально-дифференциального уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами

Апи= £ VaRa¿D|3u{x) = /(*) (*£<?), (16)

|о|,|/5|<т

©Л«1«г = 0 (хедЯ;ц = 0,...,т-1), (17)

где = Т,\л^аа0Мя~3х) , яа/3;- £С;/е Ь2((?) , а область <3

удовлетворяет условию (11). Предполагается, что и{ц~'х) = 0 при <£ Ц .

Уравнение (16) называется сильно-эллиптическим в С} , если для всех и е о°(<э)

Яе{ Е Т>аЯа^и,и)ыя]>с1»«П^д, - с2||«Щ1(д) (18)

М,|/?|<т

С] > 0 , с2 > 0 . Под проблемой коэрцнтивности понимается задача определения необходимых и достаточных условий в алгебраической форме выполнения неравентсва (18).

Символом уравнения (1С) назовем выражение

Е ^(А)Г+/3= Е Е^Г^ (£ е к", А е с)

|о|,|/3|=т |а|,|/?|=т

Оно зависит от двух переменных: £ £ К" , двойственной к вектору х и отвечающей оператору дифференцирования, а также комплексной переменной Л , отвечающей линейному преобразованию оргумента.

В §13, глава 4, решается проблема коэрцнтивности. Мы показываем, что сильная эллиптичность уравнения (17) эквивалентна положительности действительной части таким образом введенного символа.

Теорема 15. Пусть Яе Е|„|,и=т гаР(\)^ > О (|А| = О ф £ £ К") . Тогда уравнение (17) сильно эллиптическое в .

Теорема 16. Пусть уравнение (17) сильно эллиптическое в <5 . Тогда Яе Е|п|.|/л=га г„/}(А)Гн' >0 (|А| = <Г/2, 0 ф £ £ К") .

В §14 вводится неограниченный оператор Ац : Ь2(<3) —» -^(Ф) , с областью определения Т>(Ац) = £ \Ут(0) : Аяи £ Ь2(ф)} , соответствующий задаче (16),(17) для сильно эллиптического уравнения. Опираясь на неравенство (18), доказаны теоремы о дискретности и

полуограниченности спектра оператора Ац , полной непрерывности резольвенты Я(\,Ац) в пространстве Ь2{(}) и фредгольмовой разрешимости краевой задачи (1С),(17).

Апробация

Результаты, составляющие содержание диссертации, доложены на Международной Конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и приложениям (Москва, МАИ, 1994г.); на семинарах: Ю.А.Дубинского в Московском энергетическом институте, Г.А.Каменского и А.Л.Скубачевского в Московском Государственном авиационном институте, В.А.Кондратьева и Е.М.Ландиса в Московском Государственном университете им. М.В.Ломоносова, В.П.Михайлова и А.К.Гущина в Математическом институте им В.А.Стеклова РАН, Е.II.Моисеева в Московском Государственном университете им. М.В.Ломоносова, а также на Крымской осенней математической школе (1993г., 1994г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, библиографическое описание которых дается ниже.

Литература

1. Кук К., Россовскнй Л.Е., Скубачевский А.Л. Краевая задача для функционально-дифференциального уравнения с линейно преобразованным аргументом. - Дифференц. уравнения, 1995, т.31, N8, с. 13661370.

2. Россовскнй Л.Е. Задача об успокоении системы с запаздыванием, линейно зависящим от времени. - Проблемы современной математики и приложения к задачам физики и механики, МФТИ, Москва, 1995, с.172-182.

3. Россовскнй Л.Е. Коэрцитивность одного класса функционально-дифференциальных уравнении. - Функциональный анализ и приложения, 1996, т.30, N1, с.81-83.

4. Россовскнй Л.Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений. - Мат. замет., 1996, т.59, N1, с.103-113.