Эллиптические операторы в полных шкалах функциональных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Г'. Ч

На правах рукопису

МУР АЧ Олександр Олександрович

ЕЛІПТИЧНІ ОПЕРАТОРИ В ПОВНИХ ШКАЛАХ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ПРОСТОРІВ

01.01.01 “ математичний анапІо

Автореферат дисертації на одо буття наукового ступеня капдпдата фіаихо-математігганх наук

Київ — 1995

Дисертацією е рукопис.

Роботу виконано у відділі диференціальних рівнянь в частинних похідних Інституте математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

' професор ШХАЙЛЕЦЬ В.А.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор ЕЙДЕДЬМАН С.Д.,

доктор фізико-математичних наук, професор РОЙТБЕРГ Я.А.

Провідна організація: Інститут прикладної математики і

механіки НАН України.

Захист відбудеться 1 -5 Н ** І99І. р

о /5 , год. на засіданні спеціалізованої ради

Д.ОІ. 66.01 при Інституті математики НАН України за адресою: 252601,Киїй-4,МСП,вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці інституту Автореферат розіслано "23 * л Цс7опсх<)д 1995 р.

Вчений секретар ^

спеціалізованої ради ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуаяьнїсть теми..~ Починаючи з 60-х років було досягнуто значного успіху в теорії еліптичних крайових задач в узагальнених функціях. Й.-Л.Ліоне, Е.Мадиенес, Ü.M. Бере ганський, ' С.Р.Крейн, Я.А.Ройтберг дослідили розв”язність таких задяч в повних шкалах функціональних просторів типу соболевських і довели теореми про повний набір ізоморфізмів, що встановлює еліптичний оператор. Ці теореми знайшли застосування в теорії диференціальних рівнянь, математичній фізиці, спектральній теорі ї дпї^рлнцїальних' операторів, до задач оптимального управління, до налініяних задач.

В ав"язку з цим природно поставо гти-оанля гтр™ &аслідже>тя еліптичних крайових задач в повних шкалах просторі», підмінних від соболевських. В роботах С.М.Нікольського, О.В.Бесова, Л.Н.Слободєцького, Н.Н.АроншаЙна, А.П,Кальдерона, Е.Гальярдо, П.І.Лізоркіна, Г.Трібеля та інших було введено і вивчено функціональні простори, тісно пов"язащ з теорією диференціальних рівнянь і творів» апроксимації.- Зокрема, було доведено, що простори Соболева, їх дробові аналоги та простори

Ніяольського-Вєсова охоплюються двома шкалами ■Fia і

о 5 .

&РЛ •

Важливість цих шкал як для теорії, так і для застосувань не викликає сумнівів. Зокрема, Г.Трібелем було встановлено теореми про розв"язність регулярної еліптичної крайової задачі у відповідних просторах шкал , якщо s дос-

татньо велика. Тому природно виникло питання про поширення результатів Г.Трібеля й& випадок довільних дійсних S . При цьому виявилось, що припущення про регулярність еліптичної Крайової задачі пов"язано не з суттю справи, а з використаним Г.Трібвл|И методом дослідження. Застосований в роботі підхід дозволяє, крім того, розглядати систему крайових умов локально, тобто окремо на кожній звиязній компоненті краю. Аналізу цях питань присвячений перший розділ дисертоції. В ньому такой досліджено локальну регулярність узагальнених розв'язків загальної крайової задачі поблизу точок її еліптичності. Це питання е змістовним, оскільки для такої задачі може не виконуватися відповідна теорема про роза”язність.

В другому розділі дисертації розіуіядаеться широкий клас нелокальних еліптичних граничних-задач. В цих задачах граничні умови пов"язують значйння шуканих функцій та їх похідних на границі області з їх значеннями усередині області. Після відомої статті А.В.Біцадзе, 0.А.Самарського такі задачі вивчали Я.А.Ройтберг, З.Г.Шефтель, М.В.Житарашу, С.Д.Ейдельман,

О.Л.Скубачевський, Б.П.Панеях та інші. В їх роботах нелокаль-ні задачі досліджувалися або в класах достатньо гладких функцій, або в повній шкалі просторів тицу беселевих потенціалів, але у випадку нормальних граничних умов. Відкритим залишалося питання про доведення теорем про розв"язність нелокальної еліптичної граничної задачі в повних шкалах функціональних просторів без додаткових обмежень на граничні умови, його вирішено стосовно шкал І~р{у і бД^, . '

Мета роботи.

: І. Довести теореми про нетеровість операторів локально

еліптичної крайової задачі в повних шкалах банахових просторів типу Лізоркіна-Трібеля і Нікольського-Бєсова

&РЛ • ■• ,

2. Встановити твердження про локальну регулярність узагальнених розв"язків загальної крайової задачі поблизу точок її еліптичності.

3. Довести теореми про нетеровість операторів нелокальної еліптичної граничної задачі в повних шкалах просторів типу

‘ '

Методи дослідження. В роботі застосовано теорію розподілів та функціональних просторів, теорію інтерполяції, теореми про мультиплікатори Фур"е, загальну теорію еліптичних крайових задач, методику Я.А.Ройтберга модифікації повних шкал функціональних просторів.

Наукова новизна. Всі основні результати роботи є новими. Побудовано повні шкали просторів типу Ррд і Вр,ц. •

В цих шкалах доведено теореми про нетеровість операторів локально еліптичної крайової задачі. Досліджено також локальну регулярність узагальнених розв'язків загальної крайової задачі поблизу точок її еліптичності. В повних шкалах просторів

типу РД<£ і Врц, встановлено теореми про нетеровість опе-раторів.нелокальної еліптичної граничної задачі. Узагальнено відомі результаті? Ж:-Л;Ліонса,_£.Мадженеса, Я.А.Ройтберга,

З.Г.Шефтеля, Г.Тріоеля про нетеровість'еліптичних.операторів.

Теоретична і практична цінність. Результати роботи розвивають загальну теорію еліптичних крайових задач. Вони можуть бути застосовані в теорії диференціальних рівнянь, математичній фізиці, спектральній теорії диференціальних операторів, до задач оптимального управління, нелінійних задач.

тіробаптя иооог;:. Н»лулі»іаїя .».«ееотації доповідались на семінарі з диференціальних ріьпдпь у часТшЯягс пи*!*;:;«.» при Інституті математики ПАН України /1991, 1394/, т соїлт;ярнх кафедри математичного аналізу Чернігівського педагогічного інституту /1991, 1992/, на науково-технічній конференції "Пам"яті академіка М.П.Кравчука" /Київ, травень, 1992/, в першій українсько-американській школі "Диференціальні рівняння та їх застосування" /Судак, червень, 1993/, на Міжнародній конференції по функціональних диференціальних рівняннях /.Москва, серпень, 1994/, на Міжнародній конференції "Нелінійні диференціальні рівняння" /Київ, серпень, 1995/.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в ? роботах.

Обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, двох розділів, восьми параграфів та списку цитованої літератури, що містить 99 найменувань. Обсяг роботи - 151 сторінка машинописного тексту.

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОМ .

В легшому розділі вивчаються необхідні функціональні простори та локально еліптичні крайові- задачі. Він складається з п”яти параграфів. • ^

В §1 вивчено простори £ і та побудовано і

досліджено їх модифікації.

Нехай Є - компактний орієнтовний нескінченно гладкий многовид розмірності Пч<2 з краем Г ,що складається з Пі^/І непорожніх зв"язних компонент Гі ,...,Гт . Наведемо необхідні означення для шкали У випадку,коли

0 :=0'Г - область в //?п . Нехай гей?; р.р'^.^'Є] 1*»[;

і/р+і/р'* + і . Позначимо через ГД^(О) банахів

простір Лізоркіна-Трібеля на О . Відомого Гр,г(С?) * Нр(СІ

1 ГДр (С)= 8р,р(&) .Де Ир (б.) - простір беселевих потенціалів,а 8р,р(С) - простір Босова. Позначимо через

<0 простір Рр,у(Хй у випадку ¿-»/О ,або простір,

спряжений до С^') *У випадку Б<0 •

Нехай вектор 5£ :» (ос*, »а

де ЭСр....Э<;т - невід"емні цілі числа. Припустимо,що 3<°т0 ,

+ і позначимо через Г|;*(0) поповнення множини С~(б) за нормо»

Тут Оу:=>£•*3/ЭV , 3/ЭУ - оператор похідної вздовж орта внутрішньої нормалі до П ; Вр,р(І]) ~ простір Бвсова на Р^ .

Для ЭСс->0, ¿е^і/р, ..мЗС°-і + і/р5 простір буду-

ємо за ^опомогоп комплексної інтерполяції. Якщо 0С°*0 ,$є Іі? ,

то Рр;*(в) . . З відомої теореми про сліди випливав,що ' '

(0=^(6) дая ^ /І/

У випадку *2, ЭС простори /•’р'у (0) було

введено Я.А.Ройтбёргом і позначено ним через (^О') .

В §2 розглянуто локально еліптичну крайову задачу на О та введено оператори,повмязані з нею.

Нехай задано лінійні диференціальні вирази і ~1^(х\0) ,

а еС , оге//,.-2£ *- пзрне число,та Н{р =%М^(х,0) ,

де j=i.....m ; r = f...........і ;ЭС€П^ ,ord M ?’= m'f .

Коефіцієнти цих виразів вважаємо нескінченно гладкими на відповідник множинах. Покладемо Mj : = (Мj*’ , ...,М j1) ,

dtj --тпгх fst.njf'+i Д** j

» эс і=(Хщ)> С '• -(tj...,tl . Тоді /лема 2.1/ відображання С“(5) э V н* Д и продов-

жуються за неперервністю до лінійних обмежених операторів

л^/^ьг^-Н«*п П в*;^.

sei?, р/?і J1/4.

З рівності /Е/ випливає,що у випадку S >Ot°— J/p' оператор Л 5(p((j дів в просторах Лізоркіна-Трібеля.

Далі припустимо,що А - локально еліптична крайова задача на G .тобто L - власно еліптичний вираз на G ,і для довільного система Hj накриває L на .

В §3 побудовано та’досліджено модельну задачу,що відповідає набору Д в достатньо малому околі точки X Є G .

В §4 доведено кілька теорем про нетеровість операторів задачі Л .

Теорема І /4.1/. Для довільних stiR , р,ц £ i,°°L

оператор А 5 РЛ е нэтеровим ,його ядро та коядро не залежать від індексів s » р , .

Сформульована теорема поширив твердження Я.А.РоЙтберга на шкалу Гp/Cf. . Вона такої узагальнює відомий результат Г.Трі-беля на випадок нерегулярної еліптичної крайової задачі і довільних дійсних 5 . _

Покладемо З-р.уСО -=Fp^(G) ,ягацо S> О .У випадку 0 позначичо через простір,спряжений до

замикання множини CTCG) в топології простору (G) .

Тоді для КОЖНОГО 5t fl? неперервно 3’p/<f.(G)c* і,якщо

додатково St {-Iv )1р,-2*- l/р.Л .то _Тр)І? (G) = FpI<? CG) .

Теорема 2 /4.5/. Нехай БЄ 19 , р.<} £• З і,»>[ , т[г)<2І

для усіх = іі і дано банахів простір Х(й) .неперервно вкладений в простори Э'Сб) і Р(.0), такий,що множина С°°С&) П Х(С) щільна в Х(О) . Тоді а/ множина >= {і)£ С°°(0) • Ьи Є щільна в

банаховому просторі 0(0) ["V Є Э (.0) : і V Є

з нормою ||і>, 5*р(^ (0)11 + II ¿V, ХСОН

б/ відображення 0°°(0) э V ►— Дл? продовжується за неперервністю до обмеженого нетерового оператора

г^о(б)-хгс)хППв!'Гг'*(гл.

І=І г-і ґ

В дисертації наведено приклади просторів ХСО таких,що з теореми 2 випливаать відомі твердження Ж.-Л.Ліонса.Е.Мадае-, неса про розв"язність регулярної еліптичної крайової задачі. Доведено також відповідні аналоги теорем 1,2 для повної шкали просторів тицу 8р,$ •

В §5 досліджено локальну регулярність узагальнених розв'язків загальної крайової задачі поблизу точок її еліптичності. Наведемо один результат з цього параграфу. Припустимо, що набір Л=(і,,Мі,...,МтУ 6 еліптичною крайовою за-

дачею на деякій компактній множині Дс(5 , Л п П* ^ , тобто вираз Ь е еліптичним на Л, .власно еліптичним на «Я ПГ ,і для довільного такого,що ЛлР;*0 ,

система накривав Ь на Л п Гз .

Теорема 3 /5.4/. Нехай ; р.^.р.е € ] і,“>[ ,

V є і для деякої функції ^єС^СІБ) ,Щ0 дорівняє одиниці в окояі множини іЛ .виконується ’

~5-г*,й-2КГЛ Г3] І-Ц п3-тТг1ІР{П\ '

іЬіл.',‘Гм №)ХДПВР.Р (Гі)-

Тоді і снують такий окіл V множини ¿X і така функція

У€С“С&) . ос € V у V є Г рїу (Є) .

В другому розділі дисертації вивчається клас нелокальних _еліптичних граничних задач.

В §6 дансГозначення-нелокальної.еліптичної граничної задачі і введено відповідні оператори.

Нехай в - обмежені відкриті множини в І$п з ’

границями П і ч класу С°°- Множини 0 і розташо-

вані локально по один бік відносно своїх границь. Припустимо, що (^с (} та існує нескінченно гладкий дифеоморфізм о£ Г"У. Покладемо .

Нехай задано лінійні диференціальні вирази ¿,г = 0} .

г =1,2; ;г£(гг , оґіі - парне число, Л • - 6^+2 Сг »

^3*=^2 ,та ~ * ,л ь "*

/якцо г =1,2/,або хЄГ /якцо г =3/; огіі М^^ £ 63 + ¿іґ , де <>¿,...,6^ - деякі цілі числа. Коефіцієнти усіх виразів вважаємо нескінченно гладкими на відповідних множинах. Для

І = і .І^Є (Є2) задамо функцію М^:

( ^íj и)(х) : = (ИІД 'І^'Х^ММАг ^(«зО+ІМ^зиа)Сос), зсє Г. Нехай <5^: = "Ш . У випадку к = (К,.... К)

позначимо Ррї? (Оґ)Рр, у (&ґ) . Тоді /лема 6.1/ відоб-

раження С^С^)* С°°(йг)

продовжується за неперервністю до лінійних обмежених операторів

2 г . *

і

ЪР

■■ п с'"‘^-пс'с<ї>ґіС%

'Г'Г г=^ Г=1

зс$, р с/є Л ■»[.

Далі припустимо ,:цо набір (іі, [,і, , • • ■, М }.) є нелокальною еліптично» гракичною_задачею,тобто іц і -

власно еліптичні вирази на і >а на ^ виконуються відповідні умови накриття.

В §7 побудовано і досліджено системи на »4° відпо-зідаять мелокальній граничній задачі у зипадку точки .ХЄГ .

З 58 доведено різні теореми г.ра нетеровість операторів задачі ( ь< , Ьэ ,ММ 'х ) • Нападемо одну з них.

Теорема 4 /В.І/. Для довільних se í?, ЗІ^Г опе,-ратор tCs,p,q є нетеровкм; його ядро та коядро не залежать від індексів S , p , q .

Ha закінчення автор висловлює тиру подяку В.А.Ыюсайлецю за постановку задачі і керівництво робото».

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Мурач А Л. Нелокальные эллиптические задачи в обобщенных функциях // Докл. АН Украины. - 1991. - № 12. - С. 8-Й.

2. Мурач А.А. О нелокальных эллиптических граничных задачах в шкалах функциональных пространств // Науково-технічна конференція Иам"яті академіка М J7 .Кравчука" /fio ІОО-річчя э дня народження/, Київ, 12-15 трав. 1992 р. - Київ, 1992. - C. 33.

3. Михайлець В.A., Мурач А .А. Смешанные эллиптические граничные задачи в полных шкалах пространств типа Никольского-Бесова // Тези Першої українсько-американської школи "Диференціальні рівняння та їх застосування"; Україна, Крим, Судак,

1-Ю черв. 1993 р. Ч. І. - Київ, 1993. - Є. ЗО.

4. Мурач АЛ. Нелокальше эллиптические граничные задачи для систем типа Дуглнса-Ниренберга // Дифференц. уравнения. -1994. -ЗІ, *12. ~С.2120-2122.

5. Мурач АЛ. Эллиптические краевые задачи в полных шкалах пространств типа Лнзоркина-їрибеля // Докл. АН Украины. -1994. - JP 12. - С. 36-39,

6. Мурач АЛ. Эллиптические крйбвме задачи а полных икала х пространств типа Никольского // їкр. мат. журн. * 1994. -46, J?12. - С. 1647-1654.

■ 7. ИогвсЬ Л.Л. А ooolofcel IwtjRiíaty valtre ргоЫев in the

acales of tronach fnoctіonal epese». •* Internatibnal Cofiferehoe ob УипеіІоОвІ ШІІегеоІівї Ecjoatípnsi and ipplloétions} Moööon,

Ru agía, iogusí, í4-?T» Abüireatn* - Meaco», 1994. -

f. бі-бг.

Мурач A.A. Эллиптические операторы в полных шкалах функциональных пространств, рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ.- Национальная - Академия Наук УкраиныИнститут математики, Киев, 1995 г. '

Диссертация посвящена некоторым вопросам математического . анализа, связанным с современной теорией дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрены эллиптические задачи с локальными и нелокальными краевыми условиями. Доказаны теоремы о нетеровости операторов, отвечающих этим задачам в полных шкалах функциональных пространств типа Лизорки- . на-Трибеля и Никольского-Бесова. Эти теоремы содержат как _частаийс.ц'^гй-кзггацщй- ро^удьтаты<-£««Д-Дч<1яея7‘ 5?: Мгд^спсса', т Я.Л.РоЯТбсрга, Х.Триболя для краевых аадач т: результаты Я.А.РоЙтберга, З.Г.Шефтеля для нелокальных граничных задач.

Кроме того, исследована локальная регулярность обобщенных решений краевых задач в окрестности точек их эллиптичности.

Kurach fl.ft. Elliptic operators in coaplete scales of function spases. Manuscript. Thesis for a degree of candidate of . Science (Ph.D.) in Physics and Matheaatics, speciality . 01.01.01- Hatheaatical finalisis.-Rational flcadeay of Science

of Ukraine, Satheaatical Institute, Kyiv, 1395.

The thesis is devoted to certain questions connected eith the aorden theory of partial differential equations. Elliptic problees eith local and nonlocal boundary value conditions are consedered. He prove the theoreas on Fredhola propetry of the operators, corresponding to these probieas in the coaplete scales of the lizorkln-Triebel and the Kikolsky-Besov types.

AS a particular case, these theoreas containe the known results oL3.-L.LionS,-E.HageneSi Ya.ft.Roitberer8.Triebel for boundary value probieas and the results of Ta.ft.Roltberg, Z.S.Sheftel for nonlokal boundary value probieas. In additions, ие investigate the local regularity of generalized solutions of boundary value probieas in a neighbourhood of the points, in uhich the problea is elliptic.

•Клвчові слова: Еліптична крайова задача; локальні та нелокальні крайові умови; якали фцнкціопальних прос- .

торів; простори Лізоркіна-Трібеля і Нікольського-Бесова; локальна регулярність узагальнених розв’язків, (¿'.'if

................4v-‘jfLМ • •