Эллиптические уравнения для мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Шапошников, Станислав Валерьевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 519.2
ии3461787
Шапошников Станислав Валерьевич
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МЕР
01.01.01 — математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 У г\ -
0 ..
' с 0/■, Москва, 2009 ^
003461787
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального
анализа механико-математического факультета
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор физико-математических наук, профессор В.И. Богачев.
доктор физико-математических наук, профессор В.А. Кондратьев, МГУ имени М.В. Ломоносова, доктор физико-математических наук A.B. Колесников, МГУПеч
Математический институт РАН им. В.А. Стеклова
Защита диссертации состоится "27 февраля" 2009 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001,85 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан "23 января" 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор
И.Н. Сергеев
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Хорошо известно, что инвариантная вероятностная мера ц диффузионного процесса с генератором
л <1
«,7=1 1=1
при широких условиях на коэффициенты а4 и Ьг удовлетворяет стационарному уравнению А.Н. Колмогорова
1/ц = 0, (1)
которое понимается в смысле интегрального тождества
[ Ьис1/х — 0 для всех и € С£°(К'г). (2)
Здесь функции Ь' являются компонентами борелевского векторного поля Ь = (6'), аи - борелевские функции. Далее предполагается, что матрица А(х) = (а1-* симметрична и положительна. Впервые это урав-
нение для инвариантных мер появилось в работе А.Н. Колмогорова1, который рассматривал диффузионные процессы в компактном многообразии (современное изложение см. в книге2). В компактном случае всегда существует инвариантная вероятностная мера. В случае всего пространства требуются дополнительные условия. Просто формулируемые достаточные условия весьма общего вида были предложены Р.З. Хасьминским3. В теории эллиптических уравнений решения уравнения (1) для функций (т.е. фактически для плотностей мер /л) изучались
'Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи мат. наук, 1938, т. V, с. 5-41.
2Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионное процессы. Мир, М., 1986.
3Хасъминский Р.З. Эргодические свойства рекуррентных диффузионных процессов и стабили-
зация решения задачи Коти для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примев., 1960, т. 5, с. 179-196.
под названием „сопряженных решений", см. работы4'5. Такие решения существенно отличаются по своим свойствам от решений обычных дивергентных или недивергентных эллиптических уравнений. Например, даже в одномерном случае с гельдеровыми коэффициентами решение может быть лишь гельдеровым и не иметь первой производной. В последние 15 лет уравнения L*/i = 0 активно исследовались В.И. Богачевым, Н.В. Крыловым, М. Рёкнером, В. Штаннатом, G. Metafune, D. Pallara, A. Rhandi (см. работы6,7,8'9'10,11,12'13,14,15).
Уравнение (1) позволяет исследовать диффузионные процессы с сингулярными коэффициентами. Как было установлено В. Штаннатом13,14, изучение этого уравнения без каких-либо предположений о существовании диффузионного процесса с производящим оператором L оказывается полезным для построения такого процесса. Таким образом, вероятностные решения уравнения L*/z = 0 являются исходным пунктом построения и исследования диффузионного процесса, особенно в случаях сингулярных коэффициентов. Кроме того, такие уравнения появляются при
'Sjogren P. On the adjoint of an elliptic linear differential operator and its potential theory. Ark. Mat., 1973, v. 11, p. 163-165.
6Escauriaza E., Kenig C.E. Area integral estimates ¡or solutions and normalized adjoint solutions to nondivergence form elliptic equations. Ark. Mat., 1993, v. 31, p. 275-296.
'Bogachev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, p. 168-223.
7Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant diffusion part. J. Funct. Anal., 1996, v. 138, p. 223-242.
8Богачев В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хасъминского об инвариантных мерах. Теория вероятн. и ее примен., 2000, т. 45, п 3, с. 363-378.
9Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner М. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26, n 11-12, p. 2037-2080.
I0Bogachev V.I., Rockner M. Elliptic equations for measures on infinite-dimensional spaces and applications. Prohab. Theory Relat. Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445-496.
11Богачев В.И., Рекнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантны! мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3-36.
12Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner М. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Pures Appl., 2006, v. 85, n 6, 743-757.
13Stannat W. (Nonsymmetric) Dirichlet operators on L1: existence, uniqueness and associated Markov processes. Annaii Scuola Normale Super, di Pisa CI. Sd. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99-140.
HStannat W. Time-dependent diffusion operators on L1. J. Evol. Equat., 2004, v. 4, p. 463-495.
15Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223, p. 396-424.
исследовании бесконечномерных диффузий как уравнения на конечномерные проекции инвариантных мер (см.6,10). При этом коэффициент Ь оказывается очень сингулярным, и единственное, что можно утверждать о нем - интегрируемость относительно решения. Сингулярность коэффициентов делает неприменимыми классические результаты из теории эллиптических уравнений в частных производных.
Достаточные условия существования решения уравнения L*/¿ = 0 получены в работах Р.З. Хасьминского, В.И. Богачева и М. Рёкнера (см.3'8). При построении решения существенную роль играет априорная оценка Ж1,'-нормы решения эллиптического уравнения второго порядка на внутренней области fi' С О через правую часть уравнения и ¿:-норму решения на большей области fi. Такая оценка доказывается в первой главе диссертации.
Единственность решения исследовалась В.И. Богачевым, М. Рёкне-ром, В. Штаннатом11. Ими были получены достаточные условия единственности, изучена взаимосвязь единственности решения уравнения и единственности инвариантной меры у соответствующей полугруппы, построен пример уравнения с единичной матрицей А и гладким коэффициентом Ь, которое имеет по крайней мере два вероятностных решения. Однако оставалось неясным, при каких условиях появляется неединственность в случае гладких коэффициентов и какова может быть размерность симплекса вероятностных решений. Отметим также, что единственность и неединственность решений задач, связанных с эллиптическими уравнениями, исследовались O.A. Ладыженской16, Н.С. Надира-швили17, М.В. Сафоновым18, В.В. Жиковым19,20.
Важные результаты о регулярности решения получены В.И. Бо-
16Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973.
17Nadirashvili N. S.Nonuniqueness in the martingale problem and Dirichlet problem for uniformly elliptic operators. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4), 1997, v. 24, p. 537-550.
18SafonoV M. Nonuniqueness for second order elliptic equations with measurable coefficients. SIAM J. Math. Anal., 1999, v. 30, p. 879-895.
18Жиков B.B. Замечания о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами. Функц. анализ и его прил., 2004, т. 38, вып. 3, с. 15-28.
20Жиков В.В. О весовых Соболевских пространствах. Матем. сб., 1998, т. 189, п 8, с. 27-58.
гачевым, М. Рёкнером и Н.В. Крыловым9. В частности, ими было установлено, что если отображения А и А'1 равномерно ограничены, aij е и Ы е ¿f0C(Rd) или V 6 L?0>) для некоторого р > d,
то решение ц задается плотностью д € W^(Rd) относительно меры Лебега. Более того, если 6' £ Цдс(М.а), то непрерывная версия д является строго положительной функцией, что немедленно следует из неравенства Харнака (см.21,22) для слабых решений эллиптических уравнений. В последнем утверждении даже при единичной матрице А нельзя заменить условие b' £ Lploc{Rd) на условие 6* € Lploc{ß) или даже на более сильное условие 6* € LTloc{ß) для всех г > 1. Необходимость иметь условия строгой положительности в терминах интегрируемости сноса b относительно меры fi, а не меры Лебега, появляется при исследовании уравнений вида (1) как уравнений на конечномерные проекции решений слабых эллиптических уравнений для мер в бесконечномерных пространствах (см.6'10).
Глобальные свойства решений исследовались в работах6'7,15,12. В частности, было доказано, что если отображения А и А"1 равномерно ограниченны, отображение А равномерно липшицево и при некотором р> d имеет место включение |6| G то /л = gdx, д € W1,p(Rd) и по-
тому q е L°°(E<i). Более того, если задана положительная функция Ф е W^l(Md) такая, что имеют место включения Ф, |УФ|Р G Lx{ß), то выполняется оценка
е(х) < СФ(х)'1.
Отметим, что при получении этих результатов применялась техника Мо-зера. В работе15 были получены экспоненциальные оценки снизу
д(х) >Ciexp(-C2lx^+1) в предположении, что aij е Cb3(Ed), b' G C2(Md)
|Ь'"(®)| + \д,кЬ'(х)\ + \dXkdTlV{x)\ < C(1 + \xf).
21Moser J. On Ilamack's theo rem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1961, v. 14, p. 577-591.
"TVudinger N. S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1967, v. 20, 721-748.
Кроме того, при таких же требованиях на коэффициенты были получены достаточные условия наличия у меры (л плотности д, для которой 1п д входит в класс IV1'р(¡г). Исследовано также включение 1пр € Естественным является вопрос о том, можно ли отказаться в этих утверждениях от столь высокой гладкости коэффициентов.
Цель работы. Получить достаточные условия неединственности вероятностных решений эллиптических уравнений для мер с единичной матрицей диффузии и гладким сносом. Исследовать размерность симплекса вероятностных решений. Найти достаточные условия для строгой положительности непрерывной версии плотности решения в терминах интегрируемости сноса относительно решения. Получить оценки снизу на плотность решения без предположений о дифференцируемое™ сноса. Исследовать интегрируемость логарифмического градиента решения.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Для плотности в решения уравнения = 0 получена оценка
в(х)>С1ехр(~С2\х\13+1) в предположении, что коэффициент диффузии А равномерно ограничен вместе с Аотображение А равномерно липшицево и функция \Ь(х)\ имеет мажоранту С(1 + |х|'3). В качестве применения найдены эффективные достаточные условия для включения в класс
2. Получены достаточные условия существования двух и более линейно независимых вероятностных решений уравнения !//х = 0 с единичной матрицей диффузии и гладким сносом Ь в предположении, что одно вероятностное решение уже известно. Кроме того, построен пример такого уравнения для мер, симплекс вероятностных решений которого бесконечномерен.
3. Доказано, что если А и Л-1 равномерно ограничены, А равномерно липшицево, то экспоненциальная интегрируемость сноса Ъ1 относительно решения ц уравнения Ъ*(л = 0 влечет существование у меры ¡г непрерывной строго положительной плотности относительно меры Лебега.
Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в том числе метод априорных оценок и итерационная техника Мозера, методы теории меры и функционального анализа.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории эллиптических уравнений, теории случайных процессов, теории меры и функциональном анализе.
Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докл'адывались на семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Богачева и Н.А. Толмачева (2005-2008); на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН Б.С. Кашина (2007), на семинаре „Стохастический анализ" в университете Билефельда (Германия, 2005-2008); на семинаре в Пекинском Нормальном Университете (Китай, 2007); на семинаре в институте Миттаг-Леффлера (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И.Г. Петровского „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, МГУ, 2007), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007) и на международных конференциях „Stochastic Analysis of the Advanced Statistical Models" и „Recent Developments in Statistics and Econometrics" (Япония, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК, и тезисах международной конференции им. И.Г. Петровского „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых включает три параграфа, и списка литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 75 страниц.
Краткое содержание диссертации Глава 1.
Первая глава диссертации посвящена априорным оценкам решений эллиптических уравнений второго порядка и их применению к эллиптическим уравнениям для мер.
1. В первом параграфе изучаются решения и G эллиптиче-
ского уравнения
dXi{aljdXju + b'u) - cldXiu - ди = f - dXiel (3)
на ограниченной области с Rd, причем q > 2. Уравнение (3) понимается в смысле интегрального тождества
J dXiip{aijdXju + Vu + е') + ^(c'd^u + ди + /) dx = О п
для каждой функции ц> £ Сд(П), где ведется суммирование по повторяющимся индексам. Для коэффициентов А = (a1J), Ь, с и д уравнения (3) выполняются следующие условия H(q):
(a) A G C0,i(O), a,J = aJ1 и существуют такая константа а > 0, что А(х) > al для всякого х G ii,
(b) Ъ, с е и 5 G £d/2(f2) при 2 < q < d,
(c) b,c eLs(Cl) а д € Ls^2(Cl) для некоторого s > d при 2 < q = d,
(d) b,cG Lq{О), g £ при q > d.
Наша цель - получить оценку И^^-нормы решения уравнения (3) на внутренней области П'сП через нормы функций е, / и ¿х-норму решения на большей области П. Эта оценка является уточнением результата, который был сформулирован Морри23.
Через jy1,?(fl) обозначим соболевское пространство функций, которые принадлежат ЬЧ(П) вместе с их обобщенными частными производными первого порядка. Это пространство наделяется стандартной нор-
гзМоггеу С.В. Multiple integrals in the calculus of variations. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg -New York, 1966.
МОЙ
ll/lk...(n) 11/11?Д := II/IM) + IlV/lbp,),
гАе II • 1к«(п) = II • Hg обозначает Lq(Q)-норму скалярных или векторных функций. Пусть C°'s{ü) - пространство всех функций (возможно, векторных или матричных) на Í2, являющихся гёльдеровыми порядка 5. Для матричнозначного отображения А на Ü положим
||Л(х)|| = sup|i4(s)p|, M<i
\\А\\си := sup IIЛ (ж) II + sup II А(х) - А(у)\\/\х -
xefi x,y€f¡
Положим 0TiV(r) = sup^ J Ky)|rdy} ' , т > 1, г > 0, и € LT(Ü).
Щх,г)ПП
Через U(x,r) обозначим шар с центром х и радиусом г, а через \U(x,r)\ его объем.
Теорема 1. Предположим, что О С Md - ограниченная область и для коэффициентов A,b,cug уравнения (3) выполняются условия H(q), причем q > 2. Пусть е € L4(ü) ufe LF(Çl), где р = dq/(d + q) при q ф d up > d¡ 2 при q — d. Тогда, если функция и € W1,Q,(fi) является решением уравнения (3) на Cl, то для всякой области П' с замыканием в fî выполняется оценка
1Ми"*(п') < C(ll«IU»(n) + lleIU«(f!) + ll/lli»(n))>
где константа С зависит от Q,Q',d,a,q, |H||Co,ä и от величин Q¿,b, örf,с, ©<¿/2,3 при 2 < q < d, от числа s и норм ||Ь||ь»1 IMU», llffllx,«/1 пРи q — d и норм ||b||¿,, ||g||i*/«+,> при q > d.
2. Во втором параграфе уточняется зависимость константы в неравенстве Харнака21,22 от коэффициентов эллиптического уравнения.
Предположим, что неотрицательная функция u £ W1,2(0) удовлетворяет уравнению dXi(aljдхм-Ь{и) = 0, т.е. для всякой функции ip Е выполняется равенство
i dXiip{aijdXju - Vu) dx = 0.
Jíi
Будем предполагать, что существуют постоянные 7 > 0 и а > 0 такие, что la*^1)!2 < 72 и А(х) > а ■ I для всех х 6 Q. Пусть, кроме
того, отображение b: Q —+M.d измеримо и
sup |Ь(а:)| < В < оо.
x€fi
При указанных условиях функция и имеет локально гельдерову версию, в частности, эта версия локально ограничена на Q.
Теорема 2. Предположим, что в = 1 + 4S, где 0 < ö < 3. Если U(y,9R) с Ü, то выполнено следующее неравенство для непрерывной версии функции и:
sup и(х) < С inf и(х), (4)
хе U(y,R) x£U(y,R)
где
С = ехр{с(с£)<5-1 (7а-1 + Ba^R)},
причем число c(d) зависит лишь от d.
3. С использованием неравенства Харнака здесь выведены нижние оценки для плотности ß решения эллиптического уравнения для мер. С помощью этих оценок получены достаточные условия для включения \Vq/q\ 6 LP{p) для всех р > 1. Рассмотрим уравнение
L> = 0, (5)
где L = dXi(a'^dXj) + Ь1дхо А = (a'^)ij<d ~ борелевское отображение со значениями в пространстве положительных симметричных матриц, a<J е b = (&*') - борелевское
векторное поле. По определению, локально конечная борелевская мера ц на M.d является решением уравнения (5), если функции a'J, дх<a,J и Ъ% интегрируемы на каждом компактном множестве относительно меры р и выполняется равенство
/ [avdXidXj<p + dXia'jdXj<p + b>dx.<p] dfi^Q
J
для всякого <р 6 Cg°(Rd).
Если aij S W^(Rd), то уравнение (1) с оператором L = atjdxidx +Ьгдх. сводится к уравнению (5) с оператором L = dXi(aijdXj) + b'dXi заменой коэффициента Ы на V + dXialj.
Пусть неотрицательная локально конечная борелевская мера ц удовлетворяет уравнению (5), причем, функции ¡|Л(з?)|| и ЦА(х)~1Ц локально ограничены, a'J е Для некоторого р > d, коэффициент b ~ (6®) - локально ограниченное векторное поле.
Согласно доказанному в работе9, при указанных условиях на коэффициенты А и b мера ц задается плотностью g G W^(M.d) относительно меры Лебега. В частности, функция g обладает непрерывной версией. Поэтому уравнение (5) в точности означает, что плотность g является слабым решением в классическом смысле уравнения
dXi{aijdXjg - Vg) = 0.
Пусть W - непрерывная положительная возрастающая функция на полуоси [0, оо).
Следующий результат дает нижнюю оценку решений. Теорема 3. Пусть |Ь(а;)| < W{\х\/в), где в > 1, и пусть
a{r) = sup ||A(s)-1||, 7(0 = sup ||Л(х)||.
|x|<r |i|<r
Тогда существует такое положительное число К = K{d), зависящее только от d, что непрерывная версия функции g удовлетворяет неравенству
Q(x) > В(0) exp{-K(d)(0 - l)-1«^!®!)-1 (7(0|*|) + ПМ) W) }•
В частности, если ||Л(ж)|| <7 и ||А(а;)_1|| < а, то существует такое положительное число К = K(d,a,^,6), что непрерывная версия функции в удовлетворяет неравенству
e(®)>e(o)exp{-iif(i + nW)W)}-
С помощью полученных оценок можно указать эффективно проверяемые условия принадлежности к LP(n) логарифмического градиента
Vд/д меры ¡1. В случае р — 2 простые достаточные условия получены в работе6. Первый общий результат для р > 2 недавно установлен в работе15. Найденное ниже условие усиливает этот результат, поскольку мы не требуем дифференцируемости коэффициента сноса и используем меньшую регулярность коэффициента диффузии (в работе15 предполаг гается, что ау 6 и Ь е С2(Ш.(1)). Пусть Ц'(ц) - пространство всех
измеримых функций, которые интегрируемы в степени р относительно меры II с непрерывной положительной плотностью на К^. Обозначим через И^'1^) соболевское пространство функций, которые принадлежат пространству вместе с их обобщенными частными производными первого порядка.
В следующей теореме мы предполагаем, что ц - вероятностная мера на удовлетворяющая уравнению (5).
Теорема 4. Пусть а* е С0^) П И^'1^), а • I < А < А ■ /, где ро > <1 и а, А, 5 > 0, причем Итэирд. ||91.а,-'||^л(£/(Х)Г.)) = 0 (последнее условие выполнено, если А липшицево). Пусть также положительная функция Ф е И^Е1) возрастает на [0, +оо), Ф(А^ + 1) < СФ(Л^)1+£ при некоторых С, е > 0 и функции Ф(\х\) и Ф'(|х|)Р1 с некоторым > с2 интегрируемы по мере ц на Предположим, что даны числа Со > О, в > 1, р > 1 и 7 6 [0,1 ¡¿), для которых
|ь(х)| < О,ф(И - в)\ < с0Ф(М),
оо
Л^Ф^)-9 < оо, где Ч := 1 - 7(р + ей) > 0.
Л'=1
Тогда р имеет плотность д, для которой € И^'1^).
Глава 2.
Вторая глава посвящена вопросам единственности и неединственности решений эллиптического уравнения
Ь*ц = 0 (6)
с оператором Ь вида Ъи(х) — Аи(х) + (Ь(х), Уи(э;)), где Ь = (&*) - боре-левское векторное поле на К"*, причем Ьг € С00(К'г). Так же, как и выше,
уравнение понимается в смысле интегрального тождества
[ И,и = 0 для всякой функции и € (М.^). и"
1. В первом параграфе дается краткий обзор ранее полученных в этом направлении результатов и приводятся некоторые результаты о гладкости решений, полученные в работе9.
2. Во втором параграфе приводятся достаточные условия существования двух и более линейно независимых вероятностных решений уравнения (6) в предположении, что одно вероятностное решение уже известно. Пусть уравнение (6) имеет вероятностное решенце/х = дйх. Тогда д € С°°(Е<г) и для всякого шара и а Ш."1 существует такая константа С (V) > 0, что д(х) > С (и) для всякого х е С/. Более того, существует такое векторное поле а € С°°(К<г), что сПу а = 0 и коэффициент Ь представляется в следующем виде:
Будем искать еще одно решение уравнения (6) в виде и = уц. Заметим, что мера и = ьц удовлетворяет уравнению (6) тогда и только тогда, когда функция V удовлетворяет уравнению
Определим на Со°(К<г) билинейную кососимметрическую форму
Обозначим через пространство всех ограниченных непрерыв-
ных функций на Г2, имеющих ограниченные и непрерывные производные первого и второго порядков.
Следующая теорема дает достаточные условия для существования отличного от константы ограниченного положительного решения уравнения (8).
СцЬ := сПу — ау) = 0.
(8)
Теорема 2. Предположим, что существует функция <-р & такая, что (а,У(р) е £1(М<'),
Тогда существует ограниченное положительное решение уравнения(8), отличное от константы.
Для того, чтобы привести пример уравнения (6), имеющего по крайней мере два различных вероятностных решения, достаточно указать векторное поле а и функцию <£>, удовлетворяющие условиям теоремы 2. При этом для получения коэффициента Ь надо задать плотность д одного из решений и применить формулу (7).
3. Третий параграф посвящен линейной зависимости решений. Зафиксируем а и для различных функций <р\ и <р2, удовлетворяющих условиям теоремы 2, построим согласно этой теореме решения и ь2. Теорема 2 гарантирует, что 1, и 1, - пары линейно независимых функции. При каком условии на щ и можно утверждать, что функции 1, У\ и г^ линейно независимы? Следующая теорема, в частности, отвечает и на этот вопрос.
Теорема 3. Пусть п > 1. Предположим, что существуют такие функции </?ь • ■ <Рп+1 класса С^(Ш.а), что для каждой из них выполнены условия теоремы 2, и У2, ■ ■■, уп+1 - решения уравнения (8), построенные при помощи этих функций согласно теореме 2. Предположим также, что функции 1, VI, ..., уп линейно независимы и для всех а = (ак)1<к<п имеет место неравенство
Тогда функции 1, ..., г/„ и уп+1 линейно независимы.
С помощью этой теоремы строятся примеры, в которых симплекс вероятностных решений бесконечномерен. Однако остается открытым вопрос о существовании уравнений с конечномерным симплексом вероятностных решений размерности более 1.
[<р, 1] = 0 и [у, ф\ < 0.
П
п
Глава 3.
В третьей главе получено достаточное условие строгой положительности плотности решения эллиптического уравнения = 0 с оператором
I,и = дх. [а^дхм) + Ь1дхЛ1.
Здесь уравнение = 0 понимается в том же смысле, что и уравнение (5) в главе 2.
Предположим, что матрица А{х) = удовлетворяет сле-
дующим условиям:
(С1) при некотором р> й функции а^ входят в класс И^'^Е1*),
(С2) существуют такие постоянные т,М> 0, что для всех х е Ей имеем т1 < А{х) < М1, где / - единичная матрица.
Известно9, что если выполнены условия (С1), (С2) и 6* е то мера ¡1 имеет вид ц — д 6.x, где д € И/Г/',<Г(К<'). В частности, плотность д имеет непрерывную версию. Известно также (см.9, следствие 2.10), что при выполнении условий (С1), (С2) и включении б1 € с некоторым р > й непрерывная версия плотности д строго положительна. В последнем утверждении условие интегрируемости Ь1 в степени р > й относительно меры Лебега нельзя заменить на интегрируемость Ьг в какой-либо степени относительно меры р.. Оказывается, интегрируемость Ь в степени р > й относительно меры Лебега можно заменить условием
(СЗ) ехр(<5]6|) € где 6 - некоторое положительное число.
В этом и состоит основной результат третьей главы.
1. В первом параграфе этой главы доказываются вспомогательные априорные оценки.
2. Второй параграф посвящен доказательству основной теоремы. Здесь доказывается, что для каждого шара и с К1* существует такая постоянная С > 0, что д(х) > С для почти всех х 6 II, Идея состоит в том, чтобы с помощью полученной выше априорной оценки установить локальную интегрируемость 11п д\а при некотором а > 0, а затем применить итерационную технику Мозера аналогично тому, как это делается
при доказательстве неравенства Харнака для решений эллиптических уравнений (см.21,22). Пусть и(хо,Л) - шар радиуса Я с центром в хо.
Теорема 1. Пусть ¡х = дйх - решение уравнения (5), где коэффициенты а4,Ьг удовлетворяют условиям (С1), (С2) и (СЗ). Пусть также
^55ирхеи(хо Щв{х) > 0.
Тогда 11п д\ е Ь°°(и(х0, Я)).
Следствие 1. Пусть ц = дйх - решение уравнения (5), где коэффициенты а%:>,Ь1 удовлетворяют условиям (С1), (С2) и (СЗ). Пусть esssup3.gR.ji> > 0. Тогда существует строго положительная непрерывная версия плотности д.
В случае й = 1, А = I, Ъ = д'/д и ц = дйх задача о существовании непрерывной строго положительной версии д изучалась в работах24'25.
3. В заключительном параграфе третьей главы приводятся примеры применения теоремы 1 и следствия 1 к исследованию уравнений для мер в бесконечномерных пространствах. Полученные результаты позволяют устанавливать наличие строго положительных непрерывных плотностей конечномерных проекций стационарных распределений и переходных вероятностей бесконечномерных диффузий. Отметим, что аналогичная задача для проекций инвариантных мер стохастических уравнений изучалась в работах26'27.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.И. Богачеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.
24 Scheu tzow M., Weizsäcker H. von. Which moments of a logarithmic derivative imply quasiinvariance? Doc. Math., 1998, v. 3, p. 261-272.
a5Nualart E. Exponential divergence estimates and heat kernal tail. C. R. Acad. Sei. Paris, 2004, ser. 1, v. 338, p. 77-80.
26Agrachev A., Kuksin S., Sarychev A., Shirikyan A. On finite-dimensional projections of distributions for solutions of randomly forced PDE's. Ann. Inst. H. Poincarö, 2007, v. 43, p. 399-415.
27Shirikyan A. Qualitative properties of stationary measures of three-dimensional Navier-Stokes equations. J. Funct. Anal., 2007, v. 249, p. 284-306.
Работы автора по теме диссертации
[1] Шапошников C.B. Положительность инвариантных мер диффузионных процессов. Докл. РАН, 2007, т. 415, п 2, с. 174-179.
[2] Шапошников C.B. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2008, т. 420, п 3, с. 320— 323.
[3] Shaposhnikov S.V. On nonuniqueness of solutions to elliptic equations for probability measures. J. Funct. Anal., 2008, v. 254, p. 2690-2705.
[4] Шапошников C.B. О внутренних оценках соболевских норм решений эллиптических уравнений. Матем. заметки, 2008, т. 83, п 2, с. 316— 320.
[5] Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 52, п 2, с. 1-29. (C.B. Шапошникову принадлежат следствия 2.1, 3.1, 3.2, теоремы 2.1, 2.2, 2.5, 3.1, 3.2; В.И. Богачеву принадлежат общая постановка задач и следствие 2.1, пример 3.1, пример 3.2, предложение 3.1; М. Рёкнеру принадлежат теорема 3.3, следствие 3.3, следствие 3.4, пример 3.3, пример 3.4).
[6] Шапошников C.B. Оценки плотностей решений параболических уравнений для борелевских мер. Сборник тезисов международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского, Москва, МГУ, 2007, с. 287-288.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова
Подписано в печать 20,0 {.09 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. {.!25 Тираж О экз. Заказ О?
Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механи ко- математи ческого факультета
Введение.
Глава 1. Априорные оценки
1.1. Оценка соболевской нормы решения эллиптического уравнения.
1.2. Неравенство Харнака.
1.3. Нижние оценки плотностей решений эллиптических уравнений для мер
Глава 2. Единственность решений
2.1. Определения и примеры
2.2. Достаточные условия неединственности.
2.3. Достаточные условия линейной независимости
Глава 3. Строгая положительность решений
3.1. Определения и вспомогательные оценки
3.2. Положительность плотности решения.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Хорошо известно, что инвариантная вероятностная мера ¡л диффузионного процесса с генератором й й Ь := ]Г а^{х)дХ1дХ] + г=1 при широких условиях на коэффициенты аЛ7 и Ьг удовлетворяет стационарному уравнению А.Н. Колмогорова
Ь> - 0, (1) которое понимается в смысле интегрального тождества Ьиф = 0 для всех и е (2)
Здесь (функции Ьг являются компонентами борелевского векторного поля Ь = (Ьг), - борелевские (функции. Далее предполагается, что матрица А(х) = (агз {х))г^<(1 симметрична и положительна. Впервые это уравнение для инвариантных мер появилось в работе А.Н. Колмогорова1, который рассматривал диффузионные процессы в компактном многообразии (современное изложение см. в книге?). В компактном случае всегда существует инвариантная вероятностная мера. В случае всего пространства К4* требуются дополнительные условия. Просто формулируемые достаточные условия весьма общего вида были предложены Р.З. Хасьминским3. В теории эллиптических уравнений решения уравнения (1) для функций (т.е. фактически для плотностей мер ¡л) изучались
Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Уел ох и мат. наук, 1938, т. V, с. 5-41.
2Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 198С.
Хасьминсжий Р.З. Эргодичег.кие свойства рекуррентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Каши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее иримен., 1960, т. 5, с. 179-196. под названием „сопряженных решений", см. работы4'5. Такие решения существенно отличаются по своим свойствам от решений обычных дивергентных или недивергентных эллиптических уравнений. Например, даже в одномерном случае с гельдеровыми коэффициентами решение может быть лишь гельдеровым и не иметь первой производной. В последние 15 лет уравнения = 0 активно исследовались В.И. Богачевым, Н.В. Крыловым, М. Рёкнером, В. Штаннатом, G. Metafune, D. Pallara, A. Rhandi (см. работы6'7'8'9'10'11'12'13'14'15).
Уравнение (1) позволяет исследовать диффузионные процессы с сингулярными коэффициентами. Как было установлено В. Штаннатом13'14, изучение этого уравнения без каких-либо предположений о существовании диффузионного процесса с производящим оператором L оказывается полезным для построения такого процесса. Таким образом, вероятностные решения уравнения L*/j, — 0 являются исходным пунктом построения и исследования диффузионного процесса, особенно в случаях сингулярных коэффициентов. Кроме того, такие уравнения появляются при
4Sjogren P. On the adjoint of an elliptic linear differential operator and its potential theory. Ark. Mat,. 1973, v. 11, p. 153-165. sEscauriaza E., Kenig C.E. Area integral estimates for solutions and normalized adjoint solutions to nondivergence form elliptic equations. Ark. Mat,., 1993, v. 31, p. 275-29G. fiBogachev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. ,T. Funct. Anal., 1995, v. 133, p. 108-223.
7Bogachev V.I., Krylov N.V., Rookner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant, diffusion part. J. Funcf,. Anal., 199G, v. 138, p. 223-242.
8Богачев В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хасьминского об инвариантных мерах. Теория верпятн. и ее примен., 2000, т. 45, п 3, с. 363-378.
Bogar.hev V.I., Krylov N.V., Rockner М. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26, n 11-12, p. 2037-2080.
10Bogachev V.I., Rookner M. Elliptic equations for measures on infinite-dimensional spaces and applications. Probab. Theory Relat. Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445-49G. иБогачев В.И., Рекнер М., Штаннат В. Единственность решении эллиптических уравнений и единственность инвариаптнжг, мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3-36.
12Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner М. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Pares Appl., 200G, v. 85, n 6, 743-757. lriStannat W. (Novsymmetric) Dirir.hlet. operators on L1: existence, uniqueness and associated Markov processes. Annali Scuola Normale Super, di Pisa CI. Sci. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99-140.
14St,annat W. Time-dependent diffusion operators on L1. J. Evol. Equat., 2004, v. 4, p. 463-495.
1RMet,afune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant, measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223, p. 396-424. исследовании бесконечномерных диффузий как уравнения на конечномерные проекции инвариантных мер (см.6'10). При этом коэффициент b оказывается очень сингулярным, и единственное, что можно утверждать о нем - интегрируемость относительно решения. Сингулярность коэффициентов делает неприменимыми классические результаты из теории эллиптических уравнений в частных производных.
Достаточные условия существования решения уравнения TL*fi — 0 получены в работах Р.З. Хасьминского, В.И. Богачева и М. Рёкнера (см.3'8). При построении решения существенную роль играет априорная оценка W^-HopMM решения эллиптического уравнения второго порядка на внутренней области Qf С П через правую часть уравнения и Ь^норму решения на большей области Г2. Такая оценка доказывается в первой главе диссертации.
Единственность решения исследовалась В.И. Богачевым, М. Рёкне-ром, В. Штаннатом11. Ими были получены достаточные условия единственности, изучена взаимосвязь единственности решения уравнения и единственности инвариантной меры у соответствующей полугруппы, построен пример уравнения с единичной матрицей А и гладким коэффициентом Ь, которое имеет по крайней мере два вероятностных решения. Однако оставалось неясным, при каких условиях появляется неединственность в случае гладких коэффициентов и какова может быть размерность симплекса вероятностных решений. Отметим также, что единственность и неединственность решений задач, связанных с эллиптическими уравнениями, исследовались О.А. Ладыженской16, Н.С. Надира-швили17, М.В. Сафоновым18, В.В. Жиковым19-20.
Важные результаты о регулярности решения получены В.И. БоlfiЛадыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973.
17Nadirashvili N. S.Nonuniqueness in the martingale problem and Dirichlet prablem for uviformly ellipt.ic operators. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Soi. (-1), 1997, v. 24, p. 537-550.
ISSafonov M. Nonvniqueness for second order elliptic équations witli measvrable coefficients. SIAM Л.
Math. Anal., 1999, v. 30, p. 879-895.
1ЧЖиков B.B. Замечания о единственности решения .¡адачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка г. младшими членами. Функц. анализ и его прял., 2004, т. 38, вып. 3, с. 15-28.
2ПЖиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Матем. сб., 1998, т. 189, п 8, с. 27-58. гачевым, М. Рёкнером и Н.В. Крыловым9. В частности, ими было установлено, что если отображения А и А~1 равномерно ограничены, aij G W^(Rd) и Ьг в Цос{Rd) или Ьг G Цос{ц.) для некоторого р > d, то решение ¡1 задастся плотностью д G относительно меры Лебега. Более того, если Ьг G L^0C(M.d), то непрерывная версия д является строго положительной функцией, что немедленно следует из неравенства Харнака (см.21'22) для слабых решений эллиптических уравнений. В последнем утверждении даже при единичной матрице А нельзя заменить условие Ьг G L^oc(Md) на условие Ьг G или даже на более сильное условие Ьг G Lrloc(fi) для всех г > 1. Необходимость иметь условия строгой положительности в терминах интегрируемости сноса b относительно меры /i, а не меры Лебега, появляется при исследовании уравнений вида (1) как уравнений на конечномерные проекции решений слабых эллиптических уравнений для мер в бесконечномерных пространствах (см.6'10).
Глобальные свойства решений исследовались в работах6'7'15'12. В частности, было доказано, что если отображения А и A~L равномерно ограниченны, отображение А равномерно липшицево и при некотором р > d имеет место включение |6| G ¿^(/х), то \i = gdx, д G И/1'Р(Ж^) и потому д G L°°(M.d). Более того, если задана положительная функция Ф G Wfo^R^) такая, что имеют место включения Ф, |\7Ф|Р G Ь1{ц), то выполняется оценка д(х) < СФ(х)~1.
Отметим, что при получении этих результатов применялась техника Мо-зера. В работе10 были получены экспоненциальные оценки снизу д{х) > С^{-С2\х\^1) в предположении, что aij G Cf(Rd), Ь* G C2(Rd) \dXkb\x)| + \dXkdXlb\x)\ < C(1 + |xf).
21Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 19G1, v. 14, p. 577-591.
22Trudinger N. S. On Harnar.k type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Mat.h., 1967, v. 20, 721-748.
Кроме того, при таких же требованиях на коэффициенты были получены достаточные условия наличия у меры ц плотности д. для которой 1п д входит в класс ]¥1,р(/х). Исследовано также включение е Естественным является вопрос о том, можно ли отказаться в этих утверждениях от столь высокой гладкости коэффициентов.
Цель работы. Получить достаточные условия неединственности вероятностных решений эллиптических уравнений для мер с единичной матрицей диффузии и гладким сносом. Исследовать размерность симплекса вероятностных решений. Найти достаточные условия для строгой положительности непрерывной версии плотности решения в терминах интегрируемости сноса относительно решения. Получить оценки снизу на плотность решения без предположений о дифференцируемости сноса. Исследовать интегрируемость логарифмического градиента решения.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Для плотности д решения уравнения Ь*//, = 0 получена оценка в предположении, что коэффициент диффузии А равномерно ограничен вместе с А-1, отображение А равномерно липшицево и функция |6(ж)| имеет мажоранту С(1 + В качестве применения найдены эффективные достаточные условия для включения ¡Х7^/^! в класс
2. Получены достаточные условия существования двух и более линейно независимых вероятностных решений уравнения — 0 с единичной матрицей диффузии и гладким сносом 6 в предположении, что одно вероятностное решение уже известно. Кроме того, построен пример такого уравнения для мер, симплекс вероятностных решений которого бесконечномерен.
3. Доказано, что если А и А~1 равномерно ограничены, А равномерно липшицево, то экспоненциальная интегрируемость сноса Ьг относительно решения ¡л уравнения = 0 влечет существование у меры ц непрерывной строго положительной плотности относительно меры Лебега.
Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в том число метод априорных оценок и итерационная техника Мозера, методы теории меры и функционального анализа.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории эллиптических уравнений, теории случайных процессов, теории меры и функциональном анализе.
Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Богачева и H.A. Толмачева (2005-2008); на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина (2007), на семинаре „Стохастический анализ" в университете Билофельда (Германия, 2005-2008); на семинаре в Пекинском Нормальном Университете (Китай, 2007); на семинаре в институте Миттаг-Леффлера (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И.Г. Петровского „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, МГУ. 2007), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007) и на международных конференциях „Stochastic Analysis of the Advanced Statistical Models" и „Recent Developments in Statistics and Econometrics" (Япония, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК, и тезисах международной конференции им. И.Г. Петровского „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", список которых приведен в конце работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых включает три параграфа, и списка литературы из 48 наименований. Общий объем диссертации составляет 75 страниц.
1. Богачев В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хаеьминокого об инвариантных мерах. Теория вероятн. и ее примен., 2000, т. 45, п 3, с. 363-378.
2. Богачев В.И., Рёкнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3-36.
3. Богачев В.И., Крылов Н.В., Рёкнер М. Регулярность и глобальные оценки плотностей инвариантных мер диффузионных процессов. Докл. РАН. 2005, т. 405, и 5, с. 583-587.
4. Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., т. 52, н 2, с. 1-29.
5. Богачев В. И., Рёкнер М., Шапошников С. В. Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 2008, т. 53, в. 2, с. 213-239.
6. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.
7. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, М., 1989.
8. Жиков В.В. Замечания о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами Функц. анализ и его прил., 2004, т. 38, п 3, с. 15-28.
9. Жиков B.B. О весовых соболевских пространствах Матем. сб., 1998, т. 189, ri 8, с. 27-58.
10. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 1938, вып. V, с. 5-41.
11. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука. М., 1973.
12. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985.
13. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд. ЛГУ, Л., 1950.
14. Хасьминский Р.З. Эргодические свойства рекурентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, с. 179-196.
15. Шапошников C.B. О внутренних оценках соболевских норм решений эллиптических уравнений. Матем. заметки, 2008, т. 83, и 2, с. 316-320.
16. Шапошников C.B. Положительность инвариантных мер диффузионных процессов. Докл. РАН, 2007, т. 415, п 2. с. 174-179.
17. Шапошников C.B. Оценки плотностей решений параболических уравнений для борелевских мер. Сборник тезисов международной конференции „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского, Москва, МГУ, 2007, с. 287288.
18. Шапошников C.B. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2008, т. 420, п 3, с. 320-323.
19. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск, 2003.
20. Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.
21. Agrachev A., Kuksin S., Sarychev A., Shirikyan A. On finite-dimensional projections of distributions for solutions of randomly forced PDE's. Arm. Inst. H. Poincare, 2007, v. 43, p. 399-415.
22. Bogaehev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, n 1, p. 168-223.
23. Bogaehev V.I., Rockner M. Elliptic equations for measures on infinite-dimensional spaces and applications. Probab. Theory Relat. Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445-496.
24. Bogaehev V.I., Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, ii 1, p. 168-223.
25. Bogaehev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant diffusion part. J. Funct. Anal., 1996, v. 138, n 1, p. 223-242.
26. Bogaehev V.I., Krylov N.V., Rockner M. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26, n 11-12, p. 20372080.
27. Bogaehev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Pures Appl., 2006, v. 85, n 6, p. 743-757.
28. Byun S.-S. Elliptic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains. Trans. Arner. Math. Soc., 2005, v. 357, n 3, p. 1025-1046.
29. De Giogi E. Sulla differenziabilita e l'analiticita delle estremali dgli integrali inultipli regolari. Mem. Ace. Sci. Torino, 1957, v. 3, p. 1-19.
30. Eberle A. Uniqueness and non-uniqueness of singular diffusion operators. Lecture Notes in Math. V. 1718. Springer, Berlin, 1999.
31. Escauriaza E., Kenig C.E. Area integral estimates for solutions and normalized adjoint solutions to nondivergeiice form elliptic equations. Ark. Mat., 1993, v. 31, p. 275-296.
32. Krylov N.V. Parabolic and elliptic equations with VMO coefficients. Comm. Partial Diff. Eq., 2007, v. 32, N 3, p. 453-475
33. Lunardi A., Vespri V. Holder regularity in variational parabolic nonhoinogeneous equations. J. Diff. Eq. 1991, v. 94, n 1, p. 1-40.
34. Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223, p. 396-424.
35. Morrey C.B. Multiple integrals in the calculus of variations. SpringerVerlag, Berlin Heidelberg - New York, 1966.
36. Moser J. A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1960, v. 13, n 3, p. 457-468.
37. Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1961, v. 14, p. 577-591.
38. Nadirashvili N. S. Nonuniqueness in in the martingale problem and Dirichlet problem for uniformly elliptic operators. Arm. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4), 1997, v. 24, p. 537-550.
39. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. Airier. J. Math., 1958, v. 80, n 4, p. 931-954.
40. Nualart, E. Exponential divergence estimates and heat kernal tail. C. R. Acad. Sci. Paris, ser. I, 2004, t. 338, p. 77-80.
41. Safonov M. Nonuniqueness for second order elliptic equations with measurable coefficients. SIAM J. Math. Anal., 1999, v. 30, p. 879-895.
42. Scheutzow M., Weizsäcker H. von. Which moments of a logarithmic derivative imply quasiinvariance? Doc. Math., 1998, v. 3, p. 261-272.
43. Sjögren P. On the adjoint of an elliptic linear differential operator and its potential theory. Ark. Mat,, 1973, v. 11, p. 153-165.
44. Shaposhnikov S. V. On normniqueness of solutions to elliptic equations for probability measures. J. Funct. Anal., 2008, v. 254, p. 2690-2705.
45. Shirikyan A. Qualitative properties of stationary measures of three-dimensional Navier-Stokes equations. J. Funct, Anal., 2007, v. 249, p. 284-306.
46. Stannat W. (Nonsymmetric) Dirichlet operators on L1: existence, uniqueness and associated Markov processes. Ann. Scuola Norm. Super, di Pisa CI. Sei. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99-140.
47. Stannat W. Time-dependent diffusion operators on L1. J. Evol. Eq., 2004, v. 4, p. 463-495.
48. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Math. 1967, v. 20, p. 721-748.
