Эмпирическая реконструкция динамических систем: построение и оптимизация прогностических моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи.

ЛОСКУТОВ Евгений Михайлович

ЭМПИРИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: ПОСТРОЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГНОСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

'тижний Новгород - 2013

005543637

005543637

Работа выполнена в ФБГУН Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород

Научный руководитель

доктор физико-математических наук Фейгин Александр Маркович, ФБГУН ИПФ РАН

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор Некоркин Владимир Исаакович, ФБГУН ИПФ РАН

доктор физико-математических наук Елисеев Алексей Викторович, ФБГУН ИФА РАН

Ведущая организация

Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Защита состоится 23 декабря 2013 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.69.02 в Институте прикладной физики РАН (603950, г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной физики РАН.

Автореферат разослан " 2.2" ноября 2013 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук профессор

Ю. В. Чугунов

Общая характеристика диссертации

Актуальность работы. Разработка методов реконструкции систем, порождающих наблюдаемые процессы, на основе данных измерений, является одной из актуальных проблем современной нелинейной динамики. Реконструкция динамической системы означает построение параметризованной математической модели ее оператора эволюции (ОЭ) по временному ряду, представляющему собой результаты последовательных измерений некоторой физической величины, связанной с фазовыми переменными моделируемой системы. Важность исследования данной проблемы обусловлена необходимостью построения относительно простых моделей сложных природных объектов (динамических систем), изучаемых в различных областях науки. Известно, что динамика подавляющего большинства природных (например, климатических) динамических систем (ДС) меняется с течением времени (другими словами, система является неавтономной). Поэтому одной из важнейших целей задачи реконструкции ДС является прогноз дальнейшего поведения исследуемой ДС. Это означает, в том числе, возможность смены типа поведения системы в процессе ее эволюции. Поскольку смена типа поведения (бифуркация, или критический переход), как правило, влечет за собой существенные (порой катастрофические) изменения количественных характеристик наблюдаемого процесса, то возникает задача прогноза бифуркаций, или, другими словами, задача прогноза качественного поведения неавтономных ДС.

Очевидно, что построение такого прогноза должно базироваться на использовании какой-либо математической модели изучаемой ДС. К настоящему моменту наиболее развиты два способа построения таких моделей: (1) построение так называемых моделей "из первых принципов" (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопе-реноса и пр.) [1] и (2) построение эмпирических моделей ДС, т.е. моделей, построенных путем прямого анализа наблюдаемых данных (см. [2-4) и цитируемую там литературу).

Прогностический анализ моделей из первых принципов состоит в исследовании фазового пространства и пространства параметров модели. Такой анализ, в принципе, позволяет получить исчерпывающую информацию о типе поведения системы при любых значениях параметров, в том числе предсказать всевозможные бифуркации системы при заданных (или ожидаемых) плавных изменениях параметров. Очевидным необходимым условием использования любой модели является ее адекватность моделируемой ДС. В случае, когда реконструируемая ДС имеет высокую размерность, а таких, если говорить о природных системах, подавляющее большинство, то и модель из первых принципов, описывающая ее динамику, будет высокоразмерной. Например, современные глобальные

модели климатической системы Земли, являющиеся характерным примером детальных моделей, построенных из первых принципов, оперируют более чем 106 степенями свободы. Очевидно, что детальное изучение пространств с такой размерностью технически невозможно. Кроме того, возникает принципиальная сложность: чрезвычайно высокая размерность фазового пространства неизбежно приводит к высокой чувствительности модели по отношению к вариациям начальных и граничных условий и параметров, что неблагоприятным .образом сказывается на качестве прогноза. Наконец, использование моделей из первых принципов может приводить к грубым прогностическим ошибкам даже при исследовании будущей эволюции низкоразмерных ДС. Корректная модель из первых принципов правильно воспроизводит динамику реконструируемой системы лишь до тех пор, пока справедливы сделанные при ее построении допущения. Поскольку прогноз качественного поведения слабонеавтономных систем 1 является по сути своей долгосрочным, то существует вероятность, что в прогнозируемый период эволюции системы существенную роль будут играть процессы, не учтенные, вследствии их недостаточной изученности, при построении модели. Таким образом, вне зависимости от размерности реконструируемой системы, прогноз качественного поведения, построенный на основе моделей из первых принципов, чреват ошибками.

Построение эмпирических моделей ДС не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе. Математическая модель исследуемой ДС строится путем прямого анализа наблюдаемых данных, вообще говоря, без каких-либо допущений о природе изучаемого явления. Однако при эмпирической реконструкции таких сложных, пространственно-распределенных ДС, как региональные климатические системы (например, Эль-Ниньо), или глобальная климатическая система Земли, возникает проблема, которая заключается, как это ни парадоксально, в обилии доступных экспериментальных данных. Данные наблюдений обычно представляют собой пространственные поля различных климатических характеристик (таких как ПТ океана, давление, скорость ветра, влажность и т.д.), измеренные с той или иной степенью детализации. Фактически, в руках у исследователя имеется набор временных рядов, число которых равно числу узлов пространственной сетки, умноженному на число климатических характеристик, принимаемых во внимание. С одной стороны, большое число динамических переменных (временных рядов), доступных наблюдениям, существенно увеличивает информативность обучающей выборки данных, по сравнению с ситуацией, когда модель строится по рядам, измеренным в одной или нескольких отдельно взятых пространственных точках. С другой

'Т.е. систем с медленно изменяющимися, по сравнению с характерными временами динамики наблюдаемого процесса, управляющими параметрами.

стороны, задача построения пространства динамических переменных эмпирической модели по таким пространственно-распределенным данным усложняется: не существует универсального рецепта выделения эмпирических мод, подлежащих моделированию, из имеющегося массива данных. Именно успешность выбора набора таких мод (динамических переменных) предопределяет эффективность эмпирической модели, поскольку тем самым задается проекция аттрактора системы, на которой строится оператор эволюции. Поэтому оптимальность такого выбора, включающего в себя как способ конструирования эмпирических мод по полям данных, так и количество этих мод, определяющее размерность модели, является ключевой проблемой эмпирического моделирования распределенных ДС.

Основной целью диссертации является разработка и реализация эффективного и максимально универсального подхода к построению эмпирических моделей сложных (высокоразмерных, пространственно-распределенных) ДС для решения задачи глобальной реконструкции. В частности, для достижения основной цели работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка методики оптимизации стохастических моделей на базе случайных функций с нейронно-сетевой параметризацией.

2. Разработка методики выделения динамических переменных из многомерного массива данных, пригодных для создания низкоразмерных эмпирических моделей пространственно-распределенных динамических систем.

3. Прогноз качественного поведения динамической системы, описывающей динамику явления Эль-Ниньо, на модельных примерах и по данным реальных наблюдений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложен и успешно опробован последовательный Байесов подход к глобальной реконструкции ДС по данным наблюдений, заключающийся в построении и оптимизации низкоразмерных стохастических моделей на базе случайных функций с нейронно-сетевой параметризацией. Показано, что Байесова обоснованность, использовавшаяся в работе для оптимизации модели, позволяет выбрать такие параметры, чтобы при достаточно высоком правдоподобии модель была максимально проста, и, тем самым, минимально чувствительна к конкретной реализации шума.

2. Предложенный подход к построению эмпирических моделей был успешно применен при реконструкции ДС в виде дифференциальных уравнений с задержками (ДУЗ), описывающих динамику явления Эль-Ниньо. Показано, что построенные эмпирические модели способны прогнозировать последовательности критических переходов, связанных с

резкими изменениями характеристик плотности состояний как детерминированных, так и стохастических систем, на времена, превышающие продолжительность выборки данных, используемой доя обучения модели. В частности, удается предсказывать критические переходы, связанные с разрушением более простого, охватывающего меньшую область фазового пространства, аттрактора, и переходом системы в более сложный динамический режим поведения.

3. На модельных и реальных данных в рамках Байесова подхода продемонстрирована возможность построения эмпирических моделей динамических систем по пространственно-распределенным временным рядам климатических характеристик.

Практическая ценность. Эмпирическая реконструкция сложных ДС кроме фундаментального (разработка методики построения эмпирических моделей ДС любой природы и сложности), представляет значительный практический интерес. Как показано в работе, построенная по реальным данным простейшая эмпирическая модель климатической подсистемы, ответственной за эволюцию Южного колебания, может корректно описать и предсказать дальнейшее качественное поведение моделируемой подсистемы на примере такой грубой характеристики, как баланс между фазами Южного колебания (Эль-Ниньо и Ла-Нинья). Это позволяет полагать, что пред ложенная методика дает возможность строить эмпирические модели климатических подсистем (глобальных и региональных).

Предложенная в диссертационной работе методика выбора оптимальных динамических переменных для построения эмпирической модели климатической системы Земли наглядно демонстрирует возможность разбиения глобальной системы на ансамбль климатических подсистем, чья эволюция происходит с существенно различными временными масштабами. Данная методика может быть использована для верификации современных глобальных климатических моделей путем ее применения к модельным данным и последующего сравнения получившихся ансамблей подсистем: модельного и реального.

Основные положения. На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Использование Байесовой обоснованности, в качестве критерия оптимальности модели, позволяет выбрать эмпирическую модель, которая корректно описывает реконструирую систему и не подвержена эффекту переобучения.

2. Предложенный метод построения эмпирических моделей по нестационарным временным рядам позволяет строить корректный прогноз качественного поведения высокоразмерных динамических систем в виде дифференциальных уравнений с задержками, описывающих динамику явления Эль-Ниньо.

3. Использование пространственно-временных эмпирических ортогональных функций для формирования обучающей выборки (построения динамических переменных) позволяет строить низкоразмерные эмпирические модели сложных ДС по данным, представляющим собой зависящие от времени поля пространственно-распределенных характеристик.

4. Учет только мгновенных корреляций в имеющихся на сегодняшний день полях данных для аномалий поверхностной температуры океана позволяет сформировать обучающую выборку, пригодную для построения низкоразмерной эмпирической модели климатической подсистемы, ответственной за явление Эль-Ниньо. Построенная по такой выборке модель корректно предсказывает качественное поведение статистической характеристики, отражающей энергетический баланс между фазами Южного колебания (Эль-Ниньо и Ла-Нинья).

5. Учет запаздывающих временных корреляций при анализе пространственно распределенных данных для аномалий поверхностной температуры океана позволяет представить климатическую систему Земли в виде ансамбля взаимодействующих подсистем, чья эволюция происходит с существенно различными временными масштабами.

Достоверность. Научные положения и выводы диссертации достаточно аргументированы, соответствуют современным теоретическим и экспериментальным данным, опубликованным в научных журналах соответствующего профиля. Результаты получены с использованием апробированных подходов и численных методик в сериях численных экспериментов, показавших высокую повторяемость, и не вызывают сомнений. Полученные в диссертационной работе результаты неоднократно доклад дывались на российских и международных конференциях и обсуждались в дискуссиях с российскими и зарубежными научными сотрудниками, опубликованы в реферируемых научных журналах и трудах конференций. Все это позволяет считать представленные в диссертации результаты обоснованными и достоверными.

Апробация представленных в работе результатов. Основные результаты работы докладывались на семинарах ИПФ РАН, а так же на международных и российских научных конференциях: VIII и X Всероссийских конференциях молодых ученых «Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы» (Ворок, 2005, 2011), международной конференции "Topical problems of nonlinear wave physics" (Нижний Новгород, 2008), Всероссийской научной школе "Нелинейные волны" (Нижний Новгород, 2006, 2010), международных конференциях European Geosciences Union General Assembly (2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), международных конференциях Dynamics Days Europe (2009,2012), международных конференциях American Geophysical Union Fall Meeting (San Francisco, 2011, 2012), международной конференции Davos Atmosphere and Cryosphere Assembly DACA-13 (Davos, 2013).

Результаты, полученные в ходе выполнения работы, рекомендованы в Отчет РАН за 2011 г. Результаты исследований также использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (02-02-17080-а, 06-02-16568-а 10-05-92519-ИК_а), CRDF CGP-RFBR 2009 Climate Change & Energy.

По теме диссертации опубликовано 54 работы, из которых 8 статей в реферируемых научных журналах из списка ВАК.

Личный вклад автора. Все приведенные в диссертации результаты получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии.

Краткое содержание диссертации

Во введении освещается современное состояние рассматриваемых в диссертации проблем, обосновывается актуальность исследований по теме диссертации и ее практическая значимость, кратко излагается ее содержание и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации излагается последовательный Байесов подход к глобальной реконструкции ДС по наблюдаемым данным. Он заключается в построении низкоразмерной модели наблюдаемой ДС в виде дискретного стохастического оператора эволюции, описывающего связь между состояниями системы, соответствующими соседним по времени пересечениям фазовой траектории с выбранной секущей аттрактора в восстановленном фазовом пространстве. Кроме того, в этой главе описывается метод выбора модели оптимальной сложности, основанный на Байесовом критерий (Байесова обоснованность).

В разделе 1.1 кратко формулируются проблемы, решению которых посвящена первая глава диссертации и приводится ее структура.

В разделе 1.2 ставится задача реконструкции ДС по скалярному временному ряду и описывается общий вид модели, получаемый в результате последовательных действий: выбора фазовых переменных, описания ОЭ моделируемой системы в виде случайной ДС и, наконец, применения теоремы Байеса. Общая постановка задачи реконструкции ДС по скалярному временному ряду сформулирована следующим образом [3J: пусть имеется скалярный временной ряд, т.е. некоторый набор действительных чисел , хк е К, представляющий собой результаты измерений одной и той же физической величины через равные промежутки времени. Пусть известно, что данные измерения связаны с фазовыми переменными некоторой динамической системы

u(t)=tptou(0)> «(.)€ А, (1)

посредством некоторой, вообще говоря, неизвестной и возможно случайной, функции измерений хк = h(u{tk)), tk - моменты времени, в которые производились измерения; в (1), щ А -> А - оператор эволюции системы, А - ее фазовое пространство. При этом размерность d фазового пространства А системы (1) так же, как правило, не известна. Задача

реконструкции состоит в том, чтобы построить модель такой системы, имея в своем распоряжении сгенерированный ей временной ряд и информацию о ее свойствах, если таковые известны. Эти свойства могут определяться как априорными представлениями о системе, так и целями, ради которых такая реконструкция производится. Задача решается в два этапа: сначала по результатам измерений восстанавливают фазовые переменные, затем строится оператор эволюции в реконструированном фазовом пространстве. Фазовые переменные восстанавливаются, как наборы измеренной величины х, взятой в нужном количестве через равные промежутки времени:

v(ífc) = (2)

где ¿е - размерность вложения. В результате

и„+1 = + й(ип) • <„, (3)

где детерминированная компонента описывается вектор-функцией а матричная функция д описывает распределение случайной компоненты в фазовом пространстве модели. По теореме Байеса, апостериорное распределение параметров { и д с точностью до нормировки задается выражением:

РрозЬеПоЛР/, ос Р(и\ср;,1р§)РтНог(1р},<р§), (4)

где распределение Р(и\ср/,(р.) (называемое иногда правдоподобием) описывает вероятность наблюдать измеренный временной ряд при условии выбранных из некоторого класса £ и д (с параметрами (р^ и ср§), а РрПог^/г'Рд) есть априорное распределение, которое определяет априорные ограничения, накладываемые на параметры модели. Построение и анализ (4) решает поставленную задачу реконструкции. Далее полагается, что вектор С имеет нормально распределенные независимые компоненты, поскольку известно, что такое огрубление модели позволяет успешно решать задачу реконструкции даже в том случае, когда статистика восстанавливаемой системы заведомо не гауссова [А8]. В итоге, выражение для правдоподобия, являющегося общим видом модели в виде СДС принимает следующий вид:

Р(иМ) (X П *-ехр{-1(иг,+1 - Г(ип))тх

п ^/|6(и„)| 2

хС-Чи«)^!-^))}, (5)

где О = ддт.

В разделе 1.3 предлагается универсальная параметризация модели ОЭ в виде искусственной нейронной сети (ИНС), в которой параметры нейронов выходного слоя линейно зависят от времени:

ANNt"'(U, t) = {£f=1(aW + 0ki) tanh fe^ + 7i) Y""

;jk=i ^ (6)

f(U,í) = ANN3(U,í),5(U,í) = ANNf+1)/2(U, t)

где din ~ количество входов ИНС, dout - количество выходов, и S - число нейронов в скрытом слое. Чтобы при определении априорной плотности вероятности Pp0sterior(<Pf,<Pg) внести минимум неконтролируемой информации, предлагается использовать [7J нормальный закон распределения:

W(«. А ■7) ос ехр ( - ¿ ( ¿ g§- -г ^

V Í=I \к=i ^ к=i ¿ap

« ' W

а разделе 1.4 предлагается корректный, с точки зрения Байесова подхода, метод оптимизации модели, основанный на оценке Байесовой обоснованности [8,9], который позволяет выбрать максимально простую (с минимально возможным числом параметров) низкоразмерную модель, пригодную для адекватного воспроизведения наблюдаемой эволюции ДС и прогноза ее качественного поведения. Фактически, оптимизация осуществляется внутри выбранного для построения ОЭ класса функций. Параметры модели резделяются на две группы. Одну группу составляют параметры, определяющие индивидуальные характеристики функций из используемого класса. Ко второй относятся параметры, характеризующие аппроксимацию ОЭ в целом, т.е. набор параметров, однозначно задающих модель ОЭ на выбранном классе функций. Параметры, относящиеся ко второй группе, названы структурными. По отношению к аппроксимирующим функциям размерность d является одним из структурных параметров. Класс функций f и д может определяться и другими структурными параметрами (например, количество нейронов, если говорить про ИНС), которые обозначены как т/ и тд для функций f и д соответственно. Кроме того, структурными параметрами модели являются также параметры априорных распределений параметров функций f и д, которые обозначаются как a¡ и ад. Для удобства записи все структурные параметры собраны в вектор s = (mf,mg,a-f,crg,d), а неструктурные - в вектор <р = Далее записывается теорема Байеса для параметров ср при условии использования модели с заданным набором параметров s и наблюдения данных U:

¿We,,0,Mu,s)=p(u|y?'s2;TpT°r(y|s)

P(U|s) • (8)

: simple model

inv. measure: optimal model

transition time measure: simple model

system -model •

30

transition time (numbers) transition time measure: optimal model

measure: complex model q

0.005

0.0045 0.1

0.004 ___

0.0035 0 08 0.003 0 06 0.0025 " 0.002 0.04 0.0015 0.001 0.02 0.0005 n - 0 0 -20 -10 0 10 20 U(n)

transition time (numbers) transition time measure: complex model

transition time (numbers)

Рис. 1: Примеры использования слишком простой (вверху), оптимальной (в центре) и слишком сложной (внизу) моделей при обучении по временному ряду длиной N = 500 для системы с шумом а = 10. Слева показаны инвариантные меры модели, справа - распределения по временам перехода между режимами в незашумленной системе Лоренца (сплошная линия) и в модели (пунктирная линия). Время перехода измеряется числом дискретных отсчетов временного ряда. Простая модель включает в себя 45, оптимальная 50 и сложная 200 параметров нейронной сети.

где <?(£) - гауссов белый шум, параметр а определяет интенсивность шумового воздействия. В качестве наблюдаемого ряда рассматривался одномерный ряд, представляющий собой снятые через равные промежутки времени значения переменной у:

ип = у{Ц+пт). (15)

Показано, что использование Вайесовой обоснованности, в качестве критерия оптимальности модели, позволяет выбрать эмпирическую модель, которая корректно описывает реконструируемую систему и не подвержена эффекту переобучения (Рис. 1).

В разделе 1.6 на примере неавтономной стохастической системы Лоренца 2 с ланжевеновским шумовым источником показано, что использо-

2 Неавтономность описывалась изменением с течением времени параметра г во вто-

делением по пространству и характерному времени протекания процессов в паттернах данных, полученных при большем лаге Т из значительно более протяжённого по времени поля данных, сгенерированного глобальной климатической моделью ШМСМ4.0 [16].

В заключении представлены наиболее важные результаты диссертационной работы:

1. Разработан метод реконструкции оператора эволюции сложных (высокоразмерных) слабонеавтономиых ДС по данным наблюдений, заключающийся в построении и оптимизации низкоразмерных стохастических моделей на базе случайных функций с нейронно-сетевой параметризацией. Показано, что использование Байесовой обоснованности, в качестве критерия оптимальности модели, позволяет выбрать эмпирическую модель, которая корректно описывает реконструирую систему и не подвержена эффекту переобучения. Эффективность метода продемонстрирована на примере построения прогноза качественного поведения слабонестационарной потоковой стохастической системы по порожденному ей временному ряду.

2. С помощью разработанного метода построения эмпирических моделей по нестационарным ВР успешно произведен прогноз качественного поведения высокоразмерных динамических систем в виде ДУЗ, описывающих динамику явления Эль-Ниньо. В качестве примеров наблюдаемых процессов использовались слабонестационарные ВР, порожденные как чисто детерминированной, так и стохастическими системами в виде ДУЗ.

3. Предложен метод формирования обучающей выборки (построения динамических переменных), пригодных для построения низкоразмерных эмпирических моделей сложных ДС по данным, представляющим собой зависящие от времени ноля пространственно-распределенных характеристик. Показано, что корректный учет пространственно-временных корреляций в полях данных может иметь решающее значение для эффективного понижения размерности модели, и, как следствие, существенно улучшать долгосрочный прогноз поведения реконструируемой ДС.

4. С помощью предложенных методов построения эмпирических моделей и формирования обучающей выборки успешно произведен прогноз критических переходов в наблюдаемой динамике пространственно-распределенной ДС (модель Джина-Нилина), описывающей явление Эль-Ниньо.

5. Показано, что даже учет только мгновенных корреляций в имеющихся на сегодняшний день полях данных для аномалий ПТО позволяет сформировать обучающую выборку, пригодную для постро-

ения низкоразмерной эмпирической модели климатической подсистемы, ответственной за явление Эль-Ниньо. Поведение построенной модели на наблюдаемом и прогнозируемом участках качественно схоже с поведением реконструируемой системы. Продемонстрировано, что эта модель позволяет корректно предсказывать качественное поведение статистической характеристики, отражающей энергетический баланс между фазами Южного колебания (Эль-Ниньо и Ла-Нинья).

6. Показано, что учет запаздывающих временных корреляций при анализе пространственно-распределенных данных для аномалий ПТО позволяет представить климатическую систему Земли в виде ансамбля взаимодействующих подсистем, чья эволюция происходит с существенно различными временными масштабами.

Список работ по теме диссертации

[А1] Лоскутов Е.М., Молъков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Прогноз качественного поведения динамической системы по хаотическому временному ряду // Изв. ВУЗов Радиофизика. — 2001. — Т. 44. — С. 376-399.

[А2] Feigin A.M., Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Loskutov E.M. Investigation of nonlinear dynamical properties by the observed complex behaviour as a basis for construction of the dynamical models of atmospheric photochemical systems // Faradey Discussions. — 2002. — Vol. 120. - P. 105-123.

[A3] Mukhin D. N., Feigin A. M., Loskutov E. M., Molkov Ya. I. Modified Bayesian approach for the reconstruction of dynamical systems from time series // Phys.Rev.E. — 2006. — Vol. 73. — P. 036211.

[A4] Loskutov E.M., Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Feigin A.M. Markov chain Monte Carlo method in Bayesian reconstruction of dynamical systems from noisy chaotic time series // Phys.Rev.E. — 2008. — Vol. 77. — P. 066214.

[A5J Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Loskutov E.M., Fidelin G.A., Feigin A.M. Using the minimum description length principle for global reconstruction of dynamic systems from noisy time series // Phys.Rev.E. — 2009. - Vol. 80. - P. 046207.

[A6J Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Loskutov E.M., Timushev R.I., Feigin A.M. Prognosis of qualitative system behavior by noisy, nonstationary, chaotic time series // Phys.Rev.E. — 2011. — Vol. 84. — P. 036215.

[A7j 10.В. Яхно, Я.И. Молъков, Д.Н. Мухин, E.M. Лоскутов, A.M. Фейгин Реконструкция оператора эволюции как способ анализа электрической активности мозга при эпилепсии // Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. — 2011. — Т. 19. — С. 156-172.

[А8] Molkov Ya.L, Mukhin D.N., Loskutov E.M., Feigin A.M. Random dynamical models from time series // Phys.Rev.E. — 2012. — Vol. 85.

— P. 036216.

[A9] Mukhin D.N., Loskutov E.M., Mukhina A.Yu., Zaliapin I.V., Ghill M., Feigin A.M. Predicting critical transitions in ENSO models I: Methodology and simple models with memory // Journal of Climate

— 2013 — sub judice

[A10] Mukhin D.N., Kondrashov D.A., Loskutov E.M., Gavrilov A.S., Feifin A.M., Ghill M. Predicting critical transitions in ENSO models II: Spatially dependent models // Journal of Climate — 2013 — sub judice [All] Лоскутов E.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Долгосрочный прогноз эволюции малых газовых составляющих атмосферы по наблюдаемым временным зависимостям / Сборник трудов Международной конференции "Физика атмосферного аэрозоля". — 1999. — С. 480-485 [А12] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Прогноз бифуркаций динамической системы по наблюдаемому хаотическому временному ряду / Труды VI всероссийской конференции молодых ученых «Малые примеси атмосферы. Атмосферное электричество». — 2000. — С. 151-169 [А13] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Статистический подход к реконструкции динамических систем / Сборник сНелинейные волны' 2004>■• — 2005. — С. 411-425 [A14J Mukhin D.N., Feigin A.M., Loskutov E.M., Molkov Ya.I. Modification of Bayesian approach as applied to reconstruction of dynamic system from time-series / Proceedings of International Symposium "Topical problems of nonlinear wave physics ". — 2005. — P. 75-76 [A15J Feigin A.M., Molkov Ya.I., Loskutov E.M., Mukhin D.N. Stochastic models from time series / Proceedings of International Symposium "Topical problems of nonlinear wave physics". — 2008. — P. 36-37 [A16J Loskutov E.M., Molkov Ya.L, Mukhin D.N., Feigin A.M. Reconstruction and prognosis of qualitative behavior of high-dimensional dynamic systems by low-dimensional stochastic models / Proceedings of International Symposium "Topical problems of nonlinear wave physics". — 2008. — P. 62 [A17] Лоскутов E.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M.. Прогноз бифуркаций слабонеавтономных динамических систем на основе наблюдаемых временных рядов / Препринт ИПФ РАН. — 1999. — №508

[А 18] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M.. Глобальная реконструкция динамических систем по слабонестационарным зашумленным хаотическим временным рядам / Препринт ИПФ РАН. — 2006. - №708

[А19] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M.. МСМС метод в байесовой реконструкции динамических систем по зашум-ленным хаотическим временным рядам / Препринт ИПФ РАН. — 2006. - №716

[А20] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M.. Байе-сов подход к построению моделей в виде случайных динамических систем по наблюдаемым временным рядам / Препринт ИПФ РАН. — 2008. - №769

[А21] Мольков Я.И., Лоскутов Е.М., Мухин Д.Н., Фиделин Г.А., Фейгин A.M.. Использование принципа минимальной длины описания при глобальной реконструкции динамических систем по зашумленным временным рядам / Препринт ИПФ РАН. — 2008. — №771 [А22] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M.. Адаптивный алгоритм долгосрочного предсказания поведения системы, демонстрирующей хаотическую динамику / 4~я Нижегородская научная сессия молодых ученых. Тезисы докладов — 1999. — С. 153-154

[А23] Мухин Д.Н., Мольков Я.И., Лоскутов Е.М., Фейгин A.M.. Построение прогностических моделей нелинейных неавтономных динамических систем / 4~я Нижегородская научная сессия молодых ученых. Тезисы докладов — 1999. — С. 155 [А24] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Прогноз бифуркаций динамической системы по наблюдаемому хаотическому временному ряду / Тезисы докладов VI всероссийской конференции молодых ученглх «Малые примеси атмосферы. Атмосферное электричество» — 2000. — С. 49 [А25] Лоскутов Е.М., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. О глобальной реконструкции слабо неавтономных динамических систем по наблюдаемой динамике с целью прогноза бифуркаций / Сборник тезисов докладов 5-ой Нижегородской научной сессии молодых ученых — 2000. — С. 121 [А26] Мухин Д.Н., Мольков Я.И., Лоскутов Е.М., Фейгин A.M. Об оценке точности прогноза бифуркаций неавтономной динамической системы / Сборник тезисов докладов 5-ой Нижегородской научной сессии молодых ученых — 2000. — С. 122 [А27] Feigin A.M., Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Loskutov E.M. Prognosis of bifurcations of a dynamical system by the observed chaotic time series / Abstracts of the International conference the 100th Anniversary of A.A. Andronov <rProgress in Nonlinear Science» — 2001. — P. 233 [A28] Лоскутов E.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Фейгин A.M. Построение прогностических моделей высокоразмерных слабонеавтономных динамических систем по наблюдаемой динамике / Сборник тезисов 6-ой Нижегородской научной сессии молодых ученых —

series by stochastic models / Geophysical Research Abstracts —2008.

- Vol. 10 - P. 00789

[A40] Feigin A.M., Loskutov E.M., Molkov Y.I., Mukhin D.N. Parameterized modeling of stochastic systems by time series and prognosis of their qualitative behavior / Geophysical Research Abstracts —2008. — Vol. 10 - P. 01541

[A41J Molkov Y.I., Loskutov E.M., Mukhin D.N., Feigin A.M. Reconstruction of random dynamical systems from time-series and prognosis of their qualitative behavior / XIV Scientific School "Nonlinear waves - 2008" — 2008. — P. 115 [A42] Feigin A.M., Fidelin G.A., Loskutov E.M., Molkov Y.I., Mukhin D.N. Using the minimum description length principle for global reconstruction of dynamic systems from noisy time series / Geophysical Research Abstracts — 2009 — Vol. 11 — P. 1728 [A43] Mukhin D.N., Molkov Y.I., Feigin A.M., Loskutov E.M. Modelling of high-dimension dynamics by random dynamical systems / Abstracts of Dynamics Days Europe — 2009. [A44] Feigin A.M., Loskutov E.M., Molkov Y.I., Mukhin D.N., Timushev R.I. Stochastic reconstruction from time series: predictive framework for critical transition in natural systems / Geophysical Research Abstracts — 2010. — Vol. 12 - P. 8253 [A45] Loskutov E.M., Gavrilov A., Mukhin D., Mukhina A.U., Zaliapin I., Feigin A.M. Prognosis of critical transitions in a delay differential equations model of ENSO / American Geophysical Union, Fall Meeting 2011, abstract NG51E-1683 —2011. [A46] Mukhin, D., Kondrashov D.A., Chekroun M., Loskutov E.M., Feigin A.M. Use of stochastic models for the prognosis of qualitative transitions in ENSO dynamics / American Geophysical Union, Fall Meeting 2011, abstract NG52A-08 — 2011. [A47] Gavrilov A., Mukhin D., Loskutov E.M., Feigin A.M. Stochastic approach to reconstruction of dynamical systems: optimal model selection criterion / American Geophysical Union, Fall Meeting 2011, abstract NG51E-1678 - 2011. [A48] Mukhin D., Gavrilov A., Loskutov E., Feigin A. Reconstruction of a dynamical system underlying an observed time series by optimal stochastic models / Geophysical Research Abstracts — 2011. — Vol. 13 [A49] Feigin A., Mukhin D., Gavrilov, A., Loskutov E. Stochastic modeling of ENSO phenomena: low-dimensional prognostic model from time series / Geophysical Research Abstracts — 2011. — Vol. 13 [A50] Loskutov E., Mukhin D., Chekroun M., Feigin A. Empirical modeling of ENSO dynamics: prognosis of critical transitions in delay differential equations models of ENSO / Geophysical Research Abstracts — 2012

- Vol. 14

Содержание диссертации

Введение......................................................4

1 Построение и оптимизация моделей оператора эволюции

в рамках. Байесова подхода................................14

1.1 Введение ...........................................................14

1.2 Структура модели .................................................15

1.3 Параметризация в виде искусственных нейронных сетей .........19

1.4 Критерий выбора оптимальной модели............................21

1.5 Выбор модели оптимальной сложности на примере автономной системы Лоренца с динамическим шумом .........................25

1.6 Построение прогноза качественного поведения неавтномоной стохастической системы при помощи стохастической модели оптимальной сложности на примере неавтономной системы Лоренца с динамическим шумом ..................................32

1.7 Заключение........................................................35

2 Прогноз качественного поведения локализованных моделей в виде дифференциальных уравнений с задержками, описывающих явление Эль-Ниньо ..........42

2.1 Введение ............................................................42

2.2 Концептуальные модели Эль-Ниньо в виде ДУЗ..................44

2.3 Реконструкция стохастических систем в виде ДУЗ, описывающих динамику Эль-Ниньо................................47

2.4 Реконструкция детерминированной системы в виде ДУЗ, описывающей динамику Эль-Ниньо ...............................54

2.5 Заключение ........................................................56

3 Реконструкция пространственно-распределенных систем . 64

3.1 Введение ...........................................................64

3.2 Построение обучающей выборки ..................................67

3.3 Прогноз критических переходов в модели Джина-Нилина, описывающей явление Эль-Ниньо .................................70

3.4 Реконструкция явления Эль-Ниньо по реальным данным.........76

3.5 Заключение........................................................82

Заключение..............;...................................95

А Модель Джина-Нилина...................................97

А.0.1 Океан ............................................................97

А.0.2 Атмосфера ...................................................!. 100

Список публикаций по теме диссертации ..................102

Литература .................................................108

ЛОСКУТОВ Евгений Михайлович

ЭМПИРИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: ПОСТРОЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГНОСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Автореферат

Подписано к печати 18.11.2013 г. Формат 60 х 90 Vie- Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1.75 Тираж 110 экз. Заказ № 87 (2013).

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 г. Н.Новгород, ул. Ульянова, 46

Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт прикладной физики Российской академии наук

на пРавах рукописи

Лоскутов Евгений Михайлович

Эмпирическая реконструкция динамических систем: построение и оптимизация прогностических моделей

01.04.03 - радиофизика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук Фейгин Александр Маркович

Нижний Новгород - 2013

Оглавление

Введение 4

1 Построение и оптимизация моделей оператора эволюции в рамках

Байесова подхода 14

1.1 Введение .................................... 14

1.2 Структура модели............................... 15

1.3 Параметризация в виде искусственных нейронных сетей......... 19

1.4 Критерий выбора оптимальной модели................... 21

1.5 Выбор модели оптимальной сложности на примере автономной системы Лоренца с динамическим шумом..................... 25

1.6 Построение прогноза качественного поведения неавтномоной стохастической системы при помощи стохастической модели оптимальной сложности на примере неавтономной системы Лоренца с динамическим шумом........................................ 33

1.7 Заключение................................... 35

2 Прогноз качественного поведения локализованных моделей в виде

дифференциальных уравнений с задержками, описывающих явление Эль-Ниньо 42

2.1 Введение .................................... 42

2.2 Концептуальные модели Эль-Ниньо в виде ДУЗ.............. 44

2.3 Реконструкция стохастических систем в виде ДУЗ, описывающих динамику Эль-Ниньо............................... 47

2.4 Реконструкция детерминированной системы в виде ДУЗ, описывающей динамику Эль-Ниньо............................. 54

2.5 Заключение................................... 56

3 Реконструкция пространственно-распределенных систем 64

3.1 Введение .................................... 64

3.2 Построение обучающей выборки..............................................67

3.3 Прогноз критических переходов в модели Джина-Нилина, описывающей явление Эль-Ниньо........................................................70

3.4 Реконструкция явления Эль-Ниньо по реальным данным..................76

3.5 Заключение......................................................................82

Заключение 95

А Модель Джина-Нилина 99

А.0.1 Океан.................................. 99

А.0.2 Атмосфера...............................102

Список публикаций по теме диссертации 104

Литература 110

Введение

Акутальность работы. Одной из важных проблем современной нелинейной динамики является разработка методов реконструкции систем, порождающих наблюдаемые процессы, на основе данных измерений. Под реконструкцией здесь и далее понимается построение параметризованной математической модели оператора эволюции (ОЭ) системы по временному ряду, представляющему собой результаты последовательных измерений некоторой физической величины, связанной с фазовыми переменными моделируемой системы. Измерения при этом производятся с конечной точностью. Важность исследования данной проблемы обусловлена необходимостью построения относительно простых моделей сложных природных объектов, изучаемых в различных областях науки.

В работе рассматриваются два вида ДС - детерминированные и случайные (стохастические). Детерминированной называется такая ДС, будущие состояния которой однозначно определяются текущими, или, по-другому, начальными условиями. Под стохастической ДС понимается система, оператор эволюции которой в каждый момент времени является случайным. Физическим объектом, описываемым случайным ОЭ, является, например, детерминированная ДС система, испытывающая случайные воздействия в процессе эволюции; последние часто называют динамическим или интерактивным шумом.

У подавляющего большинства природных (например, климатических) ДС параметры изменяются с течением времени (другими словами, система является неавтономной). Поэтому одной из важнейших целей задачи реконструкции ДС является прогноз дальнейшего поведения исследуемой ДС. Это означает, в первую очередь, возможность смены типа поведения системы в процессе ее эволюции. Поскольку смена типа поведения (бифуркация, или критический переход), как правило, влечет за собой существенные (порой катастрофические) изменения количественных характеристик наблюдаемого процесса, то возникает задача прогноза бифуркаций1, или, другими словами, задача прогноза качественного поведения неавтономных ДС. В дан-

1 Задача прогноза критических переходов, если речь идет о геофизических системах

ной работе мы ограничимся рассмотрением слабонеавтономных систем2: во-первых, к этому классу относится большая часть природных ДС и, во-вторых, именно такая неавтономность может быть выявлена прямым анализом данных измерений (без привлечения априорной информации о системе).

Очевидно, что построение такого прогноза должно базироваться на использовании какой-либо математической модели изучаемой ДС. К настоящему моменту наиболее развиты два способа построения таких моделей: (1) построение так называемых моделей "из первых принципов" (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопереноса и пр.) [80] и (2) построение эмпирических моделей ДС, т.е. моделей, построенных путем прямого анализа наблюдаемых данных (см. [30,75,78] и цитируемую там литературу). Прогностический анализ моделей из первых принципов состоит в исследовании фазового пространства и пространства параметров модели. Такой анализ, в принципе, позволяет получить исчерпывающую информацию о типе поведения системы при любых значениях параметров, в том числе предсказать всевозможные бифуркации системы при заданных (или ожидаемых) плавных изменениях (трендах) параметров. Однако очевидно, что детальное изучение фазового пространства и пространства параметров возможно лишь при условии их сравнительно невысокой размерности. С другой стороны, необходимым условием использования любой модели является ее адекватность моделируемой ДС. В случае, когда реконструируемая ДС имеет высокую размерность, а таких, если говорить о природных системах, подавляющее большинство, то и модель из первых принципов, описывающая ее динамику, будет высокоразмерной. Например, современные глобальные модели климатической системы Земли, являющиеся характерным примером детальных моделей, построенных из первых принципов, оперируют более, чем 106 степенями свободы. Очевидно, что детальное изучение пространств с такой размерностью технически невозможно. Кроме того, использование моделей из первых принципов может приводить к грубым прогностическим ошибкам даже при исследовании будущей эволюции низкоразмерных ДС. Действительно, корректная модель из первых принципов правильно воспроизводит динамику реконструируемой системы лишь до тех пор, пока справедливы сделанные при ее построении допущения. Поскольку прогноз качественного поведения слабонеавтономных систем является по сути своей долгосрочным, то существует вероятность, что в прогнозируемый период эволюции системы существенную роль будут играть процессы, не учтенные, в силу их малой изученности, при построении модели. Таким образом, вне зависимости от

2Т е систем с медленно изменяющимися, по сравнению с характерными временами динамики

наблюдаемого процесса, управляющими параметрами

размерности реконструируемой системы, прогноз качественного поведения, построенный на основе моделей из первых принципов, чреват ошибками.

Построение эмпирических моделей ДС не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе. Математическая модель ОЭ исследуемой ДС строится путем прямого анализа наблюдаемых данных, вообще говоря, без каких-либо допущений о природе изучаемого явления. ОЭ ДС представляет собой отображение фазового пространства в себя, поэтому для построения его модели необходима реконструкция фазовых переменных системы. Фундаментальной основой методов реализации этого шага являются доказанные Такенсом теоремы [63], а также их обобщения на случай неавтономных и стохастических систем [60], в которых строится вложение фазового пространства исследуемой ДС по последовательным измерениям произвольной скалярной функции фазовых переменных. Это вложение представляет собой взятые в достаточном количестве с фиксированным шагом по времени измерения, и носит название "метода координат с задержками". Количество таких координат является, тем самым, размерностью вложения, достаточная величина которой равна 2£) + 1, если И - размерность исходной ДС [63]. После того, как последовательность состояний ДС восстановлена, может быть сформирован набор пар образов и прообразов, связанных искомым оператором эволюции.

Эмпирические модели ОЭ можно разбить на две группы [30, 78] - локальные и глобальные. К первым относятся модели, воспроизводящие эволюцию системы в отдельных элементарных ячейках фазового пространства. При их построении используется идея разложения ОЭ в ряд в фазовом пространстве в окрестности текущего состояния. В качестве функций, аппроксимирующих данный ОЭ, используются как полиномы различной степени [20] (в частности, полином нулевой степени - в этом случае предсказание заключается в простом усреднении по образам всех точек из выбранной окрестности), так и более сложные функции, например, системы радиальных базисных функций [55]. Обычно выбор функциональной формы модели ОЭ представляет собой отдельную задачу. Как правило, это делается эмпирически по результатам сравнения точности прогнозов на различных примерах. В случае наблюдаемой хаотической динамики локальные модели обеспечивают количественный прогноз эволюции системы с характерным временем предсказания, обратно пропорциональным значению старшего показателя Ляпунова, отвечающего наблюдаемому ВР. Данный показатель является мерой разбегания изначально близких фазовых траекторий на хаотическом аттракторе [1]. Для успешной реконструкции эволюции системы с помощью локальных моделей необходимо, прежде всего, чтобы окрестность каждой точки исследуемого аттрактора была хорошо посещаема восстановленной

фазовой траекторией, т. е. протяженность наблюдаемого ВР (объем данных) должна быть достаточной для хорошего покрытия всего аттрактора. Другим требованием к наблюдаемым данным является стационарность исследуемого ВР (предполагающая постоянство управляющих параметров реконструируемой системы), поскольку описанные методы базируются на эргодической гипотезе. Главными недостатками локальных моделей являются: (1) большое количество параметров, требуемых для описания эволюции системы на конечном (сравнительно малом) временном интервале, что очевидным образом снижает точность реконструируемых характеристик системы; (2) принципиальная стационарность ВР; и (3) высокая чувствительность к величине шума измерений. Вследствие перечисленных недостатков локальные модели используются почти исключительно для краткосрочного количественного прогноза эволюции ДС [20].

Вторую группу образуют глобальные модели, в которых, в отличие от локальных, модель ОЭ воспроизводит эволюцию ДС во всей области фазового пространства, соответствующей наблюдаемому ВР. Нас интересуют именно такие модели, поскольку целью работы является задача глобальной реконструкции ДС и основанный на ней долгосрочный прогноз ее эволюции. Глобальные модели воспроизводят качественную (топологическую) структуру фазового пространства реконструируемой ДС. Привлекательность такого подхода связана с тем, что весь набор имеющихся данных описывается моделью с небольшим (по сравнению с локальными моделями) числом параметров. Более того, с помощью глобальных моделей можно отслеживать изменения во времени (тренды) управляющих параметров исходной системы, что находит применение в задачах реконструкции неавтономности системы [48,83, А1, А2, А17, А18, А20], восстановления бифуркационных диаграмм [6-8,64], передачи информации [3,76,82] и т.д.

Существуют методы построения потоковых глобальных моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений заранее выбранного вида [10,22, 59,79,81,85]. Однако построение таких моделей для систем, демонстрирующих хаотическое поведение, возможно не всегда, поскольку для построения таких моделей требуется численное дифференцирование наблюдаемого ВР. Это означает, что временные ряды, используемые для реконструкции, должны быть достаточно часто семплированы. Это очень серьезное ограничение на использование таких моделей для реконструкции динамики природных систем, поскольку имеющиеся в распоряжении ВР, порожденные такими системами, обычно достаточно редко семплированы и зашумлены, что может приводить к неприемлемым ошибкам дифференцирования. Очевидно, данное ограничение становится особенно жестким в случае высокой размерности наблюдаемой системы.

В диссертации глобальная эмпирическая модель строится в виде дискретного ОЭ, описывающего связь между состояниями системы, соответствующими соседним по времени пересечениям фазовой траектории выбранной секущей аттрактора в восстановленном фазовом пространстве. При этом для аппроксимации ОЭ могут использоваться различные функции: системы ортогональных полиномов [56], системы радиальных базисных функций [40,55,67] и др. В целях достижения максимальной универсальности рассматриваемого метода реконструкции, для аппроксимации ОЭ в диссертации используются искусственные нейронные сети (ИНС) [50,84, А2, А18], которые, согласно аппроксимационной теореме [16,74], позволяют с наперед заданной точностью аппроксимировать любую непрерывную функцию многих переменных при условии достаточного (конечного) числа нейронов. В итоге, глобальная модель ОЭ строится в виде функции, зависящей от набора параметров. При этом задача реконструкции ДС сводится к отысканию значений этих параметров. Теоретической основой данной процедуры (при условии, что функциональный вид модели выбран), является теорема Байеса [АЗ], которая связывает апостериорную плотность вероятности (АПВ) параметров модели с результатами измерений, а также с априорными распределениями параметров, отражающими априорные представления о свойствах моделируемой системы. Часто в качестве оценки параметров модели принимаются их наиболее вероятные значения, т.е. значения, соответствующие максимуму АПВ. Частными случаями такого подхода являются метод наименьших квадратов (МНК) (см., например, [1,29,37]), соответствующий системе с однородным динамическим шумом; метод обобщенных наименьших квадратов (МОНК), эффективный в задачах аппроксимации данных, когда погрешность присутствует как в образах, так и в прообразах реконструируемого отображения [18,19,68]; метод множественной стрельбы [13,31], учитывающий «долгие» корреляции наблюдаемой динамической переменной.

Необходимым шагом на пути к использованию эмпирического моделирования при реконструкции природных ДС по реальным данным наблюдений является его апробация на задаче глобальной реконструкции по временным рядам, сгенерированным моделями сложных ДС. Для этой цели хорошо подходят высокоразмерные модели в виде дифференциальных уравнений с запаздыванием (ДУЗ), описывающие динамику явления Эль-Ниньо - одной из фаз Южного Колебания (ЮК), представляющего собой аномалию температуры поверхностных вод в Тихом океане, которая происходит с периодичностью от 3 до 7 лет и длится примерно один год. Несмотря на то, что первым упоминаниям этого феномена уже более ста лет, на данный момент его природа до конца не изучена, поскольку долгое время считалось, что это явление носит региональный характер. Только к концу 20-го века стало понятно, что Эль-Ниньо

- это наиболее существенная составляющая глобальной межгодовой изменчивости климата Земли [33,49]. К настоящему времени продемонстрирована корреляция явления Эль-Ниньо с другими региональными аномалиями: засухами, наводнениями и ураганами в тропических странах, ураганами на западном побережье Калифорнии, аномально теплыми и влажными зимами в странах Мексиканского залива, исчезновением Индийского муссона и даже вариациями уровня Каспийского моря [77]. На сегодняшний день остается неопределенность, связанная с механизмом сложного поведения ответственной за это явление системы. Считается, что система имеет высокую размерность, а определяющую роль в динамике Эль-Ниньо и всего ЮК играют следующие концептуальные элементы: (1) положительная обратная связь в системе океан-атмосфера, которая приводит к росту внутренней неустойчивости, следствием чего является сильные положительные аномалии температуры поверхности океана (ТПО) в восточной тропической части Тихого океана (гипотеза Бьеркнеса); (2) запаздывающее влияние океанических волн, компенсирующее положительную обратную связь Бьеркнеса; (3) периодическое (сезонное) внешнее возде