Эргодические меры, связанные с произведениями случайных матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

о

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт.математики

На правах рукописи

ДЗОЕЕНКО Карен Георгиевич

ЭРГОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ.СВЯЗАННЫЕ С ПРОИЗВЕДЕН ИЩИ СЛУЧАЙНЫХ МАТР1Щ

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

Автореферат диссертации на соиокание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1351

Работа выполнена в отделе теории случайных процессов Института математики АН Украины.

. 'vr.'

Научный руководитель - академик АН Украины, профеосор СКОРОХОД A.B.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ШУРЕНКОВ В.М., кандидат физико-математических наук, доцент САФАРЯН Р.Г.

Ведущая организация: Киевский государственный университет им.Т.Г.Шевченко.

3§щита диссертации оостоится " " , 199^.г.

в !ь • часов на заседании сиециализированн<э/о совета -Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601, Киев-4, ГСП, ул.Репина.З

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " ^^^ 199 $ г.

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.В.

(1КГКМП ifciMTHI t

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ адьцоать темц. Задачи изучения предельного поведения

произведений случайных матриц возникают в сьязй о моделями в механике, теоретической физика, радиотехника, в Которых вектор соатояний в следующий дискретный иомен? времени можна представить кан произведение Некоторой матрицы, олицетворяющей случайное воздействие, на вектор состояния аистеми в исходный момент. Исследование проблемы было начато Р.Бсллманом и продолжено рядом работ ( Г.Фюрстенберг, Г.Кестен, Дж.Коэн, Ч.Ньюмен, Дж.Еоткинс, В.Л.Гирко и др.), где наличие предельных законов обуславливалось предположениями на элементы матрицу типа ограниченности моментов, Неотрицательности, гауссовосги. Более общие эадачи, связанные с композициями случайных элементов на группах, рассматривали Б.М.КДооо, В.В.Сазонов, В.М.ТутубаЛии, А.Д.ЕИрцер, П.Меяло и др. Другое обобщение - прбизведения случайных операторов и . стохастические полугруппы - изучались в работах А.В.Скорохода, r.n.ByUauat Т.А.Скороход.

Предлагаемая работа продолжает направление, начатое идеей фюрстенберга рассматривать в связй с произведением Д Хц = * • ...' ,гдэ - независимые одинаково

распределенные невырожденные п.н.случайные матрицы fft *гп на одном вероятйостном пространстве; однородную марковскую цепь на «¿4? «М iTl-i}!

, "* <? - *» ■ 1 «к**1 . ( Х0 6 Кд , ^ С*а5 * *0 . I • I - евклидова норда в Л ).

Изучение предельного поведения этой цепи важно .само по себе,

ибо оно характеризует зволвцию "направления" вектора ЛХ/'Г

t « п + °

Кроме того, в предположении эргодичности цепи и необременительных предположениях на элементы , %.-L ( Hanjst-мер, Н t II i. i + Л * , где II • I - соответствующая | матричная норма) ( ом. £13) имеет место:

¥?ьв к4»

(¿1*1. - эргодическая мера ^ ^ ), что позволяет судить ой асимптотическом поведений нормы вектора д К Г0

Достаточные усЛовйЯ наличия у (^)» Кд един-

ственно!' эргодической Меры били получены Т,Кайзером. Труднопро-ЕерЯемые в общем случае, они сводятоя К эффективно проверяемым усйовйй» в ситуации, когда значения - конечное число

невырожденных матриц второго порядка; Это обстьятапьство, а также возможное** яркого Нахождения эргодической меры цош(, обусловил« йыбор в качестве объекта нашего исследования случаев, когда Принимают два значения Из множества Невырожденных матриц второго порядка»

Цель работы. Изучение эргодичеоких свойств марковской цепи (¿}, порозденНой последовательностью независимЬх одинаково распределенных случайных матриц второго порядка, лрянймаюирсс два невырожденных значения» В Частности, Поиск условий, прй которУх эргодическая мара может быть явно построена.

Методика исследований! Б диссертации систематически попользуются достижения теории марковских Пеней с произвольным фазовым пространством, факты.Магричногб анализа.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации состоят в том, что для двух важных классов распределений случайных сомножителей получены Достаточные условия того, что;

замкнутый носитель единственной эргодической меры совпадает о единичной окружностью;

замкнутый Носитсшь единственной эргодической меры -нигде не плотное совершенное множество, являющееся притягивающим множеством траекторий цепи при любом начальном значении п.н., и в этом случае явно найдена эргодическая мора;

замкнутый носитель эргодической моры - нигде не плотное совершенное множество, а ррходическая мера явно строится по решению предлагаемой система нелинейных уравнений ( существование и единственность решения гарантируется).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссер-. laiuipimoii работы представляют интерес при изучении предельного поведения стохастических динамических систем» в задачах стохастической аппроксимации.

Дпнобпош работы и публикации, Основные результаты дно-' сертащш докладывались на семинарах отделов теории случайных Процессов, теории вероятностей и математической статистйки Института математики АН Украины, на конференциях молодах ученых Института матег/.атикй АН Украины, на Пятой Международной ЕилЬ-нюоской конференций по теории вероятностей и математической статно гике ( IS(j9 г.), на Республиканской школе молодых ученых "Математические методы в естествознании: теоретические и прикладные аспекты" (Алушта,1?90) и опубликованы в работах ^ i-53 .

Структура и объец работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые разбиты на семь пйраграфой. Общий обьем работы отр. машинописного reKcfa» Бйблиогрзфйя содержит

S3 Наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Во введении дается краткий обзор исследований, связан/их • с темой диссертации, изложены ее основные результаты^

В глава I изучается продельное поведение цейй задаваемой (I), р случае, когда

¿Ф^И^А}» l-P{4tCio}--S} iff «СМ** kilt (2)

где

/ Cos Ф - itntp \ * { 4 COSf /'

Очевидно, выбором базиса к этому случал сводятся все ситуации, когда значения случайных сомножителей (toi - две матрицы второго порядка с вещественными элементами, одна из которых -

матрица поворота на ненулевой угол, вторая - невырожденная симметричная. Обозначим X * . Г5 дальнеШием без ограничения

Яд

общности полагаем > 4, ( случай 141 4 X сводится к рассматриваемому перестановкой векторов базиса). Отовдествим

С О, ¿.Л и биекцией t -*• ( Л . Когда

\ вСп.* )

удобно, будем писать * <3 ЦО, ¿Л) вместо ц ( и^отож-

дествлять х и % + . Отображению ? —». А Л.. ¡/

I А?! \

на себя соответствует отображение * + <Р (тй<1&£ ) СО, й^) на себя. Аналогично отображению ^ _^ 5 ?

| § ^ I

соотватствует * й.'ыЛ^.

Хв[0,|>( придай и

при Ял ¿0 (о обоих случаях в г £К*)4-«Г ).

При V (¿л1*в»Ав5 ПРЯ

Б § 1.1 сформудированы достаточные условия единственности мори у цспл в случае матриц второго порядка, принадлежащие Т.Кайзеру. Опираясь на них, доказана следующая

Леша* г $ ¿¿л

Лемма 1.1.1. Если <£ [ "р ^ ^ 9 1 "ь-( ■> ,то

цопь V, *о 6 ипеот единственную эргодичоскую меру. Пусть ) - борелоисг.ия 6"-алгебра на К^ .

Определение. Замгнутшд носу,тол ом мирн ^С-3 но С К, ¿3 называется г.нгтгестло тел * 6 :

^С 1>>0>'УХ эх, где X - опиатов 1шо;косгг.о на « Определение. Точка ц_ € К л называется дистгдямой из точки х е , сади "Р 1 Зп.

Будем обозначать «ДХх лшг-тл,с1го точи:, достпхпшк из X ; С - экмикзшш пкч-дмпро С

Общее представление о виде замкнутого носителя эргодической меры цепи, которое испольяуется при.доказательстве последующих результатов, дает следующая теорема.

Теорема I.I.I. При <р ф J i

замкнутый носитель единотвенной эргодической меры цепи совпадает с Л jr.

Ее непосредственным следствием является следующее утверя-дение.

Теорема I.I.2. Если ср несоизмеримо с <3с£ , IXOi^To замкнутым носителем единственной эргодической мери цепи является К ^ . j. В §§ 1.2, 1.3 рассмотрены случаи £р я ~ и ^ = -ц >

которые не слн:ш:ом громоздки и демонстрируют две ситуации, возникающие" в обшом случае if , соизмеримого о ¿Jt . Г обоих случаях явно найдена эргодичеокая мера и ее замкнутый носитель при определенных предположениях об X . Соответствующие утверждения являются следствиями обкпх результатов, сформулированных в § 1.4, к изложению которых мы переходим. Пусть

с (O.ijrj S { £, S, 3-f}, CtfM.J'lfAj.y 0, tri.

Пусть

Пусть выполнено

w, i+ + "/(¿'¿t^^-i • <э>

Это требование равносильно нчлчт/ю у урзвнения «. .

. ¿£(Q,fb корней cLi £ ¿d ■■

f "" V,*

s.

X- i t -ч

.Пусть ^ - j fn' Z Возьмем дкл семейстм ин-

' ° SSM' L d ' I c N '

тервалоЫ

k» JJn~¡ ^ j» fiT,

При любых допустимых itadopax иидакоой la t . ..., ' й ^íitiiidií^H tfft ЕсЛикш1ать, <rro ik ? c¡m*Á,

Но | tfjil j Интервалы в Ьемвйствах не будут

Повторяйся ( ¿ph $ $ Л/ это выйолйеко йвтЬмёШеоки), Ílycífc

А,,* 'М и и Л* Л iArt»4¿i-p,

t)il3 ни S7fH¡n ü * ■ 7 r

T e o J> ё M Й I.4.Í* ItfcTi 6

) f АдЩ й выполнено O). Тогда ¿i оовврШенйае líiií-де не wiOTüue множество 1 Являющееся ёамкнутЬм носителем единЬтвеи1юй эргодичеСкой мерк Цепи . Мера к М на ( tS9f Й^Я одйьаначйо задавай эна*1бш1я1лй1

п.

П £i

У a tii к* ¿,n. , i^* OfiHg'i ;

Илластрацией этой теорема япляоюя случай ~ у , рассмотренный в § 1.2. Здесь íf » j- , (3) принимает вид Ч^У + ЧТЗ; Jií состоит из 6 замкнутых попарно симметричных интервалов, £ - меры симметричных интервалов равны, ü для трех, лсжате в üsú¿ , 1Я- <4*2 2 > относятся как pá i. р . При переходе от к вместо каждого lj -интервала

мы получаем три замкнутых подынтервала, меры которых тлеют то же соотношение.

Теорема 1.4.2. Пусть ср6 .К {у»«*,;-}*

( »1, ~ - т1 б Л4 7 б и йыпстнеНо (3). Тогда

Л, - совершенное множество, являющееся замкнутым носителем единственной эргодической меры ЦеНй ^^ . Л. нигде не

плотно, вели в (3) имве± место строгой неравенство, и А.* Йд , еоли в (3) - равенство. Мера йё )) однознач-

но задается значениями 8 *

к* Л

Ч = оТ^Т1, ^ТД И

где набор - единственное решение

* й

1

и

системы:

ma-i

к - ч

I -о д

Эту теорему пллгетри^ует случай 'f- TJ" > рассмотренный в § 1.3. Здесв üp = йЬ , (3) превращается в Л? Л +

состоит из восьми попарно симметричных замкну*ых интервалов. g - мэры симметричных интервалов равны, а для четырех, лежащих в С ofc *, oij + di 2 , относятся как 1ц : i i к j ! k¿ ( mg = 4 , ml- 2 ). При переходе от Лп к вместо

кгпдего Ij - интеррала мы получаем три замкнутых подынтервала, меры которых имеют соотношение кj •■ 1 ' . Кроме того, в . этом конкретном случае k, ij , i г ¿^"¿явно найдены из соответ-стпующей системы:

^ i . Г), '-йр^

+ i

Случай произвольных знаков ДА, сводится к случаю

следующим утверждением. Пусть день, построенная по Л и 3 , - цепь, построенная аналогично по Л 8 Л. и

С о |х|)' «

Теорема 1.4.3. Пусть «р *г

. Тогда замкнутые носители единственных вргодических мер цепей ^^ и ^ совпадают. Явный еид эргодической меры в случае ЛД,ЛЙ произвольных знаков может быть найден способами, изложенными в доказательствах теорем 1.4.1, 1.4.2.

При нахождении эргодической меры устанавливается, что

Болов того, в случае ^ Щ? А. является

притягивающим множеством траекторий цепи. Имеется в виду следую-'цая теорема { С > - расстояние мовду * € и

С с по дуге окружности).

Теорема 1.4.4. В условиях теоремы 1.4.1 1

с45 п.н.

В § 1.5 рассмотрены вырожденные случаи, которые не охвачены леммой 1.1.1. . .

Теорема 1.5.1. Если <р = сГ. 1К ^ , то (*0\ Л0 в имеет две эргодические меры 'л ¿|е С •) с

носителями [о, ^Г} и { ^ , ^^ 3 соответственно, и

Т е о р о м о 1.5.2. Если <р £ { ^. ^ ) , 1*4 ?

то с^пио'»чое И'орт единстгонру" " гргодэтескую мору

«СО с носителем |(3,!£ ¿7. С и ' £ - ' г

Случай ^ = г«х Ь 6 Ю,¿¿Т) , г!( |г1 = 1 тривиален:

с но-эта ме-.

9

I л»

V Х0 е имеет эргодпческую меру /Ч* с но-

сителем Л* 2 { *о+,:Ч>,

ра имеет одинаковш значения на несовпадающих одноточечных подмножествах .Мд .

В случае ^гЛ цепь имеет притягивающее множество в следующем смысле.

Теорема 1.5.3. Если у * ИТ, 14.1 > 1 , то

* = {г • тЗ'

Это значит, что любое замкнутое подмножество ^ £ ¿Г'4^''¿Г ,}

покидается цепью п. п. Другая ситуация - при <|> е [ ^

Т р о р о М л 1.5.4. ЕСЛИ , 14 • то

Здесь цепь Д,^*,,) возвратна V Х06 [о. ¿Г, 3~ },

5, л; ¥}).0.

В главе 2 изучается поведение ^^С*0) в ситуации, когда выполнено (2), но

В

/ созф -

( Ь

Ч £п.<р / *

, / я 0 ) , а\фО.

Ч а а /

Бибири.1 базиса к этому сводятся все ситуации, когда значения X ^(из) - две матрицу второго норягка с вещественными элементами, одна из которых - мптргащ попорота на ненулевой угол, вторая -ш;"ирождош1ая Н'кинч'птрлчипп мацами с сошадашш/л харзктеристи-

значонняш. Достаточно ра-.-оготроть случай А>0 1 О. < 0 сводггся к п°м.У аик- киЭ второго базисного вектора

ра противоположный).

При ^"«А

гда ^и) * Ц + 1р Т * е СМ*3». п?и = й;

к« (о^МС при

м,- МН^ис^,«),

при Л <0 ( Й обоих случаях 6 + ЦТ ).

Б § 2.1 расЬматриваетоя случай

Л в м м а 2.1.1, Если , то е имеет

единагввннув эргодичеакую мору с замкнутым носителем Л & .

2

Теорема 2.1.1. Если Ср несоизмеримо с ¿¿с , то замкнутым носителем единственной эргодичеокой меры цени ^ является К ^ .

При . /—--,

(если ш! | ) считаем * ^ ) уравнение

^ В (- £ ) "Цт корки л

(4)

. * = - а » -Га3 "а" .

¿г

т

Езкв в качестве исходных '[ ,' и =

»1(0)^,построим /«г;' н.. , \ ~ — д п> /

.Л. аналогично тому, как это сделано в § [.4.

Теорема 2.1.2. Пусть = и

и выполнено (4). Тогда «Л - совершенное нигде не плотное шо-коство, являющееся замкнутым носителем единственной эргсдапес-кой меры ¿¡СО '.Мера ¿¡СО на (^однозначно задается значениями:

Пусть теперь й>0 , Д 4 0$ - цепь, построенная по

Л и 5 , 1 - цепь, аналогично построенная по Л* - &

^ _ / 1Л1 О N а /4 0? - ее единственная зргодическая Ч Л (Л 1 / Ь мера, гарантированная леммой 2.1.1« л

Теорема 2.1.3. Пусть «р & Й

1й! + )'Т°ГДа С''"' яаяяетоя един-

ственной эргодической мерой цепи &

Л. является притягивающим множеством для траекторий цепи ввиду следующей теоремы. • •

Теорема 2.1.4. В условиях теоремы 2.1.3 У*0б Ч^г

/ С -Л.) а « п.н.

В § 2.2 рассмотрен вырожденный случай «. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.2.1. Если ^ я Л? , то цепь

имеет единственную эргодическую меру £4-) с носите-.

■ г Ц*})'«({¥})•*•

Теорема 2.2.2. Если у ± Л , то ¥ Х^б К^:

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дзюбенко К.Г. О предельном поведении произведения независимых одинаково распределенных случайных матриц // Вероятностные метода исследования систем о бесконечным числом степеней свободы. - Киев: Ин-т математики АН УССР,1286. - С.64-70.

2. Дзюбенко К.Г. О структуре носителей инвариантных мер марковской цепи, связанной с произведением случайных матриц // Асимптотические задачи теории случайных процессов. - Киов: йн-т

1'а

математики-АН УССР, 1Э87. - С.58-66.

3. Дзыбедко К.Г, С носителях эргадических мер, связанных с произведениями случайных матриц второго порядка // Избранные задачи современной теории случайных процессов. - Киев: Ин-т

. математики. АН. УОСР, 1988. - С.46-51.

4. Дзвбенко К.Г, Эргодичеокая мера, порожденная одним произведением случайных матриц // Пятая Международная Вильнюсская конференция па теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 26 Июня - I июля 1989 г.: Тез.докл. - Вильнюс, 1989. - 0». 194-195.

5. Дзюйенко К.Г. Плотность носителя эргодической меры, связанной с одним произведением'Случайных матриц // Бесконечномерный стохастический анализ - Киев.» Ин-т математики АН УССР,1990.-С.31-33»