Эргодические свойства волновых уравнений с перемешиванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ГГБ~0Д

Механико-математический факультет

: я О КГ

На правах рукописи УДК 517.9

ДУДНИКОВА Татьяна Владимировна

ЭРГОДМЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ.

01'.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного унивеоситета..имени .М.В.Ломоносова. .

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук ,А*И.Комеч

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Б.М.Гуревич - доктор физико-математических наук Л.Р.Волевич •

Ведущая организация - Ленинградское отделение Математического института-им. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета 2.053.05.04. при МГУ во адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ,- механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ Главное здание, 14 этаж .

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.04 при ШУ -

д.ф.-м.н.. профессор Т.П.Лукашенко

- 1 -

0Б111АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теми.

В работах Н.Е.Ратанова и Е.А.Копыловой впервые были рассмотрены задачи для'уравнений с частными производными в сочетании с условиями перемешивания. Эти задачи связаны с одним из направлений в обосновании "статистической физики, намеченный Р.л.Добруши-ным.

В работах Н.Е.Ратанова изучался вопрос о стабилизации пои статистических решений волновых уравнений бедующего

вида :

г (1)

при начальных условиях

11(0гх) = иЫ 3 хе^". (2)

Предполагалось, что случайная функция и0(ос)=(и°(х)111(з:)) удовлетворяет условиям перемешивания : сильного И.А.Ибрагимова или равномерно сильного М.Розенблатта. Грубо говоря, это означа-' ет, что значения и.0(х) пи0(у) начальных данных слабо зависимы при —* со . При этих условиях с некоторыми дополнитель-

ными уточнениями доказано, что распределениеуц^ решения задачи Коши 0)-(2) и его производной по £ в момент времени í слабо сходится при ¿->-оо к некоторой гауссовой меэе уМ^ . связанной с распределением начальных данных явными формулами.

Аналогичный результат был получен Б, А. Копило вой для уравнения Клейна - Гордона.

Диссертация непосредственно примыкает к этим исследованиям. В ней изучаются некоторые свойства полученных ранее предельных мер .

Целью диссертации является доказательство эсгодичности фазовых потоков гмепболическкх уравнений второго порядка относительно пледельных изо ^ц^ -

Обшая методика исследования. В работе применяются методы ЕиффеБенциальшп уравнений с частными производными, случайных пто це с сов и теории шссеяния.

Научная 'новизна. Результаты диссертации являются новыми и дают информацию о свойствах указанных выше предельных мер. Эти результаты впервые опубликованы в работах автора, список которых содержится в конце автопе .Ьерата.

Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация имеет теоретический характео. Ее результаты и методы имеют пшложение к пазличным. задачам математической физики.

Апгобагш? работы. Результаты диссертации докладывались на конференции юдоцнх -ученых в 1993 г: и на конференции имени Петровского в 1994 г.

Структура и объем диссертапии. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на параграфы. Объем работы 7Э машинописных сграяжц. -Библиография содержит 18 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается общая характеристика рассматриваемых задач и сформулированы полученные результаты.

В работе изучается вопрос об эргодичности фазовых потоков для гиперболически линейных уравнений второго порядка в пространстве К .ПУЛ .

Рассматриваются два вида уравнений :

!

I

а) уравнение Клейна - Гордона : ^^^(/У+^^и^^+т^ад^х^^еЛ, СЗ)

гдет^О :

б) волновые уравнения второго порядка дивергентного вида :

г^-т:4 %и

"Зт2 ¿' А ^

где П и нечетко.

Изучается задача Кошя для уравнений (3) и (4) со случайными начальными условия!®)

^(0,^11 (5)

Предполагается, что случайная функция Ц -(и ^ у удовлетворяет условию перемешивания. В случае уравнения (4) предполагается дополнительно, что лучи уравнения (4) уходят на бесконечность пои Ь

Предполагается, что начальные данные ио=(ч°}и.^)

вещест-

венны в случае уравнения (4) и комплексны в случав уравнения (з),

и

принадлежат фазовому пространству ¿1-Й. (¡ЦП)(В И, (Ц^/. лр-£ ^

Через ¿Ь будем обозначать слабое" фазовое пространство

Через обозначается вероятностная борелевская мера на пространстве $ - распределение • гл-е

- решение задачи (3),(&) или (4),(5).

Пии этих, а также при некоторых дополнительянх условиях, сформулированных ниже, Е.А.Копнловой в случае уравнения Клейна-Гордона и Н.Е. катано вш в случае уравнения (4) доказано, что

меры уЦ^ слабо сходятся на фазовом пространстве при к некоторым гауссовым мерам уи^:

......• :■■■■-.

Пусть разрешающий оператор-задачи (3) ,(5) или

(4}, (5) : N

Основной результат таботы : поток арго диче н относительно предельной меры ^^ .

Сформулируем точно условия на распределениеу1/0 начальна:

данных .

Всвду в работе считается, что мераудовлетворяет одному из следующих условий перемешивания :

1). условию сильного перемешивания (по М.Розенблатту.) :

д(А Л В (/Пд (в) I

2). условии глшнокврно сильного перемешивания (по И.А.Ибрагимов;

Здесь веохняя грань берется по всем событиям Д , порожденными случайная функциями X , всем событиям Е> • порожденными случайными функциями Ц0{^) У (в случае 2). уЧ0(б)>0), и всем выпуклы:.? областямX,У Лч" . для"которых

Предполагается также, что распределениетрансляцион но однородно :

где

1Цх)=и/х+Ь) .\/и„еЯ.

Здесь &(&)- ¿-аягебга ботелевских подмножеств из И . Кооме того, отедполагаэтся, что адэпаоблапает нулевым сиедним и конечной сие ¡шей плотностью энеогии : ■

Ыа0)=0 (7)

С со (8.)

ЗС 1

В случае выполнения условия сильного перемешивания (6). более слабого, чем {&'), накладываются дополнительные ограничения на момента исходной меш. Именно, тоебуется, чтобы вместо условия (8) выполнялось следующее условие : пга некототюм £>0

{(1а&1*+1ги(х)1Ы+1иЬ)12+*)М0(с!и0) <-о . (в')

к у •

От коэффициентов перемешивания

ттзебуется

достаточно бнстоое убывание при /7—. Всвду в диссертации предполагается выполнение одного из следующих двух условий : в случае уравнения Клейна - Гордона :

■ |Ь^ ЛИ <о° (Э)

о

/X

' 2 )

]\,1&п-1Ш\ """'Л,**. ■ в')

о

у чае волноюго уравнения

]'}1П"2//г(Мс1Ь<-о (10)

0 •

,и>(.Ш> 2 }

¡^иш1 * Л (юО

о

В случае комплексных начальных данннх дополнительно

ггое дполагается что мега jdQ удовлетвотмет условию :

|Ч Ы ® (у) Д Ыи0)=0 И

Первая глава посвящена изучению эш-одичностй для уравне-

'v

няя Клейна - Гордона с постоянными коэффициентами :

|pft,x)-(A-ma)uM Р2)

Поелпалошш, что п

Пусть ^(i) i^jR, - семейство операторов на пространстве if . сопоставляющих функции ио-(и°^ и.*} & Ц пешение уравнения (12) с начальными условиями (5) а его производную not в момент времени ~t :

Yt(i)u=Hi-),%fa,-)) ез>

Тогдаytfj, - образы меры JJ0 при отображении' (~t) : Я.А.Копыяовой доказано, что мета л/,

слабо

I J 10)

сходятся прит—к предельной гауссовой мереJ^oa на пространстве ffl. £ . V£ .

В пепвой главе доказана следующая Теопема 1. Поток V. (~Ь) эогодичен относительно меоы /U ^ .

1.x. Moo ~ гауссова, трансляционно однородная мера на пространстве ¿£ с нулевым средним, то цяя доказательства ^ jrsopeMH-J—яосгаточнсГпоказать, что <S "£) =Е С^Ш")!

I~>-о , i —.

К'

Чтобы доказать эту сходимость используются явные формулы,

выражающие корреляционную матрицу меоыуи^ через элемента корреляционной матрицы меры , и свойства корреляционных функ-• ций меры Мс . которые вытекают из"условий перемешивания (6) и (б'), наложениях на меру уЦ^ .

Во второй главе рассматривается уравнение Клейна - Гордона (3) с начальными условиями (5).

Предполагается, что коэффициенты - гладкие, вещест-

венные функции, причем Д -(ос)=0 при 1x1 >К„ . В случае

" ' ЗА&-

дополнительно предполагается, что ^ ^^

ПустьА* К

- семейство операторов на пространств ве М. , сопоставляющих начальным данным решение

задачи (3),(5) и его производнуа пoí в момент времени :

Е. А.Кошмовой доказано, что статистические решенияуЦ^. задачи (3),(5). слабо сходятся к некоторой предельной гауссовой мереуМ^ при i —на пространстве Ж £ , V £ > 0 . '

Основной результат второй главы состоит в следующем : Теорема 2.0 Для любых функций г ^

II) Поток ("Ь) эргодичен относительно меры уь/^ .

Для доказательства этой теоремы используется следующее утверждение, доказанное Е.А.Копыловой. Чтобы сформулировать его, .обозначим через Н ~ пространство функций через И - пространство финитных функций из Н . Лемма. Пусть выполнены сформулированные выше условия на коэрфи-

циенты уравнения (3). Тогда

Существует предел ¿im v0'hjv/(b)

.-t—^oa ....................

в сильной оператооной топологии 2(Н М) . где({:) - двой-

' V

ственние оператош к'операторам , J—0}'i

2. Если - корреляционная матрица меры jU^ , то Vi¡1&Ъ

где (а:^ у) - корреляционная матрица меры J^^J •

Лемма позволяет свести доказательство утверкдений теоремы 2 к случаю постоянных коэффициентов и применить теорему 1.

В третьей главе рассматшвается уравнение (4) с начальными. условияш( 5). Предполагается, что коэффициенты уравнения достаточно гладкие, причем при |xi^ß0 уравнение(4) имеет вид

Квоме юго.а0 (х)>0 .и матрица ~ положительно опре-

делена для Ухе IR"'. Наконец; требуется выполнение'так называемого условия неловушечности. заключающегося в уходе на бесконечность при ~t —с» всех" лучей уравнения (4). Пусть V("fc) A&R

семейство операторов на al , аналогичное семействам операторов Vp (t) ."V^ ("£) (см. (11) и (13)), разрешающее задачу (4).(5).

Н.Е.Ратановым показано, что семейство существует, и статистичесхгае решения JA^ Д^О^ задачи (4), (5) слабо сходятся при^ —>-оо к некоторой гауссовой мере J^oa • Основной результат третьей главы состоит в следувдем Теорема 3. L) Для любых фушшй

ц). Поток~\7~(1) эпгодичен.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2,•которая является аналогом теореми 3 для- случая уравнения Клейна - Гоотона. Скучала мы доказываем теорему 3 в случае постоянных коэффициентов, используя явные формулы решения задачи Коши и свойства корреляционных функций меры , которые вытекают, из условий перемешивания для меры уий . Затем, используя существование волновых операторов ^аналог приведенной выше леммы для уравнения Клейна - Гощона^, доказываем теорему 3.

В четвертой главе снова рассматривается уравнение (,4).

Через У обозначим пространство функций

Пусть V" - оператор, сопоставляющий начальным данным решение и (£,=с)е 1Г задачи (4) ,(5).

'Через Рд "обозначим семейство-мер.......

. Рв(В)-Р^В) , \/В>с4Ь(У).

Здесьби(+,х)-иЦ+9,*:) у \Ji9eR. ; борелевская мера _Р на 1Г определяется следующим образом : для любого борелевского множества

ВсТГ.

А.Й.Комеч и Н.Е.Ратанов доказали, что семейство мер|-^ слабо сходится к мере Р^ при В —>" « на пространстве

При этом Р^ - гауссова мера на V" , сосредоточенная на решениях уравнения (4), инвариантная относительно сдвигов по ос

яЬ. •

Основной везультат четвептой главы состоит в следующем : Теооема 4. с;. Лдя любых функций

¡ЦЦ(а) Р^Ш^Ц(а) р^'и) (¿и); ^ ^

1Г ^ ТГ 1Г

Ц). Поток и эш-одичен относительно меры г^ .

Утверждения этой теогемы следуют из теоремы 3. В пятой главе тассматшвается ушвнение (3). Сначала мы доказываем стабилизацию ппостоанственно-вре-... менных статистических решений Рд задачи (3),(5) при В—; Теорема 5. Пусть выполнены условия (б7),(7) ,(8),(Э),(11) ^или(б), (?) ,(в').(з'), (11)) на мерууМ0 . Тогда тзостранственно-временные статистические решения Р^ задачи (3),(5) слабо сходятся при 0 —оо к некото вой мере на лтостранстве , V £> 0 . При этом Р^ - гауссова мера на V , сосредоточенная на решениях уравнения (3).

Доказательство этой теоремы шзбивается на две части :

1. Доказательство слабой компактности семейства мео | |• 8 е К. на пространстве £ , V £ > 0 .

2. Доказательство сходимости характеристических функционалов мер ^ к характеристическому функционалу гауссовой меры.

Пусть б - следующее преобразование в пространстве V :

Тогда справедлива сл едущая Теорема 6.1). V ^ ^ £ Роо) имеет место сходимость :

] 1($и) Р^ Р^ Ш | р Р^ (Н О-

Щ. Поток 6 эргодичен.

Автотэ приносят глубокую благодаоносгь своему научному руководителю А. И. Ко мечу за постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1 .Дудникова г.В. Об эргодичности уравнения Клейна - Гордона.

Рукопись дед. в ВИНИТИ РАН. Р 2738, 1993г. 2.Дудникова Т.В. Эргодические свойства волновых уравнений. УРАН, 1994, »4, с.