Эволюция плоских волн в многофазных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

с_

сп:

) "«Ч

СХІ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЙ НАУК УКІЧЇІІІІ Інститут механіки ¡м.С.П.Тнмошепка

СЛВЕЛЬЄНА Катерина Володимирівна

ЕІЮЛЮЦІЯ ПЛОСКИХ ХІІИЛЬ В БАГАТОФАЗНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.02.01 - механіка деформішіого твердого ті.'ія

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фЬико-математіїчнпх наук

На правах рукопису

Київ - 1997

Робота виконана її Інстиіуіі механіки ¡м.О.ІІ.Тимошеїіка

Національної академії наук України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук

професор Рушицький Я.Я.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математнчпнх наук

професор Бабіч С.10.

доктор фізико-математичнпх наук Маслов

Провідна установа - Інститут гідромеханіки ПАН України

Захист відбудеться _ 1997 р. о 10 годині на

засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.03.03 при Інституті механіки ім.С.П.Тимошенка Національної академії наук України за адресою: 252057, Київ. вул.Нестероиа, 3 ; факс - (014)116-03-19.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАМ України ( Київ. вул.Нестерова. З ).

Реферат розіслано "¿і" ]щ- р

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук, професор ----І.С.Че рнишенко

15 дисертаційній роботі досліджуються плоскі гармонічні хвилі u тне рдих двофазних сумішах. Суміші є гіиерпружними, а більш конкретно квадратично пружно нелінійними, що шшс)ютьсн узагальненим погонні алом Мернаґана. Для числошіх комп'ютерних прикладів двофазних cjмі-шеіі вибрані гранульовані двофазні композиті матеріали. Вивчалася взаємодія нелінійних хішль в гіперпружних сумішах. Для класичних ііпер пружних матеріалів основні наукові результати про ішкмотію хвиль от римані в нелінійній акустиці. Перехід під однофазних класичних середо виш до дікхразпих середовищ не є тривіальним і деякі явиша взаємодії хвиль в сумішах виявилися більш складними, і) дисертації досліджені три стандартні задачі про взаємодію гармонічних плоских хвиль, а також кілька нестандартних задач • про еволюцію та спотворення плоскої хви іі при двох різних способах аналізу та про взаємодію поперечних хвиль н рамках третього наближення.

Актуальність і ступінь лосліпженості тематики дисертації. Гармонічні хвилі в матеріалах вивчаються на протязі сотень років. Перші наукові спостереження швидкості гармонічних хвиль в матеріалах ироно див Віо в 1809 році. Це були відомі всім механікам вимірювання швидкіх.-ті звуку в чавунних трубач нового паризького трубопроводу, який якраз тоді будувався.

Квадратично нелініііна теорія матеріалів, основана на введенні кубічно го потенціалу спеціальної форми, була запропонована і почала застосовуватися до металів та інших традиційних матеріалів приблизно в 50-их роках нашого століття після опублікування Мернаґаном відомої монографії про скінченні деформації в пружних тілах. Згаданий потенціал тепер пази вають потенціалом МернаГана.

Треба сказати, що нелінійність у фізиці с звичайним япищем. Такі ро зділи фізики як небесна механіка, гідродинаміка, теорія гравітації та ряд інших є просто нелінійними по своїй суті.До певного часу в них областях нелінійність сприймалася як деяка специфічна неприємність, як "своя“ не лінійність в кожній області. Однак вже в сорокових роках нашого століття був усвідомлений гак званий ізоморфізм закономірностей, коли фізичні явища, пов’язані з коливанвями, стали класифікуватися не по їх нідношен нях до традиційних областей фізики, а по спілі,пості закономірностей. Це було сформульовано Манде.п,штамом як принцип "коливної віаємодопомо-

:t

ги" у фізиці, як іісшшіі “інтернаціоналізм" нелінійної теорії коливань.

В 70-80- их роках Пули усвідомлені наукова актуальність і пріорите шість нелінійності в теорії фізичних полів та хвильових задачах оптики, фізики плазми, радіофізики, акустики. Мандельштамівський принцип почав чітко працювати в нелінійній теорії хвиль. Почалася тотальна "хвильо ва взаємодопомога* в фізиці.

Перші наукові публікації з вивчення взаємодії звукових хвиль в матеріалах відносяться ло 60-их років. В першу чергу, цс публікація З.Я.Голь дберга в 'Акустическоч журнале" 1960 року російською мовою та публікація Інгарда та ГІрідмора-Ііроуна в Л.АсоиБ^Бос.Апіег. 1956 року англійською мовою.Далі ці дослідження були продовжені як англомовним на уковим співтовариством.так і російськомовним науковим співтовариством. Основний внесок внесли московська акустична школа та англійська акустична школа.

Одним з висновків, які можна зробити.при детальному знайомстві з теорією нелінійних звукових хвиль, є відсутність досліджень таких хвиль в твердих тілах ( матеріалах ) з внутрішньою мікроструктурою, до яких, зокрема, відносяться композитні матеріали. Неперервні нелінійні хвилі в твердих тілах (механічні хвилі в матеріалах) взагалі значно менше досліджені порівняно з нелінійними хвилями,які вивчаються в інших розділах фі зики. Пояснити таке, становище можна двома особливостями, з яких одна має дещо загальний характер.а друга стосується лише композитних матеріалів.

Перша особливість пов’язана Зі складністю систем рівнянь нелінійної теорії деформування матеріалів і взаємозв'язаністю поздовжних і попереч них хвиль. Взаємодія поздовжних та поперечних хвиль ускладнює загальну хвильову картину додатково до тієї складності,яку створює врахування нелінійності деформування матеріалу. Це видно хоча С з того, шо класична нелінійна абстрактна теорія пружності дальше побудови акустичних тензорів Адамара не пішла. Введення додаткових параметрів до моделі при зводить до суттєвої зміни в базових системах рівнянь, збільшує кількість хвиль і не заохочує до досліджень взаємодії нелінійних хвиль в ускладнених моделях деформування матеріалів. Друга особливість полягає в тому, що хвилі в композитних матеріалах здебільшого описуються за допомогою мікроструктурних теорій другого порядку. Це звичайно лінійні теорії

і математично вони зводяться до більш складних рівнянь, ніж класичні рівняння теорії пружності. Тобто, в композитних матеріалах завжди прояв ляється та згадувана вище загальна особливість. Як правило, хвильовий рух в таких теоріях вже не описується класичним хвильовим рівнянням.

Узагальнення мікрострукіурних теорій па випадок фізичної та геометричної нелінійностей ще більш ускладнює системи рівнянь, які описують хвильовий рух. Таким чином, були створені певні об’єктивні причини,які не спонукали до вивчення нелінійних хвиль в композитних матеріалах.

В дев'яностих роках з'явилися роботи Єрофеева В.І.,Потаїш на О.І.,Ру-щипького Я.Я. , в яких були зроблені перші спроби проаналізувати най-. простіші випадки взаємодії хвиль для деяких добре випчених моделей матеріалів з внутрішньою мікроструктурою.

Ці роботи підтвердили, що теорія нелінійних гармонічних хвиль в матеріалах не є достатньо дослідженою. Отже, задача про гармонічні нелінійні хвилі в композитних матеріалах є актуальною з точки зору подальшого розпитку теорії гармонічних неперервних хвиль в матеріалах. Хвилі в нелінійних середовищах з внутрішньою мікроструктурою раніше вченими-механіками не розглядалися.

За мету в дисертаційній роботі було вибране вивчення еволюції плоских гармонічних хвиль в багатофазних середовищах (матеріалах), які при деформуванні проявляють нелінійно пружні властивості.

Основний механічний ефект, який вивчається, полягає в еволюції хвилі та спотворенні початкового профіля хвилі внаслідок цієї еволюції. Механізм еволюції створюється нелінійностямй, які в двофазних матеріалах мають два походження - нелінійність процесу деформування фаз та дисперсійна нелінійність, породжена мікроструктурою. -

Поставлена мета включала постаїюзку задачі про взаємодію гармонічних хвиль в двофазних матеріалах, яка в дисертації реалізувалася в постанов ку шести різних задач.три перших з яких є стандартними в класичній нелінійній акустиці. .

Далі ставилася мета про отримання аналітичних розв'язків для кожної задачі та фізичного коментування отриманих розв’язків, яке найчастіше полягало у вивченні еволюції поздовжних та поперечних хвиль аж до такого спотворення профіля гармонічної хвилі, коли він стає гіилоподібним і хвиля перекидається. Передбачувалося, що отримана хвильова картина буде достатньо складною порівняно з класичною і тому планувався числовий аналіз ( математичне моделювання ) на комп’ютері еволюції хвилі. > Наукова нонизна і значущість результатів роботи полягають в тому, що вперше: '

вивчена взаємодія і еволюція гармонічних плоских хвиль в пружно неліній них матеріалах з чітко вираженою мікроструктурою; проведений теоретич ний аналіз ряду стандартних та нестандартних задач про взаємодію хвиль, що поширюються в твердих двофазних сумішах; (примані нові |юзв’язки

рівнянь поширення поздовжних та поперечних хвилі» п терлич двофазних сумішах: теоретично та чисельно за допомогою комп’ютера проаналізовано еволюцію плоских гармонічних хвиль в композитних матеріалах: ішянлсно ноні ({юрми спотворення пружних гармонічних хвиль внаслідок взаємодії рі зних мол поздопжннх та поперечних хвиль: теоретично передбачено леякі ПОПІ ХВИЛЬОВІ ефекти.

ііог.товіпііість одержаних в дисертації результатів та висновків забез печується коректністю постановок залач: обгрунтованістю використовуваного математичногоапарату: зіставленнями з відповідними класичними задачами' нелінійної акустики матеріалів та тестовими комп'ютерними задачами: погодженістю результатів між собою і несутіеречлипістю встановле них закономірностей з загальними міркуваннями фізичної природи.

Теоретичне значення та практична цінність одержаних в роботі результатів полягають:

- у розвитку теорії гармонічних хвиль, які поширюються в двофазних ма теріалах.а саме в теоретичному та комп’ютерному аналізі еволюції та спотворення гармонічних хвиль в двофазних матеріалах в рамках нелінійної те орії суміші:

- в знаходженні нових розв'язків рівнянь хвильовою руху; ■

- в знаходженні нових тривимірних форм графічного представлення еволюції хвиль;

- у виявленні механізму самогенерації іншсрсчннх хвиль.

Реалізація та впровадження результатів. отриманих в дисертації. Наукові дослідження виконувалися в рамкач робіт, передбачених програмами та планами НДР ІІЛІІ України.Результати дисертаційної роботи уві йшли до звіту теми фундаментальних роОіт №1/227 "Розробка тривимірних структурних моделгіі механіки композитів".

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповіла лис.я і обговорювалися на семінарах відділу динаміки ііоліагрегатних сере довищ Інституту механіки НАМ України (1995-1996): науковому семінарі за напрямком “Теорія коливань" при Інституті механіки НДН України (1997); науковому семінарі з теорії нелінійних хвиль при Інституті гідромеханіки НАН України (1997); 4-й та 5-іі міжнародних наукових коифсрс нціях з математики пам’яті академіка М.Кравчука (1995,1996); 2-й Вссук раїнській конференції молодих вчсішх(1995). Важливі результати з дисер тації доповідалися на міжнародному нау ковому колоквіу мі "Нелинейная динамика твердых тел с микроструктурой" (1995), 31-й Польській конфе рсниії з механіки SolMec96(1996), 16-ому міжнародному симпозіумі "Vibra lions in Physical Systems* (1996).

Особистий внесок лигептянтки полягає в отриманні нових розв’яз-кі рішіянь хвильового руху в двофазних середовищах, в теоретичному та комп’ютерному аналізі еволюції позловжних і поперечних плоских гармонічних хвиль. .

Публікаиії.По результатах дисертації опубліковано 5 наукових праць Основний зміст роботи відображено в публікаціях [1-5]. 1} працях,написаних з науковим керівником, нроф. Рущииькому Я.Я. належить ідея досліджень, загальна постановка задач та вибір метолів аналізу. Сг. наук, співр. канд.фіз.-мат.наук Коваленку Л.П. належить вибір способів комп’ютерного моделіовзння.Сш'вавторам також належить участь в обговоренні та аналізі результатів.

С.тпуктупя роботи. Дисертаційна робота складається з чотирьох глав, висновків та списку літератури.Робота викладена на 140 сторінках, включаючи п’ять таблиць та 26 рисунків. Бібліографічний список налічує 136 назв. .

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Н першій главі (вступі) подано огляд сучасного стану проблеми гармонічних нелінійних хвиль в твердих тілах взагалі і в твердих тілах з мікроструктурою зокрема, описане місце даної роботи серед проведених раніше досліджень, сформульована мета роботи, обгрунтовано новизну та актуальність результатів, теоретичне значення і практичну цінність роботи, а також коротко викладені основні результати і обгрунтована їх достовірність. Сформульовані положення, що виносяться на захист. Стисло викладений зміст глав.

Друга глава містить необхідні факти з-класичної нелінійної теорії пружності та лінійної теорії твердих сумішей. Спочатку викладаються ба зові поняття з класичної механіки суцільного середовища, де спеціально обговорюються композитні матеріали, для яких сам матеріальний контину ум вводиться по-своєму. Далі послідовно описуються ті положення з класичної нелінійної теорії пружності, які стосуються гіперпружних середовищ. Нагадаємо.шо поняття “гіперпружний“ ввів Трусделл для позначення таких середовищ, для яких існує потенціал накопиченої енергії. Детально викладається необхідна в подальшому класична квадратично нелінійна теорія, основана на потенціалі Мернаґана. Цей потенціал означає нелінійно пружний ізотропний матеріал,який характеризується двома пружними постійними другого порядку X, ц (постійними Дяме) та трьома пружними по стінними третього порядку А,В,С (постійними Мернагана). Записуються

2 7

рівняння нелінійної акустикії.для чого вводяться тензор напружень Гііоли-Кірхгоффа !пт та створюючий з ніш пару градієнт деформацій, і описується проблема взаємодії гармонічних акустичних хвиль. Особлива увага приділена трьом стандартним задачам нелінійної акустики про взаємодію поздовжних та поперечних хвиль з однаковою частотою. Наприклад,постановка першої з них полягає в тому,що на вході в середовище задається ті льки іюзловжна хпи.чя. В термінах механіки це означає, що на границі пів площини х=0 задається коливання в поздовжному напрямку з заданою частотою о. Другий параграф цієї глаші присвячений лінійній теорії двофазної суміші, яка трактується як мікроструктурна теорія композитних мате ріалів. Викладаються основні положення теорії і аналізуються хвилі в сумішах. Суміш є дисперсивним середовищем і тому гармонічні хвилі в сумі ші диспсрсивні. Особлива увага приділена плоским хвилям, поширення їх описується трьома невзаємозв'язаними системами рівнянь

(1)

„ (1 пі (а> „(»IV п (т ,

Раа лг -/*« дх2 ~ К . дх2 ~ Р\“т »« ) " 0 </Я 2’3>

Лінійно пружна двофазна суміш описується 9 фізичними сталими. Системи (1) описують незалежне поширення трьох видів хвиль -поздовжної (Р-хвилі). поперечної горизонтальної (5Н- хвилі) і поперечної вертикальної (5У- хвилі). Розв'язки системи (1) мають вигляд суперпозиції двох гармонічних хвиль .

'' (2)

Особливості розв'язку (2) такі : 1) одночасно існують дві моди (оптична та акустична), які відрізняються хвильовими числами £„т) (індекс а фіксує номер моди); 2) обидві моди являють собою суттєво дисперсний хвилі, в яких за означенням частота є нелінійною функцією хвильового числа;3) оп тична мода фільтрується сумішшю, вона запирається для низьких частот, починаючи з певної частоти, яку називають частотою запирання (частотою відсікання); 4) в кожній фазі поширюються обидві моди зі своїми амплітудами, матриці розподілу амплітуд задаються залежними від частоти косфі цієнтами, чому зі зміною частоти енергія перепомповується з однієї моди до іншої моди.

В третій глачі розглядаються описані в попередній главі стандартні задачі,але вже в рамках нової моделі • двофазних сумішей. Спочатку описа ні особливості побудов» нелінійної теорії двофазної суміші взагалі і квадратично нелінійної теорії зокрема. Записані основні факти з квадратично нелінійної теорії поширення плоских гармонічних хвиль, підкреслено прямий зв’язок цієї теорії з класичною теорією нелінійної акустики. Теорія , основана на узагальненні потенціалу Мернагана на випадок двофазних су-мішеи. Новий потенціал включає сім пружних постійних другого порядку (А к,/Лк,Р) і сім пружних постійних третього порядку [Аа, Да,Са,/Г) .

Він описує-основні властивості нелінійного деформування і властивості де. формування суміші як мікроструктурного середовища. Приведені і надалі використані при комп’ютерному моделюванні комплекти фізичних сталих для ряду реальних гранульованих гігіерпружшіх композитних матеріалів. Поширення плоских хвиль описується такими взаємозв'язаними нелінійними системами рівнянь ■

д2и і<а>. .. г. ч я і <а)

Раа ^*2 “ а) ^2 (Аз+2/і3) — ^Н| 14\

(3)

(„) д2иІа) ди\а) \,{а)( д2и[а) ди\а) ¿)2и\а) ди\а)\

дх\ <?лг, ^ Ас, дх1 дх'І йс,

,2 (а) ,2 (а) ^2 <Д)

■ Л,Г'(-’4"- ; (т -2,3). (II

^ дх* дхх дх\ дх1 )

ІУ|<а) =3(Аа + 2рп) + 2(Аа +35а +Са), М{2а)-ца+1Д, + Ва .

Отримана система рівнянь (3),(4) є основною для вивчення взаємодії пло ских хвиль в сумішах. Далі будуються розв’язки трьох стандартних задач для рівнянь (3), (4). Постановки класичні, некласичною в цін постановці є сама суміш і факт днсперсійності та двомодовості хвиль в ній.

В першій стандартній задачі треба розв'язувати таку систему , агиіа) й2иы) Л2і/6)

~ ~ (Аа+2,.а)А^--(А3+2,1з)^— (5)

д2и\а) ди\а) дХ2 дХу

Метод розв’язування полягає в иведепні малого параметру і знаходженні розв’язку з точнії:гю до квадратів цього параметру. Фізичний зміст пара-

9

• • *4 ЛІ ('•*)' г-

мі'їіп пшілишік л його щшлсіавлеїшя • £ „ " . —г---------------іпахм, , тоОто

а ^ п

щоб він був малим. треба,щоб максимальна амплітуда хвилі була хоча б їм порядок меншою віл довжини хвилі. Отриманим розв'язок мак вигляд

н, (.г,,/)- С, <; 1+ І(к,,,І)С;л,е Іл '+ ((,)

Х,Ш -2і(*„(/І>г

77“^«б‘^лб /'гілб М.

-*ЦЯ

М, ю 1

м.

¿¡2і с .

А/, ійо 1 01

-,[(*ї»+*;«'))д.2га,]

Перші ти другі складові п формулі (0) являють собою майже розв'язок лі цінного набдиження.тобто це дві гармонічні хвилі (дві моди ) з відміїштш-хиильовпмн числами і іншими властивостями, відомими з лінійно! теорії . Трсіі та четверті складові описують гармонічне коливання за другою гар монікою відповідно першої та другої мод. Ці другі гармоніки генеруються модами при їх взаємодії. Нарешті.п'яті складові описують зовсім нову по~ здовжну хшілю.яка виникає при взаємодії двох різних мод і раніше не вив чалася.Нова хвиля є складною хвилею (модульованою хвилею), описує про сторону модуляцію і просторові биття с частотою биття 2(*,(1) -

яка залежить тільки від параметрів лінійної задачі.

У другій стандартній задачі на вході до середовища задані лише поперечні вертикальні коливання і вважається, то поперечні горизонтальні змі Іікчіня відсутні. Тоді у другому наближенні необхідно розв’язувати такі си стсми .

№•’•,д2и?{а)

Раа ^2 (^и+2/іа) ^2 (^3 + 2/*з) ^2

' л2„*<а>

-р(«Рв) -щ™) - д и-\ -ди'~ ;

• 1 ■ 1 ' 1 дхі дх,

(7)

п ¿ «3 и д%ІВ| / ~(4)Ч

дг ах? дх? "^“3 "Из )’° -(8)

Розв'язок системи (7) знаходиться звичайним методом, коли відома прана частина. Нона відома. її треба лирахувати і тоді розв'язок знаходиться під бором подібних функцій і може бути представлений у вигляді суперпозиції п’яти ХВИЛЬ

+ iSlae 1 J + tf2ae +‘Siae " 1 J .

Дві перші хвилі в розв’язку (9) є майже розв’язками першого лінійного наближення. Це дійсно дві поздовжні гармонічні хвилі,що мають по дні мо ди зі всіма параметрами лінійних поздовжних хвиль,за винятком амплітуд. Третя та четверта хвилі с фактично другими гармоніками для поперечних хвиль.У ньому випадку поздовжнії хвиля не тільки генерується взагалі.ю бто як перша гармопіка.Кожна поздовжня мода ще додатково генерує дру гі гармоніки поперечної хвилі. Так вона це робить при реалізації першого стандартного випадку збудження,але там генерується Ті власна друга гармоніка. Найбільш цікава п’ята хвиля. Ця нова скЛадна хшіля є модульоча пою просторово хвилею, [іона представляв якраз новий, не фігуруючий в класичній акустиці, ефект - ефект взаємодії двох різних мод однієї і тієї ж хвилі. Цей ефект породжений суттю самої теорії суміші і саме їй тілі, ки належить. Поява u амплітуді п'ятої хвилі множника х, теж є несподі ваним.в класичній теорії складні хвилі такого множника не мають. Отже, мікроструктурне середовище може накопичувати нелінійні спотворення і у випадку відсутності звичайного синхронізму.

Третя стандартна задача ставиться так,що в середовищі одночасно збу джуються поздовжні і поперечні вертикальні хвилі.Хвильовий рух описує така нелінійна система,яка складається з двох взаємозв’язаних систем, ко ж на з яких в свою чергу є. системою з двох взаємозв’язаних рівнянь

и„ «г +ц,и\6) - С «!а> +0і0) : (10)

ца «4а, + ¿її («,(<І,«Г) • (П)

1’опгГязок системи (10) миє вигляд .

+

+й«е

П’ять перших хвиль з (12) співпадають з точністю до-амплітуд з розв’я зком (6), який вже коментувався. Цікаві хіш.іі шоста, сьома та восьма, в • мких проявилася взаємодія між модами. Ці хвилі і є тим новим елементом в розв’язку,в якому об'єдналися нелінійні та мікроструктури*! ефекги.Скла дшіі і амплітудами 0,и являють собою поздовжні хвилі, які за частотою

с другими гармоніками, але мають складні хвильові числа

Огже.розн’язок (13) складається з шести хвиль. Дві перші являють собою звичайне двомодове представлення поперечної хвилі и двофазній суміші. Ре іцта є другими гармоніками за частотою з хвильовими числами, які являють собою'лінійні комбінації хвильових чисел різних мод. Амплітуди цих складних хвиль зростають з пройденим шляхом. Ці складні хвилі не утворюють з лінійними хвилями просторово модульовані хвилі.

1> четвертій главі викладені результати дослідження кількох нестанда-

12

Розв'язок системи (II) у другому наближенні матиме вигляд

+

М,

+

м,

(13)

ртних задач. Перші дві задачі є нестандартними у тому розумінні, що до вивчення взаємодії позловжшіх хвиль як для випадку класичного акустичного середовища, так і двофазної суміші застосовується метод повільно змінних амплітуд.який раніше до таких задач не застосовувався.Трстя задача розглядає у третьому наближенні самогенерацію поперечної хвилі. Фактично це теж дві задачі, оскільки третє наближення будується як для акустичного середовища» так і для двофазної твердої суміші.

Перший параграф присвячений еволюції плоскої хвилі в суміші, Записується і використовується загальна схема нелінійної фізики для визначення критичного моменту часу та критичної відстані при еволюції хвилі.3а кла сінною схемою нелінійної акустики вивчена еволюція гармонічної хвилі, в побудові використане спеціальне представлення розв’язку,яке нагадує вигляд хвилі Ріманна і тому дозволяє застосувати загальну схему. Отримані формули для знаходження критичних значень часу та відстані.

Другий параграф містить результати аналізу спотворення плоскої хвилі методом повільно змінних амплітуд.Спочатку вивчається класичне акустичне середовище, будуються вкорочені та еволюційні рівняння. Конкретно вивчається взаємодія трьох хвиль. Отримані системи рівнянь є стандартними для всіх класичних середовищ, відрізняються лише змістом та записом позначень. Умови повного синхронізму трьох хвиль теж стандартні

а>3 -си2 -со, - 0 к3 - к? -к, - 0 . (14)

При цих умовах дві взаємодіючі між собою хвилі породжують третю та пе репомповують до неї свою енергію. Записані теж умови Менлі-Рова, закон збереження енергії трьох хвиль та прокоментовані фазові портрети. Далі отримані результати узагальнені на випадок значно більш складного сере довища - двофазної суміші. Тут теж отримані вкорочепі та еволюційні рівняння і вивчена взаємодія трьох хвиль.Однак суміш як середовище містить 6 варіантів вибору трьох хвиль. Детально вивчався варіант “перша мода + друга мода ** друга мода'. Основна особливість полягає в тому, що взаємо дія в першій і другій фазах відбувається по-різному. Вкорочені та еволюці йні рівняння в різних фазах відрізняються коефіцієнтами. Умова частотного синхронізму не змінюється, а просторового ускладнюється

ю2)-*,(1)(о>,)-0 . - (15)

Як відомо, хвильові числа в суміші є функціями частоти.!! суміші енергія буде перепомповубатися двома шляхами - переходом від однієї хвилі-учас-І1ИЦІ дл іншої в конкретному триплеті та переходом від одній моли до іншої при зміні частоти, на якій збуджена мода. В суміші одна і та ж ппр-

13

ша мода породжує другу гармоніку друїої мо;ш і причому в різних фалах амилііула нової хвилі зростає неоднаково.

А<» (х)тх /Г(2со)лГ>+л'Г___________________Г .

а,Ч2‘“)(л:і) Лі(я3+2/і3)+(я2 + 2/і2)/і2ЧМ1 1 (со)^л"' ’

1<2> Г, ч , Г(2ш)ІУ}а> + ЛТ,№ Ы^л’)2^-*)2

42Л2“)(Л:‘) Д:.(Л2+2М2) + (Л3 + 2/х3)^)(2ш)^ 1 ( )^Аі^ ' 1 6>

І! цьому можна бачити новий ефект. .

У третьому параграфі вивчається еволюція поперечної плоскої хвилі у тре тьому наближенні. Відомо,що згідно -.і другим наближенням поперечна хви ля не взаємодіє сама з собою і не породжує ніяких нових гармонік Третє • наближення дає такі розв’язки

ЛГ,(ЛГг)2в»*(и3) 4 Л>(«3)

Мі<3’(*і. 0-----Т7~.--ГГГТ 2 щ, 1хи0 + —-----------(17)

€Ар\к2 -У) сьтсІ»-\ 8рсгс1

, (*2)2-2(“з)3 4 ,

Ч)\хі,0----------------Г5—2™зЛхіЛ ■ (18)

8р[к -1] с£

Ііирази н>іп(Хі,1) являють собою типові складні хвилі, у яких відсутній (разовий синхронізм з заданою на вході поперечною хвилею. Наприклад,

и'іДд^.О = ьїпкшісоьііікіх, ~(2 + к)юі\ .

Практично всі складні хвилі модулюються лише з часом, тоді як друге наближення дає хвилі, модульовані в просторі. Також всі складні хвилі третього наближення поширюються на частотах, не кратних до основної частоти, а дробових у відношенні до неї.

Для оцінки еволюції поперечної хвилі проводилося комп’ютерне моделюва пня (вибиралися п’ять звичайних та шість композитних матеріалівЮтрима ні просторові комп’ютерні графіки дуже показові і свідчать про суттєву еволюцію поперечної хвилі. Однак різні матеріали по-різному трансформують початково задану хвилю. Деякі просто спотворюють початковий імпульс, а деякі повністю змінюють форму хвилі, фактично зберігаючи лише П подібність до гармонічної.

Праху іншім двофазності і відповідно дисперсшшості не змінюють картину еіииюції.ішвчену у третьому наближенні для однофазного середовища. По но лише збаїачує цю картину тим, що в кожній фазі еволюція відбуває! ь єн по-своєму і що пояиляються ноні складні хвилі внаслідок в.ки миш мі/к

О.

молами. Попі хвилі теж мають спостережені раніше властивості • модуля піп з часом та некратність частот основній частоті.

Заключна частина (Висновки) містить в першій своїй частині ро.і-ширене формулювання основних результат ці,отриманих в днг.ертації.В другій частині систематизовані висновки, які випливають з аналізу результа ті» дисертації. .

A. Таким чином, в поданій на захист дисертаційній роботі досліджені га рмонічні плоскі хпилі, які поширюються в нелінійних багатофазних середовищах (композитних матеріалах). Такі нелінійні хвилі раніше не вивчали ся і дисертація започатковує новий напрямок в дослідженні хвиль в матері алах з мікроструктурою. Проведене дослідження включає:

1. Постановки традиційних для класичної нелінійної акустики задач (на званих в дисертації стандартними) і нетрадиційних (названих нестандартними) про поширення гармонічних плоских хвиль в двофазних середовищах (композитних матеріалах).

2. Отримання аналітичних розв’язків поставлених задач теорії суміші і

математичне моделювання на комп’ютері процесу еволюції гармонічних хвиль.

3. Теоретичне засвідчення нових хвильових ефектів, пов'язаних з взаємо дією, перш за псе, різних мод гармонічних хвиль.

B. Основні результати роботи такі: .

1. Вивчена взаємодія гармонічних плоских хвиль при їх поширенні в двофазному середовищі: 2. Проведений теоретичний та числовий аналіз еволюції плоскої поперечної хвилі за класичною схемою нелінійної акус-. тики в третьому наближенні і узагальнено цю задачу на випадок двофазної суміші; 3. Проведений теоретичний аналіз еволюції плоскої поздовж -ної хвилі в двофазному середовищі і отримані формули для обчислення критичних значень часу та відстані; 4. Вивчені особливості взаємодії гармонічних хвиль в трьох стандартних задачах.де звернено основну увагу на взаємодію різних мод і отримано аналітичні вирази для нових хвиль, що виникають внаслідок такої взаємодії; 5. Застосований метод повільно змінних амплітуд з метою вивчення еволюції поздовжної хвилі як у наближенні нелінійної акустики, так і в наближенні нелінійної суміші; 6. Побудовані вкорочені, еволюційні рівняння та енергетичні співвідношення да ли можливість проаналізувати перепомпування енергії між хвилями при їх взаємодії; 7. Для ряду задач зроблений комп’ютерний аналіз еволюції хвиль при їх взаємодії. '

15 '

С. З отриманих результатів можна зробити тикі висновки:

1. lt двофазних нелінійних середовищах (сумішах) еволюція є явищем, ИКС. супроводжує поширення кожної плоскої хвилі. Побудовані комп'юте рні тривимірні ірафіки ддн поперечних та ноздовжних хвиль свідчать, що іди раду композитів ції еіюлюцін суттєва.

2. 1! стандартних задачах класичної нелінійної акустики про збудження іільки поздопжної хвилі, чи тільки'поперечної, чи обох разом еволюція гармонічної хвилі відбувається за рахунок двох механізмів: класичного ме ханізму нелінійиосгі деформування фаз суміші та дисперсійного механізму спричиненого врахуванням мікроструктури в моделі суміші.

3. В нестандартних задачах.до яких віднесені дві задачі (в кожній засто сована класична модельне лінійної акустики та модель нелінійно пружної суміші ): про взаємодію поздовжних хвиль та про еволюцію поперечної хви лі, еволюція теж є суттєвою. 15 перших двох задачах метод повільно змінних амплітуд дай можливість теоретично передбачити перепомпування сне ргії внаслідок взаємодії хвиль, а в других двох взагалі вперше засвідчено еволюцію поперечної хвилі.

Основний зміст дисертаційної роботи викладено в таких працях:

1. Эволюция гармонической волны при ее прохождении через двухфазный материал // Прикл.механика.- 1992.-- 28. №9.- С. 13-21. (Співавтор Ру-шкцькнй П.П.).

2. Анализ распространения гиперупругих волн с учетом третьего приближения //Тезисы докладов 4-й международ. конференции памяти акад.П. Кравчука.-Киев: Нац. техн. уншюрс. Украины “Киевский политех, институт“, 1995.-С. 214.

3. К вопросу о взаимодействии волн в нелинейных гиперупругих материалах //Труды 2-й всеукраинской конференции молодых ученых.- Киев: Национальный университет Украины им.Т.Шсвченко, 1995.- С.230-237.

4. Еволюція поперечної гармонічної хвилі в гіперпружних середовищах // Тезисы докладов 5-й международ. конференции памяти акад.П. Кравчука,-Кпсв: Нац. техн. универс. Украины “Киевский политех, институт“, 1996,-

С. 379.

5. Самовозбуждение поперечных волн в гиперупругих материалах ( третье приближение ) // Прикл.механика.-1996." 32, №5.- C.3Ü-3B. (Співавтори Рушинький Л.Я., Коваленко А.П.).

Savelieva K.V. Evolution of plane waves in multi-phase media Dissertation for the Candidate of Physical and Mathematical Sciences in Spo ciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid, S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, ] 997.

Five papers containing results of theoretical and computer investigations of the interaction of harmonic piano waves, which propagate through elastic nonlinear multi-phase media (composite materials). Analytical solutions of 6 different problems are built. New wave effects which are generated both a deformations nonlinerity and dispcrsivity of media are studied. The special attention is given to new waves which are generated in mixtures as a result of the modes interaction. •

Савельева E.B. Эволюция плоских волн в многофазных средах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичег ких наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. Институт механики им.С.П.Тимошенко Национальной академии наук Украины, Киев, 1997. .

Защищается 5 научных работ, которые содержат результаты теоретических исследований и компьютерного моделирования взаимодейстпиянлоских волн, распространяющихся в нелинейно упругих многофазных средах (ком позитных материалах). Построены аналитические решения шести разных задач. Изучены новые волновые эффекты, порожденные не только нелине йностью деформирования, но и дисперсивностью среды. Особое внимание уделено новым волнам, которые генерируются в смесях вследствие взаимодействия мод. •

Ключові слова: плоска гармонічна хвиля, еволюція та спотворення хвилі,

нелінійність' деформування,композитний матеріал, мікроструктура.теорія суміші. .