Эйлеровское и Борелевское суммирования рядов, их обобщения и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Мураев, Энгельс Борисович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1992
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РСССИлСКОЛ АКЭДЕЫИ НАУК
• Н' правах рукописи
Мураев Энгельс Борисович
Уда 517.52
ЭЛЛЕРОВСКОЕ И БОРЕЛЕВСКОЕ СУММИРОВАНИЯ радов, ИХ ОБОБЩЕНИЯ и приложения
01.01.01 - математический анализ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук
Новосибирск - 1992
' Работа выполнена на кафедре мат атического анализа и дифференциальных уравн. .;ий Красноярского государетвеноо го университет;
Официальные оппоненты :
доктор физико-математичсскюс наук Й.Е. Аниконов
доктор физико-математических наук А.П. ІСЬаков
доктор физико-математических наук А.И. йнутяаускас
Веденая организация :
Институт математики и мзхаяики Уральского отделения РАН
Защита состоится "_________"__________ 1992 г. в ____часов
на заседадаи Сг;ец;г чиэированнога совета 2) ооЗ~ »-3, О оЬ по змите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при институте ¡.^тематики РАН по адресу: "630090, г.Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4".
С дисеер циеП ночно ознакомиться в библиотеке Института математики РпН.
Аптораоерат разослан "_____"______________ 1992 г.
Ученей секретарь
Специализированного совета, *
доктор физ.-мзт.
наук, профессор - . ' ■ • Ь.С. Б-.лоносов
I . Общая характеристика работа
"Актуальность тем» . Из многочисленных методов суумирсажшя рядов эйлеровские и королевские метода ( органически сзяэакме между собой ) выделяются тем свойством , что они хорошо приспособлены для аналитического продолжения функций одного и многих комплексных переменных . Кроме того , эйлеронскиь методы , будучи описываемы нииники треугольники матрицами, позволяют строить различные итерационные процессы для нахождения реяеннй операторных уравнений в нормированных ( или, более общо, линейных топологических) пространствах. Борелевскиз методы , тесно связанные с интегральными преобразованиями типа Фурье ¡1 Лапласа, позволяют исп дьзовать в вопросах суммируемости рядов и последовательностей известные результаты операционного исчисления .
Большой заслугой Л . Эйлера в математическом анализе является то , что он впервые дал новое определение суммы ряда , применимое как ко всем сходящимся рядта, так и к некоторым расходящимся . При этом от определения требуется, чтобы для сходящихся рядов новая сумма совпадала с обычной , т.е. чтобы метод суммирования рядов был регулярным. Эйлер исходит из разложения
¿О
/ . V» +1 с" -
)=2>‘р,г"‘ (Г'*'.
нго ^р+1-рг/ ^
п + ]
и называет ряд
со
- £.а»
^ - О
( £■ , ]э) - СуММИруеМНМ к числу 3 , если ряд } (I
^— п
дится в обычном смысле к числу 5 . Зто определение легко сфор-
мулировать на языке-последовательностей.
(I)
(Р)
СХО--
йгрвое систематическое изложение ( Е , р ) - методов
Д1нс Кноппом. Обобщениями (Е, р) - методов занимались Перрон, Ккопп, Гронуолд, Би/лнделли, Скот-г >: Уолл, Меленцов (под названием аналитических преобразований) и др. Гронуолл ввёл очеш» об-щгн преобразование, задаваемое двумя аналитическими функциями с некоторыми свойствами и включающее в себя нногке классические методы суммирования: <ЭйЛ9?а~Ккоппа к его обобщения, построенные Перрэном, Чезарч, Воронего-Нерлунда и др.
Предельнш переходом при |э -> со из ( Е, р) - методов
могут быть получз::ы более сильные методы суммирования ряда (I), которые можно коротко описать так: .
(2)
К-+Л&Э ЛгО ° 11 !
И
+<С со ц
п '
• Г-О
(здесь jtn в (2) означая? частичнно суммы ряда (I)). Эти методы епервне рассматривались Борелем и получили казганне (0^ и ( - методов. В отдичле от ( С , - метсдоь экспоненциа-
льный и интегральный иэтодн (2) и (3) не являются матрнчнымк, из них второй есть цементный метод с ыоментцой целой функцией экспо иеишадльного типа. Определения (2) и (3) тесно связаны друг с другом, их связь основана lia oco&cc свойствах показательной функ ЦИИ. - , , -
Ле Руа рассмотрел более обцио методы:
из которых ВТОрОЙ является иоментк«»* игГОДОК С ЦСЛЭЯ '|уНКЦ1!ЄЙ порядка 7- (а > о) . Некоторое лбо^ение метода (5) рассмотрено Санниа и Кангро. .
Другое направление в исследовании бсреяезскогэ суммирсва-ния степенных рядов связано с теоремой Пойа в тесряк цзлнх функций экспоненциального типа я ео янапогоь ) ^ - мзргои случае
(Иванов, Мартино, Хермандер). Сама теорема 11 1л и соответствующее ей преобразование Бореля обобщались на целые фушщжи произвольного порядка и типа (Бернштейн, Дчсрбаштв, >'іаерго£л» Яковлев).
Мы упомянули только наиболее важные для ііаігс: цагеЯ работы, относящиеся к суммированию однократных радов иегвдші Эйлера и Бореля. Уникальный в мировой литературз збзэг1 »гаягадоа суммирования и их приложений до 1970 года (едка тагьао б;гбгяогра-£ия занимает более 100 страниц) д.'уеатгя в шигз І^еядерз. и Бья-:ігаа* Сравяатдеьяз яазс> иесяеяовавйке метода е^таярзсажш двсй-еех я кратгет: рядзз гзгзе яядяа егяе отрззсвке з гс'яге зютй гоїте, а тжгхе з шітагрЕ&шс я Яйугзуеезса,
Кгяа шйзта» ГсаодаГІ с^еды ^ссзртаг^ш гшяяетгя: О при-ыжготз ййй. .„езгкх эйгерэвсвгсг з яггзлктэтебгягм^ лродол-
;е;яю фз?ет®йї вюекяесвиах пзргакзгяс в кйгегжзгьауи звездуу» область этих £укк«вЯ {звезду *!:стггг,-Л®?ф"ера) я к р&еяроета •терациЯ секнорвс С з тал тааяа веваю&яя:) гсвчггргльгягк урав-ений; 2) різрзйягаа етеж^етэсет татдаак зэарэгэв з^зровского борелевского сумиирвезкгя двоГйя® я яраяткх «¡згаяоелж и степен-ых рядов. . ■
Основная методика неажеваж^шг - еочегакие идей и методов , асционального акализа и итпшгегшФстз анализа ^унгст"'й одного и югих переменных.
Научная нор,юна- йртаедем еаиеея результатов. полученных данйеертдаясг
М . Получэш тгео'р^аии Шербет- ® кщхзх тшт&ж-
них последователЬ'йЕ?«ЛРйй дзд шлрвш^тдачмяс лкшйшк «гуеэбрзгФ-ваний.
2) . Дана одда б^кш ©Ф^дейчззто бвф&я£жз®т® сзваик-
рования х решент® урэт«?ий с одобеядостм ®
начальных условиях#
3) . Нардек ©йэйз&жя бфржийееяяк метода® (4) и (5) и
указаны их применения » щ®7&ш*т№ функций, ре-
гулярных в нвчлле#
4) . Спеииаяьиём як&рпм отоСр^здкзей <75яп^я в методах
Перрона указанч 8©®<йЖ»эет& я эстетического продол-
жения функции во ег» её эведгдг ¡(}№аг~£бф$г'''.р'я .■ Кроме того, "сследуетск вопрос о скятрзстл спаянности тх'/ытв, прибл'-чага-цих аналитическую $у»додо э звезде,
5) . Даны некотор/е дев1?®*®*»»® уелэбяя 0 - сумми-
руемости степенного ряд» ь освбсй 'готе граюяяг его крут сходимости. .
6) . Рассмотрены способ!? улучаемая схсдждаста рядов с яэ зиции общей ^есрии суммирования с применением кдеодов Вэрэиэго -Нерлунца и Эйлера. •
7) . Даются применен-;!« к построению ят«рш?яй идоггормк С том числе и нелинейных) и^гегрялымз: урдожжий , х кзторк ьря водят краевые задачи математический фяэУЛИ*
8) . Рассматриваются эйлеровскяе и бэрелевскж? методе су
миро ван ля двойных и кратных рядов. Полуцвт условия регулярное ти этих методов, ке только достаточные, но у. необходимее ъ кяя се рядов, ассоциированная по Борелю функция которых есть иел'м функция конечной степени. ’ '
9)'. Построены аналоги звёзд Кноппа и. Миттаг-Ле^Я' "-а и (функций двух комплексных .переменных; .указаны споаобы сумглфэсг. кия диагонального ряда пс >днородньм многочленам двух перемсж
йгсшФашгг,. Резуя&т.даос рзщт $$г№$$шхх!£& т Зсесо-йшйьж акдафе^жадик т ism$m <fe*»us¡s»tá СНаэдж, íísíS; ¡¡¡¡pesas,
I-itóO; НбЗ; Еазмстт, X&p&m&t й§7£( Чер-
..лшоака,, ££Щ * дарЛ; шаетяй? я® ?ецш терадор®* ф 'Sysasssws-ваишь'г яряетршетаг»: якюне*
зсшз пз> тишйятйау яявшкэд' ж г*$ттт& чю® Ф«йшр С Длзл®--гюрйк л ЗЭЭЭД ; ЕжаотшдаЖ wm^eesam да г«5>" típme % тшту :Новосл<5кре&, ЛЭШ}-
Автор .неоднократно вкступал ■« докладами да те*® дтага^лг'?--дни на заседаниях кафедр теории функций м ¡каяшшвдярй®#® йяйф-шза Красноярского, Уральского, Ноаоскбирского, Фшяшю* í’g®-¡анского и Тбилисского университетов; на сешшзрак йшйздшр?’® математики Уральского отделения АН СССР {СверадФКЖ}),» ¿Й^Фгагсу--■а математики им. Рухадзе АН Г’руз.ССР (Тбилиси)* m «ШШййр® :афедры теории функций МГУ (Москва), руководима» ш+-№р§>'
ССР П.Л. Ульяновым, а также на двух семпкарж ййж®"
атики СО АН СССР (Новосибирск), рукоэодеаяшЯЕ зввдц^швш ЙШ* аврентьевым и академиком Ю.Г. ¡Р'-яежшякйи
Рублик дии. Основные резульгакн .двж&^ргщш вядайс .аюжзда 20 работах автора, 3 .из допить®: шижж ® .. ®sv
еяьные результаты диасероадии Фидня®® © %55щ?ае
.И”.. Маявисгр!» ¡методы (ерайдвайзает д®йййй& рда® ¡и ддайшж яда-5СрЭПЕЕР^ ШИИННЯ!,, ttJjUn. !<••, !§Х**И!СЦ1Г.Л№№^ '1nWs¿&
«■■с. Ф №4£JU&é¿fi$. —
Sj«^иофгй---- Ч^лЖл§ о 1Й1№-
Efo цашиг «©¿,.,®ршая: & &*&* ЯЙвващйяе* ¡и ХА. Шгшашшя,, в вхадцящт/р шшишад далва® фгазивянш^ шртвддаяащие лшщю ®в-W*
ЗЕеггиеы докеэдйя на. ^зтгапэк тИг^ранциях .и семинарах не »зааютея,
СОбьём ¡и (рдййштоа ягазвяматву* Диссертация состоит из вве-■ И • ,
дон;:я и трёх глав; раэделекзслс нх IX параграфов. Список цитированной яптературм соде jtv.it ИТ- наименований. Объём диссертации содержит *£3 кязикописюсс с зниц.
2. Содержание работе
2.1, В 6§ 1, 2 первой гяак# дан обзор основных результатов, относящихся к линейным преобразованиям последовательностей и функций и к суммировании однократных рядов классическими методами (‘с., {•>) , (В) И (В'} » в § з даются некоторые при-
меры и приложения этих методов. Установить авторство части зтих примерев чак.е всего почти кбЕоэмзт.нс, но та>.:, где нам был известен литературный источник, ото? источник добросовестно приводится. Нам кажутся наиболее шггересичми приложения к теории целых функций окспонешшал юго типа (теорема Пойа) и ¡: дифференциальным уравнениям (к *хот,денис ресеций, нс*гожмгарфних в окрестности начальных значений) (п.л. £, б, 7, 8, 12 5 3).
П.п. I и 2 § 3 занимают особое положение. В них ш приводим свои собственнее реэультатм, первый из которых относится к ядрам последовательностей для полунепрерывных методов суммирования (аналог теорем Агньгз и Перрона).
Определение I. Пусть С - произвольное непустое КНОЖРСТ-во на расширенной комплексной плоскости (Г . Наимен^-зее замкнутое выпуклое множество, содержащее 5 , называется замкну-
той выпуклой оболоч. й 5 и обозначается К (б) •
Определение 2. Пусть 5= ( в ) - произвольная последовательность чисел 5 £ 'Г- и к"(‘5, К|') означает замкнутую вшук-лую оболочку в £ множества значений подпоследовательности
^ > ^*1 > 5Ы+3- > " '
Тогда пересечение
с-о
A ¡<(-А
, ' Н-о
і - t . называется ядром ч (S) последовательности 5- (5 ) •
Для ограниченной последовательности $=(5 ^ -'‘ДР° л'(5)
совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества предельных
точек последовательности (для неограничен1'* К это 'леоблзагельно).
Определение 3. Пусіь ДЯНі.! ф'!КСИрОВ£.НЯ'іГ последовелзльность
(С < у\) комплекси к функций сс~ествчнной поргменноП, определён-
V. г, - ,v . 1 *
ї-п-лх на луче 0<Y\< со , л некоторая числсїіод по с лиг о з ат е льне сть
($ \ комплексных чисел» Если ‘
П Г''
С с X5. —^ V' с к + с~) ,
і'О Л '
ТО ГО зорят, ЧТО ( 5h'| сумтруоиа с помощью ( С (у,')) 1C шелу 5" .
ІЇСЛИ из S(1 ->■ у (h-^oa) всегда СЛОДУСТ с (ХЛ — »Г =-->)»
то го зорят, что Здп’кцксиплькзл последовательность f С ('х) 'і ст:~
■* ' V }Л ' ,
ределяет рогуяярн.ыл ЇІОТОД СуїІУ.’ЛрСБ^Н’.іЛ.
Too сема 1.3.1, il.vcib дан числовой рггд (0.1) с коллдеігоіг,^-'.!и членя.':;і, частглше cyi.'.v.u кот on го образует последовательность S - ( S ) Если (с- ограничена и ¡((5) ость яді . $-(s \ ,
^ ІЛ I * h h >
го для либо го Y € k (s', иаПдєтся функциональная последователь-
-юсть (^С (х)) і определяющая регулярный метод суммирования, с
юмощью которой ряд (I) суммируем к этому числу Y *
2.2. Второй наа результат относится к одному" любопытному ¡рилохсению борелевских методов суммирования к репению дифферен-щальных уравнений с особенностями в начальных условиях.
В качестве примера рассматрив? 'тся дифференциальное урав-
I ие
с *
■ I if
Xu + ц - Ъ. ^ °
v д
начальны!,! условием ^.(о\ = о ..Точка к~0 является особой,
<э
формальна зданзетавреет урашекш ж начально-
му услоЕзя) ^ (ч)— о » **э еегз рздрус едадеазста равен нулю. Этот всюду расазэдящяВс® ст-елегет” рад, теско сакзак с зсюь-
птотяческиы рззяташасак ииягеграки Стагтаэса '
■8 «у ■' ■
Г.-* г ~ь
<. ---------
и с одной спзцкадьнзЗ «йгтпдай - интегральной показательной Г ккцлел у
. л. <7*
Е:с*\- ( ^ ■
-<« г
(пр.7. ^<0 ¡к.....егаал сходится з обнчном ОЛУСЛв, при о он по-н;шэе?ся з сгаксге главного значения).
Х>кк5:п? птся, "«то указанный степенной ряд можно просуммировать эййбчазгапи (йгргашсасиу! методом и получить равенство
* ■№>= Г- Г. * ’ •* Х I--- - X- Г (£■) (*><>'),
таттг^зг кежзе рхссяетжазеть с дадяк ®чга!«га»5г яггозрекздазг давдг« ¡зранай: ((ег ипичжи гргн'.ж 'татдан с^ягизвиваняя: я г тотас ©рага* зжлда-тттотгашашга ргалпяеай® пгря у.-»«».ф й.тягкявг,, сетэтей’ б ггплдаЛ части гтосзЕгг^гкст сеннпсг. ■ • :.))_
Еззае тяв® н> § 3 тлаэн I тагсзягр' фаспг: хээесгнм» абаФдазжг: борелезкааж межидоаз «Со.'*".. II и 13,, зеожврг® аггэок аа22Л53&г?дая.г го главе .2.
2.3. Юлква вторая посвящена обобщен-/.:3” .озжг^каап::: ж.Глк--ровских й борелевеккх кето, ^В Г Е , Р') , (В ) И (Э '■) . 3 <» 5 стро’.тсл обобщение методов (4) и (5) на основе •/кгегральп-'х гг.::-
образований с регулярным ядром. Показывается, что мзоеь построенные методы сильнее методов (4) м (5). Затем даётся их применение к аналитическому продолжению функций, регулярное з начале.
Обратимся к методам ($(уЛ) и ^ВШ) суммирования числовых рядов, определяемых равенства)«! (4) и (5). Область Зш -
£ содержит начало £ г о
и ограничена кривой с уравнением в полярных координатах
г=(с"г) ,'-£.иг-ч<г-л,
если о<л<5_ . и , если . При с/. ->-+о
эта область (обозначим её 3 ) неограниченно приближается к
«А.
звезде Миттаг-Леффлера функции 0~ 2) , т.е. к плоскости .
с разрезом по лучу 1_' т-*-00) вещественной ось.
Рассмотрим две функции вещественной переменкой А (с±у.^-+0-э') с частичными суммами < :
И
сл
X
fCx+h+a.)
Ух ■+ \
гfx+i') У~
^ h ■+ I
со t
а --------------------------
*-0 Г ^Х+ <Л h-гЭ.^
Здесь / вещественный параметр, который будем считать меняющимся- на интервале 0 < d. < Ц .
Определение 4. Будем говорить, что ряд (I) с частичными гуммами сум. лруем методом ( (¿)) (соответственно ( $ '(¿))Э
i числу 5 , если -Cim tCxWS (соответственно Мул t Сх 1
= 5 ). 1 ^ Х ~
Теорема 2.1.2. Ряд, суммируемый ^ 060 ^ (или (£ '</.) ) ),
¡уммируем и 'соответственно ^ 0) £оШ к г му же числу.
- ' 1 ■ и • '
^ _ І • ' / _ ^ І ^
Те. оема 2.1,3. Ряд % суїларуем методом { ¡3 (.А) )
(о < л < ¿0 к (1 - 'і V в области
I Г" і ^
I ! _______ | <
?«*ног.есг*:ю точок £ комплексной плоскости , для .кото-
рых
I **? ($'*-') !
I 'г ,
! ■ 7 1Л
■ '.Л _ _ (1'1
расплца-зтся на две области 50 к & _ , кз которых ¿0 ,
-і ~
сместс с.а свое1/, границей (исключая точку 2-І ) лежит внутри
круга [\; < і , а. ьиесто со свое.”; границей (кроме £~ I )
> а 0<и
лсясзіт вне области р. . Границу области ¿У*''' обозначим і ,
•*— ^ —- * с^. “ч
ГА V / <-> \
| есть кусочно гладкая замкнутая (в ) кривая, содержа-
щая точки ;■ - ! л ^ . со .
Так как внутренние и гр^ничн*'-. точки круга [’¿і< I (кроме тоики гі: =! ) легхат в облает;! р; , то из теорі;:.: 2.1.2 и
2.1.3 следует, что геометрический ряд ^ 2-К суммирусм методом ( ГЗ'ОЗ') к сумме в одііосг;лоной области К, . ограни-
ченной крмоЯ І, к содержащей начало. При этом р, составля-€Г правильную часть области К, при любом ¿- (о <'¿<5.'.
Мы аналитически п;цГ"~~кипи ііуїжііию {(/}]■*■ Т' г-'' методом '( &'кРУга (г1<1 в область К", , ограниченную кривоГ: Г7
При этом мьт считаем Р : ориеі-т._ званной таки:.: образо;.!, что при
г"\ ~ "* *1 ^
обходе I, область |< остаётся слева. Пусть Ї - л, Ш
^ ~ О' ^
есть некоторое параметрическое уравнение кривой і .
Рассмотрим вопрос об чалитическом продолжении методо;.'. „
( 6 (сО) произвольного функционального элемента ^(5) * задай-ного в окрестности качала некоторым степенным рядом
н«о
1усть | - множество особых точек, полученных при ана-
литическом продолжении элемента ^'(2^ вдоль кривых, выходяцих из начала. Для каждой особой точки построим кривую I, (и)) с уравнзнием = А I) -
Область, ограниченную этой кр/вой П (<лЛ 11 содержащую начало, назовём (со) . Множество всех внутренних точек перо-
Г />
зечения по всем особым точкам ^ функции ^(2-1 обоз-
гачим , т.е.
Ъ - ¿л(Г~\ Км)=^ [Г\ ‘^< I
Теорема 2.1.4. Степенной ряд (6). представляющий элемент
■ ' " " " . •
, регулярный в начале, суммируем методом ( 0УоО ] в каждой ючке ¿0 к значению £(г1) (аналитическое продолжение зле-
1 ‘«
!ента мы также обозначим -^(2) ).
2.4. В § 2 главы 2 обсуждаются обобщения эйлеровских мето-;ов Г_£1р') , впервые рассмотренных Перроном и более подробно лоппом. Специальным выбором отображалщей функции № конкретизи-|уем эти методы и применяем их затем к продолжению аналитических функций в звезду Миттаг-Леффлера. Для одной из отображающих ункций выясняется вопрос о звёздности образа единичного круга, то имеет решающее значение при использовании теоремы Окада. оказывается, что дздсе при отсутствии звёздности указанного об-аза можно построить звёздную область, еодерч;а'цув этот сбрад, ак.ую, что область суммируемости степенного ряда соэтве^ствуда/м
¡•етодом будет исчерпывать звезду І.ічттаг-Леффлера при изменении пар і.-.:отра.
Пусть задано :днолисткое отображение единичного круга [||| .; | КЭУЛЧСКСНОЙ плоскости е единичный круг іХ[і! комплексной ПЛОСКОСТИ '.М С ПОМОЩЬЮ функции х^= 0| С'з) , регулярной при V дїіЯ которой > З'С’А“' * Р’^злагая с ґу.)
н окрестности Ч - Г, по степеням ч. , найдём
‘ с ^ .
1(^1-10:< і А--- (?)
Образ круга ¡З1,*! при отображении (V) (обозначим его (/!\ ) представляет собой односвязку.о область, лежащую в единичном круга и содержащую течки действительного пэ-
луинтерзела \. причём Х~\ является граничной точкой , (І, . Сама гранит "г с.1 есть замкнутгк 'жорданоьа кривая "у ,
Для ЧИСЛОВОГО ПЯДЯ. Т я построим степенной ряд > с. *”*
1 — ,, '— ь ’
от комплексной ПСрРГ'.еННОЙ 'V , СХОДЯЩИЙСЯ ДЛЯ МаЛ^'Х | Х| . Чис-
ловой ряд У_'Д мотнэ чисто формально получить из степенного ряда У'и \м| при ¿-\ или из функционального ряда / сд. [_2іУп
У-Г\ * -- ^ “
при [ . ?ЛРП пере разложить последний ряд ПО степеням и, ,
то получим
.— г- *+1----I К+1
, ¿-V ■ (8)
Если полежить в (8) , то возникает числовой ряд .
Определение 5. Если числовой ряд а' из (8) сходится
в обычном смысле к с , то ряд ^ аь ю-З! дается ''>■ ґу) -
- суммируемым и имеет своей - суіїмой ЧИСЛО .
Как установил Перрон, условия А. і о достаточна для регулярности '^(¡1) - метода.
. Применим теперь ('- преобразование к ст-:п‘Л*ном"
4 О '
ЗЯДУ (6) С конечном И ОТЛИЧНЫМ ОТ нули радиусом СХОДИМОСТИ. При »том наложим на область С3'} дополнительнее условие звёзд-
юсти относительно точки Ї-0 . . (Пей нарушении условия згё.т;-юсти области о1(^ .мы’можем найти в некоторых случаях л:;пь іраь/ іьную часть полной области 'с С 3) ” сУмми?Уе1':остч стол-эн-гого ряда (6)).
Пусть езть область, являющаяся образом вн<!ш-
гости о( при преобразовании иьверсч'л £ ^ зьёпд-
1а вместе с с( . Построим звезду
5-Б ез.еь и* (Г^\ ,
ы«£?
’Д0
^ си 1} - множество ЕСЙХ особых точек функции -^(1)
юзникающих при аналитическом продолжении элемента (6).
Как показал Кнопп, степенной ряд (6) суммируем к.|(;) методам а каждой точке '¿с ^ и не является ^ (д.) - сум-
шруемым ни в одной точке, лежащей вне .
Выберем теперь в качестве отображающей функцию
в
Г~ 1 ^
[•'.О'!4)'}] (0<*<х), О)
I - V
’ели I ^. (■£ ( , то | ( '-1 , так что в круге (^(<I^^ при
достаточно малом можно выделить однозначную ветвь много-
¡начной функции (9), поставив условие • ^0ГДа Для
(той ветви = [ . Разлагая ^1^ в окрестности точки ^
I ряд по степеням и , найдём
^ V \ ^е ^
' Ы-1 ,к(А-и)-.(А+ь) (Г*-») ‘-И
Т^Г! с! • (10) -
^■=0
X
Полный образ единичного круга (^|<( при отображении X.-~ обозначим Л- с( ,• его границу - через (Г («О . 'а'(^)
15
с’СТи гладкая замкнута л кривая, содеркгщая внутри точку % ^ о * проход>пцая через точку X — 1 к лежащая целиком на единичном круге * у.\ I • На»/ неизвестно, будет ли с-1 (¿) звёздной относительно начала, но существует звёэднал область с1 * (оО о1(сА). определяемая нерпвснствсми
г- , - А
1М<1, <~ , и+1|>Д. .
* л \*! \
Граница у ((¿.1 области с\ С «М 'также содерки? внутри точку Х = 0
проходит чере;* точку Х.-1 и лежит целиком на единичном круге (XI-' • Обрагн внешностей сЧА и при преобразовании инверсии К (—“■ — обозначим £’£ (•) 15 £)* («О •
Внутренние точки пересечения
"'Л И £) (<М
образуют область О (Х\ . Оказывается, что г\У 5а) звёздна
относительно начала; круг сходимости О степенного ряда
(6) со.",(:Гнится а (0Д.] ; С.'). $(Л) исчерпчЕаст зейз-
ду у Миттаг-Деффлера при ^ -у + о ; с('|. полиномы
К;
^ (А2)~} Ч* (м) я I .
•*’ 7^ ь ь
будут равномерно сходиться к на какдом компакте Кс-
Числа Ц есть некоторое полиномы от . и находятся
из простых рекуррентных соотношений (числ;. ■{'■ ^ указаны в (Ю)).
Теорема 2.2.6. Для любого компакта К. из звезды Миттаг--Леффлерч функции последовательность полиномов €) 2^
будет равномерно сходится к {(2) • •
Ешё более простой по сравнению с (5) яэляотся отобрэ>:аю-иол Функция . ■ •
16
для которой коэффициенты из (7) имеют вид
ь-И
к- —
• -¿viO-j.’} (ь+П
Функция (II) обладает'тем замечательным свойством, что образ cUdC^ единичного круга [^[<! при отображении (II) будет звёздным относительно начала для всех ^ l) . К тому же
функция ÍII) имеет те же достоинства, что и (9), позволяющие аналитически продолжать элемент (о) во всю звезду Миттаг-Леф-флера этого элемента. .'
Возникает задача об оценке скорости сходимости общего ''^($-1 ~ пРеобРазования степенного ряда . В силу
звёздности области ^а> следовательно, и звёздности полученной из преобразованием инверсии области £>(§-] )
по теореме Окада вопрос о равномерном приближении функции
полиномами •
’ м , •
tï\= Ч’ (Ч
и = о гл '
Ь
сводится к аналогичному вопросу для геометрического ряда У~% .
Теорема 2.2.7. Для любого множества 1<С , компактно лежащего в ((<ГСС , найдутся такие постоянные
^ и Ъ(|<] >( » 4,1,0 для всех справедлива
оценка ,
м
г"
Таким образом, П( „ледовательность (Я)ло .¡номов рав-
' • УЛ
-1 ■ _ номерно сходится к своей сумме Ci~50 на множестве К . компактно лежащем в области (j') .со скоростью геометрической прогрессии.
¿¡.5. Ь § 3 главы 2 исследуется вопрос о суммируемости борелевсккми и ойлеровскими методами стеленного ряда в особой точке его круга сходимости. Ь частности, оказывается, что 0 -
- суммируемость будет обеспечена, если известно поведений суммы ряда внутри или вне замкнутой кривой, касающейся изнутри круга сходимости. ' ■
iiyCTb степенной ряд (6) имеет круг сходимости 12 Ut , та что существует по крайней мере одна особая точка 1 функции
, О
на границе этого круга, оаметим, что регулярность v-л нерегулярность функции в точке "£ не может служить приз-
наком сходимости или расходимости ряда (о) в этой точке. В действительности здесь могут встретиться все мыслимые возможности.
1а. Рис показал, что если а _>,£> (h-^со) , то ряд схо-
h
дится в какгоя точке единичной окружности, в которой йункиия регулярна, ’-та теорема явилась источником, многочисленных теорем цакщих достаточные условия суммируемости в некотором смысле (Т] степенного ряда на границе круга сходимости.
'А. Карпмата на^ёл достаточные уело; ;:я, при которых рян (о) методом Чезаро К -'го порядка (|<->о)йуде? ¡¿> - суммируем при 1~1' ((Л. |r I ) . 5 § 3 глаьы И нами рассмотрен вопрос о - суммируемости в особой точке границы круга сходи-
мости ойлеровских сред' ’X ряда (5) (в граничной точке регулярности функцииэта суммируемость очевидна).
Определение о. ¡оворят, ч:- интеграл £урье функции f(? комплексной переменной сходится в точке ^ = I к значение $ , если существует предел I (oj\= S’ где
IojU-1- \ г°° >'к F {0+и)) ** '
■ ■ 'з\ J -f 4
, -о<э _ ,
'■ is ' . . • .
Теорема 2.5.1. Пусть I) функция -У ограничена з замкну-'Ой области с( с. М > являюще;'-я образом круга - —
I «Л.
1ри отображении ^ , 2) интеграл '¿урье функции
£ с 3(^0 сходится в точке к значении $ .- Тогда ряд
->) (В', ^ СзО ~ суммируем К 5 > т*е*ЧС(!'31 -ЭЙлерОБСКИе
:редние ряда (5) Р, - суммируемы в точке 5=1 к $ .
Следствие. Если ограничена в круге (5-и интег-
1ал Фурье этой функции сходится в точке 5 = 1 к значению £ ,
о ряд (5) Р) - суммируем к 3 при £ = 1 .
Б этом следствии мы накладывали ограничения на|(2] в зам-нутом круге — - . Естественно поставить вопрос, каковы
остаточные условия ^ - суммируемости степенного ряда (6)
ри 5;-! , если известно поведение на некоторой непрерио-
ой кривой Р' , касательной к кругу 1x1^1 в точ,:^ £-1 и ле-ащей вне круга .
Теорема 2.3.2. Пусть Р есть замкнутая спрямляемая корда-эва кривая, содержащая внутри начало, с полярным уравнением
1-4(41 ’ где •
( 0^ , 1£оЫ 7^<1 ((Ч1>£).
:ли при | вдоль кривой Г и внутри неё
' 5=0 (Н-2^) (¿>0) ,
) степенной ряд (5) 0 - суммируем в точке %=i К 5 .
2.5. В § 4 1 лавы 2 найми рассмотрены способы улучшения схо-гости рядов с позиции общей теории суммирования. Сначала ис-[елуются способы,, основанные на методе Вороного-Нер.-унда, прим обосновывается их корректность с "очки зрения регул жостк совместности. Затем г..называется, что в некотсры случаях
трансформации ойлера дают больший эффект. Для иллюстрации мы берём дна классических тригонометрических ряда и на этих примерах обсуждаем сравнительную силу трёх способов улучшения сходимости: способа Л.К. Крылоза выделения медленно сходящейся части ряда, способа, основанного на преобразовании Бороного, и способа, основанного на преобразовании Зйлера. Ясно, что число таких примеров можно неограниченно увеличить. •
Рассмотрим для комплексного параметра р (р ->) линейное преобразование последовательностей вида
* ^ 1 (< \------------------ с ' 1
являющееся частным видом преобразования Бороного-Нерлунда, соответствующим выбору весовой последовательности (ph^ (h-0,l,j,...) ?0-> Р,= Р, р =0(ь>()* •■•атрица преобразования (12) является треугольной, регулярной и нормальной (т.е. С * с для всех К=
• к
“О, М,... )•
' Использования исследований .Банаха и ¡.’.азура-Орлича показывают, что справедлива
- •
'iooocva 2.4. Г. Метод суммирования (12) совместно с более сильным методом, описываемым треугольной регулярной матрицей, тогда и только тогда, когда |р|^( р^ — ( . .
В терминах рядов преобразованию (12) последовательностей соответствует следух-^ее преобразование рядов
> \ - ------— + —- ( Р 0. + & \ . ( 13)
Ь=. Ifp i-tp tr, l1-’ hi
Ещё более общим по сравнению с (13) является преобразование
on
В качестве примера рассмотрим медленно сходящийся при
о < X <■ луГ тригонометрический ряд
со
-1
А
V' С* *> V* *
* ^ Г ■ (15)
”-1
1ак как функция --2’л ) неограничена ь окрестнс ти концов
'■г Я ■
интервала ) , то известный метод А.Н. Крылова улучшения
сходимости рядов здесь неприменим. В то же время способа (13)
и (14) цг.'--: значительное улучшение сходимости:
г'о
п (_1п - V ) X
' -,и
ГГ— ЗСл^К-'Х 1 т—- кх
2_ ■:----1-- = ------ -----------—— ---------------(1?)
л=| л ¿мЧГ-*- — "-л ^-|1ь(ь+|1
А %
Но-ещё эффективнее для улучшения сходимости ряда (15) оказывается применение трансформаций Эйлера:
.-</э г' У*------------------(^ЛЧ. ^ К “ [ ’) ■ Ь Л I \
- --- /1 (т^т (№)
Ряд (1о) сходится со скоростью геометрической прогрессии. Сравнение с разложениями (16) и Л?) ; азывает на поразительный эффект .
'¿Л. В ' 5 главы к эйлеровские методы применяются для построения последовательных приближений (итераций) к решению операторных из частности, интегральных) уравнений. Подвергая фостые итерации регулярным преобразованиям с треугольной матрицей .например, матрицей С Е. р! ), поручим обобщённый итерационный про-иесс, сходящийся для тех значений параметров, когда простые йте-раиии расходятся. Применительно к линейному интегральному ураг ■ нению Срсдгольма на этом пути пглучаются итерачии, известные в
..итературе кз одной работы Бюхнера. ■
Рассмотрим линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода .
VI I (ъ)лЛ \ к (5,0
(19)
в котором ядро С ("а,’О, и свободный член ^'¿5^ предполагаются интегрируемыми с квадратом по Лебегу. Решение также ищется в классе параметр к принимает комплексные значения.
Если IЛ [ -* {, I > гДе ^-| -наименьшее по модулю собственное значение ядра к(5,г) , то единственное решение уравнения (19) может быть найдено методом последовательных приближений (итераций)
к(5,0 и. (О ¿Г . (20)
К т.*1 V / с л
о
Простые итерации (20) сходятся к решению уравнения (19) при
5 Л; < '{X I и расходятся при Щ> . \ .
Пусть д )-му последовательность собственных
значений ядра К^з, "О 5 занумерованная в порядке возрастания (х; \ , и ^ - кругообразный многоугольник Кноппа с вер- ,
Еиками в точках А> . ■ ’•
| *- ^
Теорема 2.5.?.. Для любого л (г 8 (р) и для любой началь-
Г-— .
кой функции Н$|еь С °,п итерации.
> и*«-~+ ~ ( К1М)^ М* ш>
‘ ,.И1 р + 1 Р*1 Р-+1 I ^ ■
сходятся к решению интегрального уравнения (19).
Итерации (21) бьиг- поручены впервые Бюхнером из совершенно других соображений. '
Если ;_.;брать в качестве отображаюцей функции в обобщённом методе Эйлер? /’£’(£])■■■ функцию, указаг-;ую в (II), то получим утзегкдение ! '
Теорема 2.5.3. Для любого Л. из звезды Миттаг-Леффлера резольвенты уравнения (19) параметр ‘(А (о ^ с1. <|) можно выбрать
настолько близким к £ , чтобы последовательность итерация
сходилась к решению уравнения (19) для любой начальной функции
В частности, ели все собственные значения ядра поле.татель-
• (22) сходилис к решению уравнения (19) для абого значения /. ,
нос усиление результата Е:-зхнер<1.
Совершенно новой является идея использования этого способа применительно к нелинейным интегральным .уравнениям (к кото-рал модно свести многие краевые задача длй дифференциг >ных уравнений типа уравнения Дуффинга в теории колебаний). При зтом воь- . никают специфические трудности, связанные прежде всего п тем, что многообразие особенностей решения уравнения как аналит:-’ еской функции параметра состоит, вообще говоря, из неизолированных точек и точек ветвления. Однако знание этого многообразия позволяет списать область изменения параметров, .для которых сходятся обобщённые итерации. .
о
кг, параметр 4. (':<■! <¡1 мокно выбрать таким, чтобы итерации
исключая вещественные
. Тем самым получаем значите^ь-
Поставим, например, краевую задачу для уравнения Дуффинга, занимающего важное место в теории нелинейных периодических и почти периодических колебаний. Это уравнение имеет вид
^ (о 'і ■ = о
или в самосопряженной форме
L (3'= W* з = ^ (vr к«), •
аГ (23)
ї'(о\-«,С0х О* , '
Будем считать для определенности С> SL •
Краевая задача (23) эквивалентна решению нелинейного интегрального уравнения Гаммерштейна
■ • ’ ct 5
^ Cs^~ X j) G (s,i) *L clfr+'n (s ) , (24)
■ О .
где & Cs,t) ес/ь функция Грина для линейного дифференциального оператора L (мы не выписываем подробно Gcs t]» G(s,
есть элементарная функция от независимых переменных S t и’па-раметра С > ),
t 1 • cfc
GCSil'i-C 1лСі) cit .
- ' . о
Положим
1-U wa ( <.ct (Gcs'ol <*t , «Ml«“'*-*
So -
Доказывается
■ Пре-тлоу.ение. Если С , X. и функция k(t) в уравнении Дуффинга такоЕ что выполнены условия
24
И (1М т.5 + НИ'|,
(25)
31М< гх<\У
то простые итерации
' с*г. . .".3
(26)
сЦ+Ц(5)
■ о
сходятся к решению задачи (23), лежащему в шаре |[ <Х
пространства С (о,0 • ®та сходимость будет равномерной отно-
сительно с, (о-£’о< для любой начальной непрерывной функции^ Будем рассматривать решение уравнения (24) как функцию комплексной переменной X : ^($1=^(5, XI . Она анали-тична в некотором круге (М ^ X » определяемом неравенствами (25) и (26), и поэтому разлагается в этом круге в ряд по степеням У . Пусть $(р^ и П означают соответственно многоугольники Кнсппа и Бореля, построенные по многообразию особенностей функции ^(5 -, Х\ •
Построим обобщённые итерации вида
(3',= АУ1 + Л. Г (5\+
(з-Ц р-н "пп
(27)
Здесь
р+!(р+1)^льр] -21(к)р /[(р+о^а)-р]
У\с о
<М
r~
где под (t'i ) понимается К - ая итерация ;< (t) .
Птгетьточонне. Итерации (27) сходятся к решению уравнения
f-Г
(24) для любого А. из многоугольника Бореля 1 I функции %($,,(.) » если достаточно велико. Эта сходимость равномерна относительно S С о - S - i'] > и начинать процесс можно, начиная с любой функ-шя ИЗ шара HflUt • .
2.8. Теорию зйлеровского и борелевского суммирования о~дно-кратных рядов (I) можно считать достаточно гл’ 'око разработанной. В то же время перенесение полученных результатов на двойные ряды
с-о со -
У У а. (28) '
L— I--- m р
О >1=0
встреч 1<ЭТ. специфические трудности. Переходя в § I главы 3 к эйлерово! .им и борелевским методам суммирования двойных рядов (28) заметим, что результаты для однократных рядов не переносятся 'Ъ чистом виде", без всяких ограничений на двойные ряды. Так, если назвать полем суммируемости р’'метода ^ множество числовых рядов, суммируемых ^ . то для методов . (6)
к v 'О ' применительно к однократным рядам можно записать стро-
гие включения
L
О] С [ СЕ, рЧ] с [в] С С е.1]
(мы учитываем регулярность и совместность методов (и^р) , (В") и (^>'\ ) через ГО"] обозначаем множество всех сходящихся рядов). В то же время для двойных рядов нельзя даже написать, нап-ркуер, включения [о] С [й■} , так как легко построить сходящийся ДВОЙНОЙ ряд, не суммируемый (В4) •
Известны необходимые и достаточные условия ограниченной регулярности линейного преобразования двойных последовательнос-тал . Но условие ограниченности двойной последовательности зна-
чительно сужает класс этих последовательностей и фактически не всегда выполняется. Мы пошли в § I главы 3 по другому пути, но требуя ограниченности частично сумм ряда, но налагая ограничения на способ стремления индексов ‘т , и к со или непрерывных переменных к Х( , X* . Мы рассматриваем в
главе 3 наиболее важные с точки зрения аналитического продолжения функций двух комплексных переменных методы Эйлера н Боролп, ориентируясь в основном на собственные исследования (основные результаты главы 3 содержатся в работах £ , рз"] , [Ч] > [8"[
[11] • [15.;, ■[1г1 >• ' ^ _
Челидзе нашел класс двойных рядов, для которых !_ С__|С
С ; более широкий класс указал Берскашвили. :1м, кроме про-
чего. рассмотрели эйлеровский метод ([; р| и интегральный метод (^у ) солирования двойных рядов и указали широкие классы рядов, для киторых
I о] с С ( е , р}] с Г. п>]с I в ] ■
В работах Челидзе и Берекашвили назывались лишь достаточные признаки регулярности метода ( у^\ (т.е. принадлежности ряда классу, для которого Го]с £ )« Нами получек; условия,
не только достаточные, но и необходимые в классе рядов, ассоциированная по Борелю йункция которых есть целая функция конечной степени (см. ^ При этом рассмотрения ведутся в общей ситу-
ации V-, - кратных рядов.
Введём некоторые классы двойных рядов (28), частичные суммы которых будем обозг чать С . Пусть Ь= (i С,) »
= 'Ь;,Л . ¿^¿Д с ' » «¿1!= Ч + ь,
Всюду ш считаем, что двойкой степенной ряд
всюду сходится в С , т.е. представленная им функция Я (1) . называемая ассоциированной по Борёлга с рядом (28), будет целой в . Мы будем рассматривать лишь такие ряды (28), для которых ассоциированная функция будот целой функцией конечной
степени, т.е. РАя этой функции существуют хотя бы одна система положительных чисел ^6"^ и постоянная М М (')') , для
которых при всех ^
|Лт1<м Киї
' л скажем, что ряд (28) принадлежит классу (А^ . где
С '1л^» если существуют числа и М = /\Д (с).')
такие, что для ^ ^ выполняется неравенство
І-ДМІ- М-екр ІІ(ИЛ') 12| 1| . (29)
Будем говорить, что ряд (28) принадлежит классу (_ (Л) » если для всех (£*■ выполняются неравенства
со С I
Т^Ск~Г - МЛ*Р .
[ ■■ I ' ,
(30)
где <^< , М = и М :Мв(л ¿) не зависят от
*£ . Если же неравенство (29) (соответственно (30)) имеет место лишь для вещественных положительных ^ (<!= I,?.] , то скажем, что ряд (28) принадлежит классу к 6^ (соответственно 1 ) ).
Дадим теперь определения методов СЕ р) . С В] и (13’) суммирования двойных рядов (28). Введём следующие обозначения
с<г>
к
'-Г! I ■ ----- 1— /у, \ , . , V- Ь-К
Vм =---------------—------------- / /
(р,-»Л (Р-иУ' ¿--о К-О
о,
и ) I к Н!: Р- '
х !77 /
. II ' II > О
■>>’ - !!£Ц
\ .(1 “ а (г) с(г
ОчРояелокиз 7. йсли существует конечной пред...: $ |.- ч к о /ли л, У, -• ч с,> соотво?стпухг:;кх фуиягаЛ .г.
Ул'г'- -¡'у\и ()': (•,<) ’ когда независимее переменю )0 стрсмятс;: к
- н;,з:гв:;е:’мз дэуг от друга, то склюем, что д:»э?«эЛ -яд (2С)
Г ■- . • / г- !'•
суг'ккругк к <' соответственно методг.м-л ; и !- , , /
г’елк ко ук'хзшкки продол существует пр:: дополнительном предположении, что незааисжие переменные изменяются, пробегая угол
, -1 , “ ■ .
^ !' гп ^ к
I X
■щв‘ -1 ,.|
. К ' * ■■ 11 " *' 1 >
то ми говорим, что гяд (20) суммируом к 5 соответственно мз?о-дзки (Г. •’ Г' , Ср, (Л'Г) И ,’[Л Ц'И (здесь X. > 0 \ ).
■) ; 1 ■ чу 1 'У '
Теосомт. •3.1.7. Ь’слк двойной ряд (20) из класса \Л"> сходится к с , то он ( 1^,0’Л - суммируем к $ . Существует
сходя::;;;Г:с:т ряд из :сласса , из суммируемый метод ! I Ь ))
для к. < Л.-' (1.-1 ,,5^ .
Слелстпке. Методы (.&5 и ограниченно регулярны.
Теорема 3.1.8. Если двойной ряд из класса КГл) , где Iм(Гг+'4) ^ 1 и Д-- сР'с“кР7ем методом (£-/) к чис •
лу , ТО 31 г ряд стажируем та’^ке и методом (бо-М) к тому яе
29
ЖЩ, 0 _
ЗЛЛ-0, Шеях ряд (28) из класса г\ (а) 0 -
- еуммрут и чнеяу $ , то этот ряд |3* (А) - суммируем к э •
Чу^й'еъ'^ рщ У.З КХШ&& , ¡¿, - сум?.1ируеш.!й к ко-
шшху чиелу 5* ж? сумяфушнй (^(А1)) » если С^М1) •
Ъ'РУныя 3,1,11. и классе К°(А! двойное рядов метод '(А)} С„ЯЪЖ>§ ие?9№ (51 »
'Жаущтт. ОжаШ',, ЧТО сила каждого из методов »
СБ^'У( кеэраа?ает с одновременным увеличением X- (_ 1 = 1 д’) • Это значит, «та если ряд (¿3), например, (Ь(Л] - суммируем к числу
* , 9а он “ суммируем к 5 ДЛЯ Л. > А ^ (л-1)А1 ,
?» вутвГШуЗ? рядн, суищуа'мв методом (5(л"|) и не су1.{мяруе-мнз кегэдэк ^ \ » Таким образом, двупарэметрическое семействе мзтедэв (г* тмскаф'С^ образует частично упорядэ-
чьнизо миэжбетво* Ми говорим о частичной упорядоченности, ибо • @(.Я)И (Ь(М » ГД9 V,» X, » А^‘у . «О сравнимы между еобой. .
<4.9. 3 5 2 главм 3 рассматривается суммирование двойных сте пениж РЯДОВ мет? рш (Е,^ * (В^ и (&') • Аналог мно-
"фугел'иика Т, реля функции 4(Ъ ^) днух комплексных переменных
а I 1
Ь П|еетрм1втяе С бил покроен впервые В.К. Ивановым. Мы приводим другое более короткое доказательство Р> к В - сумми-руамботи етеяенного ряда в этом многоугольнике. Кроме того, нами пэеярэан многоугольник Кнонна для вйлеровских методов СЬ, р) , при атом екааываетоя,- что многоугольник Кьоппа при (.С=',;
Пуэграши.шшэ иочерпнваэт многоугольник Вореля.
Раевшярим двойной степанной ряд .
»А|Ь80
а гтчх ^ яггх » т&тх яретозжтез !$■? йф5-
иеЖРХ *,'>,»4.,г/’ ♦ *Я» '1^ Ал-*Л я У/.55. 4 ***
6Р ' # ■ ^
«ЙИС5Ю«?»» ВИ5в5®Ю59К “?■*. «и» й •я‘я,&1 * 0' '« ЗТйИ $?ГШ?АЛ ^ ,.
^ярюттяяя рев?«« (3£), ^ёяя@яя&ъ&я§я @ ®гг^§®« .е-
-и
та татая {&.,й"} ¡г- С'”'* Рез-дада? зкздуттаягесяэг© дар^лк^дая Фуг«--сяоааадаэш эяшеята, задаядого ст&ккяш $^дам Ш5, язй&з» яге-©адаюзояоЕ кусочно гладких ириотс, ¡»«хеджа» уз *№Ш {6*Щ * 6Н?£?-кяжэд такяе .
Лар.'ду с областью (_; абсояотяяй ех-'^т$€Т/- /»детей1*#*?® ЕЭД* (31) введём область 5 (?) (р-(Р,.Р- ) 3 * ЯИ^ЙГ <К?£ад?-'
дхм следуюцкм образом. Если ^ ^ ^ - ©а^зя -юга» ■>
то обозначим прямое произведение внежю&у-йй Щ%№&&
I 2+ЧР.1 -'К'п (Р| + ^ , 1 'л/+ ^¡1^,¡; (рччг||)
<*
«ерез Л (<л;) , а его дополнение ЧГ**-П ■'6// >> ‘Г*®*- ЙЙ^З^З?
г
зеех точек (2 >л/) , для которых видая®«!!!©? зк?®б бм: (?яда :ко неравенств
('¿ + чр,!-- :ч\ (р,*Л, ^ЧГ4*МСГ^>
»К* * **»'
через 53 (^ ') - '^тда.
р ■ ;|
'/ "'\ *сн^г
> фжевзк» сяг £зг?здая '©даЯ йй).«1сЧ‘& ^ 'С Р ) , рассмат-
шя&емая :в :Э2,пжп'&аш$&1 г^|^>5>да.шй)55^ •;*. ,, будет выпуклой
Ж>ТЯ :« <бужя ¡КЙадКЙ$$*
Эри 3££&йет ЗйР); яез^&^гчекно приближается
: .-звезде ;ГЦ &ятогэугзй&ж»у
где А ( iaJ) означает прямое произведение полуплоскостей . V CJ, I ' ч tj' 1
Ясно, что |~1 ^ Ъ [р) D 0 для любых р-г О .
Tcoreyu 3.2.1. При фиксированном (р, (р. >0) двойной степенной ряд (31) ( £) jo) - суммируем в каждой точке об-
лггстн $(г) к ^(i,wj, так что поставленные в соответствие точка:/. области 5(р) числовые значения, равные (Е ,£>) - сумме ряда (31) в этих точках, да»? аналитическое продолжение элемента
(31) из области 0 б область $(р) .
Аналогичная теорема икает место н для борелевских методов.
2.10. В § 3 главы 3 на основе построенного нами в главе 2 обобщенного эКлеровскогс преобразовании ^ (J,) строится для функции ^ в пространстве (£/' аналог звезды Миттаг-Деффлера и указывается конструктивный способ аналитического продолжения ‘ICi^w) в ату звезду.
Пусть <л! - (и, lJ ) - особая точка функции -I (?, w'j . Будем
” '' 1 1 /.' ' I
рассматривать точки oj и U) )! плоскостях (1) и (w) , соединив каждую из них с Непалом и созершим разрез по части луча, уходрпцей на бесконечность. Прямое иронзведенке взятие лучей обознячиь» Ъ (~ (^1 > ^) t .
(4^ = < itvA‘ , агч w~ -го cj,
^ \ 1 J <> * ' <) 6 j >
W !
Возьмём объединение этих прямых произведений по всем особым точка!.! Ц)=(и^,1Ц \ функци” И/} и рассмотрим дополнение получен-кого объединения до всего пространства- С* _ . Открытие ядро этого дополне: ;я и назовем зе здой Миттаг-Леффлера функшш
\ С 2, ^ ■
Г - и* 1 С‘- ^ ^ч>) - (С-4*' *<"’) ’
Ясно, ЧТО (1 *.') € 2_, В ТОМ и ТОЛЬКО в том случае, если для любой особой точки и: = («*/,, ^ функттии ^(2 ,у/ї наполняется од-
но из соотношений
аг^ Ї ^ ЛХ3 *>. 7 «г3 ^ аТ3 **. 1 ^ )£!»^ (^ V{'
Определим числа *? {м*} , как в п. 2.4 (см. теорт**у 2.2.6),
п
и построим' :;олиномн от двух переменное следующим обрізом:
г^" п к
О = ) / Ч ЫЧ? (*Л а . г V/ •
Х--0 К-О " * ^
Терема 3.3.1. Для любого компакта ІС из звезда.’ !!../т^г--Леффлера функции , регулярной в точке (о,о") , можно
параметр і. (о «л* ¿Л вибрать столь каячи, что последовательность полиномов б будет равномерна на К сходить с" к
Следствие. Для любого коїшакта Ч\г- последовательность полиномов Сі будет равномерно сходиться .
Возможен е:;;ё и другая подход к проблеме суммирования двойных степенных р^дов (31) и, следовательно, х проблеме аналитичесКОГО продолжения функции , регулярной В точке (0,о)£ С .
Вместо (31) рассматривается одн„кратшП диагональный ряд
Г*-'
по однородном многочленам, область сходимости 0 которого ши^> области (у абсолютной сходимости ряда (31). Для фиксированной точки (» -,у')£ 0 рассматривается функция одной кс?гплексной переменной . и
СО П (<• ^ И
t
к.л-к 1
К-о
*-м
ж дд® шш сігригетгяг знадили многоугольников Кноппа и Вореля, а также эвжзда ¡Естественно, эти аналоги оказывается
бадве шидишанш да срашетпго с соответствующими аналогами для двойного $вді 131]/ (шн> супуэсти.у ..осуществляется продолжение Л (2, уу) из е «гщретЕжме йЛіг ежи вещественного пространства Ц^*1 „ .а
я*чшв> даямервнк: зэвжхвФей» проходящих через начало). Б ходе ашю-
жокш шривш^чгола дашзргтяне .примеры, поясняющие указанные обстоя-ижзшетюа.
Д^птоЖ швдавд ж Йорелевскому суммированию кратных степенных $йда® т (мшаам с гтамда&еиием индикаторной диаграммы целой функции чшигаж ш^шжанавж авввЕтгя в работах Л.А. Айзенберга и В.М. Трут-ишага КНЖ, ШУ£І Ся,г*ч чгдучая целі,іх функций экспоненциального ти-хшЗ). Шащшщ» т. шаезщдшдания Эренпрайса (І96І) и Мартино (1963), Е_Ж. Щкишееше £1566)) я ЖД!. Маергойзом (1988) этот результат бнл Елєршозш иа щндше фуикции произвольного нормального порядка по Стштдааішшшу шщивйшыягеокому -направлению .
^хг{ Хі>0] •
■ і
ЕГс® діти: иетапдавшзшг пясяящрь-.. ¡многомерным аналогам .теоремы' Пойа.
шжт.мт ш тш, щаш:щт
1 . Йотаядов A.A., %раев Э.Б. К тагряш срвшровздая яяаЯймх ряд®® звеи-миаии Борея». — Д4Н СССР, 1950, т.130, 3* 5, с.
1193-1195. '
2 . ¡Иедаеирлз A.A., Мураев Э.Б. Сзишфчваяие тте-ращдаЯ
шжЯгютго «терттара. - 55з». АН АриЛС?» сер-фаэ.-маг.»«., 1963. т-,16. » I, с.3-12. "
3 . MypaßB 3.5. К теории суюодпвааяк: давйямпс рядев методами Во р..;, я. - Уч. записям Уральского ушдаерактета. I960, т.23.
№ 2, с.15-33.
■* . Мураев &.Б. К теорэш «туширования доойнкг рядзь мето-
дами Эйлера. - Сиб.мат.ж., 1951, т.2, 5 6, с.834-09©.
5 . Мураев Э.Б. Об одвя* обэб^ения бэреяевсюгх методов суммирования. - Иэв.вкеапог учебных заз., 1962, 3- 1(25), C.I0I-IC8.
6 . Мураев Э.Б. С суммируемости, по Бореяп степенного ряда ка границе кт//га сходаосости. - Кзв.етхяиях уч.зав., 1962, ~ 2 (27), с.110-113.
7 . Мураев Э.Б. Бицумжве оболочки предельных тачег пэеяе-доватсяьтгтг}». - Б ян. Латериалн 24 конференции работников ма-
тем.кафедр Уральской зоны. Челябинск, 1967, с.24-25.
8 . Уураев Э.Б. К вопросу о суимяруеиэсти двойных ряцрз методом Уяттагчйеф}яера. - В ян. Г теряалы 25 кояф.работнжгов гла-теи.яа^едр Уральской зон;». Свердговск, 1967, с.95-38.
9 . У-таез Э.Б. Об одной теореме Перрона отгоенгадьш судоирэвачхя рядов. - Уч.залиски Свердшвзкого пединститута, 1967, т.54, с.128-131.
10 . Мураев Э.Б. Об одйзи применении обобщённого суь^л-ро-
взния в теории приближения аналитических функций. - Изв.вт/сшкх уч.зав., 1970, !? 3(94), с.бб-62.
11 . liypaeB ? Б. Борелевекое суммирование - кратных рядов и целые функции, ассоциированные с ними. - Сиб.мат.ж., 1978 т.19, I? б, с.1332-1340.
12 . Шураев Э.Б. О приближении аналитических функций двух гопзетешавс в звезде L.iTTar-Леффлера. - Сиб.мат.ж., 1984, т.25,
“ I, с.101-105,
13 Мураев Э.Б., Плесяк A.A. К теории суммирования двой-
шх рвдэв кетодаии Эйлера. - Изв.высших уч.зав., 1986, б, п. 52-63. ‘
14. Мурзев Э.Б. Введение з теорию суммирования рядов, часть I. Красноярск, йзд. Красноярского университета, 1986.
15 . Иураеэ ' .Б. Обобщённые итерации некоторых интеграль-
ные уравнений. - Скб.ш,т.ж., т.XIX, № I, 1988, с.215-216 (шшота-щи), Б развёрнутом вздв деп. Blfflfffl, 422-В 67.
. 16 . Дураев Э.Б. Ыетода сухсмроваиия кая способы удзтае-шя сходагости рядов. - В сб. 11ссдзйэвз1ЕШ да теории пр,сблкаетай» 52ад. Уральского унизереатега, Свгрвдкнкгк, 1988, с.68-70.
17 . iUypssa Э.Б. О сраСишкеиги анаитдасгах функций кэягс-комьхгя и сггарвгтк скол^ииста шшаЕгшзв. - В cd. Иеследосгшия по езмшкейшйзу ¡шшу ШзавуэивсЕий сбории), Изд. Красноярского унпшерггпгет.а, йрасшяреЕ, 1989, е.85-9В.
18 . Цур&ев Э.Б. G прййшга^'чш аналитических функций полиномами е свиристи сзподаиоети иэяиномов. - "чп. ВИНИТИ, № I89-B 90.
1® . Иураез Э.Б. Ваедекие з теорию суммирования рядов,
часть О, йад. Шпаошярмшта увд фситета, 1990.
2D . ¡Цураез Э.Б. Ири-тжениа борелевского суммирования к рааеккш ^йероздахышх уравкешй е особенностью. - В сб. Комплексный аяагга и ^„^aaxa ' Нежвузовский сборник),
Изд. Ярс^шяргизга згагсвгргижета, ftpacroiijasK, 1991, с.21-30.
