Эйлеровское и борелевское суммирования рядов, их обобщения и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Мураев, Энгельс Борисович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1992
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМІЙ НАУІС
■ Н' правах рукописи
Мураев Энгельс Борисович
УДК 517.52
ЭЯЛЕРОВСКОЕ И БОРЕЛЕВСКОЁ СУММИРОВАНИЯ радов, ИХ ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
01.01.01 - математический анализ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - .математических наук
Новосибирск - 1992
Работа выполнена на кафедрэ мят атического анализа и дпффе-:ч.тц:/альн>г< уравн^.лШ Красноярского государствегюого университете
¿фициальні.тє оппоненты :
доктор физико-математических наук
Ю.Е. Аниконов А.П. КЬаков А.И. Янушаускас
доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук
Ведущая организация :
іінститут математики и мзханики '
Уральского отделения РАН^______
Защита состоится " [ )( 199?. г. в____часов
на заседании Специ*~изированного совета ¿Г) ооЯ~ ЗчЗ, О п0 замита диссертаций на соискат»; ученой степени доктора каук пси институте [..^тематики РАН по адресу: "630090, г.Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4".
С пнссер пиоП ко-но ознакомиться в библиотеке Института математики РАН. ----------7
Автореферат разослан " \| І і \_ 199?. г.
Учении секретарь Специализированного совета,
доктор фнз.-мзт. нау;с, профессор -
І . Общая характеристика работы
Актуальность тем» . Из многочисленных методов суммирования рядов эйлеровские и борелевские методы С органически езязагс-ме между собой ) выделяются тем свойством , что они хеггазю птэиспп-
г
соблены для англитического продолжения функций одного я многих комплексных переменных . Кроме того , эйлеровские методы , будучи описываемы нижними треугольными матрицами, позволяет «троить различные итерационные процессы для нахождения решений операторных уравнений в нормированных ( или, более общо, линейных топологических) пространствах. Борелевские методы , тесно связанные с интегральными преобразованиями типа Оурье и Лапласа, позволяют исг. льзовать в вопросах суммируемости рядов и последовательностей известные результаты операционного исчисления .
Большой заслугой Л . Эйлера в математическом анализе является то , что он впервые дал новое определение суммы ряда , применимое как ко всем сходящимся ряд эм, трк и к некоторым расходящимся . При этом от определения требуется, чтобы для сходящихся рядов новая су?,та совпадала с обычной , т.е. чтобы метод суммирования рядов был регулярнь..!. Эйлер исходит из разложения
дится в обычном смысле к числу 3 . Это определение легко сфор-
мулировать на языке последовательностей.
и называет ряд
а„
ні
игрвре оистсмат/ческое излодегае ( Е , р ) - методов
дане Кноппзк. ибобцениями (£, р) - методов занимались Перрон, Кнапп, Гроиуолл, Биршделли, Скотт и Уэлл, Меленцов (под названием аналитических преобразований) и др. Гронуолл ввёл очень об-гцее преобразование, задаваемое двумя аналитическими функциями с некоторыми СЕОйс"'пами и включающее в себя многие классические .методы суммирования: Эйлера-Кноппа к его обобщения, построенные Перроном, Чезар ), Воронс го-Иерлуцда и др.
Прэдельнгм■переходом при |Э-»-*еО из ( Е, р) - методов могут бить пояучэ-.м более сильные методы суммирования ряда (I), которые чожнэ коротко описать так:
■ г,
И
(2)
Х-»Чс^Э • Л т.0 0 П 1
4«С со *>
\ ” С — г • 4* .
¿-\ = ) <3)
(здесь п (2) означаю'.’ частичное суммы ряда (I)). Эти мето-
да впервке рассматривались Бо ре л ем и получили казгание (” 0^ и ( ІЗ') - методов. В отличла от (*Р )р1) - методоь экспоненциальный и интегральный мзтодм (2) и (3) не является матричными, из НИХ второ? есть КОМШГГННп МЄЇОД с моненткоП целой функцией экспо неиинильного типа. Опряделогая (2) и (3) тесно свяааны друг с другом, их связь основана ,ш особях свойствах показательной функ ЦИй. .
Ле Руа рассмотрел более общие иотоды:
ИЗ КО'ГОртХ второй является ИЭИШТНМ* иатэрси с стелой ‘функцией порядка о) . Некоторое обощекне хетсд,а (5} рассмотрено
Санниа и Кангро.
Другое направление а исследовании бореяевскот сумиирсва-ния степенных рядов связано с теоремой Пора з теерг/, делнх функций экспоненциального типа и её аналоге*» ) И - trsfHOii случае (Иванов, Мартино, Хермандер), Сама теорема П *а я ссотдетстпул-щее ей преобразование Бореля обобщались на цея’.'в $уиш(Х произвольного порядка и типа (Бернзтейн, Дирбаліяя, Лаершйз, Яковлев).
Мы упомянули только наиболее вачеше для кгегга t'exvü работы, относящиеся к суммированию однократных рядзз ttsTOgpm д?~е-ра и Бореля. Уникальный в даровой литература обеог ггггодзв суи-мирозакия и их приложений до 1970 года (оі;на тосггЕО ifcffcawprs-ф:;я занимает более ICO стражц) улігєтгя а княгэ Цгжтера и Зек-ricjji« Срзгзшгеяько j,taso кгглг^зайтгее vat9??t с^ггаярваяяя деай-rrtr я а^ежкг рядаз -ггскй £?.^*х*’5 еже cxp.~<r.zte з к~ккї этой етггл, a 7ctrto з :г>«згрт?«ж Чгт&а іягсзусядга.
Казсь огбагч. ГгвкязЗ еггьг згсбергзфяі пвгзгжя; £5 лри-asmsse «fet ,кзсгг o^ispsnsrir; гзге^я s ся*иасгж*ее:~:зх, продод-кздяз £yrrsii!»S гххкгетїягг* аэре'згй^гя в KÄjKÄVsiiyts $ге»яр/в >блаеть этаж ЗзтгасгЯ Сзжсзду а к гдагтроекш
ітерацяй гешпорюс Ся яка tcjera кга!Г2і«Е?а?г) гдаеграяьггас урав-гешй; 2) радрзйаїжі еле:г:’жя •гру,*?*:* езггрзгээ эйяерозского : борелевского суіг«ирввзк®ї дваГйкх и арззшх чвакаша я степенью рядов.
Основная методика гт^агвг^ляж - ©очецзгс® вдей и методов асционалыюго анализа и йййгяикгеки» amiaswi рЬ«К"~*3 одного и чо гнх переменных. •
Научнг-з ¿mwiyra,. Пртегд^и «аазоя результатов, полученных рджеергаляс: ■
т ■> . Получзш ©&$арт»рг т.'езр®*м 1о ящях. южтгт-нмх последоватеяшзял'йЯ да* тщр®щережж штеШтх щеэбрзгя-ваний.
2) . Данз «уда? щшотяж ©йл^^ийи’ю бэреяйвгкэт фразирования к решению уряжётй с «5©5Йекше!гжш ®
начальншс условиях,
3) . Найдем вбвШ-тлп 6эр$я?&яш: методав (4) и (5) и указаны их применекяя % &ш!югтажг*/ с^одеж&еш® функций, регулярных в начале,
4) . Спеиияяьшм и«5®ри» &тфр%кш&я $ушция в методах Перрона укоэанч вашжт^иь я ередзтгъ ей^леткческого продолжения функции во в со б£ з©£$яу Л-лт5&?-£>(ф‘,’о.-ръ . Кроме того,
•сследуетск вопрос 0 сгрести ехэдииэсти тя'/глть, прибл’-чшо-Чяс аналлтическую фукжда» я 3®«ЗД?»
5) . Даны некоторое яг?с?ат№шз усл^ку; 0 - сумми-
руемости степенного ряд* ь особой точке гртул&: его щут с?л-димости. . .
6) . Рассмотрены способ« улгааеийя схсдешэсти ред>» с по-
зиции общей ^есраи суммирования с яр«ет«»е*<' «^.-гэда» Ёэрэкэиэ--Нерлуида и Эйлера. '
7) . Даются прим?№жя к яогтроеж» тери'у.р. к^аоторос (а ТОМ числе И нелинейных) ИЙТеГрЗЛЬШЯ УраеЯ51С1Й , и К070р«к Ьрй-водят краевые годами математической физики*
8) . Рассматриваются эйлеровсгш? и боревспские кетоди' су« мирования двойных и кратных рядов. Получеш условия регулярности этих методов, не только достаточные, но и необходимые Ь КЛ2С се рядов, ассоциированная по Борелю функция которых есть иея'хя функция конечной степени. '
9)'. Построены аналоги звёзд Кноппа и .¡¿иттаг-^Ле^л ".а игл функций двух комплексных переменных; указаны спэ:;об>' суи:Л!рЗЕа-кия диагонального ряда пс >днородккм многочленам двух перемани1-
’ &тх&эхш* Ре&у&тты ди&с на Зсесо-
ттх яшферт^ш я® №з>$ж фрщулй (Наяею, £$35>; Трепан,
1-Э60; Каетовна^^иау,, 13Ш? Ш№} ¿§71; [5ер-
..лшоаяа, 1-223 * д$»Л; «да я® тчирэи ® ^тшдаиэ-'
тшжх. ияжетршетдаж ¿й^теа^ 1^815; ят&й мт^шйтргё
¡пеня» да етшлеаийшу шзтзу я жшътст -дай ф*жтс (1 %$;№*-шрак » ЕШЭД ; йаагшшл® вгеда^гг^дайсгд» лю г®?- щш я; шш»у Шоъоскбарех* 25Ш5«.
Автор .неоднократно выступал с дожяадати т №й® да^йЗФ-?--ции на заседаниях кафедр теории функций и ма:пО!№Эва!й£г®к®9 й-ВД— лиза Красноярского, Уральского, Новосибирского* Фоиваярск;* ^Рязанского и Тбилисского университетов; на семпн&рак йьегатвртф математики Уральского отделения АН СССР .(Сверпд-кбак^ йЬжчсямезг— га математики им. Рухадзе АН Груз.ССР (Тбилиси']),, пер. «ййктрт сафедрн теории функций МГУ (Москва), руководакям <н®*-аида.. Ш !ССР П.Л. Ульяновым, а таюке на двух -семии^рьк ¿Цкгтетура >м?з©' ;атики СО АН СССР (Новосибирск), рукозодвд.^гг: жу^шжм МД [аврентьевым и академиком 1).Г. Р^пегияхсшл.
Публик д-;)1. Основные результата (й^я.зйзшии!
20 работах автора, 3 .из лоторь,*х яжюикзш з> ©»«гез^кае ... ©с-ельньте результату диасгращкя (й^эейш © йф«£Я]р»$8Ш? «йксдае .]!’.. Шазяжорие (меродаа <г$ж«я$®ашаг .адгиВаик ¡и ядайж* йш-яг^гзЕза, ТК&шюа* %^Хи% 1кС, ^
„ §'}рт1«!ил&р*.— У&я-Ж/е-З » ИЗя'®’--
¡Г© рг&этт й&^йтатгзз: е &Л* 1йвсж!#зт! и А.Д* ЙЬ,ет.ше>ч, ®
пев&вщт ашвиаш икай«® явз^щязт* пржадиюжащие яищю ав-
ЙУ-
ТСезивы дакящм! я®. ^ ¿зжготж т^-%дзепц’<шх и семинарах не ¡»зазютте,.
Шьём ¡и (еятоттаи яцааятшт«-. Диссертация состоит из вве-
и трёх глав; разделен; на II параграфов. Список цитирований литератур» ссдерг.яг 11 г{- нах/спзпаниЯ. Объём диссертации содержи? З.&З »апннэписюо: с тага.
2. Содержание работе
2.1# Б 55 1, 2 первой глаая' .4211 обзор основных результатов, относящихся к линейнм.» преобразованиям последовательностей и ^¡ункииЯ и к с;да:ирзеал:га однократна рядов классическими методами ( с ^ р) , (В) и ($*} # В § 3 даются некоторые при-
меры и приложения этих ¡¿зтодзз. Установить авторство части этих 'примерен чал.е всего почти иевозкзчис, но там, где нам С«и: известен литератур.чнй истсчкик, эго? источник добросовестно приводится. Нам кажутся наиболее интересн>й(и приложения в теория целях функций экспонеш!И1Л юго типа {теорема Пойа) и ¡: дпфгергкцпаль-кш уравнгиичи .хождение ревелий, п^голоиор^п-гх в окрестности началы-с-тс значашй) {п.л. Б, 6, 7, 8, 12 § 3).
П.п, I и 2 5 3 занимает особое положение. В них мм приводим спои собственные результаты, ПерЕЫЙ ИЗ КОТОрыХ относится к ядрам последовательностей для полунепрерывных методов сугияронация (аналог теорем Агиья и Перрона).
Определение I. Пусть С - произвольное непустое МНОЯРСТ-во на расширенной комплексной плоскости (£ . НаименкДее земк-
иутое выпуклое множество, содержащее ,5 ) называется замкну-
той выпуклой оболоч й 5 и обозначается К ( б) •
Определение 2. Пусть $ = ( 5л’) - произвольная последовательность чисел 5 •£ *Г. и означает замкнутую выпук-
лую оболочку в £ множества значений подпоследовательности
^ > £>(4+1 > 5Ы+1 >
Тогда пересечение '
ж З
Г\ к
. М-з
і - , называется ядрам ч (5) последовательности $=. ($ } .
Для ограниченной последовательности $= (5 ^ ЯЛР° к'(5) совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества предгльпчх точек последслтелькостч (для ЬС0ГраК1Г40Н,-*Й это необязательно).
Определение 3. Пусть дяяч фьгздирсвашаг позлено в&тзлмгость (с іу;\'| комплексных функций пкцєсушлкісй порзмспиоЯ, определенных на луче 0<- X < -+СО , і; некоторая числовая послодоэатеяьность (5 \ комплексна чисел, Если '
п с
С. С х 'і " Г~ 5
--^ *'
г - О
’о говоря?, что суммируема е пемомья ( С С’О 1 к »телу сҐ .
.с л и из 5 у (п-^оо) всегда следует с (Х^ -~»Г +
о говорят, что ¿,ута;:токальняя последовавольность £ С. і'Х)'; п~1~ едзляет регулярней !:етод сугатаргвания.
Теотзема І.З.І. Пусть дан числовой ряд (0,1) с кемпленсн.-.'-и членами, чосткпнме оумич которого оог-азуо? последовательность 5= ( 5 -с-та (5 \ огрсіпиона у. |{ (й) есть яд; . $~(5 \ ,
^ I г» И I
з для любого Тё к" (з^ найдётся фуннциоклльная последоватепь-)сть (^С (.х)') > определяющая реіуллршй метод суммирования, с мощью которой ряд (I) суммируем ¡с этому числу 1Ґ .
2.2. Второй наш результат относится к одному любопытному шложенню борэлевских методов суммирования К рЄШЄНИ!0 ди^ферен-альннх уравнений с особенностями в начальных условиях.
В качестве примера рассматривается дифференциальное урав-
гие
1 і ‘ ? ^ '
К і/ + и - X ^ о
. б
¡ачальным условием ^.(о^ = о ..Точка X ~ О явллетоя особой.
формальна здовхеягэорЕет дрзфешждеяьшмзг уравшжйи ¡и начаямю-му условии о » ЯДя нс-пз рдеус схюдасмзста рдаш
нулю. Этот всюду расщдагрйася ст*?жзэга£ ¡жд тескэ сагзак с згйш-птотическмм рэзжтаеЕгак иигегр'аЕа Стажьеса
и с одной слгцкалааиЕ <§завщке® - интегральной показательной (г НКЦЛСЙ
(при к о ¡^....егаал сходится в обмчном смысле, при *>о он понимается з сжехе главного значения). ,
Фкэдвр явся, что указанный степенной ряд можно просуммировать оЗсйданагти (йсрелсзшсгд'. .методом и получить равенство
части пэгагсцрнот аазшнп- :.5)_
2\злв2 'пст® а §3 главы .1 ужкажрг тагсге: язаесгню» (ЛййкягажЕ борелевсвга-.ыеязвдкгз \(т1.г’. II и 13,, -кспгзгр^-' жйппа.г агпалгзБгтао» ш главе '2- •
2.3. ЯЬшва вторая посвящена обобщениях: зпшктвивеег $.Сза-ровских и борелевЬких кето, ;>в ( Е , р') , ( В) ’л :(3 - И § II стро.’.гсл обобщение методов (4) :: (5) на основе икгегрокьгЯ’ЯС пг.-а-
»= а,
•кагя£рх2 кзкз: рк^загакшзпгь с дздга: (вдкззатаиз ЕигрЕжз'вга: тгасеак ярагият тажк:: $р2н:'ж: тапетм: ж с тах^:?. ярэгада .•авиж-
ттипидажЕота ркюЕйзазияг яки '"—*^.0' «йгаянаа',, ©яигда» ». грхагоЯ
образований с регулярным ядром. Показывается, что вновь построенные методы сильнее методов (4) и (5). Затем даётся их применение к аналитическому продолжению функций, регулярных з начале.
Обратимся к методам ([¿(оО) и суглетрэаакпя чис-
/эвых рядов, определяемых равенствами (4) и (5). Область 3(Л -
V *> ^
- суммирования геометрического ряда ^ ^ содержит начало £-0
и ограничена кривой с равнением в поляршх координатах
. (Гъ -
если о<л.*^ , и , если А>а, • При
эта область (обозначал её В ) неограниченно приближается к
Л _ |
звезде Циттаг-Яеффлера функции -0-5) » т.е. к плоскости
ш с разрезом по лучу С1 1+00) вещественной о о..
Рассмотрим две функции вещественной переменной А г частичными суммами 5
и
ь + 1
СО
X
I (х+п+аЛ
сі і
І
І С*)=; ГСХ-^І4) XI аь ~
**о І (х+ль.та^
десь <Л. вещественный параметр, который будем считать меняющим-я- ка интервале о <сі < •
Определение 4. Будем говорить, что ряд (І) с частичными дшами суьь..лруем методом ^ 0> ("0) (соответственно (В'б°0')?
числу Г , если ■Сіт £ (х) -$ (соответственно Мул £ схі --
^ 4 оО І у Д,
— 5 * •
Теорема 2.1.2. Ряд, суммируемый ^ (или (0 Гос)). ),
ммируем и 'соответственно 0і к г му же числу.
,_/ .: I % л
Те-с'рма 2.1.3. Ряд >_ суммируем методах -ч |’3 у. Л) )
(о < =1. ~ ) к (1 ~ V" к области
• ’/,
\ < ' , ! -!>! I ’
I ~ I .
шнглес^ио точек £ комплексной ПЛОСКОСТИ , для,кото-
п (‘Л - и'!
0\- .. '7" • _________________ СЛ
т»спалаз?ся на две области 0,’ и ¿О . ка которых ,
' ' ^ ^ БМССТС со споей границей (исключая точку £-( ) лккит енутри
круга [■?;<! , а 5^/'^' вместе со своей границе;': (кроме 2-1 )
Г'
ле;;;ит вне области !:г . Границу области ('Ц) ' обозначим ! ,
Р есть кусочно глп/чкел замкнутая (в (£. ) кривая, содержа-
щая точки - 1 и 1 - со .
Так как внутренние у грр.ничкте точки круга 1 >1 у<: I (кроме точки ^ -! ) легка? в области р>; , то из теорем 2.1.2 и
2.1.3 следует, что геометрический ряд > 2' суад/ируем методом
( Ъ'ОУ, к °УМ‘ЧВ О" VI п односвязной области К, , ограниченной кривой 1. и содержащей умчало. При это;.: р, составля-
ег правильную часть области К, при любом ( о -- =¿^3.).
Мы аналитически т^'^джияи ¿ункпия {(/;]--- У а-1' методом ( В1 из круга [г1< | в область , , ограниченную кривоГ;
При этом та считаем Г? ориентк_ званной таким образом, что рр
г-ч‘ ^ ~ “I *
обходе область 1 остаётся слева. Пусть £ -
есть некоторое параметрическое уравнение кривой ! . .
. Рассмотри!/, вопрос об чалитическом продолжении методом да
(Г5№) произвольного функционального элемето . задан-
ного в окрестности качала некоторым степенным радом
• (6'
к-=о
Пусть ^Гсг'г. | 1 - множество особых точек, полученных при ана-
литическом Продолжении элемента. вдоль кривых, выходящих из качала. Для каждой особой точки '-'J построим кривую !,(;*)) с уравнением ^ Д. (о^О*
Область, ограниченную этой кривой Г, (ы) и содержащую начало, назовём К [и;] . Множество всэх внутренних точек лоро-:ечения (1^) по всем особым точка!«; ^ функции обозначим , т.е.
2) « ¿к-ъ ( 1< м'Ь ^ •
А ^ ьо 1 ' ^ ‘
Теорема 2.1.4. Степенной ряд (б), представляющий элемент , регулярный в начале, суммируем методом ^ в каждой
очке к значению -£.&) (аналитическое продо-Т-хание эле-
1 • ента мы также обозначим -^(2) ) •
2.4. В 5 2 главы 2 обсуждаются обобщения зйлерэвеких мето-ОВ (^Е р\ > впервые рассмотренных ПеррОНОМ и более подробно ноппом. Специальным выбором отображающей фикции мы яонхретмзи-уем эти методы и применяем их затем к продолжению аналитичес-IX функций в звезд.1’ Миттаг-Деффлера. Для одной из отображающих /нкций выясняется вопрос о звёздности образа единичного круга, го имеет решающее значение при использовании теоремы Окпда. жазываетсл, что дйже при отсутствии звёздности указанного об-*оа мочно построить звёздную область, содертацув этот образ, тую, что область суммируемости степенного ряда соотв«''ствуыи'ЛН
методом будет исчерпывать звезду Мчттаг-Леффлера при изменении
ларметра.
Пусть задано сдиолксткое ото6рсжен::е единичного круга [>¡1.: ( комлчексной плоскости е единичный круг ¡Х[^1 комплексной ПЛОСКОСТИ ( К) с ПОМОЩЬЮ функции х= 2 С'Л . регулярной при ('^\ •£ 1 V дья которой • Р^лагая е(Ч)
к окрестности Ц - О по степеням и. , наЭДём
О <3
. (7)
Образ круга при отображении (V) (обозначим его
Д-с! ) представляют собой односяязкуд область, лежащую в единичном круге !>;и> и содержащую течки действительного полуинтервала rv.li > причем является гранично;”: точкой
I!. . Сама границ", <Д есть замкнутая жорданоъа кривая "у .
Для числового ряда Т а построим степенной ряд % о. х”'И
‘ 1— г. "— >1
от комплексной переменной ” , сходяамйся ДЛЯ Мсир-'Х (X! . Числовой ряд > а можно чисто формально получить из степенного рч-
*■ г _
Д;1 У а <1"*1 при /-д1 или кз функционального ряца / у ["‘¡(УМ
»Л ' -—■ П « «
при 1| ... ( . :^о;'и переразложить последний ряд по степеням и. ,
то получим
г— * + 1 _л+1 ___ 1 И1
¿-V ^'и-’Илоп] = 2_ ‘V;; • «»
Если положить в (8) ^ ■= | , то возникает числовой ряд ' .
Определение 5. Если числовой ряд ') и' из (8) сходится В обьтчном СМЬ’СЛе К 5 > ТО ряд НОЛ! 5Р.5ТСЯ ''г. <у) -
- суммируемым и имеет своей - суммой число .
Как установил Перрон, условия А. ^ о достаточны для регулярности '£_(;*.) -метода.
применим теперь (<?\ - преобразование к ст:пе:н;;ом”
^ 4 О ' *
іду (6) о конечным и отличным от нуля радиусом сходимости. 11 рл гом наложим на область ск- дополнительнее условие эвёэц-
зсти относительно точки х-о . (Ней нарушении условия )сти области сі-.мы*можем найти в некоторых случаях л:*.пь :г.ь> іьнуто часть полной области 1; ( ^ - суммируемости степ-зн->го ряда (6)).
Пусть егть область, являющаяся образом вні>и-
істи с( при преобразовании инверсии V ^ зьёзд-
I вместе с. с( . Построим звезду
5=5 (з,{)= и і (Ґ~У ,
. ы і £?
иі'> - множество ЕСЯХ особых точек фуНКЦИИ ^(І") !
зникаючих при аналитическом продолжении элемента (Є),
Как показал Кнопп, степенной ряд (б) суммируем к|(2)метс-м із каждой точке '¿с ^ и не является ^ - сут.і—
руемш ни в одной точке, летацей вне £ .
Выберем теперь в качестве отображахщей функішл
.
(9)
, . у
ЛИ I ^ І I то п-і'%(<!. так что в круге (^¡.-¡.^ при зтаточно малом можно выделить одь'означную ветвь .чного-
ічной функции (9), поставив условно - о . Тогда для
)й ветви ^ ^ ( . Разлагая в окрестности точки ^ - °
эяд по степєняі.і ч , найдём
а , V
^ ,Ш-мЫА-.ь) , М|
(ТТм! ’ ' Ш) '
^ -О л-о ^
Полный образ единичного круга ('^|<| при отображении У ~
о бо значим гі~ сі (¿) , его границу - через ^ (¿} . ІЛ )
i CTu гладкая замкнутая кривая, содержащая внутри точку )( ~ о < проходшцая чзреэ точку К—I и лежагдая целиком на единичном круге \Х\с \ . Haï/ неизвестно, будет ли ci (¿') звёздной относи' тельчо начала, но существует звёздная область с|*(сПзэ d (<к), определяемая нерпземствами
им, wijcx+A<~ , U+il>a.1.
* .
Граница ^ (à,) области с( ( <М также содержи? внутри точку X-о
проходит uepo.j точку X. -1 и лежит целиком на единичном круге
tXl-U Обрагы внешностей и ol'V) при преобразовании ин
версии К (—— обозначим и J"/ (J.) . -
Внутренне точки пересечения
/ "Л W £) (<М
образуют область О (лД . Оказывается, что о,\. звёздна
относительно начала; круг сходимости Q степенного ряда
(6) смешится и (0<dL<i'j ; cV S(d) исчерпывает зеоз-
ду ^ ' Миттаг-Деффлера при ; cil. пслинзмк
h
Q U,зо =2^ (Ma г
*1' к--о її
будут равномерно сходиться к ^(1\ на ка-хдом компакте 5^
Числа ^ есть некоюрме полиномы от ¿,,6 и находятсг л ■ ■' I ’
из простых рекуррентных соотношений (числс. 4- с указаны в (10)).
Теорема 2.2.6. Для лабого компоста г(' из звезды Миттаг--Леффлера функции последовательность псліпюмов б? будет равномерно сходится к і('і) . - .
Ешё более простой по сравнению с (9) я:*ляотея отобра^ая-ЦГШ функция
для которой коэффициенты из (7) имеют вид
■ *>+1
-------—______ (ь-,с,1,а,--Л .
■ (Ул+О
Функция (II) обладает тем замечательным свойством, что образ Д~о{(^Л единичного круга [^¡<1 при отображении (II) будет звёздным относительно начала для зсех ^ I) . К тому же
функция (II) имеет те же достоинства, что и (9), позволяющие аналитически продолжать элемент (о) во всю звезду Миттаг-Леф-флера этого элемента.
Возникает задача об оценке скорости сходимости общего ^ С3-) ~ пРе°6Разования степенного ряда 2 а^'Ъ • ^ силу звёэдности области сЦ$\ ^а> следовательно, и звёздности полученной из преобразованием инверсии области <$)(#-) )
по теореме Окада вопрос о равномерном приближении функции полиномами
’ м к •
т • И = о
’.водится к аналогичному вопросу для геометрического ряда У~% .
Теорема 2.^.7. Для любого множества !<С , компактно лежа-;его в ( {(с с » найдутся такие постоянные
М С«\>0 и ^([<’1 >1 ’ что для всех справедлива
пенка •
/ ~ I I щ
Таким образом, п< ледовательность £ЗМ)по ¡номов рав-17
номерно сходится к своей сумме 0~2) на множестве К , компактно лежащем в области ¿¿) (, , со скорость» геометрической
прогрессии.
¿.Ь. В § 3 главы £ исследуется вопрос о суммируемости борелевски.ми и ойлеровскими методами степенного ряда б особой точке его круга сходимости. Ь частности, оказывается, что 0 -
- суммируемость будет обеспечена, если известно поведениё суммы ряда внутри или вне замкнутой кривой, касающейся изнутри круга сходимости. ' •
¡¡усть степенной ряд (5) имеет круг сходимости 121 <1 , т« что существует по крайней мере одна особая точка 5 функции
О
на гранипе этого круга. Заметим, что регулярность и-и не-регулязность функции в точке 2 /Ш-П не может служить приз-
о » и1 1
наксм сходимости или расходимости ряда (о) в этой точке. В действительности здесь могут встретиться все мыслимые возможности
1.'.. ?ис показал, что если -а (н» то Рян. схо-
к
днтся в кажлой точке единичной окружности, в которой функция регулярна, "-та теорема явилась источником многочисленных теоре; дам;;;'./ достаточные условия суммируемости в некотором смысле (Г"Г стеленного ряда на границе круга сходимости.
1!. ¡{аромата на~ёл достаточные услс? ;;я, при которых ря^
(о) методом Чезаро К - гс порядка (£<>о)'оудет р; - сумми
руем при 7 = 7 ((? 1-| \ . Б § 3 глаьы ¿с нами рассмотрен воп
'О *
рос о - суммируемости в особой точке границы круга сходи
мости ойлеровеккх сред! .’X ряда (5) (б граничной точке регулярности функции ^ эта суммируемость очевидна).
Опседеление о. ¡оьорят, ч:- интеграл С-урьс функции с (? комплексной переменной сходится в точке ^=| к значение •$
если существует предел I (0^ = В’ где
со со ~
Г . Р((!+^') .) '
' - а' ) +- ^
■ , _ «>0 ~ ' .
ТЙ
Теорема ¿.3.1. Пусть I) функция ■{ (•j'j ограничена з закинутой области [| с cl > являюще:'.--я образом круга \'у- — !~тг~
1 Г S'w
1ри отображении ï-%(■£) > 2) интеграл Фурье функции F (’■=?') -
1 ^ С ‘J("v 0 сходится в точке -у-\ к значению s . '1сгда ряд
j) ( Р)', И С^О - суммируем к s • ‘•с*'сСЛ -эйлзровскяе
:редние ряда (5) 0 - суммируемы в точке £=! к s •
Следствие. Если i.CJ'i ограничена в :;руге и интег-
ал Фурье этой функции сходится в точке 2=1 к,значении S .
о ряд (5) 0 - суммируем к о при ’J-! •
В этом следствии мы накладывали ограничения на|(£) б зам-
нутом круге . Естественно поставить вопрос, каковы
3-
остаточные условия - суммируемости степенного ряда (5)
ри , если известно поведение ^(21 на некоторой непрерыв-
эй кривой Г' , касательно;: к кругу Î 21 ~ 1 в T04.;j 2-1 и ленце й вне кругл l'ï-jl ^ •
Icope.v.a 2.3.2. Пусть Р сеть замкнутая спрямляемая жорда->ва кривая, содержащая внутри начало, с полярным уравнением > где . .
(о<К|й|-),'iiobi, ? 6-0*1
ли при %-*> \ вдоль кривой Г и внутри неё
4(Я- S. = О (U-S^) (ci>û) ,
степенной ряд (6) (3 - суммируем в точке 2=1 к 5 .
2.6. В § 4 ±лавы 2 нами рассмотрены способы улучшения схо-.'ости рядов с позиции общей теории суммирования. Сначала ис-глуются способы, основанные на методе Вороного-Кер..унца, при! обосновывается их корректность с г,,пчки зрения регул жости овместности. Затем г.,называется, что в некстсрк случаях
19
трансформации о'йлера дают больший эффект. Для иллюстрации мы берем два классических тригонометрических ряда и на этих примерах обсуждаем сравнительную силу трёх способов улучшения сходимости: способа А.И. Крылоза выделения медленно сходящейся части ряда, способа, основанного на преобразовании Бороного, и способа, основанного на преобразовании ейлера. Ясно, что число таких примеров можно неограниченно увеличить. ' •
Рассмотрим для комплексного параметра р (Р ^ "О линейное преобразование последовательностей вида
t - ? "t. [ S W —i— S -t ~— S ( Ы >o1 , ( to)
0 0 1 w» \i ' lrp te-l l + p ** V ’
являющееся частным видом преобразования Бороного-Нерлунда, соответствующим выбору БЬООВОЙ последовательности ( С0,1,3-,— ,
?0-i j Р,= р =o(h>tj* Матрица преобразования (1<) является треугольной, регулярной и нормальной (т.е. С ^ о для всех К =
■ К
= >•
' Использования исследований Банаха и Маэура-Орлича показывают, что справедлива
• •
Теорема 2.4.!. !.‘»етод суммирования (Ш совместно с более
сильным методом, описываемым треугольной регулярной матрицей, тогда и' только тогда, когда (р|^| р^5- -| . .
В терминах рядо’в преобразованию (!<;) последовательностей соответствует следующее преобразование рядов
со ^
—— + — (рр. , + » ). < ГЬ)
^ ь=, it- р 1тР tq h-’ *
Ьл;ё более общим по сравнению с (13) является преобразован!
¡Га , + _L. f (Л +ipt, , ГЛ)
, * + и-l • гЛ .... И*'3)
В качестве примера рассмотрим медленно сходящийся при о< X тригонометрический ряд
са
1 \ Л ' С' '> Ъ * -
- ^ ~—— • (15) п-|
1ак как функция ~ ■^•’Л (.>■ т-] неограничена ь окрестят ги концов
интервала , то известный метод А.К. Крылова улучшения
сходимости рядов здесь неприменим. В то же время способы (13) и (14) д; -'Г значительное улучшение сходимости: -
-МГЧ^*£ ^ ± + —■■ у_-■&&£.,,¡г•
*'=1 ^ Л 3.^4 г,=.
■ Л л
по „ та
С-о- ь 1-> х. йс„^к~'Х I т—
Ч.-.ЛХ ‘ ■
л Зд-Г»/ — "-а. ^>-|1ь(ь + 0
А 'А
Но ещё эффективнее для улучшения сходимости ряда С1Ь) оказыва-
ется применение трансформаций Эйлера:
оь — -
\ '1
/. ПЛ '
' 1 О ^ 11 * I______________________ел ч ------------------------- - -----------. |
л. "-у--- ( ь - оь х ,.ь !■■ (16)
ь-1 * >"—I
Ряд (1ь) сходится со скоростью геометрической прогрессии. Сравнение с разложениями (го) и чIV) $ азывает на поразительный эффект.
'¿Л. В " 5 главы £ эйлеровские методы применяются для построения последовательных приближений (итераций) к решению операторных ^в частности, интегральных) уравнений. Шдвергая фостые итерации регулярным преобразованиям с треугольной матрицей .например, матрицей СЕ.^р'1 ), поручим обобщённый итерационный про-
цесс, сходящейся для тех значений параметров, когда простые ите-: рации расходятся. Применительно к линейному интегральному ураг ■ нению '*рецголъма на этом пути получаются итерации, известные в
..итературе кз одной работы Бюхнера.
Рассмотрим линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода . •
(19)
в котором ядро ЧС'Ь/О и свободный член предполагается
интегрируемыми с квадратом по Лебегу. Решение также ищется в классе параметр к принимает комплексные значения.
<А- » •
Если {Д,[ . г‘Де •*, - наименьшее по модулю собственное значение ядра к(3,т:) , то единственное решение урав-
нения (19) может быть найдено методом .последовательных приближений (итераций)
и
\А~ 1(ъ}+ к ( К(5,0 СО с(тг.
Р. ' V ) с Л
С
(20)
Простые итерации (20) сходятся к решению уравнения (19) при
к расходятся при {А[> [Л (I . '•
‘ Пусть - [X. Х у.)~ последовательность собственных:
значений ядра ¡<^3, -{Л > занумерованная в порядке возрастания
(Л; \ . и о (р' ~ кругообразный многоугольник Кноппа с вершинами в точках Х< . • '
С *
Теоозма 2.5.?.. Для любого л(г Б (р) и для любой началь-
Гч" I \
кой функции V (5 1 с- I С °)0 итерации.
° О £.
_ (
7 со - + У (о + ~ ((21)
1 .ЛЧ1 р + 1 Р-1’ № Р+1 £ ^ '
сходятся к решению интегрального уравнения (19).
Итерации (21)'бьиг' поручены впервые Бюхнером из совершенно других соображений. ' .
Если ¡..;брать в качестве отображающей функции в обобщённом методе Эйлер? функцию, указа;-тую в (II), то получим
утвегт.денке : '
‘ - : 22 ■.
Теорема 2.5.3. Для любого Л. из звезды Миттаг-Леффлсра . резольвенты уравнения (19) параметр сА. (о с Л <|') модно выбрать настолько близким к £ , чтобы последовательность итераций
I '"1
.ч (^ ^ (I # (+ х \ и ( 5 +1 / 4 '7 (*') ^ < 2?->
о т ,1 *-п •: 11 '
■ О >'-С
сходилась к решению уравнения (19) для любой начальной функции
. 115^ ЦС«,Л.
Здесь
■ I
<: . - ----------'А------- (о - <!),
Гу
(КМ (’Ы П
Ч' .Ы -П) ** в 4 4.. •- & ■-* * (’ ^ ^ ' •
'•> ' м+1
Сходимость понимается по норме пространства О, (.0 , |) ,
В частности, ели псе собственные значения ядра пог.сяитедь-иг, параметр Л (о <■}.'{) могено выбогть таким, чтоб'.: ¡'.терапии
• (22) сходилис к решению уравнения 119) для 1бого значения /. , исключая вещественные ]■ > л. . Те:.: самым получаем значитесь-
‘ ' I ''
ное усиление результата Бюхнера.
Совершенно новой является идея использования этого способа применительно к нелинейны!/, интегральни/. уравнениям (к кото-рт-тм мэчно свести многие краевые задачи длА дифференцис \>ннх уравнен’.!“; типа уравнения Дуффинга в теории колебаний). При этом воь- . никают специфические трудности, связанные прежде всего л тем, что многообразие особенностей решения уравнения как аналитг еской ' функции параметра состоит, вообще говоря, из неизолированных точек и точек ветвления. Однако знание этого многообразия позволяет описать область изменения параметров, для которых сходятся обобщённые итерации. . .
23 ■ ' . .
Поставим, например, краевую задачу для уравнения Дуффинга, занимающего важное место в теории нелинейных периодических и почти периодических колебаний. Это уравнение имеет вид
------------------+ С. *
И- - <д- ^ =
или в самосопряженной форме
1 С^= ¿г -
^ (23)
ус°\-^с0= о.
Будем считать для определенности С? ^ •
Краевая задача (23) эквивалентна решению нелинейного интегрального уравнения Гаммерштейна
•' сЛ 5
^ (З^ 1 ^ С ($,{) с^+'п (5} , (24)-
• О
где ес/ь функция Грина для линейного дифференциаль-
ного оператора 1_- (мы не выписываем подробно 0(5 ■Ь'}; 6‘С5, есть элементарная функция от независимых переменных 51г и параметра С > ) > .
О ^ Г
к Ы-- ) -с. ^ ■
О
Положим
Н= >..« ¿ь[&и,е\-{ь > ЛИ-*«-* (ЬС*М -
3 о Доказывается
Пгг плоу.ение. Если С , Д. и функция к(£) в уравнении Дуффинга такоЕ ., что выполнены условия
24
И (1Мг5 + ы'иг
(25)
зииЧ’-ЧМ
(26)
то простые итерации
• о
сходятся к решению задачи (23), лежащему в шаре [(
пространства С(си) • Эта сходимость будет равномерной относительно с, (о<у< Л для любой начальной непрерывной функции^ (з) • Будем рассматривать решение уравнения (24) как функцию комплексной переменной X : . Она аполи-
тична в некотором круге | к\\ , определяемом неравенствами (25) и (26), и поэтому разлагается в этом круге в ряд по степеням У . Пусть $(р>( и П означает соответственно многоугольники Кноппа и Борелл, построенные по многообразию особенностей функции ^(5 , Х\ •
Построим обобщённые итерации вида
Л1Ю -
где под ¡ЧУ) понимается К - ая итерация Ц (< Ш •
Лосплоченне. Итерации (27) сходятся к решению уравнения
I-1
(24) да: любого А. из многоугольника Бореля I ( функции $($,,(} > если |э достаточно велико. Эта сходимость равномерна относительно $ = 0 • и качинать процесс можно, начиная с любой функции из шара [(^¿г .
2.8. Теорию зйлеровского и борелевского суммирования однократных рядов (I) можно считать достаточно гл’, 'око разработанной. В то же время перенесение полученных результатов на двойные ряды
оо -
7 У а . (28)
*■— '■— тр
•ь-.о и=о
встреч 1ет. специфические трудности. Переходя в § I главы 3 к эйлерово’.им и борелевским методам суммирования двойных рядов (28) заметим, что результаты для однократных рядов не переносятся "в чистом виде", без всяких ограничений на двойные ряды. Так, если назвать полем сушлируемости£гТ' ^ метода(Нр ^ множество числовых рядов, суммируемых ('Г 1 ТО ДЛЯ методов , (£))
Г г, \
и V с ; применительно к однократным рядам можно записать строгие включения
СоМСЕ.рЯсВДсСВ1]
(мы учитываем регулярность и совместность методов (Ь р) , (в1 и > через [о ] обозначаем множество всех сходящихся ря-
дов). 3 то же время для двойных рядов нельзя даже написать, например, включения [о] С > так как легк0 построить схо-
дклийся двойной ряд, не суммируемый (01 .
Известны необходимые и достаточные условия ограниченной регулярности линейного преобразования двойных последовательностей . Но условие ограниченности двойной последовательности зна-
чительно сужает класа этих последовательностей и фактически не всегда выполняется. Мы пошли в § I главы 3 по другому пути, не
требуя ограниченности чо-стичто: сумм ряда, но налагая ограничения на способ стремления индексов М , п ' к со или неп. О о
рорывнкх переменных К, , Хц к , X • •/‘ы рассматриваем в
главе 3 наиболее важные с точки зрения аналитического продолжения функций двух комплексных переменных методы Эйлера и Бороля, ориентируясь в основном но собственные исследования (основные результаты главы 3 содержатся в работах С » [З*] * [Ч"] ’ |]81
[11: • [и] '[И‘1 >• _
Челидзе нашел класс двойных рядов, для которых Г С* С С Г 1^] ; более широкий класс указал Берс-калвили. !1ы, кроме прочего. рассмотрели эйлеровский метод ([~ р'| и интегральный метод | суммирования двойных рядов и указали аирокие классы рядов, для КиТОрЬПС
[о] =ССЕ,г)] = С.и>Св']-
В работах Челидзе и Берекаивили указывались' лишь достаточные признаки регулярности метода (т.е. принадлежности ря-
да классу, для которого Го^С С ГЬ"] )« Н-тли получены условия, не только достаточные, но и необходимые в классе рядов, ассоциированная по Борэлю Функция которых есть целая функция конечной степени (см. £ 4 ;!]). При этом рассмотрения ведутся в общей ситуации У, - кратных рядов.
Введём некоторые классы двойных рядов (28), частичные сум-
л С|
мм которых будем обозг чать ¿\ • - Я ; ; . Пусть г =( ¿ Г \
. . '• '1> Д. ' " ^ ч
Всюду му счптае;.:, что двойкой степенной ряд
.1
всюду сходится в С , т.е. представленная им функция
ÜCS)'
называемая ассоциированной по Борелю с рядом (28), будет целой в (С.^ . Мы будем рассматривать лишь такие ряды (28), для которых ассоциированная функция будет целой функцией конечной .'
степени, т.е. для этой функции существуют хотя бы одна система положительных чисел и постоянная ГА-М(о'), для
которых 'при всех ^ 6 (£
(Лдаи м Й «4*1
’ .ы скажем, что ряд (28) принадлежит классу ({" » где
Хг( еслн существуют числа oL<A¿ (i=l Д) и М = /ЧД (с/.')
такие, что для ^ ^ выполняется неравенство
1^1* М^Р [1(1^ ¡3111.
Будем говорить, что ряд (28) принадлежит классу 1_ СМ
о
для всех С выполняются неравенства
^ С ,
1Г-Ак~Г - м,^? (("¿Мг,!), .
(29)
если
К-о
(30)
где <Ь< ^ , М(= М1 (¿,51<1 и М '=• (¿2,1) не зависят от
% . Если же неравенство (29) (соответственно (30)) имеет место лишь для вещественных положительных ^ (<!= 1,3.) , то скажем, что ряд (28) принадлежит классу к 6^ (соответственно I (^) ).
Дадим теперь определения методов СЕ, р) , (В1 И суммирования двойных рядов (28). Введём следующие обозначения
Ц .1 го о;;:: г; 7. Если существует конечзп г;1 пред ..л •$ пси
I.- -• о или *. 1, * со соответстпу'-ст/х с'улк!'ил м ,
. > X ' '■ '■ ' Чч,
■'-у -- _/ч,'^т г:р (-¿1 , когда независимь’о переменим стремятся к
• *« з ¡.вис:::.:; друг от друга, то сктко.м, что дпоунз/ т.пд (20
С'.';'!.:иру :м к <’ оостпетстпенно метод.':».:;: (и. , Г0Л •:'сл;: т.е у'п:г>ш;к;; ;;ре;у?л существует пр:: дополнительно;; продполо •кскии, что нет) тисмг.’с переменние изменяются, прз$ога«г у го г,
I
.ли
/
- !
>П -
-1 .
! - X У - !■
X
то говорим, что ряг; (20) с;.г:мируо:.; к 5 соответственно ;.:ото
Г.'ЗКИ (1^0, ;д , (Р> (_>.’!') И ([¿'.(.А!(здесь ЛГ>0< ]■. ( 1
Теопо.'-а Я. 1.7. Если двойкой ряд (28) из класса |_ <Л> схо дится к 1 , то он (^ (/ ’) \ - суумнруем к $ . Существует
сходящиеся рпд из класса. [? (У\ . кэ суммируемый ::етод { (ЬС
для Л. < •
Следствие. Методы (.В) и (ЧуА)') ограниченно регулярны.
Теорема 3.1.8. Если двойной ряд из класса КЛ/л) « ГД£
“V I Гч4'1') М А /% ~ (!\41'\ . су?.".:ируем методом (Ё.р) к чис
V/ , то эт. г ряд сутлмчруем та^ке я методом (В(^) к тому >:;е
ЖЩ' 0 _
'tmwwsi ЯЛ Ли. %вая рйд С 28) из класса í\ (*) В -•
« ертнрут х *ш,г/ $ , то этот ряд |V (А) - суюдаруем к s .
Т ряд ИЗ КЛвееа fCW , ¡3) - суммируемый к ко-
ятжу \№%а я т сухсюруемый , если A. <A¿ (.út.i) .
3.1 Л Е. В классе двойных рядов метод. ^'(А)}
ь„гФпт иемдд ( S*1 » .
Ün^r/i', uto сила каждого из методов (8W) *
te§pâST6&T С 9Д(Ю2р«ибКЛ!.П.1 увеличением А^ 1 = 1 Д1 • Это значит, «70 если ряд (ЯВ), например, (б(Д') - суммируем к числу $ , ?э он Ь()«] ” сухмру&м к 5 для X. > i^ (Í-M) ,
на cy^esTsysr ряда, суммируема методом (5(AV) и не суммируешь «етвлок (5 (А) \ * Таким образом, двупарамвтрическое семействе датедэв (а тмеквф (л^\ образует частично упорядо-
цтиэс миажвстбо* Мй госерим о частичной упорядоченности, ибо ФО^И (ф(£\) f где j,'> х, » ^ < но сравнимы между
еабай. .
k.<û, "û f:i Z глав» 3 рассматривается суммирование двойных сте пенпж рлдоА мат: ?,ами (Е,^ » и (6*) • Аналог мно-
тоугошжл i раля функции да ух комплексных переменных
jL * ^
8 првтранвт0@ ¿ бил nOf.fpOüH впервые В.К. Ивановым. Мы приводим другое боле© короткое доказательство В и В - сумми-рушевти втепеняого ряда В ЭТОМ многоугольнике. Кроме того, нами яэетрэеи многоугольник Кноппа для ойлеровских методов ("t, р) , яри этом екаашаетояг что многоугольник Кьоппа при р.^4 «*> ¡шэграшчашо иочерпявает многоугольник Вореля.
Раеомотрим двойной степенной ряд
з тічжях xz'/t % v&azsx яріетряя&тг ІЦ 2&%ав?тяш eet6~
tmzpix *,Vi«.,v * 'і г /+1» % v/ak^w , да
0* ' > <y
«ввкздоем* ияэйвдарти i-s. <*» я * O' "i Й«» / *
■y
логде-гтая^гкад: рт^?я (Si), ярйдя»й^і*®»«« $зг?ящ&% г- №$$&& &*
-и
та дада? <е С”"' Рєзуязда? йиааяжзіеей^т ир^лкет^ і?м~
вхэтшят азйкигята, задавд<тз ©гея?»#.« jssjjos« £31), л$9;& ©ззаюазюас яусочно гладких крив:-», фэ^кя {«?,0) * о'С5'^
къякъ такк-е •£ (Ї, vy') . ’
Нар..ду с областью 0 абсодаюкий оюрзшдоде ^rr<fri*S*R? ряд* 13Г) введём область 5 ip) (р~(Р, ,Р- ') , -?■&} * Я&ИЭрГ <Жр$№~
ят. следущим образом. Если t^- / '.О,, uj ') - ®«®бяя «5*8»* • *
|-> д_ , . •
то обозначим прямое произведение внелшозг^#.
I 5 + 4Ptl "’ISi (Рі + 0 , \'А/+|i» ¡W,;[ (|3,-у|i^
>>
через A,, (<v) , а его дополнение (£."’Ч/^ ЯЯДО9$?99
г ^ ' [51ч
всех точек (j .w) , для когорта вь’П&Гбдаг©? жмж бм <ss?i® г.о неравенств .
[s + чр.Ичі (р.-гО, Ср^-^ »
- через ^/3 ( w ■) ,. Тогда
о
Zsn-ьл f> '~'\ z»j^>і -
чМ» * ■. ' , , П>’ //
:• і1
’> (recsxss w жя^ая фяяв#. ж^йяшК?. <йЙйютв> ^ { р) > рассмат-
¡йвпемая :п З’З’тееготпкйУ яязйЯПРйНййй* fJ5'.1 )5 ¡ке будет выпуклой
жэтя .и (будет $5&эдас?2$..
Ира ЖййШ?» S ([¡РУ; неограниченно приближается
.•звезде :Hj 1'їйотауг^'л&>пя?у ЗБ^рвшфг
!1 = tni і / \ (l ч & o-'; 1 ^,
V 1 .
где A ik1' означает прямое произведение полуплоскостей
М^>!- ¡45 Н ■
. ■ х
Ясно, что [""] D S(p') ^ О для любых р-~ О .
Тсогема 3.2.1. При фиксированном р-"(р. (Р: 2 °) двойкой степенной ряд (31) ( Е ^ р) - солируем в ка-кдоЯ точке области $(,,) к ■{(х,'.V!, так что поставленные в соответствие точ-
кам области 5(р) числовые значения, равные (Ь р) - суымо ряда (31) в этих точках, дают аналитическое продолжение элемента
(31) из области Q в область $(р) .
Аналогичная теорема имеет место и для борелевеких методов. 2.10. В § 3 главы 3 на основе построенного нами в главе 2 обобщенного эплероьехоге преобразовании ^ (X) строится для функ-
д
ции vv) в пространстве <£/' аналог звезды Ї.іиттаг-Дсффлера и указывается конструктивній способ аналитического продолжения в ату звезду.
Пусть іаі - \ - особая точка функции Ct^') • Будем
рассматривать точки оj и и)- в плоскостях (х) и (w) ,
1 04 '
сседини:.: каждую из них с нрпалом и совершим разрез по части лу-
ча, уходящей на бесконечность. Прямое произведение взятых лучей обозначим % (w) -- *5 (’:
"o(cu^ ^Сї,ч*Л: = ел* Uj, ^ аг.| w/= --г» ^ , |1. ? j2Lj>,
Возьмём объединение этих прямых произведений по всем особым точкам LO - фуНКЦИ” и рассмотрим дополнение получен-
кого объединения до всего пространства' С> . Открытие ядро этого дополие: :я и назовём зе.здой ^ Миттаг-Леффлера фуншгии
.* ini [ С1' и ^
V uj
^C2,w’)
;сно, что ) £ 2_» п то,! и 'Г0-гь:£0 в том случае, если для
тгсбоЯ особой точки и; = (*«,, 4;лстга + в? то лняетсл од-
го из соотношений
аг| ^ аг3 л), , иг} V/* ^ , Я* (_£_ ) £ I, Я«. (^У I •
Определим числа ^ (чЛ , как в п. 2.4 (ск. тсоре**у 2.2.6),
п
построим' :;олиномы от двух переменнт-ос следуут::^ образом:
ч к
ь; / 1Ы'(Мй 5 V/ .
■ *---« К л л
* *--о к*О л
Теопема 3.3.1. Для любого коггп-тктя К из звезд« М».»’тчг-
Неффлера функции -^('¿,«/1, регулярной в точке {';, о) , мо«но
граметр (и< л *;Л вобрать столь ичячм, что последовательность )лкномоп 0 (Л ,2,^1 будет равномерно на К сходитьс" к
('¿Л--']. ^
Сленствиа. Для любого компакта /_ пзследопатзльнлсть )л;:ко-ор (7-. ^ ,-Л будет тавиомерно сходиться :г ■< л> •.•/) .
V‘ ' 1 4 *■»
Возу.чт.ен о;:;й и другой подход я проблеме суммирования двой-" етепсиннх р'»доз (31) я, следовательно, к проблеме аналитячсс-ТО ПрОДОЛлСНИЯ футпе ЦИК ^ (2, IV4! 9 регулярной 3 ТОЧКЗ (с10’)£ (£'г'.
:есто (31) рассматривается одтькратннй диагекальшй ряд
”■*> 'ї к к
(ЇХ*«'
к.п-.ч
К-О
одиороднгг.’т.і многочленам, область сходимости 0 которого пи;-.* ласти У абсолютной сходихоста ряда (31). Для фиксированной таи [3 ../]£ О р а с са т р-,< в а о т с я функция одной комплексной пере-шо Й ,
Ц.(< Ь 4 (21^/0 - ¿_ (Цак,ь-к^ ^ I
* ‘ \ и - .л
и
к--о 4 К;°
к дата ней егрожгаг аитвг* многоугольников Кноппа и Бореля, а также эиездат Etenifflr4fc^5a£ffla. Естественно, эти аналоги оказываются i&mss шдзюЕшк ш ©¡¡етшавдда а соответствующими аналогами для двой-гшнпв рвдд С3£5 {иго вянщаюгщу -.осуществляется продолжение (21w')
¡на е «аешЕшётетяте ®$? cw вещественного пространства IR1* * .а 2wb> дррюрюк дветпавтей, .проходящих через начало). В ходе тш-жекш ифшищ^тает яишкдаешме .примеры, поясняющие указанные обстоя-
ТГЕШЬСТЗШ*
Д(йузюЖ пдгдгед ж йородевскоиу суммированию кратных степенннх ш сада® се шваз»анием индикаторной диаграммн целой функции «ш: шщшеевкеис амюЕтся в работах JI.A. Айзенберга и В.М. Трут-ива® {¡ЮТЕ, Е2Ш$ Сяг* «случая целих функций экспоненциального типа]). Айщяотсь ш& шигя£ЕДО£адия Эренпрайса (1961) и Мартино (1963), SL2L Шшшгаше £ШШз>3) я Ж»С. Маергойзом (1988) этот результат бнл из^решагт до. щаж© %®шцш произвольного нормального порядка по $т.шся®шшш1иу шщвйшишгкому -направлению .
^=1 *,>о|.
* ([ J '
Нее- зги: ишшздшянгаг. пгогащщь-.. ¡многомерным аналогам .теореш' Пойа.
Ж
швшжш яю тш щюстщш
1 . Йел-эйпр® A.A., Мураев Э.5. К даорш сртгр9®ашот .jmtitaM* ряда» »ет-адамя Баралст. - ДШ ШПР, I960, г-130, !> 5, с.
1193-1195. ■
2 * йеяшют A.A., Hfypaee Э.Б. Суигжрэа-зязге япгерзадяй ягтЗж>т (tmfrmsра- - йзы. АН Арм-ССР, сер.'фаэ.-вемг.ь., 1963, т. 16, $ I, с#3—12*
, 3 . Mypaii в 3.5. К таэиги сзявгарэвагш: дао Яг** р&рв мето-
дами Бор..ля. - Уч.записям Уральской) унидаерететета. IS60, т.23.
№ 2, с.15-33.
•. . Мураев Э.Б. К теорзгя сагоаофвкзегя доойвиб рздэь методами Эйлера. - Сиб.мат.ж., 1951, т.2, 6, С.834-ШС'.
5 . Мураев Э.Б. Об вдави обзбчения бэргхсвскях кет'ыдав суммирования. - Иэв.вкстиг учебтгх зав., 19с2, > 1(25), c.iöI-108.
6 . Мураев Э.Б. С суммируемости по Борсл» стспенгюго ряда на гуакэде Kj.yra сэк>д?агэста. - Изз.досссос уч.зав., 19£2, 2
(27), сЛХО-ПЗ.
7 . Мураев Э.Б. Вмяутке об^шчки предельных точех лэсяе—
цозяяеяьтстг’/». - Б кн. Иагериада 24 конференции работаетзз ка-гем.ка$здр Уральской зош. Челябинск, 1957, с,24-25. -
8 . Мураев Э.Б. X вопросу о суаюгруекости двойных рядзз «еюдом Уятгагчйетфзера. - В кн. Г теряаш 25 коий.работгкетв т-"ем.яа^яр Уральской зэян. Свердловск, 1967, с.95-38.
9 . л—й*ез Э.Б. Об одной теореме Перрона отеось-гедько :;г,с.г/роЕ'Ут;:я рядов. - Уч.запуски Свердловского пединститута, 1367, .54, с.123-131.
10 . Мураев Э.Б. Об одной применении обобщенного суи„.ирс-гния з теории приближения аналитических функций. - Кзз.высших ч.зав., 1970, 3{S4), с.56-62.
II . iiyраев ? Б. Борелевское суммирование - краттлс рядов и целые функции, ассоциированные с ними. - Сиб.мат.ж., I97E ?Л9, !? б, с.1332-1340. '
12. . %рэ.ев Э.Б. О приближении аналитических функций двух просыеншос в звезде I-Лттаг-Леффлера. - Сиб.мат.ж., 1984, т.25,
” I, c.IöI-105.
13 üypaen Э.Б., Плесяк A.A. К теории суммирования двой-\-t~r. рг?дов методами Эйлера. - Иов.высших уч.зав., 1986, № 6, с. 52-63. ‘
14. йущев Э.Б. Введение в теорию суммирования рядов, час?! I. Красноярск. ¡Изд. Красноярского университета, 1985. '
15 . Мураев ' S. Обобщённые итерации некоторых интегральных уравнений. - СиО'.кат.ж., т.XIX, р I, 1988, с.215-216 {аннотация). В разззрнутаг в^дз дсп. ВИНИТИ, У» 422-3 87.
. 16 . Цураев Э.Б. Методы сумадрэваиия как скпсобгл yzpas-ызш егогршэсти ркдав. - В сб. ¡йесгэдэБзжи! ко теорем прйблжгй.гсЕ, Изд. Урагьсзаэпв ушиэрсиияга, СвердЕзвса, IS'33, с.бН-70.
17 . l^pes 0.Б. О ври&сггекг* шшкктос сот-
вдншх п esopoam сюи^пзэстя сягхнаввв. - В сб. Исследования го оикшнжникгу аааггзу (йгзшугивский сборннх), Изд. Красноярского уювере^тгетн, Крагяэяргн, IS83, с.85-23.
18 . Кур&е® Э.Б. О Ерсбл»::<”,кл аналитических функций поли' нюаыз к стрзсзк «ивадгкоет вэяикомов. - "-ш. ВИНИТИ, J? I89-B 91
19 . üiypass ©.Б. Взедскшс в теорию суммирования рядов, чае®ь Е„ Изд.. КпшгшЕргяага jhü -рситета, 1990.
<20 . Ифзрагв Э.Б. йри*ткекие <5орелевского суммирования к решена» / ффершфвз&ках с особенностью. - В сб. Комплексная еэвг'53 к иая&тею&гчая ' 1ажвузовский сборник),
Изд. йр~.л50яреотга уагазеркстега* Красноярск, 1991, с-21-30.
SS
