Факторизация и исследование стойкости решения линейных дифференциальных и разностных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ки1вський ун1верситет 1м.Тараса Шевченко

-6 од

На правах рукопиоу

О Л!И

Култаев Турсунпулат Уда 517.9

Факторизация та дослгдження СТ1ЙКОСТ1 розв'язкгБ лпшдшх диферешцальних та р1зницевих рхвнянь

01.01.02 - Диференцгллып р1вняння

Автореферат диоертаци на здобуття вченого ступеня кандидата (рзико-математичних наук

Ки1в - 1933

Робота виконана на кафедр1 вищох математики Кихвського институту народного господарства 1М.Д.С.Коротченка.

Науковий керхвник - доктор ф13ико-математичних наук,

професор вАлеев К.Г.

0фЩ1Ши опоненти - доктор ф1зико-математичних наук,

нрофесор СТРИЖАК Т.Г. кайдидат фхзико-матеыатичнгас наук, доцент БУРИМ В.М.

Проввдш ор1'ан1зац1я Санкт-ГМтербургський уйверситет.

Захист вздбудеться «Ж _ 1993 року

_ год. на заслони! рпец1ал13ованох ради

К 068.18.11 в Ки'1Вському ун1верситет1 шен1 Тараса Шевченка'

в ауд.__. / 252127, проспект Глушкова, 6, механпю-

ыатематнчний факультет/.

3 даоертац1ею иожна оэнайомитись в науков1и бхблхотец1 Кихвського университету ¡меш Тараса Шевченка.

Автореферат роз1слано

-Ж.-.

--1993 рох

Ечений секретар спёщал13овано1 рада

доктор $13.-мат.наук Сущанський ЕЛ.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыисть теми. Дисертащйна робота присвячена актуальней задач1 Teopii лхнхйшх диференпгальних ргвнянь - задачi про факторизац15с лппШшх диферендгальних га р1зницевих ргЕНяиь 3i зьшшши коеф1щентами. . .

Метод факторизацп е одним з ефективних метод1в дослгднсен- ■ ня лппЛних диференцхальних'та ргзнмцевих рхшшнь. Оонови тео-pii методу факторизад11 були закладен1 в працях Г.Фробенгуса. Еалишву роль в розвитку методу факторизахцг в1Д1грали працг Д.ПоКа, Н.Еейля, Г.Машана, Е.Шредигера.

В подальшому метод факторизаци знайшов свхй розвиток в дослвдкеннях А.А.Айзековича, Л.М.Берковича, К.Г.Еалеева, А.Зат-те, А.Ю.Лев1на,, А.Л.Тептхна, Ф.Розагп, Р.Рмтрофа, В.Я.Скоро-багатько та 'тших aBTopiB.

Дана робота'присвячена питаниям розщеплення сиотеми лШй-них диференцхальних р!внянь на незалежнг пгдоистеми, доолгджен-нв 36i;itHOCTi ряд1в, що визначають розклад диференщального one- , ратора на лпийи множники, а також досл1дденню CTiiiKocTi розв'язк1в систем диферешцальнюс та р1зницевих р1внянь шляхом побудови штегральних многовидхи-. Щй тематищ приовятили овох пращ Р.Беллман, М.М.Боголюбов, Ю.О.Митропольоышй, О.БДикова, А.М.Самойленко, М.О.Переотюк, 1.Я.Штаерман та iHiiii.

Мета роботи: I. Встановлення умов моаишвостх розкладу Л1-HiiiHoro диферешкального або р!зницевого оператора /1-го'порядку на множники. 2, Побудова алгоритму розщеплення системи лг-Hifiinix диференщальних та ргзницевих рхвшшь на незалежш пгдоистеми.

Методи досл1дження. Ооновиш методом розв'язання поставла-них задач е мотод факторизацН, який грунтуетьоя на побудовх штогралышх многовид1в розв'язкгв.

На,укола новизна. В po6dfi одержан! так1 noBi результата:

1. Знайдспх Heo6xiflHi та достапп умови ¡снування розкладу лппйного дифереицгального оператора Я.-го порядку*

2. Побудований i обгрунтований алгоритм розщеплення систем ■ лпшлшх диферэниД альних та р1зшщевих рхЕнянь на незале,¡cui пвдеистеми.

3. Одержанi достатнг умови ¡снування лШйши зам1ни, яка 3flificme розщеплення i яка вйкористовуеться для знаходження час-ТИННИХ РОЗЕ'ЯЗКЛВ i ДЛЯ дослвдкення GTlilKOCTI рОЗВ'ЯЗК1В в критичному випадку одного нульового кореня.

4. Досцпджена'36ijkhictb ряд1в, hkï визначають розклад ди-ференцхальних оператор1в 3i зиинниш коефлидентами на лшШи множники.

Практична мннгсть. Результати дано1 роботи сввдчать про ефектшзисть застосуЕання методу факторизащ ï до досл1дження л1-hîBhhx диферешуальних р1внянь 3i змшшми кооф1щентами. Еони можуть бути застосоваш до розв'язування та досл1дження ctïëkoc-tï ирикладних задач, якл зводяться до лппйних диференщальних_ ■ або р131шцевих. р1внянь п.-го порядку або до систем таких р1внянь.

Апробацтя роботи. Ochobhî результати дисерТаЩ1 допов1да-лис^ на Есесоызшй. конференщ! з Teopiï та застосувань функщо-нальних piBiiHiib (м.Душанбе, 1987 р.), на П школ1-семшар1 "Дифе-ренщальш перетворення та ïx застосування" (м.Еитомир, .1987 р.),. на республп<аноьких наукових конференщях "Моделювашш та досупд-ження CTiiiKocTi оязичних процесхв" (m.Khïb, IS90, IS9I, 1992 pp.), на пауковому ce.uinapi кафедри вищо1 математики Шпвського еконо-М1чного университету (. Kepi вник - доктор фязико-математичних наук, професор Еалеев К.Г. ), на ceMÏHapi з Teopiï диференщальних pife-нянь при Кихвському yiiiBepcnreTi С Kepi вник - доктор фдзико-мате-ыатичних наук, ирофеоор Перестюк М.О.).

П.ублгка1Лï. Ochobhî результати дисертацп опубликовав в працях [ I - H ] .

. Об'ем та структура роботи. Дисертащйна робота складаеться з вступу, двох роздШв, списка використанох лiтepaтypи, який наичуе 83 найменувань. Загальний об'ем роботи складае 138 OTOPÏHOK машинописного текоту. ' "

3MicT роботи. У Bcryni обгрунтована актуалынсть теми ди-сертац1ЙН01 роботи, наведен коротыш огляд дослгджень, як! ма-ють безпосередна в1дношошш до теми дисертацг ï, приведено анота-ц!ю одерданих результат1в. .

Б po6oTi дотримано такого порядку нумерац! ï : ' порша цифра оз-начас номер глави, друга - номер параграфа, третя - номер теope-

ми, легли ado формул?.

Перши:! роздгл дисертащйно1 роботи складаеться з трьох параграфа i присвячений досшдяеншо розкладу л1Н1£иого диференвд-ального оператора на шошшки. Одериан! необхщп та достатн1 умо-ви 1снувашш такого .розкладу. Дал1 розклад диуер'енгиального оператора на мнояншш застосовано до 1нтегрування'диференвдальног(5 piBHJîHHH i досл1длення CTiiîHocTi iioro розв'язк1в.

Е § -I.I вводиться означения деякого класу функщй 5 • i роэглядастьоя лшНше р1вняння другого порядку 3i змппшми коефх-щентами

да ait), Ait) é S, - pi3Hi комплекснх числа,

Jle £ - малиЯ комплексний параметр.

■Доводоио теореш.

Тоорсыа I.I.I. Нехай в piBHnHHi (I) Лв(^-р)тО, Якщо виконана уг.юва

г.

2 su р |£oUt)l (Jîeiij-p) + <f [лец-р)]}

то посл1довц1сть функдИ! tPri^'P^ > К0ТРа визначаеться системою pÎEIIiHb

; 'tp-^a-vi

+ (ttv)jdv, (lL'Dfi,â,3t...)

piBiiouipiio зб1гасться на Bciii oci.

- нев{доы1 (lynKuiï, як1 пгдаягають визначеншо. Теорема I.I.2. Якщо в pinummi (I) Ле(4-р)>0 , i виконана умова

■л • »¡Г I К ¿Я,

то ргвняння розщеплешш

мае обмежоний на bcïîï ooi розв'язок jiit,ç) , ангштичний вспоено £ в крузг:

С Яе (ц-р)У

А Не + ¿Б+21^.1 Л

де Л г sup | ait) I, fi г sup I ¿it J I, ■ t t' •

Параграф 1.2 шстить доведения достатшх умов можлпвосп розкладу лш1шюго оператора на г.шолашки. Цей розклад Епкористо-вуегься до хнтогрувашш лпш'шого ди^юрснщаяьного рхвняиля, bï-докреглешш критичннх змшшх при досл1д;:;е1Ш1 CTifa'.ocTi розв'яз-

kïb.

Гозгляцаеться диференщальнии оператор

k d

LCt,g>,£) * Z С a к*0 0

(3)

3Ï сталими коеуяпденташ , awo ф О, «¿^ (tj^) - кусково-

непорервн! функци t , як! s cyri^i стопеневих ряд!в:

Доведена теорема, яка обгрунтовуе достатн1 та необх1дн1 умовл ыо;:ллвосг1 розкладу оператора на г.шоглики.

Теорема I.2.I. Hexaii будь-якш! розв'язок лпцкного диферен-ц1ального рхвшпшя

« к Lâct,¿¿et,») » а" + £ с,it)а

lUo

задовольняо також ртняння

т"4 к

ЬЬ,2>)у*0, ¿Л,а)я0т' + £ а^Ш, ^^т.).

Тод1 буде мати шсце розклад

¿а,а) «,э) = ар+ £ .

-1

г* *

В § 1.3 розроблено метод розкладу липиного диферснщаль-ного оператора на :.'ло::шшш, який застссовано до шдщеплення одного частш-шого розв'язку, асш.штотична поведгнка якого визначае стШисть розв'яз1ав даного дифорепидального р1стяння.

Розгл'ядасться лшгйне квазьстацтонарне дикренцхальне р1в- . няння

■ (3)

Ьд(&) - диференшальниП оператор я.-го порядку

£ ь

ИЗ) г 2 а, Э, 4 (0) 2 О, ¿--о к ' 0

£ - малий копплокешш параметр, - неставдонарний

ди^решцалышй оператор

к-.о

к - кусково-неперервн!, обможенх на вс1й 001 фупкцп. Г,"а::ть [.исце так: теорони.

Теооомл 1.3.1. Якщо кое]чшснти , (к- 'о,п. ) е пе-

рходичнш.ш Лункидлш 13 сшлышм пор1одом Т , то обмежений на воI¡5 001 розв'язок ргтшлшш розщеплення

I (П-Л

р.ак? 1Ь>> (4)

при ¿уде пергоддчпоа '1упкц1ею исхода Т •

Теорема 1.3.2. Якщо кое.]явденгами (к* 0,п ) в

р1внянн1 (3) с обмежеН1 на вспЧ осх ^ункц!I з класу то обмежешш на есхй ос1 розв'язок р1вняння розщаплення (4) при I £' ^ С1 ^УДе обмеженою на ВС1Й осх душицею з класу С5 .

Зауваження 1.3.1. С5 -клао неперервних гаунквдй, я1и мають непорервн1 похода до порядку Б вклмчно.

Розд1л П присвячоний розщепленшо систем лпШ'ших даферен-Ц1альних та р1зшщеЕИх р1внянь на незалежнх надсистеми. Одержано достатнх умови хснуваиия лппинох зампш змпших, яка зд1йснюе таке розщеплення. Пойудований та обх-рунтований алгоритм розщеплення. Розщеплення системи дИ'Тюренцхальнпх рхвшшь на пхдснстеми викорзстовусться для вхдщукання частшших розв'язкхв та для до-слдаення стШкостх розв'язкхв систеш диференщальних р1внянь.

В § 2.1 розглдцаеться система .лшШшх дафёренц!альних р1в-нянь, умовно розкладена на Д5п тдсистеми

¿К ¿Г

¿р-Аап+миг, сюх + ыиг, (5)

до А(0,Ва), СИ), - кусково-неперервн! обмо;;ен1

на вс1й ос1 t або швос1 Ь>0 матриц!.

Припускаемо, що матридя АСЬ) розглру »а маг-

риця мае розмгр р*р,

Для р1вняшш (5) доведена теорема.

Теорема 2.1.1. Нехай К-КЙ) дов1льний розв'язок матричного рхвняння розщеплення

dK.lt)

~гг- * сы+зажш- ка)лМ' кюважи). (6)

ах

Тод1 сиотема р1внянь (5) мае, штегралышй многовид, який визна-чаеться системою ргваянь

У -- кюх , (7) •

де К (О - матриця розьпру р*1>

Теорема 2.1.2. КехаГ; матричне квадратне ди'Т>эренц1альне р!в-

няння (6)мас обмекений на всхй ooi (niBoci) розв'язок (7) i hr-хай при цьому фундаментальна матриц! розв'пкхв /VCt,t) i G it, t) систем лиййних диференщалышх рхЕнянь

( Ait) + ВСЯ Kit)) VCt),

аЛ

(8)

( Q(t) - K(tJB(t))nt) ,

d.i.

задоволышють умову дихотомхчностх г

5 l|yV(t,T)i- l!G(t,rJI!tit ^ 0 = coast.

- CO

Тод1 icnye замша розщеллення

яка иеретворюз систему (5) в систему (8).

В § 2.2 знаудено умови хенування лпШ'лох зампш змпших, яка зд1йснгае розщеплення системи лш1йних диференщалышх piB-нянь ка дв! незалежш-шдснстеми.

Побудова зашни зводиться до розв'язання матричних iiiTor— ральних piBiiHHb, до яких застосовано метод поелгдовннх наближонь.

В § 2.3 вказаний i обгрунтоваш1й алгоритм побуцови ¡нтегрпль-ного мнбгоБИду розв'язк1в системи лппйних дифepeнцiaлыIИX рхв-нянь 3i зышшыи коефхщентами. Цей алгоритм дозволяе в деяких випадках спростити досл!дяення oTifiKocii розв'язкхв системи лш1йшх диференщйних р1внянь.

Розглядаеться система лпййних диференщальних р1внянь

* dkY(t)

L Акм -¿rr- * 0,

l.o . (9)

де (ts cyt) матрищ неперервнх i обмеженх при -^■¿t С

Припускаемо, що система лхн1йних диференцхальних р!внянь

мае частишшй розв'язок вигляду ■«в

¿Ш* | г)

- во

де матрица.Грпш задовольняе нер1вшсть:

« Се , С=ссш1.

Поклавши в системг лш1йних рхвнянь' (9)

лтю

— = ш, фю =

Д1станемо

¿та) Г

- СО

(10)

Шукаемо пиегралышй шоговид розв^язкхв оиотеми р1вшшь (9), який визначаеться системою рхвнянь першого порядку

¿Уи)

г—« ВЛ)У(*), (II)

ах '

будь-який розв'язок шс! системи е водночас I розв'язкоы системи 1нтегро-ди|юрснц1альних р1внянь (10).

Для рхвняиня (9) доведена справедливхсть принципа зведення, який сформульовано у вигляд1 тоореми.

Теорема 2.3.1. Нсхан нульовий розв'язок системи

£ЛкЮ±!1*Ма0 (12)

експоне^щально асг.иитотичио сть^киП, Ягадо норпапсть

t

У^ХД I 11ва,г)11 11А(г)11 е ¿Г,

"0 (13)

^ г Я 'р (I 5 №) II

мае додатнгй розв'язок, то стлшхсть нульового розв'язку (9) р1в-носильна ст111Кост1 нульового розв'язку системи (II).

3 теореми 2.3.1 випливае мо;клив1сть. спрощеняя досл1дтення ст1&:ост1 розв'язк1В системи ргвпянь (9). Для цього будуетъся по-передньо система р1внянь (II), порядок яко! нижчий шж порядок системи (9), а дал! досладкуеться ст1шисть нульового розв'язку систегли (II).

Параграф 2.4 присвячений систем1 лппйних днференцхальних

• р1В1ШНЬ

м Ск:а (14)

де елсментами В^ Ш, ( к - 0,1,2,3,...) е функци деякого класу 5 С 8 Л .

Припускаемо, що матричний ряд в систем1 (14) збггаеться абсолютно I р1Вном1рно при .

Розглянемо породжуючу систему 31 оталими 'коеф1щенташ

. — гДГ • (15)

¿1 Л ■

Припустимо, що характеристична р!вняння

¿(й) г С£й-А2

(16)

мае простил кор1нь £ * ¿^ , а дхйсн! частшш 1нших коре-шв р1вняння (16) В1даинн1 взд Ле ¿о • Мають М1СЦ9 так1 теореми.

Теорема 2.4.1. Нехай вех корен: _ йх, ¡¿, ..., характеристичного ргвняння (16) породжуючо1 систеш при ¿=0 мають piзнi Д1йсн1 частшш. Якщо ыатридя в систеки

(14) наложить класу 5 , та при досить ыалих I загальний розв'язок системи (14) ыохе бути представлений у еигляд!

Ь

^ * С it, £) еар £ $ Н Ut J с, С = coast,

де матриц! належать класу 5 , причому

Hit,¿У - дхагональна ыатриця.

Теорема 2.4.2. ' Нехай bci коронi ¿i4 tA , ..., im. характеристичного ртвняння (16) породауючо1 системи при машть pi3Hi Д1 iicni дастшш. Якцо натриця в ciicieui (14) розклада-етьоя' в piBHoi.iipno i абсолютно збхнний ряд

к

3Ct, р * Z £

де елементи матриць ft) _ uaiise перходичш функцп, то фундаментальна ыатриця системи (14) предотавлязться у ■

виглядх ^

• = C(t,£) £ i H

Тут матриц: С it, Н розкладаються при досить малих

/ /" I в степеневх ряди

00 ' L к

г o.it)f H(t,A) = Z a на), L k-0 L - 0

в яхшх елементи (t) - майке nepioj'imi функц11.

.3 теорем 2.4.1 та 2.4.2 випливае при вказаних умовах В1дшу-кання чаотг.нно1'0 роэв'язку - можна звести до штегрування piB-нкння першого порядку', що приводить до штегрування функцхй класу 5 .

Б 5 2.5 методи, запропонованх в попереднхх параграфах, засто-совуються до рхзницевих опораторхв.

Одеру^но необх1дн1 та достатн1 умови розкладу лШйних pia-шщевих опораторхв 3i эмшшши коефщ1ентами на операторнх множ-нпки.

Е основу такого розкладу покладено хенування спецхального

МКОГОВИДУ Ol'.CTOI.Ui р1з!ШЦеВНХ piEHHHb.

Зокрема, одержано теорему. *•

Теорема 2.5.1. Для того, щоб лгнхйний р1зницевий оператор

L(t,T)u(t) =0, - L(t>V = T^t £ ak(i)Г * <I7>

к*й

можна було розкласти на множники вигляду Lit,*) * Litt^)-Ld(t9r),

Р"1 к Vх k

Z Li(t,r)'sTf+2, C,a)T

С p»4, ), СаН)Ф0, ¿кМф0

необх1дно i доотатньо, щоб Boi розв'язкя р1зницевого р!вняння Ld Ci,T) i^ft) * 0 •

були також розв'язками даного рхвняння (17); тут функц!i a.ii), i^tt) - неперервнг i визначенх на BCifl ooi £ .

Зазначимо, що завдяки своМ ефективностх метод факторизацН знаходить викориотання в reopii i застосуваннях диферешдалышх та р1зницевих рхвнянь. i-залишаётьоя об'ектом дослдаення багатьох вчених. ^ ■' "

Автор виоловлюе глибоку вдачнготь професору Валееву К.Г. за велику увагу до" даног роботи. ■ .

Цубл1каци з теми диоэртацп

1. Еалеев К.Г., Култаев Т. разложение дифференциального уравнения второго порадка на множители. - Киев, 1984. - II о. -Деп, в Укр.НИИНТИ.21.08.84, ."3 1486-Ук 84.

2. Еалеев К.Г., Култаев Т. Разложение диффер енциального оператора на множители. - Киев, 1984. - 31 с. - Деп.в Укр.НЖПТИ. 21.12.84, JS 2147 - УК 84.

m-i. к

.3, Бадеев К.Г., Култаев Т. Исследование устойчивости решений линейного квазистационарного дифференциального уравнения в случае одного нулевого корня. - Киев, 1585. - 16 с. - Деп.в . .Укр.НИШТИ,21.00.85, К 82 - Ук 85.

4,.. Еалеев К.Г., Култаев Т. Численно-аналитические методы устой- чивости решений линейного .дифференциального уравнения периодическими коэффициентами в случав одного нулевого, характеристического показателя. - Киев, 1985. - 16 с. - Деп. в Укр. • НИИНТИ* 13,06.1985, К 1282 - Ук 85.

6. Бале ел К.Г,, Култаев Т. Достаточные условия существования расщепляющей замены для системы линейных дифференциальных уравнений. - Изв.АН УзССР, сер.физ.-мат.наук. - 1986, № 2,-

■ С. 13-15. .

• 6. Еалеев К.Г., КуЛтаев Т. Об одном алгоритме расщепления системы линейных 'дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. - Киев, 1986. - 15 с, - Деп.в Укр.НШГГИ.19.04, .' 1986, & 1109 - Ук 86.

7. Валеев К.Г,, Култаев Т. О построении и свойствах линейных интегральных многообразий системы линейных дифференциальных

. уравнений, - Киев, 1984. - 23 о. - Деп.в УкрЛПОТТИ.21.12. 1884, № 2149 - Ук 84.

8. Култаев О построении частных решений системы линейных дифференциальных уравнений о почти яериодич'еоюши коэффициентами // Укр.мат'.журн. - 1987. - §9, Л 4. - С, 523-526.

0. Култаев Т, Разложение линейного дифференциального уравнения второго порядка На множители.в случае периодических или почти • рериодаеоуих-коэффициентов. - Киев, 1985. - Ю с. - Деп. в Укр.НЩШ1,30,054985, й 1169 - Уи 85,

10. Вале ев ^.Г.,Култаев Т, 'Исследование устойчивости решений линейного диффдренциального уравнения в критических случаях //

. Тоз,докл.науч.школы-семинара "Моделирование и исследование' устойчивости физических процессов". - Киев, 1990. - С.10,

11, Еалеев К.Г., Култаев Т. Численно-аналитические исследования устойчивости решений линейного дифференциального уравнения

' о периодическими коэффициентами // Тез.докл.науч.школы-оеми-- нара "Моделирование и исследование устойчивости ф!!эичеокшс процзссов4. - Киев, 1991.