Фазовые переходы в стекольное состояние в регулярных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



'. РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт Теоретической Физики им. Л.Д.Ландау РАН

..На правах рукописи

Каган Дмитрий Миронович

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СТЕКОЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ В РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМАХ

01.04.02 - теоретическая и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Черноголовка 1997.

Работа выполнена в Институте Теоретической Физики им. Л.Д.Ландау РАН. -

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Фейгельман М.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Нечаев С.К.

кандидат физико-математических наук Лесовик Г.Б.

Ведущее предприятие -

Институт Физических Проблем им. П.Л.Капицы РАН

Защита состоится "¿4" —^_ 1997г. в И

час. на заседании специализированного совета Д002.41.01 по защите диссертаций на соискание ученых степеней кандидата физико-математических наук при Институте теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н., Черноголовка, ИТФ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ РАН.

Автореферат разослан:. 1997г.

Ученый секретарь специализированного

ученого совета доктор Л.А.Фальковский

физико-математических

наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Рассматриваемые в диссертации вопросы связаны с изучением динамического поведения спин-стекольных систем, интенсивно развивающемся последнее время. Полученные при этом результаты представляют собой исследование фазовых переходов стекольного типа п регулярных системах, как классических, так и квантовых, а также исследование аналогичных по поведению спиновых стекол с беспорядком.

Основным методом исследования классических систем является метод динамического производящего функционала, развитый в работах Martin, Sigia, Rose и впервые примененный к изучению динамики спиновых стекол в работах H.Soinpolinsky и A.Zippelius [1]. Данный метод позволяет отделить коротковременное поведение системы от длинновременного и написать замкнутую систему уравнений на длинновременные асимптотики автокорреляционных функций и функций отклика (усредненных по беспорядку в случае хаотических систем).

Эти уравнения определяют поведение системы вблизи точки стекольного фазового перехода а также ниже ее, что впервые было использовано М.В.Фейгельманом, Л.Б.Иоффе, А.И.Ларкиным и В.М.Винокуром [2, 3] при рассмотрении разновидности модели Шеррингтона-Киркпатрика для х—у-спинов и в дальнейшем широко применялось для исследования стекольных систем в неэргодической области.

Большое внимание в диссертации уделено проблеме стекольного поведения регулярных систем, которая интенсивно развивалась последнее время. Одним из подходов к этой проблеме было установление соответствия между высокотемпературными разложениями для некоторых моделей "регулярного" и "нерегулярного" стекла, что справедливо в области выше фазового перехода. Более полного анализа этой области удалось достигнуть при динамическом исследовании на примере модели плоской сетки сверхпроводящих

проволок с джозефсоновской связью в магнитном поле (Р.СЬапска, М.В.Фейгельман, Л.Б.Иоффе) [4]. Помимо возможности экспериментальной реализации этой системы, удалось количественно определить положение точки перехода а также поведение динамических корреляционных функций.

Более того, развитый формализм позволил исследовать динамику данной сетки в стекольной (низкотемпературной) области методом медленного охлаждения, впервые примененным для модели Щеррингтона-Киркпатрика. Оказалось, что длинновремен-ное поведение системы при медленном охлаждении идентично поведению так называемой р-спиновой модели стекла со случайным взаимодействием. Значительный интерес к этой модели был вызван исследованиями процессов стекдообразования в вязких: жидкостях [5], динамика которых схожа с динамикой р-спиновой модели при р = 3. "Сферическая" версия этой модели была изучена в работе А.Стап^. Н.Ногпег, Н.Л.Зоттегв [6], а изинговский случай также изложен в данной диссертации.

Также установлено соответствие между медленным охлаждением и динамикой после мгновенного охлаждения-системы ("старение"), что изучалось ранее Ь.Р.С^ПапсЫо и ,1.КигсЬап [7, 8]. Различная динамика системы в этих двух случаях является двумя режимами общего процесса охлаждения с конечной скоростью.

Тематика, связанная с квантовыми спиновыми стеклами, рассматривалась на примере квантовой версии модели той же регулярной джозефсоновской сетки, которая реализуется при низких температурах, если учесть емкости межпроволочных контактов. Интерес к проблеме определяется прежде всего новизной тематики квантовых стекол [9], которые изучались до этого в основном в статическом подходе и только для моделей с беспорядком. Применение динамического анализа позволило определить асимптотику корреляционных функций вблизи точки перехода в квантовой области (при нулевой и низких температурах).

Цель диссертации.

1. Изучение фазовых переходов стекольного типа в регуляр-

ных системах (на примере модели джозсфсоновской сетки сверхпроводящих прополок в магнитном поле) и аналогичных им моделях случайных спиновых стекол (/»-спиновая модель) методом динамического производящего функционала. Установления соответствия между моделями регулярных и нерегулярных систем. Исследование процессов медленного охлаждение, и "старения" этих систем в низкотемпературной (стекольной) фазе.

2. Изучения квантовой версии модели этой же джозефсоновской сетки. Нахождение длинновременной асимптотики корреляционной функции вблизи точки перехода, а также критического поведения физических величин таких, как магнитная восприимчивость.

Научная новизна. .

В диссертации впервые проведено исследование стекольного состояния регулярной системы, состоящей из взаимно перпендикулярных сверхпроводящих проволок с джозефсоновсвдши контактами в магнитном поле. Исследованы различные режимы процесса Медленного охлаждения системы из области высоких температур в стекольную фазу. Установлена эквивалентность медленной динамики данной системы и р-спиновой стекольной модели с беспорядком как выше, так и ниже точки фазового перехода.

Исследована область вблизи стекольного перехода в квантовой модели регулярной джозефсоновской сетки со стороны пеупоря- • доченной фазы. Найдено критическое поведение корреляционной функции при нулевой и низких температурах. Исследована также частотная зависимость вблизи перехода таких физических величин, как магнитная восприимчивость.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на семинарах ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН, ETH Zurich, NEC Research Center.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения, а также содержит список литературы.

Содержание диссертации.

Во введении обсуждается актуальность темы, содержание последующих глав, а также новизна полученных результатов.

Глава 1 посвящена исследованию динамики изинговкой р-спиновой стекольной модели, критическое поведение которой аналогично критическому поведению модели регулярной джозефсонов-ской сети, рассмотренной далее.

Гамильтониан данной модели определяется следующим образом:

N

Н-- ^..Лр^Ч •' -<пр - >

1<11<--<1р<ЛГ «=1

годе Ь - внешнее магнитное поле, а константы взаимодействия, имеющего бесконечный радиус, /¿1„.,-р являются случайными и имеют гауссово распределение:

-1 \ 1/2

( ЛГР"1 \

ехр

Л лг*'

-1

' II ...1р

, 1 < 11 < • • ■ < гр < N .

(2)

Предполагается, что динамика нашей системы является глауберовой: вероятность переворота спина сгг за единицу времени равна

ю{(аи. . ..,<7л0->(сгь ..., -оч,. .., <т/у)}= ^(1 -сггипЬ^Лг(г)) ,

вн

где локальное поле к; = -— и /3 = Т~1 - обратная температура.

Величинами, которые нас интересуют, являются функция отклика _

гЧ 1>\ -

Щр) '

равная нулю при Ь < и корреляционная функция . ,

С(М') = (а,-(*0> .

Предполагается как динамическое усреднение, так и усреднение по беспорядку. В высокотемпературной области эти функции за-

висят только от разности аргументов и связаны флуктуационно-диссипационной теоремой (ФДТ):

G(t) = -6(t)dtC{t) .

Искомые функции оказывается удобным находить с помощью производящего функционала, который определяется как

Z[A] = (^ехр (fe / Ai{t)oi{t)dt

После достаточно громоздкой процедуры усреднения этого функционала удается написать уравнения, содержащие искомые функции.

При высоких температурах из двух уравнений остается одно (благодаря ФДТ), которое выглядит следующим образом:

оо \ -1 ;

1 - ш p/32J2/2 J eiutCp~l{t)dt J . (4)

о /

Анализ данного уравнения показывает, что оно имеет особенность при некоторой температуре Тс. При этом справедлива следующая асимптотика корреляционной функции:

C(t) = q exp (—t/т) ,

где время релаксации т расходится при Т = Тс, т ~ {Т - Тс)~", причем критический индекс и = 1.765 не зависит от р. Величина q при этом является параметром порядка Эдвардса-Андерсона q = ^ > который испытывает конечный скачок в точке фа-

зового перехода Тс.

Динамика системы ниже точки фазового перехода является более сложной благодаря зависимости состояния системы от предыстории. Одним из способов исследования этой зависимости является метод медленного охлаждения начиная с высокотемпературной фазы и заканчивая в стекольном состоянии при низкой температуре.

<?н =

Предполагается, что характерный временной масштаб изменения температуры (или магнитного поля) to много больше микроскопического времени релаксации. Сложность задачи заключается в том, что в этом случае спиновый коррелятор и отклик зависят от обоих временных аргументов, а не только от их разности. Удобно разделить эти функции на быструю и медленную части:

GM = Gt(t~t') + A(tj') .

Функции Ct[t — t') and Gt(1. — t') убывают с характерным временем t -С to характеризуют динамику внутри одного из так называемых "чистых" состояний ("долин") в фазовом пространстве системы. Характерное время функций q(t,t') и A{t,t') есть ¿о. Оказывается возможным вывести замкнутую систему уравнений для этих "медленных" функций. Здесь мы сформулируем результаты исследования этих уравнений.

Пусть конечная температура охлаждения Т чуть ниже Тс:

T(t) = Tc(l-r(t)) тогда функции <?(£,£') и A(t, t') имеют следующий вид:

A(i,t') = (р- 2 + r)5(t' - tc) + ^^^^(t - t'),

q{t, t') = p-2 + r + Tf -

Здесь т = r(t) и т' — r(t'). Наличие 5-функционного члена в функции A(i, t') означает, что его характерное время много меньше to, и связано с предполагаемой бесконечной медленностью процесса охлаждения.

Данные результаты могут быть интерпретированы следующим образом. В точке перехода происходит скачкообразное дробление фазового пространства системы сразу на большое число долин, что находится в согласии с нарушением репличной симметрии на один

таг, найденным при статическом исследовании дайной модели. В нашем динамическом рассмотрении этому соответствует наличие 8-функционного члена в функции отклика. Присутствие регулярных членов в обеих функциях соответствует уже непрерывному дроблению фазового пространства при дальнейшем охлаждении.

Знание функций <?(М') и Д(£, ¿') позволяет определить поведение измеримых величин. В частности найдено, что магнитная восприимчивость и теплоемкость испытывают отрицательный скачок в точке перехода.

Глава 2 посвящена исследованию динамики джозефсоновской сетки ниже точки фазового перехода в стекольное состояние, а также изучению процесса охлаждения этой системы с конечной скоростью.

Исследуемая сетка состоит из двух рядов сверхпроводящих проволок, перпендикулярных друг другу. В местах пересечения проволоки образуют джозефсоповские контакты, а вся сетка находится в перпендикулярном ее плоскости магнитном поле.

Гамильтониан системы может быть записан в следующем "спиновом" виде:

2N

И — ~ •

т,п

где 3>тп есть матрица взаимодействия

3 = I (6)

Здесь 3^ — и 1 < (¿,к) < А7, где ¿(к) — индекс

горизонтальной (вертикальной) проволоки; = е1г^т, где фт — сверхпроводящие фазы 2Ы проволок. Мы также определили магнитный поток на единичную полосу, а ~ НН12/фо, где I есть межпроволочное расстояние и есть квант потока; Нормировка выбрана так, чтобы температура перехода Та не зависела от N.

Важную роль в дальнейшем изложении играет спектр матрицы 3, который состоит только из двух собственных значений 0 и Зо/у/о.

с кратностью вырождения (1 - а)М и аН соответственно. Видно, что кратность вырождения наибольшего собственного значения макроскопически большая, что характерно для стекольных систем.

Поведение системы выше точки фазового перехода было исследовано в работе Р.С1"1апс1га, М.В.Фейгельмана и Л.Б.Иоффе, результаты которого мы кратко изложим. Существенным малым параметром этой теории (кроме 1/Л'') является величина а. Ее малость позволяет в частности пренебречь изменением фазы ф вдоль каждой из проволок.

Будем считать, что микроскопическая динамика нашей системы является ланжевеновской, (детали микроскопической динамики , не должны существенно влиять на поведение системы на больших временах):

С 1 дП Л_ Г {7\

(С<(0С,-(О> = 2тъЩ-г') (8)

где ц —■ микроскопический временной масштаб.

Усреднение по тепловому шуму производится с помощью производящего функционала, который принимает следующий вид:

г[Х] = 1 eзXSQкpA{S,S]VSVS. (9)

Входящее сюда действие есть

Л = J йЬ

8 ( тьБ + ть52

(10)

Следует отметить, что задача является существенно нелинейной благодаря ограничению |5]2 = 1.

Процедура диаграммного суммирования приводит к следующему уравнению для функции отклика:

9{опг-И е{\р\-а тг)

+ & ' (и)

ё'1 = 1 - гить - ^ У Ю2(1)Си) (е1^ - 1) йЬ (12)

Корреляционаая функция /}(/) связана с функцией отклика (?(£) классической флуктуационно-диссипационной теоремой. Асимптотика решений этих уравнений имеет вид:

о1/4 " 1/л

£(£)--- 'л, £(£)~а1/4е , (13).

Гц

где величина тд обращается в бесконечность при температуре пе- . рехода

г /о (1 з3/4^/Л

Неравновесная динамика ниже перехода определяется теми же функциями Г'иС, которые теперь зависят от двух временных аргументов по отдельности. Уравнения для этих функций обобщают уравнения, приведенные выше, и выглядят следующим образом:

(й*1 + 1^2)-Щ /£<¿2(1!г'мадмг' =(14)

+ щ) - Зб?г /о1 ^(¿1, ЭД*'. -

/о2 ^.О^ОМ*' -2д{1иг2) = 0* . (15)

я4 •= 1 + Г (*, О^Ж (16)

Здесь введены обозначения:

¿о = 2гьеГ3/4, Т = —(1+0), ^ = -Эй-1/4, = а^а3'4^ , (17)

у/а

а также произведена параметризация:

д

Интересно, что уравнения (15), (15) и (16) идентичны динамическим уравнениям для у-спиновой сферической модели стекла с беспорядком с р = 4, в то время как никакого внутреннего беспорядка в нашей модели нет.

Как уже было упомянуто, состояние системы в стекольной фазе зависит от предыстории приготовления этого состояния. Здесь рассматривается простейшая ситуация: наша система охлаждается от начальной температуры чуть выше перехода до конечной температуры < Та за время 1С. Состояние системы в момент времени I определяется обоими временными масштабами £ и 1С и следует ожидать качественно разного поведения в различных предельных случаях: I = 1С и I

Из-за своей чрезвычайной сложности данная система уравнений допускает только численное решение. Основные результаты его таковы. В случае I Ьс мы имеем ситуацию мгновенного (по сравнению с временем ожидания) охлаждения. При этом =-с?(£/£') = (£/£')7£)о) С^/ = о, и обе функции связаны соотношением

квази-ФДТ: С = хд^1). Константа х совпадает с найденной аналитическим путем для случая мгновенного охлаждения в работах Ь.Г.С^НапсЫо и Л.КигсЬап, х = 0.55.

В обратном предельном случае Ь = 1С обе функции имеют временную зависимость, определяемую только процессом охлаждения

тф. где г = (И^): Д, - ф-(*),т(£')3 и О«, =

Следует отметить, что ожидаемый 5-функционный член в функции С? (£, £'), найденный в случае бесконечно медленного охлаждения, отсутствует.

Глава 3 посвящена квантовой версии модели, рассматриваемой в предыдущей главе. При учете емкостей проволок к гамильтониану системы добавляется еще один член:

Он меняет характер перехода, понижает его температуру и может обратить ее в ноль. Поэтому интересно рассмотреть случай низ-

(20)

ких температур, где у системы будет реализовываться квантовая динамика.

Мы кратко изложим результаты исследования этой модели в неупорядоченной фазе. Будем сперва считать, что система находится при нулевой температуре. Естественной энергетической единицей в этом случае является константа д, поэтому положим д = 1 и все энергетические характеристики будем измерять в единицах д.

Уравнение для длшшовременной асимптотики функции Грина С(т) = -(Гт5(г)5^(0)) теперь выглядит следующим образом:

= (я)

3

<?3(г)ехр {шЬ) (И (22)

Величина хз ~ 1 в формуле (22) есть статическая нелинейная восприимчивость.

Данная система уравнений также имеет особенность при некотором значении </о = ^с, где величина = 0) расходится. При этом экспоненциальное убывание функции С(Ь) ~ ехр(—¿/г) в неупорядоченной фазе сменяется на степенное в точке перехода:

0{1) = {ал/2п36сх1)^Г1'2 . : (23)

Зная функцию Г^зина можно с помощью аналитического продолжения и ФДТ найти корреляционную функцию, которая при Т = 0 в точке перехода имеет аналогичную степенную асимптотику. При Т ф 0 Корреляционная функция Т){1) выходит на "полку" при £ —> со, £>(£^->00 —> ^ ~ Т1/4. При меньших временах асимптотика опять становится степенной, а переход с одного режима на другой происходит при t ~ 1 /Т.

Возможно также определить критической поведение магнитной восприимчивости данной системы. Для случая нулевой температуры она выглядит следующим образом:

При более высоких температурах частотная зависимость восприимчивости становится близка к классической:

Здесь т — расходящееся в точке перехода время релаксации: т ~ {Т — Т )-1-765

Основные результаты.

1. Изучена медленная динамика модели изинговского спинового стекла ср-сшшовым взаимодействием. Обнаружено существование фазового перехода, сопровождающегося скачком параметра порядка Эдвардса-Андерсона. Температура перехода оказывается выше температуры, предсказываемой при статическом рассмотрении данной модели. Функция отклика, найденная методом медленного охлаждения, оказывается сингулярной, что физически соответствует спонтанному дроблению фазового пространства системы сразу.на макроскопически большое количество "долин".

2. Исследована динамика медленного охлаждения модели регулярной джозефсоновской сетки сверхпроводящих проволок в магнитном поле. Найдено два режима процесса охлаждения; один соответствует процессу бесконечно медленного охлаждения, а другой — процессу "старения" спинового стекла. Доказана эквивалентность данной регулярной модели и модели случайного спинового стекла с многоспиновым взаимодействием.

3. Исследована квантовая версия той же регулярной модели. Изучено поведение системы вблизи стекольного перехода со стороны ' неупорядоченной фазы. Показано, что при нулевой температуре лараметр порядка Эдвардса-Андерсона q не испытывает скачка, в то время как при малой, но отличной от нуля температуре, происходит фазовый переход, аналогичный стекольному переходу в классической модели, сопровождающийся скачком параметра порядка Д<7 ~

Т1/4. Найдено критическое поведение магнитной восприимчивости вблизи точки квантового перехода.

Публикации:

1. ЖЕТФ, 109, 2094, 1996, D.M.Kagan, M.V.Feigel'man, "Slow cooling dynamics of the Ising p-spin interaction spin-glass model".

2. Phys.Rev. В 56, 11553 (1997), P. Chandra, M.V. Feigelman, L.B. Ioffe, D.M. Kagan, "History-Dependence and Ageing in a Periodic Long-Range Josephson Array".

Литература

[1] H. Sompolinsky and A. Zippelius, Phys. Rev. В 25, 6860 (1982).

[2] Vinokur, V. M., Ioffe, L. В., Larkin, A. I. and Feigelman, M. V. (1987) ZhETF 93, 343, [Sov! Phys. JETP 66, 198 (1987)].

[3] L. B. Ioffe, Phys. Rev. В 38, 5181 (1988).

[4] P.Chandra, M.V. Feigelman and L.B. Ioffe, Phys. Rev. Lett. 76, 4805 (1996).

[5] E. Leutheusser, Phys. Rev. A 29, 2765 (1984).

[6] A. Crisanti, H. Horner, H.-J. Sommers, Z. Phys. В 92, 257 (1993).

[7] L.F. Cugliandolo and J. Kurchan, Phys. Rev. Lett. 71, 173 (1993).

[8] L.F. Cugliandolo and J. Kurchan, J. Phys. A.: Math. Gen 27, 5749 (1994).

[9] J.Ye.S. Sachdev, N. Read, Solvable Spin Glass of Quantum Rotors, PRL 70, 25, 4011.