Фильтрационные процессы в кусочно-однородных изотропных и кусочно-однородных анизотропных массивах с трещиной (слабопроницаемой завесой) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГГъ ОД «^ к;;-;! гзпз

На правах рукописи

Лайпанов Хамид Сулемманович

ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ и КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ МАССИВАХ С ТРЕЩИНОЙ (СЛАБОПРОНИЦАЕМОЙ ЗАВЕСОЙ)

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Пермь-2000

Работа выполнена в Карачаево-Черкесском государственном педагогическом университете.

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Голубева Ольга Владимировна-----

Официальные оппоненты:

доктор ф.-м.н., профессор Потетюнко Эдуард Николаевич (Ростовский государственный университет),

доктор ф.-м.н., профессор Русаков Сергей Владимирович (Пермский государственный университет).

доктор ф.-м.н., профессор Хмельник Михаил Ицкович (Московский государственный университет печати).

Ведущая организация - Пермский государственный технический университет.

Защита состоится 23 мая 2000г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д-063.59.03 в Пермском государственном университете (Пермь, 614000, ГСП, ул. Букирева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан « > апреля 2000г.

Учёный секретарь диссертационного совета доцент

Г.И. Субботин

Актуальность темы. Степень научной разработанности проблемы определяется в основном тремя направлениями исследования. Первому направлению характерно изучение фильтрационных процессов в кусочно-однородных изотропных средах. К настоящему времени изучение явления фильтрации в таких средах является довольно обширным, и в этой области исследования получены значительные результаты.

Ко второму, сравнительно менее изученному направлению, можно отнести исследование воздействия анизотропности среды на фильтрационное течение. Результаты исследования этого направления представлены в немногочисленных работах и отдельных статьях.

Задачей иного рода является исследование явления фильтрации в однородном изотропном пласте, изрезанном некоторой системой трещин (в частности, одной трещиной), которая может значительно изменять соответствующий фильтрационный поток в пласте без трещины. Теоретическое изучение явления фильтрации в такой среде определяет третье направление исследования.

Практика разработки и эксплуатации нефтяных и водоносных пластов требует максимально возможного приближения решений задач к конкретным условиям строения и залегания массивов, которые в реальных условиях обладают комплексом сложных геологических условий. К этим условиям можно отнести неоднородности в виде кусочно-однородных изотропных, линейно - или радиально-анизотропных зон, трещин, слабопроницаемых завес, полностью проницаемых и непроницаемых протяжённых границ. Эти неоднородности оказывают существенное влияние на процесс добычи нефти и газа. Так, например, на перемещение контура нефтеносности скважины и на эффект эксплуатации нефтяных скважин заметно влияют слабопроницаемые завесы. В кусочно-однородных породах добыча нефти может значительно снизиться вследствие неполного охвата массива процессом вытеснения. Распространёнными естественными образованиями являются трещины, которые могут оказывать весьма существенное влияние на процесс фильтрации, значительно увеличивая продуктивность скважины. Очевидно, что при разработке нефтяных и газовых месторождений, при проектировании сети водозаборов, обеспечивающих промышленность и населённые пункты подземными водами, микросейсморайонировании городских территорий в сейс-

мически активных зонах большое значение имеет учёт этих неод-нородностей.

Актуальность темы исследования обусловлена ещё тем, что она является продолжением разработки одного из вопросов координационного плана бывшего Государственного Комитета по нау-ке.-и-техннка_прп ГМ ГГГР (постановление № 542), касающегося разработки методов расчёта течения грунтовых вод в слоях со сложными геологическими условиями.

Цель работы состоит: в разработке схем и методов исследования фильтрационных процессов в многозонных массивах, обладающих совокупностью названных выше геологических условий; в формулировке характерных для данной работы новых понятий и определений, способствующих составлению общих и конкретных моделей фильтрационных массивов.

Научная новизна работы. Умелое сочетание обобщённых автором моделей трещины и слабопроницаемой завесы с такими математическими методами, как метод многократного применения теоремы об окружности (прямой), метод изображения особых точек (разложение в ряды по особым точкам соответствующих функций), метод изотропирующей деформации позволило впервые поставить задачу исследования комплексного влияния перечисленных выше сложных геологических условий на фильтрационные процессы. В этом смысле результаты исследования, выносимые на защиту, позволяют восполнить пробел в этой области научных знаний.

На защиту выносятся теоретические расчётные модели и результаты решённых краевых задач, определяющие научную новизну диссертационной работы, а именно.

1. Обобщённые модели трещины и слабопроницаемой завесы.

2. Общие и конкретные фильтрационные модели различных фильтрационных массивов, представленных в виде математических символов и обозначений.

3. Решение задачи плоской фильтрации в массивах с п- или гп-распределением кусочно-однородных изотропных, линейно-или радиально-анизотропных зон при наличии кольцевой или протяжённой трещины (слабопроницаемой завесы).

4. Решение краевой задачи плоской фильтрации в полуплоскости с п- или т- распределением кусочно-однородных изотропных, линейно- или радиально-анизотропных зон при наличии

протяжённой полностью проницаемой Ьх(к=а>) или непроницаемой Ьх(к=0) границы, полупротяжённой прямолинейной или полукольцевой трещины (слабопроницаемой завесы).

5. Решение задачи плоской фильтрации в безграничных (или ограниченных одной из границ Ц(к=оо), Ьх(к=0)) массивах симметричным распределением кусочно-однородных изотропных, линейно - или радиально-анизотропных зон при наличии трещины (слабопроницаемой завесы), имеющей форму протяжного или кольцевого (полупротяжённого или полукольцевого) включения.

6. Комплексные потенциалы возмущённого течения от источника (к стоку), являющиеся примером потока, характерного в нефтедобыче и водоснабжении.

7. Полученные расчётные формулы совершенной скважины, являющиеся наглядным примером применимости результатов исследования к решению практических задач подземной гидромеханики.

8. Схемы по определению приближенных расчётных формул дебита скважины, определяющие верхний предел относительной погрешности, допускаемой при замене точной формулы приближённой.

9. Анализы и выводы результатов проведённого исследования.

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные в ней результаты имеют непосредственное отношение к проблемам: разработки нефтяных месторождений; проектирования сети водозаборов, обеспечивающее промышленность и населённые пункты подземными водами; учёта фильтрационных потоков в основаниях гидротехнических сооружений; микросейсморайонирования городских территорий в сейсмически активных зонах.

Достоверность и надёжность. Диссертационная работа является теоретическим исследованием, в котором поставленная проблема сводится к краевым задачам с сопряжённо-смешанными граничными условиями. Решение конкретных задач ведётся с использованием строгих результатов специальной литературы и применением известных математических методов. Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается тем, что для всех моделей исследуемых фильтрационных сред полученные общие выражения допускают возможность точной проверки соблюдения соответствующих граничных условий.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано ] 9 статей и ряд тезисов, издана монография в объёме более 17 печатных листов. Результаты работы апробированы на Всероссийском симпозиуме по теме «Математическое моделирование и компьютерная технология» (г. Кисловодск, 1999), а также научно-~теоретических7-научно-практических-конференциях_и_сешшарах,_ проводимых высшими учебными заведениями Москвы (МОИП при МГУ, 1985-1991), Санкт-Петербурга (ЛГПИ, 1985), Перми (ЛГУ, 1999), Свердловска (СГПИ, 1988), Тулы (ТГПИ, 1983, 1991), Ставрополя (СГПУ, 1988), Нальчика (КБГУ, 1993), Черкесска (КЧТИ, 1989, 1995, 1998), Карачаевска (КЧГПУ, 1979-1998).

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 310 страниц и содержит 42 рисунка, 16 таблиц, библиографию из 118 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено описанию степени разработанности проблемы, научной новизны, практической значимости темы. Здесь же сформулирована цель, поставлены задачи исследования и обозначены математические методы их решения. Изложены основные научные результаты, которые выносятся на защиту. Приводятся сведения о публикации по теме, об апробации результатов работы. Рассмотрено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе приводятся уравнения Дарси для стационарной плоской фильтрации несжимаемой жидкости (p=const) с постоянной вязкостью (|i=const), на основе которого проводится исследование.

где в случае плоской фильтрации в анизотропных средах V* и Vy являются составляющими скорости фильтрации вдоль главных ортогональных направлений анизотропии; dx, dy - элементарные перемещения вдоль криволинейных координат, сеть которых совпадает с главными направлениями анизотропии. В частном случае х, у будут либо декартовыми координатами, определяющими главные направления линейной анизотропии, либо полярными координатами, определяющими радиальное (х=>г) и трансверсальное (у=>6) направления анизотропии; ax=kx/k0, av=ky/k0 - безразмерные

коэффициенты проницаемости вдоль указанных направлений; ко -характерный для геометрии конкретной задачи коэффициент проницаемости; ср - потенциал скорости фильтрации. Переход к перечисленным безразмерным величинам от соответствующих размерных величин (УД Уу"; х*, у*; кх*, ку*; ф*=Р*=Рч^г) осуществлен с помощью равенств:

х*=10х; у*=10у; (р=-Р*^10; Ух*=к0рдУх/|л; \у*= к0р§Уу/^; Р=р«10,

где 10 - характерная для геометрии конкретной задачи длина.

Система уравнений (1) дополняется уравнением неразрыв-

ности

дх ду

Из уравнения неразрывности (2) следует существование функции тока у, связанной с ср соотношениями:

дх ду ' оу дх

которые обращаются в условия Коши-Римана для однородных сред. В этом случае плоская фильтрация сводится к исследованию комплексного потенциала

ш(:г)=аф(х,у)+п|/(х,у) (4)

В случае однородно-анизотропных сред специальные преобразования координат позволяют свести уравнения (3) также к условиям Коши-Римана.

Далее приводятся обобщённые модели трещины

и»„„ «1

(5)

1к),

« а,

тах и

0-2,..., N-1^=1, ...,.¡-1^+1,..., 14) и слабопроницаемой завесы

[Лта„ «1

Г п (6)

[Рсц « Рао

где Ьта*=Ьтах/10 - максимальная ширина трещины (слабопроницаемой завесы) в безразмерных единицах; ау - элемент единичной матрицы значений коэффициентов проницаемости трещины; -

элемент матрицы значений безразмерных коэффициентов зон Б^к,,), расположенных вне трещины, где за характерную величину ко принимается коэффициент проницаемости трещины к,; Р«, -матричный элемент безразмерных коэффициентов слабопроницаемой завесы; Рее - элемент единичной матрицы безразмерных

коэффициентов зоны Ос^кё), коэффициент проницаемости-кото— рой к0 принимается за к0. При этом считается, что к| существенно меньше наименьшего из значений коэффициентов кп (к,,=1, ..., .)-1, ..., И) зон, расположенных вне завесы, т.е. ^«ка=(кч)ты-

Приводятся характерные для исследуемой проблемы граничные условия:

к = <р,А

(1=1,..., N-1)

' Эх

1+1

<РЛ,,, , = со/Ш т 1!/_(>=»)

(8);

дх

д<р,

ду

= 0,

(7)

(9)

¿,(¿=0)

выражающие непрерывность функции давления и равенство нормальных составляющих скорости фильтрации вдоль границы Ц смежных зон. Условия (8) и (9) выражают постоянство давления вдоль границы Цк=ео) и отсутствие перетока жидкости вдоль границы Цк=0).

Рассматриваемая в этой же главе общая постановка задачи предполагает наличие:

а) фильтрационной среды, занимающей всю плоскость и разделённой включением Ц^к) на две группы зон От+(хт), Оц"(хп), в дальнейшим задаваемой одним из условных обозначений:

(Ю)

(д;(л-щ),1)7(/с.) д;(л„)] (11)

д;(л-,г)] (12)

где Р,-(к) - зона, моделирующая протяжённую или замкнутую (в конкретном случае протяжённую прямолинейную или кольцевую ф) трещину (5) либо слабопроницаемую завесу (6); ш и п -индексы, число принимаемых значений которых определяет количество зон От+(хт), Оп"(хп), расположенных соответственно слева от протяжённого или вне замкнутого, справа от протяжённого или

внутри замкнутого включения ^(Ц). Если в фильтрационной среде число зон Оп'(х„), больше числа зон От (хт), то такую область фильтрации, определяя моделью (10), будем называть средой с п -распределением зон неоднородности. В обратном случае, среда определяется моделью (11) и называется средой с ш - распределением зон неоднородности. Фильтрационная среда (12) с равным количеством зон От+(хт), 0„"(хп) - в дальнейшем назовем средой с симметричным распределением зон неоднородности.

Границы раздела смежных зон задаются совокупностью линий Ц=Ь|, Ц,..., Ьл.1 (13)

параллельных для случая включения [¡| и концентрических для случая включения ф;

б) фильтрационной среды, ограниченной одной из границ

Ь(к=со), Цк=0) и разделённой включением й^ (/су) на две группы зон (лм), £>~ (л„ ) соответствующей одной из моделей:

д;(л-,и)д.(/су)д;(х(1)) (И)

(15)

(16)

(¡=1, ...,>1,.У+1, ...,N=10,], 11) В конкретном случае границы Цк=оо), Ь(к=0) считаются проходящими вдоль координатной оси ОХ и обозначаются через Ьх(к=оо), Ьх(к=0). Части включений [¡|, ф, отсечённые одной из этих границ и расположенные на верхней полуплоскости фильтрации, называются соответственно полупротяжённым, полукольцевым

включениями. Обозначаются соответственно через Щ, ф. При

этом границы Ьх(к=оо), Ц(к=0) считаются проходящими через центр кольцевого включения. Части линий (13), отсечённые одной из этих границ, будут называться параллельными полупротяжён-

ными границами в среде с включением |у| и концентрическими полузамкнутыми границами в среде с включением ф. Зоны, рас-

положенные слева от ^ или вне ф, справа от |_/| или внутри ф,

обозначаются соответственно через йт (хт ), (хи ).

Входящие в модели (10)-(12) и (14)-(16) зоны £),* (хш),

А; (л'п), 0*п (хт ), Д~ (л„) могут быть кусочно-однородными

изотропными, кусочно-однородными линейно-анизотропными, кусочно-однородными радиально-анизотропными соответственно с коэффициентами проницаемости:

Хт =

т ~ (А тх ' к ту 1 п ~ (Д;« ' ^ пу ) ,Хт — (^яг'^мй) *„ = ^пв)

Смысл характерной постановки задачи заключается в следующем. Пусть комплексный потенциал задающий в безграничной однородной среде невозмущённое течение, имеет гидродинамические особенности одновременно во всех зонах или же в отдельной зоне одной из фильтрационных сред (10)-(12) и (14)-(16). Решение задачи заключается в построении комплексных потенциалов возмущённого течения, действительные части, которых удовлетворяют граничным условиям (7)-(9). В случае распределения гидродинамических особенностей функции Дг) по всем зонам конкретной среды, решение задачи для этой среды (в силу линейности уравнений Дарси) будет определенно как суперпозиция всех решений, справедливых для случаев их распределения в отдельных зонах. В связи с этим сейчас и в дальнейшем будем ограничиваться рассмотрением случая распределения особенностей по точкам одной зоны, выбор которой является произвольным. В качестве такой зоны будем рассматривать одну из зон

Вторая глава посвящена решению задачи плоскопараллельной фильтрации в фильтрационных массивах с моделями:

[А: (К, \ \А д; (к )) (1 ъ (А; {к, ) |у|, д; {к)] о 9>

(т=1; 3=2; п=3, 4) (т=1, 2; 3=2; п=4)

В качестве конкретного примера выберем две из этих фильтрационных сред, например, (17) и (18). При этом для конкретности счи-10

таем, что включения ]/|, ф удовлетворяют условиям (5).

I. Фильтрационная среда (17) состоит из трёх кусочно-

однородных изотропных зон, одна из которых (¡<{), расположена слева, а две другие зоны £>3~(Л'3), (/с4) расположены

справа от протяжённой прямолинейной трещины Ц|. Границами раздела смежных зон являются три параллельных между собой и перпендикулярных оси ОХ линий Ьь Ь2, Из них Ьь Ь2, проходящие через точки 1^=0, Ьг=Х], являются краями [)|. является границей раздела двух смежных зон /X (к3), £)_, (кч ) и проходит через точку Ь3=х2. Считается, что гидродинамические особенности функции расположены в зоне £\+ (/с,). Решение задачи заключается в построении комплексных потенциалов возмущённого течения вида (4), где потенциалы скорости фильтрации должны удовлетворять граничным условиям (7), т.е.

[(Р, =<Р,А

г+111

а,,

11 дх

д(р1 _ „ 1 - атх

дх

(21)

(1=1, 2, 3; Г2),

где

Многократное применение фильтрационной теоремы о прямой в сочетании с обобщённой моделью трещины (5) к границам среды (17) приводит к комплексным потенциалам искомого возмущённого течения.

? (г) =/(*)-«,/(*)+ 1»,

П'

»р2(г) = /л3

с/э

я 1=1

т,

ъо со

л 1=0 «1=

сю

ЕА./С^+ё,

л!= 0

л!=0

(22)

где

оо ос оо

/|1=1и2=1пЗ=1

С/О СО СЛ

--П1г0п2 = 1«3=1

/7/, =

Ю4 =

^01 _

(п=2п1+п2-пз);

1-а,

1 + а

пи

4а

21

Щ =

21

(1 + «21)2' 1+ап

4а,

(1 + оглХ1+а23)'

т 5 =

О + «21 X1 + «23 Х«24 + «23 ) '

1 -а

21

1 -а

\«1

23

1 + а

«23

•1 а24-а23

23 У \и2

ча23+1 а24 + а23 у

Л! =

1-а2, 1 -а

у (23)

23

Ч1+«21 1 + «23У

4«23

(1-«2з)2

Ь - раскрытие трещины в безразмерных единицах, I - безразмерная ширина зоны ) ■

Достоверность построенных течений (22) доказывается проверкой выполнимости граничных условий (21).

И. Рассмотрим плоскопараллельную фильтрацию в фильтрационной среде (18), в зоне Д* (Л',) которой имеются гидродинамические особенности функции Границами раздела смежных зон являются концентрические окружности Ь], Ь3 радиусов И-ь Яз с центром в начале системы отсчёта. В том числе Ьь Ь2 являются соответственно внешними и внутренними краями включения ф, Ь3 - границей раздела внутренних смежных зон /)3 (А'3),

Д^ Задача сводится к построению комплексных потенциалов возмущённого течения вида (4), потенциалы скорости которых должны удовлетворять характерным граничным условиям:

а

д<Р,

" дг

а

Лм)'

дг

(24)

(1=1,2,3;)=2),

где а\=К\11 о, аг=Я2/^ о, а3=Яз/ ^0 - радиусы концентрических границ в безразмерных единицах.

Нахождение комплексных потенциалов для рассматриваемой среды (18) принципиально не отличается от случая, связанного со средой (17). В последнем случае точки изображения инверсны относительно концентрических границ. В результате параметры Ш1, ш2, тз, Ш4, т3, А{),, Ап, Л21, характеризующие интенсивности потоков, оказываются одинаковыми в обоих случаях.

Для решения задачи использован метод многократного применения теоремы об окружности в сочетании с обобщённой моделью трещины (5).

В результате имеем:

+ т,

¿¿„./Ы+о,

т.

о? со

.=0

где

00 со со

1^=0

(25)

л1=1п2=1пЗ=1

СО СО СЯ

и1=Оп2=1иЗ=1

(п~2пх+пг-пг)

Ь и / соответственно раскрытие трещины ф и ширина кольцевой зоны Комплексные потенциалы возмущённого течения

(22) и (25) представлены в самом общем виде, применимом для любого вида течения 7^).

Аналогично можно получить решение задачи для случаев, когда включения |/| и ф являются завесами, удовлетворяющими условиям (6). Таким образом, последовательное применение теоремы о прямой и окружности (метода изображения особых точек), обобщённой модели трещины (слабопроницаемой завесы) даёт возможность получить решение задачи построения комплексных потенциалов для фильтрационных сред (17)-(20). При этом удаётся избежать операции составления и решения системы уравнений для коэффициентов на основе граничных условий.

Изложенные методы дают возможность решить и более общую задачу, когда фильтрационный массив является совокупностью N зон с границами раздела в виде N-1 параллельных прямых или концентрических окружностей.

Обобщением фильтрационных сред (17)-(20) являются массивы со следующими моделями:

к к,х, к,У) £>п кх, кУ)) (26) [кк,АЛ Ф, (27)

(т=1^=2,п=3,4)

к. К') И- ц;к> )3 (28)

(29)

(т=1, 2,)=3, п=4) Задаче построения комплексных потенциалов возмущенного течения в средах (25)-(29) посвящена третья глава. Здесь для 14

конкретного рассмотрения выделим лишь две фильтрационные среды (26) и (27), когда включения |/| и ф моделируют трещину (5).

I. С геометрической точки зрения физическая плоскость фильтрационной среды (26) представляет совокупность трёх систем координат ХОУ; Х1О1У1; Х2О2У2, оси абсцисс которых совпадают друг с другом, а оси ординат проходят вдоль трех параллельных границ Ь]? Ь2, Ь? Связь между системами координат определяется соотношениями:

х (/ = 1,2)

я (30)

-VI+ (0 = 2,3)

2

(¿=1,2, 3, 4, =1,2,и+];и=2, 3, у=2), где I £ !=Ь; £ 2~ ^ соответственно раскрытие трещины Щ и Ш1фина зоны £)3 (А:, , к,у ). Применение метода изотропирующей деформации

(31)

X. =

г, = <

0-, х

к,

, = (у = 2,3)

0=1, 2, 3,4 = 1, 2, ЬИ-1; ^2, 3;у=2; /=1, 2, 3) позволяет свести задачу в среде на физической плоскости к задаче в кусочно-однородной изотропной среде

[д; (АА,)|4 А; <32>

на вспомогательной плоскости, где

4к>шкту = т](а;т)лу; ^кпхк„у = ^(ар,)ху - эффективные значения коэффициентов проницаемости вдоль главных направлений линейной анизотропии.

С геометрической точки зрения преобразование (31) означает растяжение (сжатие) зон физической плоскости при переходе к вспомогательной плоскости соответственно в

А А* = л1(ао)у/х раз'

Указанный переход является следствием того, что приме-

нение преобразования (31) к уравнениям линейной фильтрации (1) приводит к следующим условиям Коши-Римана:

V =

" ду,

ж,

где А',, у1 - переменные новых систем координат на вспомогательной плоскости, связанные между собой соотношениями: х

(34)

г,-

где

1 ~

а.,г)У.

V, = <

(& = Л

(35)

(и=2,3^=2)

В результате этих же преобразований граничные условия (21) примут вид:

ихг I*

(36)

где Ц =0,1„11+12;Ц = 0,0, ,Ог.

Отсюда следует, что фильтрация в среде (32), расположенной на вспомогательной плоскости, будет описываться комплексными потенциалами

Щ (г,-) = ^{аАхУ ' <?>>У)+1 Изд) (37)

Переход на вспомогательной плоскости к одному переменному Ъ определяется по формуле

2 =

(38)

(и=2,3;;р2)

Указанный переход приводит к следующей постановке задачи. Пусть комплексный потенциал /(г), соответствующий на вспомо-

гательной плоскости невозмущённому течению в безграничной однородной среде с коэффициентами проницаемости к]х, к]У вдоль главных направлений линейной анизотропии, имеет гидродинамические особенности в зоне • к[у Построить комплексные потенциалы вида (37). Они определяются из общих вьфажений (22), если в системе (23) значений интенсивности потоков пи..... тз. А ,

^01,^11,^21 произвести замену коэффициентов а2Х,а2Ъ,аи соответствующими эффективными значениями коэффициентов проницаемости ^(а2] )х}\ л1(а24)хУ ■ Указанная замена приводит к качественно новым параметрам интенсивности потоков

П1],...>}7}5>А(П,А01,Аи,Л21, определяемым через эффективные значения коэффициентов проницаемости вдоль главных направлений линейной анизотропии. При этом под переменными в комплексных

потенциалах и'3 (з), Н'4 (г) системы (22) следует понимать значения

(38). Выделяя действительные и мнимые части в полученных комплексных потенциалах, находим выражение потенциала скорости и функции тока на вспомогательной плоскости. Их выражения для физической плоскости находим заменой переменных по формулам (31).

II. Уравнения, описывающие линейную фильтрацию в фильтрационной среде (27), характеризуемой изотермической сетью на плоскости 2=гею, имеют вид:

"V = «V""=Ь).%--<*>

го(1п/-] дв дв о(1п г)

(¡=1,2,3,4; 3=2),

где (а^) = /с;>/7су; (а,, = А^/ к/ - безразмерные коэффициенты

вдоль радиального (г) и трансверсального (0) направлений в соответствующих зонах. На концентрических границах Ьь Ь2, Ц радиусов Яь Яз выполняются граничные условия:

д<р, / \ д<р1+1

(аЛ

дг 4 п'+"/г дг

(40)

г,=щ в

(1=1,2,3)

Произведя в уравнениях (39) замену по формулам изотропи-рующей деформации

г, = г

(41)

переходамкгуравнен»1ям,-выраи<ающим-Усповия_Коши-Римана:

у I/O

д<р, _ 1 ду,

Sf) г, ев

1 dtp, дц/,

(42)

89

дг '

где

а .. J1

% = 4kir!kie;

а .. Ji

/0—VW^;

а

if) - эффективные значения коэффициентов

Л)

вдоль направлений г и 0. Таким образом, преобразования (41) позволяют фильтрацию в среде (27) на физической плоскости описывать в кусочно-однородной изотропной среде

г-Гпо)) (43)

(m=lj=2,n=3,4) на вспомогательной плоскости комплексными потенциалами вида:

И',-)- ^ JM') ink,в) (44)

(.=1,2,3,4; j=2) В результате этих же преобразований граничные условия (24) примут на вспомогательной плоскости вид:

\rt=an

' drt

't=aH

rt=an

(t=l,2,3),

где

atl = at

' 12 ~~ U1

(45)

(46)

В соответствии с (41) заключаем, что различие в параметрах анизотропии зон массива (27) приводит к кольцевым разрывам или

наложениям зон друга на друга на вспомогательной плоскости. Несмотря на это, задачу на вспомогательной плоскости можно свести к задаче в среде (18), рассмотренной в предыдущей главе. Для этого вспомогательную плоскость следует растягивать (сжимать) вдоль радиальных направлений таким образом, чтобы зоны на ней следовали одна за другой без разрывов и наложений. При этом без изменения целесообразно оставить зону, в которой задаются гидродинамические особенности функции {(г). В частности, когда указанные особенности

расположены в ■ ки1 ], то переход к соответствующей изо-

тропной среде на вспомогательной плоскости осуществляется центральным растяжением (сжатием) зон соответственно в

I(47)

1 ®12 ^12 ^22 Щ2 ^22 ^32

раз. Тогда границы раздела станут концентрическими окружностями радиусов

I

г = Л («,1/^2)^1 (48)

«=1,2)

Подставляя в комплексные потенциалы (25) вместо г соответственно переменные

г

г=21,Ц {ап/ап)ги1 (49)

1

(1=1,2,3)

и переходя от коэффициентов проницаемости а^ к коэффициентам чДоГу,- У 9, будем иметь выражения комплексных потенциалов, описывающих на вспомогательной плоскости фильтрацию в кусочно-однородной радиально-анизотропной среде (27).

В заключение отметим, что общность полученных результатов позволяет построить комплексные потенциалы возмущённого течения в 104 различных фильтрационных средах, варианты которых систематизированы в соответствующих четырёх таблицах диссертационной работы. В качестве конкретных частных примеров рассматриваются фильтрационные среды с симметричным распределением кусочно-однородных линейно- или радиально-анизотропных зон при наличии У\ и ф.

В четвёртой главе решаются краевые задачи плоской фильтрации в массивах с п - или ш - распределением кусочно-однородных изотропных зон, расположенных на полуплоскости, при наличии полупротяжённого А или полукольцевого ф включения:

(50);Р» (ш=1; }=2; п=3,4) (щ=1; )=2; п=3,4)

К(1<Л\]\^ {К)] (52);(д;{кт\ф,Оп (к,,)} (53)

(ш=1, 2; п=4) (ш=1, 2^=3; п=4)

Течение при отсутствии каких-либо границ задаётся гидродинамическими особенностями функции Дг), расположенными в зоне

£>,+ (/с,). Тогда течению в однородной среде с проницаемостью кь

ограниченной одной из границ Ьх(к=оо), Ьх(к=0) будет соответствовать комплексный потенциал

/(г)±70 (54)

/(г) - функция, задающая невозмущённое течение; /(г) - течение с гидродинамическими особенностями, расположение и характер которых соответствуют зеркальному изображению относительно прямолинейной границы гидродинамических особенностей функции^). Формула (54) представляет собой теорему о прямой. В случае границы Ьх(к=оо) учитывается знак «-», а в случае границы Ьх(к=0) - «+». Предположим, что включения ф , входящие в массивы (50)-(53), являются трещинами, удовлетворяющими условиям (5). Тогда решение плоской задачи фильтрации будет заключаться в построении комплексных потенциалов возмущённого течения вида:

+ (55)

(1=1,2, 3,4^=2 или ¿=3) На основании (54) задача построения комплексных потенциалов вида (55) в фильтрационном массиве (50) сводится к аналогичной задаче в фильтрационном массиве (17), решённой во второй главе. Решение задачи сводится к применению метода (54) к общим выражениям (22), являющимся решением задачи фильтрации в среде (17). В результате имеем:

ш; (2)= р(г)-т^1) + т, 1Г2(г) = Щ

л?

=0 п^ =1

со

л, =0

IV; (г).

т.

где =

ЛЮ± /&) )=/&)±ЛЮ

ел со о>

«2=1 «3=1

со О") со

(56)

«I =0/?2 =1^3 = 1

(п=2п1+п2-п3)

=-2 + 2/1,/;; = 2 + 2/1, Л = -2 + 2/1,/г + 2н2 /; = 2 + 2л,Л + 2пг1

Достоверность построенных комплексных потенциалов (56) устанавливается выполнением для них граничных условий: (8) -вдоль границы Ц(к=оо); (9) - вдоль границы ЬК(к~0); (21) - на границах раздела Ьь Ц, смежных зон.

Для случая фильтрационного массива (51) построение комплексного потенциала возмущённого течения вида (55) также осуществляется на основании применения метода (54) к соответствующим общим выражениям (25) второй главы. В результате имеем:

где

+ т

С,

т=1

т

«1=0 п

со

л,= О

(57)

»7(*) =

со ос оа ____

и, =1 И2=1 И3 =1

с© оо со

=

/1,=Оп2=1и3=1

(п=2п1+п2-п3)

Л=(1 -к/а1У*(1-1/агГ>22

Доказательство достоверности комплексных потенциалов (57) сводится к проверке граничных условий: (8) - вдоль границы Ьх(к=сс); (9) - вдоль границы Ьх(к=0) и (24) на концентрических полузамкнутых границах раздела Ьь Ь2, Ьз смежных зон.

Коэффициенты интенсивности потоков, входящие в общие выражения (56) и (57), определяются по формулам системы (23).

В этой же главе рассматривалась плоская задача фильтрации для конкретных частных случаев фильтрационных массивов (50)-(53) - для сред

22

В пятой главе ставятся и решаются краевые задачи плоской

фильтрации в массивах, разделённых одним из включений ]у|, ф

на две группы кусочно-однородных линейно - или радиально-анизотропных зон. При этом массивы считаются ограниченными одной из границ Ьх(к=оо), Ц(к=0). Очевидно, что в данной главе рассматриваются наиболее усложнённые модели фильтрационных сред (50)-(53), изученных в четвёртой главе диссертации. Таковыми являются массивы со следующими моделями:

Д (58>

К(К*гЛ,ЛФ>»ЛКг<Ко)) (59)

£>:М<,пхлту\\А т

К{К,ЛтЛФ^;(кпг,кпв\ (61)

(ш=1, 2; ^З, п=4)

Задачи решаются на основании полученных в четвертой главе результатов с применением к ним изложенного в третьей главе метода изотропирующей деформации. Здесь, в качестве иллюстрации сказанного, выделим фильтрационные массивы с моделями (58), (59), при этом подразумевая под включениями |у|, ф

трещины соответствующей геометрии.

I. Из выводов и заключений третьей главы следует, что с помощью преобразований (31) задача плоской фильтрации в среде (58) на физической полуплоскости сводится к соответствующей задаче в среде (50) четвёртой главы. В этой связи характерная задача ставится в следующей формулировке. Пусть функция соответствующая невозмущённому течению в безграничной однородно-анизотропной среде с коэффициентами проницаемости кгч, к,у вдоль главных направлений анизотропии, имеет гидродинамические особенности в зоне Ц+ {^¡к1х • к1у ) на вспомогательной полуплоскости. Необходимо определить потоки возмущённого течения, соответст-

вуюшие зонам массива (58). Такая постановка задачи приводит к тому, что искомые потоки возмущённого течения могут быть определены из общих выражений (56) четвертой главы, если в коэффициентах интенсивности потоков А0],А01,Ап,А21 произвести замену

по схеме ап => л]{ап)ху, ап => у1(а23)ху , аи )ху . В

результате такого перехода получаются качественно новые коэффициенты интенсивности потоков щ,...,т5, А01,Аа1,Ап,Ап, определяемые с помощью эффективных значений коэффициентов проницаемости вдоль главных направлений линейной анизотропии.

В полученных комплексных потенциалах под Л, / , г следует понимать их значения, определяемые формулами (35) и (38).

Выделяя действительные и мнимые части в комплексных потенциалах находим выражения для потенциала скорости и функции тока на вспомогательной полуплоскости. Их выражения для физической полуплоскости находим путём замены переменных по формуле (31).

II. Такой же переход от фильтрационной среды (59) на физической полуплоскости к фильтрационной среде

А; (А' -кМА^Кг-Ко)) (62)

(т=1,]=2; 11=3,4) на вспомогательной полуплоскости становится возможным благодаря применению преобразований вида (41). При этом зонам на физической полуплоскости будут соответствовать зоны с полукольцевыми разрывами или наложениями на вспомогательной полуплоскости. Эти разрывы или наложения устраняются растяжением или сжатием зон вдоль радиальных направлений по формуле (41).

Таким образом, фильтрационная среда (59) приводится в соответствие со средой (51), изученной в четвертой главе. В связи с этим, имеет место задача со следующей формулировкой. Пусть функция задающая на вспомогательной полуплоскости невозмущённое течение в безграничной однородной радиально-анизотропной среде с коэффициентами проницаемости к1г, кш вдоль радиального и трансверсального направлений анизотропии,

имеет особенности в зоне чМч; 'к\о)- Требуется построить

потоки возмущённого течения, описывающие на вспомогательной полуплоскости фильтрацию в радиально-анизотропной среде (59).

Подстановка в комплексные потенциалы (57) вместо г соответствующих переменных по формуле (49), замена коэффициентов интенсивности потоков шь ..., т5, А01,А01,Ап,Аи соответственно новыми коэффициентами интенсивности потоков

7Т?(,...,/Т;5, А01,Ай1,Ап,А1{ и переход от радиусов аь а2, аз к их значениям определяемым по формуле (48) позволяют построить выражения искомых комплексных потенциалов возбуждённого течения.

Аналогичен подход к решению задач при условии, когда включения ф в фильтрационных массивах (58) и (59) рассматриваются как слабопроницаемые завесы.

Решения соответствующих фильтрационных задач для всех массивов (58)-(61) представлены в виде общих выражений, справедливых для любого вида задаваемого функцией Дг) течения. Степень их общности позволяет найти выражение возмущённого течения для 208 различных сред, варианты которых систематизированы в соответствующих четырёх таблицах настоящей главы.

Заслуживает подробного изучения течение, являющееся примером потока, характерного в нефтедобыче и водоснабжении. В связи с этим шестая глава посвящена построению комплексных потенциалов возмущённого течения от источника (к стоку)

в массивах (58) и (59) с максимальным числом неоднородностей и геологических образований. Для построения соответствующих комплексных потенциалов возбуждённого течения использованы общие выражения, полученные в пятой главе. Эти течения, помимо прикладного значения, также представляют интерес в плане конкретизации и иллюстрации возможности системы разработанных в работе методов решения задач.

В седьмой главе изложены способы применения полученных в шестой главе комплексных потенциалов возмущённого течения к решению конкретных практических задач подземной гидромеханики. В связи с этим рассматривается плоская задача уста-

новившейся напорной фильтрации несжимаемой жидкости к совершенной скважине. Скважина считается расположенной в одной из зон фильтрационных массивов (58), (59), изученных в пятой главе.

Для решения задач использована известная схема моделирования работы скважины, согласно которой не учитывается точная форма контура питания. Последнее упрощение не является существенным, так как установлено, что форма контура питания не играет значительной роли в определении дебита скважины.

В результате решения соответствующих задач получены расчётные формулы в виде общих выражений, которые учитывают воздействие указанных неоднородностей и их границ на дебит скважины. Найденные расчётные формулы дебита скважины являются носителями большого количества информации, полезной при решении различных проблем, в частности, при проектировании сети водозаборов, обеспечивающих промышленность и населённые пункты подземными водами; разработке нефтяных и газовых месторождений; учёте фильтрационных потоков в основах гидротехнических сооружений; микросейсморайонировании городских территорий в сейсмически активных зонах.

Степень общности расчётных формул дебита скважины такова, что она позволяет найти выражения расчётных формул скважин, эксплуатируемых в 124 различных фильтрационных средах, варианты которых приводятся в соответствующих двух таблицах пятой главы.

Все расчётные формулы представлены в виде выражений, ориентированных для программирования числовых расчётов на ЭВМ. Несмотря на это автор не ставит перед собой цель дать подробный исчерпывающий числовой анализ зависимости дебита скважины от всех неоднородностей и образований, входящих в общие расчётные формулы, а стремится иллюстрировать и конкретизировать возможности разработанных в работе методов расчёта на примере простых моделей фильтрационных сред. С этой целью, для простых моделей фильтрационных сред, изложены схемы по определению точных и приближённых формул дебита скважины, получены соотношения, определяющие верхний предел относительной погрешности при замене точной формулы приближённой. Результаты исследования доведены до числовых расчётов, систематизированы в соответствующих 8 таблицах и проанализированы.

В конце главы указывается, что результаты проведённых исследований могут быть применены при изучении родственных физических процессов, происходящих в неоднородных сплошных средах, соответствующих аналогичной математической модели.

Работа завершается заключением, в котором систематизированы впервые полученные автором результаты и выводы. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ I. Впервые обобщены ранее принятые автором модели трещины и слабопроницаемой завесы, которые впервые позволяют перейти от исследования фильтрационных процессов в трехзонных кусочно-однородных изотропных средах к исследованию этих же процессов как в кусочно-однородно изотропных, так и кусочно-однородных линейно-или радиально-анизотропных многозонных массивах; уплывают зависимость картины течения от взаимных расположений зон неоднородно-сгей и трещины (спабопроницаемой завесы).

П. Введены характерные для настоящей работы понятия и определения. С их помощью впервые сформулированы общие и конкретные модели для 48 различных фильтрационных сред, исключающие излишнее, но объективно возникающие повторы в постановке и решении задач, а также обеспечивающие целостность восприятия соответствующих фильтрационных сред.

Ш. Впервые получено решение плоской задачи фильтрации в массивах, для которых характерно ш- или п-распределение кусочно-однородных линейно- или радиально-анизотропных зон при наличии в указанных массивах протяжённой прямолинейной или кольцевой трещины (слабопроницаемой завесы). Решения задач представлены в виде общих выражений, справедливых для любого течения, происходящего в 104 различных фильтрационных средах, систематизированных в соответствующих четырех таблицах третьей главы.

ГУ. Впервые получено решение краевой задачи фильтрации в полуплоскости, ограниченной либо протяжённым прямолинейным контуром свободной жидкости Ьх(к=^о), либо линией сброса Ьх(к=0). При этом считается, что для полуплоскости также характерно ш- или п-распределение кусочно-однородных линейно- или радиально-анизотропных зон при наличии полупротяжённой или полукольцевой трещины (слабопроницаемой завесы). Решения соответствующих краевых задач получены в виде общих выражений, справедливых для любого течения, имеющих место в 208 различных фильтрационных средах, представленных в четырех таблицах пятой главы.

V. Впервые построены комплексные потенциалы течения от источника (к стоку) в массивах, ограниченных полностью проницаемой или непроницаемой границей (L*(k==co) или Ц(к=0)) и изрезанной полупротяжённой прямолинейной или полукольцевой трещиной на две группы кусочно-однородных линейно- или радиально-анизотропных зон. Эта течения, помимо прикладного значения, также представляют интерес в плане конкретизации и иллюстрации разработанного в работе метода при решении конкретных практических задач подземной гидромеханики.

VI. Впервые получены расчётные формулы дебита совершенной скважины, являющиеся наглядным примером применимости результатов исследования, а также разработанных в работе теоретических моделей и методов расчёта к решению конкретных практических задач подземной гидромеханики. Полученные формулы, обладая достаточной степенью общности, позволяют найти соответствующие выражения расчётных формул скважин, эксплуатируемых в 124 различных массивах, указанных в двух таблицах пятой главы.

VII. Впервые составлены схемы по определению приближённых формул дебита скважины, а также соотношения, определяющие верхний предел относительной погрешности при замене точной формулы приближённой.

VIII. Результаты исследования зависимости дебита скважины от неоднородносгей простых моделей фильтрационных сред доведены до числовых расчётов, систематизированы в соответствующих, восьми таблицах седьмой главы. Проведённый числовой анализ приводит к следующим выводам:

8.1. При всех прочих равных значениях параметров фильтрационной среды сходимость ряда, содержащегося в расчётных формулах дебита скважины, зависит от расстояния между скважиной и трещиной.

8.2. При одинаковом числе оставляемых членов сходимость ряда зависит от величины коэффициента проницаемости фильтрационной среды. Рад сходится медленнее при малых значениях коэффициента проницаемости и быстрее при больших.

8.3. Ряд сходится быстрее при больших числовых значениях раскрытия трещины и медленнее при малых. Следовательно, при заданных значениях параметров фильтрационной среды и одинаковом числе отбрасываемых членов ряда, числовое значение верхнего предела допускаемой погрешности убывает с увеличением раскрытия трещины и наоборот. ►

8.4. При всех прочих равных условиях ряд сходится быстрее для фильтрационной среды, ограниченной контуром непроницаемой поверхности сброса, медленнее - для фильтрационной среды, ограниченной контуром свободной жидкости. Следовательно, в первом случае величина верхнего предела допускаемой погрешности меньше, чем во втором.

8.5. При прочих равных условиях скорость сходимости ряда зависит от формы трещины. Ряд сходится быстрее для фильтрационной среды с прямолинейной полупротяженной трещиной.

8.6. Влитие трещины на увеличение дебита скважины тем больше, чем меньше проницаемость фильтрационной среды и чем больше раскрытие трещины.

8.7. Дебит скважины также увеличивается с уменьшением ее расстояния до трещины.

8.8. Влияние ширины трещины сказывается на увеличении дебита скважины в большей степени при малых значениях проницаемости фильтрационной среды, чем при больших.

8.9. При прочих равных условиях влияние полупротяженной прямолинейной трещины больше, чем влияние полукольцевой.

8.10. Полупротяженная прямолинейная трещина гораздо сильнее влияет на увеличение дебита скважины в том случае, когда фильтрационная среда ограничена протяженной прямолинейной непроницаемой границей, и слабее, когда она ограничена протяженной прямолинейной границей свободной жидкости.

8.11. Влияние полукольцевой трещины сказывается на увеличении дебита скважины в большей степени, когда она замыкается прямолинейной границей свободной жидкости, и в меньшей степени, когда замыкается линией сброса.

8.12. Степень влияния полукольцевой трещины, замыкающейся линией сброса такова, что ею можно пренебречь.

В заключение отметим, что результаты исследования могут быть полезны при решении проблем разработки нефтяных и газовых месторождений; проектирования сети водозаборов, обеспечивающих промышленность и населённые пункты подземными водами; учёта фильтрационных потоков в основах гидротехнических сооружений; микро-сейсморайонирования городских территорий в сейсмически активных зонах.

Основное содержание диссертационного исследования отражено в монографии, а также в следующих публикациях автора:

1. Лайпанов Х.С. Фильтрационные процессы в кусочно-однородных изотропных и кусочно-однородных анизотропных массивах с трещиной (слабопроницаемой завесой) //монография. - Ставрополь: Государственная издательско-полиграфическая фирма «Ставрополье», 1999. 17,67 пл.

2. Голубева О.В., Лайпанов Х.С. К исследованию влияния трещин и слабопроницаемых завес на фильтрационный поток. //Гидромеханика: Сборник трудов. МОПИ. М., 1976. С. 33-46.

3. Лайпанов Х.С. Некоторые краевые задачи фильтрационных течений при наткчии трещины (слабопроницаемой завесы). //Там же. С.49-68.

4. Лайпанов Х.С. Некоторые краевые задачи фильтрационных течений при наличии трещины (слабопроницаемой завесы) переменной ширины. //Избранные задачи гидродинамики. МОИП. Секция физики. «Наука». М., 1977. С.51-54.

5. Лайпанов Х.С. Возмущение фильтрационного потока кольцевой трещиной переменной ширины //Там же. С. 97-101.

6. Лайпанов Х.С. Влияние полукольцевой трещины переменной ширины на дебит скважины. //Проблемы теоретической гидродинамики. Республиканский сборник. Тула. 1977. С.45-49.

7. Лайпанов Х.С. Плоско-параллельная фильтрация в кусочно-однородном анизотропном пласте при наличии протяженной трещины. //Исследования по специальным задачам гидродинамики. МОИП. Секция физики. «Наука». М., 1982. С. 42-45.

8. Лайпанов Х.С. Возмущение фильтрационного потока в кусочно-однородной среде с радиальной анизотропией при наличии в ней трещины. //Движение растворимых примесей в фильтрационных потоках. Межвузовский сборник научных трудов. Тула. 1983. С.31-35.

9. Лайпанов Х.С. Некоторые краевые задачи фильтрационных течений при наличии трещины (слабопроницаемой завесы) переменной ширины. //Движение растворимых примесей в фильтрационных потоках. Межвузовский сборник научных трудов. Тула. 1984. С.52-61.

10. Лайпанов Х.С. О построении фильтрационных течений в неоднородных средах при наличии в них трещин (слабопроницаемых завес) //Задачи гидродинамики при усложнённых моделях среды. МОИП. Секция физики. «Наука». М., 1985. С. 23-26.

11. Лайпанов Х.С. Двумерная фильтрация в среде с линейной и радиальной анизотропией, полукольцевой и протяжённой трещиной. //Теория гидродинамических моделей технических задач. Сбор-

ник научных трудов. Свердловск. 1988. С. 75-79.

12. Лайпанов Х.С. Возмущение фильтрационного потока в зависимости от коэффициента деформации кольцевой трещины // Материалы научной конференции преподавателей. Карачаевск. 1993. С. 120-121.

13. Лайпанов Х.С. Влияние неоднородности пласта на дебит скважины //Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск. 1994. С.202-203.

14. Лайпанов Х.С. Влияние полукольцевой трещины на дебит скважины в пласте, ограниченном прямолинейным контуром питания. //Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск. 1995. С.235-236.

15. Лайпанов Х.С. Влияние полукольцевой трещины на дебит скважины в пласте, ограниченном прямолинейной линией сброса. //Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск. 1995. С.236-237.

16. Лайпанов Х.С. Задачи фильтрации в кусочно-однородных изотропных и кусочно-однородных анизотропных многозонных средах //Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск. 1996. С. 165-166.

17. Лайпанов Х.С. Основные результаты и выводы научной работы по исследованию подземных течений //Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск. 1997. С. 2327.

18. Лайпанов Х.С. О приближённых условиях моделей трещин и завес. //Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск. 1997. С. 31-32.

19. Лайпанов Х.С. К вопросу о коэффициенте деформации в двумерной фильтрации //Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов. Карачаевск. 1998. С. 32-34.