"Физика" дробного исчисления и ее реализация на фрактальных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

м » О ^

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

НИГМАТУЛЛИН Равиль Рашидович

'ФИЗИКА' ДРОБНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ЕЕ РЕАЛИЗАЦИЯ НА ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ

01. 04. 02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1992

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Официальные'оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор БаЬенко Ю.И. доктор физико-математических наук, профессор,

академик РАЕН Кессель А.Р. доктор технических наук, профессор Кузеев И. Р.

Ведущая организация: Башкирский государственный университет.

«М»

Защита состоится <<Сг^Д.>> .....К--.......1992года

в .....часов на заседании специализированного Совета

присуждению ученой степени доктора наук по специальности 01.04. - теоретическая физика при Казанском государственном университе по адресу:

420008,Казань,ул. Ленина 18.

Автореферат разослан <<. №.» .С&Ш. 1992 года.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук, профессор

........—• М. В. Еремь

Г0С01-

гос:

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Хотя ^тематический аппарат дроОного исчисления в настоящее время хорошо разработан С13,С 23 его применимость в физике и технике будет ограничена до тех пор, поха не будут найдены физические основы математической операции дробного интегрирования СДЮ и дифференцирования и не будут сформулированы условия ее реализации. В работе найден физический :мысл операции ДИ как по временным так и по пространственным переменным и указаны области, где следует ожидать появления новых классов физических процессов, описываемых уравнениями, содержащими дробную производную СДГО.Этот результат, в свою очередь, позволит создать новые устройства, которые реализуют операцию ДИ в

4

пространстве и во времени, а также наполнить новым физическим гмыслом ряд классических проблем и понятий теоретической и чатематической физики, например, необратимости, понятие

»лементарного физического объема и т.д.

Поэтому математический аппарат дробного исчисления, эОогащенный физическим содержанием, несомненно усилит арсенал :овременных физических методов и послужит основой для описания 1рин'ципиально новых физических явлений, не "улавливаемых" традиционными математическими средствами.

Цель работы ■

Наряду с известной моделью мультифракталов С 73, ^твердившейся во фрактальной геометрии, предлагается модель фракталов со случайными значениями масштаба. В частности,описание гористости осадочных пород, их проводимости, проницаемости, ряда »кспериментоа по диэлектрической релаксации демонстрирует простоту и гибкость предлагаемой модели, а также хорошее согласие : экспериментальными данными.

Дается ясное и по возможности всестороннее физическое ютолкование ДИ и указаны области физики и техники, где ДИ и ДП ►стественным образом вовлекаются в "физику" процесса.

Предлагается новый метод решения дифференциальных уравнений в ЛП и получены решения некоторых "опорных" моделей, которые могут послужить оснйвой для исследования новых физических процессов.

Алгоритм Фрактального Фильтра может Оыть использован для построения неоднородной фрактальной геометрии и математической физики, "растянутой" на область самоподобия.

Научное направление.

Найденный физический смысл ДИ, его глубокая связь с фрактальной геометрией открывает новое направление в физике: класс явлений и процессов, которые описываются уравнениями в ЛП, не сводящимися к традиционным уравнениям в целых производных. В радиотехнических цепях это приводит к появлению нового класса пассивных двухполюсников, названных в работе реиндами и рекапами.

'Цепи, построенные из этих элементов, могут послужить удобно? моделью для изучения нового класса механических, тепловью процессов, а также выполнять операцию ДИ и обратную ей.

Научная новизна и перечень основных задач, рассмотренных в диссертации.

1. . Предложена новая модель фракталов со случайным! значениями масштаба.

•2. В рамках предложенной модели рассмотрены такие свойстве гетерогенных систем как ' проводимость, проницаемость и пористост! осадочных пород. Дана новая интерпретация экспериментов пс диэлектрической релаксации связанной воды в песчаниках.

3. Раскрыт физический смысл операции ДИ и указана ее связь с фрактальным множеством Кантора, моделирующим процесс столкновени* в физических системах.

4. Получено новое модифицированное уравнение Ньютона,которое "потеряло", в своей левой части долю временной производной. Эт; потеря части состояний немедленно приводит к возникновениь временной необратимости в динамической системе.

3. Новые уравнения динамики и релаксации позволяю-рассмотреть в деталях следующие модели физических систем:

модель осциллятора, описывающая колебания с потерями

вызванные самоподобными столкновениями;

процесс "сверхмедленной" релаксации, когда изменение физической величины происходит медленнее первой производной.

Эти модели, несмотря на их простоту, могут стать основой рассмотрения принципиально нового' класса динамических систем с "остаточной" памятью.

6. Разработан новый метод решения линейных уравнений в ДП с постоянными коэффициентами, .что позволяет выразить искомые решения в виде замкнутых интегралов,взятых на действительной оси.

7. Изучены свойства самоподсСных цепей Кауэра и фостера и получено точное выражение для импеданса в модели /1иу—Капла-на-Грея, моделирующей фрактальную структуру электродов. Впервые сформулированы условия при которых присходит трансформация фрактальных свойств среды во временные, что, в конечном счете, приводит к появлению ЛИ, взятого по временным переменным.

8. Исследованы аддитивные свойства самоподоОных систем, что позволило найти класс сумм, инвариантных относительно

преобразований подобия. Этот результат позволяет, в свою очередь, выдвинуть и обосновать идею о существовании фрактальных инвариантов и указать связь таких сумм с явлением "универсального" отклика СЗ].

9. Получено волновое уравнение в ДП для напряженности электрического и магнитного поля, описывающее процесс эаспространения электромагнитных волн в "плохом" проводнике вдали эт источников поля.

10. Раскрыт смысл пространственного ДИ, что позволило заметить подход к построению фрактальной геометрии, учитывающей Физические неоднородности. Этот подход получил название-Алгоритм фрактального Фильтра С А4>ФЭ. В качестве примера использования АФФ тостроена электростатика с фрактальным распределением заряда.

11. Рассмотрение задачи диффузии в ветвящихся системах тозволило проследить трансформацию обыкновенного уравнения 1иффузии в "сверхмедленное", когда показатель временной пронзвод-■юй в левой части становится меньше единицы

12. Впервые получены законы сохранения в ДП, что позволило обобщить "сверхмедленное" уравнение диффузии на неоднородный случая. -

Достоверность полученных результатов

Для приближенного результата в работе дана оценка погрешности и указаны области применимости. Там, где это возможно проведено сопоставление с ранее известными результатами. Практические результаты.

Получены неизвестные ранее расчетные формулы для описани: процессов в ДП, а также сформулирован СаЬсЗ алгоритм,позволяющие при определенных условиях превратить обыкновенный интеграл е дробный.

•Показана целесообразность использования предложенных методш при расчете переходных характеристик цепей, содержащих реинд ил! рекап* элементы. Структура и объем диссертации.

Диссертация содержит 230 страниц машинописного текста, шест! глав, математическое приложение к главам 3-S, заключение, И таблиц, и 21 рисунок. Библиографический список включает Ю4 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в центральны: союзных и зарубежных физических журналах и составляет 20 печати! работ.

Апробация работы.

Основные результаты - диссертации докладывались и обсуждалис на рабочем совещании по физике диэлектриков стран Западной Еврогп С Оксфорд, Великобритания, 1983); на Международной конференции п физике диэлектриков ССэлфорд, Великобритания, 19875 ; н

симпозиуме-спутнчке . 9-ой международной школы AMPER

С Красноярск, 1987Э ; на Всесоюзной конференции по .физико-хими дисперсных систем СКанев,Украина, 1987);на 14-ом Всесоюзно совещании по применению глинистых минералов в народном хозяйстве с Новосибирск, 1988) ; на 6-ой Всесоюзной конференции по физик диэлектриков С Томск, 1988 Э ; на 1-ом Всесоюзном совещани

"Диэлектрические материалы в экстремальных условиях"

С Суздаль, 19893 ; на Всесоюзной научно-технической конференции по синергетике и фракталам С Уфа, 19895; на международном совещании по физике диэлектриков С Кентенберри, Великобритания, 19905 ; • на

международной школе по математическому моделированию процессов релаксации. С Карпачи, Польша, 1991); на семинаре по новым методам в математической статистике С Университет- "Пари-Сюд",Орсэ, Франция, 19925.

Содержание ■ раОотьг

РаОота излагается в соответствии с нумерацией глав диссертации.

1.Краткая предыстория работы и формулировка решаемых проблем

В первой главе обосновывается актуальность темы, ее - новизна и оригинальность. Для этой цели автору необходимо Выло ответить на вопрос:

как возникла идея этой работы и что получилось из попытки связать

математический аппарат дроСного исчисления с фрактальной геометрией?

В этой же главе излагается краткое содержание и характеристика работы в целом и приводится список основных положений работы, выносимых на защиту.

2. Модель фракталов со случайными значениями масштаба и ее

применение для описания гетерогенных систем.

Вторая глава диссертации посвящена изложению понятия обобщенного фрактала и построению на его основе модели фрактала со случайными значениями масштаба.

Идея построения обобщенного фрактала заключается в следующем:

На первом этапе характеристическая длина Л делится на к^ частей. "Объем" С понимаемый в широком смысле для произвольной эвклидовой размерности сО определится выражением

Л

1

Весь объем получившейся фигуры в масштабе Л/1с. примет вид

Vl = Gr 4*E P, С

1

_ H

Gf- геометрический форм-фактор, Р^ - к к - число элементов исходного генератора. Продолжая этот процесс n-раз, можно получить следующую формулу

V = е. л*® Р1 Рг ■•• РП сзэ

Ь d , d , d

k _ E К » E ... 1С E

12 n

^ Гг

Вводя средние геометрические величин <p^>,<k^>: Ср5 = Р^ Pg •.■ Рп •

СкЭП= к^к^. ..к^ и эффективный масштаб ÎJ = Л/Ск5П, формуле С 35 можно придать следующий вид

vfCïp = voCrp NC^} = GfC^dE~Df A°f С 43

t. il

с Df =1 nCp^/l пСЮ -определяющей обобщенную фрактальную размерность.

Формула 045 служит базой для . пведения модели фракталов с

случайными значениями масштаба.

•Эта модель основана на следующих принципах:

П1. Гетерогенная среда может быть описана совокупность регулярных фракталов,причем масштаб т/ является непрерывне случайной величиной С через переменную п5 , пределы изменения которой заключены в интервале масштабов С \, Л5 .

П2. Рассматриваемая совокупность регулярных фрактал( допускает выделение одного или нескольких доминирующих фрактале с размерностью D^, а остальные фракталы незначительно отличаютс: по своим параметрам от доминирующего.Второй принцип позволяет найти функцию распределения Ж rf> . которая имеет вид

** " АГ/ + Г + о, <%>"

ЛС1 - я 5

Здесь /j = \ / Л, параметр а, входящий в нормированную на единицу ф. p. WC г£> , учитывает поправки к

S

- « = о с <5>- <2% . . - с! + а <4-1 * ...) Свэ

°г ДпСкЗ р гу «к к к

от случайных величин <р^>,<к^>.

ПЗ. Третий принцип. может быть выражен в виде формулы

~ А

= вг ХаЕ"ПГ = Ж 7)5 <17? с 73

и получил название принципа статистического самоподобия.

В последующем разделе диссертации 2.2 модель фракталов со случайными значениями масытаОа применяется для описания пористости, проводимости и проницаемости осадочных пород. Причина их выбора заключается в том, что в обзоре [4] приведены данные независимых измерений фрактальной размерности ,пористости, проводимости и проницаемости осадочных пород различных нефтеносных районов США. Модель позволяет с единых позиций описать эти данные и согласовать их между собой. Она не прошла незамеченной и была упомянута американскими учеными в обзоре [53. Наиболее привлекательной стороной модели, на наш взгляд, является то, что она позволяет с единых позиций получить выражение для пористости, проводимости и проницаемости большого класса осадочных пород. В частности, эта модель позволяет получить закон проводимости С Арчи)

^ тс.

а = <?> С 8)

С с - проводимость породы, а0~ проводимость чистого солевого раствора, Ф - пористость} и установить связь показателя т с фрактальными показателями бр , 5® и ^

тСЗ - ЁЬО = 1 + Ьр- бе С9Э

Ор - фрактальная размерность проводящих траекторий, Ьв фрактальная размерность их сечения, размерность пор. Формула

С 9) хорошо согласуется с экспериментом.

В разделе 2. 3, основываясь на гипотезе Боголюбова об иерархии времен релаксации и образовании фрактальных кластеров -диполей, связанных между собой диполь-дипольным взаимодействием, построена полуфеноменологиче_кая теория 4 диэлектрической релаксации

связанной воды в лористых системах. Как показали расчеты, релаксация тока деполяризации в таких системах происходит в соответствии с законом Ккдеи-фон Швайдлера С 3] .

JCO ~ Ant"" С103

о < п < 1

Найдена связь константы А^ и показателя п с фрактальной структурой среды. Результаты теории хорошо согласуются с экспериментами по измерению релаксации связанной воды в песчаниках С 63. Основные результаты и выводы по главе 2 следующие:

1 .Введено понятие обобщенного фрактала, который

Лг

характеризуется геометрически-средним масштабом г) и размерностью Df, включающей в сеОя доли размерностей регулярных фракталов С формула С 433.

Й. На основании этого понятия можно определить новый класс фракталов со случайными значениями м а сштаба, которое расширяет класс мультифракталов [73 и значительно дополняет его. Получена функция распределения масштабов WC т>3 С 53 и найдена область ее Применимости. Сформулирован принцип статистического самоподобия <73 и показана "неуниверсальность" фрактальной размерности статистического фрактала , которая может включать в себя "концентрационную" долю размерности и других фракталов.

3. Модель фракталов со случайными значениями масштаба позволяет с единых позиций описать данные независимых экспериментов по измерению фрактальной пористости и проницаемости осадочных пород и в отличие от довольно сложного [73 мультифрактального подхода демонстрирует Простоту и гибкость предлагаемой модели.

А. Концепция эффективного цилиндра, введенная в разделе 2. 2 позволяет с единых позиций понять природу электрической и гидродинамической проводимости осадочных пород. Экспериментальные данные, полученные А. Томсоном, А. Кацем и К. Кроном - признанными специалистами-геофизиками подтверждают выводы теории.

5. При физически разумных допущениях теорию фракталов сс случайными значениями масштаба можно приспособить для описание

Ю

диэлектрической релаксации связанной воды в песчаниках и ' глинах.

Экспериментальные 'данные по спаду тока поляризации и пористости

хорошо согласуются друг о другом.

6. Предлагаемая модель фракталов позволяет 'также ввести ряд

новых понятий: фрактального раствора. фрактальной извилистости,

статистического самоподоЕия и др.

3. ДроВный интеграл и его физический смысл.

Модели систем, описываемые уравнениями в дробных производных.

В третьей главе диссертации, - составляющей ядро всей раСоты,

предпринята попытка раскрыть "физику" дроСного интеграла и понять

причины его возникновения. Для этой цели был выбран фрактальный

объект - Канторово множество, занимающее .промежуточное положение

между прямой Сс1Е = 1Э и точкой Се1Е = 03 с фрактальной

разйерностьга 0 < < и рассмотрена свертка этого множества на

временном интервале СО.Т) с гладкой функцией 1"СО. . Строго

показано, что в пределе N СМ- номер этапа самоподобияЭ

свертка канторовских "пальцев'' С при условии сохранения их

суммарной площади на единицу) с произвольной гладкой функцией сходится к дробному интегралу С ДИ) взятому от этой функции.

Математически этот результат выражается следующим образом

n.

11т Г^пг: 'о ^ Е ^ТЭ.ГСТ) = в^т-^сгсгэз = Ь1-Ф оо С2?Э Т т=1

= ^'"гЬг 'в СЪ " «""'гСОЧт С11Э

Здесь V = 1п 2У1пС1 - фрактальная размерность множества,

-и/2 -V

В^=2 С1-£3 -константа,д^СтЗ-ступенчатая функция с ^СтЭ =1 для Т<М> < т < Т(Ы> ,О < Ъ,т < Т .

2т—1 2т

Так как множество Кантора, с физической точки зрения, моделирует процесс столкновений конечной продолжительности с термостатом, то отсюда нетрудно дать следующую физическую интерпретацию операции ДИ.

1. Параметр V, входящий в С 11Э .учитывает долю состояний Сот единицы), сохраняющуюся в процессе взаимодействия.

2. ДИ дает сглаженную картину столкновений, заменяя в пределе N =»оо дискре т ную структуру множества Кантора на

усредненную, непрерывную функцию ~ t1""1, свернутую с заданной функцией fС О.

Анализ результатов, полученных в разделе 3. 1, позволяет npi определенных условиях превратить обыкновенный интеграл в дробный. Такая операция названа в работе С'аЬсЗ процедурой. Она включает в себя следующие пункты:

С а. Весь временной интервал эволюции делится на временные отрезки продолжительности Т;

Ь. Предполагаетсяг что внутри интервала С О, ТЗ имеет место самоподобный С одинаковый на всех временных масштабах) процесс взаимодействия С столкновений) с термостатом. Все столкновения распределены внутри Канторовского множества или его обобщений; сЗ. Тогда осуществляя процедуру суммирования всех самоподобных . ' "столкновений на интервале С О, ТЗ и приводящую в конечном счете к выражению С113 »можно превратить обыкновенный интеграл в дробный, причем "точкой" при таком, предельном переходе служит весь интервал С О. ТЗ .

Так применяя С abc 3 процедуру к классическому уравнению Ньютона, - можно выразить его в виде

—i ä-L裱l : в F, С12)

T2 du1+v У 1 О < v < 1

Здесь, и = t/T, 'В — константа порядка единицы, v - доля состояний,

сохранившихся в результате столкновительного взаимодействия с

термостатом.

Заметим также, что ДИ тесно связан с возникновением необратимости в динамических системах, т. к по своей природе операция ДИ учитывает потерю части состояний "автоматически".

В разделе 3.2 получены некоторые обобщения результатов предыдущего раздела 3.1. Получены два важных результата, которые можно объединить в следующее утверждение:

Если в процессе взаимодействия моменты столкновения, а также их длительности имеют случайный характер, то результат СИ) по-прежнему сохраняется. Модифицируется лишь показатель v, который начинает зависеть от моментов распределения случайных столкновений, и константа В^.

В разделе 3.3 на основе полученного точного решения изучены две динамические модели, которые описываются уравнениями в дробных производных с дго>

аЭ "Сверхмедленной" релаксации

^ САО НТВ СДО = о' С1 ЗаЭ

V V

du о < V < 1

В) Линейного осциллятора со столкновительно-упругим взаимодействием С "ь> - столкновениями")

-— + В Сю Т32СДК> = О С1303

. 2-У V О

с!и О < V < 1

Развитая в раОоте методика позволяет найти точное решение уравнений С133 в виде замкнутых интегралов, взятых вдоль положительной полуоси. Фактически, эти интегралы служат новым представлением функций Миттаг-Леффлера С в] , что позволяет выразить решения этих уравнений и в виде рядов. Получен также отклик на внешнюю гармоническую силу КСЪЭ • ~ АехрС,ЗшО, исследованы релаксационные и резонансные свойства комплексной восприимчивости, оВсу ж даются экспериментальные данные, которые ориентируют исследователя на целенаправленный поиск этих процессов в природе и технике. Основные результаты и выводы по главе .3

1. Впервые раскрыт физический смысл дроВного интеграла и дана детальная интерпретация нецелого показателя х>. Показано, что свертка гладкой функции ГС О с множеством Кантора в пределе N ^ со СИ - число разбиения на этапы самоподоСия) сходится к дробному интегралу от функции Г С Ь) - формула С11Э .

2. "Физика" дробного интеграла позволяет глубже понять причины • возникновения необратимости,по крайней мере в линейных системах, и. найти класс систем с "остаточной" памятью, занимающей промежуточное положение между марковскими системами и системами, полностью обратимыми во времени.

3. Доказана устойчивость операции дробного интегрирования к случайным моментам • взаимодействия с термостатом и столкновениям, имеющим случайную продолжительность.

4. Показано, в частности, как под влиянием случайных актов взаимодействия с термостатом уравнения Ньютона модифицируются таким образом, что долят производной от скорости теряется на потери, в результате • чего эти уравнения становятся необратимыми С формула С123 3.

5. Разработан метод получения точного решения уравнений в ДП,позволяющий выразить их в виде замкнутых интегралов, взятых на действительной оси. ~

6. Из простейших моделей, описываемых уравнениями в ДП • наибольший интерес ., представляет, на наш. взгляд, модель "сверхмедленной" релаксации С13а3, когда изменение физической величины происходит медленнее первой производной. К таким процессам обычное понятие скорости становится неприменимым, что выражается, в частности, соотношением <Сс1СДГЗ = оо

7*. Получило подтверждение эмпирическое выражение Коула-Коула для- диэлектрической восприимчивости [9], которое является следствием уравнения "сверхмедленной" релаксации в частотной области.

4. Другой подход к пониманию нецелой производной.

Новые элементы цепей-реинды и рекапы.

Разумеется, физическое истолкование ДИ, данное в предыдущей главе, не является окончательным. В этой главе, основываясь на анализе модели Лиу-Каплана-Грея СЮ] , рассмотрен другой подход, раскрывающий - смысл ДИ и ДП и позволяющий проследить трансформацию самоподобной структуры среды в ДИ, взятый по времени. В отличие от общепринятого подхода-разложения суммарного импеданса в цепную дроОь, получены дифференциальные уравнения для тока и напряжения в неоднородной RC-линии и найдены их точные решения, выраженные через модифицированную функцию Бесселя и Макдональда. Эти решения, в свою очередь, позволили получить точное выражение для импеданса > сопоставить его с известными приближенными и. численными решениями [10]» детально проследить его частотную зависимость и исследовать влияние на его поведение параметров самоподобия неоднородной линии Kayэра.

В • разделе 4.2 рассмотрены самоподобные цепи «Ростера.

Установлен один интересный результат важный для понимания явления

"универсального" отклика и скейлинга. Как строго показано в

работе, суммы вида

S CZ3 = Z ЬПГС2?ПЭ С1 4аЭ

n п=о

рассматриваемые как функции интенсивной переменной 2, в пределе N а> обладают "универсальным" поведением .

Hm S CZ3 = ±а Zv ± Ь С140)

n СО n V 1>

где у .= 1пЪ/L, константа пропорциональна пре о бр а зованию

Меллина от функции f С х) , Ь^ малая поправка. Лля любого конечного

N строго определены границы промежуточной асимптотики по Z, вид

констант ау и Ь^ и рассмотрены полезные -сообщения. Как показано

в этом разделе дробный показатель v инвариантен относительно

к к

преобразований растяжения или сжатия Ь * Ь , ( 4 ( и по этой причине может быть определен как фрактальный инвариант., Аналогичные инварианты следуют также из точного решения задачи раздела 4.1, если Z=J о> С со -частота внешней ЭДС) . Определены также, условия, которым должны удовлетворять структурные элементы RC-подобных линий, преобразующие пространственные характеристики таких систем в ДИ по времени.

В разделе 4. 3 опираясь уже на ранее известные результаты СИЗ по обнаружению зависимости импеданса вида ZC иЭ~С j иОv для фрактальных структур, а также на оригинальные результаты разделов 4.1, 4. 2 выдвинута идея о существовании нового класса пассивных двухполюсников, сочетающих в себе импедансы известных RLC-структур. Они названы в работе соответственно реиндами Сresistance + inductance) и рекапами Сresistance + capacitance).

Следует отметить, что названия этих терминов носят сугубо предварительный характер и являются "калькой" с англоязычных терминов, впервые использованных в монографии С 21 ] .

Их импедансные характеристики получаются нетривиальным образом и соответ<^енно имеют вид

Z^CbO = RCL/R)VC Среинд) Z^Cox) = RCRC) ^С j оО1' Срекап)

О < v < 1

Хотя рассмотрение частотных характеристик этих элементов не составляет особой проблемы, нахождение переходных характеристик во временной области представляет собой нетривиальную задачу. Опираясь на обобщенную теорему умножения, в работе впервые вычислены переходные характеристики простых цепей, составленных из комбинаций ЙЬС и реСиндЗкап -элементов. Эти цепи служат удобной физической моделью процессов, описываемых уравнениями С133 и их обобщениями. Полученные расчетные формулы могут образовать математическую основу для рассмотрения переходных характеристик цепей, составленных из новых элементов.

Основные результаты и выводы по главе 4

1. Получено точное решение модели Лиу-Каплана-Грея, на основании которого найдена промежуточная асимптотика элемента с постоянной фазой ССРА-элементаЗ. Показано также, что помимо импеданса, оОладающего СРА-характеристихой, существует импеданс вида

г _ гсоз . ..

для которого также найдены значения констант и величина частотного интервала.

1 + ц

2. Найдены условия - С1ыЗг7 ~ 2 1» которые трансформируют

01

пространственные фрактальные характеристики во временные и дана детальная интерпретация всех особенностей поведения импеданса с физической точки зрения.

3. Из . всех обобщений, полученных в разделе 4.1, на наш взгляд, наиболее важным является найденное преобразование подобия

<ЗСзО = ГСуОЪ1''1, С133

причем сам- "масштаб" £ = £ РСхЗс1х и функции импедансов (ЗСхЭ и ТСхЗ могут иметь произвольную зависимость от >с и безразмерной частоты э = ^ЙС. Последнее преобразование, оставляющее инвариантным дифференциальные уравнения для тока и напряжения в неоднородной цепи, демонстрирует важность понятия масштаба и его обобщений.

4. Найдены и детально изучены свойства суммы С14аЗ ,на основании которых можно проанализировать свойства самоподобных

цепей <$остера и его сообщений. Показана' инвариантность этих сумм относительно преобразований подобия' и широкая их применимость для. систем, обладающих аддитивными и самоподобными свойствами.

5. Предлагается новый класс пассивных двухполюсных элементов, сочетающих в себе одновременно свойства RLC элементов и выполняющих операции дробного интегродифференцирования во временной области. Рассмотрены свойства простейших цепей, имитирующих процесс "сверхмедленной" релаксации и осциллятора û "^-затуханием" Техника, развитая в Приложении, позволяет определить переходные характеристики во временной области.

6. Впервые показано, что самоподоСная структура может служить причиной возникновения необратимости в системах с фрактальной геометрией. В качестве примера рассмотрена линейная и самйподобная система, состоящая из N LC-контуров, . которая

-2U

в пределе N > >1 приводит к импедансу Z~CJui3

' Таким образом, такое чисто геометрическое свойство среды

как самоподобие может стать причиной диссипации энергии.

5. К построению электродинаимки фрактальных сред.

В ' пятой главе диссертации содержится ответ на следующий вопрос : как можно модифицировать уравнения Максвелла таким образом чтобы уравнения электромагнитного поля включали бы в себя нецелые интегродифференциальные операторы - ЛИ и ДП ? В первом приближении ответ на этот вопрос может быть разделен на две части - учет эффектов временной дисперсии и учет распределения заряда на фрактальном объекте.

Разделы 5. 1 и S. 2 диссертации посвящены рассмотрению эффектов временной дисперсии. Для их учета записаны обычные уравнения Максвелла для напряженностей поля Е и H, а связь с вектором электрической индукции D выбрана в виде дисперсионного соотношения

DCO = fCt) * ECO = / 1 fCt-тЗ ËCOdT

-со

Рассмотрение двух предельных случаев - "идеального" металла и идеального 'диэлектрика показало, что в случае чередующихся самоподобных слоев металла и диэлектрика связь между векторами

поляризации Р и напряженности электрического поля Ё выражается в виде ДИ, взятого от вектора Е. Это обстоятельство, в свою, очередь, приводит к появлению нового типа волн, которые могут распространяться в "плохом" проводнике. Они занимают промежуточное положение между ' классическим линейным волновым движением С идеальный диэлектрик) и диффузионным движением С скин-эффект для чистого металла). Волновое уравнение имеет вид

и с , <Зг~иР

о о i - о 9 -

--- + —^ сВ Т - = С16)

2 2 2 1> ... г-и

с дЬ с <ЭЪ

Й = Ё,Н О < и < 1

К аналогичному выводу приводят результаты раздела 3. 2,

которые основываются на концепции "универсального" отклика СЗ],

если постулировать зависимость комплексной восприимчивости от частоты вида

^«Э-А^ыэС175

основываясь на многочисленных экспериментальных данных по ее измерению для неоднородных диэлектриков, то можно получить аналогичные уравнения вида С16), описывающие распространение электромагнитных волн в неоднородных диэлектриках. Если решение Для полей искать в виде РСг.О = РСг)ехрС о'оЛ) , то можно свести уравнение, С16) к стандартному уравнению Гельмгольца. Получена зависимость волнового вектора электромагнитного поля от частоты.

Полученный закон дисперсии определяет распространение электромагнитных волн в таких системах.

В последнем разделе этой главы исследуется возможность появления пространственных нецелых дифференциальных операторов.

Предварительно, на примере фрактального распределения плотности по множеству Кантора по аналогии с результатами, полученными в главе 3, получен ДИ для одномерного распределения заряда на отрезке £0,ЛЗ. Затем этот результат обобщается на двух и трехмерный случай с учетом цилиндрической и сферической симметрии системы'. При таком обобщении естественно возникает пространственный ДИ, который включает в себя интегрирование по многим переменным. Такой подход содержит в себе, с физической

точки зрения, один . момент важный для правильного построения • макрофизики из дискретной структуры вещества. Известно, что для рассмотрения крупномасштабных физических величин в матфизике вводится понятие элементарного физического оОъема СЭФО) AV и усреднение неоднородных величиьГ FCr3 производится по ЭФО согласно формуле

<F> = 7,-. S. FdV С183

AV Av

Такой подход имеет существенный, изъян, так как величина AV строго не определена и при AV О усреднение становится

проблематичным.

Если же система имеет в своей основе фрактальное происхождение, то формула С18) в пределе N ■» со С N, как и ранее,-число этапов самоподобияЭ приобретает вид

<F> = С FCiO С195

v ДV .

где D V- пространственный ДИ от функции FC г 3 , v = D- d^+1 -ко-размерность, С^— константа порядка единицы.

Таким образом, пространственный ДИ существенно уточняет и дополняет понятие ЭФО, а также корректирует процедуру усреднения. Внимательный анализ формулы С19) показывает, что она закладывает основы неоднородной фрактальной геометрии, решая важную проблему, которая может быть сформулирована следующим образом:

Имеется гладкая область AV, а которой распределение неоднородной физической величины описывается функцией FCr3.Пусть гладкая область AV преобразуется ео фрак, г ал ьную с размерностью Df Как. при этом преобразуются физические неоднородности FCrO гладкой области для вновь образованной фрактального, структуры?

Решение этой проблемы содержится в выражении С19) . Как следует из ' этой формулы оператор D v играет роль фрактального "фильтра", который отфильтровывает физические неоднородности FCr3 гладкого объекта, перенося их на фрактальный. Совокупность действий, приводящих к формуле С19Э, получила в работе названий Алгоритм Фрактального Фильтра С АФФ) .

Используя АФФ, в диссертации показано как можно построить электростатику с фрактальным распределением < заряда и попутно обобщить результаты раОоты 112], где впервые рассматривался вопрос о расчете электрических полей от заряженных фрактальных кластеров.

Основные выводы по главе 5

1. Разработан подход к построению электродинамики "плохих" проводников вдали от источников поля. Для самоподобных слоев металл-диэлектрик Уравнение для Ё, Н принимает вид С16) и предсказывает новый тип волн, распространяющихся в "плохом" проводнике.

2. Показано, что уравнение С16) сохраняет свой вид в случае, когда восприимчивость для неоднородных диэлектриков подчиняется соотношению С17), характерному для "универсального" отклика.

3. Найден физический смысл нецелого показателя и пространственного ДИ, совпадающего с ко-размерностью, и разработана процедура учета физических неоднородностей фрактальных .объектов для произвольной евклидовой размерности dE, важная для построения неоднородной фрактальной геометрии.

4. Для физических величин, имеющих в своей основе фрактальное происхождение, получена формула для , корректного усреднения по ЭФО, что позволяет ввести понятие "плавающей" геометрической точки, зависящей от AV и ко-размерности V.

5. Сформулирован АФФ, который позволяет построить электростатику с самоподобным распределением заряда. В частности, когда рCr) = const, результаты согласуются с полученными ранее в С12] .

6. Новый подход к описанию диффузии во фрактальных средах.

В заключительной, шестой, главе диссертации рассмотрены некоторые проблемы описания диффузионного движения во фрактальных средах. Хотя исследованию диффузии на фракталах посвящена обширная литература, тем . не менее несмотря на использование различных методов и обилие результатов, порой противоречащих друг другу, проблема далека от своего

окончательного решения. Не претендуя на ее полное решение, вопрос на который желательно получить ответ может выть сформулирован так: лак получается диффузионное уравнение в ДП и где следует ожидать их появления?

В разделе в. 1 на примере рассмотрения диффузии в квазиодномерных ветвящихся каналах, получен следующий результат.

Если доля основного потока из центрального полубесконечного канала разветвляется по системе каналов второго, третьего и т. д М-го поколений, отходящих, от центрального в перпендикулярном направлении, то диффузия в центральном канале замедляется. Это замедление не только меняет коэффициент диффузии К, но, самое существенное, меняет временную производную первого порядка на дробную. Уравнение, описывающее процесс диффузии в главном канале, приобретает вид

да ГсСх.ОЗ _ а2сСх,0 С 203

о 2

а\, ах

„ „а 1 -а,.

с» = 2 •. К^ = К а С* <?> 3 , с-концентрация,К-исходный коэффициент диффузии, а-толщина канала, ж - коэффициент» учитывающий разницу в толщине ответвляемых каналов, <£> - их концентрация на единицу длины. Определен также интервал частот, для которого справедливо уравнение С 203.

В следующем разделе рассмотрены обобщения уравнения С 203 на произвольные ос СО < сх < 13 и найдены условия, при которых в системах с потерями возможно появление законов сохранения в ДП. В частности, для концентрации закон сохранения потока имеет вид

| — + ЗСг.иТЭЛ = 0 С21Э

Здесь и = Ъ/Т, В - константа порядка единицы. Объединяя С 213 с законом Фика

3 = -КС г ЗдгасЗс , С22Э

получим уравнение

^ — = VI КСгЭдг ас1с], С233

ди

пригодное для описания процессов диффузии в ветвящихся системах.

Получено решение уравнения С 203 и найдена связь показателя и с аномальным показателем диффузии 9.

В последнем разделе рассмотрены однородные длинные линии, составленные из реинд - и рекап - элементов. Показано, что при определенных условия^ они служат удобной моделью для изучения процессов "сверхмедленной" диффузии, а также процессов распространения волн, описываемых уравнением

e1+v UC х.О _ a2UCx.O С24)

л* 1 + ь" v Л,,2

сл. ох _ . . .

0 < v < 1

Здесь UCx,t3 - напряжение в точке х, в момент времени t.

Основные выводы по главе 6

1. Показано, что ветвящаяся структура среды при определенных условиях мс>жет радикально изменить характер диффузионного процесса в главном канале, приводя к "сверхмедленному" уравнению переноса вида С 203 .

2. Показано, что для ветвящихся систем закон сохранения потока в " главном канале также радикально меняется, приводя к законам сохранения в дробных производных вида С 213.

3. Показано тахже, что уравнение переноса С 203 может Оыть получено различными способами. В частности, "универсальный" характер адмиттанса вида ~СрТЗ тахже приводит к уравнению вида

■С 203, но с произвольным v.

4. Проведено исследование группы геометрических факторов, влияющих на характер замедления диффузии в главном канале. Строго доказано, что показатель временной ДП полностью определяется топологией ветвления и не зависит от длины канала, площади, поперечного сечения, углов наклона ветвящихся каналов и их концентрации на единицу длины.

5. Получено решение уравнения диффузии вида С 203 и найдена связь между аномальным показателем диффузии в, фрактальной размерностью Df и дробным показателем и.

6. Рассмотрена длинная линия с равномерно распределенными реинд и рекап элементами. Показано, что такая линия может

служить- моделью для процессов переноса, описываемых уравнениями С 205 и С 245.

Заключение.

Так как основные результаты и выводы, имеющие методическое и практическое значение, были приведены после каждой главы, то здесь имеет смысл подчеркнуть перспективность такого рода исследований в ближайшем будущем.

В диссертационной работе лишь намечены контуры нового направления физики - "физики" дробного исчисления в которой наряду с обычным матаппаратом используется новый арсенал математических средств - ДИ и ДП. В работе определен их физический смысл и указаны области их возможного применения в физике и технике. Фактически в работе закладываются основы новой математической физики, в которой, опираясь на более корректное определение физического объема, расширяется класс объектов и процессов, которые могут Выть описаны с помощью ДИ и ДП.

Использование операции ДИ позволит по-новому взглянуть на ряд классических проблем - необратимость, релаксацию, фазовые переходы и др. и придать им новое физическое содержание. Но новый импульс может получить не только физика. Так, в частности, можно создать новые численные алгоритмы расчета ДИ и ДП, устойчивые к случайным ошибкам. По-новому решается проблема целых моментов в математической статистике с введением дробных моментов.

Автор надеется , что дробное исчисление со временем глубоко проникнет в современную физику, технику и послужит основой новых и неожиданных открытий.

ЛИТЕРАТУРА

til Oldham К. В. , Spanier J. The Fractional Calculus. New York -London, AcacJ. Press , • 1974. -234p.

С 23 Самко С. Г. , Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. "Наука и Техника".1987.-887с.

СЗ] Jonscher A.K. Dielectric Relaxation in Solids. London. Chelsea Dielectrics Press.1983.-380p.

£43 Thompson A. H. , Katz A.J. , Krohn С. E. The microgeometry ana transport properties of sedimentary rock. Adv. in Physics. 1987,.v. 36.N5.-pp 625-694.

£53 Thompson A. H. Fractals in rock physics. Annu. Rev. Earth Planet. 1SS1. v.19.-pp 237-262.

£63 Shahidi M. , Hastead J.В.. Jonscher A. K. Nature. 197S, v.258, pp 595-596.

C73 Федер E. Фракталы. Москва. Мир. 1991.-260c.

[83 Бейтмен Г. , Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Москва. Наука. 1967.гл.18.

[9] Браун В. Диэлектрики. Москва. ИЛ.1961.-326с.

£103 Kaplan Т. , Liu S,Y. , Gray L.J. Inverse Cantor bar model for the ac response of a rough interface. Phys. Rev. B. 1986, v.34,-pp. ■ 4870-4873.

£113« Macdonald J. R. Impedance Spectroscopy. New York-London. Willey & Sons. 1987. -347p.

£123 Kornyshev A.A., Vorotyntsev M. A. Electric field of fractal clusters. Physica A. 1991,v.171,- pp. 98-119.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1.Nigmatullin R.R. То the theoretical explanation of the "Universal Response".- Phys. Stat. Sol С b!> , 1984, v.123, pp. 739-745.

2. Nigmatullin R.R. On the theory of relaxation for systems with "remnant" memory. -Phys. Stat. SolСЮ , 1984, v. 124, pp. 389-393.

3. Нигматуллин P.P. Особенности релаксации системы с "остаточной памятью. -ФТТ,1985,т. 27,N5,с.1583-1585.

4. Dissado L. А. , Nigmatullin R. R. , Hill R. М. The fading of memory during the regression of structural fluctuations.-Adv. in Chem. Phys,1985,v.63,pp. 253-292.

5. Нигматуллин P. P. Метод дробных моментов-новый источник информации в радиоспектроскопии. сб. Современные методы ЭПР.ЯМР в химии твердого те/а, Черноголовка 1985,с. 143-145.

6.Nigmatullin R.R. Fractional moments. New sourse of information in radiospectroscopy.- Phys. Stat. SolСЫ,1986,v. 1 33,

pp.713-720.

7 Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation * in a medium with fractal geometry.-Phys. Stat. SolCtD , 1986.v. 133,pp. 423-430.

S.Nigmatullin R. R. , Gusev Уй. , Soutougin M.N. 'The random fractal model and dielectric response of bonded water in the sandstones. - in Proc.of the 9-th Intern. Conf. on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquids.1987,Salford,England,pp.175-177.

9. Нигматуллин P. P. , Сутугин H. H. Магнитная и диэлектрическая релаксация во фрактальных порах со случайными значениями масштаба. -В со. 9-ой Межд. летней школы AMPERE, Новосибирск, 1987, с. 261.

Ю. Нигматуллин P.P., Салахов М. X. Регуляризованный алгоритм решения обобщенного уравнения Абеля с использованием ДП. -ОиС, 1987, т.63, N4, с.907-909.

11 Нигматуллин P.P. , Салахов М. X. Регуляризованный алгоритм вычисления ДП.- Автометрия, 1987, N6,с. 92-96. •

12. Бадрутдинов О. Р. , Нигматуллин Р. Р. , Салахов М. X. Самоподобная структура распределения мощности лазерного излучения. - ЖТФ, 1989, т. 59 N1, с.194-196.

13. Nigmatullin R. R. The generalized fractals and statistical properties of the sedimentary rocks.-Phys. Stat. SolCЬЭ, 1989, v.133, pp. 49-67.

14. Нигматуллин P.P. , Сутугин H. H. Структура неоднородных сред в модели случайных фракталов. - ИФЖ, 1989, т. 37, N2,с. 291-298.

15. Нигматуллин Р. Р. .Сутугин Н. Н. Проводимость и проницаемость пористых сред в модели случайных фракталов. -0 сВ. Проблемы синергетики, Уфа, УНИ, 1989, с. 55-59.

16. Нигматуллин Р. Р. , Хворов М. М. Фрактальные модели высокодисперсных металлических частиц.- ФТТ, 1990, т. 32, N8,

с.2294-2297.

17. Нигматуллин Р. Р. К физическому истолкованию ДП. -В сб. Самоорганизация и фрактальные структуры. Уфа, УНИ, 1990,

с. 100-119.

18. Hill R.M. , Dissado L. A. , Nigmatullin R. R. Invariant behaviour classes for the response of simple fractal circuits.-J.Phys. C. . 1991, v.3. pp. Q773-97SO.

19. Nigmatullin R.R. . Dissado L. A. . Soutougln N.N. - A fractal pore model for Archie^s law in sedimentary rocks.-J.Phys. D.1992. v. 25,pp. 32-37.

20.. Нигиатуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. - ТМФ, 1992. т. 90, N3. с. 354-368.

21. Heliodor F. .Nigmatullin R. R. , Riot P., Le Mehaute A.

DU TEMPS IRREVERSIBLE EN GEOMETRIE FRACTALE. Application et Signification de 1'Operateur de Derivation Fractionaire en Electrodynamique. Paris, У

Глава 1. Краткая предис тория работы и формулировка решаемых проблем

Глава 2. Модель фракталов со случайными значениями масштаба и ее приложение для описания гетерогенных систем.

2. 1 Суть модели. Функция распределения пор по размерам. . . 2.2 Пористость, закон Арчи и проницаемость осадочных пород. Сравнение с экспериментом.

2. 3 Диэлектрическая релаксация.т.5^

Основные выводы по главе 6

I. Показано, что ветвящаяся структура среды при определенных условиях может радикально изменить характер диффузионного процесса в главном канале, приводя к "сверхмедленному" уравнению переноса вида (6.1.28).

2. Показано, что для ветвящихся систем закон сохранения потока в главном канале также радикально меняется, приводя к законам сохранения в дробных производных вида (6.2.26).

3. "Сверхмедленное" .уравнение переноса может быть получено различными способами. В частности "универсальный" характер адмиттанса вида (6.2.7) также приводит к .уравнению вида (6.2.5).

4. Проведено исследование группы геометрических факторов влияющих на характер замедления процесса диффузии в главном канале. Показано, что показатель временной дробной производной полностью определяется топологией ветвления и не зависит от длины канала, площади поперечного сечения, .углов наклона ветвящихся каналов и их концентрации на единицу длины.

5. Получено решение уравнения диффузии вида (6.2.19) и найдена связь (6.2.25) между аномальным показателем диффузии

0 , фрактальной размерностью и показателем временной производной л)

6. Рассмотрена длинная линия с равномерно распределенными реинд и рекап элементами. Показано, что такая линия может служить моделью для процессов переноса, описываемых уравнениями (6.3.5),(6.3.6).

Рис. 6-1

ГревенчАтля структура , в которой происходит процесс диффузии

Рис, 6-2

Возможное ОбОБ1Цение модели каналов, рассмотренная в 6:2

->

I г

• • • ( и

I а т

С\?2(р)с1х А

-ЙХ -рис. 6-5

1. В. Fractal Geometry of Nature. San-Francisco, Fr eeman. 1982. 468p.

2. Oldham к. , Spanier J. The fractional calculus. New York-London, Academic Press. 1974. 234p.

3. С 33 Nigmatullin R. R. To the theoretical explanation of the "universal" response. Phys. Stat. SolCbD , 1983, v. 123, pp. 739-745

4. Nigmatullin R. R. On the theory of relaxation with "remnant' memory. Phys. Stat. Sol С ЬЭ , 1984, v. 124, pp. 389-393.

5. Dissado L. A. , Nigmatullin R. R. , Hill R. M. The fading of memory during the regressin of structural fluctuations. Adv. in Chem. Phys, 1985, v.63, pp. 253-292.

6. Thompson A. H. Fractals in rock physics.- Annu. Rev. Ear th Planet Sci , 1991, v. 19, pp. 237-262.

7. Nigmatullin R. R. , Dissado L. A. Dipole-phonon coupling and dielectric relaxation. J . Chem. Phys., 1983 v.79, pp. 455-463.

8. С 8. Нигматуллин P. P.Особенности релаксации системы состаточной" памятью. -ФТТ,1985,т. 27,N5, стр. 1583-1585.

9. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическаяинтерпретация. ТМФ, 1992, тЭОС 33 стр. 354-368.

10. С ЮЗ Mandelbrot В. В. Intermittent turbulemce in selfsimilar cascades: Divergence of high moments and dimension ofthe carrier.- J. F1 ui d. Mech. , 1 974 , v. 62, pp. 331-358.

11. C113 Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей.-Москва.

12. Изд-во В. Ш. 1987. главаЮ.

13. С123 Mandelbrot В. В. , Fractals and Multi fractals: Noises, Turbulence and Galaxies. Select a vol.1 Berlin. Springer -Verlag. 1990.

14. C133 Peitgen H. O. , Richter P. H. The beaty of fractals. Berlin. Spr i nger ^Ver1ag.1986.

15. Feder J. Fractals. New-York. Plenum. 1988. им-ся пер. на русский язык Федер Е. Фракталы. Москва. "Мир". 1991. 260 стр. 153 Le Mehaute A. Les geometries fractales. Paris. HERMES. 1990. p. 198.

16. Фракталы в физике. Труды 6-го Международного симпозиума по фракталам. Под ред.Л.Пьетронеро и Э. Тозатти. Москва. Мир. 1988 670 стр.

17. С17. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров.- Москва. "Наука". 1991. 134стр.

18. Баренблатт Г. И. Подобие, автомоде л ьность, промежуточная асимптотика. Ленинград. Гидрометеиздат. 1982.

19. Nigmatullin R. R. The generalized fractals and statistical properties of the pore space of the sedimentary rocks.-Phys.Stat.SolCfcO ,1989,v. 153, pp. 49-57.

20. Нигматуллин P.P. , Сутугин H. H. Структура неоднородных сред в модели случайных фракталов. ИФЖ, 1989, т 57 С 23 , Стр. 291-298.

21. Нигматуллин P.P. , Сутугин Н. Н. Диэлектрическая релаксация неоднородной среды в модели случайных фракталов. ЖТФ, 1990, Т.60С25 , стр. 45-53.

22. Hentschel Н. G. Е. , Procaccia I. Fractal nature of turbulence as manifested in turbulent diffusion. -Phys. Rev. 1983, v. A27, pp. 1266-1269.

23. Hentschel H. G. E. > Procaccia I. The infinite number of generalized dimension of fractals and strange attractors. Physica. 1983, v. 8, pp. 435-444.

24. Hentschel H. G. E. , Procaccia I. Relative diffusion in turbulent media: The fractal dimension of clouds.-Phys. Rev. , 1984, v. A29, pp. 1461-1470.

25. Krohn С. E. , Thompson A. H. Fractal sandstone pores: automated measurements using S. E. M images. Phys.Rev В , 1986, v.33 , pp. 6366-6374.

26. Thompson A. H. , Katz A.J. , Krohn С. E. The microgeometry and transport properties of sedimentary rock. Adv. Phys. 1987, v. 36, pp. 625-694.

27. Овчаренко Ф. Д. Гидрофильность глин и глинистых минералов. Киев. "Наукова Думка". 361 с.

28. Бадрутдинов О. Р. , Нигматуллин P.P. Салахов М. X. Самоподобная структура распределения мощности лазерного излучения. ЖТФ, 1987, Т.59С13, стр. 194-196.

29. Нигматуллин Р. Р. , Хворов M. М. Фрактальные модели высокодисперсных металлических частиц.- ФТТ, 1990, Т.32С83, стр. £294-2297.

30. Wong P. -z. Howard J. , Lin J.S. Surface roughening and the fractal nature of rocks.- Phys. Rev. Lett. , 1986, v. 57, pp. 637-640.

31. Archie G. E. Electical conductivity of rocks.- AIME Trans 1942, v. 146, pp. 54-67.

32. Sen P.N. Unified model of conductivity and membrane potential of porous media. Phys. Rev. В ,1989, v. 39, pp. 9508 9517.

33. Wong P.-z. The statistical physics of sedimentary rocks. -Phys. Today. , 1988, v. 41C12D, pp. 24-32.

34. Wong P. -z. . , Howard J., Tomanic J. P. ?. Phys. Rev. В , 1984, v.30, pp. 6606-?

35. Katz A.J. , Thompson A. H. Fractal sandstone pores: implications for conductivity and pore formation. -Phys. Rev. Lett. , 1985, v. 54, pp. 1325-1328.

36. Nigmatullin R. R. , Dissado L. A. , Soutougin N.N. A fractal pore model for Archie's law in sedimentary rocks.- J. Phys. D , 1992, v.25, pp.32-37.

37. Thompson A. H. , Katz A.J. , Raschke R. A. Mercury injection in porous media: a resistance devil's staircase with percolation geometry. Phys. Rev. Lett. , 1987, v. 58, pp. 29-32.

38. Ландау Л. Д. , Лифшиц E. M. Гидродинамика. Москва. "Наука".1988, $17.

39. Jonscher А. К. Dielectric relaxation in solids.- London. Chelsea Dielectric Press. 1983, p. 380.

40. Le Mehaute A. , Guibert A. , Delay M. , Filippi C. Note d'introduction de la cinetique des échangés d*energies et de matieres sur la interfaces fractales.- Acad. Sci CFranceD, 1982, v. 294, pp. 835-837.

41. Le Mehaute A., Crepy G. Introduction to transfer and motion in fractal media: the geometry of kinetics.- Solid State Ionics., 1983, v. 9/10, pp. 17-30.- ZZ5

42. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry.- Phys. Stat. SolCfcD, 1986, v. 133, pp.425-430.

43. Niklasson G. A. Fractal aspects of the dielectric response of charge carriers in disodered materials.- J.Appl.Phys. , 1987, v. 62C7D, pp. R1-R14.

44. Зубарев Д. H. Неравновесная статистическая термодинамика. Москва. Наука.1971.

45. Александров И. В. Теория магнитной релаксации. Москва. Наука. 1975. 399 стр.

46. Юльметьев P.M. Описание магнитной релаксации спинов в жидкостях на основе идеи Боголюбова об иерархии времен релаксации. ТМФ, 1977, т. ЗОС2Г) стр. 264-281.

47. Абрамовиц М. Стиган И. Справочник по специальным функциям. Москва. Наука. 1979. гл.6.

48. Shahidi M., Hastead J. В. , Jonscher А. К. Dielectric relaxation measurements of absorbed water in sandstones.— Nature, 1975, v. 258, pp.595-596.

49. Shahidi M. Electrical properties of absorbed water. PHD Thesis. Birbeck College. 1977, p. 185.

50. Nyikos L. ,Paikossy T. Fractal dimension and fractional power frequency—dependent impedance of blocking electrodes.— Electrochem. Acta. , 1985, v. 30C11D , pp. 1533-1539.

51. Kaplan T., Gray L. J. , Liu S. H. Self-affine fractal model for a metal electrolyte interface.- Phys. Rev. B. , 1987, v.35C1 CO , pp. 5379-5381.

52. Sapoval B. Fractal electrodes and constant phase angle response: exact examples and counter examples. Solid State Ionics., 1987, v. 23 pp. 253-259.

53. Le Mehaute A. , Dugast A. Introduction to the scaling properties in electro-chemistry: from the "TEISI" model to the lithium layered structure. -J. Power Sources. , 1983, v. 9, pp.359-364.

54. Fruchter L. , Crepy G. , Le Mehaute A. Batteries, identified fractal objects.- J.of Power Sources., 1986, v.18, pp.51-62.

55. Самко С. Г. , Килбас А. А. , Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. "Наука и Техника". 1987. 688 с.

56. Бабенко Ю. И. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Ленинград. Химия. 1986. 144с.

57. Нигматуллин Р. Ш. , Белавин В. А. Дробно-дифференцирующий и интегрирующий электрохимический двухполюсник. Труды КАИ. , 1964, т.82, стр. 58-61.

58. Бейтмен Г. , Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Серия СМБ. Москва. Наука. 1967-глава 18.

59. Williams G. , Watts D. С. Trans. Faraday Soc. , 1970, v. 66, pp. 80

60. Cole K.S. , Cole R. H. Journ. Chem. Phys. , 1941, v. 9 pp.341.

61. Браун В. Диэлектрики. Москва. ИЛ. 1961 -раздел 4,гл.1.

62. Джорджевич 3. Наблюдение скейлинга. в реакции с ловушками. В кн 16] стр. 581-585.

63. Градштейн И. С. , Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений. Москва. ГИФМЛ. , 1962. 333с.

64. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва. "Наука". 1971.стр. 401.

65. Лаврентьев М. А. , Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва. "Наука". 1965. 716с.

66. Paikossy Т. , Nyikos L. Impedance of fractal blocking electrodes. Electrochem. Acta. , 1984, V.131C10D, pp. 2061 -2064.

67. Paikossy T., Nyikos L. Comments on J.C.Wang's paper on the impedance of a fractal electrolyte-electrode interface. -Electrochem. acta., 1988, v. 33C5D , pp. 713-715.

68. Paikossy T. , Nyikos L. Diffusion to fractal surfaces-2. Verification of theory.- Electrochem. Acta., 1988, v. 34C2D, pp. 171 -179.

69. Paikossy T. , Nyikos L. Diffusion to fractal surfaces-3. Linear sweep and cyclic voltammograms.- Electrochem. Acta., 1989, v. 3492D , pp. 181-186.

70. Liu S. Н. Fractal model for the ас response of a rough interface. Phys. rev. Lett. , 985, v. 55С5}, pp. 529-552.

71. Hill R. M. , Dissado L. A. Constant phase angle response with fractal electrodes.- Solid State Ionics.,1988, v.26, pp.295-303.

72. Geertsma W. , Cols J.E. , Petronero L. Theoretical model of the impedanceof a fractal metal-electrolyte interface.- Physica A., 1989, v. 158, pp. 691-705.

73. Macdonald J.R. Impedance Spectroscopy. New York-London, Willey & Sons, 1987, 347p.

74. Oustaloup A. Systemes Asservis Li neares d'Ordre Fractional re: Theorie et Pratique. Paris. Masson. 1983. 267p.

75. Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей. Москва. ВШ. 1987. глава 8.

76. Справочник по спецфункциям. Под ред. Абрамовица М. , Стиган И. Москва. "Наука" 1979, стр.195.

77. Hill R. М. Characterization of dielectric materials. Jour п. of Mater. Sci . , 1981, v, 16, pp. 118-124.

78. Hill R. M. , Dissado L. A. The fractal nature of the cluster model dielectric response functions.- J. Appl. Phys. , 1989, v. 66, pp. 2511-2524.

79. Козловский В. В. , Сошников В. И. Устройства на неоднородных линиях. Киев. "Техника". 1987. 191с.

80. Тихонов А. Н. , Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва. Наука. 1972. 736с.

81. Hill R. M. , Dissado L. A. , Nigmatullin R. R. Invariant behaviour classes for the response of simple fractal circuits. -J. Phys.C., 1991, v. 3, pp. 9773-9790.

82. Ma Ш. Современная теория критических явлений. Москва. Мир. 1980. 299с.

83. Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. Москва. ГИТТЛ. , 1957, $56-58.

84. Kornyshev А. А. , Vorotyntsev М. A. Electric field of fractal clysters. -Physica A., 1991, v. 171, pp. 98-119.

85. Allain C. , Cloitre M. Spatial spectrum of a general family of self-similar arrays. Phys. Rev A., v. 36C13D, pp. 5751-5757.

86. Havlin S. , Ben-Avraham D. Diffusion in disordered media. -Adv. in Physics., 1987, v. 36C6D , pp. 695-798.

87. Guyer R. A. Diffusion on a one dimensional lattice: A renormalization-group approach.- Phys. Rev. A. , 1984, v. 29С4Э, pp. 2114-2124.

88. Rammal R., Toulouse G. Random walks on fractal structures and percolation clust e rs. J. Phys. Lett. , 1983, v. 44. , pp. L13-L22.

89. Rammal R. Random walk statistics on fractal structures.-J.of Stat.Physics. ,1984, v.36, N5/6, pp.547-560.

90. Argyrakis P. , Anacker L. W. , Kopel man R. Single random walker on disodered lattices.- J.of Stat.Physics. , 1984, v. 36, N5/6, pp.579-589.

91. Webman I. Propagation and trapping of exitations on percolation clusters.- J. of Stat. Physics. , 1984, v.36, N5/6, pp.603-614.

92. Соколов И. M. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания. УФН. , 1986,т.150С2D, стр. 221-255.

93. Сегерлинд А. Применение метода конечных элементов. Москва. Мир. 1979. 392с.

94. Нигматуллин Р. Ш. Белавин В. А. , Мироыников А. И. , Луцкая Н. К. Применение специальной полярографической ячейки для дробного дифференцирования кривых. Удостоверение о регистрации Комитета

95. Нигматуллин Р. Ш. Белавин В. А. , Мирошников А. И. , Луцкая Н. К. Применение специальной полярографической ячейки для дробного дифференцирования кривых. Удостоверение о регистрации Комитетапо делам изобретений и открытий. N36107 от 6 .04.1963.

96. Нигматуллин Р. Ш. Теоретическое исследованиеэлектролитической ячейки и вопросы электроники жидкого тела. -Дисс. на соискание ученой степени доктора ф. м-наук. Казань. КАИ. 1965.

97. Кендалл М. , Стюарт А. Теория распределений. Москва. Наука. Гл. ред. ФМЛ. , 1966, 587с.

98. Нигматуллин Р. Р. , Салахов M. X. Регуляризованный алгоритм решения обобщенного уравнения Абеля с использованием ДП. ОиС, 1987, т. 63С 45 , с. 907-909.

99. Нигматуллин Р. Р. , Салахов M. X. Регуляризованный алгоритм вычисления ДП. Автометрия, 1987, N6, с. 92-96.

100. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

101. Nigmatullin R.R. То the theoretical explanation of the "Universal Response".- Phys.Stat Sol< b), 1984, v. 123, pp. 739./45.

102. Nigmatul1in R.R. On the theory of relaxation for systems with "remnant" memory.,.Phys „ St at. So 1 ( ta) , 1984, v. 124,, pp „ 389-393.,3„ Нигматуллин P.P. Особенности релаксации системы с "остаточной памятью. -ФТТ,1985,т. 27,N5,с.1583-1585.

103. Dissado L.А.,. Nigmatul 1 in R. R. , Hill R. M. The fading o-f memory during the regression of structural fluctuat.ions.-Ady,, in Сhem.Phys,1935,v.63,pp,253-292.

104. Нигматуллин P. P. Метод дробных моментов-новый источник информации в радиоспектроскопии.-в сб. Современные методы ЭПР,ЯМР в химии твердого тел,Черноголовка 1985,с.143-145.

105. N i g m a t u 1 I :i. n R „R,. F г а с t i о n a 1 m о m e n t s „ New sourse о -fi n f о r m a t i о n i n r a d i о s p e с 1г о s с: о p у,. P h у s. S t a t „ S о 1 < b ) ,, 1986,, v,, 1 3 3,,no „ 7:!. 3.7'2О „

106. Нигматуллин P.P., Сутугин H.H. Магнитная и диэлектрическая релаксация во фрактальных порах со случайными значениями масштаба, -в сб. 9-ой Межд. летней школы AMPERE, Новосибирск, 1987, с. 261.

107. Нигматуллин Р. Р. , Салахов М. X. Регуляризованный алгоритм решения обобщенного уравнения Абеля с использованием ДП. —ОиС, 1987, т. 63, N4, с. 907-909.

108. Нигматуллин Р. Р. , Салахов М. X. Регуляризованный алгоритм вычисления ДП.- Автометрия, 1987, N6,с.92-96.

109. Бадрутдинов О. Р. , Нигматуллин Р. Р. , Салахов М. X. Самоподобная структура распределения мощности лазерного излучения. ЖТФ, 1989, т. 59 Nil. ,, с. 194-196.

110. Nigmatullin R.R „ The generalized fractals and statistical properties of the sedimentary rocks.,-Phуs.Stat.Sо 1 (b) , 19S9, v. 153,, p p. 4 9.5 7„

111. Нигматуллин P.P. , Сутугин H. H. Структура неоднородных сред в модели случайных фракталов.- ИФЖ, 1989, т. 57, N2,с.291-298.

112. Нигматуллин P.P. ,Сутугин Н. Н. Проводимость и проницаемость пористых сред в модели случайных фракталов, -в сб. Проблемы синергетики, Уфа, УНИ, 1989, с. 55-59.

113. Нигматуллин Р. Р. , Хворов М. М. Фрактальные модели высокодисперсных металлических частиц. ФТТ, 1990, т. 32, N8,с. 2294-2297.

114. JP h у s „ D, 19 ■9 2, v „ 2 5, p p ., 32.37.

115. Нигматуллин P. P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. ТМФ, 1992, т. 90, N3, с. 354-368.

116. Heliodor F.,Nigmatul1 in R.R., Riot P.» Le Mehaute A. DU TEMPS IRREVERSIBLE EN GEOMETRIE FRACTALE. Application et

117. Signification de i'Qperateur de Der ivation fг ас tiо naire e n Electrodynamique. Paris, Hermes, 1993.