Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 514.74, 517.927.25

Зуев Константин Михайлович

Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2008 J J

003458171

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-Математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

• академик РАН, профессор Анатолий Тимофеевич Фоменко

• доктор физико-математических наук, профессор Алексей Викторович Болсинов

Официальные оппоненты:

• доктор физико-математических наук, профессор Александр Сергеевич Мищенко

• кандидат физико-математических наук Юрий Андреевич Браилов

Ведущая организация:

Удмуртский государственный университет

Защита диссертации состоится 26 декабря 2008 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-Математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.84 при МГУ профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена исследованию вполне интегрируемых гамильтоновых систем и состоит из двух частей.

Одним из центральных направлений теории вполне интегрируемых систем является исследование уравнений Эйлера на двойственных пространствах алгебр Ли:

± = еЛ^{х)х, хбд*, /еПв')-

Уравнения Эйлера являются естественным обобщением классических уравнений динамики твердого тела, и важность их изучения определяется прежде всего тем, что они возникают во многих задачах математической физики1. Метод сдвига аргумента, предложенный А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко2, позволяет проинтегрировать уравнения Эйлера, т.е. построить полный коммутативный набор интегралов, для многих классов вещественных и комплексных алгебр Ли.

Первая часть диссертации мотивирована доказательством гипотезы Мищенко-Фоменко3, полученным С. Т. Садэтовым4.

Гипотеза Мищенко-Фоменко утверждает, что для каждой вещественной или комплексной алгебры Ли существует полный коммутативный набор полиномов на ее двойственном пространстве. Для случая полупростых алгебр Ли эта гипотеза была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко при помощи метода сдвига аргумента2. В общем случае доказательство было впервые получено С. Т. Садэтовым4. Оказалось, что доказательство становится возможным, даже если вместо поля вещественных или комплексных чисел рассматривать алгебры Ли над абстрактным полем. А именно, теорема Садэтова говорит, что гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики. А. В. Болсинов5 изложил чисто алгебраическое доказательство Садэтова на более явном языке пуассоновой геометрии, что сделало доказательство конструктивным и позволило эффективно работать с конкретными алгебрами Ли.

Богоявленский 0. И., Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, 48:5, 883-938.

2Мищенко А. С . Фоменко А. Т., Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли, Изв. АН СССР. Сер. Матем , т.42, №> 2, 1978, 395-415.

3Мищенко А. С , Фоменко А. Т., Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями, Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып.20, М.:МГУ, 1981, 5-54.

4Садэтов С. Т., Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Доклады РАН, 2004, 397 № 6, 751-754.

5Болсинов А. В , Полные инволютиеные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Труды сем. по вект. и тенз. анализу, вып.26, М.:МГУ, 2005, 87-109.

В основе доказательства лежит конструкция, которая сводит задачу к алгебре Ли меньшей размерности над новым полем, являющимся расширением исходного. Это позволяет действовать по индукции: на каждом шаге мы сводим задачу к построению полного коммутативного набора полиномов для алгебры меньшей размерности и действуем так до тех пор, пока не получим абелеву или полупростую алгебру Ли. В последнем случае остается применить метод сдвига аргумента. Однако хорошо известно, что метод сдвига аргумента дает полный коммутативный набор полиномов не только в полупростом случае, но и для многих других классов алгебр Ли. Поэтому, естественно было бы применять его не только к полупростым, а вообще ко всем возникающим в процессе индукции алгебрам. Техническая проблема заключается в том, что критерий полноты для коммутативного набора, построенного методом сдвига аргумента, известен только в вещественном и комплексном случаях6. Имея такой критерий для произвольного поля, можно было бы существенно упростить описанную процедуру построения полного коммутативного набора. А именно, делать индуктивный шаг, понижающий размерность алгебры, только в том случае, когда коммутативный набор, построенный методом сдвига аргумента, не является полным согласно новому критерию.

В первой части диссертации мы строим обобщение метода сдвига аргумента (формальный метод сдвига аргумента) для алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и доказываем критерий полноты для коммутативного набора полиномов, построенного этим методом.

Во второй части диссертации мы рассматриваем геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов и продолжаем исследования начатые А. В. Болсиновым, И. А. Таймановым, А. П. Веселовым и X. Р. Дуллиным7,8,9

Замкнутое многообразие Мд+1 называется надстройкой автоморфизма А : ТГ" —> Т", если существует расслоение

А

р : М'д+1 ^ S1

многообразия над окружностью S1 со слоем тор Тп, такое, что монодро-мия расслоения задается матрицей А € SL(n, Z).

'Болсинов А. В., Критерий полноты семейства функций в инволюции, построенного методом сдвига аргумента, ДАН СССР, 1988, т.301, № 5. с.1037-1040.

7Болсинов А. В., Тайманов И. А., О примере интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией, УМН, 1999, 54:4(328), 157-158.

'Болсинов А. В., Тайманов И. А., Интегрируемы геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов, Труды МИРАН. 2000 Т. 231. С. 46-63.

8Bolsinov А. V., Dullin Н. R., Veselov А. Р , Spectra of Sol-manifolds: arithmetic and quantum

monodromy, Comm Math. Phys., 2006, V.264, pp.583- 611.

Многообразие Мд+1 обладает интересными свойствами. Простейший нетривиальный пример с

был рассмотрен Л. Батлером10. В этой работе была построена аналитическая риманова метрика на М\, геодезический поток которой интегрируем по Лиувиллю при помощи гладких интегралов, но неинтегрируем в классе аналитических функций. Последнее утверждение было доказано при помощи топологических препятствий к аналитической интегрируемости, найденных И. А. Таймановым11. Таким образом, было показано, что некоторые из этих топологических препятствий не мешают гладкой интегрируемости.

Г. П. Патернайн12 доказал, что если геодезический поток на замкнутом многообразии интегрируем, то, при выполнении некоторых дополнительных условий, его топологическая энтропия равна нулю. Он также предположил, что топологическая энтропия интегрируемого геодезического потока на замкнутом многообразии всегда равна нулю. Отметим, что топологическая энтропия в примере Батлера нулевая, что согласуется с гипотезой Патернайна.

А. В. Болсинов и И. А. Тайманов7 опровергли эту гипотезу для гладкого случая, расс.мотрев многообразие М\ с автоморфизмом

Обобщив конструкцию Батлера, они построили первый пример С°°-интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией. Аналогичные результаты имеют место и для случая п > 2 (см. 8).

Квантовым аналогом задачи об интегрируемости геодезического потока на многообразии является описание спектра и собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа. В статье9 авторами построен базис в пространстве состоящий из собственных функций оператора

Бельтрами-Лапласа, которые описываются при помощи решений так называемого модифицированного уравнения Матье. Во второй части дис-

10Butler L , A new class of homogeneous manifolds with Liouville-integrable geodesic flows. C.R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 21(4):127-131, 1999.

иТайманоз И. А., Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязних многообразиях, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1987, 51:2, 429-435; Тайманов И. А., О топогических свойствах интегрируемых геодезических потоков, Матем. заметки, 1988, 44:2, 283-284.

12Paterr.ain G. P., On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows, Ergod. Theory Dynam. Syst. 12 (1992), 109-121, Paternain G. P., On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows 11, J Geom. Phys. 13 (1994), 289- 298.

сертации мы рассматриваем многомерную ситуацию п > 2 и главным результатом является описание спектра и построение собственного базиса для оператора Бельтрами-Лапласа на который описывается

при помощи решений одномерного уравнения Шредингера.

■ Добавим, что существует хорошо известная проблема распознавания римановых многообразий по спектру их оператора Бельтрами-Лапласа, которая, как принято считать, была сформулирована13 в 1966 г. в виде знаменитого вопроса: "Can one hear the shape of a drum?"14. Проблема состоит в эквивалентности изоспектральности и изометричности многообразий: будут ли многообразия имеющие одинаковый спектр изомет-ричны? В общем случае ответ зависит от геометрии многообразия15. В связи с этим задача об описании спектра риманова многообразия сама по себе является весьма актуальной.

Цель работы

1. Разработать формальный метод сдвига аргумента для алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и получить критерий полноты для коммутативного набора полиномов, построенного этим методом.

2. Описать спектр и построить собственный базис для оператора Бельтрами-Лапласа на надстройках автоморфизмов торов

для п > 2.

Основные методы исследования

Для доказательства формальной теоремы Фробениуса используются методы формального исчисления и некоторые результаты теории дифференциальных уравнений в частных производных. Для доказательства коммутативности и критерия полноты набора, построенного формальным методом сдвига аргумента, используются методы пуассоновой геометрии и линейной алгебры. Для построения сдвигов рациональных инвариантов алгебраических алгебр Ли над абстрактным полем используется хорошо известный метод алгебраической геометрии, позволяющий каждой рациональной функции и ее регулярной точке сопоставлять взаимно-однозначным образом формальный ряд Тейлора. При описании спектра и построении собственного базиса оператора Бельтрами-Лапласа используются свойства одномерного уравнения Шредингера и некоторые факты из теории решеток. Для доказательства сходимости рядов, возникающих в процессе доказательства, используется метод мажорант.

13Кас М., Can one hear the shape of a drum? Amer. Math. Monthly. 1966. V. 73. P. 1-23.

и"Можно ля услышать форму барабана?"

15Buser P., Geometry and spectra of compact Riemann surfaces, Boston; Basel; Berlin- Birkhauser, 1992. (Progress in Mathematics; 106).

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана формальная теорема Фробениуса — аналог классической теоремы об интегрируемости распределений.

2. Введено определение формального инварианта конечномерного представления р: g —» flt(V) алгебры Ли д в точке а е V и доказано существование полного набора таких инвариантов для регулярных а.

3. Разработан формальный метод сдвига аргумента: определен набор полиномов Та(Т{о)) в пуассоновой алгебре Р(д) как набор однородных частей формальных инвариантов представления ad* в регулярной точке а 6 д*, доказана его коммутативность и получен критерий полноты.

4. Для п > 2 построен собственный базис и получено описание спектра для оператора Бельтрами-Лапласа на надстройках автоморфизмов торов в терминах решений одномерного уравнения Шредингера.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований некоторых вопросов теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем. В частности, для построения новых полиномиально интегрируемых систем на двойственных пространствах алгебр Ли и изучения их свойств.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "Современные геометрические методы" под руководством А. Т. Фоменко, А. С. Мищенко, А. В. Болсинова, А. А. Ошемкова, Е. А. Кудрявцевой (мех-мат МГУ, 2008 г.); на международной конференции по Дифференциальным Уравнениям и Динамическим Системам (Суздаль, 2006 г.); на семинаре по геометрии в Рурском университете, г. Бохум, Германия (Ruhr-Universität Bochum, 2003 г.); на международной конференции "Симметрии в нелинейной математической физике" (Киев, Украина, 2003 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 82 страницы, библиография включает 52 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении дается небольшой обзор результатов непосредственно связанных с темой диссертаций, приводятся мотивировки исследований. Кроме того, формулируются основные идеи и результаты диссертации.

В главе 1 диссертации разрабатывается формальный метод сдвига аргумента для алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и доказывается критерий полноты для коммутативного набора полиномов,, построенного этим методом. В разделе 1.1 мы напоминаем основные определения, формулируем гипотезу Мищенко-Фоменко в терминах пуассоновой алгебры Р(g) и обсуждаем центральную идею ее доказательства. В разделе 1.2 мы напоминаем метод сдвига аргумента2 и критерий полноты для вещественного и комплексного случаев6.

Начиная с раздела 1.3 мы рассматриваем алгебры Ли над произвольным полем К нулевой характеристики. Хорошо известно, что инварианты коприсоединенного представления, вообще говоря, не обязаны быть полиномами. В вещественном и комплексных случаях этот недостаток можно легко устранить, разложив инвариант / в ряд Тейлора в окрестности точки a G 0*

Да + Хх) = Да) + Лfa¿(x) + A2/a,2(z) + ...

и взяв вместо сдвигов инвариантов полиномы {fa,k}kciti- Одна из трудностей, с которой мы сталкиваемся при переходе к абстрактному полю, — это отсутствие на поле К априорно заданной топологии, и, как следствие, отсутствие дифференцирования функций на 0*, разложения их в ряд и т.д. В разделе 1.3 вместо кольца всех инвариантов алгебры Ли 2(g) мы рассматриваем центр ее пуассоновой алгебры 2(g). Таким образом, мы ограничиваемся рассмотрением только полиномиальных функций на 0*, а в этом случае дифференцирование можно определить чисто алгебраически (формально), без понятия непрерывности. Недостатком такого подхода является то, что нам может просто не хватить полиномов из центра для построения полного набора. Поэтому мы должны потребовать, чтобы меньшее, вообще говоря, множество 2(g) совпадало со множеством всех инвариантов 1(g) в смысле функциональной зависимости. В результате получается следующий критерий полноты для полиномиального случая (см. также работу Д. И. Панюшева и О. С. Якимовой16):

"Panyushev D. I., Yakimova О. S., The argument shift method and maximal commutative subalgebras of Poisson algebras, arXive:math RT/0702583vl.

Теорема 1 Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем К характеристики нуль, trdeg Z(g) = ind g и a G g*eg. Коммутативный набор полиномиальных а-сдвигов центральных функций является полным тогда и только тогда, когда

codim(gS):„9 ^ 2.

Здесь g*eg обозначает множество регулярных элементов (относительно коприсоединенного представления алгебры Ли g), g*ing = g* \ g*eg — множество сингулярных элементов и gK = g ®к К обозначает алгебру Ли над алгебраическим замыканием К основного поля (аналог комплек-сификации для вещественного случая). Отметим, что условие полноты codim(gK)*mi( > 2 допускает естественную интерпретацию без использования алгебраического замыкания основного поля (см. Замечание 13 в тексте диссертации).

В разделе 1.4 мы отказываемся от условия trdeg Z{g) = indg и исследуем более широкий класс алгебр Ли — класс алгебраических алгебры Ли. В этом случае из теоремы Розенлихта17 следует, что можно ограничиться рассмотрением рациональных инвариантов. Далее, для построения сдвигов рациональных инвариантов над произвольным полем К, мы используем алгебро-геометрический формализм18, позволяющий каждой рациональной функции и ее регулярной точке сопоставлять взаимно-однозначным образом формальный ряд Тейлора. В итоге, для алгебраических алгебр Ли критерий полноты имеет следующий вид:

Теорема 2 Пусть g — конечномерная алгебраическая алгебра Ли над полем К характеристики нуль и a G g*eff. Коммутативный набор полиномиальных а-сдвигов рациональных инвариантов является полным тогда и только тогда, когда

codim(gkysing £ 2.

В разделе 1.5 мы отказываемся от условия алгебраичности и рассматриваем произвольные конечномерные алгебры Ли. В этом случае, в отличие от вещественных, комплексных или алгебраических алгебр, отсутствует группа (Ли или алгебраическая), в частности, нет ни коприсоединенного представления группы, ни инвариантов этого представления. Тем не менее, оказывается, можно естественным способом определить объекты, играющие роль инвариантов. Если К = M или С, то хорошо известно, что аналитическая функция f € >A(g*) является инвариантом коприсоединенного представления тогда и только тогда, когда ad^^rc = 0.

17RosenIicht M., Some baste theorems on algebraic groups, Amer. J. Math., 1956, 78, 401-443.

18Шафаревич И. P., Основы алгебраической геометрии, т.1. M., Наука, 1988.

В этом определении участвуют только структурные константы алгебры Ли в, поэтому оно имеет смысл для любого поля К. В случае произвольного поля надо лишь договориться, что понимать под /. Ограничиться только рациональными функциями К(д*), как это позволяла сделать теорема Розенлихта в алгебраическом случае, нельзя, так как теперь алгебра Ли не обязательно алгебраическая, и в этом случае рациональных инвариантов для построения полного набора может не хватить. С другой стороны, хорошо известно, что в вещественном или комплексном случае инварианты могут быть глобально не определены, и тогда мы вынуждены рассматривать локальные инварианты, которые по своей сути являются сходящимися рядами. Эти соображения приводят к следующей естественной идее: под инвариантом (точнее формальным инвариантом) коприсоединенного представления мы будем понимать формальный ряд из кольца К[[в*}], удовлетворяющий некоторому естественному условию (типа ad¿j^x = 0). Тогда однородные части таких формальных инвариантов будут аналогами сдвигов "классических" инвариантов.

В разделе 1.5 мы реализуем описанную идею. В параграфе 1.5.1 мы доказываем необходимый технический результат — формальную теорему Фробениуса, которая является аналогом классической теоремы об интегрируемости гладких распределений. Для того, чтобы получить формальную теорему Фробениуса, нужно лишь вместо гладких геометрических объектов рассмотреть их формальные аналоги. Опишем соответствующую конструкцию более подробно.

Пусть К™ — аффинное пространство над полем К характеристики нуль. Формальное векторное поле на К" — это вектор, компонентами которого являются формальные степенные ряды:

v = {vl [х),..., vn{x)), vl £ Щ\хи.. .,!„]].

Формальный коммутатор формальных векторных полей определяется при помощи стандартной формулы для коммутатора:

г 1г :dv% ;ди1 \u,v\ = uJ-—г — vJ——т. 1 ' J дхз дх*

Формальным распределением V на К" называется линейная оболочка над K[[xi,... i^n]] набора формальных векторных полей:

Z> = span {«1,..., vk}.

Ранг формального распределения — это ранг (вычисляемый над К[[ж1,... ,£„]]) матрицы, составленной из компонент формальных век-

торных полей, порождающих распределение:

v\{x) ... v?(x)'

rank V = rank .=.(2:), ^{x) =

p\{x) ...

По определению, условие постоянства ранга распределения означает, что ранг формальной матрицы Е(х) над кольцом формальных рядов равен рангу "числовой" матрицы Н(0), полученной занулением всех переменных.

Формальным интегралом формального распределения V = span {vi,..., Vk} называется формальный ряд F 6 K[[zi,... ,хп]], производные которого вдоль всех формальных векторных полей, определяющих распределение Р, равны нулю:

Формальное распределение Т> на К" постоянного ранга к называется формально интегрируемым, если существует (п - к) формальных интегралов Т>, дифференциалы которых линейно независимы в нуле.

Теорема 3 (Формальная теорема Фробениуса) Формальное распределение Т> = span {uj,..., Vk} на К" постоянного ранга к формально интегрируемо тогда и только тогда, когда все коммутаторы [vi,vj] линейно выражаются через vi,...,vk с коэффициентами из К[[хи...,хп}}

В параграфе 1.5.2 мы вводим понятие "формального инварианта" для любого (не обязательно коприсоединенного) представления алгебры Ли и доказываем существование полного набора таких инвариантов.

Пусть 0 — алгебра Ли над полем К нулевой характеристики и р : g —> fli(y) ее любое конечномерное представление в линейном пространстве V, dim V = п.

Определение 1 Формальный ряд F 6 K[[ii,... ,хп]] называется формальным инвариантом представления р в точке а 6 V, если для всех £ 6 0 выполнено следующее формальное тождество:

Существование полного набора формальных инвариантов является прямым следствием формальной теоремы Фробениуса.

для всех а = 1,..., к.

(dxF,p(^)(a + x)) = 0.

Теорема 4 Для любого представления р : g gt(V) и любого регулярного элемента а £ V существует набор {FW,...,FW} из s = dim У — dim g + dimSt(a) формальных инвариантов представления р в точке а, дифференциалы которых в нуле линейно независимы.

Напомним, что элемент а Е V называется регулярным, если его стационарная подалгебра St(a) = {£ G g | p{Ç)a = 0} имеет минимальную размерность.

В параграфе 1.5.3 мы рассматриваем коприсоединенное представление алгебры Ли ad* : g —+ gl(g*). Используя результаты, полученные в предыдущих параграфах, мы определяем набор полиномов ,Fa(2(g)) в пуассоновой алгебре Р(д) как набор однородных частей формальных инвариантов представления ad* в регулярной точке a G g* и доказываем его коммутативность. Такой метод построения коммутативного набора полиномов мы называем формальным методом сдвига аргумента. Так как эта конструкция является центральной в первой части диссертации, опишем ее более подробно.

Для алгебры Ли g над полем К нулевой характеристики рассмотрим ее коприсоединенное представление ad* : g —» gl(g*). Пусть a s g* — регулярный элемент, т.е. его аннулятор Апп(а) = {£ G g ¡ adjía = 0} имеет минимальную размерность s = ind g. Тогда, по Теореме 4 о формальных инвариантах, существует s формальных рядов ..., F^ е Щ[б*]] таких, что для всех £ е g

(dxF^\ai*¿a + x))=0.

Кроме того, дифференциалы dF^\..., dF^ линейно независимы в нуле и образуют базис в Ann(a). Пусть FW = f[j) + /2Ü) + -.. , где f¡j) S K[g*] есть однородный полином степени г. Тогда последнее тождество можно эквивалентным образом переписать на языке полиномов:

span {d/P,... dfl^} = Ann(a), а^ма + ad *dj^x = 0,

для i = 1,2,... и j — 1,..., s. Пусть JFa(J(g)) обозначает подмножество в пуассоновой алгебре P{ß), состоящее из всех этих полиномов,

ЪШ) = {/?' I i = 1, -.., a, i = 1,2,...} С Р(В).

Отметим, что если К = К или С, то ряд F, удовлетворяющий тождеству (dxF, ad£(a + х)) = 0, является рядом Тейлора в нуле функции fa{x) = f(a + х), где f(x) S T(g) — локально аналитический инвариант коприсоединенного представления. В этом случае набор полиномов

•Fa(J(g)) с точки зрения функциональной зависимости эквивалентен семейству сдвигов инвариантов {/(х + Aa) | / € I{g), А 6 К} (см. 2). Поэтому мы говорим, что набор с Р(д) получен формальным методом сдвига аргумента.

Следующее утверждение является переформулировкой теоремы о коммутативности сдвигов инвариантов коприсоединенного представления, доказанной А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко2.

Теорема 5 Набор коммутативен.

Доказательство критерия полноты набора .Fa(Z(g)) (параграф 1.5.6) почти автоматически следует из двух лемм из линейной алгебры: леммы об иерархии, порождаемой парой билинейных форм (параграф 1.5.4), и леммы о паре кососимметрических билинейных форм (параграф 1.5.5).

Теорема 6 Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем К характеристики нуль и а € Q*eg — регулярный элемент.

1. Коммутативный набор Та{2{о)), построенный формальнъш методом сдвига аргумента, является полным тогда и только тогда, когда

codim(/):il4, > 2.

2. Коммутативный набор !Fa(T(Q)) является полным в регулярной точке х € д*ер тогда и только тогда, когда прямая {х + Aa | А € К} не пересекает множество (0K)s„i9-

В разделе 1.6 мы напоминаем конструкцию, лежащую в основе геометрического доказательства гипотезы Мищенко-Фоменко5. Заключительный раздел 1.7 первой главы диссертации посвящен примерам применения критерия полноты коммутативного набора полиномов, построенного формальным методом сдвига аргумента.

В главе 2 диссертации описывается спектр и строится собственный базис оператора Бельтрами-Лапласа на надстройках автоморфизмов торов.

В разделе 2.1 мы определяем надстройку автоморфизма тора MJ+1 как пространство расслоения над окружностью S1 со слоем тор Т" и монодромией расслоения А : Т" Т", А е SL(n,Z). Далее мы напоминаем, почему эти многообразия интересны с точки зрения теории интегрируемых систем.

В разделе 2.2 мы описываем риманову метрику на Сначала мы

определяем метрику на цилиндре Cn+1 = Т" х R:

ds2 = gt]{z)duldw> + dz2,

где геКииеГ - координаты на торе, согласованные с действием автоморфизма А, т.е. координаты относительно базиса /ь • • •, /,,, в котором матрица А имеет номальную жорданову форму. Метрика на торе задается матрицей

Здесь Go — произвольная положительно определенная симметричная матрица порядка п (матрица метрики на нулевом слое {z = 0}). Далее мы показываем, что так определенная метрика на цилиндре инвариантна относительно действия

ТА : {и, z) ^ (Au,z + l),

и поэтому корректно определена на фактор-пространстве =

С'г+1 ¡ТА.

Оператор Бельтрами-Лапласа — это оператор Д = div grad, который на римановом многообразии представляется в виде

где д{ — частная производная по z-й координате, G — метрический тензор и glJ — компоненты обратного тензора в локальных координатах. В разделе 2.3 описывается вид оператора Бельтрами-Лапласа на М

Раздел 2.4 посвящен доказательству основного результата второй главы диссертации. Сначала мы показываем, что задача о поиске спектра и собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа на многообразии M'X+l сводится к одномерному уравнению Шредингера

~^}- + Q1(z)F(z)==£F(z),

с потенциалом

Q7(z) = (27T)^(z)(7J1)(7,fJ),

где 7 6 Г* — элемент двойственной решетки тора. А именно, собственные функции (т.е. решения уравнения —ДФ = £Ф) имеют вид:

Ф lik(u,z) = e2^Frk(z),

где {-f1:k(^)}keN ~ полная ортонормированная система собственных функций оператора —^ + Q7(z), которая существует, так как Qy(z) —* +оо при |z| —> оо для всех 7^0 (лемма 8 в тексте диссертации). Собственное значение £ък, отвечающее функции Ф7>ь, является собственным

значением, отвечающем функции F7ijt.

Однако, функции Ф-yjt не являются корректно определенными на фактор-пространстве MJ1-1 = Cn+1/TAi так как они не инвариантны относительно действия Та- Поэтому вместо самих функций Ф7,к мы рассматриваем их усреднение по этому действию:

ФЪк{щ z) = Ф7lfc(4nu,z + п)-

ne г

Мы доказываем, что этот ряд сходится равномерно на и поэтому

Ф7>fc является корректно определенной функцией на которая, кроме того, является собственной функцией оператора Бельтрами-Лапласа с собственным значением (леммы 10 и 11 в тексте диссертации).

Далее мы рассматриваем естественное действие циклической подгруппы {А*} с SL(n, Z) на Г* \ {0} и показываем, что собственные функции и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами параметризуются не точками двойственной решетки, а целыми орбитами [7] = {(A*)n7,n е Z} (леммы 12 и 13 в тексте диссертации):

W ^ (Ф[7],ь £[71 Д

Ф7Л(и, Z) = Ф7Л(Л"и> Z + П) = J2 Ф(Л')"7,*(и> Z) ФЫ

nez nez

Случай 7 = 0 рассматривается отдельно.

В заключении доказывается основная

Теорема 7 Набор функций {l,coskirz,smknzy Ф[7],)с} где к € N и 7 G Г* \ {0} образует собственный базис оператора Лапласа-Бельтрами в пространстве L2 (М^+1). При этом функции Ф[7],* отвечает собственное значение являющееся собственным значением оператора Шредингера на прямой с потенциалом Q7(z).

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям — академику РАН А. Т. Фоменко за постоянную поддержку и внимание к работе и профессору А. В. Болсинову за постановку задач, плодотворные обсуждения и ряд ценных замечаний и идей, определивших направление развития этой работы. Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры Дифференциальной геометрии и приложений Механико-Математического факультета Московского государственного университета за помощь в течении его учебы.

Публикации автора по теме диссертации

1. К. М. Зуев, Об одном случае интегрируемости геодезического потока на однородном многообразии, Вестник Московского университета. Сер.1, Математика. Механика. 2006 №2. 13-16.

2. К. М. Зуев, Спектр оператора Бельтрами—Лапласа на надстройках автоморфизмов торов, Математический сборник, 2006,197:9,43 -54.

3. К. М. Зуев, О спектре оператора Бельтрами—Лапласа на надстройках автоморфизмов торов, Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2006, Тезисы докладов, 109-111.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова

Подписано в печать

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /(О

Тираж /00 экз. Заказ бО

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

1 Формальный метод сдвига аргумента

1.1 Гипотеза Мищенко-Фоменко.

1.2 Метод сдвига аргумента.

1.3 Критерий полноты: полиномиальный случай.

1.4 Критерий полноты: алгебраический случай.

1.4.1 Сдвиги рациональных инвариантов

1.5 Критерий полноты: общий случай.

1.5.1 Формальная теорема Фробениуса.

1.5.2 Формальные инварианты представлений

1.5.3 Определение и коммутативность Та{Т{$))

1.5.4 Лемма об иерархии, порождаемой парой билинейных форм.

1.5.5 Лемма о паре кососимметрических билинейных форм.

1.5.6 Критерий полноты Та(1{о)).

1.6 Конструкция Болсинова.

1.7 Примеры

1.7.1 Вещественные алгебры Ли малой размерности

2 Геометрия интегрируемых геодезических потоков

2.1 Надстройки автоморфизмов торов.

2.2 Построение римановой метрики на

2.3 Оператор Бельтрами-Лапласа на

2.4 Спектр и собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа

Настоящая диссертация посвящена исследованию вполне интегрируемых гамильтоновых систем и состоит из двух независимых частей.

Первая часть диссертации мотивирована геометрическим доказательством гипотезы Мищенко-Фоменко [24], полученным А. В. Бол-си новым [7].

Гипотеза Мищенко-Фоменко утверждает, что для каждой вещественной или комплексной алгебры Ли существует полный коммутативный набор полиномов на ее двойственном пространстве. Для случая полупростых алгебр Ли эта гипотеза была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко при помощи разработанного ими метода сдвига аргумента [23]. В общем случае доказательство было впервые получено С. Т. Садэтовым [26]. Оказалось, что доказательство становится возможным, даже если вместо поля вещественных или комплексных чисел рассматривать алгебры Ли над абстрактным полем. А именно, теорема Садэтова говорит, что гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики. А. В. Болсинов в работе [7] изложил чисто алгебраическое доказательство Садэтова на более явном языке пуассоновой геометрии, что сделало доказательство конструктивным и позволило эффективно работать с конкретными алгебрами Ли.

В основе доказательства лежит конструкция, которая сводит задачу к алгебре Ли меньшей размерности над новым полем, являющимся расширением исходного. Это позволяет действовать по индукции: на каждом шаге мы сводим задачу к построению полного коммутативного набора полиномов для алгебры меньшей размерности и действуем так до тех пор, пока не получим абелеву или полупростую алгебру Ли. В последнем случае остается применить метод сдвига аргумента [23]. Однако, хорошо известно, что метод сдвига аргумента дает полный коммутативный набор полиномов не только в полупростом случае, но и для многих других классов алгебр Ли. Поэтому, естественно было бы применять его не только к полупростым, а вообще ко всем возникающим в процессе индукции алгебрам. Техническая проблема заключается в том, что критерий полноты для коммутативного набора, построенного методом сдвига аргумента, известен только в вещественном и комплексном случаях [5]. Имея такой критерий для произвольного поля, можно было бы существенно упростить описанную процедуру построения полного коммутативного набора. А именно, делать индуктивный шаг, понижающий размерность алгебры, только в том случае, когда коммутативный набор, построенный методом сдвига аргумента, не является полным согласно новому критерию. В первой части диссертации мы строим обобщение метода сдвига аргумента (формальный метод сдвига аргумента) для алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и доказываем критерий полноты для коммутативного набора полиномов, построенного этим методом.

Перейдем к краткому изложению структуры и главных результатов первой части диссертации. В разделе 1.1 мы напоминаем основные определения, формулируем гипотезу Мищенко-Фоменко в терминах пуассоновой алгебры P(q) и обсуждаем центральную идею ее доказательства. В разделе 1.2 мы напоминаем метод сдвига аргумента [23] и критерий полноты для вещественного и комплексного случаев [5].

Начиная с раздела 1.3 мы рассматриваем алгебры Ли над произвольным полем К нулевой характеристики. Хорошо известно, что инварианты коприсоединенного представления, вообще говоря, не обязаны быть полиномами. В вещественном и комплексных случаях этот недостаток можно легко устранить, разложив инвариант / в ряд Тейлора в окрестности точки а £ д* f(a + Хх) = /(о) + Afa>1(x) + X2fa,2(x) + . и взяв вместо самого инварианта полиномы {fa,k}keN- Одна из трудностей, с которой мы сталкиваемся при переходе к абстрактному полю, — это отсутствие на поле К априорно заданной топологии, и, как следствие, отсутствие дифференцирования функций на разложения их в ряд и т.д. В разделе 1.3 вместо кольца всех инвариантов алгебры Ли 1(g) мы рассматриваем центр ее пуассоновой алгебры 2(q). Таким образом, мы ограничиваемся рассмотрением только полиномиальных функций на д*, а в этом случае дифференцирование можно определить чисто алгебраически (формально), без понятия непрерывности. Недостатком такого подхода является то, что нам может просто не хватить полиномов из центра для построения полного набора. Поэтому мы должны потребовать, чтобы меньшее, вообще говоря, множество Z{q) совпадало со множеством всех инвариантов Х(д) в смысле функциональной зависимости. В результате получается следующий критерий полноты для полиномиального случая (см. также [45]):

Теорема 4. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем К характеристики нуль, trdeg Z(q) = ind Qua 6 Q*cg. Коммутативный набор полиномиальных а-сдвигов центральных функций является полным тогда и только тогда, когда codim(д*)^ > 2.

Здесь Q*eg обозначает множество регулярных элементов (относительно коприсоединенного представления алгебры Ли д), Q*sing = 0* \ Qreg ~ множество сингулярных элементов и / = 0 (Эк К обозначает алгебру Ли над алгебраическим замыканием К основного поля (аналог комплексификации для вещественного случая). Отметим, что условие полноты codim(gK)*m5 > 2 допускает естественную интерпретацию без использования алгебраического замыкания основного поля (см. Замечание 13).

В разделе 1.4 мы отказываемся от условия trdeg Z(q) — indg и исследуем более широкий класс алгебр Ли — класс алгебраических алгебры Ли. В этом случае из теоремы Розенлихта [50, 12] следует, что можно ограничиться рассмотрением рациональных инвариантов. Далее, для построения сдвигов рациональных инвариантов над произвольным полем К, мы используем алгебро-геометрический формализм [31], позволяющий каждой рациональной функции и ее регулярной точке сопоставлять взаимно-однозначным образом формальный ряд Тейлора. В итоге, для алгебраических алгебр Ли критерий полноты имеет следующий вид:

Теорема 5. Пусть g — конечномерная алгебраическая алгебра Ли над полем К характеристики нуль и а € Q*eg- Коммутативный набор полиномиальных а-сдвигов рациональных инвариантов является полным тогда и только тогда, когда codim> 2.

В разделе 1.5 мы отказываемся от условия алгебраичности и рассматриваем произвольные конечномерные алгебры Ли. В этом случае, в отличие от вещественных, комплексных или алгебраических алгебр, отсутствует группа (Ли или алгебраическая), в частности, нет ни коприсоединенного представления группы, ни инвариантов этого представления. Тем не менее, оказывается, можно естественным способом определить объекты, играющие роль инвариантов. Если К = Ж. или С, то хорошо известно, что аналитическая функция / € -4(0*) является инвариантом коприсоединенного представления тогда и только тогда, когда ас^д^ж = 0. В этом определении участвуют только структурные константы алгебры Ли Q, поэтому оно имеет смысл для любого поля К. В случае произвольного поля надо лишь договориться, что понимать под /. Ограничиться только рациональными функциями К(д*), как это позволяла сделать теорема Розенлихта в алгебраическом случае, нельзя, так как теперь алгебра Ли не обязательно алгебраическая, и в этом случае рациональных инвариантов для построения полного набора может не хватить. С другой стороны, хорошо известно, что в вещественном или комплексном случае инварианты могут быть глобально не определены, и тогда мы вынуждены рассматривать локальные инварианты, которые по своей сути являются сходящимися рядами. Эти соображения приводят к следующей естественной идее: под инвариантом (точнее формальным инвариантом) коприсоединенного представления мы будем понимать формальный ряд из кольца Щ[д*]], удовлетворяющий некоторому естественному условию (типа ad— 0)- Тогда однородные части таких формальных инвариантов будут аналогами сдвигов "классических" инвариантов.

В разделе 1.5 мы реализуем описанную идею. В параграфе 1.5.1 мы доказываем необходимый технический результат — формальную теорему Фробениуса, которая является формальным аналогом классической теоремы об интегрируемости распределений.

Теорема 7 (Формальная теорема Фробениуса). Формальное распределение Т> — span{i>i,. ,Vk} на постоянного ранга к формально интегрируемо тогда и только тогда, когда все коммутаторы [vi,Vj] линейно выражаются через v\,., Vk с коэффициентами из K[[a;i,. ,хп}}.

В параграфе 1.5.2 мы вводим понятие "формального инварианта" для любого (не обязательно коприсоединенного) представления алгебры Ли и доказываем существование "максимального" набора таких инвариантов. Существование максимального набора формальных инвариантов является прямым следствием формальной теоремы Фробениуса.

Теорема 8. Для любого представления р : g —> £jt(V) и любого регулярного элемента а 6 V существует набор . из s = dim V — dim g + St (а) формальных инвариантов представления p в точке а, дифференциалы которых в нуле линейно независимы.

В параграфе 1.5.3 мы рассматриваем коприсоединенное представление алгебры Ли ad* : 0 —» £jt(.g*). Используя результаты, полученные в предыдущих параграфах, мы определяем набор полиномов Га{Т(о)) в пуассоновой алгебре Р(д) как набор однородных частей формальных инвариантов представления ad* в регулярной точке а Е д* и доказываем его коммутативность. Такой метод построения коммутативного набора полиномов мы называем формальным методом сдвига аргумента. Доказательство критерия полноты набора Га(1{д)) (параграф 1.5.6) почти автоматически следует из двух лемм из линейной алгебры: леммы об иерархии, порождаемой парой билинейных форм (параграф 1.5.4), и леммы о паре кососим-метрических билинейных форм (параграф 1.5.5).

Теорема 11. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем К характеристики нуль и а £ g*eg — регулярный элемент.

1. Коммутативный набор !Fa(I(g)), построенный формальным методом сдвига аргумента, является полным тогда и только тогда, когда codim(flg):ine > 2.

2. Коммутативный набор Та{Х{д)) является полным в регулярной точке х £ д*ед тогда и только тогда, когда прямая х + До | Л 6 К} не пересекает множество (0к)згП9.

В разделе 1.6 мы напоминаем конструкцию, лежащую в основе геометрического доказательства гипотезы Мищенко-Фоменко [7]. Заключительный раздел 1.7 первой части диссертации посвящен примерам применения критерия полноты коммутативного набора полиномов, построенного формальным методом сдвига аргумента.

На основе результатов, полученных в первой части диссертации, готовится статья в журнале "Математические Заметки".

Во второй части диссертации мы рассматриваем геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов и продолжаем исследования начатые А. В. Болсиновым, И. А. Таймановым, А. П. Весе-ловым и X. Р. Дуллиным в работах [8, 9, 34].

Замкнутое многообразие называется надстройкой автоморфизма А : Тп —> Тп, если существует расслоение А тп р : 1Щ+1 S1 многообразия над окружностью S1 со слоем тор Тп, такое, что мо-нодромия расслоения задается матрицей А Е 5L(n,Z).

Многообразие обладает интересными свойствами. Простейший нетривиальный пример с

А = был рассмотрен JI. Батлером [36]. В этой работе была построена аналитическая римаиова метрика на М\, геодезический поток которой интегрируем по Лиувиллю при помощи гладких интегралов, но неинтегрируем в классе аналитических функций. Последнее утверждение было доказано при помощи топологических препятствий к аналитической интегрируемости, найденных И. А. Таймановым [28, 29]. Таким образом, было показано, что некоторые из этих топологических препятствий не мешают гладкой интегрируемости.

Г. П. Патернайн [47, 48] доказал, что если геодезический поток на замкнутом многообразии интегрируем, то, при выполнении некоторых дополнительных условий, его топологическая энтропия равна нулю. Он также предположил, что топологическая энтропия интегрируемого геодезического потока на замкнутом многообразии всегда равна нулю. Отметим, что топологическая энтропия в примере Батлера нулевая, что согласуется с гипотезой Патернайпа.

А. В. Болсинов и И. А. Тайманов [8] опровергли эту гипотезу для гладкого случая, рассмотрев многообразие М\ с автоморфизмом

Обобщив конструкцию Батлера, они построили первый пример С°°-интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией. Аналогичные результаты имеют место и для случая п > 2 [9].

Квантовым аналогом задачи об интегрируемости геодезического потока на многообразии является описание спектра и собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа. В статье [34] авторами построен базис в пространстве L2(Mj[), состоящий из собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа, которые описываются при помощи решений так называемого модифицированного уравнения Матье. Во второй части диссертации мы рассматриваем многомерную ситуацию п > 2 и главным результатом является описание спектра и построение собственного базиса для оператора Бельтрами-Лапласа па ЫМТ1): который описывается при помощи решений одномерного уравнения Шредингера.

Перейдем к краткому изложению структуры и главного результата второй части диссертации. В разделе 2.1 мы напоминаем основные определения связанные с надстройками автоморфизмов торов. В разделах 2.2 и 2.3 мы описываем риманову метрику и оператор Бельтрами-Лапласа на Раздел 2.4 посвящен доказательству основного результата:

Теорема 13. Пусть функции Ф[7],а; и Q^{z) задаются формулами (2.10) и (2.6) соответственно. Тогда набор функций {Ф[7],ь7 £ Г* \ {0}} U {1, cos kirz, sin kirz} где k € N образует собственный базис оператора Лапласа-Велътрами в пространстве При этом функции Ф[7],/г отвечает собственное значение £[7],ь являющееся собственным значением оператора Шредингера на прямой с потенциалом Q1{z).

Результаты полученные во второй части диссертации опубликованы в статье [18] и доложены на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям — академику РАН А. Т. Фоменко за постоянную поддержку и внимание к работе и профессору А. В. Болсинову за постановку задач, плодотворные обсуждения и ряд ценных замечаний и идей, определивших направление развития этой работы. Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры Дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета за помощь в течении его учебы.

1. Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М.: Физматгиз, 1961.

2. Березин Ф. А., Шубин М. А., Уравнение Шредингера, М.: МГУ, 1983.

3. Бессе А., Многообразия с замкнутыми геодезическими, М.: Мир, 1981.

4. Богоявленский О. И., Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, 48:5, 883-938.

5. Болсинов А. В., Критерий полноты семейства функций в инволюции, построенного методом сдвига аргумента, ДАН СССР, 1988, т.301, № 5. с.1037-1040.

6. Болсинов А. В., Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции, Известия АН. СССР, Сер. матем., 1991, 55, № 1, 68-92.

7. Болсинов А. В., Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Миш^нко-Фоменко, Труды семинара по вект. и тенз. анализу, Вып. 26, М.:МГУ, 2005, 87-109.

8. Болсинов А. В., Тайманов И. А., О примере интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией, УМН, 1999, 54:4(328), 157-158.

9. Болсинов А. В., Тайманов И. А., Интегрируемы геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов, Труды МИ-РАН. 2000. Т. 231. С. 46-63.

10. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М.: Наука, Гл. ред. физ-мат лит., 1985.

11. Винберг Э. Б., Онищик A. JI., Семинар по группам Ли и ал-гебраическим группам, М., Наука, 1988.

12. Винберг Э. Б., Попов В. JL, Теория инвариантов, Итоги науки и техн., ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направ., 1989, 55, 137-309.

13. Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Наука, 1966.

14. Гельфанд И. М., Захаревич И. С., Спектральная теория пучка кососимметрических дифференциальных операторов 3-го порядка на Функц. анализ и его прил., 1989, 23:2, 1-11.

15. Гото М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли, М., Мир, 1981. .

16. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Геометрия и топология многообразий, М.: Эдито-риал УРСС, 1998.

17. Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, Мир, 1978.

18. Зуев К. М., Спектр оператора Белътрами-Лапласа на надстройках автоморфизмов торов, Матем. сб., 2006, 197:9, 43-54.

19. Кириллов А. А., Лекции по методу орбит, Новосибирс, Науч. книга, 2002.

20. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, Гл. ред. физ-мат лит., 1976.

21. Короткевич А., Полные коммутативные наборы полиномов на алгебрах Ли малой размерности.

22. Манаков С. В., Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, Функц. анализ и его прил., 1976, 10:4, 93-94

23. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли, Изв. АН СССР. Сер. Матем., т.42, № 2, 1978, 396-415.

24. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., Интегрирование гамильто-новых систем с некоммутативными симметриями, Труды семинара по вект. и тенз. анализу, вып.20, М.:МГУ, 1981, 5-54.

25. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики. Анализ операторов, М.: Мир, 1982.

26. Садэтов С. Т., Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Доклады РАН, 2004, 397 № 6, 751-754.

27. Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, М.: Мир, 1970.

28. Тайманов И. А., Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков на неодносвязных многообразиях, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1987, 51:2, 429-435.

29. Тайманов И. А., О топогических свойствах интегрируемых геодезических потоков, Матем. заметки, 1988, 44:2, 283-284.

30. Трофимов В. В., Фоменко А. Т., Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений, М.: Факториал, 1995.

31. Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, т.1. М., Наука, 1988.

32. Abellanas L., Alonso L. М., A general setting for Casimir invariants, J. Math. Phys., Vol. 16, No. 8, 1975, 1580-1584.

33. Bolsinov A. V., Complete commutative subalgebras in polynomial Poisson algebras: a proof of the Mischenko-Fomenko conjecture, 2008, revised and extended version of 7]

34. Paternain G. P., On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows, Ergod. Theory Dynam. Syst. 12 (1992), 109-121.

35. Paternain G. P., On the topology of manifolds with completely integrable geodesic flows //, J. Georn. Phys. 13 (1994), 289- 298.

36. Praught J., Smirnov R. G., Andrew Lenard: A Mystery Unraveled, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, Vol. 1 (2005).

37. Rosenlicht M., Some basic theorems on algebraic groups, Amer. J. Math., 1956, 78, 401-443.

38. Thompson R. C., Pencils of complex and real symmetric and skew matrices, Linear algebra and its applications, 147:323-371(1991).

39. Turnbull H. W., Aitken A. C., An introduction to the theory of canonical matrices, Dover Publications Inc., New York, 1961.