Формирование и разрушение фазовой когерентности в нелинейных резонансных средах при регулярных и хаотических колебаниях

Зверев, Владимир Владимирович

Формирование и разрушение фазовой когерентности в нелинейных резонансных средах при регулярных и хаотических колебаниях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

Зверев, Владимир Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Формирование и разрушение фазовой когерентности в нелинейных резонансных средах при регулярных и хаотических колебаниях»

Автореферат диссертации на тему "Формирование и разрушение фазовой когерентности в нелинейных резонансных средах при регулярных и хаотических колебаниях"

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет-УПИ

На правах рукописи ЗВЕРЕВ Владимир Владимирович

ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ ФАЗОВОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ В НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ СРЕДАХ ПРИ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ

Специальность 01.04.04 - Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург 2006

Работа выполнена на физико-техническом факультете ГОУ ВПО "Уральский государственный технический университет - УПИ"

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Самарцев Виталий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Изюмов Юрий Александрович

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Литвинов Евгений Александрович

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет, г. Саратов

Защита состоится " . » июн» 200£ г в _часов на заседании

диссертационного совета Д 212 285.02 при ГОУ ВПО "Уральский государственный технический университет - УПИ" в аудитории I главного учебного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УГТУ-УПИ.

Ваш отзыв в одном экземпляре, заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу: 620002, г. Екатеринбург, ул Мира 19, УГТУ-УПИ, ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан " Ек " 200 ^ г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

Г.И. Пилипенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Уровень развития микро- и нанотехноло-гий, достигнутый в настоящее время, делает возможным создание элементов электроники, функционирующих по законам квантовой микрофизики. В частности, проектируются и разрабатываются устройства, позволяющие формировать, преобразовывать и диагностировать квантовые состояния микрообъектов, осуществляя тем самым элементарные действия, требуемые для выполнения вычислений и передачи информации [1-10]. Уже существуют экспериментальные установки, дающие возможность управлять квантовыми состояниями одиночных атомов (ионов), удерживаемых в радиочастотных ловушках, и запутанными состояниями [2] атомных (ионных) цепочек; формировать кооперативные сверхиэлу-чающие состояния и состояния с подавленным спонтанным распадом в атомных ансамблях [3-5] и молекулярных кристаллах [6]; создавать когерентные состояния ридберговских атомов [7] и высокоспиновых нанокла-стеров [6, 8]. Обсуждаются методы управления состояниями твердотельных мезоскопических систем (квантовых точек, нанокластеров и других наноструктур) [9, 10].

Фактором, стимулирующим усилия, направленные на дальнейшее развитие этого направления в наноэлектронике, стали результаты теоретических исследований в области квантовых вычислений, свидетельствующие о высокой эффективности квантовых алгоритмов в сравнении с классическими [11, 12]. Для создания реальных устройств, осуществляющих квантовые вычисления, необходимо, однако, не только решить ряд трудных технологических проблем, но и достигнуть более глубокого понимания фундаментальных положений квантовой теории, и прежде всего - теории измерений. В центре внимания оказывается проблема корректного описания реальных измерений и учета механизмов декогерентизации, приводящих к изменению "измеряемого" квантового состояния вследствие взаимодействия с "измерительным прибором" [13, 14].

Задача об измерении квантового состояния в строгой постановке требует описания квантовой временной динамики двух взаимодействующих подсистем - объекта измерения Я, являющегося системой с небольшим числом степеней свободы, и системы С, играющей роль "измерительного прибора" - с переходом к классическому пределу для состояний системы С. Данная модель обладает большой общностью и применима во всех случаях, когда исследуется поведение микрообъектов и физическая информация переносится с квантового уровня на классический (макро) уровень. Возможная неоднозначность конечного результата теоретического анализа, основанного на использовании этой модели, может быть связана с выбором способа установления квантово-классического соответствия. По

этой причине не теряет актуальности задача разработки расчетах методов для описания квантовой когерентного динамики, позволяющих осуществлять переход к классическому описанию. Особый интерес представляют методы, пригодные для описания мезоскопических систем, занимающих как бы промежуточное положение между классическими макросистемами и квантовыми микросистемами (одиночных высоковозбужденных атомов [1, 7]; макромолекул и нанокластеров [6, 15], включающих в себя сравнительно небольшое число атомов, и др.).

Наиболее известные квазиклассические методы, вошедшие в учебную литературу: метод ВКБ, метод полевых когерентных состояний [16], метод функции Вигнера [17] - не решают проблему исчерпывающим образом. Более глубокое понимание закономерностей квантово-классического соответствия достигается в работах, посвященных исследованию динамических симметрий и построению обобщенных когерентных состояний [18-20], где показано наличие глубокой связи между типом алгебры наблюдаемых (динамической алгебры) и характером квазиклассического поведения. Алгебраический подход к анализу квантовых систем позволил получить ряд важных результатов, среди которых: классификация адронов по мультиплетам групп БЩЗ) и БТДб) [21], описание атома водорода на языке представлений группы 0(4,2) [22], введение обобщенных когерентных состояний в пространствах представлений различных динамических групп [19, 20], описание явления кооперативного спонтанного излучения (сверхизлучения) с помощью когерентных состояний групп Би(2) [23, 24] и БЩп) [25, А2], и др. Его применение к системам со сложной иерархической структурой алгебры наблюдаемых (с включением в рассмотрение вопросов формирования режима когерентной динамики в микро- и мезоскопических системах, декогерентизации и квантово-классического соответствия) можно отнести к актуальным и перспективным теоретическим подходам в физике наносистем и наноэлектронных устройств.

сических флуктуации или квантового принципа неопределенности) само понятие фазовой траектории не имеет смысла, является, однако, несравненно более трудной задачей. В то же время следует отметить, что учет факторов любой природы, нарушающих детерминистичность движения, имеет принципиально важное значение, поскольку в системах с экспоненциальной неустойчивостью никакие возмущающие воздействия не могут считаться пренебрежимо малыми. Эта задача фактически эквивалентна задаче о преобразовании стохастического процесса нелинейной системой в самой общей постановке. Теория, описывающая общие закономерности таких преобразований, в настоящее время отсутствует. Традиционно в центре внимания находятся вопросы динамического обоснования статистической механики [30]. Результаты, полученные в этой области, и различные результаты для частных модельных систем не исчерпывают, однако, проблемы, оставляя широкое поле для дальнейших исследований.

В последние десятилетия компьютерные методы заняли ведущее положение среди различных методов изучения нелинейных явлений. Стремление к повышению эффективности исследований (проводимых обычно в условиях дефицита вычислительных ресурсов) породило методологию, в соответствии с которой всестороннему анализу подвергаются специально отобранные "базовые модели", обладающие относительной простотой и при этом верно отражающие основные особенности реальных физических систем. Наибольшей ценностью обладают модели, анализ которых хотя бы частично может быть выполнен посредством аналитических методов. Формулирование таких моделей, а также выявление присущих им общих черт и поиск универсальных закономерностей -важные этапы работы, отвечающие современному подходу, при котором научно-исследовательская деятельность направлена на решение конкретных инженерно-конструкторских задач.

Цель работы. Диссертация посвящена теоретическому изучению нелинейных когерентных явлений, происходящих при взаимодействии излучения с веществом, с помощью аналитических и численных методов, включая анализ статистики квантовых флуктуаций и выяснение закономерностей динамики систем с неустойчивым движением при наличии флуктуаций. В работе преследовались две основные цели.

- Первая цель состояла в том, чтобы путем дальнейшего развития метода когерентных состояний создать формализм, позволяющий корректно описывать когерентную динамику атома (системы атомов), выполнять переход к классическому пределу и находить статистические характеристики квантовых флуктуаций для состояний, близких к классическим. Поставленная задача решалась для двух модельных систем - атома водорода и ансамбля многоуровневых молекул - посредством разложения

пространств состояний по мультиплетам динамических групп, введения обобщенных когерентных состояний и применения метода асимптотических оценок (метода перевала).

- Вторая цель - развить теорию динамического хаоса применительно к системам, допускающим переход к пределу сильного перемешивания, и дать строгое обоснование возможности введения для таких систем статистического описания. На различных этапах решения этой задачи: рассматривались конкретные физические системы с нелинейностью, обусловленной зависимостью параметра вращения от состояния; сформулирована "базовая модель" и строго показано существование предела сильного перемешивания; выяснена роль флуктуаций и рассмотрен (в модельном приближении) вопрос о преобразовании статистических свойств случайного процесса; изучены фрактальные свойства возникающих вероятностных распределений и соответствующие законы самоподобия.

Сформулированные цели приводят к задачам, которые тесно связаны друг с другом, являясь различными аспектами единой актуальной проблемы формирования когерентности и декогерентизации при взаимодействии излучения с веществом. В частности, вывод о гауссовом характере квантовых флуктуаций играет фундаментальную роль при рассмотрении вопроса о пределе сильного перемешивания. Нелинейные системы, рассматриваемые в диссертационной работе, относятся к единому классу систем, в которых временные изменения происходят как обычные или обобщенные вращения (групповые преобразования). Таким образом, одна из целей, преследуемых в работе, состоит в разработке новых методов аналитического описания и численного анализа нелинейной динамики физических моделей, специфичных для спинтроники и оптроники.

Научная новизна диссертационной работы определяется перечисленными ниже оригинальными результатами, которые выносятся на защиту.

- Предложена конструктивная процедура, которая позволяет вводить различные полные наборы квазиклассических когерентных состояний атома водорода, соответствующие определенным схемам сужения на подгруппу динамической группы, путем осуществления последовательности групповых преобразований (обобщенных "вращений") основного состояния или преобразований более общего типа. Дана корректная формулировка правила перехода к классическому пределу. Найдены гауссовы асимптотические аппроксимации для волновых функций когерентных состояний, близких к классическим состояниям.

к "классическому" пределу N —I со и строить разложения по -/V-1 при N » 1. Даны теоретико-групповая интерпретация и статистическое описание процесса спонтанного распада кооперативных состояний, ассоциированного с нелинейной релаксацией классического многомерного ("унитарного") дипольного момента. Показано, что при N » 1 статистика квантовых флуктуаций является гауссовой.

- Выявлена глубокая общность, существующая между математическими моделями, описывающими динамику световой волны в кольцевом резонаторе, однородную диссипативную прецессию электронной и ядерной намагниченности в магнетиких и динамику коллективных колебаний в системе спиновых волн. Показано, что в условиях многоимпульсного возбуждения регулярные и хаотические колебания в этих системах могут быть описаны с помощью отображений с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенных отображений Икеды). Продемонстрирована эффективность применения метода отображений при численном моделировании на больших временных интервалах.

- Развит приближенный аналитический подход, который позволяет описывать тонкую структуру хаотических аттракторов, являющихся инвариантными множествами обобщенных отображений Икеды. Показано, что при определенных условиях многомерные отображения можно аппроксимировать одномерными. С помощью последних объяснен механизм бифуркаций "хаос-хаос".

- Построена теория преобразования случайного процесса в системе с нелинейностью, описываемой отображением Икеды, и запаздыванием. Строго доказано существование динамического режима с сильным перемешиванием. Для случая сильного перемешивания развит метод расчета многоточечных корреляционных функций, описывающих результирующий случайный процесс. Исследован механизм флуктуационного "размытия" тонкой структуры хаотического аттрактора, ответственный за превращение детерминистического движения в "огрубленное" стохастическое.

- Обнаружены и изучены фрактальные закономерности в структуре стационарных (инвариантных) плотностей распределения, описывающих стохастический процесс в системе с запаздыванием и нелинейностью Икеды. Установлено, что плотности распределения могут быть представ влены с помощью мультифрактальных интегралов. Показано, что наличие фрактальных и скейлинговых закономерностей в строении вероятностных распределений находит отражение в том, что характеристические функции удовлетворяют масштабирующему уравнению.

- Определены мультифрактальные интегралы 1-го и 2-го рода. Найдены условия их существования. Установлено наличие связи между ин-

тегралами по мультифракталам, обобщенными функциями специального вида и интегралами дробной кратности.

- Рассмотрена уточненная теоретическая модель вынужденного рассеяния света в квазистатическом режиме, в которой учтено выравнивание заселенностей уровней активной среды. Найдено точное решение нелинейных уравнений, позволившее объяснить явление насыщения вынужденного рассеяния, наблюдаемое экспериментально.

- Реализована динамическая адаптивная численная схема, основанная на использовании вейвлет-разложений, которая обеспечивает высокую эффективность при численном моделировании динамики хорошо локализованных объектов в нелинейных средах.

Практическая значимость работы. Различные формулировки квантовой механики, основанные на использовании с-числовых функций на фазовом пространстве (метод функций Вигнера, метод полевых и обобщенных когерентных состояний), находят широкое применение при рассмотрении вопросов квантово-классического соответствия. Новые типы когерентных состояний, введенные в диссертационной работе, позволяют существенно расширить сферу практического применения этих методов. Создан вычислительный аппарат, базирующийся на применении асимптотических методов в теории представлений групп, который дает возможность находить физические величины в виде разложений по параметру близости к классическому состоянию (учет квантовых "поправок" в наинизшем порядке ведет к представлению о классическом движениии, возмущенном квантовыми флуктуациями). Область применения новых расчетных методов - это физика электронных устройств, основанных на использовании высоковозбужденных атомов и когерентно возбуждаемых сред. Данный подход может быть также распространен на другие мезо-скопические наносистемы, и прежде всего на те из них, которые допускают теоретико-групповую трактовку.

Теоретические модели нелинейных систем с неустойчивым движением, рассмотренные в диссертационной работе (кольцевой резонатор, электронная и ядерная намагниченность в магнетиках), имеют реальные прототипы в спинтронике и оптронике. Такие методы теоретического анализа, как переход к рассмотрению динамики отображений, аналитическое описание аттрактора, приближение многомерного аттрактора одномерным, анализ фрактальных свойств вероятностных распределений, являются практически полезными средствами интерпретации экспериментальных данных, обеспечивающими возможность количественного описания и качественного понимания наблюдаемых явлений. Из сделанных оценок следует, что режим сильного перемешивания, возмущенный флуктуациями, может наблюдаться в эксперименте; некоторые результаты такого

эксперимента позволяет предсказать развитая в работе статистическая теория.

Результаты, относящиеся к распределенным системам, ориентированы непосредственно на проведение экспериментальных исследований и численного моделирование. Дано объяснение экспериментально наблюдаемому явлению насыщения вынужденного рассеяния света. Создана и протестирована программа, практически реализующая адаптивную численную схему, базирующуюся на использовании вейвлетных преобразования; продемонстрирована ее эффективность при моделировании динамики локализованных объектов.

Апробация работы. Основные материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, совещаниях, школах и семинарах: X Уральском совещании по спектроскопии (Свердловск, 1980); II Семинаре по математическим методам в нелинейной оптике (Красноярск, 1983); III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии (Харьков, 1984); I Всесоюзном семинаре "Сильные оптические нелинейности" (МГУ, Москва, 1988); II и III Всесоюзных и IV Международной школах "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (Саратов, 1988, 1991, 1994); XX Всесоюзном семинаре по спиновым волнам (Ленинград, 1990); XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений (Ташкент, 1991); XXVII Конгрессе AMPERE "Магнитный резонанс и связанные с ним явления" (Казань, 1994); Международной конференции по магнетизму ICM (Польша, Варшава, 1994); Семинаре "Синергетика" (МГУ, Москва, 1995); Международной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах" (Москва-Суздаль, 1995); Международной конференции по нелинейности, бифуркациям и хаосу: Двери в будущее (Польша, Лодзь, 1996); VIII Международном симпозиуме по нелинейным электромагнитным системам (Германия, Брауншвейг, 1997); XX Международной конференции IUPAP по статистической физике STATPHYS 20 (Франция, Париж, 1998); Международном Евро-Азиатском симпозиуме по магнетизму EASTMAG-2001 (Екатеринбург, 2001); VI Международной школе по хаотическим осцилляциям и структурообразованию (Саратов, 2001); XXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Екатеринбург-Пермь-Кунгур, 2002); Международной конференции по теоретической физике (ТН-2002) (Франция, Париж, 2002); V Международном конгрессе по математическому моделированию (V ICMM) (Дубна, 2002); V международной конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (Украина, Киев, 2003); семинарах в Физическом институте РАН (Москва), Институте физики АН Украины (Киев), Казанском физико-техническом институте РАН (Казань), Московском го-

«^дарственном университете (Москва), Институте радиотехники и электроники РАН (Москва), Институте физики металлов УрО РАН (Екатеринбург).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 45 работ. Основные результаты изложены в 25 статьях, опубликованных в рецензируемых периодических изданиях и трудах конференций.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается использованием твердо установленных физических уравнений, строгим обоснованием математических процедур, используемых при их решении, сравнением результатов, полученных аналитическими и численными методами, анализом предельных случаев и асимптотик.

Личный вклад автора. Часть результатов вошла в кандидатскую диссертацию Б. Я. Рубинштейна, научными руководителями которой являлись автор данной диссертационной работы и В. В. Дякин. Работы, посвященные динамическим явлениям при вынужденном рассеянии света, были выполнены совместно с группой сотрудников Оптической лаборатории Физического института РАН (рук. группы А. И. Соколовская); автором диссертации создана теоретическая модель, объяснившая явление насыщения. Компьютерная программа на базе вейвлет-алгоритмов была реализована и протестирована студентами УГТУ-УПИ Р. Н. Ахмаду длиным, Э. М. Вазиевым, работавшими под руководством автора. Во всех работах, выполненных в соавторстве, автор участвовал в постановке задач, проводил теоретические и численные расчеты, обсуждал и излагал результаты исследований.

Работа выполнялась в Уральском государственном техническом университете (УПИ), при частичной поддержке грантами РФФИ (93-02-2011 и 97-02-26727) и грантом Конкурсного центра фундаментального естествознания при СПбГУ (95-0-8.3-14).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка из 394 наименований. Полный текст диссертации составляет 349 страниц, включая 53 рисунка и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дана общая характеристика работы, включающая обсуждение актуальности работы, научной новизны полученных результатов, их практического значения и цели исследования.

В первой главе (авторские работы [А6-А8, А14, А36, А38, А40, А41, А45]) сформулированы общие принципы построения квазиклассических когерентных состояний и реализация подхода в случае атома водорода -

системы с известной динамической симметрией, являющейся к тому же точно решаемой моделью атомной физики.

Раздел 1,1 является обзорным и содержит сведения, относящиеся к методу бозонных подстановок, методу функций на фазовом пространстве [31] и методу когерентных состояний [19, 20], которые используются в первой и второй главах.

В разделе 1.2 выражением

где (а)„ = а(а +1) • • • (а + га — 1) - символы Похгаммера и Ç - комплексная переменная, определена система когерентных состояний (КС), названных обобщенными гипергеометрическими КС (если среди ар имеются целые отрицательные величины, сумма в (1) конечная). Показано, что введенное множество состояний включает КС Переломова [20] как подкласс. При этом КС Барута-Джирарделло, "внесистемные" с точки зрения подхода Переломова ([20], с. 155), также являются частным случаем (1). Для КС нового типа найдено скалярное произведение

((«Л. Cft). É|(«p). (Ря), О = (р5), (-1)'ГС), (2)

выражающееся через обобщенный гипергеометрический ряд (¡— количество отрицательных ар), и "разложение единицы" (соотношение полноты), записываемое с помощью (7—функции Мейера. Рассмотрены подклассы КС (1), каждый из которых включает в себя известный тип КС: падевые КС, 311(1,1) Барута-Джирарделло, 811(1,1) и 811(2) КС Переломова. Построен экспоненциальный производящий оператор (в общем случае не являющийся групповым преобразованием), с помощью которого вектор (1) может быть получен из "старшего вектора" |0). Показано, что существует два типа предельных процедур, которые могут приобретать смысл перехода к "классическому пределу": (I) устремление к бесконечности одного или нескольких параметров с*1,... ,ар, ... ,рд; (И) предельный переход |£| —у оо. С помощью метода асимптотических оценок проанализировано квазиклассическое поведение скалярных произведений различных КС.

В разделе 1.3 описана структура динамической алгебры атома водорода [22] и сформулированы процедуры введения функций на фазовом пространстве [17, 31], базирующиеся на бозонных подстановках. Найден метод представления этих функций в виде разложений по степеням величин п-1, ¿_1 и т-1, позволяющий выполнять квазиклассические оценки в случае больших значений квантовых чисел п, I и т.

(1)

В разделе 1.4 определен широкий класс КС атома водорода, отвечающих следующим схемам сужения на подгруппы динамической группы:

БО(4,2) Э БО(4) ~ ЭО(З) ® БО(3), 80(4,2) 3 80(2,2) ~ 30(2,1) ® 80(2,1), 80(4,2) 3 80(3) «а 80(2,1).

Явные выражения для КС имеют вид

Г'^М, г, г,) = Щ^г, (Р^)) Щ^'г), (£<+>)) , (3)

^■««М, г, т,) = (й^)) , (4)

|8о(»,®зо(3..>а)[±]1 г> ^ = щ,о(з)г> (£0а)) |ЫМ) , (5)

«м> = 2>„Г"Д)«, («?•)) |1,0,0), (6)

где |1,0,0) - вектор основного состояния атома водорода. Производящие операторы £>п(е • (•)). входящие в правые части (3) - (6), порождают КС в подпространствах неприводимых представлений (НП) групп С=ЭО(3) и 80(2,1):

|&3,0=®п('€(£»))|в5 (0)); (7)

для этих КС переход к классическому пределу должен быть связан с одной из двух описанных выше процедур: = I или II. Различные подпространства НП являются пространствами представлений подалгебр

Т}'*1 = ¿(±£„ - Д2), = ± £„), П]?] = ¡(С03 ± Д0),

= § (¿„о ± ¿о,з), 61*' = ± А.), (8)

состоящих из операторов, являющихся линейными комбинациями генераторов Сер, а,0 = 0,1,2,3 {а + Р > 0) динамической группы 0(4,2). Когерентность движения проявляет себя как определенность положения плоскости эллиптической орбиты электрона, ориентации осей эллипса, положения электрона на орбите (когерентность в последнем смысле теряется со временем из-за расплывания волнового пакета). Найдены (для случаев вспомогательного и физического представлений) точные выражения для волновых функций когерентных состояний, а также (с помощью многомерного метода перевала) гауссовы асимптотические оценки волновых функций для состояний, близких к классическим; квадраты модуля таких функций являются хорошо локализованными волновыми пакетами, движущимися по классическим орбитам. Рассмотрен частный случай круговых орбит.

Раздел 1.5 содержит обсуждение результатов, полученных в первой главе, и выводы.

Во второй главе диссертации развиты с-числовые методы описания систем с унитарной динамической симметрией [А1-А5, А9, АЮ]. Особое внимание уделено случаю пространств НП, имеющих большие (стремящиеся к бесконечности) размерности, который может трактоваться как квазиклассический.

С помощью аппарата бозонных подстановок, функций на фазовом пространстве и операторов П[г] проектирования на подпространства НП, формируемые в пространстве состояний п2— мерного осциллятора: |[г],Л) = П[г] |[г],Л), А 6 СЬ(п) (здесь [г] = [гь... ,г„]-числасигнатуры), в разделе 2.1 найдены дифференциальные реализации алгебры генераторов унитарной группы, позволяющие эффективным образом рассматривать вопросы квазиклассической асимптотики.

В разделе 2.2 определены и изучены КС унитарных групп. Они могут быть представлены в явном виде как множество коэффициентов разложения по векторам дискретного симметрического базиса:

здесь 3(84) - функция на множестве упорядоченных выборок = (XI,..., *() из чисел 1,2,..., п, имеющая целые положительные значения и удовлетворяющая дополнительному условию = г< (число различ-

ных функций такого вида конечно). Доказана квазиклассичность КС унитарной группы. Показано, что формализм, связанный с применением этих состояний, совпадает с одной из форм метода функций на фазовом пространстве. Для диагонального матричного элемента произвольной операторной функции (?(•) в базисе КС найдено представление

предполагается, что оператор <3 имеет вид степенного ряда, каждый член которого является упорядоченным произведением генераторов ¿у унитарной группы. В правой части (10) их место занимают дифференциальные операторы специального вида, образующие представление алгебры генераторов:

<М,{|(3,)}|[г],г.> =

(9)

<[г],и|С(4)|[г],и) = С(Еу)1 = <Г(е;-)1;

(10)

щ°+АЩ, [ё|;г,Еыг = ±'иТб}к - . (и)

Для пространств НП высокой размерности, для которых п ~ N 3> 1, каждый дифференциальный оператор имеет вид суммы двух слагаемых - "большого" с—числового ~ N и "малого" операторного ЛЁ^Г ~ 1. Это дает возможность представлять различные величины в виде асимптотических разложений по степеням ./V-1, получая в главном порядке классическое описание.

Новые с-числовые процедуры применены в разделе 2.3 для расчета статистических характеристик поля кооперативного спонтанного излучения, порождаемого //-частичным ансамблем многоуровневых молекул. При этом использовано представление пространства состояний молекул в виде прямой суммы подпространств НП унитарной группы:

(£»[1,0,...,0])^=^®У(ЛГ,[г])Дг], (12)

В классическом пределе N —> оо система молекул описывается многомерным ("унитарным") дипольным моментом, движущимся когерентно; то, что N конечно, проявляет себя при N 3> 1 как дополнительный "квантовый шум". Получены общие выражения для нормальных моментов поля сверхизлучения, которые позволяют рассчитывать характеристики когерентного и шумового вкладов в случае конечного числа молекул. Выяснено, каким образом начальная заселенность уровней молекул влияет на формирование кооперативного состояния (рассмотрены случаи когерентного возбуждения молекул из основного состояния и из смешанного состояния, описываемого распределением Гиббса).

В разделе 2.4 получено уравнение фоккер-планковского типа, описывающее кинетику спонтанного распада при N » 1. "Укороченная" версия этого уравнения, отвечающая условию ТУ —► оо и описывающая сверхизлучение в пренебрежении некогерентными процессами, сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решенных для ряда частных случаев аналитически и численно (см. рис. 1).

В разделе 2.5 показано, что если возбуждающий б—импульс почти инвертирует заселенности (тг — в — 0(ЛГ-1/2) < 1) и вследствие этого интенсивности когерентной и некогерентной составляющих кооперативного спонтанного излучения сравнимы по величине, закон распределения для некогерентной составляющей с ростом N стремится к нормальному. Этот результат интерпретирован как обобщение центральной предельной теоремы на случай, когда источником стохастичности являются квантовые флуктуации, сопровождающие процесс спонтанного распада (квантовая центральная предельная теорема).

В разделе 2.6 кратко обсуждается квазиклассическое поведение коэффициентов векторного сложения, записанных в базисе когерентных состояний.

о,—-

I в

0.5

Рис. 1. Сигналы каскадного сверхизлучения при различных условиях возбуждения на частотах переходов 3—>2и2—>1в трехуровневой системе.

Раздел 2.7 содержит обсуждение результатов, полученных во второй главе, и выводы.

Третья, четвертая и пятая главы посвящены теоретическому исследованию нелинейных радиофизических систем, в которых декогерентизация обусловлена неустойчивым характером динамики и наличием флуктуа-ций. Поле и поляризация среды считаются при этом классическими (с-числовыми) величинами; принимается, как некоторое приближение, что для учета как внешних случайных воздействий, так и проявлений квантового принципа неопределенностей, достаточно учесть флуктуации. Поскольку процесс декогерентизации в системах с неустойчивой динамикой тесно связан с динамической стохастизацией (хаотизацией) движения, в этой части диссертации широко применяются методы и понятия теории динамического хаоса.

В третьей главе рассмотрены конкретные системы и выявлены случаи, когда физически обоснованным образом может быть произведен переход от непрерывной динамики к динамике отображений [А13, А16-А20, А22-А29]. Различные проявления эффекта хаотизации изучаются численными и аналитическими методами, преимущественно в рамках динамики отображений. Важный вывод, следующий из результатов, полученных в этой главе, состоит в том, что далекие по своей природе физические явления могут быть описаны с помощью нелинейных отображений, относящихся к единому типу - отображениям с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенным отображениям Икеды).

Обзорный раздел 3.1 содержит различные сведения из нелинейной динамики [26-29], используемые далее в третьей, четвертой и пятой главах.

В разделе 3.2 сформулированы различные теоретические модели, описывающие динамику света в кольцевом резонаторе с нелинейным эле-

Рис. 2. Двумерное отображение с параметром вращения, являющимся функцией состояния, (а) Преобразование фазовой капли при однократном и двукратном действии отображения. (6) Хаотический аттрактор, порождаемый отображением.

Рис. 3. (а) Локальная канторова структура хаотического аттрактора двумерного отображения (13): кружки - аналитическое описание в нулевом и первом приближениях, точки - численные результаты. (Ь) Одномерное отображение, приближающее двумерное. Выбор начальной точки в области I, Л или III приводит к пленению траектории; вверху: А - пленения нет, В - пленение происходит.

ментом [32]. Записаны динамические уравнения, связывающие поляризацию двухуровневой среды, плотность разности заселенностей и медленно меняющиеся комплексные амплитуды электрического поля световой волны; рассмотрены случаи одноквантовых и многоквантовых переходов, а также случай вынужденного комбинационного рассеяния. В предположении о выполнении условии адиабатичности и с учетом граничных условий, путем исключения уравнений для поляризации и заселенности среды, система уравнений сведена к конечно-разностному уравнению (обобщенному отображению Икеды [32]):

£ц+1 = + к£*ехр[(1 - И)Т(|£*|) + ¿0О], (13)

связывающему значения амплитуды поля в моменты времени, образующие периодическую последовательность с периодом Т„ равным времени обхода резонатора световой волной (времени задержки): £ц = £(<о+ЛГТ3). Характерной особенностью отображений такого типа является то, что они порождают перемешивание на фазовой плоскости, ведущее к возникновению хаотических аттракторов (рис. 2). Были рассмотрены различные варианты процедуры сведения, отвечающие различным предположениям и приближениям; им соответствовали различные Т(-) в (13). К примеру. Для случая V—квантовых переходов было получено:

Т(|£„|) = -вий» 1г""7(1 + ~ -с^!2"-2. ■ (14)

Для отображений вида

глг+1 = /(глг, Фм+1 = д{гы+и£Нтн>Фк))> (15)

где е - малый параметр (такой вид приобретает, в частности, отображение (13) в полярных координатах, если к 1), развит приближенный аналитический подход, позволяющий описывать форму хаотического аттрактора, порождаемого итерационной динамикой, и сводить двумерное отображение к одномерному. Изложим кратко суть метода. Инвариантное множество отображения (13) можно искать в одной из форм

ф = Н(г) = £^/Н*(г), г = = (16)

Заметим, что если инвариантное множество системы есть "странный аттрактор", ряды в (16) нужно понимать в следующем обобщенном смысле: это бесконечные суммы членов, каждый из которых является многозначной функцией; в итоге сумма является бесконечнозначной функцией, описывающей канторову структуру аттрактора. Частичная сумма такого ряда описывает предфрактал, а добавление очередного слагаемого соответствует шагу в процедуре построения фрактального множества. Мы

ограничимся рассмотрением членов наинизшего порядка; этого обычно достаточно для интерпретации данных, полученных в эксперименте или численно. Используя представление ф = Н(г), запишем условие инвариантности в виде

S(/(r,S(r))) эв(/(г,3(г)),сЛ(г,8(г))): (17)

равенство означает, что если исходная точка принадлежит инвариантному множеству, то образ этой точки, полученный с помощью отображения (15), также принадлежит этому множеству. Подставляя в (17) функцию Е(г) в виде разложения по степеням малого параметра и приравнивая коэффициенты перед одинаковыми степенями, мы получаем цепочку уравнений для отыскания Ец(г), к = 0,1,.... В нулевом порядке (е = 0) инвариантное множество является обычной кривой, а отображение сводится к одномерному:

* = Но(г), 3o(r) = ff(r,0). (18)

Глг+J = Q{rN), eW = /(r,s(r,0)); (19)

Члены первого и второго порядка в разложении функции Н(г) имеют следующий вид:

Ei(eW) = «?(0'1)(eW,o)ft(r,H0(r)), (20)

H2(eW) = У0'2)(е(г),о)(Мг,н0(г)))2+

+ {p(1'1)(e(r),0)/(°'l'(r,Ho(r))/i(r,Ho(r))+ (21)

+ 0)Л'о,1'(г, Но(г)) — =i(e(r))/'0,1'(r, So(r))}3i(r).

Производную Hi, входящую в правую часть (21), можно найти путем дифференцирования левой и правой частей равенства (20) и решения получающегося уравнения:

2'i(e(r))=ff(1'1)(eW,0)Mr,H0(r)) + ff(°'1)(?(r),0)x (22)

х {fcW>(r,Ho(r)) + ^(r.HoM^r)}/^).

Учитывая характер зависимости правых и левых частей выражений (20), (21) от г, удобно задавать уравнения кривых, приближающих инвариантное множество (аттрактор), в параметрической форме. Приближения первого и второго порядка будут иметь вид:

г = е(г), ¿ = ВоШ) + е31(е(т)); (23)

Г = в(<?(т)),. ^ = ВоШт)))+£Н1(е(е(г)))+е2Е2(е(е«))- (24)

О» Ов * I■ ■ :

Рис. 4. Зависимость максимального показателя Ляпунова от параметра. В области I - IX точки и кружки соответствуют различным компонентам 2-компонентного аттрактора. 2-цикл, 4-цикл и хаос помечены цифрами V, VI, VII (кружки) и VIII, IV, ЯГ (точки); X - переход стационарная точка-хаос, II - окно стабильности.

Приближение (24) становится некорректным вблизи "точек поворота", совпадающих с экстремумами функции в(г), определяющей отображение (19); в этих точках д'(г) = 0 и производная (22) расходится в бесконечность. В приближениях высших порядков аналогичное поведение функций имеет место в окрестностях экстремумов итераций отображения (19) -функций е(б(г)), е(е(е(г))) и т.д. Аналитический метод описания аттрактора был применен к (13) и другим отображениям; некоторые результаты приводятся на рис. 3.

Путем численного итерирования точного двумерного и приближенного одномерного отображений, непосредственного анализа полученных данных, а также расчета значений максимального показателя Ляпунова, были изучены динамические режимы кольцевого резонатора в широком диапазоне значений параметров. В частности, были численно исследованы бифуркационные явления, связанные с перестройками многокомпонентных хаотических аттракторов и пленением фазовых траекторий (рис. 3, 4), а также предсказана возможность возникновения автоволн перехода "хаос-хаос". На основе отображения (13) построены отображения для статистических моментов частично-когерентного излучения. Численно показано, что внешний "шум" может существенным образом видоизменять характер хаотического движения (в частности, менял форму бифуркационных деревьев).

Наличие формальной аналогии между уравнениями, описывающими движение двухуровневой среды в нелинейной оптике, и уравнениями спиновой динамики (находящей отражение в том, что в обоих случаях дви-

Рис. 5. (о) Квазиодномерный хаотический ЯМР-аттрактор ("жирная линия"). (Ь) Локальная структура ЯМР-аттрактора: крестики и сплошные линии - аналитическое описание в нулевом и первом приближениях, точки - численные результаты.

жение поляризации среды можно описывать в терминах динамической группы Би(2)~80(3)) позволяет предположить, что диссипативный хаос характерен не только для оптических, но и для спиновых систем.

Раздел 3.3 посвящен изучению процесса динамической стохастизации в трехмерной модели, описывающей динамику ядерной намагниченности в магнитоупорядоченном кристалле при наличии диссипации (блоховской релаксации) и динамического сдвига частоты; предполагалось, что последний обусловлен взаимодействием ядерных спинов с электронной подсистемой (механизм Сула-Накамуры [33]). Уравнения движения ядерной подсистемы, возбуждаемой периодической последовательности РЧ-импульсов, сведены к трехмерному отображению, относящемуся к классу обобщенных отображений Икеды:

Млг+1 = е,Л/оо + Г?11,(с* + ^(е,иииМл,))ии„Млг; (25)

здесь Мл- - намагниченность в моменты времени, совпадающие с моментами включения импульсов РЧ-поля, ?? = diag(«;, к, 7) - матрица констант релаксации, иим - фиксированная матрица поворота, параметры которого определяются длительностью возбуждающего импульса и расстройкой, и 1),(-) - матрица поворота вокруг е, на угол, зависящий от координат вектора намагниченности. Показано, что преобразование фазовой капли под действием отображения (25) сопровождается ее растяжением вдоль спирали, что приводит к перемешиванию и возникновению хаотического ат-

трактора (рис. 5 (о)). Метод аналитического описания хаотических аттракторов, развитый в разделе 3.2, обобщен и распространен на случай трехмерного фазового пространства. Структура ЯМР-аттрактора, рассчитанная этим методом, представлена на рис. 5 (Ь).

К частным проявлениям автостохастизации относятся сложные автоколебания поглощаемой СВЧ мощности в ферромагнетиках и антиферромагнетиках [34]. В разделе 3.4 рассмотрен процесс рождения динамического хаоса вынужденных коллективных колебаний в системе спиновых волн, возбуждаемых методом параллельной накачки, в условиях дополнительной "медленной" модуляции продольного поля. В качестве исходных уравнений движения взяты уравнения первого порядка для числа параметрических волн пц и фазы рассогласования в к- При наличии дополнительной модуляции система является неавтономной и эквивалентна автономной системе с § степенями свободы; динамика такой системы может быть хаотической. Путем численного интегрирования уравнений движения установлены условия возникновения динамического хаоса. Кроме того, с помощью метода медленно меняющихся параметров и метода усреднения найдено двумерное отображение, относящееся к классу обобщенных отображений Икеды, которое описывает динамику спиновой системы в случае модуляции периодической последовательностью импульсов прямоугольной формы. Численные расчеты показывают, что спин-волновой хаос чувствителен к флуктуацяям. Из примера, приведенного на рис. 6, следует, что эффект шумового возмущения не может быть сведен только к размытию тонкой структуры аттрактора; в левых частях диаграмм на рис. 6, (а) и (&), области локализации фазовых точек существенно различаются. Наблюдаемые особенности бифуркационных диаграмм заставляют предположить, что при определенных условиях в фазовом пространстве динамической системы возникают сложные притягивающие области (квазиаттракторы), включающие в себя устойчивые периодические аттракторы с малыми бассейнами притяжения и седловые структуры. Движение в окрестности таких областей при наличии флуктуации обладает наиболее сложным и трудно предсказуемым характером.

При формулирования нелинейных моделей, рассмотренных в разделах 3.2, 3.3, необратимые процессы были учтены сходным образом: к правым частям соответствующих уравнений движения были добавлены (феноменологически) члены блоховской релаксации, линейные по физическим переменным. Для таких моделей имеет место простейший тип диссипативного поведения - однородное сжатие фазового объема с постоянной скоростью. В общем случае для того, чтобы нелинейная динамическая система являлась диссипативной, достаточно, чтобы фазовый объем сжимался в среднем. При этом в различные моменты времени и в

Рис. 6. Бифуркационные диаграммы, полученные путем численного итерирования двумерного отображения, описывающего динамику вынужденных коллективных колебаний в системе параметрически возбужденных волн в магнетике: (о) - без внешнего "шума", (Ь) - с "шумом".

Рис. 7. Фрагменты фазовых траекторий, описывающих хаотическую динамику намагниченности в одноосном ферромагнетике (анизотропия типа "легкая ось"). Вдоль оси анизотропии направлено (а) постоянное, либо (Ь) радиочастотное магнитное поле (в обеих случаях поля взаимно-перпендикулярны); положение вектора намагниченности задается угловыми координатами. Как и в случае аттрактора Лоренца, движение имеет характер нерегулярных колебаний.

Рис. 8. Вид хаотического аттрактора двумерного отображения в случае сильного перемешивания: (а) кольцо при к = 0.25 < (Ь) круг при к = 0.6 >

различных точках фазовой траектории он может как сжиматься, так и расширяться. Примером системы с нелинейной диссипацией является рассмотренная выше модель коллективной динамики спиновых волн. Другой пример - задача о движении однородной намагниченности в анизотропном ферромагнетике, описываемом уравнением Ландау - Лифшица - рассмотрен в разделе 3.5. Обсуждаемый случай однородной прецессии является идеализированным, т.к. не учитывает возможность неустойчивости однородного движения и перекачки энергии в неоднородные моды. Тем не менее изучение этой модели весьма полезно, поскольку дает возможность ответить на вопрос, важный с практической точки зрения: может ли в системе данного уровня сложности возникать хаотизация движения и какими могут быть ее проявления? Для случая движения намагниченности под действием радиочастотного поля, представляющего из себя последовательность прямоугольных импульсов, установлен вид динамического отображения. Путем численного интегрирования уравнения Ландау - Лифшица и итерирования динамического отображения найдены значения параметров, при которых нутация вектора намагниченности становится хаотической. Показано, что во многих случаях реализуется сценарий перехода к хаосу через последовательность удвоений периода. Также возникает аттрактор, сходный с аттрактором Лоренца: различные типы нерегулярных колебаний сменяют друг друга в случайные моменты времени (рис. 7).

Раздел 3.6 содержит обсуждение результатов, полученных в третьей главе, и выводы.

= £лг + Г{г„) = £лг + 1 + кг„А(\г„\) ехр[гЛО(|^|) + г0„]; (26)

слагаемое £у позволяет учесть вклад внешних флуктуации. Отображение Zf^+l = р^н) является несколько обобщенной формой отображения (13); порождаемое им преобразование фазовой капли изображено на рис. 2 (а).

В разделе 4.1 представлена статистическая теория для случая флуктуации, имеющих время корреляции, существенно меньшее времени запаздывания: Т3 3> тх. Аналитический аппарат основан на использовании уравнений

где (27) - уравнение Колмогорова - Чепмена, определяющее временную динамику плотности распределения (функция ■Рфя(-) описывает внешний "шум"), (29) - то же уравнение, записанное как уравнение для фурье-образов (функция Л(£7) -характеристическая функция "внешнего шума"; в случае гауссовского "шума" ЛГ(С1) = ехр(—Д|1Г|а/4)). Функция (30) может быть представлена в виде

Рлг+1(х) = ¡¡¿уагр^х-У^мг)?^),

■Фн+1(и) = ¡ОУА{и) о(У, V) !ЫП а(и, V) = (2гг)-г/«гУехр(«Ке(УУ) - гПе(Е(У)и*)},

(27)

(28)

(29)

(30)

а = а + Дсг, а (Г/, V) = (2тт [е'

•1 „-ШМ.

5т-к\Щ). (31)

Пределу сильного перемешивания соответствует предельное условие Л —у оо; хаотический аттрактор, порождаемый отображением (26), принимает в этом случае вид, изображенный на рис. 8 (ср. рис. 2 (Ь)). Показано, что в пределе сильного перемешивания можно получить хорошее приближение, производя замену а -+ а в (29), что эквивалентно замене IV IV в (27), где

К<у,г) = {№(у-1 -кгё"))фаз = (2тг[г-1|)~1 ц\г-ц-к\г\). (32)

Приближенная замена IV —► IV (превращающая детерминистическое отображение в случайное) эффективна при А 1 в присутствии "шума"; роль последнего состоит в том, что он "огрубляет" распределение и приводит к потере информации о мелкомасштабной структуре. В работе дал детальный анализ механизма "огрубления" картины движения "шумом". Рассмотрен стационарный режим, который описывается уравнением, получающимся из (27) в результате замены —> ЯСт- Найдены различные точные и приближенные выражения, описывающие стационарное (инвариантное) распределение в фазовом пространстве, соответствующее пределу сильного перемешивания (рис. 9 (а)). Приведем в качестве примера одно из результирующих выражений, справедливое при к <§; 1:

■Рст « (7гД)_1(1 - к2) ехр[-(к2 + - 1|г)(1 - к2)/В]х (33)

хЕ^с-чч^а-к2)/*]*

х 1,[к(1 - к2)\Х - 1|(а/1+2к+ \Л-2к)/Л]х

х 7,[к(1 - К2)|Х -

Здесь Я - интенсивность внешнего (гауссова) "шума"; графики зависимостей Ррр от радиальной координаты —1| для различных Я изображены на рис. 9 (Ь).

В разделе 4.2 получен ряд приближенных аналитических выражений для максимального показателя Ляпунова, соответствующих переходу к пределу сильного перемешивания. Одно из таких выражений имеет вид

Аиакс » 1п(геА) + е(к - л)'сг#/„(#) 1п(«\/77); (34)

здесь ©(•) - функция Хэвисайда, а /«■(•) - функция, описывающая радиальное распределение фазовых точек в аттракторе (рис. 8 (Ь)). Зависимость Аиакс от к, найденная с помощью этой формулы, хорошо согласуется с численными результатами (рис. 10 (о)).

В разделе 4.3 статистическая теория обобщена для случая флуктуации с произвольным временем корреляции: Та ~ тх. Для двух моделей статистики флуктуации, возмущающих хаотическое движение - гауссовского

Рис. 9. (о) Радиальное распределение фазовых точек, образующих хаотический аттрактор двумерного отображения в случае сильного перемешивания, найденное различными численными методами. (Ь) То же распределение, найденное из приближенной аналитической формулы (кривые 1-7 соответствуют различным интенсивяостям внешнего "шума").

Рис. 10. (а) Зависимость максимального показателя Ляпунова от постоянной диссипативных потерь при сильном перемешивании: точки - численные результаты, кружки и пунктир - различные аналитические формулы, сплошная линия - график функции 1п кХ. (Ь) Зависимость корреляционной функции интенсивностей, описывающей случайный процесс, порожденный хаотической динамикой в случае сильного перемешивания, от времени г и от времени корреляции внешнего "шума" тк.

марковского стационарного случайного процесса (процесса Орнштейна -Уленбека) [36] и обобщенного телеграфного марковского случайного процесса (процесса Кубо - Андерсена) [37] - найдены выражения для произвольных многоточечных характеристических и моментных функций, описывающих результирующий случайный процесс при сильном перемешивании. Случайный сигнал описывался уравнением Колмогорова - Чсп-мена

PN+l{^X.),Sn+l) = fdYdSPNaY.),to)x (35)

х п;=о^2)(хР - (р - р(Ур)) $Р, [7>+1 - г„])

для многоточечных плотностей распределения

Рн((Х,),О = Р((Хо№Т,1, Хх{ЫТ, + г,], • • • ,Хп[МТ, + г„]), (36)

являющимся обобщением уравнения (27), и следующим из (35) уравнением для фурье-образов (первые п+1 аргументов функции (36) относятся к си-гралу в различные моменты времени: 0 = то < т\ < • • • < т„ < т„+1 = Тг; последний, стоящий справа - к внешнему "шуму"; функция го(£,т], [т]) в правой части (35) - плотность вероятности перехода марковского процесса, являющегося моделью внешнего "шума"; эта функция считается заданной). Приведем в качестве примера результирующее выражение для ковариации интенсивностей сигнала

С(т) = -Ь -г)|2 |^(*)|2>ст - -ь -г)|2>ст<|^С«)12>ст- (37)

Полагая, что внешний "шум" является процессом Орнштейна - Уленбека, имеем:

= + (38)

где Л - интенсивность "шума"; С = ехР(—Г,/гк); вт = ехр(—т/тк) (0 < т < Т3); к - то же, что и в (26). График функции (38) изображен на рис. 10 (6).

В разделе 4.4 найдено стационарное решение точного конечно-разностного стохастического уравнения в форме разложения по степеням параметра, имеющего смысл меры уклонения от состояния с полным перемешиванием фазы. Дано доказательство сходимости, чем строго обосновано приближение сильного перемешивания. Сформулирована процедура перехода к недетерминистическому описанию, состоящая во введении малого случайного (гауссова) возмущения, устремляемого к пределу

Рис. 11. Трехмерный хаотический ЯМР-аттрактор: (а) - общий случай, (6) - случай сильного перемешивания.

нуль после предела сильного перемешивания. Отмечено, что эта процедура формально аналогична процедуре отбора запаздывающих решений, производимого путем введения добавок, нарушающих временную симметрию, и устремления их к нулю после термодинамического предела.

В разделе 4.5 рассмотрен хаос с сильным перемешиванием, возникав ющий при движении ядерных спинов, которое описывается трехмерным отображением (см. раздел 3.3). ЯМР-аттрактор для случая сильного перемешивания изображен на рис. 11 (6).

Раздел 4.6 содержит обсуждение результатов, полученных в четвертой главе, и выводы.

В разделе 5.1 определены интегралы по мулътифракталом от функ-

ций }(х), заданных на единичном интервале [0,1]:

f cf(x)dn(x\K,Q) = lim сп = lira а*, (39)

** Л-400 п—too

= о* = (/ (ЛИ))Л„ (40)

(условия, при которых пределы в (40) существуют и равны, установлены в разделе 5.2). Используется обозначение s„ = (sn\... , «п"') для вектора сигнатуры, имеющего компоненты s«' = ±1; суммирование в (40) ведется по множеству таких векторов. Аргумент функции и правило усреднения таковы:

W = 5 + 1(1 - «)(■». Ы«)). </(*)>* = 6-1Гх./;1/№\ (41)

здесь h„ = (1, к, к2,..., «n_1), к < 1; символом (а, Ь) обозначено скалярное произведение. Величины являются функциями от s. Считается, что имеет место условие нормировки: сг„ = а* = 1 при / = 1; в этом случае имеет место равенство 6п ' + в« ' = 26^1, для s'„ = s„_i ф (+1), s"n = Sn-i Ф (—1) (операция ф состоит в "сращивании" векторов). Величины (39) названы интегралами 1-ого рода в случае, когда выполнены условия

©if1 = ПГ-i^i0). + ^(-1) = 2, (42)

Ъщ/>(±1) = 0, ReV>(±l) > 0, (43)

и интегралами 2-ого рода, если выполнены условия (42), а хотя бы одно из условий (43) нарушено. В первом случае величины р± = |т/>(±1) могут интерпретироваться как вероятности; соответствующие мультифракталь-ные меры (порождаемые мультипликативным процессом Безиковича) рассматривались в [38]. Показано, что интегралы как 1-ого, так и 2-ого рода необходимы для описания инвариантных распределений диссипативных случайных отображений, возникающих при решении задачи о стационарном шуме в системах с запаздыванием.

В разделе 5.2 найдены условия существования интегралов обоих типов.

В разделе 5.3 рассмотрены особенности структуры фрактальных носителей при различных значениях параметра диссипации. Установлено, что процедура вычисления интегралов (39) сводится к суммированию по фрактальным множествам точек на плоскости (рис. 12 содержит изображения двух таких множеств).

В разделе 5.4 показано, что стационарные плотности распределений, возникающие в случае движения с сильным перемешиванием, выражаются через функцию Е, удовлетворяющую двухмасштабному функциональному уравнению:

фСТ(и) = (2т)-1 ехр (-г Re^) £(|tf|/e), £(u) = Jo(u)Z(ku). (44)

К =0.66

Рис. 12. Изображения фрактальных носителей для двумерного интеграла по мультифракталу.

Рис. 13. (а) Приближенное стационарное распределение, описывающее "шум", порожденный динамическим хаосом в нелинейной системе с запаздыванием. (Ь) Соответствующая вейвлетограмма (структурные элементы, отмеченные треугольниками, расположены эквидистантно, что свидетельствует о наличии самоподобия).

Рис. 14. Волновые режимы вынужденного рассеяния света. Изображены распределения разностей заселенностей при столкновении двух уединенных волн. Вправо (влево) движется область скачка, отвечающая преобразованию энергии накачки в первую (вторую) стоксову волну.

Рис. 15. Нелинейные колебания доменной стенки в ферромагнетике, рассчитанные с помощью вейвлетных разложений. Изображены зависимости скорости движения стенки от времени. Постоянное магнитное поле меняется (скачком) в моменты времени, соответствующие различным фазам нелинейных колебаний.

Обсуждается аналогия между уравнением (44) и уравнением дилации, определяющим характеристики вейвлетных функций в кратномасштаб-ном анализе [39]. Также показано, что интегралы по мультифракталам связаны с финитными сингулярными обобщенными функциями специального вида и с процедурой дробного интегрирования.

В разделе 5.5 дан краткий очерк метода визуализации самоподобных структур с помощью непрерывных вейвлетов. Обсуждается связь между вейвлетами и функциями на фазовом пространстве. Приводятся примеры применения метода вейвлетов к анализу распределений, описывающих стационарный "шум" в системе с запаздыванием (см. рис. 13).

Раздел 5.6 содержит обсуждение результатов, полученных в пятой главе, и выводы.

Шестая глава диссертации посвящена вопросам моделирования нелинейной динамики локализованных образований в когерентных средах с диссипацией, взаимодействующих с внешними полями. В рамках этой проблематики рассмотрены два частных вопроса, изучению которых были посвящены авторские работы [All, А12, А15, А42, А44].

В разделе 6.1 исследована теоретическая модель вынужденного комбинационного рассеяния в квазистатическом режиме [40], с учетом изменения разностей заселенностей молекул активной среды. Обсуждается точно решаемая модель, для которой уравнения движения могут быть сведены к уравнению Лиувилля. На основе найденных решений дано объяснение экспериментально наблюдаемому явлению насыщения вынужденного рассеяния. Установлена возможность волновых режимов вынужденного рассеяния и рассмотрены их типы (рис. 14).

В разделе 6.2 решена тестовая задачи, позволившая продемонстрировать эффективность динамической адаптивной численной схемы, основанной на использовании вейвлет-разложений [39], при моделировании движения хорошо локализованной (уединенной) волны типа "доменная стенка" (рис. 15). Полученные результаты свидетельствуют о перспективности использования самоподобных вейвлетных базисов при численном моделировании динамики нелинейных систем с распределенными параметрами.

Раздел 6.3 содержит обсуждение результатов, полученных в шестой главе, и выводы.

В заключении кратко резюмированы общие итоги работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

- Определены когерентные состояния (КС) нового типа - обобщенные гипергеометрические когерентные состояния (ОГКС), которые образуют

полный (переполненный) набор. Показано, что частными случаями ОГКС являются: полевые (глауберовские) КС, 80(2,1) КС Барута - Джирар-делло, 80(2,1) и ЗО(З) КС Переломова. Таким образом, найден естественный (не теоретико-групповой) путь расширения класса обобщенных КС Переломова, наиболее часто используемых в приложениях. Показано, что для различных подклассов ОГКС переход к классическому пределу (как математическая процедура) должен выполняться по-разному. Сделан вывод о том, что знания динамической группы квантовой системы недостач точно для правильного выбора типа КС, пригодного для установления квантово-классического соответствия.

- С помощью двустадийной процедуры, в соответствии с определенными схемами сужения на подгруппы динамической группы 0(4,2) атома водорода, образован широкий класс кваэиклассических КС атома водорода. Показано, что волновые функции КС атома водорода при значениях параметров, соответствующих близости к предельному классическому состоянию, могут быть приближены с высокой точностью с помощью гауссовых асимптотических оценок. Квадраты модуля таких функций являются хорошо локализованными гауссовыми волновыми пакетами, находящимися на классических орбитах. Сделан вывод о возможности использования КС атома водорода при описании ридберговских атомов.

- Развит формальный аппарат, позволяющий выполнять квантовоме-ханические расчеты для систем с унитарной динамической симметрией с помощью функций на фазовом пространстве. Оригинальный авторский подход состоит в использовании с—числовой формы проекторов на подпространства неприводимых представлений группы Щп). Впервые определены и изучены квазиклассические КС унитарных групп, образующие полный набор. Сделан вывод о том, что метод КС унитарных групп фактически является частным случаем метода функций на фазовом пространстве.

- Разработанный аппарат применен к описанию кооперативных состояний М"—частичного ансамбля многоуровневых молекул. Рассмотрен квазиклассический случай N ;§> 1. Получены выражения для нормальных моментов, характеризующих статистические свойства кооперативного спонтанного излучения, в виде разложений по степеням М-1. С помощью управляющего уравнения сверхизлучения, записанного в с—числовой форме, найдены зависимости статистических характеристик излучения от времени. Показано, что если возбуждающий импульс почти инвертирует заселенности, вследствие чего интенсивности когерентной и "шумовой" составляющих излучения становятся сравнимыми, закон распределения для "шума" при N —► оо стремится к нормальному (квантовая центральная предельная теорема). Кратко обсуждаются квазиклассические формы

коэффициентов Клебша - Гордана.

- Показано, что отображения с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенные отображения Икеды) образуют важный класс динамических отображений, позволяющих описывать регулярную и хаотическую динамику: световой волны в оптическом кольцевом резонаторе с нелинейной средой; электронной и ядерной намагниченности, а также параметрически возбужденных спиновых волн, в магнетиках.

- С помощью численных и полуаналитических методов получены различные результаты, касающиеся особенностей регулярного и хаотического движения в системах, описываемых отображениями типа отображения Икеды. В частности, развит приближенный аналитический подход к описанию аттракторов и метод сведения многомерного отображения к одномерному. Предсказана возможность бифуркаций "хаос-хаос" и автоволн (волн переключения) "хаос-хаос" в кольцевом резонаторе.

- Для модели замкнутой цепи с нелинейным элементом и линией задержки развит метод расчета многоточечных корреляционных функций, описывающих статистические характеристики сигнала в режиме движения с сильным перемешиванием, в предположении о произвольном соотношении между временем корреляции внешнего "шума" (который моделируется марковским случайным процессом одного из двух типов) и временем задержки. Отмечено, что режим движения с сильным перемешиванием характерен и для других систем, описываемых модельными уравнениями типа отображения Икеды.

- Стационарные решения уравнений для характеристических функций многоточечных плотностей распределения представлены в виде разложений "вблизи" состояния с полным фазовым перемешиванием. Установлены условия сходимости таких разложений. Сделан вывод о том, что, переходя к пределу сильного перемешивания, мы (в рамках единого формализма) осуществляем переход от динамического (детерминистического) описания к "огрубленному" статистическому. Отмечена важная роль малых флуктуаций, "размывающих" тонкую структуру динамического движения и обрезающих спектр.

- Обнаружены и изучены фрактальные закономерности в поведении стационарных (инвариантных) плотностей распределения, описывающих случайный сигнал в линейной и нелинейной системах с запаздыванием (рассмотрен тип нелинейности, приводящий к отображению Икеды). Определены интегралы по мультифракталу 1-го и 2-го рода и показало, что стационарные плотности распределения могут быть записаны с помощью таких интегралов. Найдены условия существования интегралов и развит формальный аппарат, связанный с их применением.

- Рассмотрены вопросы описания нелинейной динамики локализо-

ванных образований в когерентных средах. В частности, рассмотрена теоретическая модель вынужденного рассеяния света в квазистатическом режиме, учитывающая выравнивание заселенностей уровней комбинационно-активного перехода. Показало, что уравнения, описывающие преобразование энергии в стоксову волну в условиях изменения заселенностей, имеют: (i) точное решение, если пренебречь уменьшением интенсивности возбуждающей волны; (ii) решения типа уединенных волн. Объяснено экспериментально наблюдаемое явление насыщения вынужденного рассеяния. Также показано, что численные методы, основанные на использовании ортонормированных вейвлетных базисов, могут успешно применяться при моделирования динамики нелинейных локализованных образований.

АВТОРСКИЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

А1. Зверев В.В., Показаньев В.Г., Ялышев Ю.И. Метод функциональных эквивалентов в теории углового момента. // Теоретическая и математическая физика. - 1975. - Т.25. - N1. - С.97-107.

А2. Зверев В.В. Унитарная динамическая симметрия в системе сверхизлучающих молекул и классический предел. // Теоретическая и математическая физика. - 1976. - Т.29 - N3. - С.401-410.

A3. Зверев В.В. Дифференциальные уравнения спиновой динамики и асимптотическое разложение квантовых средних вблизи классического предела III. // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1977. -N4. - С.142-148.

А4. Зверев В.В. К расчету равновесных средних в системе молекул, взаимодействующих с полем излучения. // Теоретическая и математическая физика. - 1977. - Т.32 - N3. - С.410-415.

А5. Зверев В.В. Теоретико-групповой подход к задачам импульсной спектроскопии. // Тезисы к докладу на X Уральском совещании по спектроскопии. Свердловск, 1980.

А6. Зверев В.В. Применение метода функциональных эквивалентов к системам, обладающим динамической симметрией. I. // Депонировано в ВИНИТИ, per. N5350-80. Реферат в журн. "Изв. вузов. Физика." -1981.- N2.

А7. Зверев В.В. Применение метода функциональных эквивалентов к системам, обладающим динамической симметрией. II. // Депонировано в ВИНИТИ, per. N5354-80, Реферат в журн. "Изв. вузов. Физика." -1981.- N2.

А8. Зверев В.В., Рубинштейн Б.Я. Когерентные состояния атома водорода. Ц Краткие сообщения по физике. ФИАН.- 1982,- N11. - С.3-6.

А9. Зверев В.В. Метод расчета статистических характеристик поля сеерхизлучения, порождаемого ансамблем многоуровневых молекул. И Оптика и спектроскопия. - 1983. - Т.54 - N5. - С.733-736.

А10. Зверев В.В. Управляющее уравнение сеерхизлучения для системы многоуровневых молекул. // Оптика и спектроскопия. - 1983. - Т.54 - N6.

- С.987-992.

АН. Окладников Н.В., Зверев В.В., Бреховских Г.Л., Соколовская А.И. Насыщение интенсивности ВКР в квазистационарном режиме. // Квантовая электроника. - 1984. - Т.Н. - N6. - С.1105-1112.

А12. Зверев В.В., Рубинштейн В.Я. Особенности динамики насыщения ВКР в квазистационарном режиме. // Тезисы к докладу на III Всесоюзны симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии. Харьков, 1984. - С.86.

А13. Зверев В.В., Рубинштейн Б.Я. Оптическая мулътистабилъ-ностъ, обусловленная бифуркациями хаоса в системе с запаздывающей обратной связью. // Тезисы к докладу на III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии. Харьков, 1984. - С.85.

А14. Зверев В.В., Рубинштейн Б.Я. Бозонная реализация динамической симметрии и когерентные состояния атома водорода. // Депонировано в ВИНИТИ, N2125-85. Реферат N37 в сб. "Депонированные научные работы". - 1985. - N7.

А15. Brekhovskikh G.L., Zverev V.V., Okladnikov N.Y., Sokolovskaia A.I. The energy saturation of the stimulated Raman scattering in quasi-stationary regime and phase conjugation. // Optics communications.- 1985.- V.53. - N1.

- P.59.

A16. Зверев В.В. О периодической и хаотической автомодуляции излучения в кольцевом резонаторе с нелинейной средой, возбуждаемой частично когерентным сигналом. // Оптика и спектроскопия. - 1986. -Т.61. - N1. - С.141-143.

А17. Зверев В.В., Рубинштейн В.Я. О мультистабильности, обусловленной перестройками хаоса, в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом. // Оптика и спектроскопия. - 1987. - Т.62. - N4. - С.872-877.

А18. Зверев В.В., Рубинштейн Б.Я. Хаотическая автомодуляция излучения в кольцевом резонаторе. Случай сильного перемешивания. // Оптика и спектроскопия. - 1988. - Т.65. - N4,- С.971-978.

А19. Зверев В.В., Рубинштейн Б.Я. А втостохастичность и преобразование флуктуаций в простой нелинейной системе с запаздыванием. // Препринт ИФМ УрО АН СССР, Свердловск, 1989. - 22с.

А20. Зверев В.В., Рубинштейн Б.Я. Автостохастичностъ и преобразование флуктуаций излучения в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом. // Оптика и спектроскопия. - 1991. - Т.70. - N6. - С.1305-

А21. Zverev V.V., Rubinstein B.Ya. Chaotic oscillations and noise transformations in a simple dissipative system with delayed feedback. // Journal of Statistical Physics. - 1991. - V63. - N.l/2. - P.221-239.

A22. Борисов А.Б., Филиппов Б.Н., Зверев B.B., Рубинштейн Б.Я. Хаотическая динамика в ферромагнитном резонансе. // Тезисы к докладу на XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений. Ташкент, 1991. - С.182.

А23. Зверев В.В. О динамической стохастизации движения ядерной намагниченности в ферромагнетике при наличии релаксации. // Тезисы к докладу на XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений. Ташкент, 1991. - С.191.

А24. Borisov А.В., Filippov B.N., Zverev V.V., Rubinstein B.Ya. On the magnetization chaotic dynamics in the ferromagnetic resonance region. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1992. - V.110. - P.202-208.

A25. Зверев B.B. О возникновении хаотического аттрактора при движении ядерных спинов в ферромагнетике. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1993. - Т.1. - N1/2. - С.72-82.

А26. Zverev V.V. Stationary chaotic motion in nonlinear NMR in ferro-magnets. // Extended abstracts of the XXVII"1 Congress AMPERE "Magnetic resonance and related phenomena". Kazan, 1994. - V.l. - P.278-279.

A27. Safonov V.L., Zverev V.V. Chaotic dynamics of parametrically excited spin waves. // Extended abstracts of the XXVTI"1 Congress Ampere "Magnetic resonance and related phenomena". Kazan, 1994. - V.l.- P.259-260.

A28. Зверев B.B., Сафонов B.JI. Динамический хаос коллективных колебаний в магнетиках. // Физика твердого тела. - 1994. - Т.Зб. - N7.-С.1939-1949.

А29. Safonov V.L., Zverev V.V. Chaos in a system of parametric spin waves under modulation of their spectrum. // Abstracts of International Conference of Magnetism. Poland, 1994. - P.348.

A30. Зверев B.B. Фрактальная структура инвариантных распределений диссипативных случайных отображений. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1995. - Т.З. - N4.- С.62-72.

А31. Зверев В.В. Об условиях существования интегралов по фрактальным носителям. // Теоретическая и математическая физика. - 1996. - Т. 107. - N1. - С.3-11.

А32. Zverev V.V. Chaos an transformations of stochastic processes in nonlinear systems with intensity depenent phase rotations. // Proceedings of International conference on nonlinearity, bifurcation and chaos: The doors to the future. Poland, 1996. - P.260-263.

A33. Zverev V.V. Modelling of chaos and noise conversion in magnetic

systems by means of maps with nonlinear rotations. // Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics, V.13. / Non-linear Electromagnetic Systems, Eds. V.Kose, J.Sievert. IOS Press, 1998. - P.139-142.

A34. Zverev V.V. Analytical descriptions of nonlinear noisy maps by asymptotic expansions with respect to the mixing parameter. // Abstracts of XX"1 IUPAP International conference on statistical physics. Unesco, Paris, 1998. - P.33. - T1446:P005/109.

A35. Zverev V.V. On the fractal domain integrals associated with invariant random processes of noisy dissipative maps. // Abstracts of XXiA IUPAP International conference on statistical physics. Unesco, Paris, 1998. - P.33. -T1445:P005/110.

A36. Zverev V.V. Semiclassical description of quantum systems by means of hypergeometric coherent states. // Abstracts of Euro-Asian symposium "Trends in magnetism", Ekaterinburg, 2001. - P.345.

A37. Zverev V.V. The fractal domain intergals associated with noisy dissipative maps. // Abstracts of 6th International school on chaotic oscillations and pattern formation. Saratov, 2001. - P.47.

A38. Zverev V.V. Semiclassical description of nonlinear quantum systems by means of hypergeometric coherent states. // Abstracts of 6"1 International school on chaotic oscillations and pattern formation. Saratov, 2001. - P.48.

A39. Зверев B.B., Залазинский А.Г., Новожонов В.И., Поляков А.П. Применение вейвлетного анализа для идентификации структурно-неоднородных деформируемых материалов. // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т.42. - N2. - С.199-207.

А40. Зверев В.В. Когерентные состояния и хаотическая динамика квантовых систем. // Тезисы к докладу на XXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка-2002". Екатеринбург-Пермь-Кунгур, 2002. - С.207-208.

А41. Zverev V.V. Generalized hypergeometric coherent states and semi-classical wave packets for the Hydrogen atom. // Abstracts of International congress of theoretical physics (TH-2002). Unesco, Paris, 2002.

A42. Akhmadullin R.N., Filippov B.N., Vaziev E.M., Zverev V.V. Numerical simulations of the domain walls motion in magnetics based on pseudo-wavelet schemes. // Abstracts of V International congress on mathematical modeling (V ICMM). Dubna, 2002.

A43. Zverev V.V. Noise transformation in nonlinear system with intensity dependent phase rotation. // Stochastics and Dynamics. - 2003. - V.3. - N4. -P.421-433. (nlin. CD/0211014)

A44. Ахмадуллин P.H., Вазиев Э.М., Зверев B.B., Филиппов Б.Н. Численное моделирование движения доменных стенок в магнетиках на основе вейвлетных алгоритмов. // Физика металлов и металловедение.

- 2003. - Т.96. - N3. - С.255-263.

А45. Zverev V.V., Rubinstein B.Ya. Dynamical symmetries and well-localized hydrogenic wave packets. // Proc. of Institute of mathematics of NAN of Ukraine. Kiev, 2004. - V.50. - Part 2. - P.1018-1023. (quant-ph./0310103)

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Коэн-Таннуджи K.H. Управление атомами с помощью фотонов (нобелевская лекция). // УФН. 1999. - Т.169. - N3. - С.292-304.

2. Баргатин И.В., Гришанин Б.А., Задков В.Н. Запутанные квантовые состояния квантовых систем. // УФН. 2001. - Т.171. - N6. - С.625-647.

3. De Voe R.G., Brewer R.G. Observation of superradiant and subradiant spontaneous emission of two trapped ions. // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.76.

- P.2049-2052.

4. Beige A., Huelga S.F., Knight P.L., Plenio M.B., Thompson R.C. Coherent manipulation of two dipole-dipole interacting ions. // J. Mod. Optics. 2000. - V.47. - P.401-414.

5. Bargatin I.V., Grishanin B.A., and Zadkov V.N. Analysis of radiatively stable entanglement in a system of two dipole-interacting three-level atoms. // Phys. Rev. A. 2000. - V.61. - 052305 - 7 p.

6. Chudnovsky E.M., Garanin D.A. Superradiance from crystals of molecular nanomagnets. // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.89. - P.157202.

7. Domokos P., Raimond J.M., Brune M., Haroche S. Simple cavity-QED two-bit universal quantum logic gate: the principle and expected performances. // Phys. Rev. A. 1995. - V.52. - P.3554-3559.

8. Jones J.A. NMR quantum computation: a critical evaluation. //Fortschr. Phys. 2000. - V.48. - P.909-924.

9. Фейгельман M.B., Рязанов B.B., Тимофеев В.Б. Квантовая ме-зоскопика: современное состояние. // УФН. 2001. - Т.171. - N10. -С.1099-1115.

10. Braades Т. Coherent and collective quantum optical effects in meso-scopic systems. // Phys. Rep. 2005. - V.408. - P.315-474.

11. Китаев А., Шень А., Вялый M. Классические u квантовые вычисления. - M.: МЦНМО, 1999. - 192 с.

12. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

- 320 с.

13. Клышко Д.Н. Основные проблемы квантовой физики с операциональной точки зрения. // УФН. 1998. - Т.168. - N4. - С.975-1015.

14. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. Модели и феноменология. - М.: Физматлит, 2001. - 232 с.

15. Звеэдин А.К., Костюченко В.В., Платонов В.В., Плис В.И., Попов А.И., Селемир В.Д., Таценко О.М. Магнитные молекулярные кано-клаетеры в сильных магнитных полях. // УФН. 2002. - Т.172. - N11. -С.1303-1306.

16. Мессиа А. Квантовая механика. 4.1. - М.: Наука, 1978. - 480 с.

17. Татарский В.И. Вигнеровское представление квантовой механики. И УФН. 1983. - Т.139. - N4. - С.587-619.

18. Аронсон Э.В., Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии в квантовой теории. Ц ЭЧАЯ. 1974. - Т.5. - В.1. - С.120-171.

19. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

20. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применение. - М.: Наука, 1987. - 272 с.

21. Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория унитарной симметрии. -М.: Наука, 1970. - 400 с.

22. Малкин И.А., Манько В.И. Симметрия атома водорода. // Ядерная физика. 1966. - Т.З. - С.372-382.

23. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation processes. // Phys. Rev. 1954. - V.93. - P.99-110.

24. Arecchi F.T., Courtens E., Gilmore R., Thomas H. Atomic coherent states in quantum optics. // Phys. Rev. A. 1973. - V.6. - P.2211-2237.

25. Махвиладэе T.M., Шелепин JI.A. Теоретико-групповой анализ когерентных свойств некоторых физических систем (спонтанное излучение, модулированные пучки). Ц Труды ФИАН. 1970. - Т.70. - С.120-146.

26. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука, 1987. - 424 с.

27. Шустер Г. Детерминированный хаос. - М.: Мир, 1988. - 240 с.

28. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. // Под ред. B.C. Анищенко. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 368 с.

29. Рабинович М.И., Трубецкой Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. -560 с.

30. Dorfman J.R. An introduction to chaos in nonequilibrium statistical mechanics. - Cambridge: Cambridge university press, 1999. - 297 p.

31. Agarwal G.S., Wolf E. Calculus for functions of noncommuting operators and general phase-space method in quantum mechanics. I. Mapping theorems and ordering of functions of noncommuting operators. // Phys. Rev. D.

1970. - V.2. - Р.2161-2186.

32. Ikeda К. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system // Opt. Commun. 1979. - V.30. - P.257-261.

33. ТУров E.A., Петров М.П. Ядерный магнитный резонанс в ферро- и антиферромагнетиках. - М.: Наука, 1969. - 260 с.

34. Захаров В.Е., Львов B.C., Старобинец С.С. Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения. // УФН. 1974. - Т.114. - N4. - С.605-654.

35. МоносовЯ.А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. -M.i Наука,

1971. - 376 с.

36. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. - М.: Мир, 1987. - 400 с.

37. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях. - Новосибирск: Наука, 1983. - 160 с.

38. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 260 с.

39. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 464 с.

40. Ахманов С.А., Коротеев Н.И. Методы нелинейной оптики в спектроскопии рассеянного света. - М.: Наука, 1981. - 544 с.

Подписано в печать 20.01.06. Тираж 100 экз. Заказ 5 Ризография НИЧ УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, Мира 19

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Зверев, Владимир Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБОБЩЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ ЭЛЕКТРОНА В РИДБЕРГОВСКОМ АТОМЕ

1.1 Формулировки квантовой механики, использующие коммутативные функции.

1.1.1 Бозонные подстановки для алгебр некоммутирующих операторов.

1.1.2 Обобщенное представление Вейля и метод фазового пространства.

1.1.3 Метод когерентных состояний.

1.2 Обобщенные гипергеометрические когерентные состояния.

1.2.1 Определение и общие свойства состояний.

1.2.2 Процедуры перехода к классическому пределу. Квазиклассические состояния.

1.3 Структура динамической алгебры атома водорода. Бозонные подстановки и представление фазового пространства.

1.3.1 Алгебраический подход к проблеме спектра связанных состояний. Вспомогательное представление.

1.3.2 Бозонные подстановки и схемы сужения на подгруппу. . . 69 1.3 3 Асимптотические разложения функций на фазовом пространстве в случае больших квантовых чисел.

1.4 Точные и квазиклассические выражения для волновых пакетов, соответствующих когерентным состояниям атома водорода. . 78 1.4.1 Схемы построения когерентных состояний.

1.4.2 Квазиклассические локализованные волновые пакеты. . 83 1 5 Обсуждение результатов и выводы.

ГЛАВА 2. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ УНИТАРНЫХ ГРУПП. УНИТАРНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ В СИСТЕМЕ МНО

ГОУРОВНЕВЫХ МОЛЕКУЛ И ПРОБЛЕМА СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ.

2.1 Бозонные подстановки и метод фазового пространства в теории унитарных групп.

2.1.1 Представление фазового пространства для операторных функций и проекционных операторов.

2 1.2 Дифференциальные реализации алгебры генераторов и асимптотические разложения "в окрестности" классического состояния.

2.2 Когерентные состояния унитарных групп.

2 3 Расчет статистических характеристик поля сверхизлучения.

2.3.1 Взаимодействие ансамбля многоуровневых молекул с излучением. Обобщенная модель Дике.

2.3.2 Сверхизлучение при нулевой температуре.

2.3 3 Функция спектральной кратности. Температурная зависимость сигналов сверхизлучения.

2 4 Управляющее уравнение сверхизлучения многоуровневых молекул.

2 5 Квантовая центральная предельная теорема.

2.6 Коэффициенты векторного сложения в базисе когерентных состояний.

2.7 Обсуждение результатов и выводы.

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПАРАМЕТРОМ ВРАЩЕНИЯ, ЯВЛЯЮЩИМСЯ ФУНКЦИЕЙ СОСТОЯНИЯ. ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ИКЕДЫ. 140 3.1 Уравнения нелинейной динамики и динамические отображения.

Типы динамических режимов и методы их описания.

3 2 Кольцевой резонатор с нелинейным элементом, возбуждаемый когерентным светом.

3 2.1 Вывод уравнений движения. Двумерное динамическое отображение.

3.2.2 Аналитические формулы для описания хаотического аттрактора. Сведение двумерного отображения к одномерному.

3 2 3 Численный анализ нелинейной динамики. Мультистабиль-ность, связанная с перестройками хаотического аттрактора, и хаотические автоволны.

3.2.4 Влияние "шума" на режимы когерентного движения.

3 3 Нелинейная динамика ядерных спинов в ферромагнетике.

3 3.1 Вывод уравнений движения. Трехмерное динамическое отображение и хаотическии аттрактор.

3 3 2 Аналитическое описание фрактальной структуры аттрактора

3.4 Нелинейная динамика коллективных колебаний в системе параметрически возбужденных волн в магнетиках.

3.4 1 Описание физической системы. Модель с непрерывным временем.

3.4.2 Двумерное динамическое отображение.

3 4.3 Результаты численного моделирования.

3 5 Нелинейная динамика намагниченности в одноосном ферромагнетике.

3.5.1 Уравнения движения. Двумерное динамическое отображение на сфере.

3.5.2 Численный анализ нелинейной динамики.

3 б Обсуждение результатов и выводы.

ГЛАВА 4. ХАОС И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ: ПРЕДЕЛ СИЛЬНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ.

4 1 Стохастическое конечно-разностное уравнение. Предел сильного перемешивания.

4.2 Аналитическое выражение для максимального показателя Ляпунова в состоянии с полным фазовым перемешиванием.

4 3 Метод расчета многоточечных корреляционных функций в пределе сильного перемешивания.

4.4 Стационарное решение стохастического уравнения в форме разложения "вблизи" состояния с полным перемешиванием фазы. . . 237 4.4.1 Построение формального разложения.

4 4 2 Доказательство сходимости. Обсуждение роли "быстрых" флуктуаций.

4 5 Хаос с сильным перемешиванием в системе, описываемой трехмерным отображением.

4.6 Обсуждение результатов и выводы.

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР, АССОЦИИРОВАННЫХ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ И ПРОЦЕССАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА.

5 1 Инвариантные распределения диссипативных случайных отображений и интегралы по мультифракталам.

5.1.1 Определение интеграла по мультифракталу.

5.1.2 Преобразование смеси дихотомического и гауссова "шума" линейнои системой.

5.1.3 Преобразование гауссова "шума" системой, описываемой отображением Икеды.

5.2 Условия сходимости интегралов по мультифракталам.

5 2.1 Интегралы 1-го рода.

5.2.2 Интегралы 2-го рода.

5.2.3 Пример расходящегося интеграла второго рода от равномерно непрерывной функции.

5.3 Структура носителя при различных коэффициентах сжатия.

5.4 Масштабирующее уравнение. Интегралы по мультифракталам и обобщенные функции.

5.5 Визуализация фрактальной структуры с помощью вейвлетов.

5.6 Обсуждение результатов и выводы.

ГЛАВА 6. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ДИССИПАТИВНЫЕ РЕЖИМЫ В КОМБИНАЦИОННО-АКТИВНЫХ СРЕДАХ. МОДЕЛИРОВАНИЕ

ДИНАМИКИ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СТРУКТУР С ПОМОЩЬЮ ДИ

НАМИЧЕСКИ АДАПТИВНОЙ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ.

6.1 Вынужденное комбинационное рассеяние света в квазистатическом режиме.

6.1.1 Вывод квазистатических уравнений движения, учитывающих динамику заселенностей. Эффект насыщения интенсивности.

6.1.2 Нелинейно-волновые образования при вынужденном рассеянии света.

6.2 Адаптивная численная схема для моделирования динамики локализованных структур на основе вейвлетных разложений.

6.2.1 Представление функции и операторов в вейвлет - пространстве.

6 2.2 Описание численной процедуры.

6.2.3 Моделирование динамики доменной стенки.

6 3 Обсуждение результатов и выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Формирование и разрушение фазовой когерентности в нелинейных резонансных средах при регулярных и хаотических колебаниях"

Актуальность работы. Уровень развития микро- и нанотехнологии, достигнутый в настоящее время, делает возможным создание элементов электроники, функционирующих по законам квантовой микрофизики. В частности, проектируются и разрабатываются устройства, позволяющие формировать, преобразовывать и диагностировать квантовые состояния микрообъектов, осуществляя тем самым элементарные действия, требуемые для выполнения вычислении и передачи информации [1-10]. Уже существуют экспериментальные установки, дающие возможность управлять квантовыми состояниями одиночных атомов (ионов), удерживаемых в радиочастотных ловушках, и запутанными состояниями [2] атомных (ионных) цепочек; формировать кооперативные сверхизлучающие состояния и состояния с подавленным спонтанным распадом в атомных ансамблях [3-5] и молекулярных кристаллах [6]; создавать когерентные состояния ридберговских атомов [7] и высокоспиновых нанокластеров [6, 8]. Обсуждаются методы управления состояниями твердотельных мезоскопических систем (квантовых точек, нанокластеров и других наноструктур) [9, 10].

Фактором, стимулирующим усилия, направленные на дальнейшее развитие этого направления в наноэлектронике, стали результаты теоретических исследований в области квантовых вычислений, свидетельствующие о высокой эффективности квантовых алгоритмов в сравнении с классическими [11-13]. Для создания реальных устройств, осуществляющих квантовые вычисления, необходимо, однако, не только решить ряд трудных технологических проблем, но и достигнуть более глубокого понимания фундаментальных положений квантовой теории, и прежде всего - теории измерений. В центре внимания оказывается проблема корректного описания реальных измерении и учета механизмов декогерентизации, приводящих к изменению "измеряемого" квантового состояния вследствие взаимодеиствия с "измерительным прибором" [14-17].

Задача об измерении квантового состояния в строгой постановке требует описания квантовой временной динамики двух взаимодействующих подсистем - объекта измерения Q, являющегося системой с небольшим числом степеней свободы, и системы С, играющей роль "измерительного прибора" - с переходом к классическому пределу для состояний системы С. Данная модель обладает большой общностью и применима во всех случаях, когда исследуется поведение микрообъектов и физическая информация переносится с квантового уровня на классический (макро) уровень. Возможная неоднозначность конечного результата теоретического анализа, основанного на использовании этой модели, может быть связана с выбором способа установления квантово-классического соответствия. По этой причине не теряет актуальности задача разработки расчетых методов для описания квантовой когерентного динамики, позволяющих осуществлять переход к классическому описанию. Особый интерес представляют методы, пригодные для описания мезоскопических систем, занимающих как бы промежуточное положение между классическими макросистемами и квантовыми микросистемами (одиночных высоковозбужденных атомов [1, 7]; макромолекул и нанокластеров [6,18], включающих в себя сравнительно небольшое число атомов, и др.).

Наиболее известные квазиклассическио методы, вошедшие в учебную литературу метод ВКБ [19], метод функции Вигнера [20], метод полевых когерентных состояний [21] - не решают проблему исчерпывающим образом. Более глубокое понимание закономерностей квантово-классического соответствия достигается в работах, посвященных исследованию динамических симметрий и построению обобщенных когерентных состояний [22-24], где показано наличие глубокой связи между типом алгебры наблюдаемых (динамической алгебры) и характером квазиклассического поведения. Алгебраический подход к анализу квантовых систем позволил получить ряд важных результатов, среди которых: классификация адронов по мультиплетам групп SU(3) и SU(6) [25], описание атома водорода на языке представлений группы 0(4,2) [26], введение обобщенных когерентных состояний в пространствах представлений различных динамических групп [23-24], описание явления кооперативного спонтанного излучения (сверхизлучения) с помощью когерентных состояний групп SU(2) [27, 28] и SU(n) [29, А2], и др. Его применение к системам со сложной иерархической структурой алгебры наблюдаемых (с включением в рассмотрение вопросов формирования режима когерентной динамики в микро- и мезоскопических системах, декогерентизации и квантово-классического соответствия) можно отнести к актуальным и перспективным теоретическим подходам в физике наносистем и наноэлектронных устройств.

Протекание процесса декогерентизации в нелинейных квантовых системах, находящихся в состояниях, близких к состояниям классического движения, существенным образом зависит от характера когерентной динамики. В том случае, если движение в классическом пределе является сильно неустойчивым, происходит экспоненциальное нарастание флуктуаций, ведущее к быстрой потере когерентности. Моделируя динамику квантовой системы, находящейся в состоянии, близком к классическому, динамикой некоторой классической системы, возмущенной флуктуациями, можно воспользоваться методами теории динамического хаоса. Хаотизация движения в системах с детерминистическим движением в настоящее время изучена достаточно полно и глубоко [30-35]. Описание явления динамического хаоса в системах, для которых (вследствие классических флуктуации или квантового принципа неопределенности) само понятие фазовой траектории не имеет смысла, является, однако, несравненно более трудной задачей. В то же время следует отметить, что учет факторов любой природы, нарушающих детерминистичность движения, имеет принципиально важное значение, поскольку в системах с экспоненциальной неустойчивостью никакие возмущающие воздействия не могут считаться пренебрежимо малыми. Эта задача фактически эквивалентна задаче о преобразовании стохастического процесса нелинейной системой в самой общей постановке. Теория, описывающая общие закономерности таких преобразований, в настоящее время отсутствует. Традиционно в центре внимания находятся вопросы динамического обоснования статистической механики [36]. Результаты, полученные в этой области, и различные результаты для частных модельных систем не исчерпывают, однако, проблемы, оставляя широкое поле для дальнейших исследований.

В последние десятилетия компьютерные методы заняли ведущее положение среди различных методов изучения нелинейных явлений. Стремление к повышению эффективности исследований (проводимых обычно в условиях дефицита вычислительных ресурсов) породило методологию, в соответствии с которой всестороннему анализу подвергаются специально отобранные "базовыо модели", обладающие относительной простотой и при этом верно отражающие основные особенности реальных физических систем. Наибольшей ценностью обладают модели, анализ которых хотя бы частично может быть выполнен посредством аналитических методов. Формулирование таких моделей, а также выявление присущих им общих черт и поиск универсальных закономерностей - важные этапы работы, отвечающие современному подходу, при котором научно-исследовательская деятельность направлена на решение конкретных инженерно-конструкторских задач.

Сформулированные цели приводят к задачам, которые тесно связаны друг с другом, являясь различными аспектами единой актуальной проблемы формирования когерентности и декогерентизации при взаимодействии излучения с веществом. В частности, вывод о гауссовом характере квантовых флук-туаций играет фундаментальную роль при рассмотрении вопроса о пределе сильного перемешивания. Нелинейные системы, рассматриваемые в диссертационной работе, относятся к единому классу систем, в которых временные изменения происходят как обычные или обобщенные вращения (групповые преобразования). Таким образом, одна из целей, преследуемых в работе, состоит в разработке новых методов аналитического описания и численного анализа нелинейной динамики физических моделей, специфичных для спинтроники и оптроники.

- Предложена конструктивная процедура, которая позволяет вводить различные полные наборы квазиклассических когерентных состояний атома водорода, соответствующие определенным схемам сужения на подгруппу динами-ческои группы, путем осуществления последовательности групповых преобразований (обобщенных "вращений") основного состояния или преобразований более общего типа Дана корректная формулировка правила перехода к классическому пределу. Найдены гауссовы асимптотические аппроксимации для волновых функций когерентных состояний, близких к классическим состояниям.

- Впервые определены и изучены когерентные состояния унитарных групп, получаемые посредством унитарных "вращений". С их помощью развит формальный аппарат, позволяющий при квантовомеханическом описании N-частичного ансамбля многоуровневых молекул переходить к "классическому" пределу jV -» оо и строить разложения по N'1 при jV 1. Даны теоретико-групповая интерпретация и статистическое описание процесса спонтанного распада кооперативных состояний, ассоциированного с нелинейной релаксацией классического многомерного ("унитарного") дипольного момента. Показано, что при N 1 статистика квантовых флуктуаций является гауссовой.

- Обнаружены и изучены фрактальные закономерности в структуре стационарных (инвариантных) плотностей распределения, описывающих стохастический процесс в системе с запаздыванием и нелинейностью Икеды. Установлено, что плотности распределения могут быть представлены с помощью мультифрактальных интегралов. Показано, что наличие фрактальных и скей-линговых закономерностей в строении вероятностных распределений находит отражение в том, что характеристические функции удовлетворяют масштабирующему уравнению.

- Определены мультифрактальные интегралы 1-го и 2-го рода. Найдены условия их существования. Установлено наличие связи между интегралами по мультифракталам, обобщенными функциями специального вида и интегралами дробной кратности.

- Рассмотрена уточненная теоретическая модель вынужденного рассеяния света в кв&зистатическом режиме, в которой учтено выравнивание заселенностей уровней активной среды. Найдено точное решение нелинейных уравнений, позволившее объяснить явление насыщения вынужденного рассеяния, наблюдаемое экспериментально.

- Реализована динамическая адаптивная численная схема, основанная на использовании вейвлет-разложении, которая обеспечивает высокую эффективность при численном моделировании динамики хорошо локализованных объектов в нелинейных средах.

Практическая значимость работы. Различные формулировки квантовой механики, основанные на использовании с-числовых функций на фазовом пространстве (метод функций Вигнера, метод полевых и обобщенных когерентных состояний), находят широкое применение при рассмотрении вопросов квантово-классического соответствия. Новые типы когерентных состоянии, введенные в диссертационной работе, позволяют существенно расширить сферу практического применения этих методов. Создан вычислительный аппарат, базирующийся на применении асимптотических методов в теории представлений групп, который дает возможность находить физические величины в виде разложений по параметру близости к классическому состоянию (учет квантовых "поправок" в наинизшем порядке ведет к представлению о классическом движениии, возмущенном квантовыми флуктуациями). Область применения новых расчетных методов - это физика электронных устройств, основанных на использовании высоковозбужденных атомов и когерентно возбуждаемых сред. Данный подход может быть также распространен на другие ме-зоскопические наносистемы, и прежде всего на те из них, которые допускают теоретико-групповую трактовку.

Теоретические модели нелинейных систем с неустойчивым движением, рассмотренные в диссертационной работе (кольцевой резонатор, электронная и ядерная намагниченность в магнетиках), имеют реальные прототипы в спин-тронике и оптронике. Такие методы теоретического анализа, как переход к рассмотрению динамики отображений, аналитическое описание аттрактора, приближение многомерного аттрактора одномерным, анализ фрактальных свойств вероятностных распределений, являются практически полезными средствами интерпретации экспериментальных данных, обеспечивающими возможность количественного описания и качественного понимания наблюдаемых явлений. Из сделанных оценок следует, что режим сильного перемешивания, возмущенный флуктуациями, может наблюдаться в эксперименте; некоторые результаты такого эксперимента позволяет предсказать развитая в работе статистическая теория.

Краткий обзор содержания диссертации. В первой главе (авторские работы [А6-А8, А14, А36, А38, А40, А41, А45]) сформулированы общие принципы построения квазиклассических когерентных состояний и реализация подхода в случае атома водорода - системы с известной динамической симметрией, являющейся к тому же точно решаемой моделью атомной физики. Раздел 1.1 является обзорным и содержит сведения, относящиеся к методу бозонных подстановок [37], методу функций на фазовом пространстве [38, 39] и методу когерентных состояний [21, 23, 24], которые используются в первой и второй главах. В разделе 1.2 определены обобщенные гипергеометрические когерентные состояния, образующие класс квазиклассических состоянии, включающии состояния Переломова, Барута-Джирарделло [24] как подклассы. Подробно рассмотрены предельные процедуры, соответствующие переходу к классическому пределу, и асимптотические формы представления состояний, близких к классическим. В разделе 1.3 описана структура динамической алгебры атома водорода [26] и сформулированы процедуры введения функций на фазовом пространстве, базирующиеся на бозонных подстановки. Для случая больших значений квантовых чисел найдены различные асимптотические формулы. В разделе 1.4 определен широкий класс когерентных состояний атома водорода, отвечающих различным схемам сужения на подгруппы ди-намическои группы. Когерентность движения проявляет себя как определенность положения плоскости эллиптической орбиты электрона, ориентации осей эллипса, положения электрона на орбите (когерентность в последнем смысле теряется со временем из-за расплывания волнового пакета). Найдены точные выражения для волновых функций когерентных состояний, а также гауссовы асимптотические оценки волновых функций для состояний, близких к классическим. Квадраты модуля таких функций являются хорошо локализованными волновыми пакетами, движущимися по классическим орбитам.

Во второй главе диссертации развиты с-числовые методы описания систем с унитарной динамической симметрией [А1-А5, А9, АЮ]. Особо обсуждается случай неприводимых пространств, имеющих большие (стремящиеся к бесконечности) размерности, который может трактоваться как квазиклассический. С помощью аппарата бозонных подстановок [37], функций на фазовом пространстве [38, 39] и операторов проектирования на неприводимые подпространства состояний в разделе 2.1 найдены дифференциальные реализации алгебры генераторов унитарной группы, позволяющие эффективным образом рассматривать вопросы квазиклассической асимптотики. В разделе 2.2 определены и изучены когерентные состояния унитарных групп. Показано, что формализм, связанный с применением этих состояний, совпадает с одной из форм метода функций на фазовом пространстве. Новые с-числовые процедуры применены в разделе 2.3 для расчета статистических характеристик поля кооперативного спонтанного излучения, порождаемого ./V-частичным ансамблем многоуровневых молекул. Эта система в классическом пределе N оо описывается многомерным ("унитарным") дипольным моментом, движущимся когерентно; то, что N конечно, проявляет себя при N 1 как дополнительный "квантовый шум". Кинетика спонтанного распада при N > 1 описывается уравнением фоккер-планковского типа, полученным в разделе 2.4. Для начального состояния молекул, близкого к полной инверсии заселенностей, в разделе 2.5 показано, что "квантовый шум" имеет нормальное распределение (квантовая центральная предельная теорема). Квазиклассическое поведение коэффициентов векторного сложения, записанных в базисе когерентных состояний, кратко обсуждаются в разделе 2.6.

Третья, четвертая и пятая главы посвящены теоретическому исследованию нелинейных радиофизических систем, в которых декогерентизация обусловлена неустойчивым характером динамики и наличием флуктуаций. Поле и поляризация среды считаются при этом классическими (с-числовыми) величинами; принимается, как некоторое приближение, что для учета проявлений квантового принципа неопределенностей достаточно учесть флуктуации. Поскольку процесс декогерентизации в системах с неустойчивой динамикой тесно связан с динамической стохастизацисй (хаотизацией) движения, в этой части диссертации широко применяются методы и понятия теории динамического хаоса.

В третьей главе рассмотрены конкретные системы и выявлены случаи, когда физически обоснованным образом может быть произведен переход от непрерывной динамики к динамике отбражений [А13, А16-А20, А22-А29]. Различные проявления эффекта хаотизации изучаются численными и аналитическими методами, преимущественно в рамках динамики отображений. Обзорный раздел 3.1 содержит различные сведения из нелинейной динамики [30-35], используемые далее в третьей, четвертой и пятой главах. В разделе 3.2 сформулированы теоретические модели, описывающие динамику света в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом [40], отвечающие различным предположениям и приближениям; найдены соответствующие динамические отображения. Развит приближенный аналитический подход, позволяющий описывать форму хаотического аттрактора и сводить отображение к одномерному. Численно исследованы бифуркационные явления, связанные с перестройками многокомпонентных хаотических аттракторов, и предсказана возможность возникновения автоволны перехода "хаос-хаос". Показано, что внешний "шум" может существенным образом изменять характер хаотического движения. В разделе 3.3 рассматривается хаотизация пространственного движения ядерной намагниченности в магнитоупорядоченном кристалле [41]; предполагается наличие блоховской релаксации и динамического сдвига частоты, порожденного сул-накамуровским взаимодействие. Далее, в разделе 3.4, обсуждается простая модель, описывающая хаотизацию коллективных колебаний в системе параметрически возбужденных спиновых волн в магнетиках [42]. Важный вывод, следующий из результатов, полученных в разделах 3.2-4, состоит в том, что динамические отображения, описывающие далекие по своей природе физические явления, относятся к единому классу нелинейных отображений - отображениям с параметром вращения, зависящим от состояния (обобщенным отображениям Икеды). Выбирая одно из таких отображений в качестве "базовой модели", мы разовьем на его основе статистическую теорию хаоса в системе с флукту-ациями (главы 4,5). В разделе 3.5 изучается динамика однородной намагниченности в анизотропном ферромагнетике, описываемая уравнением Ландау - Лифшица [43]. В такой системе диссипация является нелинейной; соответствующее динамическое отображение, не входящее в класс отображений типа Икеды, представляет из себя их дальнейшее обобщение Путем выполнения численного анализа установлены некоторые бифуркационные процессы, ведущие к хаотизации движения; в частности, найдены условия реализации сценария Фейгенбаума.

Типичный фазовый портрет нелинейной системы с диссипацией, отвечающий хаотическому режиму движения, является сложным структурным образованием, состоящим из самоподобных аттракторов (репеллеров), устойчивых и неустойчивых периодических (квазипериодических) траекторий и других элементов. Малые флуктуации превращают детерминистический процесс в случайный и "размывают" тонкую структуру самоподобных множеств; при этом основные черты турбулентного движения, наблюдаемые на макроуровне, могут оставаться неизменными. Численное моделирование, однако, показывает, что при определенных условиях случайное возмущение способно полностью разрушить сложную структуру хаоса, порождая движение, допускающее простое статистическое описание. Такое поведение характерно для систем с сильным (быстрым) перемешиванием; к ним, в частности, относятся отображения типа Икеды при некоторых значениях управляющих параметров. В четвертой главе, посвященной изучению режима движения с сильным перемешиванием, рассмотрена (в качестве "базовой модели") простая система с запаздывающей обратной связью, описываемая отображением Икеды [А18-А21, А23, А25, А32-А34, А43]. В разделе 4.1 представлена статистическая теория для случая флуктуаций, имеющих время корелляции, существенно меньшее времени запаздывания. Дан детальный анализ механизма "огрубления" картины движения "шумом". Найдены различные выражения, описывающие стационарное (инвариантное) распределение в фазовом пространстве, соответствующее пределу сильного перемешивания. В разделе 4.2 получено аналитическое выражение для максимального показателя Ляпунова при сильном перемешивании. В разделе 4.3 статистическая теория обобщена для случая флуктуаций с произвольным временем корреляции. Для двух моделей статистики флуктуаций, возмущающих хаотическое движение - гауссовского марковского стационарного случайного процесса (процесса Орнштейна - Уленбека) [44] и обобщенного телеграфного марковского случайного процесса (процесса Кубо - Андерсена) [45] - найдены выражения для произвольных многоточечных характеристических и моментных функций, описывающих результирующий случайный процесс при сильном перемешивании. В разделе 4.4 найдено стационарное решение точного конечно-разностного стохастического уравнения в форме разложения по степеням параметра, имеющего смысл меры уклонения от состояния с полным перемешиванием фазы. Дано доказательство сходимости, чем строго обосновано приближение сильного перемешивания. Сформулирована процедура перехода к недетерминистическому описанию, состоящая во введении малого случайного (гауссова) возмущения с амплитудой, устремляемой к нулю после предела сильного перемешивания. Отмечено, что эта процедура формально аналогична процедуре отбора запаздывающих решений, производимого путем введения добавок, нарушающих временную симметрию, и устремления их к нулю после термодинамического предела В разделе 4.5 рассмотрен хаос с сильным перемешиванием, возникающий при движении ядерных спинов, которое описывается трехмерным отображением (см. раздел 3.3).

При движении с сильным перемешиванием фрактальная структура хаотического аттрактора оказывается разрушенной. Тем не менее обнаруживается, что стационарные плотности распределения, возникающие в этом случае, некоторым образом связаны с распределениями на фрактальных носителях - муль-тифракталами [46]. Механизм формирования самоподобных структур, реализующийся в данной ситуации, коренным образом отличается от того, который ответственен за фрактальную структуру хаотических аттракторов. Будучи никак не связанным с деформациями типа отображения Смеила и гомокли-ническими структурами, он обусловлен исключительно наличием диссипации и запаздывания. Фрактальные объекты нового типа и методы их описания изучены в пятой главе [АЗО, А31, А35, А37, А39]. В разделе 5.1 определены интегралы по мультифракталам и выявлена их связь с инвариантными распределениямии диссипативных случайных отображений. Показана необходимость выхода за пределы обычного класса вероятностных мультифракталь-ных мер; в связи с этим определены мультифрактальные интегралы 1-го и 2-го рода. В разделе 5.2 найдены условия существования интегралов обоих типов. В разделе 5.3 рассмотрены особенности структуры фрактальных носителей при различных значениях параметра диссипации. В разделе 5.4 показано, что стационарные плотности распределений, возникающие в случае движения с сильным перемешиванием, удовлетворяют двухмасштабному разностному уравнению (уравнению дилации). Последнее аналогично уравнению, вводимому в кратномасштабном (вейвлетном) анализе [47]. Также показано, что интегралы по мультифракталам связаны с финитными сингулярными обобщенными функциями специального вида и с процедурой дробного интегрирования. В разделе 5.5 обсуждаются вопросы визуализации фрактальной структуры с помощью веивлетограмм.

Шестая глава диссертации посвящена вопросам моделирования нелинейной динамики локализованных образований в когерентных средах с диссипацией, взаимодействующих с внешними полями [All, А12, А15, А42, А44]. В разделе 6.1 представлена теория вынужденного комбинационного рассеяния в квазистатическом режиме [48], учитывающая изменение разностей заселенно-стей уровней молекул. Рассмотрен метод решения уравнений движения с помощью линеаризующей замены переменных, а также решения в виде уединенных волн, получаемые с помощью автомодельной замены. В разделе 6.2 сформулирована динамическая адаптивная численная схема, основанная на использовании вейвлет-разложений [47] и позволяющая осуществлять компьютерное моделирование динамики уединенных (локализованных) объектов. Приведены результаты решения тестовой задачи, свидетельствующие об эффективности данного метода.

Апробация работы. Основные материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, совещаниях, школах и семинарах: X Уральском совещании по спектроскопии (Свердловск, 1980); II Семинаре по математическим методам в нелинейной оптике (Красноярск, 1983); III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии (Харьков, 1984); I Всесоюзном семинаре "Сильные оптические нелинейности" (МГУ, Москва, 1988); II и III Всесоюзных и IV Международной школах "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (Саратов, 1988, 1991, 1994); XX Всесоюзном семинаре по спиновым волнам (Ленинград, 1990); XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений (Ташкент, 1991); XXVII Конгрессе AMPERE "Магнитный резонанс и связанные с ним явления" (Казань, 1994); Международной конференции по магнетизму ЮМ (Польша, Варшава, 1994); Семинаре "Синергетика" (МГУ, Москва, 1995); Международной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах" (Москва-Суздаль, 1995); Международной конференции по нелинейности, бифуркациям и хаосу: Двери в будущее (Польша, Лодзь, 1996); VIII Международном симпозиуме по нелинейным электромагнитным системам (Германия, Брауншвейг, 1997); XX Международной конференции IUPAP по статистической физике STATPHYS 20 (Франция, Париж, 1998); Международном Евро-Азиатском симпозиуме по магнетизму EASTMAG-2001 (Екатеринбург, 2001); VI Международной школе по хаотическим осцилляциям и структурообразованию (Саратов, 2001); XXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Екатеринбург-Пермь-Кунгур, 2002); Международной конференции по теоретической физике (ТН-2002) (Франция, Париж, 2002); V Международном конгрессе по математическому моделированию (V ICMM) (Дубна, 2002); V международной конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (Украина, Киев, 2003); семинарах в Физическом институте РАН (Москва), Институте физики АН Украины (Киев), Казанском физико-техническом институте РАН (Казань), Московском государственном университете (Москва), Институте радиотехники и электроники РАН (Москва), Институте физики металлов УрО РАН (Екатеринбург).

Достоверность результатов, полученных в диссертационнои работе, обеспечивается использованием твердо установленных физических уравнений, строгим обоснованием математических процедур, используемых при их решении, сравнением результатов, полученных аналитическими и численными методами, анализом предельных случаев и асимптотик.

Личный вклад автора. Часть результатов вошла в кандидатскую диссертацию Б. Я. Рубинштейна, научными руководителями которой являлись автор данной диссертационной работы и В. В. Дякин. Работы, посвященные динамическим явлениям при вынужденном рассеянии света, были выполнены совместно с группой сотрудников Оптической лаборатории Физического института РАН (рук. группы А. И. Соколовская); автором диссертации создана теоретическая модель, объяснившая явление насыщения. Компьютерная программа на базе вейвлет-алгоритмов была реализована и протестирована студентами УГТУ-УПИ Р. Н. Ахмадуллиным, Э. М. Вазиевым, работавшими под руководством автора. Во всех работах, выполненных в соавторстве, автор участвовал в постановке задач, проводил теоретические и численные расчеты, обсуждал и излагал результаты исследований.

Работа выполнялась в Уральском государственном техническом университете (УПИ), при частичной поддержке грантами РФФИ (93-02-2011 и 97-0226727) и грантом Конкурсного центра фундаментального естествознания при СПбГУ (95-0-8 3-14).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка из 394 наименований Полный текст диссертации составляет 349 страниц, включая 53 рисунка и 3 таблицы.

Заключение диссертации по теме "Физическая электроника"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Успех всякого теоретического исследования обеспечивается наличием математического аппарата, дающего возможность сформулировать адекватную модель изучаемого явления По этой причине усилия, направленные на разработку формальных подходов и привлечение новых математических идей, являются важной и практически полезной составляющей научных исследований. В результате этой деятельности расширяется круг задач, поддающихся анализу, а также происходит развитие понятийного аппарата (в недавнем прошлом именно таким образом возникли представления о солитонах, хаотических аттракторах, диссипативных структурах и проч ).

Методы квантовой теории возмущений, использующие малость энергии взаимодействия подсистем и представление о переходах между собственноэнерге-тическими состояниями, отвечают слабовозбужденным системам, допуская их описание в линеином приближении, либо с учетом некоторых частных типов не-линейностей Для описания нелинейной динамики сильновозбужденных систем, обусловленной многоквантовыми процессами, оказались более пригодными различные полу- и квазиклассические подходы Вследствие этого не теряет актуальности вопрос о том, как классическое описание получается из квантового. Исследования в этой области имеют многолетнюю историю (метод ВКБ и локализованные волновые пакеты, впервые изучавшиеся Шредингером [19], функция Вигнера [20, 65], полевые КС [68-70], обобщенные КС [23, 24, 28, 98, 99]); связь между различными формализмами и современное сосюяние проблемы обсуждаются в первой и второй главах настоящей работы. В разное время эти исследования были сфокусированы на различных актуальных направлениях, среди которых особое место занимает нелинейная оптика; в настоящее время к перспективным направления можно отнесги квантовую теорию наносистем.

Результаты, полученные в первой и второй главах диссертации, вносят определенный вклад в исследования, посвященные вопросам квантовоклассического соответствия, и в развихие соо1ветствующих формализмов. На основе теоретико-группового подхода для двух модельных систем - атома водорода (динамическая группа SO(4,2)) и ансамбля многоуровневых молекул (динамическая группа U(n)) - определены обобщенные КС и развит расчетный аппарат, использующии метод функции на фазовом ирос1ранстве С помощью операций, не сводящихся к групповым преобразованиям, построены обобщенные гипергеометрические КС. Рассмотрены различные математические реализации процедуры перехода к классическому пределу. Для фазовых функций, представляющих операторы наблюдаемых, найден способ получения разложений "в окрестности" предельного классического состояния. С помощью асимптотических методов (типа метода перевала) показано, что "неклассичности" в наинизшем порядка отвечает нормальный (гауссов) "квантовый шум". Расчетные методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы в теории сверхизлучения, а также при теоретическом изучении динамики рид-берговских атомов и квантовых наносистем. Метод построения КС атома водорода, учитывающий структуру цепочек сужения на подгруппу динамической группы, может быть адаптирован и распространен на другие системы с динамической симметрией.

В уравнениях (полу)классической теории (фактически являющихся уравнениями для квантовых средних) эффекты квантовых флуктуации обычно не учитываются, что вполне оправдано при изучении регулярных и устойчивых режимов движения. В системах с неустойчивым движением происходит усиление флуктуаций, так что результаты, получающиеся в рамках детерминистической и стохастической моделей, могут существенно различаться. Задача учета квантовых флуктуации является частным случаем общей задачи описания стохастической динамики в системах с неустойчивым движением.

Третья, четвертая и пятая главы диссертационной работы посвящены этой проблеме. В третьей главе рассмотрены различные радиофизические модели, описываемые конечно-разностными уравнениями, имеющими вид отображений с нелинеиными вращениями (обобщенных отображений Икеды). Охватывая весьма широкий круг радиофизических явлении, эти модели в то же время достаточно просты и допускают глубокий теоретический анализ. В четвертой главе показано, что при определенных значениях параметров, соответствующих пределу сильного перемешивания, хаотическое движение в рассматриваемых системах допускает простую (татистическую ишернрсчацию Развит формальный аппарат, позволяющий описывать хаотическую динамику в пределе и "в окрестности" предела сильного перемешивания Показано, что при сильном перемешивании сколь угодно малое флуктуационное возмущение превращает детерминистическую динамику в случайный процесс, описываемый в приближении "случайных фаз". В пятой главе диссертации определены интегралы по фрактальным носителям и проанализирована фрактальная структура вероятностных распределении, описывающих движение с сильным перемешивание. Полученные результаты, имея непосредственное практическое применение, могут в то же время рассматриваться как определенный вклад в обоснование статистической физики (уместна параллель с работами, посвященными вопросам эргодичности движения и детерминистической диффузии в системах классической механики - в частности, в газе Лоренца [36, 273-289]).

Методы, позволяющие описывать системы с сосредоточенными параметрами, могут быть распространены на распределенные системы, если ограничиваться рассмотрением объектов, состояния которых задаются конечным числом переменных К таким объектам относятся, в частности, нелинейные волны (включая автоволны) и пространственно-локализованные структуры. Значительный интерес представляют точно решаемые модели (в особенности в случае диссипативных сред, когда общие подходы типа метода обратной задачи неприменимы) Наличие пространственной локализации позволяет также рационализировать расчетные схемы при численном моделировании.

В шестой главе показано, что уравнения, описывающие BP света в квазистатическом режиме в условиях изменения заселенностей молекулярных уровней, могут быть сведены к точно решаемым, а также имеют решения в виде уединенных волн. Здесь же рассмотрен метод численного моделирования динамики локализованного объекта, основанный на применении метода вейвлет-разложений.

В заключение автор выражает глубокую признательность А.Б. Борисову, Б.Н. Филиппову, В.Л. Сафонову, А.И. Соколовской, и в особенности Б.Я. Рубинштейну, за плодотворное сотрудничество, помощь и поддержку.

СПИСОК АВТОРСКИХ ПУБЛИКАЦИЙ.

А1. Зверев В.В., Показаньев В Г., Ялышев Ю.И. Метод функциональных эквивалентов в теории углового момента // Теоретическая и математическая физика. - 1975. - Т.25. - N1. - С.97-107.

А2. Зверев В.В. Унитарная динамическая симметрия в системе сверхизлу-чающих молекул и классический предел // Теоретическая и математическая физика. - 1976. - Т.29 - N3. - С 401-410.

А4. Зверев В.В. К расчету равновесных средних в системе молекул, взаимодействующих с полем излучения // Теоретическая и математическая физика. - 1977. - Т.32 - N3. - С 410-415

А5. Зверев В.В. Теоретико-групповой подход к задачам импульсной спектроскопии // Тезисы к докладу на X Уральс ком с овещании но спектроскопии. Свердловск, 1980.

А6. Зверев В.В. Применение метода функциональных эквивалентов к системам, обладающим динамической симметрией I. // Депонировано в ВИНИТИ, per N5350-80. Реферат в журн. "Изв вузов. Физика." - 1981.- N2.

А7. Зверев В.В. Применение метода функциональных эквивалентов к системам, обладающим динамической симметрией II. // Депонировано в ВИНИТИ, per. N5354-80. Реферат в журн. "Изв. вузов. Физика." - 1981.- N2.

А8. Зверев В.В., Рубинштейн Б.Я Когерентные состояния атома водорода. // Краткие сообщения по физике ФИАН - 1982 - N11. - С 3-6

А9. Зверев В.В. Метод расчета статистических характеристик поля сверхизлучения, порождаемого ансамблем многоуровневых молекул. // Оптика и спектроскопия. - 1983 - Т.54 - N5. - С.733-736.

А10. Зверев В.В. Управляющее уравнение сверхизлучеиия для системы многоуровневых молекул // Оптика и спектроскопия - 1983. - Т.54 - N6. -С.987-992.

All. Окладников Н.В., Зверев ВВ, Бреховских ГЛ, Соколовская А.И. Насыщение интенсивности ВКР в квазистационарном режиме // Квантовая электроника - 1984. - Т.П. - NG - С.1105-1112.

А12. Зверев В.В , Рубинштейн Б Я Особенности динамики насыщения ВКР в квазистационарном режиме // Тезисы к докладу на III Всесоюзнм симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии. Харьков, 1984. - С.86.

А13. Зверев В В , Рубинштейн Б Я. Оптическая мультистпабильность, обусловленная бифуркациями хаоса в системе с запаздывающей обратной связью. // Тезисы к докладу на III Всесоюзном симпозиуме по световому эхо и когерентной спектроскопии. Харьков, 1984 - С.85

А14. Зверев В.В., Рубинштейн Б Я. Возонная реализация динамической симметрии и когерентные состояния атома водорода // Депонировано в ВИНИТИ, N2125-85 Реферат N37 в сб "Депонированные научные работы". -1985. - N7.

А15. Brekhovskikh G.L., Zverev V V., Okladnikov N.Y., Sokolovskaia A.I. The energy saturation of the stimulated Raman scattering m quasi-stationary regime and phase conjugation. // Optics communications - 1985 - V 53 - N1. - P.59.

A16. Зверев В В О периодической и хаотической автомодуляции излучения в кольцевом резонаторе с нелинейной средой, возбуждаемой частично когерентным сигналом // Оптика и спектроскопия. - 198G. -Т.61. - N1. -С.141-143.

А17 Зверев В.В , Рубинштейн Б.Я. О мультистабильностпи, обусловленной перестройками хаоса, в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом. // Оптика и спектроскопия. - 1987 - Т 62. - N4 - С 872-877.

А18. Зверев В В , Рубинштейн Б Я Хаотическая автомодуляция излучения в кольцевом резонаторе. Случай сильного перемешивания. // Оптика и спектроскопия. - 1988. - Т.65. - N4 - С.971-978

А19 Зверев В В , Рубинштейн Б Я Автостохастичность и преобразование флуктуаций в простой нелинейной системе с запаздыванием // Препринт ИФМ УрО АН СССР, Свердловск, 1989 - 22с.

А20. Зверев В.В., Рубинштейн Б Я. Автостохастичность и преобразование флуктуаций излучения в кольцевом резонаторе с нелинейным элементом.

11 Оптика и спектроскопия - 1991 - Т 70 - N6. - С 1305-1311

А21. Zverev V.V., Rubinstein В Ya. Chaotic oscillations and noise transformations m a simple dissipative systt m with delayed feedback // Journal of Statistical Physics - 1991. - V63 - N.l/2. - P 221-239

A22. Борисов А Б , Филиппов Б.Н., Зверев В.В , Рубинштейн Б Я Хаотическая динамика в ферромагнитном резонансе. // Тезисы к докладу на XIX Всесоюзной конференции по физике магии:пых явлений. Ташкент, 1991. -С.182

А23. Зверев В В О динамической стохастизации движения ядерной намагниченности в ферромагнетике при наличии релаксации, j j Тезисы к докладу на XIX Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений. Ташкент, 1991. - С 191

А24 Borisov А В , Filippov В N., Zverev V.V , Rubinstein В Ya On the magnetization chaotic dynamics in the ferromagnetic resonance region // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1992. - V.110 - P.202-208.

A25. Зверев В.В. О возникновении хаотического аттрактора при движении ядерных спинов в ферромагнетике. // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика - 1993. - Т.1. - N1/2. - С 72-82

А26. Zverev V.V. Stationary chaotic motion in nonlinear N MR in ferromagnets. // Extended abstracts of the XXVIl"1 Congress AMPERE "Magnetic resonance and related phenomena". Kazan, 1994. - V.l. - P.278-279.

A27. Safonov V.L., Zverev V.V. Chaotic dynamics of parametrically excited spin waves, j j Extended abstracts of the XXVII"1 Congress Ampere "Magnetic resonance and related phenomena". Kazan, 1991 - V 1 - P259-260

A28. Зверев В.В , Сафонов В JI. Динамический хаос коллективных колебаний в магнетиках. // Физика твердого тела - 1994. - Т.36. - N7.- С. 1939-1949.

А29. Safonov V.L, Zverev V.V. Chaos in a system of parametric spin waves under modulation of their spectrum j j Abstracts of International Conference of Magnetism. Poland, 1994. - P 348

A30. Зверев В.В. Фрактальная структура инвариантных распределений диссипативных случайных отображений. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1995. - Т.З - N4 - С 62-72

А31. Зверев В.В. Об условиях существования интегралов по фрактальным носителям, j j Теоретическая и математическая физика. - 1996. - Т. 107. - N1.

- С 3-11.

А32. Zverev V.V Chaos an transformations of stochastic processes in nonlinear stjstems with intensity depenent phase rotations // Proceedings of International conference on nonlineanty, bifurcation and chaos. The doors to the future Poland, 1996 - P.260-263.

A33. Zverev V.V. Modelling of chaos and noise conversion in magnetic systems by means of maps with nonlinear rotations. // Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics, V.13. / Non-linear Electromagnetic Systems, Eds V.Kose, J.Sievert. IOS Press, 1998 - P 139-142

A34. Zverev V.V. Analytical descriptions of nonlinear noisy maps by asymptotic expansions with respect to the mixing parameter. // Abstracts of XXt/l IU-PAP International conference on statistical physics Unesco, Pans, 1998 - P.33. -T1446-P005/109.

A35. Zverev V.V. On the fractal domain integrals associated with invariant random processes of noisy dissipative maps. // Abstracts of XXth IUPAP International conference on statistical physics. Unesco, Paris, 1998 - РЗЗ. -T1445-.P005/110.

A36. Zverev V.V. Semiclassical description of quantum systems by means of hypergeometric coherent states. // Abstracts of Euro-Asian symposium "Trends in magnetism". Ekaterinburg, 2001. - P345

A37. Zverev V.V. The fractal domain mtergals associated with noisy dissipative maps II Abstracts of 6"' International school on chaotic oscillations and pattern formation. Saratov, 2001. - P.47.

A38. Zverev V.V. Semiclassical description of nonlinear quantum systems by means of hypergeometric coherent state a // Abstracts of 6th International school on chaotic oscillations and pattern formation Saratov, 2001. - P48.

A39. Зверев В.В., Залазинский А.Г , Новожонов В.И., Поляков А.П. Применение вейвлетного анализа для идентификации структурно-неоднородных деформируемых материалов. // Прикладная механика и техническая физика.

- 2001. - Т.42. - N2. - С 199-207.

А41. Zverev V.V. Generalized hypergtomelric coherent stales and semiclassical wave packets for the Hydrogen atom. // Abstracts of International congress of theoretical physics (TH-2002). Unesco, Paris, 2002

A42 Akhmadullin R N., Fihppov В N., Vaziev E.M., Zverev V.V. Numerical simulations of the domain walls motion in magnetics based on pseudo-wavelet schemes. // Abstracts of V International congress on mathematical modeling (V ICMM) Dubna, 2002

A43. Zverev V.V. Noise transformation m nonlinear system with intensity dependent phase rotation. // Stochastics and Dynamics - 2003 - V 3. - N4 -P.421-433. (nlin. CD/0211014)

A44. Ахмадуллин P.H., Вазиев Э.М., Зверев В.В., Филиппов Б Н Численное моделирование движения доменных стенок в магнетиках на основе вейвлет-ных алгоритмов. // Физика металлов и металловедение - 2003 - Т.96. - N3. -С.255-263.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Зверев, Владимир Владимирович, Екатеринбург

1. Коэн-Таннуджи К.Н. Управление атомами с помощью фотонов (нобелевская лекция). // УФН. 1999. Т.1С9 - N3 - С 292-304.

2. Баргатин И В., Гришанин Б А , Задков В Н. Запутанные квантовые состояния квантовых систем. // УФН 2001 Т.171 - N6. - С 625-647.

3. De Voe R.G., Brewer R.G. Observation of superradiant and subradiant spontaneous emission of two trapped ions. // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. -P.2049-2052

4. Beige A., Huelga S.F., Knight P L , Plenio M В , Thompson R.C. Coherent manipulation of two dipole-dipole interacting ions // Л Mod Optirb 2000 V.47.- P401-414.

5. Bargatin I V , Gri&hanin В A., and Zadkov V.N. Analysis of radiatively stable entanglement in a system of two dipole-mteracting three-level atoms // Phys. Rev. A. 2000. V.61. - 052305 - 7 p

6. Chudnovbky E M., Garanin D A Superradiance from crystals of molecular nanomagnets. 11 Phyb Rev. Lett. 2002 V.89 - P.157202.

7. Doinokos P., Raimond J.M., Brune M , Haroche S Simple cavity-QED two-bit universal quantum logic gate: the principle and expected performances. // Phys. Rev. A. 1995. V.52. - P.3554-3559.

8. Jones J A. NMR quantum computation a critical evaluation //Fortschr. Phys. 2000. V 48 - P.909-924

9. Фейгельман M В., Рязанов В.В., Тимофеев В Б Квантовая мезоскопика-современное состояние. // УФН. 2001. Т.171. - N10. - С.1099-1115.

10. Brandes Т. Coherent and collective quantum optical effects in mesoscopic systems. // Phys. Rep. 2005. V.408. - P 315-474.

11. Китаев А., Шень А., Вялый M. Классические и квантовые вычисленья.- М.: МЦНМО, 1999. 192 с.

12. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. - 320 с.

13. Стин Э. Квантовые вычисления Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000 - 112 с

14. Клышко Д.Н Основные проблемы квантовой физики с операциональной точки зрения // УФН 1998. Т.168 - N4 - С.975-1015

15. Килин С.Я. Квантовая информация // УФН. 1999 Т.169. - N5. -С.507-526.

16. Менский М.Б Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов. // УФН. 2000. Т.170. -N6. - С.631-648.

17. Менскии М Б Квантовые измерения и д( когеренция Модели и феноменология. М.: Физматлит, 2001 - 232 (

18. Звездин А.К., Костюченко В В , Платонов В В., Плис В И , Попов А.И., Селемир В Д , Таценко О.М. Магнитные молекулярные нанокластеры в сильных магнитных полях // УФН. 2002 Т.172. - N11. - С.1303-1306.

19. Мессиа А. Квантовая механика 4.1. М. Наука, 1978. - 480 с.

20. Татарский В.И. Вигнеровское представление квантовой механики. // УФН. 1983. Т.139. - N4. - С 587-619.

21. Клышко Д.Н. Физические основы квантовой электроники. М.: Наука, 1986. - 296 с.

22. Аронсон Э.Б., Малкин И.А , Манько В.И. Динамические симметрии в квантовой теории. // ЭЧАЯ. 1974. Т 5 - В.1. - С 120-171.

23. Малкин И.А , Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М. Haji<a, 1979 - 320 с

24. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применение. М.: Наука, 1987. - 272 с.

25. Румер Ю.Б., Фет А И Теория унитарной симметрии М.: Наука, 1970. - 400 с

26. Малкин И.А., Манько В.И. Симметрия атома водорода // Ядерная физика. 1966. Т.З. - С.372-382.

27. Dicke R.H. Coherence in spontaneous radiation processes. // Phys. Rev. 1954. V.93. - P.99-110

28. Arecchi F.T., Courtens E., Gilmore R., Thomas H. Atomic coherent states in quantum optics. // Phys. Rev. A 1973 V 6 - P.2211-2237

29. Махвиладзе Т.М., Шелепин JI.A Теоретико-групповой анализ когерентных свойств некоторых физических систем (спонтанное излучение, модулированные пучки). // Труды ФИАН 1970 Т.70 - С.120-146.

30. Заславский Г.М. Стохастпичностъ динамических систем М.: Наука, 1984 - 271 с.

31. Лихтенберг А , Либерман М Регулярная и стохастическая динамика.- М. Мир, 1984. 528 с.

32. Неймарк Ю И , Ланда П С. Стохастические и хаотические колебания.- М : Наука, 1987. 424 с

33. Шустер Г. Детерминированный хаос М. Мир, 1988. - 240 с.

34. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е , Астахов В В Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем Фундаментальные основы и избранные проблемы. // Под ред В С. Анищенко Саратов Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 368 с.

35. Рабинович М.И , Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаохическая динамика", 2000 560 с.

36. Dorfman J.R An introduction to chaos in nonequilibrium statistical mechanics. Cambridge. Cambridge university press, 1999 - 297 p

37. Биденхарн JI, Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. М.: Мир, 1984. - Т.1 - 302 е.; Т.2 - 343 с

38. Agarwal G S , Wolf Е Calculus for functions of noncommuting operators and general phase-space method in quantum mechanic ■> I. Mapping theorems and ordering of functions of noncommuting operators // Phys Rev. D. 1970. V.2. -P.2161-2186.

39. Agarwal G.S , Wolf E. Calculus for functions of noncommuting operators and ejeneral phase-space method m quantum mechanics II. Quantum mechanics in phase space. // Phys. Rev. D 1970. V.2 - P.2187-2205

40. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system // Opt Comrnun 1979 V 30 - P 257-261.

41. Туров E.A., Петров М.П. Ядерный магнигпныи резонанс в ферро- и антиферромагнетиках М.: Наука, 1969 - 260 с.

42. Захаров В.Е., Львов В С., Старобинец С.С. Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения // УФН 1974. Т.114. -N4. - С.605-654

43. Моносов Я.А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. М.: Наука, 1971. - 376 с.

44. Хорстхемке В , Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. - 400 с.

45. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях. Новосибирск: Наука, 1983 - 160 с.

46. Федер Е. Фракталы М.: Мир, 1991 - 260 с

47. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 464 с.

48. Ахманов С.А., Коротеев Н.И. Методы нелинейной оптики в спектроскопии рассеянного света М . Наука, 1981. - 544 с

49. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика М.- Наука, 1986. -495 с.

50. Bargmann V. Irreducible unitary representeitions of the Lorentz ejroup. // Ann. of Math. 1947. V.48 - P.568-640

51. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я Интегральная геометрияи связанные с ней вопросы теории представлении М. Физматгиз, 1962. -263 с.

52. Мишель Л , Шааф М Симметрия в квантовой фишке, // Сб. статей, сер. "Новости фундаментальной физики", вып. 3 / Пер с англ. под ред. Смородинского Я.Г. М : Мир, 1974. - 250 с

53. Schwinger J. On the angular momentum // Quantum theory of angular momentum. / Eds. Biedenharn L.C., van Dam H. N Y.: Academic Press, 1965, -P. 229.

54. Bargmann V., Moshinsky M. Group theory of harmonic oscillators. I. The collective modes. // Nucl Phys. 1960. V 18. - P.697-712.

55. Bargmann V., Moshinsky M Group theory of harmonic oscillators. II. The integral of motion for the qtiadrupole-quadrupole interaction. //Nucl. Phys. 1961.- V.23. P. 177-199

56. Moshinsky M Wiejner coefficients feir the SIJ(H) ejroup and some appliceitions. // Rev. Mod. Phys. 1962 V.34. - P.813-828

57. Moshinsky M Beises for irreducible representations of the unitary group. // J. Math Phys 1962 V.4 - P.1128-1139

58. Bargmann V. On the representation of the rotation gremp. // Rev. Mod. Phys 1962 V.34. - P 829-845

59. Желобенко Д.П. Лекции по теории групп Ли. // Труды ОИЯИ. Дубна, 1965. - 344 с.

60. Желобенко Д П Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970. -664 с.

61. Желобенко Д П , Штерн А И. Представления групп Ли М.: Наука, 1983. - 360 с.

62. Барут А., Рончка Р. Теория предетавлений групп и ее приложения -М.: Мир, 1980. Т1. - 455 с. ; Т2. - 395 с.

63. Lohe М A., Hurst С.A. Relation between the boson calculus and Zhelobenko's method. // J. Math. Phys 1973. V.14 - P.1955-1958

64. Мойел Дж. Квантовая механика как статистическая теория. // Вопросы причинности в квантовой механике М. Изд-во иностр. лит., 1955.- С.208.

65. Wigner Е. On the quantum corrections for thermodynamic eriuilibrium. // Phys Rev. 1932. V.40. - P.749-759.

66. Cahill К.E., Glauber R J Ordered expansions in boson amplitude operators. 11 Phys. Rev. 1969. V.177 - P 1857-1881

67. Cahill K.E , Glauber RJ Dimity operators and quasiprobability distributions //Phys Rev 1969 V 177 - P 1882-1902

68. Glauber R.J. Coherent and incoherent states of the radiation field. // Phys. Rev. 1963. V.131. - P.2766-2788.

69. Klauder J.R The action option and a Feynman quantization of spinor fields in terms of ordinary c-numbers // Ann. Phys. I960. V.ll - P. 123-274.

70. Sudarshan E.C G Equivalence of semiclassical and quantum mechanical description of statistical light beams //Phys Rev. Lett 1963 V.10. - P.277-279.

71. Клаудер Дж., Сударшан Э Основы квантовой оптики М : Мир, 1970. - 428 с

72. Mehta C.L., Sudarshan E.C G. Relation between quantum and semiclassical description of optical coherence //Phys Rev 1965 V 138. - P B274-B280.

73. Березин Ф А Метод вторичного квантования M : Наука, 1965. -235 с.

74. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики М.: Мир, 1968. - 191 с.

75. Brif С , Mann A A general theory of phase-space quasiprobability distributions. // J.Phys. A 1998. V.31. - P.L9-L17.

76. Brif C., Mann A. Phase-space formulation of quantum mechanics and quantum state reconstruction for physical systems with Lie-group symmetries // Phys. Rev. A. 1999. V.59. - P 971-987.

77. Квантовая оптика и квантовая радиофитка. // Лекции в летней школе теоретической физики Гренобльс кого универс игета, Лезуш, Франция. / Пер с англ. и франц под ред Богданкевича О В , Крохина О Н. М.: Мир, 1966. - 451 с.

78. Когерентные состояния в квантовой теории Сб. статей, сер. "Новости фундаментальной физики", вып.1. / Пер с англ. под ред Рабина В.В. -М.: Мир, 1972. 232 с.

79. Лоудон Р. Квантовая теория света М.: Мир, 1976. -488 с.

80. Перина Я. Когерентность света М : Мир, 1974. - 367 с.

81. Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений. М.: Мир, 1987. - 368 с

82. Малкин И А , Манько В И Когерентные состояния заряженной частицы в магнитном поле // ЖЭТФ. 1968. Т 55 - С.1014-1025.

83. Tom W.G. Coherent states and mvariance ijump of a charged particle in a uniform magnetic field // Physiea 1971 V 54 - N4 - P 557-572

84. Малкин И А., Манько В.И. Когерентные состояния и возбуждение электрическим полем заряженной частицы в постоянном магнитном поле. // ТМФ. 1971. T.G - N1. - С.71-77.

85. Малкин И.А , Манько В И. Когерс нтные состояния заряженных частиц в переменном электрическом и магнитном поле // ЖЭТФ. 1971. Т.59.1. C.1746-1755

86. Feldman А , Kahn А.Н. Landau diamagnetism from the coherent states of an electron in a uniform magnetic field // Phys Rev В 1970 V.l. - P.4584-4589.

87. Bonifacio R Coherent states of a free electron laser. // Optics Commun. 1980. V.32. - P.440-442.

88. Langer ,J.S. Coherent states m thi theory of superfluidity // Phys. Rev. 1968. V.167. - P.183-190.

89. Stoler D. Equivalence classes of minimum uncertainty packets. // Phys. Pev. D. 1970. V.l. - P.3217-3219.

90. Stoler D. Equivalence classes of minimum uncertainty packets II. // Phys. Pev D 1971. V.4. - P 1925-1926

91. Stoler D. Generalized coherent btates // Phys Pev. D. 1971. V.4. -P.2309-2312.

92. Stoler D. Most-general minimality preserving Hamiltonian. // Phys. Pev.

93. D. 1975. V.l 1. - P.3033-3034

94. Yuen H. Two-photon coherent state s of the radiation field. // Phys. Rev. A. 1976. V.13. - P.2226-2243

95. Wei-Min Zhang, Da Hsuan Feng, Gilmore R Coherent states• theory and some applications. 11 Rew. Mod. Phys 1990 V 62 - P 867-927.

96. Халатников И.М. Теория сверхтекучести M : Наука, 1971. - 320 с.

97. Barut А.О., Girardello L. New coherent states associated with noncompact groups //Commun Math Phys 1971 -V21 P 11-55

98. Brif C. SU(2) and SU(1,1) edqebra eujemtati^ a unified analytic approach to coherent and intelligent states // Int Journ. Theoret Phys 1997. V.36. -P.1651-1682.

99. Radcliffe J.M. Some properties of coherent spin states // J. Phys. A.1971. V.4. - P.313-323.

100. Perelornov A.M. Coherent states for arbitrary Lie groups. // Commun. Math. Phys. 1972. V.26 - P.222-236

101. Ilongoh M. Coherent states associated with the continuous spectrum of noncompact groups. //J. Math. Phys 1977. Y.18 - P.2081-2081

102. Scutaru H. . Coherent states and induced rtpi esentations. // Lett. Math. Phys 1977. V.2. - P 101-107

103. Romerio M On the coherent states representations of linear operators. // Lett. Math. Phys. 1977. V.2 - P 27-31

104. Bacry H. Physical significance of minimum uncertainty states of an angular momentum states //Phys Rev. A 1978 V.18 - P 617-619.

105. Brif C., Vourdas A., Maim A. Analytic мри mentations based on SU(1,1) coherent states and their applications. // J. Phys A 1996 V.29. - P.5873-5885.

106. Brif C. Coherent states for quantum systems with a trihnear Hamiltonian. // Phys Rev. A. 1996 V.54. - P.5253-5261.

107. Brif. C., Mann A., Revzen M. Generalized coherent states are unique Bell states of quantum systems with Lie-group symmetn< s // Phys Rev. A. 1998. -V 57. P.742-745.

108. Narducci L.M., Coulter C.A., Bowden C.M Exact diffusion equation for a model for superradiance emission //Ph>s Rev. A 1974 -V9 P.829-845.

109. Narducci L.M., Bowden C.M., Bluemel V , Carrazana C.P., Tuft R.A. Multitime-correlation functions and the atomic coherent-states representations. // Phys. Rev. A. 1975. V.ll. - P.973-980

110. Glauber R.J., Haake F. Superradiant pulses and directed angular momentum states // Phys. Rev. A. 1976. V.13. - P.357-366

111. Carruthers P., Nieto M M. Phase and angle variables in quantum mechanics. // Rev Mod. Phys 1968. V 40 - P.411-440.1.l Mehta C.L , Kumar S Extremum uncertainty product and sum states. // Pramana: J Phys. 1977 V 10 - P.75-81

112. Trifonov D.A Generalized intelligent states and scjueezmg. // J. Math. Phys 1994.- V.35. P.2297-2308.

113. Trifonov D A. Generalized uncertainty relations and coherent and squeezed states. // J. Opt. Soc. Am A. 2000. V.17 - P 2186-2195.

114. Trifonov D.A. Schrodinger uncertainty relation and its minimization states. // Phys. World. 2001 V 24 - P.107

115. Heisenberg YV Uber den anschauhehen Inkult dtr quantentkeoretishen Kinematik and Mechamk // Z. Phys. 1927 V 43 - P 172.

116. Kennard E.H. Zur Quantenmeckanik etnfachtr Bewegungstypen // Z. Phys. 1927. V.44. - P326.

117. Robertson H P. The uncertainty principle //Phys Rev. 1929. V 34. -P.163-164.

118. Aragone C., Chalband E., Salarno S On ink Икр nt spin states // J. Math. Phys 1976. V.17. - P.1963-1971.

119. Delbourgo R, Fox J R. Maximum weujht vectors possess minimal uncertainty. // J. Phys. A. 1977 V.10. - PL233-L235

120. Delbourgo R Minimal uncertainty states for the rotation and allied groups. 11 J. Phys. A. 1977 V.10 - P.1837-1846

121. Zlatev I., Wei-Min Zhang, Da Hsuan Feng Fusibility that Sckrodenger's conjecture for tke hydrogen-atom coherent states is not attainable // Phys. Rev. A. 1994. V.50. - P.R1973-R1975.

122. Echeverria-Ennquez A., Munoz-Let anda \I (', Roman-Roy N, Victoria-Monge C. Mathematical foundations of geometric quantization. // Extracta Math. 1998. V.13. - P. 135-238.

123. Barlett S D., Rowe D.J., Repka J. Vector coherent state representations, induced representations, and geometric quantization J Scalar coherent state representations 11 J. Phys A. 2002. V.35. - P 5599

124. Barlett S.D , Rowe D.J., Repka J. Vector coherent state representations, induced representations, and geometric quantization I Vector coherent state representations. 11 J. Phys A 2002. V 35 - Р5П25

125. Brown L.S. Classical limit of the hydroqen atom // Am. J. Phys. 1973. -V.41. P.525.

126. Mostowski J. On the classical limit of the Kepler problem // Lett. Math. Phys. 1977. V.2. - P. 1-5.

127. Nauenberg M. Quantum wave packets on Ktpler elliptic orbits. // Phys. Rev. A. 1989. V.40. - P.l 133-1136128. de Prunele E. 0(4,2) coherent states and hydrogen atoms // Phys. Rev. A. 1990. V.42. - P.2542-2549.

128. Pol'shin S.A. Coherent states for the hydrogen atom. // J. Phys. A. 2000.- V.33. P.L357-L362.

129. Gerry C.C. Coherent states and the К epic r-Coulomb problem // Phys. Rev. A. 1986. V.33 - P6-11.

130. Gay J.-C., Delande D., Bommier \ Atomic quantum states with maximum localization on classical elliptical orbits //Phjs Re\ A. 1989. V 39 - P.6587-6590.

131. Klauder J.R Coherent states for the hydrocjen atom // J. Phys. A. 1996.- V.29. P.L293-L298

132. Bollomo P, Stroud, Jr CR Dispersion of Klaudtr's temporally stable coherent states for the hydrogen atom // J Ph\s \ 1998 V 31. - P L445-L450.

133. Fox R.F. Generalized coherent states // Phjs Rev. A 1999 V.59. -P3241-3255.

134. Majumdar P., Sharatchandra H S Coherent states for the hydrogen atom. // Phys. Rev. A. 1997. V.56. - P R3322-R3325

135. Crawford M G.A. Temporally stable coherent states in energy degenerate systems: the hydrogen atom // Phys. Rev A 2000 V 62 - 012104 - 7 p.

136. Делоне Н.Б., Крайнов В.П , Шепелянский Д Л Высоковозбужденный атом в электромагнитном поле // УФН 1983 1 140. - N3. - С.355-391.

137. Parker Л., Stroud, Jr C.R. Coherence and decay of Ryclberg wave packets. //Phys Rev. Lett 1986. V.56 -P716-719.

138. Alber G , Ritsch H , Zoller P Generation and detection of Ryclberg wave packets by short laser pulses //Phys Re\ A 1986 V 34. - P 1058-1064.

139. Yeazell J.A , Mallalieu M., Stroud, Jr С R Observation of the collapse and revival of a Rydberg electronic wave packets // Ph\s Rev. Lett. 1990. V.64.- P.2007-2010

140. Gaeta Z.D., Stroud, Jr. C.R Classical and quantum-mechanical dynamics of a quasiclassical state of the hydrogen atom // Ph\ s Rev. A. 1990. V.42. -P.6308-6313.

141. Yeazell J A., Stroud, Jr. CR Observation of fractional revivals m the evolution of a Rydberg atomic wave packets // Phjs Rev. A. 1991. V.43. -P.5153-5156

142. Bluhm R., Kostelecky V.A , Tudose B. Wave packet revivals for quantum systems with rwngenerate energies // Phjs Lett \ 1996 V 222 - P.220-226.

143. Kaulakys В , Grauzhims D., Vilutis G. Modelling by maps of two-frequency microwave ionization of hydroqen atoms // Europhys Lett. 1998 V 43. -P. 123-128.

144. Bellomo P., Stroud, Jr С R , Farclly D., User T Quantum-classical correspondence in the hydrogen atom in weak external fields // Phys. Rev. A. 1998. -V.58. P.3896-3913

145. Benetty G , Casati G., Shepelyansky D L Chaotic enhancement in microwave ionization of Rydberg atoms // Eur. Phys J. D 1999. V.5. - P.311-326.

146. Delande D., Sacha K., Zakrzevvski J. Manipulating the shape of electronic поп-dispersive wave-packets in the hydrogen atom• numerical tests in realistic experimental conditions 11 Acta Phys Polonica В 2002. V 33. - N8. - P.2097-2122.

147. Махвиладзе T M , Шеленин Л А Когерентное спонтанное излучение многоуровневых систем // ЖЭТФ. 1972 Т 62 - С 2066-2075.

148. Narducci L М., Bowden С.М , Coulter С A Atomic coherent states representation of superraehance. // Lett. Nuovo Ciniento 1973 V 8 - P 57.

149. Гордиец Б Ф , Осипов А И , Шелепин Л А Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры М Наука, 1980 - 512 с

150. Карасев В Г1, Шелеиии Л.А. Когерентные состояния и производящие инварианты груш SUn и их приложения // Труды ФИАН. 1980. Т.124. -С.49-74.

151. Gilmore R., Bowden С.М , Narducci L VI Classical-quantum correspondence for multilevel systems 11 Phys Rev A 1975 V.12. - P 1019-1031.

152. Bonifacio R , Kirn D M., Scully M O. Description of a many-atom system in terms of coherent boson states // Phys Rev 1969. V.187 - P 441-445.

153. Atkins P.W., Dobson J.C. Ancjular momentum coherent states. // Proc. Roy. Soc. Lond. A 1971. V.321 - P 321-340.

154. Карасев В II, Карасев П П , Санько В А , Шелепин Л А Ковариантная формулировка метода вторичного квантования и некоторые ее приложения. // Труды ФИАН. 1979. Т.106. - С.119-153

155. Карасев В.П. Осцилляторная и другие группы в оптике. // Труды ФИАН. 1989. Т.191. - С.120-132

156. Шелепин А Л , Шелепин Л.А. Метод производящих инвариантов в теории групп Ли. Динамические группы гарметических осцилляторов. // Труды ФИАН. 1989 Т 191 - С 46-86

157. Nemoto К. Generalized coherent states for SU(n) systems // J. Phys. A. 2000. V.33. - P.3493-3506.

158. Mathur M., Sen D. Coherent states for SU(S) 11 J Math Phys 2001. -V.42. P.4181-4196.1G0. Nemoto K, Sanders ВС Superpositions of SI) (3) coherent states via a nonlinear evolution //J. Phys A 2001 V 34 -P 2051-2062

159. Chaturvedi S, Mukunda N The Sdiwincjer SU(3) construction. II. Relations between Heisenberg-Weyl and SU(3) coherent states. // J. Math. Phys. 2002. V 43. - P.5278-5309.

160. Mathur M., Mani H.S. SU(N) coherent states. // Electronic preprints LANL: quant-ph/0206005

161. Mathur M., Paul S К Coherent state s with SU(N) charges // Electronic preprints LANL- quant-ph/0303146.

162. Kendon V.M , Nemoto K., Munro W J Typical entanglement m rnulti-ejubit systems. // J. Mod. Optics. 2002. V.49. - P. 1709-1716

163. Kok P., Ncinoto K., Munro W J Properties of multi-partite dark states. // Electronic preprints LANL: quant-ph/0201138

164. Scheel S., Nemoto K., Munro YV J , Knight P.L. Measurement-induced nonlmearity in linear optics // Phys Rev Л 2003 V 68 - 032310 - 13 p.

165. Бейтмен Г., Эрдеии А. Высшие трете цендентные функции. М.: Наука, 1973. - Т.1. - 294 с. ; Т.2. - 295 с.

166. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. -720 с.

167. Прудников А.П., Брычков Ю А , Маричев О И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986 - 800 с

168. Hong-Yi Fan, Nai-Le Liu Negative hypergeometric .states of the quantized radiation field. // Phys. Lett. A. 1998. V 250 - P 88-92.

169. Xiao-Guang Wang, Hong-Chen Fu Excitul binomial states and excited negative binomial states of the radiation field eind some their statistical properties.

170. Int. J. Thcor. Phys 2000. V.39. - P 1437-1444

171. Лаврентьев M A , Шабаг Б.В Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с

172. Федорюк М В Асимптотика• интегралы и ряды М • Наука, 1987. -544 с.

173. Fock V Zur Theorie des Wasse i stoffatoms //Z Phys 1935. V.98. -P.145-154.

174. Barut A.O., Kleinert H. Transition probabilities of the Hydrogen atom from noncompact dynamical groups // Phys. Rev 1967 V 156. - P.1541-1545.

175. Bednar M. Algebraic treatment of quantum-mt < hanical models with modified Coulomb potentials. // Ann Phys 1973 V 75 - P.305-331

176. Bechler A. Group theoretic approach to the screened Coulomb problem. // Ann Phys 1977. V 108 - P.49-68

177. McAnally D S , Bracken A.J. Time dependence of variables in the quantum-mechanical and classical Coulomb problems, and the dynamical algebra so(4-2). // Phys Rev. A. 1988 V.37. - P.2304-2308.

178. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами М : ГИФМА, 1960 - 562 с

179. Ландау Л.Д , Лифшиц Е М. Квантовая ме'ханика. Нерелятивистская теория. Т.1 - 4.1. - М.: ОГИЗ, 1948 -567 о

180. Наймарк М.А Теория предстаоле нии групп -М Наука, 1976. 559 с.

181. Шелепин ЛА, Карасев ВП К теории коэефефициентов Клебше-Гордана групп SU(n). // Ядерная физика 1967 Т 5. - С 221-228.

182. Карасев В.Г1 Теоретико-групповой анешп сложных физических систем // Труды ФИАН 1973 Т.70 - С 147-220

183. Веиль Г. Классические группы, из инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947. - 408 с.

184. Abella I.D., Kurmt N A., Hartinann S R Photon echoes. // Phys. Rev. 1966. V.141. - P.391-406.

185. Ораевский A.H. Радиационное эхо. // УФН. 1967 T.91. - N1. -C.181-192.

186. Шелепин Л А. Л" теории когерентного спонтанного излучения. // ЖЭТФ. 1968. Т.54 - С 1463-1465

187. Bonifacio R, Preparata G. Coherent spontaneous emission, j j Phys Rev.1. А. 1970. V.2 - Р 336-347

188. Bonifacio R., Haake F., Schwendimaim P. Quantum statistical theory of superradiance I. 11 Phys. Rev A. 1971 V 4. - P 302-313

189. Bonifacio R, Haake F , Schwendiinann P Quantum statistical theory of superradiance. II. // Phys Rev. A. 1971 V 4 - P 854-864.

190. Agarwal G S Master equation approach to spontaneous emission // Phys. Rev. A. 1971 V.4. - P 1791-1801.

191. Stenholm S. Quantum theory of eltctromaejnetic fields interacting with atoms and molecules //Phys. Rep. 1973 -V6 P.l-121.

192. Копвиллем УХ Световое эхо и перспективы е?о применения в науке и технике // Изв АН СССР (сер физ ) 1973 Т 37 -N10 - С.2010-2021.

193. Электромагнитное сверхизлучение // Под ред. В.А. Голенищева -Кутузова, В.В. Самарцева Казань, 1975 - 427 с

194. Nardncci L.M., Bluemel V. Perturbative solutions of single-mode model of superradiance. 11 Phys Rev. A 1975 V.ll. - P.1354-1357.

195. Аллен JI., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.- М : Мир, 1978 222 с.

196. Лазерная и когерентная спектроскопия // Под ред Дж. Стейнфелда.- М/ Мир, 1982. 629 с.

197. Маныкин Э А , Самарцев В В. Оптическая эхо-спектроскопия. М.: Наука, 1984. - 270 с.

198. Набойкин Ю.В., Самарцев В В , Зиновьев П.В , Силаева Н.Б. Когерентная спектроскопия молекулярных кристаллов Киев, "Наукова думка", 1986. - 204 с.

199. Андрев А.В., Емельянов В И , Ильинскии Ю.А. Кооперативные явления в оптике. Сверхизлучение, бистабильностъ, фазовые переходы М.: Наука, 1988. - 288 с.

200. Okada J., Ikeda К., Matsuoka М Cooperative cascade emission. // Opt. Comm. 1978 V 26 - P. 187-192

201. Gross M., Fabre C., Pillet P, Haroc he S Observation of near infrared Dicke superradiance on cascading transitions in atomic sodium. // Phys Rev. Lett. 1976.- V.36. P.1035-1038.

202. Cahuzac Ph., Sontag II., Toschek P E Visible superfluorescence from atomic europium. // Opt. Comm. 1979 V.31 - P.37-41.

203. Арекки Ф , Скалли М., Хакен Г., Ваидлих В. Квантовые флуктуации излучения лазера. М : Мир, 1974 - 236 с

204. Швебер С Введение в релятивистскую квантовую теорию. М.: ИИЛ, 1963 - 842 с

205. Юцис А П., Бандзайтис А.А Теория момента количества движения в квантовой механике. Вильнюс. Минтис, 1965 - 463 с.

206. Смородинскии Я А , Шелепин ,'1 А Коэффициенты Клебша-Гордана с разных сторон //УФН. 1972 Т 106 - N1 - С 3-45

207. Варшалович Д.А., Москалев АН, Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента Ленинград Наука, 1975 - 439 с

208. Шелепин Л А. Исчисление коэффициентов Клебша-Гордана и его физические приложения. // Труды ФИАН 1973 Е 70 - С 3-119.

209. Климык А.У Матричные элементы и коэффициенты Клебша Гордана представлений групп Киев Наукова д\мка, 1979 - 304 с

210. O'Reilly H.F A closed formula for the product of irreducible representations of SU(S). U J. Math Phys. 1982 V 23 - P.2022-2026.

211. Brubsaard PJ., Tolhoek H.A. Classical limits for Clebshe-Gordan coefficients, Racah coefficients and D\nn{<f>,e,%)) functions // Physica. 1957. - V.23. -P.955-971.

212. Belhsard J., Iloltz R Composition of coherent spin states. // J. Math. Phys 1974. V.15. - P.1275-1276.

213. Странные аттракторы // Под ред Я Г Синая, Л П. Шильникова. -М.: Мир, 1981. 253 с.

214. Мун Ф. Хаотические колебания М.' Мир, 1980 - 312 с.

215. Ланда П.С. Автоколебания в распределе ниых системах М.: Наука, 1983. - 320 с.

216. Бутенин Н.В., Неимарк Ю.И., Фуфаев II.А. Введение в теорию нелинейных колебаний М : Наука, 1987. - 384 с.

217. Берже П., Помо И., Видаль К Порядок в хаосе О детерминистическом подходе к турбулентности М Мир, 1991 - 368 с

218. Дмитриев А С., Кислов В Я Стпохастиче ские колебания в радиофизике и электронике. М : Наука, 1989 - 280 с

219. Анищенко В С. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизическихсистемах. М.' Наука, 1990 - 312 с

220. Хакен Г. Синергетика М.- Мир, 1980. 404 с

221. Полак JI С., Михаилов А.С. Самоорганизация в шравновесных физико-химических системах. М Наука, 1983. - 494 с

222. Хакен Г. Синергетика Иерархия шустпоичивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М Мир, 1985 - 423 с

223. Свирежев ЮМ Нелинейные волны, due с ипативные структуры и катастрофы в экологии М.: Наука, 1987 - 368 <

224. Николис Дж Динамика иерархических систем. Эволюционное представление М. Мир, 1989. - 488 с

225. Климонтович Ю.Л Турбулентное движение и структура хаоса М.: Наука, 1990 - 320 г

226. Лоскутов А Ю., Михаилов А.С Введение в синергетику М.: Наука, 1990. - 272 с

227. Климонтович ЮЛ. Статистическая теория открытых систем. -М.: "Янус-К", Т.1. 1995. - 624 с. ; Т 2 - 1999 - 440 с. , Т 3 - 2001. - 508 с.

228. Нелинейные волны Самооргапинщия // Под ред А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича М : Наука 1983 - 264 с

229. Синергетика // Под ред. Б.Б Кадомцева М Мир, 1984. - 248 с

230. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. // Под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба. М Мир, 1984 - 344 с

231. Нелинейные волны Динамика и толюция // Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М И. Рабиновича М„ Наука 1980 - 100 с

232. Заславский Г.М Статистическая необратимость в нелинейных системах. М.: Наука, 1970. - 143 с.

233. Заславскии Г.М., Сагдеев Р 3 Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса М Наука, 1988 - 368 с.

234. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З , Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры М Наука, 1991 - 240 с

235. Андронов А.А., Витт А А., Хаикин С Э Теория колебаний. М.: Наука, 1981. - 568 с.

236. Андонов А.А., Леонтович Е А , Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости М.: Наука, 1967. - 487 с.

237. Баутин Н.Н., Леонтович Е А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости М Наука, 1976. - 496 с.

238. Ораевский А.Н. Молекулярные генераторы М Наука, 1964- 295 с.

239. Успенскии А В Режим пульсаций а двухуровневой системе, j j Радиотехника и электроника. 1963 Т 8 - N7 - С 1165-1168

240. Шарковскии А.Н., Майехрепко 10 Л , Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения Киев. "Наукова д>мка", 1986 -280 с

241. Оселедец В И Мультипликативная эргодичс екая теорема Характеристические показатели Ляпунова динешиче скит сис тем // Тр моек, матем. об-ва 1968. Т.19 - С.179-210.

242. Bennettin G., Froebchele С., S( lieidecker .J P. Kolmogorov entropy of a dynamical system with an increasing number of degree s of freedom // Phys. Rev. A. 1979.-V.19 -P 2454-2460

243. Kaplan J.L., Yorke J A. Chaotic behavior of multi-dimensional difference equations. // Lect. Notes in Math. 1979 No 730 - P 204-227.

244. Ledrappier F. Some relations between dimension and Lyapunov exponents. // Comm. Math. Phys. 1981. V.81 - P 229-238

245. Grassberger P. On the Hausdorff dimension of fractal attractors. // J. Stat. Phys. 1981. V.26 - P.173-179.

246. Grassberger P. Generalized dimension of strange attractors // Phys. Lett. 1983 V.97A. - P.227-231

247. Grassberger P., Procaccia I Characterization of strange attractors. // Phys. Rev. Lett. 1983. V 50. - P.346-349

248. Grassberger P., Procaccia I. Measuring of the strangeness of strange attractors. // Physica D. 1983. V 9. - P.189-208

249. Farmer J.D., Ott E, Yorke J.A 'Ihe dimension of chaotic attractors. // Physica D. 1983. V.7. - P.153-180.

250. Grassberger P., Procaccia I. Dime nsions and entropies of strange attractors from a fluctuating dynamics approach. // Phv&ica D. 1984. V.13. - P.34-54.

251. Бунимович Л.А., Песин Я.Б , Синаи Я Г , Якобсон М.В. Эргодическая теория гладких динамических систем // "Современные проблемы математики. Фундаментальные направлния. Т 2 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)", М : 1985 С 113-231

252. Halsey Т.С., Jensen М.Н., Kadanoff L.P, Procaccia I, Shraiman B.I. Fractal measures and their singularities• Vhe characterisations of strange sets. //

253. Phys Rev A 198G V 3J -P 1111-1151

254. Шредер M Фракталы, хаос, степенные законы Ижевск- НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 528 с

255. Ландау JIД К проблеме турбулентности // ДАН СССР 1944. -Т 44 С 339-342

256. Мареден Дж , Мак-Кракен М Бифуркация рождения цикла и ее приложения М.- Мир, 1980 - 368 с.

257. Newhouse S , Ruelle D , Takens F Ос с uc rc псе of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm,m > 3 // Сошш Math Phys 1979. V.64. -P.35-40

258. Pomcau Y , Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems // Comm. Math Ph>s 1980 V 74 - P.189-197

259. Feigenbauin M J Quantitative umver sahty for a class of nonlinear transformations U J. Stat Phys. 1978. V.19. - P 25-52.

260. Feigenbaum M J. The universal metric properties of nonlinear transformations //J.Stat. Phjs 1979 V 21 -P 669-706

261. Feigenbaum M J. The onset of spectrum of turbulence //Phys Lett 1979. V.74A. - P.375-378

262. Feigenbaum M . The transition to aperiodic behavior in turbulent systems. //Comm. Math Phys 1980 V 77 -P 05-80

263. Collet P., Eckmann J -P , Lanford О H Universal properties of maps on an interval //Comm. Math Phys 1980 V 76 -P 211-254

264. Феигенбаум M. Универсальность в поведении нелинейных систем. // УФН 1983 ТЛИ - N2 - С 343-374.

265. Вул Е.Б., Синай Я.Г , Ханин К М Универсальность Фейгенбаума и термодинамический (формализм //УМН 1984. Т.39. - С 3-37

266. Nauenberg М , Rudnic J Universality and power spectrum at the onset of chaos //Phys. Rev В 1981. -V 24 -P 493-495.

267. Crutchfield .1 P, Farmer J ID , Hubermann B.A. Fluctuations and simple chaotic dynamics //Phys Rep 1982 V 92 -P 45-82.

268. Shramian В , Wayne C.E , Martin PC Scaihnq theory for noisy period-doubling to chaos //Phys Rev Lett 1981 V 16. - P935-939

269. Hirsch J.E , Nauenberg M , Scalapino D J. Intermittency in the presence of noise1 A renormahzation group formulation // Phys Lett 1982. V.87A.1. Р391-393

270. Ни В , Rudnick J Exact solutions to the Ft iqc nbaurn renorrnahzation group equations for intermittency // Phys Rev. Lett 1982. V 48. - P.1645-1648.

271. Крылов H С Работы no обоснованию статистической физики М.: Изд-во ЛН СССР, 1950 - 206 с

272. Корнфельд П , Синаи Я Г , Фомин С В Dp г о диче с кая теория М.-Наука, 1980 - 383 с

273. Арнольд В И , Авец А Эргодическис проблемы классической механики Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999. - 284 с.

274. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражателями Эрго-дические свойства рассеивающих биллиардов // УМН. 1970 Т.25. - С.141-192

275. Синаи Я Г Эргодические свойства газа Лоренца //Функ. анал. и ei о ирил. 1979. Т 13 - С 46-59

276. Buniiriovich L.A , Sinai Ya G. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters // Comm Math Phys. 1981. V 78. - P.479-497.

277. Grossmann S , Fujisaka 11 Diffusion in discrete nonlinear dynamical systems 11 Phys Rev. A. 1982 V.26. - P.1779-1782.

278. Geisel Т., Nierwetberg J. Onset of diffusion and universal scaling in chaotic systems. //Phys. Rev Lett. 1982 V 48 -P7-10.

279. Schell M , Fraser S , Karpal R Diffusive dynamics in systems with transla-tional symmetry: a one-dimensional-map model //Phys Rev A 1982 V.26. -P504-521.

280. Klages R. Simple maps unth fractal diffusion coi jficitnts // Phys Rev. Lett 1995 V 74 -P 387-390

281. Gaspard P., Klages R. Chaotic and fractal properties of deterministic diffusion-reaction processes //Chaos 1998 -V8 -P 409-423

282. Klages R., Dorfman .1 R Simple deterministic dynamical systems with fractal diffusion coefficients. // Phys. Rev E 1999. V.59 - P.5361-5383

283. Klages R., Dellago C. Density-dependent diffusion in the periodic Lorentz gas //J Stat Phjs 2000 V 101. - P.145-159

284. Klages R. Suppression and enhancement of diffusion in disordered dynamical systems // Phys Rev. E 2002 V.65. - 055203(R) - 4 p.

285. К1 ages R. Transitions from deterministic to stochastic diffusion. // Euro-phys Lett. 2002 V 57. - P.796-802

286. Klages R , Korabel N. Understanding deterministic diffusion by correlated random walks //J. Phys. A 2002 V 35 -P 4823-4836

287. Korabel N , Klages R. Fractal structures of normal and anomalous diffusion m nonlinear nonhyperbohc dynamical systems // Phys Rev. Lett 2002 V.89. -214102

288. Ikeda K., Daido H , Akimoto О Optical turbulence chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity //Phys Rev. Lett 1980 V 45 - P.709-712

289. Snapp R R , Carmichael H.J., Schieve W.C. The path to "turbulence": Optical bistabihty and universality in the ring cavity // Opt. Commun. 1981. -V 40. P 68-72.

290. Surendra Singh, Agarwal G S Chaos in coherent two-photon processes in a ring cavity //Opt. Commun 1983 V 47 -P 73-76

291. Harrison R G , Firth \V I , Einshaij С A , Al-Saidi I A Observation of period doubling in an all-optical resonator (ordaining NII3 Gas // Phys. Rev. Lett 1983 V 51. - P 562-565

292. Nakatsuka H , Аьака S , Itoh П., Ikeda К , Matsuoka M. Observation of Bifurcation to Chaos in an All-Optical Bistable System // Phys Rev Lett. 1983. V 50 -P 109-112.

293. Molloney J V Coexistent attractors and new period cycles in a bistable ring cavity //Opt. Commun 1984 V 48 -P 435-138

294. Bridges R , Rowlands G On the analytic form of some strange attractors. // Phys. Lett. 1977. V 63A - P.189-190.

295. Yamaguchi Y , Mibhima N. Structure of strange attractor and homochnic bifurcation of two-dimensional (ubic map // Ph\s Lett 1981 V 104A. - P 179183.

296. Carr J., Eilbeck J. C. One-dimensional approximations for a quadratic Ikeda map. // Phys Lett 1984 V.104A. - P 59-62

297. Grebogi C., Ott E , Jorke J.A. Chaotic Attractors in Crisis // Phys. Rev. Lett 1982. V.48. - P 1507-1510

298. Kitano M , Yabuzaki T , Ogawa T Symmetry-recovering crises of chaos in polarization-related optical bistabihty // Phys. Rev. A. 1984. V.29. - P.1288-1296.

299. Daido H. Cliff. Sudden enhancement or triffeblement of chaos in dissipativedynamical systems //Phys Lett 1985. V.108A -P 233-237

300. Daido H., Haken H Cliff and its inversion as rapid decay of fully developed chaos, // Phys Lett 1985 V 111. - P 211-216.

301. Кузнецов С П Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Известия ВУЗов Радиофизика. 1985. Т.28 - С.991-1007.

302. Кузнецов С Г1, Пиковский А С Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде // Известия ВУЗов. Радиофизика 1985 Т.28 - С 308-319

303. Kuznetsov А.P., Kuznetsov S.P., Sataev I R. Scalincj properties of spa-tiotemporal dynamics m period doubling coupled map lattices // Proc. of the IV International workshop of nonlinear and turbulent processes ш рЬуысь Kiev 1989. V.2. - P 383-386

304. Napiorkowbki M. Average dynamics of noisy maps // Phys. Lett. 1985. -V 112A P 357-360

305. Napiorkowski M , Zaus U. Average trajectories and fluctuations from noisy, nonlinear maps. // J. Stat. Phys. 1986. V.43 - P 349-367

306. Туров E.A , Куркин М.И., Николаев В В Движение ядерных спинов с учетом их взаимодеиететя по Сулу и Накамуре // ЖЭТФ. 1973 Т.64. -С 283-296

307. Куркин М И., Туров Е А. ЯМР в магнитоупорядочепных веществах и его применение. М Наука, 1990. - 248 с.

308. Alekseyev К N , Berman G Р, Tbifrinovich V I Chaos in NMR // Proc. of the IV International workshop of nonlinear and turbulent processes in physics. Kiev: 1989. V 2. - P 334-337

309. Алексеев К H , Берман Г.П , Цифринович В И Хаотическая динамика в ЯМР. // ЖЭТФ.1990. Т.97. - С.1277-1287.

310. Алексеев К.II., Берман Г П., Цифринович В.И , Фришман А.И. Динамический хаос в магнитных системах // УФН 1992 Т 162. - N7. - С.81-118.

311. Yamaguchi Y , Katayama Т , 1ь1ш С Chaotic response of magnetization in superfluid zHe-B to a periodic field //Phys Rev. В 1983 V 27. - P.3096-3099.

312. Буишвили Л Л , Угулава А.И О стохастическом движении вектора ядерной намагниченности //ФТТ. 1983 Т 25 - С 2370-2373

313. Угулава А И. Стохастическое движение вектора ядерной намагниценности сверхтекучего 3Не // ЖЭТФ. 1981 Т 80. - С 497-501

314. Кссаео В.И , Угулава А И Стохастическая (пиновая динамика сверхтекучего 3Не // ЖЭТФ. 1984 Т 87 - С 1058-1063

315. Рухлов ВС Хаотический режим в нелинейном ЯМ Р. // Письма в ЖЭТФ. 1990 Т.52 - С 1060-1064

316. Rukhlov V S Bifurcations and chaos in nonlinear NMR. j j Phys. Lett. 1991. V.A160. - P.131-137

317. Львов В.С , Мушер С Л , Старобинец С.С Теория автоколебаний намагниченности при параме тричеспом возбужде нии спиновых воли // ЖЭТФ. 1973 Т 64 - С. 1074-1086

318. Гранкин В Л , Львов В С , Моторин В.И., Мушер С Л Вторичная турбулентность параметрически возбужденных спиновых волн // ЖЭТФ. 1981 Т 81 - С 757-767

319. Nakamura К , Ohta S , Kawasaki К Chaotic states of ferromagnets in strong parallel pumping fields // J Phys. С 1982 V.15. - P L143-L148.

320. Warden M , Waldner F Locking and ehavs in magnetic resonance experiments // J. Appl. Phys. 1988. V 64. - P 5386-5390.

321. Bryant P.H., Jeffries С D , Nakamura К Spin-waves dynamics in a ferromagnetic sphere. // Phys Rev. A. 1988 V 38 - P 4223-4240.

322. Смирнов А И Изучение хаотического режима перераспределения плотности параметрически возбужденных магнонов // ЖЭТФ. 1986. Т.90.- С 385-397.

323. Львов В.С Нелинейные спиновые волны М. Наука, 1987. - 269 с.

324. Kotyuzhansku B.Ya , Prozorova L A. An experimental study of quasi-particles m antiferromagnetic materials. // Soviet Scientific Reviews. Sec. A / Ed. I. M. Khalatnikov. 1990 V 13 - P3

325. Андриенко А.В., Ожогин В.И , Сафонов В Л , Якубовский А.Ю. Исследования ядерных спиновых волн // УФН. 1991 Т.161. - N10. - С.1-35.

326. Андриенко А.В , Поддьяков Л.В. Исследование скорости релаксациифонопов в антиферромагнетике FeB03 // ЖЭТФ. 1991 Т 99. - С.313-329.

327. Зауткин В В , Львов В С., Старобинец С.С. О резонансных явлениях в системе параметрических спиновых волн //ЖЭТФ 1972 Т.63. - С.182-189.

328. Зауткин В В , Львов В С , Орел Б И , Сьчробинец С С Коллективные колебания большой амплитуды и двойной параметрический резонанс магно-нов // ЖЭТФ 1977 Т 72 - С 272-284

329. Андриенко А.В., Ожогин В И., Сафонов В Л , Якубовский А.Ю. Модуляционный метод исследования спиновых волн за порогом параметрического возбуждения. //ЖЭТФ 1983 Т 84 - С 1474-1480

330. Андриенко А В., Ожогин В.И , Сафонов В Л., Якубовский А Ю. Параметрическое возбуждение ядерных спиновых волн в режиме сильнои модуляции их спектра // ЖЭТФ 1985. Т 89 - С.2164-2173

331. Андриенко Л В , Сафонов В Л , Як^бовскии А.Ю. Изучение стационарного состояния параметрических епиновых волн в антиферромагнетиках модуляционным методом I j ЖЭТФ. 1987 Т 93 - С 907-917.

332. Якубовскии Л.Ю., Сулеиманов С.М Двойной параметрический резонанс ядерных магнонов в легкоплоскостных антисферр о магнетиках // ЖЭТФ. 1981. Т.81 - С. 1456-1400

333. Ozhogin V I, Yakubovbky A Yn., Abryntin A.V., Suleymanov S.M. Indirect modulation and peculiarities of the overthreshold peirennetric state in easy plane antiferomaejne Is //JMMM 1980 V 15-18 - P.757-759.

334. Найфэ А. Введение в методы возмущении М . Мир, 1984 - 535 с.

335. Впььапс! А , Frisch U. Solving linear stochastic differential equations. // J.

336. Math. Phyb 1974.-V.15 -P 524-534

337. Гантмахер Ф P Теория матриц M • Наука, 1988. - 552 с

338. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. -М.: Мир, 1978 Т.1 - 393 с

339. Справочник по специальным сфункциям / Под. ред. Абрамовича М. и Сгиган И М.: Наука, 1979. - 832 с

340. Gell-Mann М , Goldberger М. R The formal theory of scattering. // Phys. Rev. 1953. V.91. - P.398-408.

341. Зубарев Д H Неравновесная статистическая термодинамика. M.: Наука, 1971 - 416 с

342. Турбин А Ф , Працевитый Н В. Фрактальные множества, функции,распределения Киев. "Наукова думка", 1992 - 205 с

343. Nakayama Т, Vakubo К , Orbach R L Dynamical properties of fractal networks, scaling, numerical simulations and physical realizations j j Rev Mod. Phys 1994. V.66. - P 381-443

344. Олемскои А И , Флатт А Я. Исполь ioeauue концепции фрактала в физике конденсированных сред // УФН. 1993 Т 163. - N12. - С.1-50.

345. Mandelbrot В.В. Fractals and turbulcnce. attractor and dispersion. // Lect. Notes in Math V 615 - P.83-93 - Springer-Vorlag, 1977

346. Мандельброт Б Фрактальная геоме трия природы Москва: Институт компьютерных исследований, 2002 - 656 с

347. Mallat S. Multiresoluticm approximation and wavelets. // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V 315. - P.69-88.

348. Самко С.Г., Килбае А А , Маричев О.И Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения Минск Наука и техника, 1987. - 688 с

349. Kolwankar К М , Gangal A.D Local fractional Fokker-Planck equation. // Phys. Rev. Lett 1998 V.80. - P.214-217.

350. Kolwankar K.M Studies of fractal structures and processes using methods of the fractional calculus PhD thesis, University of Pune, 1997. // Electronic preprints LANL: chao-dyn/9811008

351. Kolwankar К M , Gangal A D Definition of fractal measures arising from the fractional calculus // Electronic preprints LANL. chao-dyn/9811015.

352. Астафьева H M. Вейвлет анализ• основы теории и примеры применения. // УФН. 1996 Т.166 - N11. - С 1145-1170

353. Torresani В An overwiev of wavelet analysis and time-frequency analysis (a minicourse). //Proc of the International Workshop "Self-similar systems". -Dubna: Publ. JINR, 1999. P.9-34

354. Дремин И M , Иванов О.В , Нечитаило В А. Вейвлеты и их использование. //УФН 2001 Т 171. - N5 - С 465-501.

355. Захаров В.Е., Манаков С В , Новиков С.П , Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи / Под ред С П. Новикова М.: Наука, 1980. - 320 с.

356. Hirota R. Exact solution of the sm-Gordon equation for multiple collisions of solitons. //J. Phys. Soc. Jap. 1972. V.33 - P. 1459-1464.

357. Болынов Л А , Лихс1Н( кий В В Когерентное емаимодействие импульсов излучения с резонансными многоуровневыми средами // Квантовая электроника 1985 Т 12 - С 1339-1361

358. Абдуллаев Ф X , Дарманян С А , Хабибуллаев П.К Оптические соли-тоны Ташкент Фан, 1987 - 200 с.

359. Косевич А М , Иванов Б А , Ковалев А С Нелинейные волны намагни-чености Динамические и топологические солитоны Киев Наукова думка, 1983. - 192 с

360. Васильев В А , Романовский Ю М , Яхно В Г Автоволновые процессы. М • Наука, 1987 - 240 с.

361. Abdullaev F.Kh., Darmanyan S A , Umarov V.A Chaos in parametrically driven sin-Gordon system. // Phys Lett 1985 V.108A. - P 51-53

362. Арансон И.С , Горшков К А , Рабинович М.И. Возникновение стоха-стичности при взаимодействии солитона модуляции с периодическими волнами. // ЖЭТФ. 1984. Т 84. - С.929-936

363. Абдуллаев Ф X., Умаров Б А. Стохастическая динамика шрединге-ровского солитона в нестационарной среде. // Радиофизика. 1985 Т.28. -C.G64-G65.

364. Blow К.Л., Doran N J. Global and local chaos in the pumped nonlinear Schrodmger equation //Phys Rev Lett 1984 V 52 - P 526-529

365. Molloney J V Two-dimensional transverse solitary waves as asymptotic states of the field in a bistable optical resonator // IEEE J Quant El. 1985. -V.QE21. P.1393-1398

366. Бреховских Г Л., Окладников Н.В., Соколовская А.И. (Экспериментальные исследования влияния насыщения )сияния на восстановление волнового фронта с вега при ВКР ) // ЖПС. 1980 Т 32. - С 24-28

367. Ахманов С.А., Драбович К.Н , Сухоруков А.П., Чиркин А С (О вынужденном комбинационном рассеянии в поле сверхкоротких световых импульсов ) // ЖЭТФ. 1970 Т 59. - С 485-499.

368. Зубов В А., Сущинскии М.М , Шувалов И.К. (Исследования вынужденного комбинационного рассеяния ) // ЖПС. 19G5 Т.З. - С 336-341.

369. Барбашов Б М., Нестеренко В В , Червяков А М. (Солитоны в некоторых геометрических теориях по!я ) // Теор мат физ 1979 Т40. -С. 15-27.

370. Малоземов А., Слонзуски Да Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами М . Мир, 1982 - 384 с.

371. О'Делл Т. Фе рромагнитодинамика М Мир, 1987 - 253 с.

372. Осипов С Г., Филиппов Б П., Хапаев М М. Динамика двухмерной доменной границы в ферромагнитной пленке с одноосной анизотропией. // ЖЭТФ. 1990 Т.98 - С 1354-1363

373. Bar'jakhtar V С. , Chetkin М V , Ivanov V \ , Gadetskiy S N Dynamics of topological magnetic solitons Experiment and theory V 129. - Berlin: Springer tracts in Modern Physics, 1994

374. Yuan S W., Bertram H N Domain wall dynamic transitions in thin film 11 Phys Rev B. 1991. V 44 - P 12395-12405

375. Filippov В N , Korzunin L.G., Kassan-Ogly F.A Nonlinear dynamics of vortex-like domain walls m magnetic films with in-plane anisotropy. // Phys. Rev. В 2001. V 64 - 104412 - 11 p

376. Филиппов Б.Н., Корзунин Л Г. Нелинейная динамика доменных стенок с вихревой внутре нней структурой в магнитно-одноосных пленках с плоскостной анизотропией. // ЖЭТФ. 2002 Т 121. - С.372-387.

377. Okuno II., Нотта Т Cheiotic oscillations e>f domem wall in поп-еерпЬЬпит state //IEEE Trans Magn 1993 V 29 -P 2506-2510

378. Sukiennicki A., Kosinski R. A nonlinear elynamics and route to chaos for twisted domain walls // JMMM. 1994 V.129. - P.213-220.

379. Котова E.E , Четвериков В M Скорость насыщения скрученной доменной границы в модели Слончевского // ФТТ. 1990 Т 32. - С.1269.

380. Соловьев М.М., Филиипов БН Хаотическая динамика взаимодействующих доменных границ в одноосной сфсрромагнитной пленке // ФТТ. 1997. Т.39. - С.2036-2039

381. Соловьев М.М , Филиппов Б Н. Влияние трения на характер нелинейных колебаний системы взаимодействующих доменных границ во внешнем периодическом поле. // ЖТФ. 2000. Т 70 - N12. - С 58-62

382. Beylkin G. On the representation of operators in bases of compactly supported wavelets // SIAM .1. Numerical Analysis 1992. V 6. - P.1716-1740.

383. Beylkin G. On the fast algorithm for multiplication of functions in the wavelet basis //In Proceedings of the International Conference Wavelets and Applications, Toulouse, 1992 P.259

384. Beylkin G., Coifinan R , Rokhlin V. Feist wavelet transforms and numerical algorithms I. 11 Comiri Pure and Appl. Math 1991 V.44 - P 141-183.

385. Jawcrth В , Swcndens W Wavelet multm solution analyses adapted for the fast solution of boundary value ordinary differential equations // In Sixth Copper Mountain Conference on Multi-grid Methods NASA Conference Publications 3224, 1993. P 259-273

386. Jawerth В., Swendens W. An overview of wavelet based multiresolution analyses // Preprint of South Carolina University, Columbia, 1995

387. Zakharov V G. Numerical simulation of Burgers' eepiation by hierarchical wavelet bases. // The Second International scientific school-seininar "Dynamic and stochastic wave phenomena", N Novgorod Moscow, 1994

388. Beylkin G , Keiser J M An adaptive pseudo-wavelet approach for solving nonlinear partial differential equations // Preprint of Colorado University, Boulder, 1996.

389. Charton P., Perrier К A pseudo-wavelet scheme for the two-dimensional Navier-Stokes equations. // Preprint Laboratoire de Meteorologie Dynamique, Pans, 1996

390. Berger M., Oliger Л. Adaptive mesh refine ment for hyperbolic partial differential equations. // .1 Comp Phys. 1984 V 53 -P 484-512.

391. Schryer N , Walker L The motion of 180° domain walls in uniform magnetic fields. //.1. Appl. Phjs. 1974 V.45 - P 5406-5421.