Формо-сохраняющее приближение кусочно-монотонных и кусочно-положительных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ . ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

- а . '' / • " .

Нл правах рукопису

ДВЮБЕНКО і є]»май Анатолійович

ФОРМО-ЗБЕРІГАЮЧЕ НАБЛИЖЕННЯ КУСКОВО-МОНОТОННИХ І КУСКОВО-ПООИТИВНИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації иа здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1994

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту матема тики ПАП України

На\'ковпн керівник: доктор фіанко-матєматичних наук

/ ШЕВЧУК 1.0.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

ШВЕДОВ О.С.

кандидат фізико-математичних наук БУСЛАЄВ В.І.

Провідна установа: Київський університет імені

Тараса Шевченка

Захист відбудеться ”14” березня 1995 р. о 1500 год. на оасіданні спеціаліоованої ради Д 01.66.01 при Інституті математики НАІ1 України оа адресою: 252601, Київ 4, МСП, вуя. Т^рещенківська, 3.

ІЗ дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці інституту.

Автореферат розісланий ”9” лютого 1995 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради ґ \ (j

доктор фізико-математичних наук у'І 'ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В запропонованій роботі побудовано алгебраїчні многочлени, які ’’добре” наближають на відрізку функцію і прп цьому успадковують такі її властивості як к у_с к о-е-а-позитивність,- або к у сі "о“ в'~а-монотонність (тобто, змінюють знак або, відповідно, змінюють зник монотонності в наперед заданому наборі із з точок відрізка, подібно до функції). Обмеження такого вигляду, накладені на наближаючі елементи, називають вимушеною (constrained), або формо-оберігаючою (shape-preserving) апроксимацією.

Актуальність теми. Ще П.Л.Чебишев nofwny«~3 зростаючі и» ! { - Ь і] многочлени о найменшою на І

рівномірною нормою серед усіх зростаючих на І многочленів вигляду Рп{х) = хп + аіХп“1 + ...+йп~і вигляду Рп{х) = -.г’Ч агхп~1 -f...+а«. Далі С.Н.Бернштейн розв’язав таку ж задачу для многочленів Рп(х) з РЬч)(х) > 0, * Є /, q = 2,3,4,... .

В 1953 році Lorentz G.G. помітив, що многочлени С.Н.Бернштейна ,

В„(*;/) = 2-">'( 7 l/M'lllt.ni-rf

Г%{1

J“0 4

зберігають форму функції / в тому розумінні, що якщо ІічЧх) ^ о на /, то і В[г?\х) > 0 на /. Звідси, зокрема, випливає аналог теореми Вейєрштрасса для формо-зберігаючого наближення.

Початок сучасного етапу розвитку формо-зберігаючого наближення пов’язаний з роботами Lorentz G.G. і Zoller K.L. (див. також Shisha О. і Roulier J.A.). Так, в 1968 р., для будь якої монотонної на І функції / і кожного п Є N Lorentz G.G. і Zeller K.L. побудовали алгебраїчний многочлен Рп{х) степеня < п, монотонний на І і такий, що

!/(*) - #.(*)! < сW1 (/;/»„(ä)), і € /, (1)

1

+---------

, x Є /, n € N,

(/; /)— (перший) модуль неперервності функції /. Із (1) одразу випливає оцінка

функції / Є С(І) монотонними на / алгебраїчними многочленами степеня < п.

Природно виникла гіпотеоа, чи не сводиться вимушена апроксимація (принаймні монотонна) до наближення без обмежень. В наступній своїй роботі Lorentz G.G. і Zeller K.L. негайно спростували цю гіпотезу. А саме, вони побудували неперервно диференційовану на І функцію / о /'(я) > 0, х € для якої

де Еп(/)~ величина найкращого рівномірного наближення (без обмежень) функції / Є С (І) (довільними) многочленами степеня < п. Більш того, для монотонного наближення не виконується навіть аналог добре відомої оцінки

а саме, І.О.Шевчуком для кожного п € N побудована неперервно диференційована на І функція / о /'(х) > 0, х Є і, гака, що

Тому, починаючи о 1968 року, о робіт Lorentz G.G. і Zeller K.L. інтенсивно досліджується питання: в яких випадках класичні оцінки наближення без обмежень многочленами неперервних на відрізку / функцій / оберігаються для вимушеної

де En\f)— величина найкращого рівномірного наближення

(3)

апроксимації, а в яких ні? Мова іде про класичну оцінку типу

С.М.ІІікольського '

ІД*) - Рп{х)\ < cpT„(x)u>k(f{r)-, рп(х)), X Є /, (4)

в якій к € N, г Є N П {0}, п >Л + г - 1, с = с(гД-)> / -С^гЦі), модуль неперервно* ті функції /*г^; і

„ про наслідок оцінки (4) - нерівність

£”<лЧ')Ч/(Ч)' ,5)

Нагадаємо, класична оцінка (4) доведена А-Ф.Тіманои (випадок к = 1), В.К.Доядигом {к ^ *2). Freud G. (А; = 2), Ю.А.Брудним (к > 2).

О.С.Шведов виявив, що оцінка

(6)

яка доведена Lorentz G.G. і Zeller K,L, для к — 1 і DeVore R.А. для к = 2, - не виконується для к > 3, а тим більше не виконується відповідна поточкова оцінка. Тим часом De Vote R.A, і Yu X.M. підсилили оцінку (1), оамінивши в ній а-’і на и.у, а для г ф 0 Lorentz G.G. (випадок г = 1 = к), DeVore R.A. (г > 1 = к) і Yu.X.M. о Ma Y.P. (для будь яких г, к £ N) встановили нерівність

E^(f) < c.n~rujk (/(r>;»~1), n > k + r - 1; (7)

і нарешті І.О.Шевчук довів поточковий аналог оцінки (7).

. Таким чином, до останнього часу повністю було досліджено лише випадок 4чисто4 монотонного наближення (тобто з — О). ІЦо стосується ’’чисто” позитивного наближення, то тут рівномірні оцінки вигляду (2), (6), (7) є тривіальним наслідком оцінки (5), а поточкові оцінки до нього часу не досліджувались.

З

Мета роботи. Встановлення поточкових оцінок наближення неперервних на І кусково-монотонних та диференційованих на І кусково-монотонних, а також кусково-позитивних функцій алгебраїчними многочленами, які локально успадковують вказані властивості функцій.

Методика дослідження. В роботі використані методи теорії інтерполювання функцій та методи теорії наближення, зокрема поліноміальні ядра типу Джексона, Дзядика, нерівності Уітні, Маршу, Дзядика, апарат скіннчених і розділених різниць, класичні прямі та обернені теореми, теореми спільного наближення функції та її похідних.

Наукова новиона реоультатів та їх наукова цінність. Основні результати дисертації с новими їх зміст

полягає-в наступному:

* доведено, що класичні оцінки поточкового (а отже і рівномірного) наближення многочленами неперервних на відрізку функцій зберігаються для кусково' монотонного наближення у випадках, коли гладкість

функції характеризується: а) першим або другим моду* лем неперервності (м. н.), б) першим, другим або третім м. н. похідної, в) будь-яким м. и. будь-якої (починаючи

о другої) похідної; у решті випадків класичні оцінки не зберігаються для кусково-монотонного наближення;

» таке ж повне дослідження проведено для кусковопозитивного і "чисто” позитивного наближення многочленами; :

• як наслідок встановлено конструктивну характеристику кусково-монотонного і кусково-позитивного наближення функцій класів С.М.Янгольського і отримані оцінки формо зберігаючого наближення через оцінки наближення без обмежень.

Результати дисертації мають теоретичний характер, але

можуть бути використані як в задачах теорії функцій, так і в обчислювальній математиці.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на республіканській науковій конференції ’’Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" (м. Київ, 1990 р.), на школі ’’Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании” (м. Воронеж. -1993 р.), на наукових семінарах відділу теорії функцій Інституту математики НЛ1І України (керівник професор О.І.Стспанець).

Публікації, По темі дисертації опубліковано І роботи, список яких наведено в кінці автореферату. Результати робіт [2] і [3] отримані в процесі спільної праці, при рівному вкладі співавторів і и рівній мірі належать кожному співавтору; їх не шжяп розглядати як механічне об’єднання окремих тверджень, що належали б кожному з співавторів окремо.

Структура та об’єм роботи. Дисертація обсягом 81 сторінка машинопису. Складається із вступу, додатку до вступу, двох роодІлі.п, переліку цитованої літератури, то налічує 52 найменування, та додаткового переліку літератури, що налічує 25 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

Викладемо зміст роботи в чотирьох пунктах: и. 1° і 2° - кусково-монотонне наближення (історія питання і отри мані результати), п. 3° і 4° - кусково-позитивне наближення. Об'єм автореферату не дозволяє зробити огляд результатів, присвячених опуклій, q—монотонній, багатовимірній, Lp, сплайн вимушеним апроксимаціям, вимушеному наближенню в термінах модуля З.Діціана і В.Тотіка, вимушеним поперечникам. У додатковому переліку літератури наведені роботи Beatson R.K., Van Wickeren Е,, Wu X., Gilewicz JL DeVore R.A., Ditzian Z., Hiev G.L., Коновалова В.М., Копотуна К.А., Leviatan D., Листопада В.В., Lorentz G.G., Lorentz

R.A., Ma Y.Р., Манія С.П., Nessel R.J., Newman D.J., Павші-ка A.B., Passovv E., Raymon L., Roulier .I.A., Totik V., Hu Y., Zhpu S.P., Шведова Ö.C., Шевчука 1.0., Shisha О., Szabados J., Yu X.M., Jiang D. о mix питань.

і0. Нехай С - простір неперервних на І функцій /:/—♦/?, з рівномірною нормою

II/ IN »»ax'|/(jf)|;

х£/

£('>:= {/:/<г>єС}, г € N; С(0) := С.

Нехай s Є N, Y — Ys - фіксований набір о s + 2-х точок //,, занумерованих справа наліво: .

-1 = у>+1 < у, < ... < уі < уо - 1. (8)

Через Д<1>(Г) позначимо множину функцій / € С таких, що / не спадає на відрізку при і парному; / не зростає

на [у,•+!,$/,•] при і непарному. Функції / € А^^(У) називають комонотоншши між собою (оа набором К). Позначимо Vn -простір алгебраїчних многочленів степеня <п, п € N;

Ei'4f ;Y):= inf || / - Р, Ц

РпЄРпПДОЦу)

- величину найкращого рівномірного наближення функції / Є ДМ(К) шіогоадеяами Рп Є Vn ^

Нагадаємо, що к-и тЩ'іШї нтсрервіюстї функції / € С називається функція

«>*(/; 0 :=* &Up sup

при t є [о, f]; W*(/; t) S и;*(/; |) при t>l;pß

(\ )/(* + «)

- к-a. різниця функції / в точні х о кроком h.

Скрізь надалі Na, Вл і Baß позначають, взагалі

кажучи, різні додатні сталі (константи), які залежать тільки від а і, відповідно, тільки від er, ft.

Відомі наступні результат» наближення функції / б Д(,*(К) многочленами Рп Є V« П Д^(К). Роботи Newman

D.,)., Passow E., Raymon L. і Roulier J.A. містять перші оцінки такого-наближення (див. зокрема, далі, (13), (14)).

Hiev G.L. і незалежно Newm=m D.J. довели оцінк}

EPU-,Y)<BtuxU‘trr'), п € N. (9)

О.С.Шведов (див. також Yu Х.М.) підсилив оцінку (й). оамінивиш в ній перший модуль неперервності u;i{/; i) другим модулем неперервності і)\ а саме, ним доведена

оцінка

Е{п\ї',У) < Вуи2(/\п~1), п € N. (10)

При цьому, він же довів, що сталу By в (10) неможливо замінити на В,. Оцінка (10) тягне оцінку

Е^{І\У)<^ xihn'% *€N, (И)

n

для / 6 С^ПД^(У). Аналогічно (9), сталу By в (11) можно замінити сталою В, (див. Beatson R.K. і Leviatan D.). Io (9) і (10) для / Є П Д^(У'), г — 1 V 2, випливає оцінка

(12)

причому, як було сказано, Iliev G.L., Newman D.J. (г — 1). Beatson R.K. і Leviatan D. (г = 2) довели (12) зі сталою B„.

Для гладкості більше двох відомі оцінки Passow E., Raymon L. і Roulier J.A.: якщо / £ С^ П Д^(К) то

F$\f\ У) < Br~, (2n)’^J. » > 2fr - І). (¡Лі

£<^;У)<£н,г-.п2^Ц^, п> 4(г + 1). (14)

Наслідком основних теорем 2.1, 3.1, 4.1 розділу І (див. їх формулювання в п. 2°) е

Теорема 0.1. Нехай т Є N. Якщо / Є С^ П Д^(У'), то при кожному натуральному п > г — 1 існує многочлен Рп Є РпП А^(У) такий, що

Оцінка (16) при г — 1,2 співпадає з (12), а при г > 2 суттєво уточнює оцінку (14). Оцінка (15) у випадку кусковомонотонного наближення с новою для всіх г 6 N. Нещодавно Сі1е\\'ісг Л. і 1.0.Шевчуком (в друці) доведено, що в (16) Ву,г можно замінити на В^г при всіх г Є И, а не тільки при г = 1,2. Це ж стосується оцінки (15), але тільки для випадку 5=1. Якщо з > 1, то, як свідчить приклад 5.1 з §5, в оцінці (15) замінити Ву,г на В,<г, взагалі кажучи, неможливо. Оскільки в дисертації вивчаються насамперед оцінки вигляду- (15), а оцінки вигляд}' (16) виводяться лише як тривіальні наслідки поточкових оцінок, то, з врахуванням прикладу 5.1, питання про можливість заміни ВуіГ на В,іТ в дисертації не досліджується.

2°. Сформулюємо основні в розділі І теореми 2.1, 3.1, теорему 4.1 та їх наслідки - теореми 0.2 і 0.3. Відзначимо, то теорема 2.1 доведена автором у роботі [1], теорема 3.1 -спільно з І.О.Шевчуком і Сі1е\\ісг: Л. [3], теорема 4.1 -• спільно з І.О.Шевчуком і В.В.Листопадом [2]. Доведення теореми 4.1 з роботи [2] в дисертацію не включено, а теорема 4.1 доведена у §4 як простий наслідок твердження 1 з §3.

< Вг, ||/1’>||

Рп

(15)

зокрема,

(16)

Теорема 2,1. Якуі,о / Є Д^(К), то при кожному п Є N існує многочлен Рп € Vn П Д^^(К) такий, тцо

I f(x) - Рп(х)І < By w2(/; рп(х)), і € /. (17)

Теорема 3.1. Якщо / Є С^ПД^^У ), то при кожному натуральному п > 3 існує многочлен Рп Є Т^П Д^(УО такий, що

|/(х) - Рп(х)| < Вг/?п(х)и>з(/';/?„(х)), X €/• (18)

Теорема 4.і. Нехай k € N. Якщо j € П Д^‘;(У ), то при кажному натуральному п > А: + 1 існує многочлен Рп t Рп П Д^ОО такий, що

\/(х)~ Рп(х)\<Ву'крІ(х)и,'к(/";рп(х)), хе І. (19)

Wu X. і Zhou S.P. довели, що в нерівності (10) (а отже, і в (17)) другий модуль неперервності и.'3, взагалі кажучи, не можна замінити к-м модулем неперервності иjk з к > 3. Аналогічно в (18) третій модуль неперервності иі3 не можна замінити на о к > 1, про що свідчить приклад 5.2 з §5 (приклади з §5 опубліковані в [3]). Таким чином, для всіх _< Є N, А: Є N і г € N U {0} з’ясовані всі випадки, коли вірні або хибні наступні судження 0.1 і 0.2. А саме, обидва судження хибні у випадку r = 0<fc — 2iy випадку г = 1 < к — 2. У решті випадків обидва судження вірні.

Судження 0.1. Якщо / 6 С^ П Д^(У'), то при кожному натуральному п > k + г — 1 вірна оцінка

Е^(/; >0 < ВУХТ uk (V>;і) , (20)

де Ву^ т — const залежить тільки під Y, k і г.

Судження 0.2. Якщо f € С^ П ДМ(К), то пру кожному натуральному п > k + r — 1 існує многочлен Рп Є ТпПА^1\¥) такий, що

\f(x) - Pn(x)І < By,k,rprn(x)uk(f^pn(x)), .т Є /, (21)

де BY,k,r — const залежить тільки від Y, k .i г.

Крім теореми 0.1 ті теорем 2.1. 3.1 і 4.1 випливають також теореми 0.2 і 0.3.

Нехай а = г + /?, де 0 < /? < 1, (г + 1) € N; Я" * клас функцій / Є С(г\ для яких w2(/(r>; t) = 0(t°), / -♦ 0 + . Теорема 0.2. Пехай а > 0. Функція / Ç. Н° П Д^(У') тоді і тільки тоді, коли існує послідовність многочленів Рп Є Р„ПД(Ч(У) така, що

f-Pn

Рп

0(1), п —* оо.

Достатність в теоремі 0.2 випливає із класичної оберненої теореми В.К.Доядика.

Для а > 0, п Є N і / € С позначимо

G..M)

/-Я.

К

. Gïll/il') != W

Гпе

'т»лпл(*)(у)

/'п

Для п = 0 позначимо Go,a(f) = G[]l(f\Y) ||/(0) - /||.

Очевидно (7n,c(/) < Y). Разом о тим має місце

Теорема 0.3. Нехай а > 0 — фіксоване число. Якщо / € Д^(У'), то

sup <%l{f\Y) < By,* sup С7„.а(/).

n>a —1 n>rt—l

Теорема 0.3 e наслідком класичної оберненої теореми

Н.К.Дпядика, а також теореми 2.1 (випадок а < 2), теореми 3 1 (1 < (у < 4) і теореми 4.1 (а > 2).

Доведення теореми 2.1 суттєво спирається на специфіку другого модуля неперервності і пов’язаний □ ’’виправленням” многочлена Q*n € Vn, який побудували DeVore R.A. і Yu Х.Мгдля'конаблнження скрізь неопадної на І функції / Є С (тобто, для випадку з ~ 0). Доведення теорем 3.1

і 4.1 пов’язані э перенесениям складної нелінійної техніки

І.О.Шевчука о випадку монотонного наближення на випадок кусково-монотонної апроксимації. Здійснення такого перенесення і. скажімо, сам характер техніки дозволяє автору відзначити її універсальність для отримання прямих оцінок __фп^мо-пп«»р!Гй!о.“'>гл.?!?,б.’ік:ксп:іл. ЇІіпрпклад. и* шіимшо*. ціп технік и '.О.Шсачуком, В.П.Листопадом і автором (див. дисертацію В.Б.Листопада, а також УМЖ, 1993, 45, 1, 3843), для випадку г > 2 була доведена і наступна теорема (випадок г = 1,2 належить Leviatan D.)

Теорема. Нехай г 6 N. Якщо неспадна на І функція / € С мас па ( — 1,1) локально абсолютно неперервну (г -- 1)-у похідну і |/*г)(л;)(1 — х2)г!2\ < 1 майже скрізь па 7, то для кожного натурального п > г — 1 існус нсспадиий на І многочлен Рп 6 Vr. ти хіпі, іцо

\/(х)~Рп(з]; « С = С(Г) — COnSl, X Є І.

3°. Нагадаємо, .............

У = к = {у, : -1 = У,+\ < у,<■■■< У\ < у<) — 1}■

Через Д<°>(У') позначимо множину функцій / Є С таких, що / не від’ємна на відрізку уЦ При І парному; / не додатна Ш ищ І нешцикту. Функції / € Л^(У') ііатшйють

копозитивішмгґ а?6ою (за набором У'). Иоінатимо

£«»(/; У) :== \\f~KW

п . ^егппАт(У)

— величину найкращого рівномірного наближення функції / Є Д(°)(У) многочленами Рп Є Т>п П Д(°)(К). Нагадаємо,

' Еп(Л:=М Ц/-ДЦ.

• г» С » П

Очевидно

£..(/) < Л’і0>(/; {-1,1}) < 2 £„(/). (22)

Відомі наступні результати наближення функції / Є Д^(К) многочленами Рп Є Рп П Д^(У). Перші оцінки такого наближення належать Развом Е., Иаупіоп Ь. і йоиііег Л.А..

Ьеуіаіап И. довів оцінку

Е^и-,У)<В^п~'), (23)

де В - абсолютна стала. Ни У., Ьеуіаіап В. і Уи Х.М. підсилили (23) і встановили

Е^и-,У)<Вущ{/\п~% п>Л>. (24)

Нещодавно К.А.Копотун, для кожного п > ЛУ, довів нерівність

|/(х) - Р„{х)\ < В,и3{і\ Рп(х)), хеі. (25)

Із (25) випливає оцінка

Е^Ц-,У)<ВуШзи<п-% п>АУ, (26)

яку довели також Ни У. і Уи Х.М., як наслідок аналогічного результату для сплайніп. Оцінка (26) (а отже, і (25)) є осто-точною в тому розумінні, що існує функція / Є С^ПД^Г), для якої .

£<0)(/;У)

Ііш — . ’”Т = оо; (27)

п-*оо іл!4(]\П ')

цей результат належить Zhou S.P..

Для класів диференційованих функцій Leviatan D. (для г <

2) і Yu Х.М. (для г > 2) показали: якщо / Є П Д^(Г)

Ґп достатньо велике^ то іспуе многочлен Р„ Є ~Рп П А^(У )— такий, що

E^\fxY) < Ву'Гп~г(28)

Оцінка (28) була підсилена Hu Y., Leviatan D. і Yu X.M.. Л саме, для / Є і кожного п > ЛУ,* ВОН1І

побудували многочлен Рп € Рп П A^(Y) такий, що

< Ву,кп-1ик{Г;п-1). (29)

Таким чином, враховуючи результат«» І.О.Шевчука (для п = к + г — 1, див. далі (34)) при всіх з Є N, Аг € N і г 6 NU {0} були ¡з’ясовані всі випадки, коли вірне або хибне наступне судження 0.3. А.саме, судження 0.3 хибне у випадку г ~ 0 < к — 3, ав решті випадків воно вірне.

Судження 0.3. Якщо / Є С^ П Д^^К), то при кожному натуральному п > k -f г — 1 вірна оцінка

Y) < BY.k,r ujk (Vr); , (30)

de BY,k,r — const залежить тільки від Y, k і r.

•Зазначимо, ню при з = 0 судження 0.3 вірне для всіх k £N и r Є N U {0}, що тривіально випливає з (22).

Із результату К.А.Копотуна (див. (25)) випливає вірність наступного судження 0.4 для випадку г = 0 > k — 3, а ;» результату Zhou S.P. (див. (27)) - хибність цього судження для випадку г = 0 < fc — 3. В § б розділу' II доводиться вірність судження 0.4 для р-гштп випадків, тобто для всіх k Є N, г Є N і s Є N.

Судження 0.4. Якщо / Є П Д^(У), то при кожному натуральному п > Ar-fr — 1 існує многочлен Рп Є Рп ПД^(У)

такий, що

\/{х) ~ Рп{х)\ < Ву,к,г ргп{х)ик(/(г)\рп(х)), хбі, (31)

де Ву,к,р = сопзЬ залежить тільки від У, к і г.

На відміну від судження 0.3, судження 0.4 не є тривіальним для "чисто” позитивного наближення, тобто для з = 0. Тим не менш неважко довести, що і у випадку з = 0 судження 0.4 вірне для всіх к Є 14, г 6 N и {0} (див. в кінці автореферату теорему 7.1).

4°. Основним результатом розділу II є теорема 6.1. Позначимо .

І

П(аг) := П(*;К) := П(* - Ы-/=і

Теорема 6.1. Нехай к 6 N. Якщо / Є С*1* і /(х)П(х) > 0, аг Є /1 то для кожного натурального п > ЛУ,* знайдеться алгебраїчний многочлен Рп = Р„(х) степеня < п такий, що

Рп(х)П(х) >0, х Є і, (32)

\/{х) - Рп{х)\ < В^рп(х)шк(/']рп(х)), хЄ/. (33)

При к = 1,2 теорема 6.1 випливає о (25). Теорема 6.1 доведена шляхом ’’виправлення” многочлена, який без обмеження (32) наближає функцію / Є А^(У) зі швидкістю (33). Із теореми 6.1 і нерівності

. 40|(/іУ)<ВгЛи» (/';*-') (34)

випливає .

Теорема 0.4. Нехай к € N. Якщо / Є С'^ПД^(К), то при кожному натуральному п > к існує многочлен Рп Є Рп П Д^(К) такий, що

\/(х) - Рп(х)\ < Ву%1срп{х)шк(/Г[р„(х)), х €/. (35)

Сформулюємо три наслідкїі теореми 6.1, 0.4 і, відповідно, класичної оберненої теореми В.К.Доядика.

Теорема 0.5. Нехай т Є N. Якщо / Є П Д^(К), то при кожному натуральному п > г — 1 існус многочлен Рп&~ Тп П л^(У) такий, що _________------------'

f-Pn

Рп

зокрема.

4°Ч/;У) < By.,

nr

Теорема 0.6. Hern it л- > о. Фипкціг f. c7/f n Д^(У) uivdt

* тільки їпоііі. коли ¡сну* послідовність многочленів Рп Є Vn П Д(0*(У') така, що

/-Рп

0(1), п -+ оо.

Для a>0,n€Ni/£ Д^(К) позначимо

І ~Рп

Рп

о!« у.У)~ inf

/,пЄРлПЛ(“)(Г)

Очевидно GnM(f) < СІ°о(/; У). Ралом а тим має місце Теорема 0.7. Нехай а > 0 — фіксоване число. Якщо / Є Д(0>(Г), то

Ф СІ°>,(/;У)<Аг.л sup GnM)-

su\

n>a- 1

n>a-l

Насамкінець, сформулюємо теорему 7.1 ¡о § 7.

Теорема 7.1. Нехай к £ N. Якщо / Є С і /(х) > 0, х Є І, то при кожному натуральному п > к — 1 знайдеться невід'ємний на 1 многочлен Рп Є Рп такий, що

!Ііх) - Рп{х)\ < Bku>k[f; рп{х)), Т є І.

Результати розділу II опубліковані в (4].

Автор висловлює щиру вдячність науковому керівнику Ігорю Олександровичу Шевчуку оа постановку задач, постійну увагу і підтримку в роботі.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

[1] Доюбенко Г.А. Поточечная оценка немонотонного приближения // Укр. мат. журн. - 1994. - 46, N 11. - С. 1467-1472.

[2] Dzjubenko Н.А., Listopad V.V., Shevchuk I.A. Comonotone approximation poiritwise estimates for twice differentiable functions. Preprint. CPT-94/P.3067. CNRS Lumini, Marseille, France.

[3] DzyubenkoG.A., Gilewicz J., Shevchuk I.A. Piecewise monotone pointwise approximation, Preprint. CPT-94/P.3121. CNRS Lumini, Marseille, France.

[4] Dzyubenko G.A. Copositive and positive pointwise approximation Preprint series. - Київ, 1994. -He.- {Препр./ HAH України Ін-т математики; 94.38).

Доюбенко Г.А,

Формо-сохраняюхцее приближение кусочно-монотонных и кусочно-положительных функций. Рукопись. Диссертация на соискание ученой- степени-кандидата"-фтшко-математнческнх наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украины, Кие», 1994.

Установлены оценки приближения на отрезке кусочномонотонных (а также кусочно-положительных) функции алгебраическими многочленами, которые локально наследуют монотонность (соответственно, знак) фунххк»«

Osyubcako G А.

Shape-preserving approximation of piecewise monotone and piecewise positive functions. Thesis for a degree of Candidate, of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.01

- Mathematical Analysis. Institute of Mathematics, National Academy of sciences of Ukraine, Kyiv, 1994.

The estimates of approximation on a closed interval of piecewise monotone (piecewise positive as well) functions by an algebraic polynomials having the same local nonotonicity frespectively. sign) as a function are established.

Ключов) слова:

наближения многочленами, кусково монотонне наближения, кусково позитивне наближения.

Шдтт. до-др) ку 01.02.95. Формат GO х 84/10. Пан:р друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 0.93. Оба.-вид. арк. 0.8. Тираж 100 пр. Зам. N23. Везкоштовно.

Вцщруковано в Тнституп математики ИЛИ Уг.раТни. '252601 Кии» МОП, вул. Терешенкпм:ька, 3.