Формы представления и конкретизация определяющих соотношений нелинейной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

( ^ На правах рукописи

КОЗЛОВ ВИКТОР ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КОНКРЕТИЗАЦИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

005007649

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2012

Тула 2011

005007649

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Матченко Николай Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Шоркин Владимир Сергеевич

Ведущая организация: НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова,

г. Москва

Оо

Защита диссертации состоится « 8 » февраля 2012 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д.212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина, 92 (12-303).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан »декабря 2011 г.

Ученый секретарь л

диссертационного совета ^^—' Л.А. Толоконников

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Нелинейно-упругие материалы, к которым можно отнести резины и другие эластомеры, широко применяются на практике. В изучении их поведения принципиально важным является развитие теории определяющих соотношений, позволяющих строить соответствующие модели. Этому вопросу посвящены работы B.JI. Бидермана, Г.Л. Бровко, Э.Э. Лавендела, Е.В. Ломакина, А.И. Лурье, A.A. Маркина, Н.М. Матченко, A.B. Муравлева, В.В. Новожилова, A.A. Рогового, Л.А. Толоконникова, Л. Трелоара, П.В. Трусова, A.A. Трещева, B.C. Шоркина и других учёных. Актуальным представляется не только предложение новых определяющих соотношений, но и общий анализ уже имеющихся подходов, что необходимо для выбора оптимального из них при решении конкретных практических задач.

В диссертации рассматривается класс сжимаемых материалов, удовлетворяющий частному постулату изотропии Ильюшина и позволяющий разделить конечное деформирование на изменение объема и формы, учесть эффекты разносопротивляемости и дилатации.

Использованию частного постулата изотропии посвящено немало работ. Однако до сих пор нет четкого ответа о степени его достоверности при конечных деформациях, поэтому актуальной является разработка программ экспериментов, позволяющих установить возможные отклонения от ограничений частного постулата для несжимаемых материалов.

Актуальным для конкретизации определяющих соотношений представляется сопоставление полученных в работе решений задач о комбинированном сдвиге полого цилиндра с экспериментальными данными.

Цель работы. Анализ основных подходов к построению определяющих соотношений нелинейной теории упругости с целью выбора моделей, позволяющих последовательно отразить свойства сжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях.

Научная новизна. Получены общие инвариантные тензорные формы представления определяющих соотношений для сжимаемых и несжимаемых материалов через удельную свободную энергию, рассматриваемую как функцию инвариантов тензора Коши-Грина. Показано, что известные модели, следующие из таких представлений, не могут удовлетворить частному постулату изотропии.

Установлена возможность последовательного описания разносопротивляемости и дилатационных эффектов сжимаемых материалов в случае

представления удельной свободной энергии функцией двух инвариантов тен-

з

зора Генки. При этом определяющие соотношения удовлетворяют частному постулату изотропии.

Разработана методика анализа результатов экспериментов на растяжение-сжатие, чистый сдвиг по напряжениям и деформациям, позволяющая конкретизировать и устанавливать степень достоверности соотношений, определяющих свойства сжимаемых и несжимаемых материалов.

В отличие от известных задач, поставлены и решены новые задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра при конечных деформациях в рамках моделей сжимаемого и несжимаемого материалов.

Теоретическая ценность работы состоит в решении важной научной задачи конкретизации и проверки достоверности определяющих соотношений нелинейной теории упругости на основе предложенного анализа экспериментальных данных, получаемых в процессах растяжения-сжатия, чистого сдвига и комбинированного сдвига полого цилиндра.

Практическая ценность полученных результатов состоит в возможности их использования для описания механических свойств изделий из эластомеров, для расчета резинометаллических шарниров и уплотнителей, применяемых в машиностроении.

Работа выполнена в рамках программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (контракт Ш125)».

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, сравнением частных выводов с результатами других авторов, использованием апробированных методов решения получаемых уравнений.

На защиту выносятся:

- анализ подходов к построению определяющих соотношений нелинейной теории упругости;

- аналитические решения для различных видов связи напряжений и деформаций для моделей простого растяжения (сжатия) и чистого сдвига по деформациям и напряжениям, их связь с экспериментом;

- метод определения достоверности частного постулата изотропии из модели чистого сдвига по деформациям;

- численные результаты моделирования процесса комбинированного сдвига полого цилиндра.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены и обсуждены на XIV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва,

2007 г.; научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. Л.А. Толоконникова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, три из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка литературы. Работа содержит 107 страниц машинописного текста, включая 28 рисунков и список литературы из 87 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяются цели исследований, излагаются научная новизна и практическая значимость работы, приводится структура диссертации.

В первом разделе определяются основные меры деформаций, используемые в нелинейной теории упругости.

Приводятся выражения алгебраических и естественных инвариантов этих мер (дальнейшие обозначения алгебраических инвариантов тензора Ко-ши-Грина - Jl, и'2, Jъ). Отмечается, что естественные инварианты левого тензора Генки позволяют разделить процесс деформирования на изменение объема и формы: в = Т--Е - первый естественный инвариант тензора Г, характеризующий изменение объема, э=(г ••Г)'/2 - второй естественный инва-

¡Г I

риант Г (интенсивность формоизменения), соэЗу = , где у - фаза де-

формированного состояния (угол вида).

Представлены различные меры описания напряженного состояния сплошной среды, в частности, энергетический тензор напряжений Т и «повернутый» тензор напряжений <тя, связанные с тензором истинных напряжений 5 соотношениями

В работе используются естественные инварианты «повернутого» тензора напряжений: первый инвариант 3а0=ап--Е, интенсивность напряже-

Содержание диссертации

где Ф - аффинор деформации, Я - тензор поворота,

нии г = (сги • -сгд) , угол вида напряженного состояния <р.

Записываются две формы уравнения равновесия, используемые при рассмотрении задач для неоднородных деформированных состояний.

Приводятся представления элементарной работы напряжений, используемые для построения определяющих соотношений:

<1'АМ =Т--с1£, ¿'А{е) = • -¿¡Г = ак ■ -г/Г + а^в

Во втором разделе рассматриваются нелинейно-упругие изотропные материалы, для которых записывается основное термомеханическое тождество

йц/ + цсГГ = О

где у/ - свободная энергия, 77 - энтропия, Т - температура, - элементарная работа напряжений.

Нелинейно-упругий материал определяется как материал, свободная энергия которого является функцией тензора деформаций Коши. Тогда тензор Коши либо любой другой тензор деформаций, который есть его функция, полагается параметром состояния упругого тела. Для изотропных материалов возможно построение функции свободной энергии в зависимости от инвариантов тензора деформаций. В частности, свободная энергия может представляться функцией вида = У2,/3).

В выражении свободной энергии как функции естественных инвариантов левого тензора Генки не учитывается её зависимость от угла вида деформированного состояния у (предполагается выполнение частного постулата изотропии Ильюшина): у/ = у/{9,э).

Связь между энергетическим тензором напряжений и тензором деформаций Коши-Грина для сжимаемых материалов принимает вид

£ + -———£ . (1)

" д '

Г =

\

ЗУ, дJ■l ЭУ3

Е-

8 ./, дJ■s у

Для сжимаемых материалов «повернутый» тензор напряжений связан с тензором Генки в рамках частного постулата соотношением

_ Тдц/ дц/

—Е. (2)

Для несжимаемых материалов связь энергетического тензора напряжений с тензором деформаций Коши-Грина принимает форму

т= дц/

оУ,

ду/

д^ 1 а^з"

./,+2./.,+4/3 = 0

Е-

- [д^

-42

(3)

где J¡ + 2 Jг + AJi = 0 - условие несжимаемости, Я - множитель Лагранжа.

Связь «повернутого» тензора напряжений и тензора Генки в рамках частного постулата для несжимаемых материалов записывается в виде

э дэ

(4)

где в = О - условие несжимаемости. При этом в соотношении (4) становится возможным ассоциировать множитель Лагранжа с первым инвариантом тензора истинных напряжений Коши.

Далее рассматриваются различные варианты представления свободной энергии, и производится анализ конкретных определяющих соотношений.

В частности, для описания поведения несжимаемых материалов использованы выражения свободной энергии в формах Трелоара, Муни-Ривлина, Бидермана.

Для сжимаемых материалов рассматриваются представления свободной энергии в формах Гузя и Мурнагана, подчеркивается вырождение связей напряжений и деформаций в закон Гука для малых деформаций.

При рассмотрении свободной энергии в виде ц/ = ц/{в,э) для сжимаемых материалов приводится выражение, соответствующее предельному случаю частного постулата изотропии:

Тогда связь напряжений и деформаций (2) преобразуется следующим образом:

<тя = ая + а0Е = т(э)- + <т0 {в)Е

(5)

Определяющее соотношение (5) естественным образом разделяет процесс на изменение объема и формы.

Рассматривается представление свободной энергии цг = ц/(в, э) в форме

ц/ = у/0 + - Кв2 + в э2 +- свъ + с£ э2 0 2 3 2

(6)

где 1//а - начальная энергия; К, б, с, с2 - постоянные. Соотношению (6) соответствует связь напряжений и деформаций

С-Й=2(с + с2е)Т+(кв + св2 +с2э2)Е (7)

Отмечается, что соответствующий выбор констант в законе (7) позволяет контролируемо описывать те или иные нелинейные эффекты. В частности, для сжимаемых материалов, если с2 =0, процесс разделяется на изменение объема и формы. Если дополнительно положить с = 0, то не учитывается разносопротивляемость при растяжении-сжатии. В том случае, когда с2 ф 0, отражается появление гидростатической составляющей при формоизменении.

В работе используются следующие из (7) квазилинейные определяющие соотношения:

для сжимаемых материалов

ал - ЮГ + КОЕ (8)

для несжимаемых материалов:

«тк=2СГ + СТо£ (9)

Показано, что известные определяющие соотношения, построенные на основе свободной энергии вида у/,(У1>./2,./3), не позволяют описать разделение объема и формы, разносопротивляемость, появление гидростатической составляющей при формоизменении как частные случаи путем соответствующего подбора констант. Это объясняется неустранимой зависимостью алгебраических инвариантов 3, от всех трех естественных инвариантов левого тензора Генки, и, следовательно, невыполнением частного постулата изотропии Ильюшина.

В третьем разделе анализируются однородные виды напряженно-деформированного состояния, для описания которых используются различные связи напряжений и деформаций, введенные во второй главе. При этом рассматриваются условия конкретизации и проверки достоверности определяющих соотношений, исходя из возможности экспериментальной реализации процессов однородного деформирования.

Сначала производится анализ простого растяжения (сжатия) как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов, которое предполагает следующие условия относительно компонент тензора истинных напряжений Коши:

5„=0, .522=0, 533*0 (10)

Исходя из ограничений (10), для сжимаемых материалов находится зависимость ЦЯ,), а для несжимаемых определяется множитель Лагранжа

Л(/!з) либо гидростатическое напряжение. Строится зависимость условного напряжения Р3 от степени удлинения /¡3.

Для несжимаемых материалов приводится сравнение модельных связей Р3(А3) с экспериментальной кривой, взятой из работы Трелоара. При проведении эксперимента им использовались образцы, содержащие 8% серы, которые вулканизовали в течение трех часов при температуре 147 °С. Было установлено, что подобные образцы можно было считать упругими вплоть до 450% деформации.

..........ехрептеп! -Тге1оаг ............-Б1сЗегтап

1 1.1 1.2 1.3 1.< 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

Рис. 1. Зависимости Р3[Л3) для различных определяющих соотношений, а также экспериментальная кривая.

Из рисунка 1 следует, что определяющее соотношение (9) ближе к экспериментальной кривой по сравнению с моделями Трелоара и Бидермана.

При рассмотрении кривой растяжения-сжатия устанавливается, что соотношения (8), (9) не описывают разносопротивляемость материала, однако, этот результат полезен как частный случай, когда подобный эффект не обнаруживается. В то же время соотношения Гузя, Мурнагана, Трелоара, Муни-Ривлина, Бидермана не описывают возможность отсутствия разносопротив-ляемости.

Показано, что для конкретизации определяющих соотношений в рамках предельного случая частного постулата изотропии достаточно эксперимента на растяжение, поскольку из экспериментальных данных можем получить аппроксимацию г(э)и дополнительно сг0(9) для сжимаемых материалов, а именно эти функции входят в связи напряжений и деформаций, удовлетворяющих предельному случаю частного постулата.

Далее в работе рассматривается возможность проверки достоверности частного постулата, исходя из анализа результатов, которые могут быть получены в экспериментах на чистый сдвиг несжимаемого материала.

Для чистого сдвига по деформациям с учётом условия неизменности объема выполняется следующая связь удлинений материальных волокон:

¿2 '> =1> при этом напряженное состояние удовлетворяет условию

*„=0. (И)

Такие требования можно выполнить, удерживая образец в виде прямоугольного параллелепипеда в направлении е3, одновременно сжимая его вдоль ё2 (в направлении ё, автоматически происходит удлинение в силу несжимаемости).

Из определений естественных инвариантов следует, что угол вида левого тензора Генки постоянен для всего процесса деформирования и равен . Для общей связи напряжений и деформаций несжимаемых материалов в рамках частного постулата

Отсюда следует, что девиаторы 5 и Г пропорциональны, и угол вида напряженного состояния равен ^.

С учётом условия (11) компоненты девиатора тензора истинных напряжений имеют вид

э

а условные напряжения Ри, Р22, действующие на образец, связаны выражением

Р 2

— = —- = 2Л, (12)

^з Л

р /

Сравнение зависимости ур , получаемой экспериментально, с зави-/ "ъ

симостью (12) позволяет установить пределы достоверности частного постулата изотропии Ильюшина.

Показано, что известные определяющие соотношения, следующие из формы (3), не удовлетворяют частному постулату изотропии Ильюшина.

ю

В частности, для модели Трелоара угол вида тензора истинных напряжений Коши существенно отклоняется от значения ^:

Рис. 2. Зависимость угла вида тензора 8 от степени удлинения образца Л, для свободной энергии Трелоара (с1 =3.8 кг/см2).

В четвертом разделе рассматриваются две задачи о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра: первая предполагает несжима-

котором внешняя и внутренняя цилиндрические поверхности полого цилиндра из эластомера жестко скреплены с металлическими обоймами. К внешней обойме прикладываются сила Т7 в направлении оси симметрии и крутящий момент М. Внутренний металлический валик закреплен неподвижно. Задачи естественно решать в цилиндрической системе координат.

Пусть (Я,в,г0) - цилиндрические координаты материальной точки цилиндра в начальном состоянии, (г,<р,г) - цилиндрические координаты этой

же точки в деформированном состоянии.

Для несжимаемого материала связь между указанными координатами будет выглядеть следующим образом:

г = Я; р = 0 + г = гя(й) + г0. (13)

В случае сжимаемого материала закон движения принимает вид

г=г(Я); р = 0+0к(/г); г = 2Л(К) + 20, (14)

где вв(Я), г(Я) - обобщенные перемещения материальных точек.

Векторы исходной цилиндрической системы обозначаются как ёл, ёв, ёГа. Вводится подвижная цилиндрическая система координат, повернутая относительно исходной на угол и имеющая базис ёг, ёг, ёг.

Для несжимаемого материала имеет место следующее выражение тензора поворота:

Я = /Гёё

где

Я'"

2а4а + 4

{а + 2)

аг+2а (а+3а)яв'к (а1+3а)г'к

аЯд'к (а + 2){1Ю'й)2 {а + 2)Щ?Я (а + 2) ад (« + 2)42

аг„

-(а2 + 4а)

Щ

ад

о

/ 2

о -ад

-ад

а = гд2+(Л|9д)2, Я[2 = + —, ё, - базисные векторы исходной цилин-

-» (я!

дрической системы координат (е, = ёя, ё2=ёв, ё3 = его), ё/ - базис поверну-

л1 '-А '

той системы (е,4"' = ег, = е , е3

Тензор Генки для несжимаемого материала принимает вид

Г = Пёёл

где

г,у =

1п Л

кхЛ,

+1)1

а А? -¡а^'п

МЩ {М'яУ М'А

и*)2 ад

ад ,

При решении задачи в рамках предположения несжимаемости материала используется определяющее соотношение (9), и тензор истинных напряжений представляется в виде

(15)

Для сжимаемых материалов используется определяющее соотношение (8); зависимость компонент тензора истинных напряжений от искомых функций принимает форму

(16)

Как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов тензор 5 записывается в базисе повернутой цилиндрической системы.

Уравнения равновесия в указанном базисе принимают вид

р' ¿р

25

+ —^ = 0,

Р' ар р

=о,

Р' ¿Р 1 ^ ,

р' ¿р р

(17)

= 0.

где р - безразмерная радиальная координата, отнесенная к внешнему радиусу

Следствием уравнений (15), (17) является представление компонент тензора истинных напряжений для несжимаемых материалов в виде

о. (18)

р р

Константы сх, с, определяются через усилия, приложенные к внешней обойме:

с^мДгя-Д^с^Дг^), (19)

где

Обобщенные перемещения удовлетворяют следующим граничным условиям

где

В результате задача о комбинированном сдвиге для несжимаемых материалов сводится к системе нелинейных уравнений (18)-(20), которая решается численным итерационным методом.

Для сжимаемых материалов система (17) и уравнения (14) рассматриваются как система дифференциальных уравнений относительно функций обобщенных перемещений, дополненная граничными условиями

Для решения полученной задачи используются численные методы, в частности алгоритм Левенберга-Марквардта. Соответствующие вычисления производятся в математическом пакете МаИлЬ.

Полученное решение позволяет по заданной траектории внешнего деформирования (зависимостям а =а(*), И. = И. (г) на внешней обойме, где г -некоторый параметр) определить закон изменения отнесенных к единице длины цилиндра внешнего момента М{а,И2) и силы Р(а,/гг).

В частности, приводится графическая зависимость М(а) для кругового сдвига полого цилиндра из сжимаемого материала, характеризуемого параметрами а(() = с, к(г)=0, г е[0,0.67], 0.6, С = 3.8 кг/см2.

к

12 1

0.8

£

0.6

0.4

0.2

°0 01 02 51 04 05 06 07

а

Рис. 4. Зависимость М(а) для кругового сдвига полого цилиндра.

Произведено сравнение результатов решения задачи в рамках модели сжимаемого и несжимаемого материалов. Выявлено их незначительное различие.

Сравнение теоретически полученных законов изменения внешнего момента и силы с экспериментальными зависимостями позволяют установить степень достоверности используемых определяющих соотношений.

Результаты и выводы.

1) Представление свободной энергии через естественные инварианты тензора Генки в рамках частного постулата изотропии позволяет последовательно отразить различные виды реакции материала на конечные упругие деформации: в частности, построить модель, независимо реагирующую на изменение объема и формы; модель, отражающую разносопротивляемость всестороннему растяжению-сжатию; учесть появление гидростатической составляющей при формоизменении.

2) Представление свободной энергии через инварианты тензора Коши-Грина не позволяет последовательно отразить реакцию сжимаемого материала на изменение объема и формы при конечных деформациях, эффекты раз-носопротивляемости и дилатации, удовлетворить требованиям частного постулата изотропии.

3) Использование для несжимаемых материалов определяющего соотношения в форме связи между «повернутым» тензором напряжений и тензором Генки позволяет ассоциировать множитель Лагранжа с первым инвариантом тензора истинных напряжений. В случае использования связи между энергетическим тензором напряжений и тензором деформаций Коши-Грина это условие не выполняется.

4) Для конкретизации соотношений, определяющих свойства как сжимаемых, так и несжимаемых материалов в рамках предельной формы частного постулата изотропии при конечных деформациях достаточно экспериментов на растяжение.

5) Результаты эксперимента на чистый сдвиг по деформациям позволяют установить величину деформаций, при которых отклонения несжимаемых материалов от частного постулата изотропии могут стать существенными.

6) При комбинированном сдвиге наблюдаются незначительные отличия зависимостей внешнего момента и силы от соответствующих обобщенных перемещений обоймы в случае использования моделей сжимаемого и несжимаемого материалов

7) Сравнение экспериментальной и теоретической зависимостей внешних момента и силы от перемещения внешней обоймы при комбинированном сдвиге может быть использовано для установления степени достоверности используемых определяющих соотношений.

1. Козлов В.В. Анализ плоско-деформированного состояния при круговом сдвиге нелинейно-упругого, несжимаемого полого цилиндра [текст] /

B.В. Козлов // Материал отнесенных к единице длины цилиндра ы XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов».-2007.-т. 2.-С. 100.

2. Козлов В.В. Осевой сдвиг несжимаемого, нелинейно-упругого полого цилиндра [текст] / В.В. Козлов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. -2009. - Вып. 3. - С.137-144.

3. Козлов В.В. Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра [текст] / В.В. Козлов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. —2011. — Вып. 2. —

C.142-151.

4. Козлов В.В. Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов [текст] / В.В. Козлов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. —2011. — Вып. 3. - С.93-101.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 21.12.11 Формат бумаги 60x84 '/[6. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 066 Тульский государственный университет 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах: •

ФГБОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

61 12-1/597

На правах рукописи

Козлов Виктор Вячеславович

ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КОНКРЕТИЗАЦИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Специальность 01.02.04. - «Механика деформируемого твёрдого тела»

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор А.А. Маркин

Тула 2011

Оглавление

Введение.................................................................................................................4

I. Кинематика конечного деформирования, теория напряжений, формы записи уравнений равновесия..............................................................................9

1.1. Кинематика, меры деформаций..............................................................9

1.1.1. Основные меры деформаций, используемые в нелинейной теории упругости, связь между ними.............................................................10

1.1.2. Инварианты мер деформаций, их геометрический смысл.......12

1.2. Теория напряжений, меры напряжений...............................................15

1.3. Формы записи уравнений равновесия при конечном деформировании твердого тела.........................................................................15

1.4. Элементарная работа и мощность, сопряженные меры напряжений и деформаций..........................................................................................................17

II. Определяющие соотношения нелинейной теории упругости...................22

2.1. Гипотеза о параметрах состояния. Термодинамические соотношения ...............................................................................................................................22

2.2. Построение соотношений, определяющих состояние нелинейно-упругого тела.......................................................................................................25

2.2.1. Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для сжимаемых материалов.........................................................................................................25

2.2.2. Определяющие соотношения для сжимаемых материалов, разделяющие изменение формы и объема.....................................................27

2.2.3. Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для несжимаемых материалов................................................................................28

2.2.4. Определяющие соотношения на основе естественных инвариантов как параметров состояния свободной энергии для несжимаемых материалов................................................................................31

2.3. Анализ известных представлений свободной энергии сжимаемых сред для изотермических процессов.................................................................32

2.3.1. Свободная энергия сжимаемых материалов как функция естественных инвариантов тензора деформаций..........................................32

2.3.2. Свободная энергия сжимаемых материалов как функция инвариантов тензора Коши-Грина..................................................................34

2.3.3. Учет нелинейных эффектов для сжимаемых материалов........35

2.4. Анализ известных представлений свободной энергии несжимаемых сред для изотермических процессов.................................................................37

2.4.1. Известные формы свободной энергии несжимаемых материалов.........................................................................................................37

2.4.2. Учет нелинейных эффектов для несжимаемых материалов.... 40

2.5. Выводы по главе....................................................................................41

III. Однородные деформированные состояния, их связь с экспериментом.. 42

3.1. Простое растяжение-сжатие.................................................................42

3.1.1. Сжимаемые материалы................................................................43

3.1.2. Несжимаемые материалы.............................................................49

3.2. Чистый сдвиг по деформациям и напряжениям.................................60

3.2.1. Чистый сдвиг по деформациям несжимаемого материала.......60

3.2.2. Чистый сдвиг по напряжениям несжимаемого материала.......64

3.3. Выводы по главе....................................................................................65

IV. Неоднородные деформированные состояния............................................66

4.1. Постановка задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра для несжимаемого материала...................................................................................67

4.1.1. Кинематика процесса....................................................................67

4.1.2. Связь между тензорами напряжений и мерами деформаций... 76

4.1.3. Уравнение равновесия и разрешающие уравнения для неизвестных функций.......................................................................................77

4.2. Метод решения задачи. Основные результаты...................................81

4.3. Постановка задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра для сжимаемого материала.......................................................................................85

4.3.1. Кинематика процесса....................................................................85

4.3.2. Связь между тензорам напряжений и мерами деформаций.....87

4.3.3. Уравнение равновесия и разрешающие уравнения для неизвестных функций.......................................................................................89

4.4. Метод решения задачи. Основные результаты...................................90

4.5. Сравнение результатов для моделей сжимаемого и несжимаемого материалов...........................................................................................................96

4.6. Выводы по главе....................................................................................99

Заключение........................................................................................................100

Список литературы...........................................................................................102

Введение.

Построение математических моделей состояния материалов, универсально работающих при различных условиях нагружения, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформируемого твердого тела. Центральной проблемой при этом является формулировка соотношений между напряжениями и деформациями. Инженерная практика постоянно требует совершенствования методики расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений.

Данная работа посвящена изучению определяющих соотношений нелинейно-упругих материалов, которые находят всё большее применение в технике.

Нелинейные варианты теории упругости наиболее развиты для изотропных материалов, о которых и пойдет речь в настоящей диссертации. Впервые изложение основ нелинейной теории упругости было дано в моно-графиии В. В. Новожилова [50], изданной в 1948 году. Дальнейшее становление этой отрасли знаний связано с исследованиями И.И. Гольденблата [16], Л.А. Толоконникова [70], В. Новацкого [51], К.Ф. Черныха [76-78] и других авторов. Нелинейной теории упругости посвящены монографии А.И. Лурье [32, 33].

В основе моделей поведения упругих тел, учитывающих геометрическую нелинейность, лежит кинематика конечных деформаций, наиболее полно изложенная в книгах Л.И. Седова [62,63], А.И. Лурье [32,33], В.В. Новожилова, К.Ф. Черныха [53,76-78], а также нашедшая своё отражение в работах [11, 15, 16,18,28,34, 35, 38, 56, 66] и многих других.

Таким образом, к настоящему времени накопилось достаточно много подходов к построению определяющих соотношений нелинейной теории упругости. В данной работе производится анализ этих подходов, которым посвящено большое количество работ, в том числе [5, 10-13, 30, 34-41, 46, 48,49, 54, 56, 57, 64-66, 68, 72, 76, 78, 81, 82].

В работах Гузя [19], JI. Трелоара [73], Э.Э. Лавендела [30], В.И. Би-дермана [10] рассматриваются связи напряжений и деформаций, построенные на основе выражения свободной энергии как функции алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина. Однако подобный подход не позволяет при описании процесса выделить специфические эффекты поведения материала, поскольку алгебраические инварианты тензора Коши-Грина не имеют четко выраженного физического смысла.

Вместе с тем в работах JI.A. Толоконникова [68,70], A.A. Маркина [38,45], A.B. Муравлева [49] обозначился другой тип определяющих соотношений, характерный большей гибкостью построения моделей и отражающий только необходимые исследователю явления. Такие связи между напряжениями и деформациями строятся через свободную энергию как функцию естественных инвариантов левого тензора Генки. Среди них, например, естественным образом выделяются соотношения, удовлетворяющие частному постулату изотропии Ильюшина.

Следует обратить внимание, что среди таких связей напряжений и деформаций сжимаемых материалов есть класс, позволяющий разделить деформирование на изменение объема и формы, и одновременно удовлетворяющий частному постулату изотропии Ильюшина. Подобные варианты определяющих соотношений особенно интересны с одной стороны из-за относительной простоты их построения (не приходится рассматривать зависимость свободной энергии от угла вида деформированного состояния), а с другой - тем, что реальные эксперименты действительно показывают существенное различие в реакции материала на изменение объема и формы. Таким образом весьма актуально сравнение связей напряжений и деформаций подобного рода с другими соотношениями, а также с экспериментальными данными.

Законы упругости, в которых учитывается влияние на гидростатические напряжения формоизменения [33, 66, 71], описывают дилатационные явления в упругих изотропных материалах. Работа Н.М. Матченко, A.A.

Трещева [48] посвящена связям напряжений и деформаций, позволяющим отразить эффекты разносопротивляемости при растяжении и сжатии.

Таким образом, значительный интерес приобретают определяющие соотношения, которые позволяют контролируемо (соответствующим подбором материальных констант) описывать только те или иные эффекты и таким образом гибко и оперативно строить модели поведения процесса. В частности, в данной работе приводятся примеры подобных связей напряжений и деформаций, производится их сравнение с законами Гузя, Мурнагана, Трелоара, Муни-Ривлина, Бидермана, не позволяющих естественным образом получить частные случаи.

Использованию частного постулата изотропии посвящено немало работ, например [1,3,22,45,79,80]. Однако поскольку до сих пор нет четкого ответа о достоверности частного постулата изотропии при конечных деформациях, предлагается программа проведения эксперимента чистого сдвига по напряжениям или деформациям и сравнение полученных результатов с соответствующими данными моделей, удовлетворяющих этому постулату.

Так как апробация конкретного определяющего соотношения должна производиться на многих видах нагружений, проанализированы не только классические виды напряженно-деформированного состояния. В частности, представлены и решены новые задачи о комбинированном сдвиге однородного, нелинейно-упругого полого цилиндра как в рамках модели сжимаемого, так и несжимаемого материала. Полученные результаты могут быть использованы для проверки достоверности и конкретизации используемых определяющих соотношений.

В первом разделе диссертации рассматриваются основные меры деформаций и напряжений, используемые в нелинейной теории упругости. Приводятся выражения алгебраических, а также естественных инвариантов Толоконникова-Новожилова этих мер. Отмечается, что естественные инварианты левого тензора Генки позволяют разделить процесс деформирова-

ния на изменение объема и формы. Записываются формы уравнения равновесия, представления удельной работы внешних сил.

Во втором разделе приводятся и анализируются конкретные формы свободной энергии. Показывается, что представление свободной энергии как функции естественных инвариантов левого тензора Генки допускает контролируемо учитывать или опускать из рассмотрения такие эффекты поведения материала как разносопротивляемость, дилатацию, разделение процесса на изменение объема и формы. Однако выражение свободной энергии через инварианты тензора Коши-Грина не позволяет последовательно отразить наличие или отсутствие указанных эффектов.

Третий раздел посвящен анализу конкретных определяющих соотношений на однородных классических видах нагружения, а именно простого растяжения (сжатия), чистого сдвига по напряжениям и деформациям. Для простого растяжения на примере различных видов связей напряжений и деформаций приводится сравнение модельных данных с экспериментальными, взятыми из работы [73], изучается эффект отражения разносопротивля-емости при растяжении-сжатии. Таким образом, подтверждаются выводы второй главы. Предлагаются варианты конкретизации определяющих соотношений, удовлетворяющих частному постулату. Подчеркивается достаточность единственного эксперимента на простое растяжение для этого. При рассмотрении чистого сдвига по напряжениям или деформациям указываются возможные схемы проведения экспериментов, а также зависимости между нагрузками, построенными для конкретных определяющих соотношений. Следовательно, сравнение экспериментальных и модельных зависимостей усилий позволяют сделать выводы о степени достоверности связи напряжений и деформаций, а также выполнении частного постулата изотропии Ильюшина.

В четвертой главе рассмотрены новые задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра. Для этих моделей характерно неоднородное напряженно-деформированное состояние. Построив с точностью до обоб-

и 1 и

щенных перемещении меры напряжении и деформации, записываются

7

уравнения равновесия и дополнительные условия. Таким образом, определяются постановки задач. Полученные системы нелинейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных перемещений решаются численными методами. В результате по заданной траектории внешнего деформирования определяются внешние нагрузки и становится возможным сравнение соответствующих экспериментальных данных с модельными, что характеризует степень достоверности определяющего соотношения.

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» Тульского государственного университета. Целью диссертационной работы является изучение форм представления и конкретизации определяющих соотношений нелинейной упругости.

Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», г. Тула, 2009, регулярных научных семинарах кафедры Математического моделирования, г. Тула, 2009-2011.

По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, три из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 87 наименований и содержит 107 страниц и 28 рисунков.

I. Кинематика конечного деформирования, теория напряжений, формы записи уравнений равновесия.

В данной главе приводится краткая информация о кинематике конечного деформирования, мерах напряженного состояния, формах записи уравнений равновесия и работы внутренних сил. За более подробными сведениями следует обратиться к источникам [17-18, 23-25, 32, 33, 37-40, 42-44, 46, 47, 50-52, 58-60, 62, 63, 69, 77, 78] и многим другим.

1.1. Кинематика, меры деформаций.

Движение материального пространства рассматривается относительно неподвижного пространства с координатами неподвижных точек х' и локальным базисом ег С материальным пространством связывается материальная система координат х' с базисом хг (рис. 1.1.1).

Рис. 1.1.1. Пространственная и материальная системы координат.

Базис х. образуют материальные линии. Материальное пространство в начальный момент может быть ориентировано различным образом по отношению к неподвижному. Обозначим координаты места материальных точек в неподвижном базисе е. в начальный момент t = t0 через , а коорди-

наты этих же точек в произвольный момент х'х. Уравнение движения связывает начальные координаты материального пространства в неподвижном базисе с текущими координатами следующими выражениями:

о>0> (1ЛЛ)

гДе

Уравнение (1.1.1) не дает полной информации о движении материального пространства, так как не указана начальная ориентация среды, т. е. связь между координатами х'0 и х'. Начальное положение определим уравнением

д[;=/(х|,х2,х3). (1.1.2)

Координаты х'0 называют лагранжевыми координатами, которые фиксируют место материальной точки в неподвижном базисе в начальный момент времени.

Из (1.1.2) следует, что в общем случае материальные и лагранжевы координаты не совпадают. Если выбрать материальную систему таким образом, чтобы х^ = х', то материальные координаты совпадут с лагранжевыми. В процессе движения координатные линии материальной системы деформируются и образуют с координатами х^ и подвижным базисом дх ^

эг = —-. В случае совпадения материальных и лагранжевых координат век-

дх'0

торы локального базиса определяются по формулам

дх

(1.1.3)

' ах'

В дальнейшем при рассмотрении кинематики сплошной среды полагаем, что лагранжевы координаты совпадают с материальными.

1.1.1. Основные меры деформаций, используемые в нелинейной теории упругости, связь между ними

Одной из основных мер описания деформированного состояния является аффинор деформации

о

где V = е' —г - оператор Гамильтона в материальном базисе, дх'

Из линейной алгебры известно, что произвольный линейный оператор в Ег можно представить произведением симметричного и ортогонального операторов. Такое разложение называют полярным. Следовательно, аффинор деформации можно