Формы Уикса в свободных группах и свободных произведениях групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 512.543

Вдовина Алина Александровна

Формы Уикса в свободных группах и свободных произведениях групп

специальность: 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1996

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А. Ю. Ольшанский.

Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук, профессор С. П. Струнков,

кандидат физико-математических наук Ю. С. Семёнов.

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится " 1996 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу : 119899, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознокомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " 1996 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Является ли элемент свободной группы произведением g коммутаторов? Произведением g квадратов? Эти задачи — частные случаи более общей проблемы подстановки, сформулированной Линдоном и Шуппом1.

Пусть \\}(хь.. .,Хк) — элемент свободной группы ¥ с базисом х1,...,хк, а у — произвольный элемент группы С. Можно спросить, существует ли гомоморфизм (р : Р—>0, такой, что \У(р — у . Другими словами, является ли у значением слова XV, то есть имеет ли элемент у вид у = м?(и1,...,ик) для некоторых иь...,ик группы О .

Первые результаты в этом направлении были получены М. Уиксом2 в 1962 году. Уикс показал, что элемент свободной группы Г является коммутатором тогда и только тогда, когда он сопряжен с циклически несократимым словом вида аЬса'Ь^с1, где а, Ь, с — некоторые слова. Также Уикс3 нашёл, что элемент свободной группы является произведением двух квадратов тогда и только тогда, когда он сопряжён со словом вида аЬЬа2сс или аЪасЪ^с.

1 Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980

2 М. J. Wicks. Commutators in free products // J. London Math. Soc., v.37 (1962), 433-444

2 2

3 M. J. Wicks. The equation x у = g over free products // Proc. Cong. Singapore Nat. Acad. Sei., (1971), 238-248

После работы А. И. Мальцева4 и работ Уикса, видимо, около десяти лет не было статей, касающихся форм коммутаторов. В начале семидесятых годов интерес к квадратичным словам появился в связи с решением уравнений в группах. Квадратичными уравнениями в свободных группах в различное время занимались Линдон и Ньюмен5, Р. И. Григорчук и П. Ф. Курчанов6, Эдмунде и Комерфорд7 и др. В перечисленных выше работах использовались алгебраические методы.

Методы решения квадратичных уравнений с использованием диаграмм и геометрических соотношений применялись Куллером8 и А. Ю. Ольшанским9. В их работах используется тот факт, что разрешимость уравнения

т /=1

4 Мальцев А. И. Об уравнении zxyx~ly~'zl = aba'b''b в свободной группе // Алгебра и логика. 1962, Т.1, № 5, 45-50

5 R. С. Lyndon, М. Newman. Commutators as products of squares // Proc. Amer. Math. Soc., v.39 (1973), № 2, 267-272

6 Григорчук P. И., Курчанов П. Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техники. Сер.: Совр.пробл.мат. Фунд.напр. 1990, Т.58, 191-256

7 L. P. Comerford jr., С. С. Edmunds. On the rank of quadratic equations in free groups // J. Pure and Applied Algebra, v.60 (1989), 21-31

8 M. Culler. Using surfaces to solve equations in free groups // Topology, v.20 (1981), № 2, 133-145

9 Ольшанский А. Ю. Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей // Сибирский математический журнал. 1989, Т.30, №6, 150-171

где 11 — циклически несократимое слово, равносильна возможности склейки из диска, на границе которого, состоящей из \1/\ рёбер, написано слово V, сферы с g < т ручками. Введём основные определения, которые будут использоваться в диссертации.

Слово и в некотором групповом алфавите называется квадратичным, если каждая буква, входящая в 11, встречается в V в точности дважды.

Квадратичное слово II называется ориентируемым, если каждая буква входит в V вместе с "обратной" буквой.

Квадратичное слово С/ называется неориентируе-мъш, если существует буква, входящая в £7 дважды с одинаковыми показателями.

Пусть II — элемент коммутанта группы Е, тогда род II определяется как наименьшее целое g такое, что существуют элементы Ь,, ... , а^ и и — ••• \clg,b^ в группе Г; [а,д] обозначает

аЬа^Ь'1.

Определим род неориентируемого слова II как наименьшее целое п, такое, что найдутся такие элементы а},..., ап е/% что и—а/ ...

Редуцированным назовём такое квадратичное слово и, в котором для любого подслова аЬ циклического слова £/ Ъ^сС1 не является подсловом II и аЬ встречается в V лишь однажды. (Если слово не является редуцированным, то всякое его значение совпадает со значением слова, полученного заменой аЬ одной буквой С.)

Циклически несократимое редуцированное ориентируемое (неориентируемое) слово рода g назы-

вается ориентируемой (неориентируемой) формой Уикса рода g.

Пусть слово W получено из некоторого слова U путём подстановки несократимого слова Ф(а) для каждой буквы ае, £=±1. Будем говорить, что W получено из U несократимой подстановкой, если Ф{а)Ф 1, Ф(Ь)Ф 1 и нет сокращений между &(а) и когда a£bô является под словом циклического слова U.

Формы U и W называются эквивалентными, если U может быть получена из W или W'1 с помощью циклического сдвига и биективной замены переменных.

Проблема отыскания ориентируемых и неориен-тируемых форм представляет интерес в связи со следующей теоремой Куллера8 :

Теорема . Пусть W— циклически приведённое слово. Если W — ориентируемое слово и его род равен g в некоторой свободной группе F, то W может быть получено из некоторой ориентируемой формы Уикса U рода g с помощью несократимой подстановки, причём | U\ < 12g" — 6 . Если W — неориентируемое слово и его род равен п в группе F, то W можно получить несократимой подстановкой из неориентируемой формы Уикса U рода п, причём \и\ <12л-6.

Основные результаты настоящей диссертации — это описание способов построения ориентируемых и

неориентируемых форм Уикса рода g > 1 в свободных группах и свободных произведениях, а также нахожде-

ние асимптотических оценок для числа неэквивалентных ориентируемых (неориентируемых) форм Уикса рода g в свободной группе.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является исследование форм Уикса в свободных группах и свободных произведениях. В круг поставленных задач входило нахождение асимптотических оценок для числа форм Уикса данного рода, а также разработка индуктивных методов построения этих форм.

Методы исследования.

При доказательстве основных результатов использовались методы комбинаторной теории групп и теории графов. Ориентируемые и неориентируемые формы Уикса оказалось удобным представлять как обходы связных графов.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми. Основные положения полученных результатов можно объединить в три раздела.

1. Приводятся индуктивные способы построения форм Уикса в свободных группах и свободных произведениях.

2. Найдены асимптотические оценки для числа неэквивалентных ориентируемых форм Уикса рода g и для числа неориентируемых форм Уикса рода g в свободной группе.

3. Перечислены ориентируемые формы Уикса рода три, неориентируемые рода три и четыре в свобод-

ной группе, а также ориентируемые рода два в свободном произведении групп.

Практическая и теоретическая ценность диссертации.

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в теории групп и теории графов.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по алгебре и теории групп в МГУ им. М. В. Ломоносова, а также на международных семинарах по теории графов в Одессе (1991, 1993 годы) и на Пятом межгосударственном семинаре по дискретной математике в Москве (1995 год).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, включающих в себя двенадцать параграфов. В тексте диссертации приведено 16 рисунков, поясняющих или наглядно иллюстрирующих некоторые результаты. Список литературы содержит 42 наименования. Общий объем диссертации — 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагается история вопроса о формах для произведений коммутаторов и квадратов в свободных группах и свободных произведениях групп, приведены наиболее значительные результаты в этой области, формулируется проблема подстановки, поставленная Линдоном и Шуппом и задача о формах для произведений коммутаторов и квадратов как частный случай проблемы подстановки. Во введении даны определения, используемые в диссертации, а также приведен краткий обзор основных результатов диссертации.

В первом параграфе первой главы вводятся основные определения, касающиеся графов и их обходов, и доказываются леммы о том, что обходы кубических графов являются формами Уикса максимальной длины.

Во втором параграфе первой главы находится связь форм Уикса с изоморфизмами и автоморфизмами графов, обходами которых они являются. Например, очень полезным оказалось следующее наблюдение о том, что из эквивалентности обходов следует изоморфизм графов.

Лемма 1.3. Ориентируемые (неориентиру емые) обходы неизоморфных графов являются неэквивалентными ориентируемыми (неориентируемыми) формами.

В третьем параграфе приводятся алгоритмы распознавания эквивалентности ориентируемых и неориентируемых форм.

Глава 2 полностью посвящена ориентируемым формам Уикса. В первом параграфе даётся конструктивная характеризация кубических графов, имеющих ориентируемые обходы и приводится индуктивный

способ построения ориентируемых форм максимальной длины при росте рода, и найдена асимптотика для логарифма этого числа.

Во втором параграфе Главы 2 доказаны теоремы, показывающие быстрый рост числа неэквивалентных ориентируемых форм.

Теорема 2.2. Пусть — число неэквивалент-

ных ориентируемых форм рода % максимальной длины, тогда ~ 2glogg при g °о, то есть

Теорема 2.3. Для числа N(g) всех неэквивалентных форм рода g произвольной длины верна формула

Существует единственная ориентируемая форма Уикса рода один — аЬссС1 Ь1 с1. Комерфорд и Эдмунде10 получили девять неэквивалентных ориентируемых форм рода два (если принять во внимание определение эквивалентности, принятое в диссертации, то этих форм будет восемь). Можно отметить, что этот же результат был получен диссертанткой в 1989 году в её курсовой работе (неопубликовано).

В третьем параграфе второй главы перечислены все ориентируемые формы рода три максимальной

10 J. A. Comerford, L. P. Comerford jr., С. С. Edmunds. Powers as products of commutators // Commun. in Algebra, v.19 (1991), 2,

675-684

длины. Их оказалось 927, они являются ориентируемыми обходами шестидесяти пяти неизоморфных кубических графов с десятью вершинами.

В третьей главе диссертации рассматриваются неориентируемые формы Уикса — в первом параграфе приводится индуктивный способ построения всех неориентируемых форм Уикса рода п из форм аЬга! с1, abacb 'c, abca'b^c'1; во втором параграфе находится асимптотическая оценка для числа М{п) неэквивалентных неориентируемых форм Уикса рода п. Число неэквивалентных неориентируемых форм рода п также растет очень быстро с возрастанием п, но асимптотическая формула несколько отличается от ориентируемого случая.

Теорема 3.2. Пусть Мз{п) — число всех неэквивалентных неориентируемых форм рода п максимальной длины. Тогда \ogM?,(n) ~ п logп при п—»со, то есть

Теорема 3.3. Пусть М(п) — число всех неориентируемых форм рода п, тогда 1о^М(п) ~П.\о%П при /2—>оо, то есть

В третьем параграфе третьей главы приводятся полные списки невырожденных неориентируемых форм рода три и четыре. Оказалось, что число неори-

ентируемых форм рода три максимальной длины равно одиннадцати, а форм рода четыре — 147.

Четвёртая глава посвящена формам Уикса над свободными произведениями групп. В первом параграфе понятие обхода расширяется на случай связных графов с произвольными степенями вершин, доказываются вспомогательные леммы о свойствах ориентируемых обходов связных графов, помеченных элементами некоторой группы.

Во втором параграфе четвертой главы доказана теорема о том, что произведение коммутаторов в свободном произведении групп может быть представлено как значение формы Уикса над свободной группой. Остановимся на этом результате более подробно.

Пусть (7 — свободное произведение групп Су, тогда каждый неединичный элемент XV из (7 единственным образом представляется в нормальной форме как IV — уI... уп, где каждая из букв у,- является нетривиальным элементом одной из групп Су, причем соседние У,-, У,■+/ принадлежат разным свободным множителям.

Если щ,...,иг в нормальной форме, и,, и1+1, ... , м, е Су и и3Щ+1...иг= 1 в <77, то будем говорить, что буквы и,, их+1, ... ,иг дают сокращение в произведении и^... и,.

Произведение ••• Щ имеет полуприведенную форму, если в циклической записи слова ц> = 11,112--- и( нет сокращений.

Теорема 4.1. Пусть (7 = С1*С2*...*С1*..., то есть <7 — свободное произведение групп , С2, . ■., ^,... Пусть слово принадлежит группе (7 и представляется в С как произведение п

коммутаторов и не менее. Тогда слово ц? или его циклическая перестановка равна в свободном произведении О значению ориентируемой формы Уикса и — и{у1г ... ) рода п, \и\ < \2п - 6, полученному с помощью некоторой подстановки ф элементов группы О

в и так, что ф(м) = ... ) имеет

полуприведенную форму как произведение подслое

ФО/1,....

В третьем параграфе четвертой главы перечисляются все ориентируемые формы рода два в свободных произведениях групп.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А. Ю. Ольшанскому за постановку задач, полезные советы и большое внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вдовина А. А. Произведения квадратов в свободной группе // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1, Матема-тика.Механика, 1994, № 1, 26-30

2. Вдовина А. А. Произведения коммутаторов и произведения квадратов в свободной группе. — 3-я международная конф. по алгебре, Красноярск, 1993, Тезисы сообщений, 66-67

3. A. Vdovina. On the number of nonorientable Wicks forms in a free group // Proc. Royal Soc. of Edinburgh, 125(A), 1995

4. A. Vdovina. Constructing of orientable Wicks forms and estimation of their number II Commun. in Algebra, v.23 (1995), № 9, 3205-3222

5. Вдовина А. А. Произведения коммутаторов в свободных произведениях групп. — Деп. в ВИНИТИ 31.10.1995, №2895-В95, 20 с.