Коммутаторы и произведения квадратов в частично-коммутативных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Шестаков Сергей Леонидович ¿^¿^

\

Коммутаторы и произведения квадратов в частично-коммутативных группах

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и

теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры, геометрии и теории обучения математике Вологодского государственного педагогического университета

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор Губа Виктор Сергеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Тихомиров Александр Сергеевич;

Ведущая организация — Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН.

заседании диссертационного совета Д 212.002.03 в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова. (150000, г.Ярославль, ул. Советская, 14).

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке

кандидат физико-математических наук, профессор Молдаванский Давид Ионович.

Защита состоится " Ь? " 2006 года в М_

и

час. на

ЯрГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Яблокова С. И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации исследуются некоторые вопросы из области комбинаторной теории групп. Предметом исследования является описание квадратичных уравнений специального вида в частично-коммутативных группах. Мы применяем как комбинаторные, так и геометрические методы, в частности, используем диаграммы ван Кампена.

Частично-коммутативная группа — это группа, заданная при помощи образующих и определяющих соотношений, каждое из которых имеет вид аЬ = Ьа. где а, Ь — различные образующие. Можно сказать, что частично-коммутативные группы занимают промежуточное положение между свободными группами и свободными абелевыми группами, где есть все возможные соотношения коммутативности между образующими. Таким образом, и свободные группы, и свободные абелевы группы являются частными случаями частично-коммутативных групп.

В свою очередь, частично коммутативные группы являются частным случаем артиновых групп. В артиновых группах все соотношения имеют вид ab... = Ьа..где а, Ь различные образующие, причем в любом определяющем соотношении длины левой и правой части равны. Если в артиновой группе длины левых и правых частей всех соотношений равны 2, то группа будет частично-коммутативной. Частично-коммутативные группы называют также прямоугольными артиновыми группами (right-angled Artin groups) и графическими группами (graph groups). Естественно предположить, что могут быть предприняты попытки исследовать в артиновых группах разрешимость квадратичных уравнений при помощи схожих методов.

В диссертации исследуются вопросы о разрешимости в частично-коммутативных группах квадратичных уравнений вида [х, у] = д и х2у2 = д, где д — некоторый элемент группы. Указана явная форма для коммутаторов (Теорема 1) и произведений квадратов (Теорема 2) в частично-коммутативных группах. Таким образом, вопросы о том мент

группы коммутатору или произведению двух квадратов, сводятся к легко проверяемым условиям (Следствия 2 и 3). Тем самым, в частности, обобщаются известные результаты У икса о разрешимости в свободных группах уравнения [ж, у] = д ['] и х2у2 = д [2]. В диссертации показано как описания коммутаторов и произведений двух квадратов в свободных группах данные Уиксом прямо выводятся из наших описаний для частично-коммутативных групп.

Частично-коммутативные группы тесно связаны со свободными группами и обладают многими свойствами, которыми обладают и свободные группы. Так, в частично-коммутативных группах схожим образом со свободными решаются проблема слов и проблема сопряженности, доказательства можно найти в [3] В работе [4] доказано, что любые два некоммутирую-щих элемента в частично-коммутативной группе образуют базис свободной группы. Кроме того, как и в свободных группах, члены нижнего центрального ряда имеют тривиальное пересечение, откуда следует, что частично-коммутативные группы линейно упорядочиваемы (см. [5]).

Эти результаты можно считать обобщениями аналогичных результатов для свободных групп. Однако следующие факты показывают, что частично-коммутативные группы обладают рядом специфических интересных свойств. В группе х F2, которая, очевидно, является частично-коммутативной, существуют конечно-порожденные подгруппы с неразрешимой про-

1 Wicks М. J. Commutators in free products. J. London Math. Soc. 37 (1962), 433-444.

2Wicks M. J. The equation x2y2 — g over free products. Proc. Cong. Singapore Nat. Acad. Sei (1971), 238-248.

3C. JI. Шестаков. Уравнение \x, y}—g в частично-коммутативных группах. Сиб. матем. ж. Том 46 (2005), №2, 466-477.

4А. Baudisch. Subgroups of semifree groups. Acta Math. Acad. Sei. Hungar. 38, no. 1- 4 (1981), 19-28.

5G. Duchamp and D. Krob. The lower central series of the free partially commutative group. Semigroup Forum 45 (1992), 385-394.

блемой вхождения (см. [6]). Кроме того, в работе [7] доказано, что частично-коммутативные группы могут содержать фундаментальные группы двумерных поверхностей.

Заметим, что результаты У икса для свободных групп и их обобщения тесно связаны с классификацией двумерных многообразий. Пусть дано некоторое квадратичное слово W от п переменных, то есть слово, в котором каждая переменная (в степени 1 или —1) встречается ровно 2 раза. Рассмотрим 2п-угольник на плоскости и разметим его стороны символами переменных, входящими в W, так, чтобы каждой стороне соответствовала одна буква, и при обходе контура многоугольника с некоторой вершины по часовой стрелке по ребрам читалось бы слово W. Теперь склеим пары ребер, которым сопоставлены одноименные переменные. В результате получим некоторое двумерное многообразие, которое однозначно определяется исходным словом W. Слово W в дальнейшем будем называть разверткой этого многообразия. Как известно [8], любое двумерное многообразие гомеоморфно или сфере с п ручками (ориентируемый случай), или сфере с п дырами, закленными листами Мебиуса (неориентируемый случай). Из этого следует, что все квадратичные слова (а значит, и все квадратичные уравнения) разбиваются на 2 класса - ориентируемые и неориентируемые.

Слово [х\,у\]... уп] является простейшей разверткой для сферы с п ручками, а слово х\ ... х\ — для сферы с п листами Мебиуса. При помощи простейших топологических операций любая развертка может быть преобразована в слово одного из этих видов. Из этого следует, что любое квадратичное слово при помощи некоторого автоморфизма можно перевести либо в слово вида [xi, у\]... [хп, уп], либо в слово вида х\ ... .

6К. А. Михайлова. Проблема вхождения для прямых произведений групп. Доклады АН СССР 119 (1958), 1103 1105.

7Н. Servatius, С. Droms, В. Servatius. Surface subgroups of graph groups. Proc. of the Amer. Math. Soc. 106, №3 (1989), 573-578.

8Ю. Г. Борисович, H. M. Близняков, Я. A. Израилевич, T. H. Фоменко. Введение в топологию. 416 стр. М.:Наука, 1995.

Поэтому уравнения [х\, у\\... [хп. уп] = g и xf ... х\ = g играют важную роль в классе квадратичных уравнений.

Теперь рассмотрим топологическую интерпретацию результатов Уикса и их обобщений для свободных групп. Согласно Уиксу, циклически приведенное слово является коммутатором в свободной группе тогда и только тогда, когда некоторый его циклический сдвиг имеет вид ABCA~1B~iC~1. Это слово является разверткой ориентируемой поверхности рода 1 (сферы с одной ручкой, т. е. тора), которая в некотором смысле исчерпывает все развертки тора. А именно, если число переменных в развертке тора больше 3, то она, может быть преобразована в слово АВСА~{В~1С~1 путем переобозначений переменных и циклических сдвигов. Если число переменных меньше 3, то развертка получается из слова ABCА~1 В~1С~г путем замены некоторых переменных на пустые слова.

Для произведения двух коммутаторов, которое соответствует сфере с 2 ручками, имеется уже 8 форм Уикса от 9 переменных каждая. Каждое из этих слов является разверткой сферы с 2 ручками, а вместе они исчерпывают в описанном выше смысле все развертки. Вообще, для уравнения [яъЗ/i]--- [%п,Уп] — 9 решения, являющиеся также развертками сферы с п ручками, записываются в виде слов от 6п — 3 переменных [9]. В работах [10, и] указаны формы, описывающие все решения уравнений вида [xi,y\]... [х„, у„} = g и подсчитано точное число таких форм ("максимальных ориентируемых форм Уикса").

Цель работы. Описать формы для коммутаторов и произведений квадратов в частично-коммутативных группах и тем самым доказать существование алгоритмов, определяю-

9А. Ю. Ольшанский. Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей. Сиб. матем. ж. Том 30 (1989), М, 150-171.

10A. Vdovina. Constructing orientable Wicks forms and estimation of their numbers. Comm. Algebra 23 (9), 1995, 3205-3222.

11 A. Vdovina. Counting 1-vertex triangulations of oriented surfaces. Discrète Math. 246 (2002), 13-27

щих разрешимость в частично-коммутативных группах уравнений [х, у] — д и х2у2 = д.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследований. При исследованиях применялись как комбинаторные, так и геометрические методы, в частности, использовались диаграммы ван Кампена.

Теоретическая и практическая ценность Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего изучения свойств частично-коммутативных групп. Они могут также использоваться в специальных курсах по теории групп.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на конференции "Мальцевсие чтения" в Институте математики им. С. Л. Соболева, Новосибирск, конференции "Колмогоров-ские чтения — III" в Ярославском государственном педагогическом университете им. К. Д. Ушинского (2005), конференции "Математика. Образование. Культура" — Тольятти, То-льяттинский государственный университет (2005), а также на спецсеминарах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[4], список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 61 странице. Список литературы содержит 28 наименований.

Содержание диссертации

В главе 1 вводятся основные понятия, используемые в диссертации. В параграфе 1.1 приведены определения алфавита, группового слова, копредставления и некоторых других базовых понятий.

В параграфе 1.2 дано определение диаграмм ван Кампе-на. В данной работе используется расширенное понятие диаг грамм ван Кампена, в которых наряду с обычными клетками допускается также наличие так называемых 0-клеток. Такое расширение предложено А. Ю. Ольшанским [12] и позволяет, в частности, добиться того, чтобы контур диаграммы и контуры всех клеток были простыми замкнутыми кривыми. Мы приводим доказательство леммы ван Кампена в модифицированной формулировке.

В параграфе 1.3 рассматривается понятие уравнения в группах. Приведены некоторые известные результаты об уравнениях в свободных и частично-коммутативных группах. Приведено доказательство результата У икса для уравнения [х,у] — д в свободных группах, поскольку при доказательстве основных результатов диссертации используются идеи этого доказательства.

В главе 2 дано определение частично-коммутативных групп, доказаны некоторые вспомогательные леммы и приведен алгоритм решения уравнения [ж, у] = д в частично-коммутативных группах.

В параграфе 2.1 рассмотрено понятие частично-коммутативных групп и некоторые их необходимые далее свойства. Пусть С — частично-коммутативная группа, заданная копредставле-нисм V — (Е | 7?-). Пусть \¥ — слово над алфавитом Е, причем IV = аЬУ/>2■ где а,Ь € Е, и среди определяющих соотношений есть соотношение [а, 6] = 1 (далее будем обозна-

12А. Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах. М., Наука, 1989.

чать этот факт а «-► Ь). Тогда можно перейти от слова ТУ к слову ТУ' = ТУхбаТУг; такой переход будем далее называть элементарным преобразованием. Слова IV и V назовем эквивалентными, если V может быть получено из ТУ при помощи элементарных преобразований. Через [ТУ] обозначим класс эквивалентности слова ТУ. Очевидно, все слова из [ТУ] равны ТУ в группе О. Заметим, что в свободной группе любой класс эквивалентности [ТУ] состоит из одного слова ТУ. По аналогии со свободной группой, слово ТУ назовем приведенным в частично-коммутативной группе С, если все слова из класса [ТУ] приведены в свободной группе. Любое слово в частично-коммутативной группе можно привести, находя в его классе эквивалентности неприведенное слово и сокращая в нем пары взаимно-обратных букв, пока это возможно. В отличие от свободных групп, привести слово можно различными способами, однако полученные слова будут эквивалентны. Аналогично слово IV называется циклически приведенным, если всё слова из класа [ТУ] циклически приведены в свободной группе. Приведенные слова и и V назовем циклически эквивалентными, если V может быть получено из II при помощи переходов к эквивалентным словам и циклических сдвигов.

Слова II и V назовем коммутирующими побуквенно (обозначается и <-+ V), если для любой буквы а±1, входящей в слово и и любой буквы Ь^1, входящей в слово V, где а,Ь € Е, среди определяющих соотношений есть соотношение аЬ — Ьа. (В частности, если буква х € Е±1 входит в и, то х±1 не входит в V.)

Леммы 2 и 3 доказываются геометрическим методом с использованием диаграмм ван Кампена.

Лемма 2. Если слово ТУ не приведено в частично-коммутативной группе, то в нем есть подслово вида х11х~1, где х € Е±1 и х <-»• и.

Лемма 3. Приведенные в (7 слова и и V равны в (? тогда и только тогда, когда II ~ V. В частности, приведенные формы одного и того же слова эквивалентны.

Далее доказываются две леммы, имеющие технический характер. Из них выводится

Следствие 1. Слово IV в частично-коммутативной группе (3 не является циклически приведенным в £7 тогда и только тогда, когда существует его циклический сдвиг Ж', содержащий подслово вида хУх 1 (х € Е*1), причем х У.

Лемма 6. Два циклически приведенных в О слова V п IV сопряжены в С тогда и только тогда, когда V циклически эквивалентно ]¥. В частности, циклические приведенные формы одного и того же слова циклически эквивалентны.

Два последних утверждения являются базовыми для доказательства основных результатов диссертации.

Эти леммы показывают сходство между свободными и частично-коммутативными группами с учетом того, что в свободной группе каждый класс эквивалентности [ИЛ состоит из одного слова Ш, а условие Г/ V эквивалентно условию "С/ = 1 или V — 1". В частности, как следует из лемм, проблемы слов и сопряженности в частично-коммутативных группах решаются при помощиа алгоритмов, похожих на соответствующие алгоритмы для свободных групп.

В параграфе 2.2 приводится один из основных результатов диссертации — описание коммутаторов в частично-коммутативных группах. На основе этого описания доказывается существование алгоритма, определяющего разрешимость уравнения [х,у] = д в частично-коммутативных группах. Приведем основную идею доказательства. Пусть слово IV является коммутатором. Тогда для некоторых слов А и В выполняется равенство Ш = АВА~^В~1 в группе (3. Пусть слово АВА~1 В~х не является циклически приведенным в группе С. Тогда по следствию 1 в нем есть циклическое подслово вида хУх1, где х € Е*1, х «-► У, и мы можем осуществить сокращение, заменяя подслово хУх~х на У. Далее исследуется, как меняется тип слова при всех возможных таких сокращениях, то есть при циклическом приведении слова IV. В результате доказывается теорема о форме коммутатора в частично-коммутативных группах. Мы приведем два варианта формулировки этой тео-

ремы. Первая формулировка короче и проще для проверки, а вторая формулировка нагляднее и удобнее при доказательстве.

Теорема 1. Слово \¥ в частично-коммутативной группе С является коммутаюром тогда и только тогда, когда некоторая его циклически приведенная форма А представима в виде

и для любых чисел а, 0, 7, 6 таких, что 1 < а < /3 < 7 < 6 < тп выполняется хотя бы одно из условий: Аа <- > А1 или Ар <-* А$.

Теперь приведем второй вариант формулировки. Для этого нам потребуются несколько определений.

Рассмотрим выпуклый т-угольник. Проведем в нем диагонали так, чтобы они образовывали триангуляцию этого т-уюльника. Полученный граф назовем триангуляционным. Триангуляционный граф, у которого каждой вершине сопоставлено некоторое слово Аг (1 < г < т), называется размеченным триангуляционным графом.

Заметим, что при т — 3 размеченный триангуляционный граф (для данного набора слов) единственный, при т = 4 имеется два различных размеченных триангуляционных графа, так как в четырехугольнике диагональ можно провести двумя различными способами.

Определение. Будем говорить, что слово А в частично-коммутативной группе £7 удовлетворяет условию С(т) (т > 3), если А может быть представлено как А1А2... АщА^1 А^1... Л"1

АХА2 ... АтА^А^ ... Л"1

Аз

А2 А4

Аз

для некоторых (возможно, пустых) слов А\, ..., Лт. и существует размеченный триангуляционный граф с т вершинами, имеющими метки А\, ..., Ат (при чтении по часовой стрелке), удовлетворяющий следующему условию: если две различные вершины, помеченные словами Аг и А3 не соединены в триангуляционном графе, то Аг «-> А^.

Будем считать, что слово А1А2 ... АША~[1 А^1.. - А^ автоматически удовлетворяет условию С(т) при 0 < т < 2.

Из определения ясно, что слово, которое пред ставимо в виде всегда удовлетворяет условию С(3).

Чтобы слово, представимое в виде АхАчА-^А^А^ А^1А% \ удовлетворяло условию С(4), достаточно, чтобы Ач побуквенно коммутировало с А4 (как на рисунке выше) или А\ побуквенно коммутировало с Аз, если проведена другая диагональ.

Тогда Теорема 1 может быть сформулирована в следующем виде:

Теорема V. Слово IV в частично-коммутативной группе О является коммутатором тогда и только тогда, когда некоторая его циклически приведенная форма А удовлетворяет условию С(т) для некоторого т.

Нетрудно доказать, что обе формулировки теоремы эквивалентны.

Зная форму для коммутатора, можно доказать существование алгоритма, определяющего разрешимость уравнения [х,у] — у в частично-коммутативных группах. Действительно, поскольку по Лемме б все циклически приведенные формы данного слова циклически эквивалентны, то по данному слову ЦТ они могут быть эффективно найдены. Далее, нетрудно доказать, что в формулировке Теоремы 1 значения т можно считать ограниченными сверху. Поэтому для любого циклически приведенного слова можно эффективно проверить условие из формулировки Теоремы 1. Значит, справедливо следствие Теоремы 1 и Леммы 6.

Следствие 2. Для любой частично-коммутативной груп-

лы С, заданной конечным копредставлением, алгоритмически разрешимо свойство данного элемента быть коммутатором. Иными словами, существует алгоритм, проверяющий разрешимость уравнений вида [х, у] = д в группе С.

Доказательство достаточности в Теореме 1 конструктивно, то есть позволяет по данному слову \¥ (в случае, если оно является коммутатором), эффективно найти слова и и V такие, что = [и, V].

В главе 3 приводится второй результат диссертации — описание слов, являющихся произведениями двух квадратов в частично-коммутативных группах. Из этого описания следует алгоритмическая разрешимость уравнения х2у2 = д в частично-коммутативных группах. Доказательство основано на той же идее и в основном проводится теми же методами, что и для уравнения \х. у) — д. В итоге доказывается Теорема 2, которая описывает слова, являющиеся произведениями двух квадратов в частично-коммутативных группах и основанный на ней алгоритм, проверяющий разрешимость уравнений вида х2у2 = д в этих группах (Следствие 3).

Определение. Будем говорить, что слово А в частично-коммутативной группе С удовлетворяет условию <5(ш), если А может быть представлено в виде

. . . А2В1А1СА1В1 ХАъ ■ ■ • Ат-хВ'^^тС'1

для некоторых слов А\,... ,Ат, ...,Вт-1, С при ш > О, причем выполнены следующие условия:

• А% <-+ А3 при у — ¿| > 1;

• А1 > В3 при г ф j,j + 1;

• Вг <-> В3 при г ф

• Д <-> С при всех 1 < г < т.

Теорема 2. Слово \¥ в частично-коммутативной группе (7 представимо в виде произведения двух квадратов тогда и только тогда, когда некоторая его циклически приведенная форма удовлетворяет условию <3(ш) для некоторого ш. При этом дополнительно можно считать все слова А\, ..., Ат в определении условия д(т) непустыми.

Следствие 3. Для любой конечно-порожденной частично-коммутативной группы (3 существует алгоритм, позволяющий определить, является ли данное слово в С произведением двух квадратов.

Автор выражает признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. С. Губе за постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. С. Л. Шестаков. Уравнение [х,у] — д в частично-коммутативных группах. // Сиб. матем. ж. — 2005. — Т. 46, №2 — С. 466-477.

2. С. Л. Шестаков. Уравнение х2у2 — д в частично-коммутативных группах. // Сиб. матем. ж. — 2006. — Т. 47, №2 — С. 463-472.

3. С. Л. Шестаков. Описание произведений квадратов в частично-коммутативных группах. / Вологодский государственный педагогический университет. — Вологда, 2005. - 14 с. — деп. в ВИНИТИ 22.11.2005, №1522-В2005.

4. С. Л. Шестаков. Уравнения в частично-коммутативных группах. // Сборник трудов по материалам II международной научной конференции "Математика. Образование. Культура." — Тольятти, Тольяттинский государственный университет, 2005 - С. 29-35.

Подписано в печать 17.03.2006. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. 0,5 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ 2297. Отпечатано с оригинал-макета в ООО ПФ "Полиграфист". 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.

8793

Введение

1 Основные понятия

1.1 Основные определения.

1.2 Диаграммы ван Кампена.

1.3 Уравнения в группах.

2 Описание коммутаторов

2.1 Частично-коммутативные группы

2.2 Уравнение [х, у] = д в частично-коммутативных группах

3 Произведения двух квадратов

3.1 Уравнение х2у2 = д в частично-коммутативных группах

В настоящей диссертации исследуются некоторые вопросы из области комбинаторной теории групп. Предметом исследования является описание квадратичных уравнений специального вида в частично-коммутативных группах. Мы применяем как комбинаторные, так и геометрические методы, в частности, используем диаграммы ван Кампена.

Частично-коммутативная группа — это группа, заданная при помощи образующих и определяющих соотношений, каждое из которых имеет вид аЬ = Ьа, где а,Ь — различные образующие. Можно сказать, что частично-коммутативные группы занимают промежуточное положение между свободными группами и свободными абелевыми группами, где есть все возможные соотношения коммутативности между образующими. Таким образом, и свободные группы, и свободные абелевы группы являются частными случаями частично-коммутативных групп.

В свою очередь, частично-коммутативные группы являются частным случаем артиновых групп. В артиновых группах все соотношения имеют вид аЪ. = Ьа., где а, Ь — различные образующие, причем в любом определяющем соотношении длины левой и правой части равны. Если в артиновой группе длины левых и правых частей всех соотношений равны 2, то группа будет частично-коммутативной. Частично-коммутативные группы называют также прямоугольными артиновыми группами (right-angled Artin groups) и графическими группами (graph groups). С каждой артиновой группой можно связать группу Кокстера, добавляя соотношения вида а2 = 1 для всех порождающих группы. Для артиновых групп и групп Кокстера может быть доказан ряд утверждений, сходных с доказанными нами для частично-коммутативных групп (например, лемма 2). Естественно предположить, что могут быть предприняты попытки исследовать в этих группах разрешимость квадратичных уравнений при помощи схожих методов.

Частично-коммутативные группы тесно связаны со свободными группами и обладают многими свойствами, которыми обладают и свободные группы. Так, в частично-коммутативных группах схожим образом со свободными решаются проблема слов и проблема сопряженности, доказательства можно найти в [25] (см. также [12, 17]). В работе [10] доказано, что любые два некоммутирующих элемента в частично-коммутативной группе образуют базис свободной группы. Кроме того, как и в свободных группах, члены нижнего центрального ряда имеют тривиальное пересечение, откуда следует, что частично-коммутативные группы линейно упорядочиваемы (см. [11]).

Эти результаты можно считать обобщениями аналогичных результатов для свободных групп. Однако следующие факты показывают, что частично-коммутативные группы обладают рядом специфических интересных свойств. В группе F2 х F2, которая, очевидно, является частично-коммутативной, существуют конечно-порожденные подгруппы с неразрешимой проблемой вхождения (см. [6]). Кроме того, в работе [18] доказано, что частично-коммутативные группы могут содержать фундаментальные группы двумерных поверхностей.

Частично-коммутативные группы тесно связаны с классом групп диаграмм [13], а именно, существует группа диаграмм С, являющаяся полупрямым произведением некоторой (бесконечно-порожденной) частично-коммутативной группы и группы Р. Томпсона .Р такая, что всякая счетная группа диаграмм вкладывается в С [14]. Многие (но не все) частично-коммутативные группы являются группами диаграмм [3, 14].

В настоящей работе исследуются вопросы о разрешимости в частично-коммутативных группах уравнений вида [х, у] = д и х2у2 = д, где д — некоторый элемент группы. Указана явная форма для коммутаторов (Теорема 1) и произведений квадратов (Теорема 2) в частично-коммутативных группах. Таким образом, вопросы о том, равен ли данный элемент группы коммутатору или произведению двух квадратов, сводятся к легко проверяемым условиям (Следствия 2 и 3). Тем самым, в частности, обобщаются известные результаты Уикса для свободных групп [22, 23]. В диссертации показано как описания коммутаторов и произведений двух квадратов в свободных группах, данные У иксом, прямо выводятся из наших описаний для частично-коммутативных групп.

Заметим, что результаты Уикса для свободных групп и их обобщения тесно связаны с классификацией двумерных многообразий. Пусть дано некоторое квадратичное слово IV от п переменных, то есть слово, в котором каждая переменная (в степени 1 или —1) встречается ровно 2 раза. Рассмотрим 2п-угольник на плоскости и разметим его стороны символами переменных, входящими в IV, так, чтобы каждой стороне соответствовала одна буква, и при обходе контура многоугольника с некоторой вершины по часовой стрелке по ребрам читалось бы слово IV. Теперь склеим пары ребер, которым сопоставлены одноименные переменные. В результате получим некоторое двумерное многообразие, которое однозначно определяется исходным словом У/. Слово IV в дальнейшем будем называть разверткой этого многообразия. Как известно [1], любое двумерное многообразие гомеоморфно или сфере с п ручками (ориентируемый случай), или сфере с п дырами, закленными листами Мебиуса (неориентируемый случай). Из этого следует, что все квадратичные слова (а значит, и все квадратичные уравнения) разбиваются на 2 класса — ориентируемые и неориентируемые.

Слово \х\, у\\ . [хп, уп] является простейшей разверткой для сферы с п ручками, а слово х\. .х\ — для сферы с п листами Мебиуса. При помощи простейших топологических операций любая развертка может быть преобразована в слово одного из этих видов. Из этого следует, что любое квадратичное слово при помощи некоторого автоморфизма можно перевести либо в слово вида [жх, у\]. [хп, уп], либо в слово вида х\ . х\. Поэтому уравнения [жх, У\\ . [хп, уп] — д и х\ . = д играют важную роль в классе квадратичных уравнений.

Теперь рассмотрим топологическую интерпретацию результатов Уик-са и их обобщений для свободных групп. Как доказал Уикс, циклически приведенное слово является коммутатором в свободной группе тогда и только тогда, когда некоторый его циклический сдвиг имеет вид АВСА~1В~1С~1. Это слово является разверткой ориентируемой поверхности рода 1 (сферы с одной ручкой, т. е. тора), которая в некотором смысле исчерпывает все развертки тора. А именно, если число переменных в развертке тора больше 3, то она, может быть преобразована в слово АБСА~1 В~1С~1 путем переобозначений переменных и циклических сдвигов. Если число переменных меньше 3, то развертка получается из слова АВСА~1В~1С~1 путем замены некоторых переменных на пустые слова.

Для произведения двух коммутаторов, которое соответствует сфере с 2 ручками, имеется уже 8 форм Уикса от 9 переменных каждая. Каждое из этих слов является разверткой сферы с 2 ручками, а вместе они исчерпывают в описанном выше смысле все развертки. Вообще, для уравнения [Х1,У1] ■ ■ ■ [хп,Уп] = 9 решения, являющиеся также развертками сферы с п ручками, записываются в виде слов от 6п — 3 переменных [8]. В работах [19, 20] указаны формы, описывающие все решения уравнений вида [х\,у\). [хп,уп] = д и подсчитано точное число таких решений ("максимальных ориентируемых форм Уикса").

Далее излагаем содержание диссертации.

В главе 1 вводятся основные понятия, используемые в диссертации. В параграфе 1.1 приведены определения алфавита, группового слова, копредставления и некоторых других базовых понятий.

В параграфе 1.2 дано определение диаграмм ван Кампена. В данной работе используется расширенное понятие диаграмм ван Кампена, в которых наряду с обычными клетками допускается также наличие так называемых 0-клеток. Такое расширение предложено А. Ю. Ольшанским [7] и позволяет, в частности, добиться того, чтобы контур диаграммы и контуры всех клеток были простыми замкнутыми кривыми. Мы приводим доказательство леммы ван Кампена в модифицированной формулировке.

В параграфе 1.3 рассматривается понятие уравнения в группах. Приведены некоторые известные результаты об уравнениях в свободных и частично-коммутативных группах. Приведено доказательство результата Уикса для уравнения [х, у] = д в свободных группах, поскольку при доказательстве основных результатов диссертации используются идеи этого доказательства.

В главе 2 дано определение частично-коммутативных групп, доказаны некоторые вспомогательные леммы и приведен алгоритм решения уравнения [х, у] = д в частично-коммутативных группах.

В параграфе 2.1 рассмотрено понятие частично-коммутативных групп и некоторые их необходимые далее свойства. Пусть С? — частично-коммутативная группа, заданная копредставлением V = (£ | Пусть \¥ — слово над алфавитом Е, причем IV = И^а&И^, где а, Ь £ £ и среди определяющих соотношений есть соотношение [а, Ь] = 1 (далее будем обозначать этот факт а Ь). Тогда можно перейти от слова V/ к слову ]¥' = \V1baW2; такой переход будем далее называть элементарным преобразованием. Слова V/ и V назовем эквивалентными, если V может быть получено из IV при помощи элементарных преобразований. Через [И7] обозначим класс эквивалентности слова IV. Очевидно, все слова из [УУ] равны V/ в группе (7. Заметим, что в свободной группе любой класс эквивалентности [И^] состоит из одного слова \У.

По аналогии со свободной группой, слово IV назовем приведенным в частично-коммутативной группе С, если все слова из класса [\У] приведены в свободной группе. Любое слово в частично-коммутативной группе можно привести, находя в его классе эквивалентности неприведенное слово и сокращая в нем пары взаимно-обратных букв, пока это возможно. В отличие от свободных групп, привести слово можно различными способами, однако полученные слова будут эквивалентны. Аналогично слово IV называется циклически приведенным, если все слова из класа [И^] циклически приведены в свободной группе. Приведенные слова и и V назовем циклически эквивалентными, если V может быть получено из и при помощи переходов к эквивалентным словам и циклических сдвигов.

Слова и и V назовем коммутирующими побуквенно (обозначается ¿7 К), если для любой буквы а±г, входящей в слово и и любой буквы Ь±г, входящей в слово У, где а, Ъ € £, среди определяющих соотношений есть соотношение аЬ — Ьа. (В частности, если буква х е Е*1 входит в ¿7, то х±1 не входит в V.)

Леммы 2 и 3 доказываются геометрическим методом с использованием диаграмм ван Кампена.

Лемма 2. Если слово IV не приведено в частично-коммутативной группе, то в нем есть подслово вида х11х~где х € Е±: и х и.

Лемма 3. Приведенные в (7 слова и и V равны в (7 тогда и только тогда, когда С/ ~ V. В частности, приведенные формы одного и того же слова эквивалентны.

Далее доказываются две леммы, имеющие технический характер. Из них выводится

Следствие 1. Слово V/ в частично-коммутативной группе (7 не является циклически приведенным в G тогда и только тогда, когда существует его циклический сдвиг W7, содержащий подслово вида xYx~l (:х 6 Е*1), причем х *-> У.

Лемма 6. Два циклически приведенных в G слова V и W сопряжены в G тогда и только тогда, когда V циклически эквивалентно W. В частности, циклические приведенные формы одного и того же слова циклически эквивалентны.

Два последних утверждения являются базовыми для доказательства основных результатов диссертации.

Эти леммы показывают сходство между свободными и частично-коммутативными группами с учетом того, что в свободной группе каждый класс эквивалентности [W] состоит из одного слова W, условие U V эквивалентно условию "U = 1 или V = 1", а условие U ~ V эквивалентно условию "V является циклическим сдвигом С/". В частности, как следует из лемм, проблемы слов и сопряженности в частично-коммутативных группах решаются при помощиа алгоритмов, похожих на соответствующие алгоритмы для свободных групп.

В параграфе 2.2 приводится один из основных результатов диссертации — описание коммутаторов в частично-коммутативных группах. На основе этого описания доказывается существование алгоритма, определяющего разрешимость уравнения [х, у] = д в частично-коммутативных группах. Приведем основную идею доказательства. Пусть слово W является коммутатором. Тогда для некоторых слов А и В выполняется равенство W = ABA"1 В-1 в группе G. Пусть слово АВА~1В~1 не является циклически приведенным в группе G. Тогда по Следствию 1 в нем есть циклическое подслово видагсУгг-1, где х е Е"1"1, х У, и мы можем осуществить сокращение, заменяя подслово хУх~1 на У. Далее исследуется, как меняется тип слова при всех возможных таких сокращениях, то есть при циклическом приведении слова IV. В результате доказывается теорема о форме коммутатора в частично-коммутативных группах:

Теорема 1. Слово IV в частично-коммутативной группе С является коммутатором тогда и только тогда, когда некоторая его циклически приведенная форма А представима в виде А1А2. АтА^А^1. А"1, и для любых чисел а, ¡3, 7, 5 таких, что 1<а</3</у<3<т выполняется хотя бы одно из условий: Аа <-> А1 или Ар А&.

Поскольку по Лемме 6 все циклически приведенные формы данного слова циклически эквивалентны, то по данному слову IV они могут быть эффективно найдены. Далее, нетрудно доказать, что в формулировке Теоремы 1 значения тп можно считать ограниченными сверху. Поэтому для любого циклически приведенного слова можно эффективно проверить условие из формулировки Теоремы 1. Значит, справедливо следствие Теоремы 1 и Леммы б.

Следствие 2. Для любой частично-коммутативной группы С, заданной конечным копредставлением, алгоритмически разрешимо свойство данного элемента быть коммутатором. Иными словами, существует алгоритм, проверяющий разрешимость уравнений вида [х, у] = д в группе в.

Доказательство достаточности в Теореме 1 конструктивно, то есть позволяет по данному слову IV (в случае, если оно является коммутатором), эффективно найти слова и и V такие, что IV = [и, V].

В главе 3 приводится второй результат диссертации — описание слов, являющихся произведениями двух квадратов в частично-коммутативных группах. Из этого описания следует алгоритмическая разрешимость уравнения х2у2 = д в частично-коммутативных группах. Доказательство основано на той же идее и в основном проводится теми же методами, что и для уравнения [х, у] = д. В итоге доказывается Теорема 2, которая описывает слова, являющиеся произведениями двух квадратов в частично-коммутативных группах и основанный на ней алгоритм, проверяющий разрешимость уравнений видах2?/2 = д в этих группах (Следствие 3).

Определение. Будем говорить, что слово А в частично-коммутативной группе С удовлетворяет условию т), если А может быть представлено в виде

АтВт-1А т—1 • • • Вт1АтС для некоторых слов А\,., Ат, Вт-1, С при т > О, причем выполнены следующие условия:

• А( <-+ Ау при и — г\ > 1;

• Аг Ву при % ф + 1;

• В{ «-> В^ при г ф

• С при всех 1 < % < т.

Теорема 2. Слово IV в частично-коммутативной группе (7 предста-вимо в виде произведения двух квадратов тогда и только тогда, когда некоторая его циклически приведенная форма удовлетворяет условию (Э(т) для некоторого т. При этом дополнительно можно считать все слова А\, ., Атп в определении условия С}(т) непустыми.

Следствие 3. Для любой конечно порожденной частично-коммутативной группы (7 существует алгоритм, позволяющий определить, является ли данное слово в (7 произведением двух квадратов.

Результаты автора по теме диссертации изложены в [25]—[28].

1. Введение в топологию. / Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко — М.:Наука, 1995. — 416 с.

2. Григорчук Р. И. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией. / Р. И. Григорчук, П. Ф. Курчанов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1990. - Т. 58. - С. 192-253.

3. Губа В. С. О подгруппах группы Р. Томпсона ^ и других групп диаграмм. / В. С. Губа, М. В. Сапир // Математический сборник. — 1999. Т. 190, №8. - С. 3-60.

4. Линдон Р. Комбинаторная теория групп. / Р. Линдон, П. Шупп — М.: Наука, 1980. 448 с.

5. Маканин Г. С. Уравнения в свободной группе. / Г. С. Маканин // Известия АН СССР, сер. матем. 1982. - Т. 46, №6. - С. 1199-1273.

6. Михайлова К. А. Проблема вхождения для прямых произведений групп. / К. А. Михайлова // Доклады АН СССР. 1958. - Т. 119, №6. - С. 1103-1105.

7. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. / А. Ю. Ольшанский — М.:Наука, 1989. — 446 с.58

8. Ольшанский А. Ю. Диаграммы гомоморфизмов групп поверхностей. / А. Ю. Ольшанский // Сиб. матем. ж. 1989. - Т. 30, №6. - С. 150-171.

9. Разборов А. А. О системах уравнений в свободной группе. / А. А. Разборов // Известия АН СССР, сер. матем. 1984. - Т. 48, №4. -С. 779-832.

10. Baudisch A. Subgroups of semifree groups. / A. Baudisch // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1981. - Vol. 38, №1-4. - P. 19-28.

11. Duchamp G. The lower central series of the free partially commutative group. / G. Duchamp, D. Krob // Semigroup Forum 45. — 1992. — P. 385-394.

12. Cartier P. Problèmes combinatoires de commutation et de réarrangements. / P. Cartier, D. Foata // Lect. Notes in Math. — Springer, 1969. №85. - P. 1-86.

13. Guba V. Diagram groups. / V. Guba, M. Sapir // Memoirs Amer. Math. Soc. 1997. - Vol. 620, №130. - P. 1-117.

14. Lyndon R. C. On Dehn's algoritin. / R. C. Lyndon // Math. Ann. — 1966. №166. - R 208-228.

15. Servatius H. Automorphisms of graph groups. / H. Servatius //J. Algebra. 1989. - №126. - R 34-60.

16. Servatius H. Surface subgroups of graph groups. / H. Servatius, C. Droms, B. Servatius // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1989. - Vol. 106, №3. - P. 573-578.

17. Vdovina A. Constructing orientable Wicks forms and estimation of their numbers. / A. Vdovina // Comm. Algebra. — 1995. — №23 (9). — P. 3205-3222.

18. Vdovina A. Counting 1-vertex triangulations of oriented surfaces. / A. Vdovina // Discrete Math. 2002. - №246. - P. 13-27.

19. Weinbaum C. M. Visualizing the word problem with an application to sixth groups. / C. M. Weinbaum // Pacific J. Math. 1966. - №16. -P. 557-578.

20. Wicks M. J. Commutators in free products. / M. J. Wicks //J. London Math. Soc. 1962. - №37. - P. 433-444.

21. Wicks M. J. The equation x2y2 = g over free products. / M. J. Wicks // Proc. Cong. Singapore Nat. Acad. Sci. 1971. - P. 238-248.

22. Wicks M. J. A general solution of binary homogeneous equations over free groups. / M. J. Wicks // Pacific J. Math. №41. - P. 543-561.Работы автора по теме диссертации

23. Шестаков. С. Л. Уравнение х,у. = д в частично-коммутативных группах. / С. Л. Шестаков // Сиб. матем. ж. — Т. 46 — Ш (2005) — С. 466-477.

24. Шестаков С. Л. Уравнение х2у2 = д в частично-коммутативных группах. / С. Л. Шестаков // Сиб. матем. ж. Т. 47 - №2 (2006) - С. 463-472.

25. Шестаков С. Л. Описание произведений квадратов в частично-коммутативных группах. / С. Л. Шестаков; Вологодский государственный педагогический университет. — Вологда, 2005. — 14 с. — деп. в ВИНИТИ 22.11.2005, ДО1522-В2005.