Фрактальная динамика активных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ИУДИН Дмитрий Игоревич

ФРАКТАЛЬНАЯ ДИНАМИКА АКТИВНЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.03 — Радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород — 2005

Работа выполнена в Федеральном государственном научном учреждении "Научно-исследовательский радиофизический институт"Федерального агентства по науке и инновациям (ФГНУ НИРФИ Роснауки)

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор ТРАХТЕНГЕРЦ Виктор Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАН ЗЕЛЕНЫЙ Лев Матвеевич

доктор физико-математических наук, профессор САИЧЕВ Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор ЯХНО Владимир Григорьевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В .Ломоносова

Защита диссертации состоится "28 "июня 2005 г. в "15.00"часов на заседании диссертационного совета Д212.161.01 при Федеральном государственном научном учреждении "Научно-исследовательский радиофизический институт"Федерального агентства по науке и инновациям (ФГНУ НИРФИ Роснауки) по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научно-исследовательского радиофизического института

Автореферат разослан "29 "апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Калинин А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важным объектом радиофизических исследований в области нелинейной динамики являются процессы в сильно неравновесных открытых системах. Потоки энергии и вещества, проходящие через зги системы, обеспечивают возникновение в них эффектов самоорганизации - образования макроскопических диссипативных структур 1. В последнее время в области интересов радиофизики оказывается все большее число нелинейных распределенных сред, структурообразование в которых демонстрирует в широком диапазоне параметров и масштабов пространственно-временной скей-линг—один из фундаментальных видов симметрии физического мира, играющих формообразующую роль во Вселенной . Пространственно-временной скейлинг характеризуется сильными, спадающими по степенному закону, корреляциями, которые типичны для критических явлений. Критический режим в процессах самоорганизации оказывается самосогласованным и самонастраивающимся, причем динамика критических флуктуации непосредственно связана с появлением фракталов в конфигурационном пространстве нелинейных распределенных систем при кинетических переходах. Исследования явлений такого рода были объединены недавно общим направлением названным самоорганизованной критичностью (self-organized criticality)- и позиционирующим скейлинговый аспект самоорганизации как ярчайшую интригу современной физической парадигмы, вызывающую колоссальный интерес .

Фрактальная динамика активных систем как неотъемлемое проявление самоорганизованной критичности обнаруживается в природе повсеместно. Рост деревьев и дренажные системы речных бассейнов, растительный покров и лесные пожары, структура облачности и грозовые электрические разряды, просачивание жидкости сквозь грунты и сейсмичность, эволюция популяций и многое другое, — все это примеры фрактального поведения. Однако, несмотря на широкое разнообразие физических контекстов, в которых разворачивается фрактальная динамика конкретных систем, существуют общие фундаментальные закономерности самоподобной динамики, предопределяющие независимость макроскопического поведения от мелкомасштабных нюансов взаимо-

1 Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно ВТ. Автоволновые процессы. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. - (Соврем, пробл. физики). - С. 240.

2М. Шредер. Фракталы, хаос, степенные законы, Научно-издательский центр 'Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - С. 528.

3Bak, P., How Nature Works (The Science of Self-organized Criticality), Oxford Univ. Press, 1997.

4HJ. Jensen, Self-Organized Criticality, Cambridge university press, 1998.

действия локальных элементов. Поиск этих закономерностей наряду с построением базовых моделей фрактальной динамики представляется чрезвычайно актуальной задачей.

Развитие базовых представлений о фрактальной динамике в короткий срок шагнуло от решеточных моделей песочной кучи, ставшей своеобразной визитной карточкой самоорганизованной критичности, до синтеза фрактальности и топологии в описании перколирующих систем как геометрического образа самосогласованной критической динамики5. Последний случай, когда в качестве исходных посылок используются идеи теории перколяции, представляется особенно актуальным. Дело в том, во-первых, что подобно диссипа-тивным структурам, перколяционные структуры также оказываются результатом фазовых превращений. Во-вторых, геометрические параметры перколяци-онных кластеров вблизи порога слабо зависят от деталей мелкомасштабного устройства, что делает перколяцию чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте. И, наконец, в-третьих, наличие контрастных — по отношению к фону — физических свойств элементов перколяционных структур (например, высокой — на фоне низкой — проводимости или проницаемости элементов) делает их весьма чувствительными к воздействию внешних полей. Во внешнем поле экспоненциально редкое событие образования крупного кластера способно вызвать катастрофу на масштабах, сопоставимых с размерами системы, причем катастрофическое событие не может быть обнаружено или предсказано в приближении среднего поля.

Последнее обстоятельство особенно ярко проявляется в крупномасштабных природных системах, таких как грозовое облако и сейсмически активные участки литосферы. Здесь возникает новое интересное направление исследований связанное с фрактальной динамикой перколирующих систем в потенциальных полях. Описание таких сред не укладывается в рамки традиционных подходов и, хотя, использование средств фрактальной геометрии уже имеет здесь свою историю6, многие актуальные проблемы грозовой и сейсмической активности остаются открытыми. Так, до сих пор не нашли своего решения принципиальные вопросы формирования электрической структуры грозовых облаков, инициации молниевого разряда, его распространения и сбора объем-

5Л.М. Зеленый, А.В. Милованов, Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики, УФН, 174,8,2004

6Vecchi G., Labate D., and Canavero R, Fractal approach to lightning radiation on a tortuous channel, Radio Science, 29, 4, pp691-704, 1994; C.Z.E.R.Mansell, D.R. MacGorraan, and J. Straka, J. Geophys. Res. 107, 10.1029/2000JD000244 (2002); C.Goltz, Fractal and chaotic properties of earthquakes, Lecture Notes in Earth Sciences 77, Springer, 1997

ного внутриоблачного заряда в лидерный канал молнии, актуальные вопросы электромагнитного излучения грозы. В сейсмике своего решения ждут вопросы энергетики сейсмических событий, проблемы вертикальной миграции гипоцентров и проблема генерации краткосрочных электромагнитных предвестников землетрясений.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики в той ее части, которая связана с исследованием нелинейной динамики и самоорганизации активных систем различной природы.

Цель диссертационной работы. Выявление общих закономерностей нелинейной динамики активных систем различной природы, приводящих к формированию самоподобных диссипативных структур. Построение и анализ моделей, описывающих фрактальную динамику активных распределенных систем на примере грозового облака и сейсмической активности.

Для достижения поставленной цели ставились и решались следующие конкретные задачи:

1. Выявление общих закономерностей критической динамики в системах с размножением, распадом и диффузией и в активных системах со случайно растущим потенциалом. Моделирование динамической перколя-ции на простой кубической решетке для различных алгоритмов случайного рота. Изучение роли внешнего поля и линейных размеров системы. Развитие динамических обобщений законов Хака и Хортона для самоаффинных проводящих структур.

2. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по зондированию внутриоблачного электрического поля. Выявление тонкой электрической структуры грозовых облаков и построение модели ее формирования. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по высокочастотному картографированию молниевого разряда. Развитие фрактального подхода для количественного описания множественных электрических разрядов ассоциированных с тонкой электрической структурой грозового облака на предварительной фазе молнии.

3. Построение самосогласованной перколяционной модели описывающей электромагнитное излучение грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами. Построение фрактальной электродинамической модели разветвленных

транспортных цепей, осуществляющих перенос крупномасштабного электрического заряда в грозовом облаке. Исследование эффекта "убега-ющих"электронов при наличии мелкомасштабной электрической структуры грозового облака.

4. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по выявлению количественных характеристик грозовых структур инициирующих разряды в средней атмосфере - спрайты и эльфы. Моделирование тонкой структуры ассоциированных с грозой высотных разрядов. Исследование динамики зон интенсивной конденсации в грозовых облаках.

5. Построение обобщенной модели фильтрационных течений в дисперсных средах с переменной пористостью с использованием методов континуальной теории перколяции. Экспериментальная проверка выводов теории о скейлинговом характере изменения активной пористости и проницаемости дисперсных систем. Исследование нелинейной динамики фильтрационных течений вблизи порога перколяции.

6. Исследование механизма неустойчивости многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу в гравитационном поле. Построение самосогласованной перколяционной модели распределенной сейсмичности. Объяснение эффекта вертикальной миграции очагов землетрясений.

Научная новизна. Все полученные в диссертации научные результаты являются новыми и получены впервые:

1. Построена фрактальная модель нелинейных распределенных систем со случайно растущим потенциалом и с пороговым подавлением роста локальных градиентов потенциального рельефа. Для различных моделей роста найдены условия, при которых модельная динамика обладает скей-линговыми свойствами. Показано, что эффекты динамической перколя-ции предопределяют специфику отклика активной системы на внешнее поле и нетривиальный характер зависимости динамики от размеров системы. Продемонстрировано флуктуационное понижения порога динамической перколяции на броуновском потенциальном рельефе. Предложено динамическое обобщение законов Хака и Хортона для саморазвивающихся транспортных структур.

2. Построена физическая картина предварительной стадии молниевого разряда и показано, что динамическая перколяция лежит в основе механизма, осуществляющего фрактальную "металлизацию"грозового облака — лавинообразный рост самоподобного поля мелкомасштабных неоднород-ностей проводимости внутриоблачной среды. В рамках перколяционной модели получена оценка среднего уровня активности на предварительной фазе.молниевого разряда, соответствующая данным экспериментальных наблюдений. Показано, что взаимодействие возникающих проводящих структур с крупномасштабным полем грозы приводит к возникновению иерархической системы сбора объемного внутриоблачного заряда в активной части облака, которая предопределяет появление лидерного канала молнии.

3. Предложена фрактальная модель электромагнитного излучения грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами, учитывающая разветвленность и конечную проводимость токовых каналов. Проведен фрактальный анализ экспериментальных данных по высокочастотному картографированию молниевых разрядов и выявлены эффекты кластеризации мелкомасштабных вспышек электромагнитного излучения на предварительной стадии молнии. Характерные значения фрактальной размерности процесса кластеризации извлеченные из эксперимента определяются размерностью геодезической перколяционного кластера.

4. Показано, что наряду с ускорением электронов до релятивистских энергий, случайно ориентированные мелкомасштабные электрические поля при наличии столкновений с молекулами воздуха приводят к резкому увеличению времени жизни релятивистских электронов в облаке благодаря диффузионному характеру их траекторий и объясняют значительную продолжительность всплесков рентгеновского и гамма излучения и наблюдаемый характер их корреляции с молниевыми вспышками.

5. Проведен фрактальный анализ радарных образов грозовых структур инициирующих разряды в средней атмосфере на примере зимних гроз в Японии. Выявлено критическое поведение зон интенсивной внутриоблачной конденсации непосредственно перед генерацией спрайтов и эльфов — электрических разрядов в средней атмосфере, инициированных крупномасштабным молниевым разрядом. Построена перколяционная модель

эволюции зон интенсивной внутриоблачной конденсации, соотвествую-щая реальным наблюдениям за поведением грозовой системы на радаре. Предложен перколяционный механизм формирования тонкой структуры спрайтов. На основе принципов, развитых в диссертации при описании внутриоблачного разряда, построена фрактальная модель, позволяющая описывать структуру и динамику развития спрайтов.

6. Получена универсальная форма нелинейного закона фильтрации для широкого класса дисперсных сред. Экспериментально доказано, что фильтрационное течение в среде с переменной пористостью имеет скейлин-говые особенности, обусловленные перколяцией внутрипорового пространства. Обнаружен эффект критического замедления при распространении фронта возмущения, вызванного резким включением градиента давления в дисперсной системе.

7. Показано, что наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле, например, конвекцией, существует и механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу. Показано, что перколя-ционный механизм обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и объясняет наблюдаемую в эксперименте вертикальную миграцию очагов землетрясений.

Научная и практическая значимость результатов диссертационной работы связана с выявлением общих критериев формирования самоподобных дисси-пативных структур в активных системах со случайно растущим потенциалом и демонстрацией эффектов направленной перколяции в нелинейных системах различной природы. Проведенные исследования обнаружили новые нелинейные динамические режимы в распределенных активных системах, что дает основу как для более глубокого понимания процессов в реальных геофизических системах, так и для получения результатов обладающих прогностической ценностью. В диссертации сформулированы принципы построения алгоритма анализа бинарных записей системы высокочастотной локации грозовых разрядов, позволяющего формировать сигнал тревоги за десятки миллисекунд до появления молниевых ударов. Алгоритм основан на установленном в диссертации факте интенсивной кластеризации внутриоблачных вспышек на предварительной стадии молниевого разряда. Применяемый в работе фрактальный подход дает принципиально новую основу для решения актуальных

прикладных задач нелинейной фильтрации и сейсмики, в частности, автором предсказан эффект вертикальной миграции очагов сейсмической активности подтвержденный недавними натурными экспериментами.

Результаты диссертации используются в учебном процессе в Нижегородском государственном университете. Они также легли в основу курса лекций, прочитанных автором для студентов и аспирантов Токийского университета электрокоммуникаций в 2000 - 2002 годах.

Тема диссертационной работы лежит в спектре традиционных интересов НИРФИ в области приложений радиофизических методов в науках о Земле. Результаты диссертации были получены при выполненении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 98 02 16615, 01 02 17403, 04 02 17405 по радиофизике).

Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием современных средств фрактальной геометрии и дискретной математики, и подтверждается сопоставлением результатов теоретических исследований и компьютерного моделирования с анализом экспериментальных данных .

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в Научно-исследовательском радиофизическом институте, Институте прикладной физики РАН, Институте космических исследований РАН, Институте физики Земли, Институте океанологии РАН, на механико-математическом факультете МГУ, на радиофизическом факультете ННГУ, Институте электронных коммуникаций (Токио, Япония), на рабочих группах по электромагнетизму ассоциированному с сейсмичностью (Токио, Япония, 1997, 2000), на международной ассамблее (Торонто, Канада, 1999), на международной ассамблее (Маастрихт, Нидерланды, 2002), на рабочей группе Е8Б по космической погоде и погоде и климату Земли (Франкфурт на Майне, Германия, 2003), на международной конференции "Развитие нелинейной физики"(Нижний Новгород - Москва, Россия, 2003), на международной конференции "Развитие нелинейной физики"(Нижний Новгород - Санкт-Петербург, Россия, 2004), на международной школе НАТО по спрайтам (Кортэ, Корсика, Франция, 2004), на международной Суздальской конференции (Троицк, Россия, 2004) и ряде других.

По теме диссертации опубликовано 5 статей в коллективных монографиях, 49 статей в ведущих научных журналах и сборниках трудов международных конференций. Полный список печатных работ автора по тематике диссертации приведен в конце автореферата.

Личный вклад соискателя. Большая часть работ по теме диссертации написана в соавторстве с В.Ю. Трахтенгерцем, которому принадлежат идеи о фундаментальной роли пучковой неустойчивости в проблемах формирования мелкомасштабной электрической структуры грозового облака, роста амплитуды электрического поля грозы и инициации молниевого разряда. В совместные публикации автором были привнесены идеи о принципиальной роли перко-ляционных эффектов на нелинейной стадии развития упомянутой неустойчивости. Из работ по теме диссертации написанных в других авторских коллективах в диссертацию включены только те результаты, вклад автора в которые был определяющим на всех этапах и включал в себя: постановку и решение задачи, проведение измерений, обработку и анализ экспериментальных данных, написание алгоритмов и численный эксперимент, обсуждение результатов и подготовку публикаций. Во всех других случаях используемые в диссертации результаты приводятся с соответствующими ссылками на их авторство и приоритетные публикации.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Эффекты динамической перколяции лежат в основе специфического механизма запорогового ограничения роста населенности при кинетическом переходе типа заселения среды в неравновесных системах различной природы. При этом поле диссипации в широком диапазоне пространственных и временных масштабов имеет фрактальную структуру, предопределяющую нетривиальный отклик на внешнее поле и зависимость характера динамики от линейных размеров системы.

2. Динамическая перколяция является механизмом фрактальной "металлизации "внутриоблачной среды на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между последовательными обратными ударами и обеспечивает формирование иерархической системы токовых каналов, собирающих внутриоблачный объемный заряд в канал лидера.

3. Фрактальная "металлизация"внутриоблачной среды на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами лежит в основе фрактальной модели электромагнитного излучения грозового облака, учитывающей разветвленность и конечную проводимость токовых каналов. Скейлинговый подход к сети микроразрядов позволяет определить основные электрические макропараметры грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда.

4. Случайно ориентированное мелкомасштабное электрическое поле грозового облака в присутствии столкновений с молекулами воздуха приводит к резкому увеличению времени жизни релятивистских электронов в облаке благодаря диффузионному характеру их траекторий, объясняя значительную продолжительность всплесков рентгеновского и гамма излучения и наблюдаемый характер их корреляции с молниевыми вспышками.

5. Фильтрационное течение в среде с переменной пористостью имеет скей-линговые особенности, обусловленные перколяцией внутрипорового пространства. При этом для широкого класса дисперсных сред справедлива универсальная форма нелинейного закона фильтрации.

6. Наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле существует механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу. Динамическая перколяция обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и объясняет наблюдаемую в эксперименте вертикальную миграцию очагов землетрясений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 309 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы состоит из 273 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цель и задачи, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.

Глава 1 посвящена исследованию эффектов динамической перколяции. Раздел 1.1 содержит обзор основных идей теории перколяции (от английского to percolate - протекать, просачиваться). Основы теории были заложены еще в дофрактальные времена, но широкую популярность ей принес фрактальный бум 80-х годов. Теория перколяции занимается геометрическим фазовым превращением — появлением связности в ансамбле очень большого (макроскопического) числа элементов при условии, что расположение самих элементов и связи между ними носят случайный характер.

Простейшие решеточные задачи теории протекания формулируются следующим образом. На пространственной решетке каждый узел (независимо от своих ближайших соседей) занят с некоторой определенной вероятностью, которую можно интерпретировать как долю (концентрацию) занятых узлов при случайно-однородном заполнении решетки. Пустые и занятые узлы могут отвечать самым разнообразным физическим свойствам.

В противоположность обычным фазовым превращениям, где смена фаз происходит при некоторой критической температуре, перколяционный переход является геометрическим фазовым превращением и характеризуется критическим поведением кластеров — групп занятых узлов, являющихся ближайшими соседями, вблизи порога перколяции. Ниже порога существуют только кластеры небольших размеров. По мере роста концентрации средний размер кластеров увеличивается. При концентрации близкой к критической появляется кластер, связывающий противоположные стороны решетки. Такой кластер называют перколяционным. В термодинамическом пределе бесконечно протяженной решетки перколяционный кластер называют бесконечным кластером. С дальнейшим ростом концентрации доля принадлежащих перколя-ционному кластеру узлов (плотность перколяционного кластера) возрастает. Соответственно, средний размер конечных кластеров, не принадлежащих пер-коляционному кластеру, уменьшается и при концентрации близкой к единице все узлы принадлежат, очевидно, только одному кластеру.

Крупномасштабная геометрия кластеров вблизи порога превращения оказывается фрактальной, имеет универсальный характер и не зависит от мелкомасштабной структуры, определяемой физической природой связей и свойствами отдельных элементов. Универсальная геометрия крупномасштабных структур

предопределяет универсальность глобальныхсвойств в системе, делая перко-ляцию чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте.

Тот факт, что перколяционный переход является критическим явлением, подразумевает степенной характер поведения связанных с ним физических величин: они меняются как степени отстройки критического параметра — концентрации от порогового значения. Это утверждение сохраняет свою силу и для динамических, например, транспортных свойств перколирующих объектов.

Динамическим развитием идей перколяции можно считать ситуации, когда критический параметр перколяционного перехода сам становится внутренней динамической переменной системы. Естественно, что такие превращения

возникают только в активных средах и сопровождаются подводом к системе свободной энергии и диссипацией. При этом ключевую роль начинает играть явление, так называемой, самоорганизованной критичности, когда система автоматически эволюционирует к состоянию динамического равновесия, близкому к порогу перколяции.

Изложение оригинальных результатов начинается с раздела 1.2, где исследуются эффекты направленной перколяции в средах с диффузией и размножением [9,51-53,55]. Здесь в п. 1.2.1 рассмотрена взрывная неустойчивость роста населенности вблизи порога направленной перколяции и численно исследована зависимость средней населенности от линейных размеров системы в двумерном случае [9,52]. В качестве базовой модели рассматривается распределенная система со случайным размножением, распадом и диффузией. Предполагается, что скорость распада однородна в пространстве и во времени, а размножение происходит лишь внутри определенных центров размножения, которые случайно возникают во времени в случайных точках среды, но имеют одинаковую форму, интенсивность и продолжительность жизни. Среднее число импульсов, приходящихся в единицу времени на единицу объема, постоянно. Критическим параметром задачи является безразмерная пространственно-временная концентрация центров размножения, определяемая как произведение объема пространственно-временной области занятой центром размножения на среднее число импульсов, приходящихся в единицу времени на единицу объема. Когда критический параметр мал, различные центры размножения действуют независимо друг от друга и расчет порога взрывной неустойчивости осуществляется в рамках известного, стандартного анализа в приближении среднего поля. По мере роста критического параметра различные центры размножения начинают перекрываться в пространственно-временном континууме и их взаимное влияние становиться существенным: последующие центры начинают действовать на фоне пятен населенности оставленных предыдущими центрами. Появляются пространственно-временные цепочки центров размножения—кластеры размножающегося вещества эволюционирующие на фоне практически нулевой населенности. Пространственно-временные масштабы этих кластеров расходятся при стремлении критического параметра к пороговому значению. Важным представляется тот факт, что средняя населенность в системе падает с ростом ее размеров в силу фрактальности кластеров размножающегося вещества.

Близкой дискретной иллюстрацией конструктивной роли геометрических флуктуации связанных с направленной перколяцией может служить передача

информации по одномерному информационному каналу [9, 52]. В 1.2.2 рассмотрена возможность эстафетной передачи возбуждений через цепочку клеточных автоматов, каждый из которых может либо блокировать, либо пропускать проходящую через него информацию. Цепочка характеризуется удельным числом элементов прозрачных для сигнала. Предполагается, что элементы сети могут с течением времени изменять свое состояние, так что за один шаг дискретного времени некоторое число прозрачных элементов становятся непрозрачными, и наоборот. При этом уровень прозрачности остается постоянным, а доля обновляемых за один шаг автоматов составляет фиксированную величину. Исследуется возможность передачи информации по такой флуктуирующей цепи при условии, что информация способна сохраняться на прозрачных ячейках, и пропадает только при изменении статуса ячейки. На каждом шаге модельного времени поступившая на вход системы информация передвигается вправо до ближайшего блокирующего узла. Предполагается, что информация передается через прозрачные ячейки за время малое по сравнению с длиной шага модельного времени, так что бит информации всегда занимает крайнее правое из доступных ему положений. Для одномерной ситуации, численно найдены порог эстафетной перколяции и соответствующий критический индекс.

Применение идей направленной перколяции в экологическом мониторинге видовой структуры биотических сообществ [4, 8, 37,43,49] обсуждается в п. 1.2.3. Здесь перколяционный подход позволяет связать фрактальные особенности видовой структуры биотического сообщества с масштабной инвариантностью его ландшафтного распределения.

Непосредственный анализ эффектов динамической перколяции содержится в разделе 1.3. Рассмотрение начинается с описания бистабильной среды с восстановлением в рамках системы двух уравнений для компоненты, характеризующей активность системы, и для ингибитора, определяющего скорость восстановления активного вещества [7, 39]. Принципиальным является вопрос о возможности существования режима фрактальной динамики в этой модели [36,7,39,53,54]. Поиск ответа осуществляется в представлении базовой системы сетью клеточных автоматов, где каждому узлу решетки поставлено в соответствие зависящее от дискретного времени значение скалярного потенциала. Роль ингибитора в представлении клеточных автоматов заключена в характере эволюции разностей потенциалов между ячейками: медленном росте с последующим резким переходом в нуль. Активация соседних ячеек соответствует передаче возбуждения посредством диффузии. При этом шаг счета по

времени и размер ячейки в системе клеточных автоматов можно связать с масштабом и скоростью движения импульса возбуждения в исходной системе.

Переход к сети клеточных автоматов целесообразен по следующим причинам. Во-первых, даже в том случае, когда известны точные дифференциальные уравнения, описывающие интересующую нас среду, очень редко удается найти аналитические решения этих уравнений и возникает необходимость в проведении расчетов. При исследовании динамических структур в таких двумерных и, тем более, трехмерных системах расчеты оказываются чрезвычайно трудоемкими. Во-вторых, часто возникают ситуации, когда модели дискретных сетей оказываются более адекватными по сравнению с приближением сплошной среды. Яркими примерами здесь могут служить живые ткани, нейронный и информационные сети, экологические и социально-экономические системы. Наконец, в-третьих, при развитии различных неустойчивостей, непрерывные распределенные системы могут быть подвержены вынужденной дискретизации с характерными масштабами, соответствующими оптимальным инкрементам этих неустойчивостей.

В рассматриваемой модели клеточных автоматов основным управляющим параметром является отношение скорости роста перепадов потенциала в соседних ячейках к скорости диссипации, принимаемой за единицу в дискретной модели. Проведенные компьютерные эксперименты [33, 34, 7, 39] показали, что при отношении скорости роста к скорости диссипации порядка и больше единицы в рассматриваемой системе клеточных автоматов реализуются хорошо известные регулярные режимы автоволн и релаксационные автоколебания. Интересующая нас критическая динамика обнаруживается в пределе, когда отношение скорости роста к скорости диссипации значительно меньше единицы. При этом происходит динамическая перколяция возбуждений на случайном потенциальном рельефе, когда после некоторого переходного процесса система оказывается в состояние динамического равновесия вблизи порога перколяции. Этот критический уровень определяется равновесием между процессами роста мелкомасштабного потенциального рельефа и процессами выравнивания потенциалов в соседних ячейках при возникновении пробоя между ними. Появление новых активированных связей компенсируется их исчезновением в процессе металлизации. Можно сказать, что происходит заселение среды активированными элементами. На больших временах при грубом временном разрешении события представляют собой дельтаобразные вспышки, частота появления которых обратно пропорциональна их амплитуде. Напротив, при более высоком разрешении, на коротких временах выявля-

ется тонкая структура каждого события, определяемая процессом выгорания отдельного кластера активированных связей. Принципиально важным оказывается тот факт, что кластеры активированных связей оказываются фрактальными структурами. Вычисленная по результатам моделирования фрактальная размерность кластеров в пределах ошибки совпадает с размерностью перко-ляционного кластера.

В п. 1.3.3 в рамках приближения среднего поля выясняются общие критерии, обеспечивающие появление критической динамики. Для этого вводится функция распределения связей модельной решетки по абсолютной величине разности потенциалов на их концах. Эволюция функции распределения описывается уравнением Фоккера - Планка в пространстве разностей потенциалов с источником и диссипацией. Искомые критерии соответствуют стационарному решению полученного уравнения при условии достижения порога перколяции по удельному числу активированных связей.

Динамические эффекты возникающие при появлении в системе крупномасштабного "силового"поля [2, 3, 6, 7, 39] обсуждаются в п. 1.3.4. При этом на смену изотропным перколяционным кластерам приходят самоаффинны-еструктуры, жизнеспособность которых целиком зависит от внешнего поля. При наличии внешнего поля пороги динамической перколяции рассчитывались с учетом конечной проводимости возникающих кластеров. Каждый кластер рассматривается как проводящий граф, вершины и ребра которого соответствуют узлам и связям проводящей структуры. Все вершины отдельного кластера можно разбить на три группы: периферийные точки, т.е. вершины, образующие внешнюю границу кластера, промежуточные вершины, последовательно соединяющие смежные звенья отдельных ветвей, и точки ветвления - вершины общие для трех и более звеньев. За индекс ветвления вершины принимается число приходящих в нее ребер уменьшенное на единицу. Например, индекс ветвления периферийной вершины равен нулю, промежуточной вершины - единице и т.д. Исследовалась ситуация, когда смена конфигурации кластера на каждом шаге моделирования целиком определяется состоянием его периферийных вершин. Если разность потенциалов между такой вершиной и хотя бы одним из ее ближайших соседей превышает уровень активации, то возникает одна или несколько новых проводящих связей и такое же количество новых периферийных вершин, опрос которых будет производиться уже на следующем шаге. Если же периферийная вершина не находит активированных соседей, то она отмирает вместе с соответствующим ей проводящим ребром, передавая роль периферии ближайшей своей предшественнице, если

эта последняя не является точкой ветвления. В противном случае, когда вершина отмирающей связи является точкой ветвления, ее индекс ветвления просто уменьшается на единицу. Непротиворечивая работа предложенного алгоритма возможна лишь при условии "самоизбегания"процесса активации, когда передача возбуждения некоторому узлу решетки возможна лишь при наличии среди его ближайших соседей единственной периферийной вершины. Выполнение последнего условия запрещает появление петель в возникающих проводящих кластерах. При введении в алгоритм процесса активации ближайших соседей условия самоизбегания, результирующий кластер теряет петли и несколько "худеет", при этом его фрактальная размерность падает. Важно отметить, что наличие внешнего потенциального поля с амплитудой существенно уступающей величине локальных флуктуации потенциала не меняет, сколько-нибудь заметно, требуемого уровня активации.

Самоаффинные системы, возникающие при наличии внешнего поля, по своим структурным свойствам напоминают дренажные системы бассейнов крупных рек. Существенным отличием первых от последних является динамический характер их существования. В гидрологии описание стационарной структуры потоков дренажных систем речных бассейнов опирается на совокупность эмпирических законов Хака и Хортона. В основе предлагаемого в п. 1.3.5 динамического обобщения законов Хака и Хортона лежит фундаментальный факт скейлинговой зависимости времени жизни фрагмента дренажной системы от его характерных пространственных размеров. По-существу речь идет о расширении и перенесении свойства самоаффинности дренажных систем с пространственного континуума на пространственно-временной [53, 54].

Глава 2 посвящена исследованию фрактальной динамики грозового облака. В разделе 2.1. проведены исследования структуры электрического поля и пространственного заряда в грозовых облаках на стадии их интенсивного роста и инициации молниевого разряда. Для выявления закономерностей формирования макроструктуры электрического поля грозы наряду с механизмами электрической зарядки облачных частиц необходимо исследовать их динамику при взаимодействии с воздушными потоками с учетом действия наряду с силами трения и тяжести электрических сил. Важную роль при этом играет неодномерность этих потоков, в частности конвективных ячеек, существенно влияющих на распределение заряда в грозовом облаке [53, 54]. Эти вопросы обсуждаются в п. 2.1.1.

В п. 2.1.2 на основе статистического анализа систематических баллонных измерений выполненных американскими коллегами впервые продемонстри-

ровано наличие тонкой структуры электрического поля грозового облака и исследованы ее характеристики. Анализ результатов измерений показал, что спектры электрического поля в грозовых облаках носят степенной характер для достаточно широкого интервала масштабов от десятков метров до километров. В целом ряде экспериментов показатель спектра оказался близким к -2. Установлено, в частности, что на стадии высокой электрической активности стратифицированные и конвективные области мезомасштабных конвективных систем имеют неоднородную тонкую структуру электрического поля и соответствующие степенные спектры в диапазоне характерных масштабов от десятков метров до километров [6,56].

В п. 2.1.3 результаты экспериментов объясняются в рамках диффузионного уравнения для электрического поля с ланжевеновским источником, описывающим в простейшем приближении процесс стохастической зарядки гидрометеоров. По-существу, процесс внутриоблачной зарядки может рассматриваться как случайная депозиция заряда при соблюдении только глобальной электронейтральности. Потенциальный рельеф в этом случае имеет характер трехмерного горного ландшафта и может быть промоделирован пространственным распределением, называемым обобщенным броуновским распределением.

Центральное место в диссертации занимает изучение предварительной стадии молниевого разряда и проблеме его инициации (раздел 2.2) [16-25,3941,44]. Сначала в п. 2.2.1 рассмотрены экспериментально наблюдаемые особенности предварительной стадии молниевого разряда. Затем в п. 2.2.2 обсуждаются физические механизмы появления мелкомасштабной электрической структуры грозового облака и связь этой структуры с предварительной стадией разряда. Известно, что грозовое облако на зрелой стадии его развития состоит из различных компонентов, которые включают ионизированный воздух, заряженные тяжелые частицы типа больших капелек и градин и заряженные легкие частицы — маленькие капельки и кристаллы льда. Восходящий воздушный поток, который является типичным для облака на его зрелой стадии, обеспечивает зарядку частиц и ведет к появлению крупномасштабного электрического поля, благодаря разделению зарядов на его границах. Инициирование молнии возникает в точке, где величина электрического поля близка к пробойному значению. Однако, развитие молниевого разряда в такой постановке не принимает во внимание важную особенность грозового облака, которая связана с много-потоковым характером облачной среды. Опыт с подобными мультипотоковыми плазменными системами показывает, что там существует

пучково-плазменная неустойчивость, которая ведет к рождению электростатических волн, дрейфующих вместе с потоком. В п. 2.2.2 эта неустойчивость рассмотрена в применении к грозовому облаку. Именно электростатические волны создают мелкомасштабную электрическую структуру внутри облака.

В разделе 2.3. осуществлено моделирование нелинейной стадии развития пучковой неустойчивости с использованием результатов первой главы диссертации. Внутриоблачная среда представлена в виде трехмерной решетки клеточных автоматов, где каждому узлу решетки поставлена в соответствие зависящее от времени значение электрического потенциала. Эволюция потенциального рельефа на решетке осуществляется в рамках моделей случайного роста.

Рост потенциального рельефа ограничен некоторым критическим значением разности потенциалов между ближайшими узлами, по достижении которого происходит пробой — между соседними узлами возникает проводящая связь, выравнивающая соответствующую разность потенциалов. Предполагается далее, что некоторые участки потенциального рельефа метастабильны и на следующем шаге модельного времени возникший пробой может инициировать пробои соседних связей (инфицировать соседей), если приложенная к ним разность потенциалов превышает некоторый фиксированный уровень — уровень активации, значение которого меньше критического. Важно подчеркнуть, что активация может иметь как скалярный, так и векторный характер. В первом случае принимается во внимание только абсолютное значение разности потенциалов, во втором - дополнительно учитывается знак. В диссертации рассмотрен общий случай, когда учитываются и скалярный и векторный аспекты. При этом смена конфигурации кластера на каждом шаге моделирования целиком определяется состоянием его периферийных вершин. Такой подход дает уникальную возможность учета эффектов связанных с наличием крупномасштабного поля, поскольку именно периферийные вершины являются точками приложения к кластеру внешней разности потенциалов, тем большей, чем сильнее поле и чем крупнее сам кластер.

В диссертации разработан следующий алгоритм анализа периферии. Если разность потенциалов (с учетом знака - векторный характер активации) между такой вершиной и хотя бы одним из ее ближайших соседей превышает уровень активации, то возникает одна или несколько новых проводящих связей и такое же количество новых периферийных вершин, опрос которых будет производиться уже на следующем шаге. Если же периферийная вершина не находит активированных соседей, то она отмирает вместе с соответству-

ющим ей проводящим ребром, передавая роль периферии ближайшей своей предшественнице, если эта последняя не является точкой ветвления. В противном случае, когда вершина отмирающей связи является точкой ветвления, ее индекс ветвления просто уменьшается на единицу. Не трудно убедиться в том, что непротиворечивая работа предложенного алгоритма возможна лишь при условии "самоизбегания"процесса металлизации, когда передача возбуждения некоторому узлу решетки возможна лишь при наличии у него единственного металлизированного соседа. Выполнение последнего условия запрещает появление петель в металлизированных кластерах. Возникающие при этом структуры без петель и самопересечений называются в теории графов деревьями, а их совокупность - лесом. В нашем лесу, возникающем в процессе эволюции потенциального рельефа, деревья не только растут и исчезают, но и объединяются друг с другом, причем алгоритм объединения сводится просто к увеличению индекса ветвления общей вершины соединившихся кластеров.

В п. 2.3.1 проведен фрактальный анализ радарных образов грозовых структур инициирующих разряды в средней атмосфере на примере зимних гроз в Японии [57]. Для всех анализируемых событий выявлено критическое поведение зон интенсивной внутриоблачной конденсации непосредственно перед генерацией спрайтов и эльфов. Обнаружено, что появление мощных положительных молниевых ударов облако - земля, генерирующих спрайты, хорошо коррелирует с моментом, когда величина радиуса гирации зон интенсивной внутриоблачной конденсации в горизонтальной проекции начинает превышать 100 км. Построена перколяционная модель эволюции зон интенсивной внутриоблачной конденсации, соотвествующая радарным наблюдениям за поведением грозовой системы, инициирующей спрайты и эльфы.

В главе 3 рассматриваются актуальные вопросы электромагнитного излучения грозового облака. В разделе 3.1 в рамках развиваемой в диссертации модели исследуются характеристики высокочастотного радиоизлучения грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и между обратными ударами.

Характерные свойства радиоизлучения грозы обнаруженные в эксперименте рассмотрены в п. 3.1.1. И внутриоблачные разряды и разряды на землю излучают электромагнитную энергию в широком диапазоне частот. Процессы ионизации и локальных пробоев (главным образом лидеры и стримеры) обусловливают сильную эмиссию в высокочастотном диапазоне. Когда сильные токи проходят в предварительно ионизированных каналах (главным образом токи обратного удара и токи активной стадии внутриоблачных вспышек), наи-

более мощная эмиссия наблюдается в низкочастотном и сверх низкочастотном диапазонах. В них обратные удары разрядов облако-земля полностью доминируют над низкочастотным полем излучения молнии из-за потрясающей длины их канала и больших токов [19]. Облачные вспышки производят в низкочастотном диапазоне десятки и сотни относительно слабых импульсов ( 5% средней амплитуды обратных ударов) и только иногда импульсы, сопоставимой с обратным ударом величины. Напротив, в высокочастотном диапазоне количество импульсов в сотни раз превышает их число в низкочастотной области, и амплитуды импульсов, произведенных облачными вспышками сопоставимы с амплитудой вспышек "облако-земля". Высокочастотная радиация производится пробойными процессами с небольшими токами и масштабами порядка десятков и сотен метров. Проблема формирования высокочастотного радиоизлучения напрямую связана с внутриоблачной динамикой, поскольку обычно, лишь относительно небольшая часть высокочастотной импульсной активности связана с компонентами типа обратных ударов, содержащих значительные токи.

В п. 3.1.2 рассматривается высокочастотное поле излучения грозы [35], которое формируется совокупностью микроразрядов, возникающих в процессе роста рассмотренных во второй главе кластеров металлизации и может быть, следовательно, напрямую сопоставлено с экспериментальными данными. В развиваемой модели каждая металлизированная связь представляет собой линейный ток с размером равным периоду модельной решетки, текущий от большего потенциала к меньшему. Поскольку в исследуемой модели знак разности потенциалов фиксируется, то, следовательно, известно и направление возникающих токов. Выполненная на основе модельных расчетов оценка частоты появления микроразрядов по измерениям радиоимпульсов наземной приемной антенной, хорошо согласуется с экспериментальными данными.

В п. 3.1.3 проведен фрактальный анализ экспериментальных данных по высокочастотному картографированию молниевых разрядов выполненных совместно с японскими коллегами [51,55]. Летом 2002 года система локации грозовых разрядов, использующая LDAR (Lightning Detection and Ranging) датчики производства Космического центра имени Кеннеди (США), впервые была развернута на территории Японии в местечке Точиджи. Система локации обеспечивает трехмерное картографирование молнии, основанное на регистрации времени прибытия высокочастотного импульса. После приема сигнала от грозового разряда каждый LDAR датчик измеряет абсолютное время прихода сигнала. Сопоставляя информацию, полученную, как минимум, от четырех дат-

чиков, локационная система вычисляет позицию (широта, долгота и высота) и истинное время каждого события. Анализ экспериментальных записей грозовых событий наглядно подтверждает фрактальный характер грозовой активности и во временном и в пространственном аспектах. Хорошо выделяемые области высокой плотности числа вспышек можно интерпретировать как зоны интенсивной кластеризации отдельных вспышек на предварительной стадии молниевых разрядов и между отдельными обратными ударами. Фрактальные особенности экспериментальных данных полностью соответствуют результатам теоретического анализа и определяются соотношением размерности геодезической и химической размерности перколяционного кластера.

В разделе 3.2 обсуждаются особенности рентгеновского и гамма-излучения грозового облака [26,34,38]. Существование предварительной фазы грозового разряда в виде многочисленных микроразрядов, длящейся несколько десятых секунды без заметного изменения макроскопического электрического поля в облаке, указывает на то, что электрический пробой, который определяется критической разностью потенциалов между соседними ячейками, возникает в первую очередь в мелкомасштабных структурах. Пробой в отдельно взятой ячейке может инициировать электрические разряды в соседних ячейках. К этому приводит ряд причин, главной из которых в условиях грозового облака служит электрический пробой на убегающих электронах. Суть пробоя на убегающих электронах состоит в том, что в процессе первого, по-существу, холодного разряда с высоким порогом, соответствующим критическому уровню, рождаются энергичные электроны МэВ-ных энергий, которые могут запустить лавину ионизации в соседних ячейках при гораздо меньшей разности потенциалов, соответствующей уровню активации. Оценки показывают, что путь торможения МэВ-ных электронов в воздухе на высоте И ~ Ъкм составляет 50м. Таким образом, эти электроны могут служить эффективным механизмом "размножения"микроразрядов, даже если в соседних ячейках разность потенциалов существенно уступает критическому уровню. Реально, отношение критического потенциала к потенциалу активации достигает пяти.

С другой стороны, ускорение электронов постоянным полем представляется переходным процессом, который ограничивается, как правило, электрическим пробоем воздуха. В то же время, эксперименты показывают, что 7 и X излучение проявляет себя как долгоживущий процесс, свидетельствующий о постоянном присутствии энергичных электронов в грозовом облаке. Дополнительная возможность генерации энергичных электронов возникает благодаря ускорению электронов стохастическим электрическим полем. Такая постанов-

ка проблемы ускорения электронов представляется совершенно естественной, если учесть существование больших объемов внутриоблачной среды с различными ориентациями электрического поля. В п. 3.2.2 исследовано ускорение электронов постоянным во времени, но изменяющимся в пространстве мелкомасштабным электрическим полем случайной ориентации с учетом ограниченных размеров области ускорения и показано, что стохастическое поле может существенно повлиять на время жизни энергичных частиц.

Глава 4 посвящена исследованию эффектов перколяции в задачах гидродинамики фильтрационных течений и сейсмики. В разделе 4.1 анализируются результаты проведенной под руководством автора экспериментальной проверки выводов континуальной теории протекания для фильтрационных течений в дисперсных средах с переменной пористостью [1,11,12].

В описании явлений переноса в дисперсных средах естественное применение находят методы стохастической геометрии. Так, в последние годы, появились модели нефтяных и газовых коллекторов, основанные на решеточных задачах теории протекания. Эти модели хорошо приспособлены для компьютерного моделирования и дают качественное представление о типичных режимах фильтрации, однако, они не могут претендовать на количественное соответствие реальным процессам, поскольку фигурирующие в них параметры носят феноменологический характер и не связаны с физически измеримыми величинами. Количественные сопоставления возможны в континуальных моделях протекания, где критическим параметром является полная пористость системы, а активная пористость естественно интерпретируется как параметр порядка перколяционного перехода. Таким образом, идеология континуальной теории протекания позволяет с единой точки зрения рассмотреть непрерывный набор сред, различающихся между собой величиной критического параметра, сопоставляя им обобщенную систему с переменной пористостью.

Основное утверждение теории о том, что вблизи порога протекания активная пористость и проницаемость системы изменяются по скейлинговому закону, было подтверждено в серии экспериментов, где полная пористость модельной среды изменялась под действием одноосного сжатия в цилиндрическом стакане. Соответствующие экспериментальные зависимости скорости фильтрации от величины перепада давления для различных значений пористости хорошо ложатся на теоретические зависимости, полученные с помощью полученного в работе универсального двухчленного закона фильтрации (п. 4.1.1).

В свое время неоднократно делались попытки выразить фильтрационное число Рейнольдса через параметры дисперсной системы таким образом, что-

бы процесс фильтрации в пористых средах различной структуры описать единой формулой. Использование перколяционного подхода позволяет получить универсальную форму записи двухчленного закона фильтрации для широкого класса дисперсных сред, объединенных общей геологической историей.

Экспериментально исследовалась зависимость порога протекания от корреляционных свойств пространственного распределения пор. В экспериментах с монодисперсными ансамблями измерялась скорость распространения фронта возмущения, вызванного резким включением градиента давления в системе. Был обнаружен эффект критического замедления распространения возмущения с приближением к порогу перколяции. Рассмотрены перспективы неоднородного обобщения перколяционной проблемы в дисперсных системах.

В п. 4.2 показано, что наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле, (конвекцией), существует и механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к пер-коляционному переходу [10,42,45-47,50,51,53]. Этот механизм проявляется, в частности, при перемещении связной области трещин в твердой литосфере Земли. Критический уровень пористости обеспечивает появление зон прозрачности - макроскопических зон геометрической связности порового пространства - кластеров газовой компоненты. Нижняя часть области прозрачности характеризуется дефицитом порового давления по сравнению с лито-статическим. С другой стороны, верхняя часть области включает зоны с избыточным поровым давлением. Перепады внутрипорового давления пропорциональны размерам зоны прозрачности и компенсируются прочностью твердой матрицы. При некотором критическом размере кластеров газовой компоненты уровень флуктуации внутрипорового давления превышает прочность пород, - твердая матрица разрушается. Газ перемещается в верхние горизонты, где избыточное поровое давление провоцирует дальнейшее разрушение твердой матрицы. Процесс дегазации, таким образом, превращает литосферу в распределенный, сейсмический генератор, источником энергии которого является потенциальная энергия недифференцированного материала литосферы в поле тяжести планеты. Обсуждаемый перколяционный механизм обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и является основой механизмов генерации электромагнитных предвестников сейсмических событий [48,50]. Построена двумерная модель процесса дифференциации. Результаты численного моделирования сопоставляются с данными наблюдений.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссерта-

ционной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе рассмотрены важнейшие аспекты фрактальной динамики перколирующих систем в потенциальных полях. Суммируя результаты работы, выделим следующие принципиальные моменты:

1. Построена фрактальная, модель нелинейных распределенных систем со случайно растущим потенциалом и с пороговым подавлением роста локальных градиентов потенциального рельефа. Для различных моделей роста найдены условия, при которых модельная динамика обладает скей-линговыми свойствами. Показано, что эффекты динамической перколя-ции предопределяют специфику отклика активной системы на внешнее поле и нетривиальный характер зависимости динамики от размеров системы. Продемонстрировано флуктуационное понижения порога динамической перколяции на броуновском потенциальном рельефе.

2. Построена физическая картина предварительной стадии молниевого разряда и показано, что динамическая перколяция лежит в основе механизма, осуществляющего фрактальную "металлизацию"грозового облака -лавинообразный рост самоподобного поля мелкомасштабных неоднород-ностей проводимости внутриоблачной среды. Взаимодействие возникающих проводящих структур с крупномасштабным полем грозы приводит к возникновению иерархической системы сбора объемного внутриоблач-ного заряда в активной части облака, которая предопределяет появление лидерного канала молнии.

3. Предложена фрактальная модель электромагнитного излучения грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами, учитывающая разветвленность и конечную проводимость токовых каналов. Фрактальный анализ экспериментальных данных по высокочастотному картографированию молниевых разрядов выявил эффекты кластеризации мелкомасштабных вспышек электромагнитного излучения на предварительной стадии молнии. Характерные значения фрактальной размерности процесса кластеризации извлеченные из эксперимента полностью соответствуют результатам теорети-

ческого анализа и определяются размерностью геодезической перколя-ционного кластера.

4. Показано, что наряду с ускорением электронов до релятивистских энергий, случайно ориентированные мелкомасштабные электрические поля при наличии столкновений с молекулами воздуха приводят к резкому увеличению времени жизни релятивистских электронов в облаке благодаря диффузионному характеру их траекторий и объясняют значительную продолжительность всплесков рентгеновского и гамма излучения и наблюдаемый характер их корреляции с молниевыми вспышками.

5. Предложен перколяционный механизм формирования тонкой структуры спрайтов - -электрических разрядов в средней атмосфере, инициированных крупномасштабным молниевым разрядом. На основе принципов, развитых в диссертации при описании внутриоблачного разряда, построена фрактальная модель, позволяющая описывать структуру и динамику

' развития спрайтов.

6. Получена универсальная форма нелинейного закона фильтрации для широкого класса дисперсных сред. Продемонстрировано, что фильтрационное течение в среде с переменной пористостью имеет скейлинговые особенности, обусловленные перколяцией внутрипорового пространства. Экспериментально исследована зависимость порога протекания от корреляционных свойств пространственного распределения пор. В экспериментах с монодисперсными ансамблями обнаружен эффект критического замедления распространения возмущения с приближением к порогу перколяции. Выявлены перспективы неоднородного обобщения перко-ляционной проблемы в дисперсных системах.

7. Показано, что наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле, например, конвекцией, существует и механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу. Этот механизм превращает литосферу в распределенный сейсмический генератор, источником энергии которого является потенциальная энергия недифференцированного материала литосферы в поле тяжести планеты. Предлагаемый перколяционный механизм обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и объясняет энергетические и статистические характеристики сейсмических со-

бытии, а также наблюдаемую в эксперименте вертикальную миграцию очагов землетрясений.

Список литературы

[1] Иудин Д. И., Касьянов Д. А., Шалашов Г. М, Фильтрационное течение в среде с переменной пористостью, Доклады РАН, 1999, 365,2, с 257-259.

[2] Иудин Д. И., Трахтенгерц В.Ю., Фрактальная динамика заряда в грозовом облаке, Известия АН. Физика атмосферы и океана, том 36, 5, с. 650- 662, 2000.

[3] Иудин Д. И., Трахтенгерц В.Ю. Нелинейная динамика грозового облака. Изв. Вузов. Радиофизика. 44(5-6), 419-438,2001.

[4] Иудин Д. И.; Гелашвили Д.Б.; Розенберг Г.С.; Мультифрактальный анализ видовой структуры биотических сообществ, Доклада: РАН, 2003

[5] Иудин Д. И., Смирнов Н.Н., Перколяционный механизм гравитационной дифференциации как модель сейсмической активности // ВЕСТ. МОСК. УН-ТА. 2, с. 31 - 39,2003.

[6] Мареев Е. А., Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю., Сорокин А.Е., Шаталина М.С. Современные проблемы исследования грозового электричества. Проектирование и технология электронных средств, с.7 -16,2004.

[7] Трахтенгерц В.Ю., Иудин Д.И., Григорьев А.Н., О фрактальной динамике активных сред. Нелинейные Волны' 2002 / Отв. Ред. А.В. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2003. с. 287-302.

[8] Иудин Д. И.; Гелашвили Д.Б.; Якимов В.Н.; Мультифрактальный формализм как основа экологического мониторинга, Поволжский экологический журнал, 2004

[9] Иудин Д. И., Трахтенгерц В.Ю., Динамическая перколяция в активных средах. Нелинейные Волны' 2004 / Отв. Ред. А.В. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005.

[10] Iudin D. I., Kas'yanov D. A., The possible analogue between earthquake and dielectric breakdown, Proceedings of International Conference on Marine Electromagnetics, p.344, London, June 1997.

[11] Иудин Д. И., Шалашов Г. М., Механизм сейсмической активности, Препринт, 382, Нижний Новгород: НИРФИ, 1994.

[12] Иудин Д. И., Касьянов Д. А., Шалашов Г. М, Фильтрационное течение в среде с изменяющейся пористостью, Препринт е434, Нижний Новгород: НИРФИ, 1997.

[13] Иудин Д. И., Трахтенгерц В.Ю., Фрактальная динамика электрического заряда в грозовом облаке, ИПФ РАН, Препринт е482, Нижний Новгород, 1997.

[14] Iudin D. I., Kas'yanov D. A., Percolation model of seismic activity, Proceedings of International Workshope on "Seismo Electromagnetics", Tokyo, 1997.

[15] Iudin D. I., Kas'yanov D. A., Percolation model of seismic activity, Atmospheric and Ionospheric Electromagnetic Phenomena Associated with Earthquakes, Ed. Hayakawa M., pp.911-917. Terra Scientific Publishing Company, Tokyo, 1999.

[16] Iudin D. I., Korovkin N.V., Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M., Lightning Preliminary Breakdown Stage Cellular Automaton Model, Journal of Atmospheric Society of Japan, 20, 53,2000

[17] Iudin D. I., Y. Hobara, Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M., Thundercloud "metallization", Journal of Atmospheric Society of Japan, 20,58, 2000.

[18] Iudin D. I., Korovkin N.V., Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M., Cellular Automaton Model of Lightning Discharge Preliminary Stage, 15th International Wroclaw Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compactibility, Abstracts, Wroclaw, Poland, 2000.

[19] Nickolaenko A.P., Iudin D. I., Hurst Exponent Derived for Natural ELF Electromagnetic noise, 15th International Wroclaw Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compactibility, Abstracts, Wroclaw, Poland, 2000.

[20] Iudin D.I., Trakhtengerts VY., Hayakawa M., Self - Organized Criticality inThundercloud, Proceedings of ХХХП th Assembly of Atmospheric Society of Japan, Hamamatsu, Japan, 1999.

[21] Hayakawa M., Iudin D.I., Trakhtengerts VY., Spatial-temporal Hierarchy and Wave Forms of Thundercloud discharges, Proceedings of URSI XXVIth General Assembly, Toronto, Ontario, Canada, 13-21 August 1999,

[22] Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y., Fractal dynamics of Electric Charges in Thundercloud, Proceedings of URSI XXVIth General Assembly, Toronto, Ontario, Canada, 13-21 August 1999,

[23] Iudin D.I., Electric charge fractal dynamic in thundercloud, Proc. Inst. Appl. Phys., Nizhny Novgorod, Russia, 461-480, 2000.

[24] Nickolaenko, A.P., Price C, and Iudin D.I., Hurst exponent derived for natural terrestrial radio noise in Schumann resonance band, Geophys. Res. Lett., 27, 3185-3188,2000.

[25] Иудин Д.И., Коровкин Н.В., Трахтенгерц В.Ю., Фрактальная модель предварительной стадии грозового разряда.// Малые примеси, атмосферное электричество и динамические процессы в атмосфере. Труды VI всероссийской конференции молодых ученых, Нижний Новгород, май 2003, 10-15.

[26] Victor Y. Trakhtengerts, Dmitriy I. Iudin, Anton V. Kulchitsky, Kinetics of runaway electrons in a stochastic electric field, Physics of Plasmas, 9,6,27622766,2002

[27] Иудин Д.И., Касьянов Д.А. Исследование генерации звука пеной. Физическая акустика. Распространение и дифракция волн. Сборник трудов XI сессии Российского акустического общества. Т.1. с. 306-309.2001.

[28] Иудин Д.И., Касьянов Д.А. Перколяционная модель процесса дегазации пенных растворов. Труды (пятой) научной конференции по радиофизике, посвящнной 100-летию со дня рождения А. А. Андронова, 7 мая 2001 г. с. 257-258.

[29] D .1. Iudin, Kas'yanov DA, Study of sound generated by foam, Proceedings of XI Session of the Russian Acoustical Society. Moscow, November 19-23, pp. 81-83,2001.

[30] Иудин Д.И., Григорьев А.Н., Трахтенгерц В.Ю., Фрактальная динамика грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда. Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвящнной 100-летию

со дня рождения М. Т. Гапоновой-Греховой, Нижний Новгород, 17 мая 2001 г. с. 212-213.

[31] Иудин Д.И., Григорьев АН., Динамическая перколяция в среде со случайно растущим потенциалом. Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвящнной 100-летию со дня рождения М. Т. Гапоновой-Греховой, Нижний Новгород, 17 мая 2001 г. с. 257-258.

[32] Иудин Д.И., Григорьев АН., Перколяционный механизм дифференциации вещества. Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвящнной 100-летию со дня рождения М. Т. Гапоновой-Греховой, Нижний Новгород, 17 мая 2001 г. с. 211-212.

[33] Iudin D., A. Grigoriev, V. Trakhtengerts, Hayakawa M., Fractal dynamics of thundercloud electric discharges, Proceedings of URSI XXVIIth General Assembly, Maastricht, the Netherlands, 17-24 August 2002, http://www.ursi-ga2002

[34] V. Trakhtengerts, D. Iudin, A. Kulchitsky, Hayakawa M., Runaway electrons in a thundercloud stochastic electric field, Proceedings ofURSI XXVIIth General Assembly, Maastricht, the Netherlands, 17-24 August 2002, http://www.ursi-ga2002

[35] Hayakawa M., D. Iudin, A. Grigoriev, V. Trakhtengerts, High frequency electromagnetic emission on lightning discharge preliminary stage, Proceedings of URSI XXVIIth General Assembly, Maastricht, the Netherlands, 17-24 August 2002, http://www.ursi-ga2002

[36] Iudin D. I., V. Y. Trakhtengerts, Fractal Structure of Non-linear Dynamics of Electric Charge in a Thunderstorm Cloud, Proceedings of International Conference dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov.

[37] Иудин Д.И., Гелашвили Д.Б. Применение мультифрактального анализа структуры биотических сообществ в экологическом мониторинге. Проблемы регионального экологического мониторинга: Матер, научн. кон-фер. Н. Новгород 2002,49-52.

[38] Trakhtengerts VY., Iudin D.I., Kulchitsky AV., and Hayakawa M., Electron acceleration by a stochastic electric field in the atmospheric layer, Phys. of Plasmas, Vol. 10, No. 8, August 2003.

[39] Iudin D.I., Trakhtengerts VY., and Hayakawa M., Fractal dynamics of electric discharges in a thundercloud, 2003, Phys. Rev. E 68,016601 (2003)

[40] Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y., and A.N. Grigoriev, Thundercloud cellular automaton model, Elsevier N1 & MIPR A 502 (2003) 526-528.

[41] Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю., Фрактальная динамика грозы.// Малые примеси, атмосферное электричество и динамические процессы в атмосфере. Труды VII всероссийской конференции молодых ученых, Нижний Новгород 2003, 146-151.

[42] Iudin D.I., A.N. Grigoriev, Cellular automaton model oflithosphere degassing, Elsevier N1 & MIPR A 502 (2003) 736-738.

[43] Iudin D.I., Gelashvily D.B., Multifractality in ecological monitoring, Elsevier N1 & MIPR A 502 (2003) 526-528.

[44] Iudin D.I., Trakhtengerts VY., Thundercloud fractal dynamics, SPECIAL П Network, Francfurt am Main, February 19-22 (2003) p. 26-28.

[45] Iudin D.I., Korovkin N.V., Molchanov O.A., Surkov VV., and Hayakawa M., Model of earthquake triggering due to gas-fluid "bubble"upward migration I. Physical Rationale, In: Seismo Electromagnetics. Lithosphere-Atmosphere-Ionosphere Coupling, Ed. by Hayakawa M. and O. A. Molchanov, pp. 177-185. TERRAPUB, Tokyo, 2002.

[46] Korovkin N.V., Iudin D.I., Molchanov O.A., Surkov VV., and Hayakawa M., Model of earthquake triggering due to gas-fluid "bubble"upward migration П. Finite-automaton model, In: Seismo Electromagnetics. Lithosphere-Atmosphere-Ionosphere Coupling, Ed. by HayakawaM. and O. A. Molchanov, pp.187-194. TERRAPUB, Tokyo, 2002.

[47] Surkov V.V., Iudin D.I., Molchanov O.A., Korovkin N. V., and Hayakawa M., Termofluctuational mechanism of cracks migration as a model of earthquake preparation, In: Seismo Electromagnetics. Lithosphere-Atmosphere-Ionosphere Coupling, Ed. by Hayakawa M. and O. A. Molchanov, pp. 195-201. TERRAPUB, Tokyo, 2002.

[48] Mareev E.A., Iudin D.I., and Molchanov O.A., Mosaic source of internal gravity waves associated with seismic activity, In: Seismo Electromagnetics. Lithosphere-Atmosphere-Ionosphere Coupling, Ed. by Hayakawa M. and O. A. Molchanov, pp.335-342. TERRAPUB, Tokyo, 2002.

[49] Д.Б. Гелашвили; Шурганова Г.В.; Иудин Д.И.; Якимов В.Н.; Розенберг Г.С.; Мультифрактальность видовой структуры гидробиоценозов Волжского бассейна. Материалы межд. конф. "Экологические проблемы крупных рек — 3", Тольятти, 2003.

[50] Иудин Д.И., Перколяционный механизм гравитационной дифференциации и сейсмическая активность, Препринт 14, ИО РАН, 2004.

[51] Иудин Д.И., Динамическая перколяция в системах со случайным ростом, Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, Нижний Новгород, май 2004.

[52] Иудин Д.И., Эффекты направленной перколяции в сети клеточных автоматов, Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, Нижний Новгород, май 2004.

[53] Iudin D.I., Trakhtengerts VY. Percolation dynamics in active systems. Proceeding of the International Conference "Frontiers of Nonlinear Physics 2004", Nizhny Novgorod - St. Peterburg, July 2004.

[54] Iudin D.I., Percolation model of seismic activity. Proceeding of the International Conference "Frontiers of Nonlinear Physics 2004", Nizhny Novgorod - St. Peterburg, July 2004.

[55] Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю., Динамическая перколяция в активных средах, Малые примеси, атмосферное электричество и динамические процессы в атмосфере. Труды VIII всероссийской конференции молодых ученых, 117, Москва, сентябрь 2004.

[56] Mareev E. A., Sorokin A. E., Iudin D. I., Trakhtengerts V. Yu., Marshall T. С, Stolzenburg M. Fine structure of thunderstorm electric field: spectra from soundings and significance for charge generation mechanisms // Proc. 12th Int. Conf. on Atmospheric Electricity. Versailles, France, 2003. P. 123-126.

[57] Hayakawa M., T. Nakamura, D. Iudin, K. Michimoto, T. Suzuki, T. Hanada and T. Shimura, On the fine structure of thunderclouds leading to the generation of sprites and elves fractal analysis, J. Geophys. Res., Vol. 110, N0.D6, D06104, 101029/2004JD004545, 2005

Иудин Дмитрий Игоревич

ФРАКТАЛЬНАЯ ДИНАМИКА АКТИВНЫХ СИСТЕМ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 26.04.05. Формат 60 х 90 х 16 Бумага писчая, 2 усл.п.л. Тираж 150. Заказ 525

Отпечатано в НИРФИ 603950, г. Нижний Новгород, ул. Б.Печерская, 25

о

\ ?

1 9 мДи 2005

W

Введение 2

1 Эффекты динамической перколянии 33

1.1 Перколяционные фазовые переходы. Краткий обзор.37

1.1.1 Перколяция как критическое явление.43

1.1.2 Структурные свойства перколяционного кластера . . 46

1.1.3 Градиентная перколяция.50

1.1.4 Распространение инфекций.52

1.1.5 Модель лесных пожаров.55

1.2 Направленная перколяция.61

1.2.1 Перколяция в средах с размножением.61

1.2.2 Эстафетная передача информации.71

1.2.3 Направленная перколяция и структура биотических сообществ.78

1.3 Динамическая перколяция .99

1.3.1 Бистабильная среда с восстановлением в представлении клеточных автоматов.99

1.3.2 Динамическая перколяция на кубической решетке со случайно растущим потенциалом.103

1.3.3 Приближение среднего поля.120

1.3.4 Роль внешнего поля.126

1.3.5 Динамическое обобщение законов Хортона и Хака . . 133

Фрактальная динамика грозового облака 140

2.1 Особенности электрической структуры грозового облака . . . 141

2.1.1 Крупномасштабное поле грозовой ячейки.142

2.1.2 Тонкая структура внутриоблачного электрического поля 145

2.1.3 Самоподобие структуры электрического поля в грозовом облаке.146

2.2 Предварительная стадия и инициация молниевого разряда . 150

2.2.1 Экспериментально наблюдаемые особенности предварительной стадии.151

2.2.2 Многопотоковая нестабильность в грозовом облаке . . 152

2.2.3 Фрактальная модель предварительной стадии молниевого разряда.156

2.3 Инициированные грозой электрические разряды в средней атмосфере .161

2.3.1 Структурные особенности грозы генерирующей разряды в средней атмосфере. Анализ данных эксперимента .162

2.3.2 Моделирование тонкой структуры спрайтов.169

Электромагнитное излучение грозового облака 173

3.1 Радиоизлучение грозового облака.173

3.1.1 Наблюдаемые особенности радиоизлучения грозы . . . 180

3.1.2 Моделирование высокочастотного радиоизлучения . . 182

3.1.3 Фрактальный анализ данных высокочастотного картографирования молний.186

3.1.4 Моделирование радиоизлучения в широкой полосе . . 199

3.2 Особенности рентгеновского и гамма-излучения грозового облака .203

3.2.1 Мелкомасштабная электрическая структура и пробой на убегающих электронах .204

3.2.2 Ускорение электронов стохастическим полем.205

4 Перколяция в гидродинамике и сейсмике 216

4.1 Фрактальная динамика фильтрационных течений.216

4.1.1 Универсальная форма нелинейного закона фильтрации 217

4.1.2 Бидисперсный ансамбль .223

4.1.3 Скорость распространения фронта возмущения . 226

4.2 Перколяционный механизм гравитационной дифференциации . 4.2.1 Гравитационный критерий Гриффита.229

4.2.2 Перколяционная неустойчивость пористой среды в гравитационном поле.233

4.2.3 Сеть релаксационных генераторов.246

4.2.4 Дегазация и сейсмическая активность .251

4.2.5 Закон Гуттенберга-Рихтера.254

Важным объектом радиофизических исследований в области нелинейной динамики являются процессы в сильно неравновесных открытых системах. Потоки энергии и вещества, проходящие через эти системы, обеспечивают возникновение в них эффектов самоорганизации - образования макроскопических диссипативных структур [16, 19, 21, 23]. В последнее время в области интересов радиофизики оказывается все большее число нелинейных распределенных сред, структурообразование в которых демонстрирует в широком диапазоне параметров и масштабов пространственно-временной скейлинг — один из фундаментальных видов симметрий физического мира, играющих формообразующую роль во Вселенной [17, 26, 28, 30, 31]. Пространственно-временной скейлинг характеризуется сильными, спадающими по степенному закону, корреляциями, которые типичны для критических явлений. Критический режим в процессах самоорганизации оказывается самосогласованным и самонастраивающимся, причем динамика критических флуктуаций непосредственно связана с появлением фракталов в конфигурационном пространстве нелинейных распределенных систем при кинетических переходах. Исследования явлений такого рода были объединены недавно общим направлением названным самоорганизованной критичностью (self-organized criticality) [9] и позиционирующим скейлинговый аспект самоорганизации как ярчайшую интригу современной физической парадигмы, вызывающую колоссальный интерес

9, 32, 257].

Фрактальная динамика активных систем как неотъемлемое проявление самоорганизованной критичности обнаруживается в природе повсеместно. Рост деревьев и дренажные системы речных бассейнов, растительный покров и лесные пожары, структура облачности и грозовые электрические разряды, просачивание жидкости сквозь грунты и сейсмичность, эволюция популяций и многое другое, — все это примеры фрактального поведения. Однако, несмотря на широкое разнообразие физических контекстов, в которых разворачивается фрактальная динамика конкретных систем, существуют общие фундаментальные закономерности самоподобной динамики, предопределяющие независимость макроскопического поведения от мелкомасштабных нюансов взаимодействия локальных элементов. Поиск этих закономерностей наряду с построением базовых моделей фрактальной динамики представляется чрезвычайно актуальной задачей.

Развитие базовых представлений о фрактальной динамике в короткий срок шагнуло от решеточных моделей песочной кучи, ставшей своеобразной визитной карточкой самоорганизованной критичности, до синтеза фрак-тальности и топологии в описании перколирующих систем как геометрического образа самосогласованной критической динамики [25]. Последний случай, когда в качестве исходных посылок используются идеи теории перколя-шш, представляется особенно актуальным. Дело в том, во-первых, что подобно диссипативным структурам, перколяционыые структуры также оказываются результатом фазовых превращений [6, 7, 8, 13, 36, 129, 133, 135]. Во-вторых, геометрические параметры перколяпионных кластеров вблизи порога слабо зависят от деталей мелкомасштабного устройства, что делает перколяцию чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте. И, наконец, в-третьих, наличие контрастных — по отношению к фону — физических свойств элементов перколяционных структур (например, высокой — на фоне низкой — проводимости или проницаемости элементов) делает их весьма чувствительными к воздействию внешних полей. Во внешнем поле экспоненциально редкое событие образования крупного кластера способно вызвать катастрофу на масштабах, сопоставимых с размерами системы, причем катастрофическое событие не может быть обнаружено или предсказано в приближении среднего поля.

Последнее обстоятельство особенно ярко проявляется в крупномасштабных природных системах, таких как грозовое облако и сейсмически активные участки литосферы. Здесь возникает новое интересное направление исследований связанное с фрактальной динамикой перколирующих систем в потенциальных полях. Описание таких сред не укладывается в рамки традиционных подходов и, хотя, использование средств фрактальной геометрии уже имеет здесь свою историю [58, 69, 100, 101], многие актуальные проблемы грозовой и сейсмической активности остаются открытыми. Так, до сих пор не нашли своего решения принципиальные вопросы формирования электрической структуры грозовых облаков, инициации молниевого разряда, его распространения и сбора объемного внутриоблачного заряда в ли-дерный канал молнии, актуальные вопросы электромагнитного излучения грозы. В сейсмике своего решения ждут вопросы энергетики сейсмических событий, проблемы вертикальной миграции гипоцентров и проблема генерации краткосрочных электромагнитных предвестников землетрясений.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики в той ее части, которая связана с исследованием нелинейной динамики и самоорганизации активных систем различной природы.

Цель диссертационной работы. Выявление общих закономерностей нелинейной динамики активных систем различной природы, приводящих к формированию самоподобных диссипативных структур. Построение и анализ моделей, описывающих фрактальную динамику активных распределенных систем на примере грозового облака и сейсмической активности.

Достижение поставленной цели было связано с решением ряда конкретных задач:

1. Выявление общих закономерностей критической динамики в системах с размножением, распадом и диффузией и в активных системах со случайно растущим потенциалом. Моделирование динамической перколя-ции на простой кубической решетке для различных алгоритмов случайного рота. Изучение роли внешнего поля и линейных размеров системы. Развитие динамических обобщений законов Хака и Хортона для самоаффинных проводящих структур.

2. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по зондированию внутриоблачного электрического поля. Выявление тонкой электрической структуры грозовых облаков и построение модели ее формирования. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по высокочастотному картографированию молниевого разряда. Развитие фрактального подхода для количественного описания множественных электрических разрядов ассоциированных с тонкой электрической структурой грозового облака на предварительной фазе молнии.

3. Построение самосогласованной перколяционной модели описывающей электромагнитное излучение грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами. Построение фрактальной электродинамической модели разветвленных транспортных цепей, осуществляющих перенос крупномасштабного электрического заряда в грозовом облаке. Исследование эффекта "убе-гающих"электронов при наличии мелкомасштабной электрической структуры грозового облака.

4. Обработка и анализ данных натурных экспериментов по выявлению количественных характеристик грозовых структур инициирующих разряды в средней атмосфере — спрайты и эльфы. Моделирование тонкой структуры ассоциированных с грозой высотных разрядов. Исследование динамики зон интенсивной конденсации в грозовых облаках.

5. Построение обобщенной модели фильтрационных течений в дисперсных средах с переменной пористостью с использованием методов континуальной теории перколяции. Экспериментальная проверка выводов теории о скейлинговом характере изменения активной пористости и проницаемости дисперсных систем. Исследование нелинейной динамики фильтрационных течений вблизи порога перколяции.

6. Исследование механизма неустойчивости многофазной среды по отношению к перколяционному фазовому переходу в гравитационном поле. Построение самосогласованной перколяционной модели распределенной сейсмичности. Объяснение эффекта вертикальной миграции очагов землетрясений.

Решение поставленных задач предопределило композицию диссертационной работы, которая состоит из Введения, четырех глав и Заключения.

Заключение

Суммируя результаты работы, выделим следующие принципиальные моменты:

1. Построена фрактальная модель нелинейных распределенных систем со случайно растущим потенциалом и с пороговым подавлением роста локальных градиентов потенциального рельефа. Для различных моделей роста найдены условия, при которых модельная динамика обладает скейлинговыми свойствами. Показано, что эффекты динамической перколяции предопределяют специфику отклика активной системы на внешнее поле и нетривиальный характер зависимости динамики от размеров системы. Продемонстрировано флуктуационное понижения порога динамической перколяции на броуновском потенциальном рельефе.

2. Построена физическая картина предварительной стадии молниевого разряда и показано, что динамическая перколяния лежит в основе механизма, осуществляющего фрактальную "металлизанию"грозового облака - лавинообразный рост самоподобного поля мелкомасштабных не-однородностей проводимости внутриоблачной среды. Взаимодействие возникающих проводящих структур с крупномасштабным полем грозы приводит к возникновению иерархической системы сбора объёмного внутриоблачного заряда в активной части облака, которая предопределяет появление лидерного канала молнии.

3. Предложена фрактальная модель электромагнитного излучения грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда и в интервалах между обратными ударами, учитывающая разветвленность и конечную проводимость токовых каналов.

4. Показано, что наряду с ускорением электронов до релятивистских энергий, случайно ориентированные мелкомасштабные электрические поля при наличии столкновений с молекулами воздуха приводят к резкому увеличению времени жизни релятивистских электронов в облаке благодаря диффузионному характеру их траекторий и объясняют значительную продолжительность всплесков рентгеновского и гамма излучения и наблюдаемый характер их корреляции с молниевыми вспышками.

5. Предложен перколяционный механизм формирования тонкой структуры спрайтов -электрических разрядов в средней атмосфере, инициированных крупномасштабным молниевым разрядом. На основе принципов, развитых в диссертации при описании внутриоблачного разряда, построена фрактальная модель, позволяющая описывать структуру и динамику развития спрайтов.

6. Получена универсальная форма нелинейного закона фильтрации для широкого класса дисперсных сред. Экспериментально доказано, что фильтрационное течение в среде с переменной пористостью имеет скей-линговые особенности, обусловленные перколянией внутрипорового пространства.

7. Показано, что наряду с традиционными механизмами дифференциации вещества в гравитационном поле, например, конвекцией, существует и механизм, обусловленный неустойчивостью многофазной среды по отношению к перколяпионному фазовому переходу. Этот механизм превращает литосферу в распределенный сейсмический генератор, источником энергии которого является потенциальная энергия недифференцированного материала литосферы в поле тяжести планеты. Предлагаемый перколяционный механизм обеспечивает прямое преобразование потенциальной гравитационной энергии в энергию разрушения и объясняет наблюдаемую в эксперименте вертикальную миграцию очагов землетрясений.

Благодарности

Считаю приятной обязанностью выразить глубокую признательность моим родителям Иудину Игорю Анатольевичу и Иудиной Людмиле Зиновьевне, моему учителю и научному консультанту Трахтенгерцу Виктору Юрьевичу. Хочу также поблагодарить своих коллег по Научно-исследовательскому радиофизическому институту и Институту прикладной физики РАН за плодотворное сотрудничество и поддержку.

1. Tokens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence//Dynamical Systems and Turbulence. - Lecture Notes in Mathematics. - Berlin: Springer-Verlag, 1981.V. 898. P. 366-381.

2. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the Strangeness of Strange Attractors//Physica D. 1983. V. 9, e 1-2. P. 189-208.

3. S. Alexander and R. Orbach. Non. J. Phys. Lett., 43:L625, 1982.

4. Пайтген X. О., Рихтер П. X. Красота фракталов: Пер. с англ.; Под ред. А.Н. Шарковского. М: Мир, 1993. 176 с.

5. Хаусдорф Ф. Теория множеств: Пер. с нем. AI. Л.: ОНТИ, 1937. 304 с.

6. S.R. Broadbent, and J.M. Hammersley, Percolation processes. I. Crystals and mazes, Proc. Camb. Phil. Soc., 53, 629-641, 1957.

7. Bunde A., Halvin S. Fractals in Science, Berlin: Springer-Verlag, 1995. -298 p.

8. Bunde A., Halvin S. Fractals and Disordered Systems. Berlin: SpringerVerlag, 1995. - 408 p.

9. Bak, P., How Nature Works (The Science of Self-organized Criticality), Oxford Univ. Press, 1997.

10. Proceedings Int. Conf. Honouring В. B. Mandelbrot on his 65-th birthday.- Vence, Prance//Physica D. 1989. V. 38, 1-3. 395 p.

11. Жен П. Ж. де. Идеи скейлинга в физике полимеров: Пер с англ.; Под ред. И. М. Лифшица. М.: Мир, 1982. 368 с.

12. Зельдович Я. В., Соколов Д. Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика//УФН. 1985. Т. 146, 3. С. 493-506.

13. Stauffer D. Introduction to Percolation Theory. L.: Taylor & Francis, 1985. - 382 p.

14. Смирнов Б. M. Фрактальные кластеры//УФН. 1986. Т. 149, е2. С. 177219.

15. Смирнов Б. М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991. -134с.

16. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы.- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. (Соврем, пробл. физики). -С. 240.

17. М. Шредер. Фракталы, хаос, степенные законы, Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. С. 528.

18. Mandelbrot В. В. Multifractals and Lacunarity. N. Y.: Springer-Verlag, 1998.

19. Гипмор P. Прикладная теория катастроф: В 2т.: Пер с англ.; Под ред. Ю.П. Гупало и А.А. Пионтковского. М.: Мир, 1984. Т. 1. 350с. Т. 2.-285 с.

20. Шустер Г. Детерминированный хаос: Пер. с англ.; Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича. М.: Мир, 1988. 240 с.

21. ЗосимовВ. В., ЛямшевЛ. М. Фракталы и скейлинг в акусти-ке//Акуст.журн. 1994. Т. 40, е 5. С. 709-737.

22. ЗосимовВ. В., ЛямшевЛ. М. Фракталы в волновых процессах//УФЫ. 1995. Т. 165, е 4. С. 361-402.

23. Соколов И. М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания//УФЫ. 1986. Т. 150, е 2. С. 221-255.

24. Смирнов Б. М. Излучательные процессы с участием фрактальных структур //УФЫ. 1993. Т. 163, 7, С. 51-63.

25. Л.М. Зеленый, А.В. Милованов, Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики, УФН, 174, 8, 2004

26. Vicsek Т. Fractal Growth Phenomena. L.: World Scientific, 1989.

27. Fleischmann M., Tildesley D. J., Ball R. C. Fractals in the Natural Sciences. -Princeton: Princeton Univ. Press, 1989.

28. Гарднер M. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам: Пер. с англ. -М.:Мир, 1993. 416 с.

29. Falconer К. J. The Geometry of Fractal Sets. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985.

30. Davaney R. L. Chaos, Fractals and Dynamics. N. Y.: Addison-Wesley, 1990.

31. Barnsley M. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press, 1988. -394 p.

32. H.J. Jensen, Self-Organized Criticality, Cambridge university press, 1998.

33. Соколов И.М., Размерности и другие геометрические показатели в теории протекания. УФН, 1986.

34. Per Bak and Kan Chen. A forest-fire model and some thoughts on turbulence. Physics Letters A, 147(5,6):297-300, July 1990.

35. I. Balberg. Recent developments in continuum percolation. Philosophical Magazine B, 56(6):991-1003, 1987.

36. Paul D. Beale and P.M. Duxbury. Theory of dielectric breakdown in metal-loaded dielectrics. Physical Review B, 37(6):2785-2791, February 1988.

37. D.R. Bowman and D. Stroud. Model for dielectric breakdown in metal-insulator composites. Physical Review B, 40(7):4641-4650, September1989.

38. Михайлов A.C., Упоров И.В. Критические явления в средах с размножением, распадом и диффузией, УФН 144(1), с.79, 1984.

39. Лоскутов А.Ю.,Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука,1990, 272с.

40. Трубецков Д.И. След вдохновений и трудов упорных. Изд-во Гос.УНЦ "Колледж , Саратов, 2001, с. 13.

41. В. Ю. Трахтенгерц, Д.И. Иудин, А.Н. Григорьев, О фрактальной динамике активных сред. Нелинейные Волны' 2002 / Отв. Ред. А.В.

42. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2003. с. 287-302.

43. Д. И. Иудин, В.Ю. Трахтенгерц, Динамическая перколяция в активных средах. Нелинейные Волны' 2004 / Отв. Ред. A.B. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005.

44. Иудин Д.И., Динамическая перколяция в системах со случайным ростом, Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, Нижний Новгород, май 2004.

45. Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю., Динамическая перколяция в активных средах, Малые примеси, атмосферное электричество и динамические процессы в атмосфере. Труды VIII всероссийской конференции молодых ученых, 117, Москва, сентябрь 2004.

46. Азовский А.Н., Чернопруд М.В. Журн. общ. биол. 1998. Т.59.е2.С.117-136.

47. Маргалеф Р. Облик биосферы. М.: Наука, 1992.-254 с.

48. Е. Федер Фракталы: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.-214 с.

49. Odum Е.Р. Ecology. A Bridge Between Science and Society, 2-nd ed. Sunderland, Massachusets (U.S.A.): Sinauer Ass., Inc., 1998. 330p.

50. Левич А.П. Структура экологических сообществ. М.: Изд-во МГУ. 1980. 181с.

51. Розенберг Г.С., Мозговой Д.П., Гелашвили Д.Б. Экология. Элементы теоретических конструкций современной экологии. Самара: Самарский научный центр РАН, 1999. 396с.

52. Shannon С., Weaver W. The Mathematical Theory of Communication. Urbara, Univ. of Illinois Press., 1949. 117p.

53. Simpson E.H. Nature, 1949. V. 163. P. 688.

54. Pielou E.C. J. Theor. Biol., 1966. V.13. P.131-144.

55. Goltz C. Fractal and Chaotic Properties of Earthquakes, Lecture Notes in Earth Sciences 77, Springer, 1997.

56. Иудин Д.И., Гелашвили Д.Б. Применение мультифрактального анализа структуры биотических сообществ в экологическом мониторинге // Проблемы регионального экологического мониторинга. Материалы научной конференции, Нижний Новгород 2002, С. 49-52.

57. Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Т.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем. Санкт-Петербург.: Гидрометеоиз-дат, 1992.-368 с.

58. Иудин Д. И.; Гелашвили Д.Б.; Розенберг Г.С.; Мультифрактальный анализ видовой структуры биотических сообществ, Доклады РАН, 2003

59. Иудин Д. И.; Гелашвили Д.Б.; Якимов В.Н.; Мультифрактальный формализм как основа экологического мониторинга, Поволжский экологический журнал, 2004

60. Iudin D.I., Gelashvily D.B., Multifractality in ecological monitoring, Elsevier NI к MIPR A 502 (2003) 526-528.

61. Д.Б. Гелашвили; Шурганова Г.В.; Иудин Д.И.; Якимов В.Н.; Розенберг Г.С.; Мультифрактальность видовой структуры гидробиоценозов Волжского бассейна. Материалы межд. конф. Экологические проблемы крупных рек — 3", Тольятти, 2003.

62. MacGorman D. R., and W.D. Rust, The electrical nature of storms, Oxford Univ. Press, 1998.

63. Uman M. A. The Lightning Discharge. Internat. Geoph. Series. V. 39. 1987. P. 377.

64. Базелян Э.М., Райзер Ю.Л. Физика молнии и молниезащиты, М., Физ-матлит, 2001.180 с.

65. Rakov V.A., and M.A. Uman; Lightning physics and effects, Cambridge Univ. Press, 2002.690 p.

66. Vecchi G., Labate D., and Canavero F., Fractal approach to lightning radiation on a tortuous channel, Radio Science, 29, 4, pp691-704, 1994.

67. Гуревич А.В., Зыбин К.П. Пробой на убегающих электронах и электрические разряды в грозовых облаках. УФН, Т.44, ell, 1177-1199,2001.

68. Jacobson A.R., K.LCummins, M.Carter, RKlingner, D. Roussel-Dupre, and S.O.Knox, FORTE radio-frequency observations of lightning strokes detected by the National Lightning Detection Network J.Geophys.Res., 105,15653-15652,2000.

69. Williams E.R, Global Lightning: Total,cloudand ground flash estimates, J. Geophys. Res, 103,19,791-19.809,1998.

70. Williams E.R, Lightning and climate: a review, Proc. 12th Int. Conf. on Atmospheric Electricity, Versailles, France, 2003, pp.665-668.

71. Козлов В.И., Мултяров В А., Васильев А.Е., Характеристики грозовых очагов по инструментальным наблюдениям в Якутии в 1993-2001 гг. Метеорология и гидрология, е2, 39-45,2003.

72. Горбатенко В.П., Дульзон А.А., Решетъко М.В. Пространственные и временные вариации грозовой активности; над Томской областью. Метеорология и гидрология, 2, 21-28,1999.

73. Аджиев А.Х. Физико-статистические характеристики гроз на Северном Кавказе. В сб. трудов V Всероссийской кшф. по атмосферному электричеству, Владимир, 2003, т.1, стр. 324-328.

74. Степаненко В Д., Гальперин СМ. Радиотехнические методы исследования гроз. JL: Гидрометеоиздат, 1983.204с.

75. Кононов И.И., Петренко И А., Снегуров B.C. Определение местоположения гроз радиотехническими методами. JL: Гидрометеоиздат, 1986. 380 с.

76. Александров М. С, Орлов А.В. Сравнительный анализ радиодально-мерных и пеленгационных методов местоопределения гроз. Радиотехника и электроника, 46, еЗ, 304-3 12, 2001 .

77. Горбатенко В. П., Ипполитов И. И., Кабанов М.В., Логинов С.В., Ре-шетько М.В., Таранюк М.И. Анализ структуры временных рядов повторяемости форм атмосферной циркуляции и грозовой активности. Оптика атмосферы и океана, 15, 8, 693-697, 2002.

78. Панюков А.В., Будуев Д.В. Алгоритм определения расстояния до местоположения молниевого разряда, Электричество, 4, 10-14,2001,

79. Stohenburg М., W. D. Rust, B.F. Smull, and Т. С. Marshall, Electrical structure in thunderstorm convective regions, 1, Mesoscale convective systems, J. Geophys. Res., 103, 14,059,-4,078, 1998.

80. Williams E.R., The tripole structure of thunderstorm, J. Geophys.Res., 94, 13,151-13,167, 1997.

81. Dulzon A. A., Noskov M. D., Lopatin W., Shelukhin P. V. The strike points distribution from fractal model of the stepped leader // Proc. 10th Intern. Conf. on Atmos. Elrctricity, Osaca, 1996. P. 260.

82. Tsonis A. A. A fractal study of dielectric breekdon in the atmosphere // Proc. 10th Intern. Conf. on Atmos. Elrctricity, Osaca, 1996. P. 345.

83. Petrov N. I., Petrova G. N. Physical mechanismus of the intra-cloud lightning discharges formation // Proc. 10th Intern. Conf. on Atmos. Elrctricity, Osaca, 1996. P. 357.

84. Висман Г., Пьетронеро JI. Свойства лапласовских фракталов при пробое диэлектриков в двух и трех измерениях / Фракталы в физике. Под ред. JI. Пьетронеро и Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.

85. Lyons WA., Sprite observations above the U.S. High Plains in relation to tfieir parent fliunderstorm systems, J. Geophys.Res., 101,29,641, 1996.

86. Stokenburg M., Т. С Marshall, and W D. Rust, Serial soundings of electric field through a mesoscale convective system, J. Geophys. Res., D106, 1237112380, 2001.

87. Stokenburg M., T. Marshall, D. Rust, B. Smutt, Horizontal distribution of electrical and meteorological conditions across the stratiform region of a mesoscale convective system, Moa Weather Rev., 7225, 1777-1797, 1994.

88. Stolzenburg M., W.D. Rust, and Т. C. Marshall Electrical structure in thunderstorm convective regions, 3, Synthesis, J. Geophys. Res., 103, 14,097-14,108, 1998.

89. Marshall Т. C., Rust W. D. Electric field sonndings through thunderstorms // J. Geophys. Res. 1991. V 96. P. 22297-22306.

90. Mazur M., Krehbiel P. R., Shao X. M. Correlated high-speed video and radio interferometric observations of a cloud-to-ground lightning flash // J. Geophys. Res. 1995. V. 100. P. 25731-25753.

91. Имснитов И. М., Чубарина Е. В., Шварц Я. М. Электричество облаков. JI.: Гидрометеоиздат, 1971.

92. Мареее Е.А., Сорокин А.Е. Автоволновые режимы электризации грозового облака, Известия вузов Радиофизика, т.44,el-2,с. 148-162,2001.

93. Takahashi Т., Riming electrification as a charge generation mecharasm in thunderstorms, J. Atmos.Sci., 35,1536-1548,1978.

94. Mansell E.R., D.RMacGorman, J.M. Straka, and C.L.Ziegler, Recent results thunderstorm electrification modeling, Proc. 12th Int. Conf on Atmospheric Electricity, Versailles, Prance, 2003, pp. 119-122.

95. Mansell E.R., D.R. MacGorman, C.L.Ziegler, and JMStraka, Simulated triree-dimensional branched lightning in a numerical thunderstorm model, J.Geophys.Res., 107, 10.1029/2000JD000,244,2002.

96. Трахтенгерц В. Ю. О природе электрических ячеек в грозовом облаке // ДАН СССР. 1989. Т. 308. С. 584.

97. Trakhtengerts V. Y. In Proc. of ICAE-92. St.-Petersburg, Russia, 1992. V. 2. P. 416.

98. Мареев E. А., Сорокин A. E., Трахтенгерц В. Ю. Эффекты коллективной зарядки облака в многотоковой аэрозольной плазме // Физика плазмы. 1999. N 3. С. 123.

99. Трахтенгерц В.Ю., Мареев Е.А., Сорокин А.Е., Электродинамика конвективного облака. Известия вузов-Радиофизика. т. 40, el-2, с. 123137, 1997.

100. Mareev, Е.А., А.Е. Sorokin and V.Yu. TVakhtengerts, Effects of collective charging in a multiflow aerosol plasma, Plasma Physics Reports, 25, 3, 289-300, 1999.

101. Eack K.B., W.H. Beasley, W.D. Rust, T.C. Marshall, and M. Stolzenburg, Initial results from simultaneous observation of X rays and electric fields in a thunderstorm, J. Geophys. Res., 101, 28, 637-29,640, 1996.

102. Krider P.E., Deciphering the Energetic of Lightning, Science, 299, 669-670, 2003.

103. Gureyich A.V., G.M. Milikh, and R. Roussel-Dupre, Runaway electron mechanism of air breakdown and preconditioning during a thunderstorm, Phys. Lett. A., 165, 1992, p.463-468.

104. Roussel-Dupre R., A.V. Gurevich, T.Turnell, and G.M. Milikh, Kinetic theory of runaway air breakdown, Phys. Rev. E, 49, 1994, p.2257-2271.

105. Gurevich A.V, G.M. Milikh, and JA.Valdivia, Model of X-ray emission and fast preconditioning during a thunderstorm, Phys.Lett. A., 231,1997, p. 402-408.

106. Gurevich A. V., L.M. Duncan, Yu. V. Medvedev, and K.P. Zybin, Radio emission due to simultaneous effect of runaway breakdown and extensive atmospheric showers, Phys. Lett.A, 301, 2002, p.320-326.

107. Gurevich A, V. Yu. V. Medvedev, and K.P. Zybin, Thermal electrons and electric current generated by runaway breakdown effect, Phys. Lett. A, 321, 179-184, 2004.

108. Bratolubova-Tsulukidze L.S., E.A. Grachev, O.R. Grigoryan, and O.Yu. Nechaev, Cosmic Research, 39(6), 564-571, 2001.

109. Wilson С.Т.К, Investigations on lightning discharges and on the electric field of thunderstorms, Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A, 221,73115,1920.

110. Williams E.R., Sprites, elves, and flow discharge tubes, Phys.Today,54,41-47,2001.

111. Neubert Т., On sprites and their exotic kin, Science, 300, 2May 2003, 747.

112. Pasko V.P., Inan U.S., and Bell T.F., Mesosphere -troposphere coupling due to sprites, Geophys. Res. Lett., 2001, V28, e 19, 3821-3824.

113. Williams E.R., The positive charge reservoir for sprite-producing lightning, J. Atmos. Terr. Phys., 60,689-692,1998.

114. Williams E.R., E. Huang, R. Boldi, S. Hechnan, W. Lyons, M. Taylor, T. Nelson and C. Wong, Criteria for sprites and elves based on Schumann resonance observations, J. Geophys. Res, 104,16,943-16,964,1999.

115. Морозов B.H. Расчет электрических полей грозовых облаков для инициирования электрических разрядов облако- верхние слои атмосферы. Геомагнетизм и аэрономия,42,el,121-129,2002.

116. Петров Н.И., Петрова ЕН. Физические механизмы развития разрядов между облаком и ионосферой, Журнал технической физики, т. 44, 1999, стр.472-477.

117. Smirnova E.I., Mareev Е.А., and Chugunov Yu.V., Modeling of electric field transitional processes, Geophys. Res. Lett, 2000, V27, e 23,3833-3386.

118. Gerken E.A., Inan U.S., BaMngtofrLeigh C.P.,Telescoping imaging of sprites, Geophys. Resi Lett, 2000, V.27, el7,2637-2640.

119. Pasko V.P., Inan U.S., and Bell T.F., Fractal structure of sprites, Geophys: Res. Lett, 2000, V27, 23, 497-500.

120. Pasko V.P., Inan U.S., and Bell T.F., Diffuse and streamer regions of sprites, Geophys. Res. Lett, 2002, V.29, 10,82-1-82-4.

121. Мареев E.A., Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю. Моделирование тонкой структуры высотных разрядов в атмосфере. В сб. трудов V Всероссийской конф. по атмосферному электричеству, Владимир, 2003, т.1, стр. 187-190.

122. J. R. Bils, Е. М. Thomson, М. A. Uman, and D. MacKerras. Electric field pulses in close lightning cloud flashes. J. Geophys. Res., 93:15933-15940, 1988.

123. Jean-Marc Debierre. Hull of percolation clusters in three dimensions. In Y. Rabin and R. Bruinsma, editors, Soft Order in Physical Systems, pages 159-162. Plenum Press, New York, 1994.

124. C. Domb. Non. Adv. Chem. Phys., 15:229, 1969.

125. H. Dreicer. Phys. Rev., 117:329, 1960.

126. К. B. Eack and D. M. Suszcynsky. Geophys. Res. Lett., 27(2):185, 2000.

127. W.T. Elam, A.R. Kerstein, and J.J. Rehr. Critical properties of the void percolation problem for spheres. Physical Review Letters, 52(17):1516-1519, April 1984.

128. M. E. Fisher and F. R. J. Burford. Non. Phys. Rev., 156:583, 1967.

129. J.-F. Gouyet. Dynamics of diffusion and invasion fronts: on the disconnection-reconnection exponents of percolation clusters. In Rabin and Bruinsma 129], pages 163-166.

130. А. V. Gurevich. JETP, 35:1296, 1960.

131. А. V. Gurevich, G. M. Milikh, and R. A. Roussel-Dupre. Phys. Lett., A165:463, 1992.

132. С. O. Hayenga and J. W. Warwick. Two-dimensional interferometric positions of vhp lightning sources. J. Geophys. Res., 86:7451-7462, 1981.

133. С. T. Rhodes, X.-M. Shao, P. R. Krehbiel, R. J. Thomas, and С. O. Hayenga, Observations of lightning phenomena using radio interferometry, J. Geophys. Res., (99), (pp. 13,059-13,082), 1994.

134. X. M. Shao, P. R. Krehbiel, R. J. Thomas, and W Rison, Radio interferometric observations of cloud-to-ground lightning phenomena in Florida, J. Geophys. Res., (100), (pp. 2749-2783), 1995.

135. Richard P., A. Soulage, and F. Broutet, The SAFIR lightning warning system, in Proc. 1989 Int. Conf. On Lightning and Static Electricity, Bath, England: Ministry of Defence Procurement Executive, (pp. 2 B.I. 1-2 B.I. 5), 1989.

136. E. Kamke. Differential glechnungen, volume 1. Academic, Leipzig, 1959.

137. Alan R. Kerstein. Equivalence of the void percolation problem for overlapping spheres and a network problem. Л. Phys. A: Math. Gen., 16:3071-3075, 1983.

138. Paul М. Kogut and Joseph P. Straley. Distribution-induced non-universality of the percolation conductivity exponents. J. Phys. C: Solid State Phys., 12:2151-2159, 1979.

139. Boccippio, D. J., E. R. Williams, S. J. Heckman, W. A. Lyons, I. T. Baker, and R. Boldi, Sprites, ELF transients and positive ground strokes, Science, 269, 1088-1091, 1995.

140. Dowden, R., S. Hardman, J. Brundell, J. Bahr, Z. Kawasaki, and K. Nomura, Red sprites observed in Australia, IEEE Antennas Propag. Mag., 39(6), 106,1997.

141. Franz, R. C., R. J. Nemzek, and J. R. Winckler, Television image of a large upward electrical discharge above a thunderstorm system, Science, 249, 48-51, 1990.

142. Fukunishi, H., Y. Takahashi, M. Kubota, K. Sakanoi, U. S. Inan, and W. A. Lyons, Elves: Lightning-induced transient luminous events in the lower ionosphere, Geophys. Res. Lett., 23, 2157-2160, 1996.

143. Fukunishi, H., Y. Takahashi, A. Uchida, M. Sera, K. Adadhi, R. Miyasato, Occurrences of sprites and elves above the Sea of Japan near Hokuriku in winter, EOS, 80(46), F217, 1999.

144. Hayakawa, M., T. Nakamura, Y. Hobara and E. R. Williams, Observation of sprites over the Sea of Japan and conditions of lightning-inducing sprites in winter, to be submitted, 2002.

145. Hobara, Y., N. Iwasaki, T. Hayashida, M. Hayakawa, K. Ohta, and H. Fukunishi, Interrelation between ELF transients and ionospheric disturbances in association with sprites and elves, Geophys. Res. Lett., 28, 935-938, 2001.

146. Huang, Е., Е. Williams, R. Boldi, S. Heckman, W. Lyons, M. Taylor, T. Nelson and C. Wong, Criteria for sprites and elves based on Schumann resonance observation, J. Geophys. Res., 104, 16,943-16,964, 1999.ь

147. Lyons, W. A., Sprite observations above the U.S. high plains in relation to their parent thunderstorm systems, J. Geophys. Res., 101, 29,641-19,652, 1996.

148. Michimoto, K., A study of radar echoes and their relation to lightning discharges of thunderclouds in the Hokuriku district, Part II: Observation and analysis of "single-flash"thunderclouds in midwinter, J. Meteorol. Soc. Japan, 71, 195-204, 1993.

149. Reising, S. C., U. S. Inan, T. F. Bell, and W. A. Lyons, Evidence of continuing current in sprite-producing cloud-to-ground lightning, Geophys. Res. Lett., 23, 3639-3642, 1996.

150. Rodger, C., Red sprites, upward lightning, and VLF perturbations, Rev. Geophys., 37, 317-336. 1999.

151. Sentman, D. D., and E. M. Wescott, Red sprites and blue jets: Thunderstorm-excited optical emissions in the stratosphere, mesosphere, and ionosphere, Phys. Plasmas, 2, 2541-2522, 1995.

152. Vaughan, О. H., Jr., and B. Vonnegut, Recent observations of lightning discharges from the top of a thundercloud into the clear air above, J. Geophys. Res., 94, 13,179-13,182, 1989.

153. Иудин Д. И., Трахтенгерц В.Ю., Фрактальная динамика электрического заряда в грозовом облаке, ИПФ РАН, Препринт е482, Нижний Новгород, 1997.

154. Д. И. Иудин, В. Ю. Трахтенгерц, Фрактальная динамика заряда в грозовом облаке, Известия АН. Физика атмосферы и океана, том 36, еб, с. 650 662, 2000.

155. Iudin D. I., V. Y. Trakhtengerts, Fractal Structure of Non-linear Dynamics of Electric Charge in a Thunderstorm Cloud, Proceedings of International Conference dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov.

156. Д. И. Иудин, Трахтенгерц В. Ю. Нелинейная динамика грозового облака. Изв. Вузов. Радиофизика. 44(5-6), 419-438, 2001.

157. Victor Y. Trakhtengerts, Dmitriy I. Iudin, Anton V. Kulchitsky, Kinetics of runaway electrons in a stochastic electric field, Physics of Plasmas, 9, 6, 2762-2766, 2002

158. V. Y. Trakhtengerts, D. I. Iudin, A.V. Kulchitsky, and M. Hayakawa, Electron acceleration by a stochastic electric field in the atmospheric layer, Phys. of Plasmas, Vol. 10, No. 8, August 2003.

159. D. I. Iudin, V. Yu. Trakhtengerts, and M. Hayakawa, Fractal dynamics of electric discharges in a thundercloud, 2003, Phys. Rev. E 68, 016601 (2003)

160. E. А. Мареев, Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю., Сорокин А.Е., Шаталина М.С. Современные проблемы исследования грозового электричества. Проектирование и технология электронных средств, с.7 -16, 2004.

161. Иудин Д. И., Трахтенгерц В.Ю. Нелинейная динамика грозового облака. Изв. Вузов. Радиофизика. 44(5-6), 419-438, 2001.

162. D. Iudin, A. Grigoriev, V. Trakhtengerts, M. Hayakawa, Fractal dynamics of thundercloud electric discharges, Proceedings of URSI XXVIIth General Assembly, Maastricht, the Netherlands, 17-24 August 2002, http://www.ursi-ga2002

163. V. Trakhtengerts, D. Iudin, A. Kulchitsky, M. Hayakawa, Runaway electrons in a thundercloud stochastic electric field, Proceedings of URSI XXVIIth General Assembly, Maastricht, the Netherlands, 17-24 August 2002, http://www.ursi-ga2002

164. M. Hayakawa, D. Iudin, A. Grigoriev, V. Trakhtengerts, High frequency electromagnetic emission on lightning discharge preliminary stage, Proceedings of URSI XXVIIth General Assembly, Maastricht, the Netherlands, 17-24 August 2002,

165. Trakhtengerts V. Y., J.Atmos.Terr.Phys., 56, 337, 1994.

166. Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y., Thundercloud fractal dynamics, SPECIAL II Network, Francfurt am Main, February 19-22 (2003) p. 26-28.http: //www.ursi-ga2002

167. Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y., and A.N. Grigoriev, Thundercloud cellular automaton model, Elsevier NI & MIPR A 502 (2003) 526-528.

168. Iudin D. I., Korovkin N.V., Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M., Lightning Preliminary Breakdown Stage Cellular Automaton Model, Journal of Atmospheric Society of Japan, 20, 53, 2000

169. Iudin D. I., Y. Hobara, Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M., Thundercloud "metallization", Journal of Atmospheric Society of Japan, 20, 58, 2000.

170. Iudin D. I., Korovkin N.V., Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M., Cellular Automaton Model of Lightning Discharge Preliminary Stage, 15th International Wroclaw Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compactibility, Abstracts, Wroclaw, Poland, 2000.

171. Nickolaenko A.P., Iudin D. I., Hurst Exponent Derived for Natural ELF Electromagnetic noise, 15th International Wroclaw Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compactibility, Abstracts, Wroclaw, Poland, 2000.

172. Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y., Hayakawa M., Self Organized Criticality inThundercloud, Proceedings of XXXII th Assembly of Atmospheric Society of Japan, Hamamatsu, Japan, 1999.

173. Hayakawa M., Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y., Spatial-temporal Hierarchy and Wave Forms of Thundercloud discharges, Proceedings of URSI XXVIth General Assembly, Toronto, Ontario, Canada, 13-21 August 1999,

174. Iudin D.I., Trakhtengerts V.Y., Fractal dynamics of Electric Charges in Thundercloud, Proceedings of URSI XXVIth General Assembly, Toronto, Ontario, Canada, 13-21 August 1999,

175. Iudin D.I., Electric charge fractal dynamic in thundercloud, Proc. Inst. Appl. Phys., Nizhny Novgorod, Russia, 461-480, 2000.

176. Nickolaenko, А.P., Price С., and Iudin D.I., Hurst exponent derived for natural terrestrial radio noise in Schumann resonance band, Geophys. Res. Lett., 27, 3185-3188, 2000.

177. Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann H. J. Fractal Dimension of Dielectric Breakdown//Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52, e 12. P. 1033-1036.

178. H. Weismann and H. Zeller, J. Appl. Phys. 60, p. 1770, 1986.

179. P.R. Krehbiel. The electrical structure of thunderstorms. In R.L. Gardner, editor, The Earth's Electrical Environment, pages 90-113. National Academy Press, Washington, D.C., 1986.

180. B. J. Last and D. J. Thouless. Non. Phys. Rev. Lett., 27:1719, 1971.

181. C. Lennon and L. Maier. Lightning mapping system. In Proc. Int. Aerospace and Ground Conf. on Lightning and Static Electricity, Cocoa Beach, FL, NASA Conf. Pub. 3106, (II), pages 89/1-89/10, 1991.

182. X. Liu and P.R. Krehbiel. The initial streamer of intracloud lightning flashes. J. Geophys. Res., 90:6211-6218, 1985.

183. L. Maier, С. Lennon, Т. Britt, and S. Schaefer. Lightning detection and ranging (ldar) system performance analysis. In Proc. 6th Conf. on Aviation Weather Systems, Dallas, TX, Amer. Meteorol. Soc., 1995. Paper 8.9.

184. D.J. Malan. Physics of Lightning. The English Universities Press, 1963. 176pp.

185. W.K. Mozner, B. Drossel, and F. Schwabl. Computer simulations of the forest-fire model. Physica A, 190:205-217, 1992.

186. Tsuneyoshi Nakayama. Fracton dimensions for elastic and antiferromagnetic percolating networks. In Rabin and Bruinsma 129], pages 181-184.

187. Odum E. P. Ecology. A Bridge Between Science and Society. Sunderland, Massachusets (U.S.A.): Sinauer Ass., Inc., 1998.

188. G. K. Parks, В .H. Mauk, R. Spider, and J. Chin. Geophys. Res. Lett., 8:1176, 1981.

189. E.T. Pierce. Atmospherics and radio noise. In R.H. Golde, editor, Lightning, volume volume 1: Physics of Lightning, pages 351-384. The English Universities Press, 1977.

190. D. E. Proctor. J. Geophys. Res., 88:5421, 1983.

191. D.E. Proctor. A hyperbolic system for obtaining VHF radio pictures of lightning. J. Geophys. Res., 76:1478-1489, 1971.

192. D.E. Proctor, R. Uytenbogaargt, and B.M. Meredith. J. Geophys. Res., 93, D 10:12,683-12,727, 1988.

193. С. T. Rhodes, Х.-М. Shao, P. R. Krehbiel, R. J. Thomas, and С. О. Hayenga. Observations of lightning phenomena using radio interferometry. J. Geophys. Res., 99:13,059-13,082, 1994.

194. P. Richard. The safir system: Early detection and alarm alert for risk of storms. In Proc. of Lightning and Mountains, Prance: Société des Electriciens et des Electroniciens, pages 77-83, 1994.

195. P. Richard and J. Y. Lojou. Lightning and forecast of intense precipitation. In Proc. of Lightning and Mountains, Prance: Société des Electriciens et des Electroniciens, pages 338-342, 1997.

196. P. Richard, A. Soulage, and F. Broutet. The safir lightning warning system. In Proc. Int. Conf. On Lightning and Static Electricity, Bath, England: Ministry of Defence Procurement Executive, 1989.

197. A A. Samarskii and E. S. Nikolaev. Numerical Methods for Grid Equations, volume 1. Birkhauser Verlag, 1989.

198. X. М. Shao and P. R. Krehbiel. The spatial and temporal development of intracloud lightning. J. Geophys. Res., 101D:26641-26668, 1996.

199. X. M. Shao, P. R. Krehbiel, R. J. Thomas, and W. Rison. Radio interferometric observations of cloud-to-ground lightning phenomena in florida. J. Geophys. Res., 100:2749-2783, 1995.

200. G. E. Shaw. J. Geophys. Res., 72:4623, 1967.

201. D.A. Smith, X.M. Shao, D.N. Holden, C.T. Rhodes, M. Brook, P.R. Krehbiel, M. Stanley, W. Rison, and R.J. Thomas. A distinct class of isolated intracloud lightning discharges and their associated radio emissions. J. Geophys. Res., 104:4189-4212, 1999.

202. Lennon C. and L. Maier, Lightning mapping system, in Proc. Int. Aerospace and Ground Conf. on Lightning and Static Electricity, Cocoa Beach, FL,. NASA Conf. Pub. 3106, (II), (pp. 89-1 -89-10), 1991.

203. Maier L., C. Lennon, T. Britt, and S. Schaefer, Lightning Detection and Ranging (LDAR) system performance analysis, Paper 8.9 in Proc. 6th Conf. on Aviation Weather Systems, Dallas, TX, Amer. Meteorol. Soc., 1995.

204. V. Yu. Trakhtengerts. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 308:584, 1989.

205. Rene Vacher and Eric Courtens. Fractons in computer and laboratory experiments. In Rabin and Bruinsma 129], pages 185-189.

206. Y. Villanueva, V.A. Rakov, M.A. Uman, and M. Brook. Microsecond-scale electric field pulses in cloud lightning discharges. J. Geophys. Res., 99:14353-14360, 1994.

207. C. D. Weidman and E. P. Krider. The radiation field wave forms produced by intracloud. J. Geophys. Res., 84:3159-3164, 1979.

208. V. Yukhimuk, R. A. Roussel-Dupre, and E. M. D. Simbalisty. Geophys. Res. Lett., 26(6):679, 1999.

209. Bakurov V.G., Gusev V.I., Izmailov A.F., Kessel L.R. //J. Phys. 1990. V.A23. P.250-257.

210. Барентблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211с.

211. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. // УФН. 1975. Т. 117. С.401.

212. Roberts J.N., Schwartz L.M. Crain consolidation and electrical conductivity in porous media // Phys. Rev. B. 1985. V.31. N9. P.5990.

213. Schwartz L.M., Banavar J.R. Calculation of eletrical transport in continuum system by diffusin simulation // Phys. A. 1989. V.157. N9. P.230.

214. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания // УФН. 1986. Т.150. Вып.2. С.221.

215. Добрынин В.М., Серебряков В.А. Методы прогнозирования аномальных высоких пластовых давлений. М.: Недра, 1978. 232с.

216. Итон Б. Использование получаемых в процессе бурения петрофи-зических данных для оценки перспектив // Нефтегазовые технологии. 1993. N3. С. 15-25.

217. Иудин Д.И., Шалашов Г.М. Механизм сейсмической активности. Препринт N382. — Нижний Новгород: НИРФИ, 1994. Юс.

218. Gouet J.F. Invasion noise during drainage in porous media // Physica A. 1990. V.168. P.581.

219. Gouet J.F., Sapoval В., Boughaleb Y., Rosso M. Structura of noise generated on diffusion fronts // Physica A. 1990. V.157. P.620.

220. Rosco M., Gouet J.-F., Sapoval B. // Phys. Rev. B. 1985.

221. Iudin D.I. Model of the seismic noise generation mechanism. Session N2.2 / SE 42 // Scaling, Fractals and nonlinearity in solid Earth Geophysics. EGS XXI General assembly. — Gaague, 1996.

222. Iudin D.I., Kas'yanov D.A. Percolation model of seismic aktivity // Seismo-Atmospheric and Ionospheric Phenomena, (be published in 1998 by Terra Scientific Publishing Company, Tokyo.)

223. Iudin D.I., Percolation model of seismic activity. Proceeding of the International Conference "Frontiers of Nonlinear Physics 2004", Nizhny Novgorod St. Peterburg, July 2004.

224. Iudin D. I., Kas'yanov D. A., The possible analogue between earthquake and dielectric breakdown, Proceedings of International Conference on Marine Electromagnetics London, 1997.

225. Иудин Д. И., Шалашов Г. М., Механизм сейсмической активности, Препринт е382, Нижний Новгород: НИРФИ, 1994.

226. Иудин Д. И., Касьянов Д. А., Шалашов Г. М., Фильтрационное течение в среде с изменяющейся пористостью, Препринт 434, Нижний Новгород: НИРФИ, 1997.

227. Iudin D. I. and D. A. Kas'yanov. Percolation Model of Seismic Activity. In: Atmospheric and Ionospheric Electromagnetic Phenomena Associated with Earthquakes, edited by M. Hayakawa, pp.911-917. Terra Scientific Publishing Company, Tokyo, 1999.

228. Lawn В., Fracture of brittle solids. Cambridge Univ. Press, 1993.

229. Иудин Д. И., Касьянов Д. А., Шалашов Г. М., Фильтрационное течение в среде с переменной пористостью, Доклады РАН, 1999, 2, с 257-259.

230. Iudin D.I., A.N. Grigoriev, Cellular automaton model of lithosphere degassing, Elsevier N1 MIPR A 502 (2003) 736-738.

231. Смирнов Н.Н., Д. И. Иудин, Перколянионный механизм гравитационной дифференциации как модель сейсмической активности // ВЕСТ. МОСК. УН-ТА. 2, с. 31 39, 2003.

232. Witten Т. A., Sander L. М. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 1400.

233. Касахара К. Механика землетрясений. М.: Мир, 1985.

234. Райе Дж. Механика очага землетрясений. М.: Мир, 1983.

235. Пономарев А.С. Теплогазодинамическая модель коровых землетрясений // Физика Земли. 1990. N 10. С. 100.

236. Stauffer, D., Percolation theory, Phys. Res., 1979, vol. 54, 1.

237. Bowman, В., Stroud, 1989, Dielectric breakdown in metal-insulator composite. Phys. Rev. B, vol. 40, 4641.

238. Иудин Д.И., Перколяционный механизм гравитационной дифференциации и сейсмическая активность, Препринт 14, ИО РАН, 2004.

239. Вак, Р., С. Tang and К. Wiesenfeld, 1987, Self-Organized Criticality: An Explanation of 1/f Noise.// Phys. Rev. Letters vol. 59, p.381.

240. Вак, P., C. Tang and K. Wiesenfeld, 1988, Self-Organized Criticality.// Phys. Rev. A vol. 38, p.364.

241. Ozima M., Podosek F. A. Noble gas geochemistry. Cambridge etc., Cambridge Univ. Press, 1983.

242. Scholz, С. Н., L.R. Sykes and J. P. Aggarwal, EQ prediction: a physical basic, Science, 1981, 803-809, 1973.

243. Scholz, С. H., The mechanics of earthquakes and faulting. Cambridge Univ. Press, 1997.

244. Б.В. Левин, Ядро Земли дирижер сейсмической активности? Земля и вселенная,No3,12-19, 2002.

245. Gold Т., Vogel J. E., 1988,Hydraulic-elastomeric mount displacement decoupler, The Journal of the Acoustical Society of America, Volume 83, Issue 2, February p.844

246. Sibson, R.H., 1990, Rupture nucleation on unfavorably oriented faults, Bull. Seismol. Soc. Am., 80, 1580-1604.

247. Hickman, S., R. H. Sibson, and R. Bruhn, 1995, Introduction to special section: mechanical involvement of fluids in faulting, J. Geophys. Res., 100, 12,831-12,840.

248. Streit, J.E., 1997, Low frictional strength of upper crustal faults: a model, J. Geophys. Res., 102, 24, 619-24, 626.

249. Yamashita, Т., Mechanical effect of fluid migration on the complexity of seismicity, J. Geophys. Res., 102, 17, 797-17, 806, 1997.

250. Wakita Н., Fujii N., Matsuno S., Nagao K., Takaoka N., "Helium spots"caused by a diapiric magma from the upper mantle. Science, 200, 1978, 430-2.

251. King, C-Y, Gas geochemistry applied to earthquake prediction: An overview, J. Geophys. Res., 91, 12,269-12,281, 1986

252. Igarashi, G., S. Saeki, N. Takahata, K. Sumikawa, S. Tasaka, Y. Sakaki, M. Takahashi, Y. Sano, Ground water radon anomaly before the Kobe earthquake in Japan, Science, 269, 60-61, 1995.

253. S среднее число узлов конечного перколяпионного кластераt время

254. Tosc характерный период оспилляций электрического поля грозы1.характерный размер мелкомасштабных электрических ячеек

255. Q частота вращения конвективной ячейки

256. Пр плазменная частота тяжелых частицv эффективная частота соударений1. М0 масса облачных частиц

257. Ne концентрация электронови скорость потока1. Rc cell radiusд ускорение свободного паденияа, Uс уровень активации и критический уровень разности потенциалов

258. U7 универсальное глобальное время1. Z средний заряд молекул

259. Zi число электронов в молекулебесконечный перколяционный кластер