Фрикционные автоколебания с двумя переключениями двухмассового осциллятора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Хизгияев Семен Владимирович

Фрикционные автоколебания

с двумя переключениями двухмассового осциллятора

Специальность 01 02 01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003165505

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова

Научный руководитель Доктор физико-математических наук,

профессор С Я Степанов

Официальные оппоненты Доктор физико-математических наук,

профессор А П Иванов Кандидат физико-математических наук, А С Сумбатов

Ведущая организация- Институт проблем механики

Российской академии наук

Защита состоится 29 февраля 2008 года в 16 часов 30 минут на заседании специализированного совета Д 501 001 22 по механике при Московском государственном университете им МБ Ломоносова по адресу 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 29 января 2008 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 22 доцент

В А Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Изучение автоколебаний, возникающих под действием сухого трения, является актуальной задачей Механические автоколебания играют важную роль в различных областях механики, техники, оптики, акустики, радиотехники и электроники Примерами таких колебаний служат колебания струны скрипичных музыкальных инструментов, шум ведущего колеса локомотива на рельсах при трогании с места или тормозного башмака на колесах, скрип дверных петель и т д Основным режимом таких колебаний является предельный цикл типа "stick-slip'' с двумя переключениями Диссертация посвящена отысканию таких предельных циклов и исследованию характера их орбитальной устойчивости

Цель диссертационной работы. Основной целью диссертации является поиск предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями, исследование их свойств и характера устойчивости в двухмассовом осцилляторе, состоящем из двух грузов, соединенных пружиной Первый груз движется по неподвижной прямой и соединен пружиной с неподвижной опорой Второй груз находится на горизонтальной ленте движущейся с постоянной скоростью Между лентой и вторым грузом действует сила сухого трения Первый груз подвержен действию вязкого трения

Научная новизна Результаты разделов 11-22 являются вспомогательными а результаты разделов 2 3 - 3 5 являются новыми Они базируются на общих теоремах теории колебаний и теории устойчивости предельных циклов Среди этих результатов наиболее существенным является аналитическое обоснование фундаментального свойства симметрии предельных циклов типа "stick-slip' в отсутствии вязкого трения Это свойство позволило построить предельные циклы с двумя переключениями и провести исследование характера их орбитальной устойчивости

Достоверность результатов. Результаты диссертационной работы обоснованны Они базируются на общих теоремах теории колебаний и теории устойчивости Все аналитические выкладки, численные расчеты и построение различных графиков, диаграмм и фазовых портретов проводились с помощью программы символьных вычислений Maple 10

Используемые методы. В работе используются методы теории

колебаний, в том числе метод точечного отображения Пуанкаре для исследования орбитальной устойчивости предельных циклов

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Полученные результаты дают представление о виде, свойствах предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями и характере их орбитальной устойчивости

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях

- Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук проф С Я Степанова, проф А В Карапетяна, 2006 г

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 2006 Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г

- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатрогшки МГУ под руководством акад РАН В В Румянцева чл -корр РАН В В Белецкого, проф А В Карапетяна 2007 г

Международная конференция молодых ученых «Ломоносов-2007» МГУ им M В Ломоносова 16-21 апреля 2007 г

- IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня 2007 г

- Шестой международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1-6 августа 2007 г

Публикации Основные результаты диссертационной работы изложены в четырех печатных работах, одна из них опубликована в журнале, который входит в перечень ВАК Список работ приведен в конце автореферата

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 152 наименований Общий объем диссертации - 111 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

На Западе механические модели, в которых возникают автоколебания под действием сухого трения, в том числе и линейный осциллятор, получили название "stick-slip" ("прилипание-скольжение") в силу того, что предельные циклы таких систем, состоят из двух режимов когда груз неподвижен относительно ленты, и когда груз скользит относительно ленты Данная диссертация посвящена изучению таких предельных циклов

Во введении описана постановка задачи и цель диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с исследованием фрикционных автоколебаний, в том числе работ по исследованию автоколебаний, возникающих в смычковых музыкальных инструментах, а также приведено краткое содержание диссертации

Первая глава носит вспомогательный характер В первом разделе первой главы дана постановка задачи Рассматривается механическая система из двух грузов с массами т\ и т2 Груз mj соединен с неподвижной стенкой невесомой линейной пружиной с жесткостью а груз тг соединен с m1 пружиной жесткости /гг Груз Ш2 находится на горизонтальной ленте, движущейся с постоянной скоростью V > 0 Смещения грузов из положения, в котором пружины недеформированы обозначим х\ и ж2 (рис 1) Между первым грузом и опорной плоскостью действует сила вязкого линейного трения с коэффициентом cj, а между вторым грузом и лептой действует сила сухого трения /

f' fr V

fs

-fs -fr --- и %

Рис 2 Кусочно-постоянная модель сухого трения

Примем кусочно постоянную модель сухого трения (рис 2) между лентой и грузом тг в виде

и /, > Л

и |/.|</г, f. = k2(x 2-хг) (1)

и Л < -Л

где и /г величины трения скольжения и покоя, пропорциональные нормальному давлению причем трение скольжения не больше трения покоя (fs < /г)

Во втором разделе записаны уравнения движения исследуемой системы в общей постановке в матричном виде Система может находится в трех различных режимах движения, каждый из которых описывается своей системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений

В третьем разделе введены основные используемые понятия В четвертом разделе приведен краткий обзор работ, связанных с методом точечного отображения Пуанкаре, а также изложен сам метод точечного отображения в применении к исследуемой системе для изучения характера орбитальной устойчивости предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями

fs при Ï2 < V

fs при X2 = V

f* при X2 = V

~fs при X2 — V

-fs при x2>v

Вторая глава посвящена исследованию предельных циклов типа 'stick-slip" с двумя переключениями в ограниченной постановке задачи с введением малого параметра е, характеризующего малость массы второго груза по отношению к массе первого, и малость жесткости первой пружины по отношению к жесткости второй пружины В первом разделе записаны уравнения движения исследуемой системы в безразмерном виде В нулевом приближении по малому параметру е эти уравнения сводятся к задаче о колебании первого груза под действием сил упругости пружины и вязкого трения В первом приближении уравнение для второго груза отделяется от уравнения для первого груза и соответствует известной задаче о колебании гармонического осциллятора на движущейся с постоянной скоростью ленте под действием сухого трения Уравнение первого груза представляет собой уравнение вынужденных колебаний под действием колебаний второго груза

xi + 2с xi + ргхх - х2 = О,

х2 + xi = ef/fa, '

с = fi = е = т2/ти р2 = eki/k2,

2 y/kitn 1 /s

при х2 < V,

при х2 ~ V и х2 > /х,

при х2 — V и |:Г2| < fi,

При Х2 = V И Х2 < —(1,

при х2> V

Во втором разделе выписано решение уравнений для второго груза Найден предельный цикл для этого груза, и построен его фазовый портрет Доказано свойство симметрии предельного цикла, а также найден период его колебаний Показано, что период прямо пропорционален разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорционален скорости ленты

В третьем разделе исследуются вынужденные колебания первого груза, возбуждаемого действием предельного цикла для второго груза, найденного во втором разделе второй главы Получено решение уравнения вынужденных колебаний первого груза Найден предельный цикл с двумя переключениями с периодом, равным периоду предельного цикла второго груза, построены фазовые траектории и

е1 fs

формы колебаний при различных параметрах задачи Показано, что предельный цикл существует при всех значениях параметров задачи В отсутствии вязкого трения установлено свойство симметрии предельного цикла относительно некоторой прямой, параллельной оси скорости первого груза при отсутствии вязкого трения Обнаружена особенность поведения вынужденного колебания первого груза в окрестности целочисленных точек р = п, где п > 2 и ri G N фазовая траектория и форма вынужденного колебания значительно изменяют свою форму, а в самих точках р = п фазовый портрет состоит из п — 1 витков

В четвертом и пятом разделах проведено аналитическое и численное исследование орбитальной устойчивости найденных предельных циклов Разделение уравнений для первого и второго грузов в первом приближении (2) позволяет отдельно исследовать устойчивость предельного цикла второго груза, а затем аналитически исследовать характер орбитальной устойчивости вынужденных колебаний первого груза Доказано, что предельный цикл второго груза устойчив по Ляпунову Численно показано что при различных значениях параметров задачи, кроме случая отсутствия вязкого трения, в котором требуется дополнительное исследование, вынужденные колебания первого груза орбитально устойчивы, причем скорость стремления соседних фазовых траекторий к предельному циклу прямо пропорциональна разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорциональна скорости ленты Построена зависимость нормы матрицы последования, которая определяет скорость стремления возмущенных движений к предельному циклу, от параметров задачи

В третьей главе задача об автоколебаниях типа "stick-slip" в двухмассовом осцилляторе под действием сухого трения в отсутствии вязкого трения решена в общей постановке, близкой к рассмотренной в одной из работ польского ученого Я Аурейцевича где исследовалась подобная модель в случае постоянства амплитуды колебаний, рационального отношения частот и кусочно-кубической модели трения В его работе представлен приближенный метод нахождения периодических и квазипериодических решений и выведены приближенные уравнения, определяющие динамику автоколебательной системы В данной диссертации удается аналитически най-

ти и исследовать характер орбитальной устойчивости предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями

В первом разделе исследованы три режима движения системы, каждый из которых описывается своей системой дифференциальных уравнений в матричной безразмерной форме

Х + КХ = F, (3)

XI , F = 0 , к = 1 -X

Х2 Vf/fs -XV XV

к2 ггц

* = и , ь ' ^ = — «1 + К2 ТП2

Найдено решение системы (3) в каждом из трех возможных режимов Х2 < V Х2 > V И Х2 = V

Во втором разделе аналитически доказано фундаментальное свойство симметрии фазовых траекторий предельных циклов типа 'вЬск-Бир" с двумя переключениями

Теорема Фазовая траектория предельного цикла с двумя переключениями в четырехмерном фазовом пространстве симметрична относительно плоскости образованной прямыми Х\ = И.\ = = (1 — х)-1 и х2 = = ~ Х)-1' т е проекции фазовой

траектории но плоскости (0:1,3:1) и (хг,х%) симметричны относительно прямых XI = /11 их 2 = /12 (рис 3)

В третьем разделе найдены главные колебания системы, а затем па основании фундаментального свойства симметрии фазовых траекторий найдено два типа предельных циклов прямой и обратный (рис 3), рождающихся при /г = /„ из соответствующих главных колебаний Построены фазовые траектории и формы колебаний этих циклов при различных значениях параметров задачи Численно изучена зависимость периодов колебаний прямого и обратного циклов от параметра а = [(/г//5) — при фиксированных параметрах

X и г?

В четвертом и пятом разделах проведено аналитическое исследование характера орбитальной устойчивости найденных предельных циклов Для исследования устойчивости используется метод точечного отображения Пуанкаре, изложенный в третьем разделе первой главы Рассматриваются только такие возмущенные движения, которые совершают за один оборот вокруг предельного цикла два

переключения и которые состоят из режимов Х2 < v и х? = v Для них доказано, что их возмущения по обеим координатам выравниваются за один оборот вокруг предельного цикла т е если (у, z) - начальные возмущения по обеим координатам, а {у,"г) - конечные возмущения, то у ~ 2 Это утверждение позволяет значительно упростить численное исследование устойчивости предельных циклов Построена зависимость нормы матрицы последования, которая определяет скорость стремления возмущенных движений к предельному циклу, от параметра а для прямого и обратного циклов при различных фиксированных значениях параметров х и V

В заключении приведены основные результаты и выводы

• Рассмотрена задача о существовании и устойчивости предельных циклов типа stick-slip' для двойного осциллятора состоящего из двух масс первая масса соединена пружиной с неподвижной опорой вторая соединена пружиной с первой и находится на движущейся с постоянной скоростью ленте с сухим трением Первая масса подвержена действию вязкого тре-

ния

В ограниченной постановке задачи, в предположении, что масса второго груза много меньше массы первого груза, а жесткость пружины соединяющей грузы, много меньше жесткости первой пружины аналитически определены предельные циклы типа "stick-slip" с двумя переключениями и их периоды Показано что период прямо пропорционален разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорционален скорости ленты Построены фазовые траектории и формы колебаний при различных значениях параметров задачи

Численно изучен характер орбитальной устойчивости предельных циклов типа stick-slip" Показано, что при различных значениях параметров кроме случаев отсутствия вязкого трения, предельные циклы орбитально устойчивы причем скорость стремления фазовых траекторий к предельным циклам прямо пропорциональна разности величины трения покоя и скольжения и обратно пропорциональна скорости ленты

В отсутствие вязкого трения в общей постановке задачи без ограничений на величины масс грузов и жесткостей пружин аналитически доказано фундаментальное свойство симметрии фазовых траекторий предельных циклов типа "stick-slip' На основании этого свойства определены два типа предельных циклов с двумя переключениями прямой цикл и обратный цикл, рождающиеся из главных колебаний при равных величинах трения покоя и скольжения Определены периоды предельных циклов, построены фазовые траектории и формы колебаний при различных параметрах задачи Показано, что периоды прямого и обратного циклов прямо пропорциональны разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорциональны скорости ленты, при этом период прямого цикла также обратно пропорционален отношению масс первого и второго грузов Обратный цикл существенно не меняет формы и существует при различных параметрах задачи Прямой цикл существенно меняет форму при изменении параметров задачи и существует в ограниченной области параметров

• Численно изучен характер орбитальной устойчивости прямого и обратного циклов Устойчивость обратного цикла наблюдается до некоторого критического значения отношения разности величин трения покоя и скольжения к скорости ленты, после которого цикл теряет устойчивость Устойчивость прямого цикла наблюдается не только при малых значениях этого отношения, но и для некоторых параметров задачи, либо во всей области существования, либо в некоторой ее части

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 Хизгияев С В Аналитическое исследование автоколебательной механической системы с кусочно-постоянной моделью сухого трения// Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения - М ВЦ РАН 2006 с 84-92

2 Хизгияев С В Автоколебания двухмассовой механической системы с кусочно- постоянной моделью сухого трения / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения -М ВЦ РАН 2007 с 106-125

3 Хизгияев С В Автоколебания двухмассового осциллятора с сухим трением //ПММ Т 71 Вып 6 2007 с 1004 1013

4 Хизгияев С В Автоколебания двухмассовой механической системы с кусочно постоянной моделью сухого трения// Труды IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» посвященной 105-лети ю Н Г Четаева Иркутск ИДСТУ 2007 Т 5 с 247-260

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 2.^ . О /, О8 Формат 60x90 1/16 Уел печ л 0,?5 Тираж {Ой экз Заказ ¿?3

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

Глава 1. Общая постановка задачи и вводные замечания

1.1. Постановка задачи.

1.2. Общие уравнения движения

1.3. Основные определения

1.4. Орбитальная устойчивость и метод ее исследования

Глава 2. Ограниченная постановка задачи об автоколебаниях двухмассового осциллятора под действием сухого трения

2.1. Уравнения движения в ограниченной постановке

2.2. Предельный цикл одного груза на движущейся ленте.

2.3. Вынужденные колебания.

2.4. Аналитическое исследование орбитальной устойчивости

2.5. Численное исследование орбитальной устойчивости.

Глава 3. Общая постановка задачи об автоколебаниях двухмассового осциллятора под действием сухого трения.

3.1. Линейные режимы движения

3.2. Фундаментальное свойство предельных циклов

3.3. Главные колебания и предельные циклы

3.4. Аналитическое исследование орбитальной устойчивости

3.5. Численное исследование орбитальной устойчивости.

Актуальность работы. Изучение автоколебаний, возникающих под действием сухого трения, является актуальной задачей. Механические втоколеба-ния играют важную роль в различных областях механики, техники, оптики, акустики, радиотехники и электроники. Примерами таких колебаний служат колебания струны скрипичных музыкальных инструментов, шум ведущего колеса локомотива на рельсах при трогании с места или тормозного башмака на колесах, скрип дверных петель и т. д. Основным режимом таких колебаний является предельный цикл типа "stick-slip" с двумя переключениями. Диссертация посвящена отысканию таких предельных циклов и исследованию характера их орбитальной устойчивости.

Цель диссертационной работы. Основной целью диссертации является поиск предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями, исследование их свойств и характера устойчивости в двухмассовом осцилляторе, состоящем из двух грузов, соединенных пружиной. Первый груз движется по неподвижной прямой и соединен пружиной с неподвижной опорой. Второй груз находится на горизонтальной ленте, движущейся с постоянной скоростью. Между лентой и вторым грузом действует сила сухого трения. Первый груз подвержен действию вязкого трения.

Научная новизна. Результаты разделов 1.1-2.2 являются вспомогательными, а результаты разделов 2.3 - 3.5 являются новыми. Они базируются на общих теоремах теории колебаний и теории устойчивости предельных циклов. Среди этих результатов наиболее существенным является аналитическое обоснование фундаментального свойства симметрии предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями в отсутствии вязкого трения. Это свойство позволило построить предельные циклы с двумя переключениями и провести исследование характера их орбитальной устойчивости.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты дают представление о виде, свойствах предельных циклов типа "stick-slip" с двумя переключениями и характере их орбитальной устойчивости.

Используемые методы. В работе используются методы теории колебаний, в том числе метод точечного отображения Пуанкаре для исследования орбитальной устойчивости предельных циклов.

Достоверность результатов. Результаты диссертационной работы обоснованны. Они базируются на общих теоремах теории колебаний и теории устойчивости. Все аналитические выкладки, численные расчеты и построение различных графиков, диаграмм и фазовых портретов проводились с помощью программы символьных вычислений Maple 10.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах и конференциях:

- Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук. проф. С. Я. Степанова, д.ф.м.н. В. С. Сергеева и проф. А. В. Карапетяна, 2006 г.

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 2006, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г.

- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад. РАН В. В. Румянцева, чл.-корр. РАН В. В. Белецкого, проф. А. В. Карапетяна, 2007 г.

- Международная конференция молодых ученых «Ломоносов-2007». МГУ им. М. В. Ломоносова, 16-21 апреля 2007 г.

- IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня 2007 г.

- Шестой международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1-6 августа 2007 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в четырех печатных работах, одна из них опубликована в журнале, который входит в перечень ВАК. Список работ приведен в списке литературы [69-72].

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

Механические автоколебания, возникающие под действием сухого трения играют важную роль в различных областях механики, техники, оптики, акустики, радиотехники и электроники. Примерами таких колебаний служат извлечение звука в музыкальных смычковых инструментах [93, 98, 105, 106, 113, 117, 128, 129, 137], шум ведущего колеса локомотива на рельсах при тро-гании с места или тормозного башмака на колесах, скрип дверных петель, колебания вала в плохо смазанных подшипниках [4, 145].

Изучение автоколебаний было начато работами Пуанкаре [2, 49, 50]. Он предложил методы отыскания и исследования свойств предельных циклов. Термин "автоколебания" ввел в 1928 г. A.A. Андронов [2, 4]. Он заложил основы теории автоколебаний, впервые связав их с предельными циклами Пуанкаре. Оказалось, что автоколебания имеют широкую область применения. В фундаментальной работе A.A. Андронова [4], впервые опубликованной в 1937 году, систематически изложена теория нелинейных колебаний в системах с одной степенью свободы, охватывающая большое число автоколебательных систем, встречающихся в инженерной практике.

В 30-х годах XX века теория автоколебаний была дополнена в работах Ван-дер-Поля [17] в применении к радиотехнике. В трудах последователей школы Мандельштама и Папалекси [38, 39] на основе методов Пуанкаре теория автоколебательных систем стала мощным средством исследования в других областях механики, физики и техники.

Затем в СССР и на Западе появилось большое количество обобщающих монографий [4, 5, 11, 12, 18, 20-24, 28, 32, 34, 35, 41, 45, 52-55, 59, 60, 64, 67, 68, 112, 129, 137] и статей прикладного характера [83, 85, 87], посвященных механическим автоколебаниям под действием силы сухого трения.

В данной диссертационной работе сделана попытка теоретически обосновать некоторые результаты экспериментальных исследований автоколебаний, возникающих в скрипичных музыкальных инструментах, с помощью аналитического исследования модели двухмассового осциллятора с сухим трением.

ИСТОРИЯ ИЗУЧЕНИЯ ВОПРОСА КОЛЕБАНИЙ СМЫЧКОВЫХ МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Акустика [112, 129, 137] является обширной областью применения методов исследования различных автоколебательных систем. Несмотря на то, что первые прототипы смычковых музыкальных инструментов были изобретены более двух тысяч лет назад, теория возникновения звука в смычковых инструментах, представляющая большой интерес для современной механики, до сих пор не получила полного развития. Скрипичные музыкальные инструменты, имеющие совершенные звуковые характеристики, были созданы в XVII—XVII 1-х веках итальянскими мастерами Амати, Страдивари, Гварнери. Их изготовление и усовершенствование происходило методом проб и ошибок, а знания, полученные опытным путем, передавались от мастера к ученику.

Теоретические исследования автоколебаний, возникающих в смычковых музыкальных инструментах, были начаты лишь во второй половине Х1Х-го века. Научное же исследование скрипичных инструментов более чем на век отстало от создания шедевров в скрипичном искусстве. Это связано с отсутствием математического аппарата, позволяющего описать явления, возникающие в музыкальных инструментах, а также с наличием большого числа параметров, от которых зависит звук. Сейчас во многих странах ведутся исследования физических процессов формирования звука в смычковых инструментах, разрабатываются методы их расчета. Эти работы базируются прежде всего на анализе лучших старинных инструментов.

В середине Х1Х-го века начали появляться работы, посвященные исследованию колебаний струн музыкальных инструментов. Важным трудом в этом направлении явилась работа Джона Вильяма Стрэтта (лорд Рэлей) [58], в которой достаточно полно изложены достижения в теории колебаний струн к концу Х1Х-го века. В этой работе заложен фундамент общей теории колебаний, получившей затем особенно широкое развитие в связи с электрическими колебаниями.

Простейшей схемой, моделирующей механизм возникновения колебаний струны смычковых музыкальных инструментов, является упруго-закрепленный груз, лежащий на движущейся ленте (рис. 1). Качественное объяснение этого механизма возбуждения автоколебаний было высказано Рэлеем [58]. Рэлей считал, что "способность смычка поддерживать колебания струны связана с тем, что трение при средних скоростях меньше, чем при малых" (рис. 2).

Количественная теория механических автоколебаний была разработана в 1932 г. С.П. Стрелковым для двух крайних случаев: для колебаний, близких к синусоидальным [56, 57], и для колебаний релаксационного типа [27]. Оба случая представляли собой результат распространения на механические системы общих методов теории автоколебаний, разработанной главным образом для целей радиотехники. В основе обеих работ лежало одно и то же предположение (в том числе и у Рэлея [58]), что характеристика силы трения в функции относительной скорости в некоторой области имеет падающий участок (рис. 2). Примером колебаний близких к синусоидальным является исследованный Стрелковым С.П. маятник Фроуда-Жуковского [22, 56, 57].

В [26] показано, что при построении теории механических автоколебаний достаточно учета зависимости сил трения от скорости, пренебрегая зависимостью трения от времени и от других факторов. В дальнейшем этот экспериментальный факт использовался в большинстве работ при построении моделей сухого трения.

В [74] показано, что частота колебаний скрипичной струны, возбуждаемой кулоновским трением смычка о струну в области падающей зависимости силы трения от относительной скорости и определяется с высокой степенью точности только частотой собственных колебаний струны.

В 1930 г. была опубликована статья Дена Гартога [102], в которой исследовались периодические движения линейного гармонического осциллятора под действием сухого "кулоновского" и вязкого трений. Этой задаче также посвящены работы [103, 125-127]. Колебаниям скрипичной струны посвящены также работы Витта А. А. [15, 16].

Левитан Е.С. [119] изучил устойчивость периодических движений линейного осциллятора с трением на периодически движущемся основании. Хандел М.С. [116] исследовал периодические движения осциллятора с трением, когда груз лежит на периодически колеблющейся опоре, причем груз и опора могут взаимодействовать не только с помощью сухого трения, но и с помощью силы упругости между грузом и опорой [116]. В [146, 147] изучена устойчивость таких периодических движений с помощью отображения Пуанкаре.

В работах [130, 131] изучена устойчивость кусочно-линейного осциллятора под действием сухого и вязкого трений при возмущении начальных условий.

В работе [78] удалось найти решение в аналитическом виде для линейных осцилляторов, движущихся под действием сил сухого кулоновского трения на периодически колеблющейся опоре. Предпосылки результатов этой работы заложены в [133, 140], а также в работах, посвященных движению осциллятора на ленте, движущейся с постоянной скоростью [82, 122, 148]. Позже исследование было продолжено в работах [114, 115, 149], а также [123, 124], в которых дан достаточно полный обзор литературы.

На Западе механические модели, в которых возникают автоколебания под действием сухого трения, в том числе и линейный осциллятор, получили название "stick-slip" ("прилипание-скольжение") в силу того, что в них наблюдается два типа движения: когда груз неподвижен относительно ленты и когда груз скользит относительно ленты.

Обзор работ, посвященный феномену "stick-slip", можно найти в [104]. Исследованию систем типа "stick-slip" для осциллятора с одной и двумя степенью свободы посвящены работы [76, 77, 79-81, 99, 100, 108-111, 120, 121, 139, 141, 151, 152], исследование этой задачи встречается также в ряде общих трудов по нелинейной механике [4-6, 8, 12-14, 21, 25, 28, 34, 37, 43, 45, 53,

55, 56, 59-61, 63, 67, 68, 75].

Отметим, что линейный осциллятор (рис. 1) используют не только для моделирования колебания струн смычковых музыкальных инструментах, но и для исследования закона сухого трения. История исследования законов трения достаточно полно освещена в работах [8, 9, 29, 30, 47, 62, 66, 82, 142, 143]. Отметим, что на практике не наблюдается чистого сухого трения. Во многих работах современных авторов показано, что в силе сухого трения необходимо учитывать также вязкую составляющую.

Большое количество работ, посвященных системам типа "stick-slip" (рис. 1) с одной [1, 83, 85] и двумя степенями свободы [84, 87, 90-92], принадлежат польскому ученому Я. Аурейцевичу. В его работах принята кусочно-кубическая аппроксимация закона сухого трения f(v — х) = /о sign(v - х) — а(v — х) + (5{v — i)3.

В работах [83, 85, 91] явление автоколебаний исследуется с помощью анализа производной от энергии по времени. Установлено существование устойчивых и неустойчивых положений равновесия и устойчивых и неустойчивых предельных циклов типа "stick-slip" с одной [83, 85] и двумя [91] степенями свободы. На основе метода Крылова-Боголюбова-Митропольского для системы с двумя степенями свободы [10, 91] аналитически найдена формула для амплитуды устойчивых предельных циклов. В других работах Яна Аурей-цевича исследование периодических, квазипериодических и хаотических движений автоколебательных систем проводится с помощью численного анализа [87-90]. Вопросу устойчивости периодических движений посвящена работа [86], в которой даются определения, позволяющие расширить понятие устойчивости для квазипериодического и хаотического движения.

В работе [84] исследовалась модель, изучаемая в данной диссертации во второй главе, в случае постоянства амплитуды колебаний, рационального отношения частот и кусочно-кубической модели трения. В этой работе представлен аналитический приближенный метод нахождения периодических и квазипериодических решений. Выведены усредненные уравнения движения и уравнения стационарных движений системы.

Ряд работ [19, 31, 33, 44, 48, 93, 96, 105, 106, 112, 113, ИЗ, 128, 129, 137] посвящен основам акустики и исследованию скрипичных музыкальных инструментов, в которых можно найти практические советы по изготовлению смычковых инструментов. В этих работах приведены результаты экспериментальных исследований зависимости свойств звука от параметров смычковых инструментов и приведены основные количественные и качественные характеристики инструментов. В результате экспериментальных исследований найдены следующие интересующие нас результаты:

1) амплитуда колебаний струны определяется силами давления смычка, коэффициентами трения покоя и скольжения и скоростью движения смычка;

2) величина упругости связи струны с декой оказывает существенное влияние на тембровые качества инструмента. С увеличением жесткости звук становится ярче, и выделяются высокие частоты.

В диссертации делается попытка аналитически проверить эти результаты экспериментальных исследований с помощью изучения двух модельных автоколебательных систем с двумя степенями свободы с кусочно-постоянной моделью сухого трения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 152 наименований. Общий объем диссертации 111 страниц.

Заключение

Рассмотрена задача о существовании и устойчивости предельных циклов типа "stick-slip" для двойного осциллятора, состоящего из двух масс: первая масса соединена пружиной с неподвижной опорой, вторая соединена пружиной с первой и находится на движущейся с постоянной скоростью ленте с сухим трением. Первая масса подвержена действию вязкого трения.

В ограниченной постановке задачи, в предположении, что масса второго груза много меньше массы первого груза, а жесткость пружины, соединяющей грузы, много меньше жесткости первой пружины, аналитически определены предельные циклы типа "stick-slip" с двумя переключениями и их периоды. Показано, что период прямо пропорционален разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорционален скорости ленты. Построены фазовые траектории и формы колебаний при различных значениях параметров задачи.

Численно изучен характер орбитальной устойчивости предельных циклов типа "stick-slip". Показано, что при различных значениях параметров, кроме случаев отсутствия вязкого трения, предельные циклы ор-битально устойчивы, причем скорость сходимости фазовых траекторий к предельным циклам прямо пропорциональна разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорциональна скорости ленты.

В отсутствие вязкого трения в общей постановке задачи без ограничений на величины масс грузов и жесткостей пружин аналитически доказано фундаментальное свойство симметрии фазовых траекторий предельных циклов типа "stick-slip". На основании этого свойства определены два типа предельных циклов с двумя переключениями - прямой цикл и обратный цикл, рождающиеся из главных колебаний при равных коэффициентах трения покоя и скольжения. Определены периоды предельных циклов, построены фазовые траектории и формы колебаний при различных параметрах задачи. Показано, что периоды прямого и обратного циклов прямо пропорциональны разности коэффициентов трения покоя и скольжения и обратно пропорциональны скорости ленты, при этом период прямого цикла также обратно пропорционален отношению масс первого и второго грузов. Обратный цикл существенно не меняет формы и существует при различных параметрах задачи. Прямой цикл существенно меняет форму при изменении параметров задачи и существует в ограниченной области параметров.

• Численно изучен характер орбитальной устойчивости прямого и обратного циклов. Устойчивость обратного цикла наблюдается до некоторого значения отношения разности коэффициентов трения покоя и скольжения к скорости ленты, после которого цикл теряет устойчивость. Устойчивость прямого цикла наблюдается не только при малых значениях этого отношения, но при некоторых параметрах задачи - либо во всей области существования, либо в некоторой ее части.

1. Аврейцевич Я., Дзюбак Л.П. Регулярное и хаотическое движение нели-нейного квазиавтономного осциллятора с кулоновым и вязким трени-ем// В1сник технолоНчного ун1верситету Под1лля. 2003. Т 1. Ч. 1. № 56.С. 59-66.

2. Андронов АЛ. Собрание трудов. М.: Изд-ва АН СССР. 1956. 538 с. М.: Физматгиз. 1959. 916 с.

3. Андронов А.А. Теория точечных преобразований Пуанкаре-Брау- эра-Биркгофа и теория нелинейных колебаний. Вестник АН СССР.1944. № 6. 100-101.

4. Апдропов А.А., Витт А.А., Хайкин Э. Теория колебаний. М.: Физ- матгиз. 1959. 915 с.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний: уч.иос. М.: Дрофа. 2004. 592 с.

6. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа. 1980. 480 с.

7. Биркгофф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: изд.дом "Удмурт- ский Университет". 1999. 480 с.

8. Вибрации в технике: Справочник в 6-ти т. Колебания нелинейных ме- ханических систем. Т.2. Нод ред. Блехмана И.И. М.: Машиностроение.1979. 351 с.

9. Блехман И.И., Доюанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемеш,ение. М.:Наука. 1964. 412 с.96

10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в тео- рии нелинейных колебаний. М.: Физматгиз. 1963. 410 с.И. Булгаков Б.В. Колебания. М.:Гостехтеориздат. 1949. Т. 1. 464 с.

11. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нели- нейных колебаний. М.: Наука. 1987. 384 с.

12. Бутенин Н.Б. Элементы теории нелинейных колебаний. М.: Суднром- гиз. 1962. 195 с.

13. Бутенин Н.В. Теория колебаний. М.: Высшая школа. 1963. 187 с.

14. Витт А.А. К теории скрииичной струны// Журнал технической фи- зики. 1936. Т. 6. Вып. 9. 1459-1479.

15. Витт А.А. Дополнение и поправки к моей работе "Колебания скри- пичной струны" // Журнал технической физики. 1937. Т. 7. Вып. 5. 542-545.

16. Ван-Дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний// Связьтехиздат. 1935.

17. Горелик Г. Колебания и волны. М.: Физматгиз. 1959. 572 с.

18. Горлов A.M., Леонов А.Н. Нропзводство и ремонт смычковых музы- кальных инструментов. М.: Легкая индустрия. 1975.

19. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск: Изд-во Крас- ноярск, ун-та. 1995. 430 с.

20. Ден Гартог Дж.. Механические колебания. Пер. с 4-го амер. издания Обморшева А.И. М.:Физматгиз. 1960. 464 с.97

21. Жуковский Н.Е. О движении маятника с трением в точке подвеса. Пол- ное собрание сочинений. М.: Физматгиз. 1948. Т. 1. 397-383.

22. Журавлев В. Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука. 1988. 328 с.

23. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От ма- ятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука. 1988. 368 с.

24. Иовлев Ю.А. Теория механических колебаний: курс лекций. Л.:Б. Н. 1965. 91 с.

25. Кайдановский Н.Л. Природа механических автоколебаний, возникаю- щих нри сухом трении //ЖТФ. 1949. Т. 19. Вып. 9. 985-995.

26. Кайдановкий Н.Л., Хайкин Э. Механические релаксационные коле- бания. //ЖТФ. 1933. Т. 3. Вып. 1. 17-28.

27. Каудерср Г. Нелинейная механика. Пер. с немецкого Нановко Я.Г. М.: ИЛ. 1961. 778 с.

28. Крагельский И.В., Щедрое B.C. Развитие науки о трении. Сухое трение. М.: АН СССР. 1956. 233 с.

29. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение. 1977. 526 с.

30. Комаров Н.А. Федюнин Н. Изготовление и ремонт щипковых му- зыкальных инструментов: Учеб. для средних проф.-техн. училищ. М.:Легпромбытиздат. 1988. 272 с.

31. Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. М.: Совет- ское радио. 1973. 320 с.98

32. Кузнецов Л.А. Акустика музыкальных инструментов: Справ. М.: Лег- промбытиздат. 1989. 368 с.

33. Кузнецов А.В., Кузнецов СП., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматгиз. 2002. 292 с.

34. Лайда П. Автоколебания в системах с конечным числом стененей сво- боды. М.: Наука. 1980. 360 с.

35. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравне- ний// Автоматика и телемеханика. 1940. № 5. 4-66.

36. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Эди- торияал УРСС. 2004. 496 с.

37. Мандельштам Л.И. Лекции но колебаниям. Полное собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР. 1955. Т. 4. 511 с.

38. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов А.А., Витт А.А., Го- релик Г.С, Хайкин Э. Новые исследования нелинейных колебаний.Радиоиздат. 1936. 95 с.

39. Матроеов В.М., Фмногекко Я.Л. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения// НММ. 1994. Т. 58. Вын. 6.С. 3-13.

40. Мизулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.И. Основы теории колебаний. М.: Наука. 1978. 392 с.

41. Неймарк Ю.И. Метод точечного отображения в теории нелинейных ко- лебаний. М.: Наука. Гл.ред.физматлит. 1972. 472 с.

42. Обмершее А.Н. Введение в теорию колебаний: уч.нос. для втузов. М.:Наука. 1965. 276 с.99

43. Оберберг В. О пружине в скрипке// Сб. работ комиссии по музыкаль- ному инструментоведению. М. 1926. Вып. 1. 52-56.

44. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит. 1991. 256 с.

45. Папалекси Н. Д., Андронов А. А., Горелик Г. С, Рытое М. Неко- торые исследования в области нелинейных колебаний, проведенные вСССР, начиная с 1935 г. - УФН. Т. XXXIH. вып. 3. 1947. 335-352.

46. Первозванный А.А. Трение - сила знакомая, но таинственная// Соро- совский образовательный журнал. 1999. W 2. 129-134

47. Подгородный Т. Пружина, душка и подставка в скрипке и других смыч- ковых инструментах// Сб. работ комиссии по музыкальному инстру-ментоведению. М. 1926. Вып. 1. 57-65.

48. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнепи- ями. М.: Гостехиздат. 1947. 392 с.

49. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. М.: Наука. 1971. Т. 1. 771 с.

50. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. 1972. Т. 2. 999 с.

51. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1984. 432 с.

52. Розенвассер Е.П. Колебания нелинейных систем. М.: Наука. 1969. 575 с. 54J Рытое СМ. Развитие теории нелинейных колебаний в СССР. Радио-техника и электроника. УФН. 1947. 335-352.

53. Стокер Док.. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ. 1952. 264 с.100

54. Стрелков СП. Введение в теорию колебаний. М.: Наука. 1964. 440 с.

55. Стрелков СП. Маятник Фроуда //ЖТФ. 1933, Т. 3. Вып. 4. 563-573.

56. СтреттД.В. (Лорд Релей). Теория звука. М.: Изд-во иностр. лит. 1955. Т. 1. 503 с.

57. Теодорчик К. Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат. 1944. 104 с.

58. Тимошенко СП., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. Корнейчука Л.Г. М.: Машиностроение. 1985. 472 с.

59. Тот К.П. Теория механических колебаний. Пер. с англ. О.В. Лужина. М.: Машгиз. 1963. 351 с.

60. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.: Мир. 1973. 336 с.

61. Тондл А. Автоколебания механических систем. М.: Мир. 1979. 429 с.

62. Трубецков Д.И., Рооюнёв А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Физ- матлит. 2001. 416 с.

63. Филлипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной нравой ча- стью. М.: Наука. 1985. 223 с.

64. Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях, возникающих в ди- намике систем с сухим трением //Соросовский образовательный жур-нал. 1999. № 8. 122-127.

65. Хаяеи Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.:"Мир". 1968. 432 с.101

66. Хейл Дою. Колебания в нелинейных системах. М.:"Мир". 1966. 232 с.

67. Хизгияев СВ. Аналитическое исследование автоколебательной механи- ческой системы с кусочно-постоянной моделью сухого трения// Задачиисследования устойчивости и стабилизации движения. — М.: ВЦ РАН.2006. 84-92.

68. Хизгияев В. Автоколебания двухмассовой механической системы с кусочно-иостоянной моделью сухого трения// Задачи исследованияустойчивости и стабилизации движения. — М.: ВЦ РАН. 2007. 106-125.

69. Хизгияев СВ. Автоколебания двухмассового осциллятора с сухим тре- нием //ПММ. Т. 71. Вып. 6. 2007. 1004-1013.

70. Эйлер Л. Оиыт новой теории музыки, ясно изложенной в соответствии с непреложными нринципами гармонии. -СНб.: "Нестор-Нстория". 2007.273 с.

71. Юзвинский В. Об автоколебаниях системы, аналогичной язычку гармо- нии и кларнета //ЖТФ. 1934. Т. 4. Выи. 7. 1295-1305.

72. Яблонский А.А., Норейко СС Курс теории колебаний: для машино- строит., мех., приборостроит. и строит, спец. втузов. М.: Высшая школа.1965. 255 с.102

73. Anderson I. Stick-slip motion in one-dimensional continuous systems and systems with several degrees-of-freedom. Ph.D. Thesis. Chalmers Universityof Technology, Goteborg, Sweden. 1980.

74. Anderson J.R., Ferri A. A. Behavior of a Single-Degree-of-Freedom System with a Generalized Friction Law//Journal of Sound and Vibration. 1990.V. 140. № 2. P. 287-304.

75. Andreaus U., Casini P. Dynamics of friction oscillators excited by a moving base and/or driving force//Journal of Sound and Vibration. 2001. V. 245.№ 4. P. 685-699.

76. Armstrong-Helouvry B. A Perturbation Analysis of Stick-Slip //Friction- Induced Vibration, Chatter, Squeal, and Chaos, Proc. ASME WinterAnnual Meeting. 1992. DE-Vol. 49. P 41-48.

77. Armstrong-Helouvry B. Friction Lag and Stick-Slip// Proc. Int. Conf. on Robotics and Autom. Nice. France: IEEE. 1992. P. 1448-14453.

78. Armstrong-Helouvry B. Stick-Slip and Control in Low Speed Motion// IEEE Tran. on Autom. Control. 1993. V. 38. W 10. P. 1483-1496.

79. Armstrong-Helouvry В., Dupont P., Canudas de Wit С A survey of a models anaysis tools and compensation methods for the control of machineswith friction //Automatica. 1994. V. 30 K^ 7. P. 1083-1138.

80. Awrejcewicz, J. Analysis of self-excited vibrations due to nonlinear friction in one degree of freedom system// Sci. Bull. Lodz Tech. Univ. 1983. № 66.P. 21-28. (in Polish)

81. Awrejcewicz J. Analysis of self-excited vibration due to dry friction in a 103system with two degrees of freedom//Sci. Bull. Lodz Techn. Univ. 1993. Z.82. №635. P. 921-931.

82. Awrejcewicz J. Bifurcation and chaos in simple dynamical systems. Singapore: World Scientific. 1989. 136 p.

83. Awrejcewicz J. Some comments about stability//Journal of Sound and Vibration. 1990. V. 137. № 1. R 159-160.

84. Awrejcewicz J.,Dzyubak L. Stick-slip chaotic oscillations in a quasi- autonomous mechanical system.// International Journal of NonlinearSciences and Numerical Simulation. 2003. V. 4. № 2. P. 155-160.

85. Awrejcewicz J.,Dzyubak L. Quantifying smooth and nonsmooth regular and chaotic dynamics// International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005.V. 15. № 6. P. 2041-2055.

86. Awrejcewicz J.,Dzyubak L. Stick-slip chaos prediction in self-excited two-dof hysteretic system with friction// International Journal of Bifurcation andChaos. 2007. V. 1. Л•^ 1. P. Ы 7 .

87. Awrejcewicz J., Dzyubak L., Grehogi C. Estimation of chaotic and regular (stick-slip and shp-slip) oscillations exhibited by coupled oscillators withdry friction// Nonlinear Dynamics. 2005. V. 42. № 2. P. 383-394.

88. Awrejcewicz J., Krodkiewski J. Analysis of self-excited vibration due to nonlinear friction in two-degree-of-freedom system/ Mechanika. z. 67. № 429.1984. P. 13-30. (in Polish)

89. Awrejcewicz J., Olejnik P. Friction pair modeling by a 2-dof system: numerical and experimental investigations //Special Issue of InternationalJournal of Bifurcation and Chaos. 2005. V. 15. № 6. P. 1931-1944104

90. Benade A. H. Fundamentals of Musical Acoustics. New York: Oxford University Press. 1976. 608 p.

91. Birkhoff G.D. Dynamical system with two degrees of freedom. Trans.Amer.Math.Soc. 1917. № 18. P. 199-300.

92. Birkhoff G.D. Nouvelles recherches sur les systemes dynamique. Mem.Pont.Acad.Sci.Novi.Lyncaei. 1935. № 1. P. 85-216.

93. Bothe D. Periodic Solutions of Non-Smooth Friction Oscillators. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 1999. V. 50.No 5. P. 779-808.

94. Capone G., D'agostino V., Valle S.D., Guida D. Influence of the vibration between static and kinetic friction on stick-slip instability// Wear. 1992.№ 161. P. 121-126

95. Gremer L. The Physics of the Viohn. MIT Press. 1984. 474 p.

96. Gveticanin L. The motion of a two-mass system with non-linear connection// Journal of Sound and Vibration. 2002. V. 252. № 2. P. 361-369.

97. Dankowicz H. and Nordmark A. B. On the origin and bifurcations of stick- slip oscillations. Physica D. 2000. V. 136. Я^ 3-4. R 280-302.

98. D'Souza A. F., Dweib A. H. Self-Excited Vibrations Induced by Dry Friction, Part 2: Stability and Limit-Cycle Analysis //Journal of Soundand Vibration. 1990. V. 137. Я^ 2. P. 177-190.

99. Den Hartog J.P., Forced Vibrations With Combined Viscous and Coulomb Damping// Philos. Mag. 1930. V. VII. m 9. R 801-817.105

100. Den Hartog J.P. Forced Vibrations With Combined Coulomb and Viscous Friction //Transaction of the American Society of Mechanical Engineers.1931. Paper № APM-53-9. P. 107-115.

101. Feeny В., Guran A., Hinrichs N., Popp K. A historical review on dry friction and stick-slip phenomena// Applied Mechanics Review. № 51. P.321-341.

102. Fletcher N. H., Rossing T. D. The Physics of Musical Instruments. Springer- Verlag. 1998. 756 p.

103. Jansson E. Acoustics for violin and guitar makers. — Internet: http://www.speech.kth.se/music/acviguit4/

104. Galvanetto U., Bishop S. R. Dynamics of simple damped oscillator undergoing stick-slip vibrations/ Meccanica. 1999. № 13. P. 337-647.

105. Galvanetto U., Bishop S. R., Briseghella L. Mechanical stick-slip vibrations/ International Journal of Bifurcation and Chaos. 1995. V. 5. JV^ 3.P. 637-651.

106. Galvanetto U., Knudsen G. Event Maps in a Stick-Slip System// Nonlinear Dynamics. 1997. № 13, P. 99-115.

107. Hall D. E. Basic Acoustic. Harper & Row, Publishers, New York. 1985. 345 p.106из. Hirschberg А., Kergomard J., Weinreich G., eds. Mechanics of MusicalInstruments, Springer-Verlag. 1995. 369 p.

108. Hong H.-K., Liu C.-S. Coulomb friction oscillator: modelling and responses to Harmonic load and base excitations//Journal of Sound and Vibration.2000. V. 229. Я5 5. P. 1171-1192.

109. Hong H.-K., Liu C.-S. Non-sticking oscillation formulae for Coulomb friction under harmonic loading. // Journal of Sound and Vibration. 2001.V. 244. Я^ 5. P. 883-898.

110. Hundal M.S. Response of a base excited system with Coulomb and viscous friction //Journal of Sound and Vibration. 1979. V. 64. № 3. P. 371-378.

111. Hutchins СМ., Benade V. Research Papers in Violin Acoustics: 1975 - 1993. - Internet:http://www.catgutacoustical.org/research/books/vlnacous/

112. Kleczka M., Kreuzer E., Schiehlen W. Local and global stability of piecewise linear oscillator// Philos. Trans: Phys. Sci. Eng., Nonlinear Dynam. Eng.Syst. 1992. V. 338. № 1651. P. 533-546.

113. Levitan E.S. Forced oscillation of a string-mass system having combined Coulomb and viscous damping// Journal of Acoustical Society of America.1960. V. 32. № 10. P. 1265-1269.

114. Liang J.-W., Feeny B. F. Wavelet analysis of stick-slip signals in oscillator s with dry-friction contact//Journal of Vibration and Acoustics. 2005. V.

116. Liene R.L Bifurcation in discontinious mechanical systems of Filippov-type. PhD thesis. Technische Universiteit Eindhoven. 2000.107

117. Ыепе R.I., Van Сатреп D.H., De Kmker А., Van Den Stem L. Stick-slip vibration induced by alternate friction models // Nonlinear Dynamics. 1998.V. 16. № 1. P. 41-54.

118. Liu C.-S., Chang W.-T. Frictional behaviour of a belt-driven and periodically excited oscillator// Journal of Sound and Vibration. 2002.V. 258. K^ 2. P. 247-268.

119. Luo A.C.J., Gegg B.C. Force product criteria of sliding motion in a forced linear oscillator including dry friction // ASME 2005 IDETC/CIE. Sept.2005. Long Beach. California. USA.

120. Makris N., Constantinou M.C. Analysis of motion resisted by friction. I. Constant Coulomb and linear Coulomb friction. // Mechanics of Structureand Machine. 1991. № 19. P. 477-500.

121. Makris N., Constantinou M.C. Analysis of motion resisted by friction. II. Velocity-dependent friction. // Mechanics of Structure and Machine. 1991.№ 19. P. 501-526.

122. Marui E., Kato S. Forced vibration of a base-excited SDOF system with Coulomb friction. // American Society of Mechanical Engineers Journal ofDynamic System, Measurement and Control. 1984. V. 106. P. 280-285.

123. P. M. Morse. Vibration and Sound. American Institute of Physics for the Acoustical Society of America. New York. 1991. 468 p.

124. Morse P.M., Ingard K. U. Theoretical Acoustics. McGraw-Hill. 1968. 949 p.

125. Natsiavas S. Stability of piece-wise linear oscillators with viscous and dry friction damping// Journal of Sound and Vibration. 1998. V. 217. № 3. P.507-522.108

126. Natsiavas S., Verros G. Dynamic of oscillation with strongly nonlinear asymmetric damping// Nonlinear Dynamics. 1999. № 20. P. 221-2461.

127. Olsson. H. Control Systems with Friction. PhD thesis. Lund Institute of technology. Univ. of Lund.// Journal of Sound and Vibration. 2001. V. 244.№ 5. P. 883-898.

128. Ossowski A. Asymptotic behavior of an oscillator excited by dry friction// Journal of Sound and Vibration. 1999. V. 222. № 4. P. 521-530.

129. Pascal M. Dynamics and stability of a two degree of freedom oscillator with an elastic stop// Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2006.V. 1. m 1. P. 94-102.

130. Pascal M. Analitical investigation of the dynamics of a non linear structure with two degree of freedom // ASME 2005 IDETC/CIE. Sept. 2005. LongBeach. California. USA.

131. Pascal M., Stepanov S.Ya. Periodic solutions and stability of piecewise- linear vibratory systems // Четвертые Поляховские чтения: Избранныетруды. Спб: "ВВМ". 2006. 84-94. - Internet:http://www.math.spbu.ru/Polyakhov/Polyakhov_reading.pdf

132. Pierce A.D. Acoustics: an Introduction to Its Physical Principles and Applications. McGraw-Hill. 1981. 678 p.

133. Poincare A. Methodes nouvelles de la mecanique celeste. 1892.

134. Popp, K. Steltcr, P. Stick-slip vibrations and chaos. 1990. Fhil Trans. R. Soc. London A332. P. 89-105.

135. Popp K., Hinrichs N., Oestreich M. Analysis of a Self-Excited Friction 109Oscillator With External Excitation. Dynamics with Friction ( Guran A.,Pfeiffer F., Popp K., editors). World Scientific: Singapore. 1996. P. 1-35.

136. Pratt T. K., Williams R. Nonlinear Analysis of Stick-Slip Motion. // Journal of Sound and Vibration. 1981. V. 74. No 4. P. 531-542.

137. Rabinowicz E. The Nature of Static and Kinetic Coefficients of Friction //Journal of Applied Physics. 1951. V. 22. № 11. P. 1373-1379.

138. Rabinowicz E. Friction and wear of materials. New York: Wiley. 1995. 336 p.

139. Senator M. Existence and stability of periodic motion of a harmonically forced impacting system // Journal of the Acoustical Society of America.1970. № 47. P. 1370-1397.

140. Shin K., Brennan M.J., Oh. J.-E., Harris C.J. Analysis of disc brake noise using a two-degree-of-freedom model// Journal of Sound and Vibration.2002. V. 254. №- 5. P. 837-848.

141. Shaw S.W., Holmes P.J. The dynamic of a harmonically excited system having rigid amplitude constraints// Journal of Sound and Vibration. 1983.V. 90. № 1. P. 129-155.

142. Shaw S. W. On the dynamic responce of a system with dry friction// Journal of Sound and Vibration. 1986. V. 108. № 2. P. 305-325.

143. Sikora J. On the infiuence of viscous damping on the properties of mechanical system with friction// ZAMM. Zeitschrift fur AngewandteMathematik und Mechanik. 1991. V. 71. No 4 P. 63-66.

144. Stefaski A., Wojewoda J., Eurmanik K. Experimental and Numerical Analysis of Self-Excited Friction Oscillator. // Chaos, Solitons Fractals.2000. V. 12. No 9. P. 1691-1704.110

145. Teufel A., Steindl A., Troger H. On nonsmooth bifurcations in simple friction oscillator/ PAMM. 2005. V. 5. № 1. P. 139-140.

146. Thomsen J.J., Fidlin A. Analitical approximations for stick-slip vibration amplitudes// International Journal of Nonlinear Mechanics. 2003. V. 38.№ 3. P. 389-403.

147. Yeh G.C.K. Forced vibration of a two-degree-of-freedom system with combined Coulomb and viscous damping// Journal of the Acoustical Societyof America. 1966. V. 39. X^ 1. P.14-24.I l l