Фундаментальные периодические решения плоской задачи теории упругости для двухкомпонентных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Еременко Наталья Борисовна

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Санкт-Петербург 2004 г.

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (г. Санкт-Петербург).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Греков Михаил Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Петров Юрий Викторович доктор технических наук, профессор Господариков Александр Петрович

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения Российской Академии Наук.

Защита диссертации состоится 2004г. в часов на

заседании диссертационного совета Д.212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Университетский пр., 28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан

2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук профессор

Зегжда С.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкое применение слоистых композитов и материалов с покрытием, обладающих периодичностью структурной неоднородности (перфорация, локальные точечные дефекты типа вакансий и примесей и др.) или подверженных внешним воздействиям периодического характера (например, точечные крепления пластин) приводит к необходимости решения соответствующих краевых задач механики. Поэтому нахождение функций Грина (или фундаментальных решений) в аналитическом виде для подобного рода задач, является актуальным. Последней проблеме в случае плоской задачи теории упругости и посвящена данная работа, в которой рассматривается периодическая система сосредоточенных сил и краевых дислокаций, расположенных в двухкомпонентной плоскости, и в композите полоса-полуплоскость.

Многие исследователи проявляли интерес к построению функций Грина для различного типа задач. Среди них: W.Thomson (Lord Kelvin), J.Boussinesq, Flaman, V.Volterra, G.Stokes, В.Новацкий , J.Fraiser, J.Dundurs, V.Fabrikant, M.Kachanov, В.Купрадзе, Г.Черепанов, Н.Хуторянский, А.Линьков, КХДаль, А.Романов, и многие другие. Были найдены функции Грина, отвечающие действию одиночной силы (Fraiser and Rongved, Dundurs, Линьков), периодической системы сил (Линьков) и одиночной краевой дислокации (Head, Мига) в соединенных полуплоскостях из различных материалов. Главным достоинством этих фундаментальных решений является их явное выражение через элементарные функции. В то же время не было замечено, что можно получить единые выражения для функций Грина, отвечающих действию и сил и дислокаций (одиночных или периодических). Преимущество таких выражений проявляется, в частности, в унификации метода построения соответствующих интегральных уравнений. В случае тела с пленочным покрытием или тонкой пластины с краем из другого материала оказалось, что функции Грина, отвечающие одиночной дислокации, удается представить только в интегральном виде. Это следует из работ Дандерса с соавторами, а также работ Гуткина и Романова. Аналогичные решения при действии периодической системы сил и дислокаций в таких композитах до сих пор не исследовались.

Цель работы. Построение и анализ периодических функций Грина для упругой неограниченной и полуограниченной двухкомпонентной среды, находящейся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния.

Научная новизна работы. Построены фундаментальные периодические решения уравнений теории упругости для соединенных полуплоскостей и для композита полоса-полуплоскость при действии периодической системы сосредоточенных сил и/или одиночных краевых дислокаций. В случае композита полоса-полуплоскость для функций Грина предложена приближенные зависимости в виде

рос национальная]

БИБЛИОТЕКА I 3

распределение напряжений в рассматриваемых двухкомпонентных композитах в зависимости от различных геометрических и физических параметров задач при действии периодической системы сосредоточенных сил.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается математической. корректностью постановки задач, использованием строгих аналитических методов, а так же сравнением с результатами других авторов.

Практическая значимость.. Построенные в диссертации фундаментальные решения позволяют формулировать и решать целый класс двумерных краевых задач для упругих сред с тонким покрытием, содержащих внутри себя периодически расположенную систему произвольных отверстий и включений, в частности, трещин и тонких включений. Решения .таких задач важны, на практике для оценки прочности и надежности разнообразных изделий в промышленности (например: элементов мостов и судовых конструкций, дорожных покрытий с дренажными системами), а также представляют интерес в горной механике при планировании систем горных выработок. Так, анализ различных очагов разрушения (дефектов структуры тела, полостей, трещин, тонких включений и пр.) позволяет оценить состояние поверхностного слоя и адгезионную прочность композита. С другой стороны, по экспериментальным испытаниям поверхностного слоя можно оценить, внутреннее состояние тела, его "дефектность", если знать основные особенности взаимодействия внутренних дефектов тела с его поверхностным слоем.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Построение фундаментальных решений уравнений теории упругости для соединенных полуплоскостей с различными упругими свойствами, отвечающих действию периодической системы сосредоточенных сил и/или, одиночных краевых дислокаций, расположенных на. прямой, параллельной границе раздела.

2. Построение фундаментальных решений уравнений теории упругости в композите полоса-полуплоскость при действии периодической системы сосредоточенных сил и/или одиночных краевых дислокаций.

3. Анализ зависимости напряженного состояния рассмотренных двухкомпонентных композитов от различных геометрических и физических, параметров задачи при действии периодической системы сосредоточенных сил.

Методами. исследования являются: аналитические методы математической физики, теории функций комплексного переменного, теории упругости; численные методы решений интегральных уравнений; компьютерное моделирование, компьютерная графика.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 58

наименований. Работа изложена на 102 страницах, содержит 18 рисунков и 1 таблицу.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XXIX (1998г.) и на XXX (1999г.) научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ «Процессы управления и устойчивости»; на XXXV( 1999г., Псков) и на XXXVI (2000г., Витебск) международных семинарах "Актуальные проблемы прочности", на научных семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ под руководством профессора Даля Ю.М., на научном семинаре кафедры теории упругости математико-механического факультета СПбГУ под руководством профессора Н.Ф. Морозова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Во введении приводится обзор литературы, касающейся рассматриваемых в работе проблем, обосновывается актуальность данной работы и дается краткое изложение существа работы. Изложен простой способ построения интегрального уравнения, основанный на одновременном использовании двух фундаментальных решений (для сил и дислокаций).

В первой главе рассматривается задача о действии периодической системы сосредоточенных сил и/или дислокаций в двухкомпонентной упругой плоскости, которая представляет собой соединение полуплоскостей с различными упругими свойствами. Решение задачи ищется при условии идеального сцепления на границе контакта и произвольных условиях на бесконечности. Используется аппарат теории функции комплексного переменного и модифицированные соотношения Колосова-Мусхелишвили. В основу решения положен метод суперпозиции, который для данной задачи заключается в том, что ее решение находится в виде суммы решений двух задач:

1. Задачи для однородной плоскости, в которой действует периодическая система сосредоточенных сил или находится периодическая система краевых дислокаций

2. Задачи для двухкомпонентной плоскости, в которой эти силы и дислокации отсутствуют, а напряженно-деформированное состояние определяется некоторыми неизвестными комплексными потенциалами (функциями Колосова - Мусхелишвили).

Математически это выражается в виде следующих формул, которые в данном случае являются аналогом формул Колосова — Мусхелишвили.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

сг = Фу (г) - Фу(1) + (2 - г)Ф'у(г)+^1уЕ(г,г)

2/ш = Kj |Фу(г)& + 1 Фу(¿)й£ -(2 - г)фу(г,г)+г) (2)

Здесь ст^-компоненты напряжений, сг = сг22 —/сг,2; и-щ+ ш2 \щ,и2 -

компоненты вектора перемещении в декартовой прямоугольной системе

координат х,,х2 (г = Х1 + ¿х2 ); со - угол поворота материальной частицы;

//у - модуль сдвига у - ой среды; lcJ■ - параметр, характеризующий тип

плоской задачи; Е, и - соответствующие функции, выраженные через известные комплексные потенциалы первой задачи Ф(г)и ^(2).

Функции Фу (г) находятся из условий идеального сцепления на границе

контакта. Подставляя приведенные соотношения (1)-(2) в условия непрерывности усилий и перемещений на границе контакта, сводим решение задачи к последовательному решению двух задач Гильберта (задач о скачке кусочно-голоморфных функций). Решив их, получаем явные выражения для комплексных потенциалов Ф|(г) и ФгС^) через функции Ф(г) и при

произвольных условиях на бесконечности.

В результате получаем функции Грина в виде элементарных функций, которые отвечают периодическому полю напряжений и деформаций. При этом перемещения могут быть непериодическими. Следует подчеркнуть, что эти формулы включают в себя оба случая периодических воздействий в составной плоскости — и действие сил, и наличие дислокаций.

Проведен анализ входящих в эти формулы величин, задаваемых на бесконечности. Выведены зависимости, которые связывают напряжения и углы поворота, заданные в верхней и нижней полуплоскостях на бесконечности. Из них следует, что условия на бесконечности нельзя задавать независимо, а именно: периодическое напряженно-деформированное состояние двухкомпонентной плоскости однозначно определяется при задании условий на бесконечности только в одной среде.

Полученное в работе выражение для перемещений содержит непериодическую часть в виде линейной функции от Полагая

коэффициенты при равными нулю, получаем периодическое поле перемещений данной задачи. В частности, функции Грина для нижней полуплоскости имеют вид:

Г,',+<722 +/-^-® =-4Н[сгЕ(4'-Со)+К2Яс18(^-Со)]+ ^ + 1

+ 4НК.2(Со -?о)созес2(С~Го) + 4/Н(К2А +1) + +4^ст1со +2Ш(Я-аг1)]ДС1 +1)

2/4 ы = ^^ {(К2лг,Л + К, )1п р2 + (кг, + А)1п рх + ¡х}+

л

+ 2/—- - Со) -—КмССо-СоШС-Со) +

л л

+ (С - О - К 2 [ш - Со ) + Н(Со - Со ) созес2 £ - )+ шя]+ л

+ ^77 |н(А-лг, -К2лг,Я-К,)+ -+

Для верхней полуплоскости выражения аналогичны.

Здесь К(,К2 - коэффициенты, зависящие от упругих постоянных сред; Н - комплексная величина, характеризующая сосредоточенное воздействие; Л — вещественный параметр, значение которого зависит от типа сосредоточенного

воздействия; ЕГ — произвольная постоянная; а* - параметры, связанные с величинами, заданными на бесконечности; С = а .

Таким образом, главным результатом данной главы являются соотношения (3)-(5) и аналогичные им соотношения для верхней полуплоскости, которые определяют периодические перемещения и напряжения в соединенных полуплоскостях при действии в них периодической системы сосредоточенных воздействий.

Отличительной особенностью этих соотношений является их универсальность в том смысле, что они отвечают действию как сосредоточенных сил, так и краевых дислокаций.

Во второй главе строятся периодические функции Грина для композита полоса-полуплоскость, который является двумерной моделью упругого тела с поверхностным слоем. При этом упругие свойства слоя отличаются от аналогичных свойств основного материала. К поверхностным слоям можно отнести, например, всевозможные покрытия (дорожные, антикоррозионные и др.), а также тонкие наружные слои материалов, образовавшиеся в результате внешнего воздействия (химического, радиационного, температурного, силового и др.) или в процессе изготовления.

Рассматривается задача о действии периодической системы сосредоточенных сил и/или краевых дислокаций в двухкомпонентной упругой полуплоскости, которая представляет собой соединение полосы (среда 02) с полуплоскостью (среда При этом упругие свойства полосы и

(5)

полуплоскости различны. На границе контакта полосы с полуплоскостью выполняются условия идеального сцепления, на границе среды заданы периодические усилия р0, а на бесконечности заданы напряжения и угол поворота материальной частицы.

В соответствии с принципом суперпозиции решение задачи ищется в виде суммы решений трех задач:

1. Задачи для однородной плоскости с упругими постоянными среды ЗД, в которой действует периодическая система сосредоточенных сил или находится периодическая система краевых дислокаций.

2. Задачи для однородной полуплоскости с упругими постоянными среды Лг» при действии на границе некоторых неизвестных усилий р и нулевыми

условиями на бесконечности.

3. Задачи для двухкомпонентной плоскости, напряженно-деформированное состояние которой определяется неизвестными комплексными потенциалами, требующими определения.

Математически это выражается в виде следующих формул:

2ц}и = к} ¡ФJ (г)йЬ + |Ф(г)йг - (г - 2)ф,.(г)'+ V} г) (7)

Здесь 2], 1_Г| — решение перовой задачи, выраженное через комплексные потенциалы Ф] (г) и Ч* ](г)„ которые отвечают действию периодической системы сосредоточенных сил или краевых дислокаций в однородной плоскости; а функции 2г» ^г описывают решение второй задачи и выражены через комплексный потенциал

где - ширина полосы, - уравнение границы

раздела, р(1) - неизвестная функция.

Решение задачи ищем при условии, что

Первое равенство в (9) отвечает действию самоуравновешенной периодической нагрузки на границе среды, второе - условию периодичности перемещений.

Неизвестные комплексные потенциалы Фу фактически представляют собой сумму решения периодической задачи для двухкомпонентной упругой

плоскости, полученного в первой главе, и решения задачи контакта упругой полосы с полуплоскостью, полученного в работе М.А.Грекова и В.А.Курочкина в виде функции от неизвестного потенциала (8).

Подставив эти решения в (6) и (7), находим напряжения и перемещения исходной задачи как функции от .

Переходя во втором соотношении в (6) к пределу при стремлении z к границе композита, приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной функции р

p(Xl)+ Jm, (/,*, )p{t)dt + jM2(f,x, ЩЛ = A>(*i) - G(w0)

—со —со

где ядра М|, М2 определяются соотношениями:

(10)

Здесь \\>0=Х1+Л; и>2=-х1+2»й; - коэффициенты, зависящие от

упругих постоянных, - известная периодическая

функция, отражающая наличие сосредоточенных периодических воздействий. При отсутствии последних эта функция равна нулю.

Единственность решения уравнения (10) следует из механического смысла функции /?(х,) . Действительно, однородное уравнение, полученное из (10) при нулевой правой части, может иметь только нулевое решение. В противном случае существовало бы ненулевое напряженное состояние композита при нулевых условиях на бесконечности, нулевых граничных условиях и отсутствии периодической системы возмущений, что нереально.

В работе также показано, что аналогичное интегральное уравнение имеет место и в том случае, когда периодические точечные воздействия расположены в полосе.

Решение интегрального уравнения (10) ищем в виде ряда Фурье

Подставив (11) в (8), а затем полученное выражение для функции Ф2 - во второе равенство в (6), после соответствующих преобразований приходим к функциональному соотношению - аналогу интегрального уравнения (10)

jfc=+oo р __.

2 F*Ä*(Hb)+CtS4(in,)J=Ai(*,)-C(wo). *,е(-оо;+со) . (12)

Функции , Л* таковы, что левая часть этого соотношения является рядом Фурье, коэффициенты которого зависят от коэффициентов Правая часть уравнения (12) совпадает с правой частью уравнения (10). Поскольку последняя является гладкой функцией, то, разлагая ее в ряд Фурье, находим связь коэффициентов Сц с коэффициентами этого ряда.

Таким образом, решение искомой задачи может быть записано в виде функциональных рядов. Выведенные в работе соотношения позволяют определить напряжения и перемещения в композите полоса-полуплоскость при действии периодической системы сил или краевых дислокаций в полуплоскости и усилий на границе полосы. Если граница полосы свободна от внешних усилий, то эти выражения - суть периодические функции Грина для рассматриваемого композита, представленные в виде суммы функциональных рядов и периодических функций Грина для двухкомпонентной плоскости.

Если усилия на границе описываются гармонической функцией, а сосредоточенные воздействия отсутствуют, то выражения для напряжений и перемещений представляются в замкнутом виде. Приведен пример, когда нагрузка на границе представлена в виде одной первой гармоники.

Необходимо отметить, что при приближении линии действия сил к границе композита функция неограниченно возрастает вблизи точек

приложения сил. В предельном случае эта функция с точностью до Постоянного множителя равна сумме дельта функций Дирака, что соответствует действию периодической системы сил на границе.

Наличие локального всплеска у функции в пределах одного

периода, когда расстояние от линии действия сил до границы значительно меньше, этого периода, существетю ухудшает сходимость к этой функции ее ряда Фурье. Чтобы избежать связанной с этим обстоятельством проблемы, неизвестные коэффициенты ищем методом коллокаций. Для этого ряды в (11)и(12) заменяем соответствующими отрезками при —N£kйN и считаем, что уравнение (12) удовлетворяется в конечном числе точек, принадлежащих одному периоду. В результате приходим в общем случае к системе + 1 линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ск.

С помощью этого метода автором разработан алгоритм и реализована программа для персонального компьютера, позволяющая исследовать влияние различных геометрических и физических параметров задачи на искомые функции.

В качестве критерия точности численного решения взят интегральный критерий, позволяющий найти наименьшее число гармоник ряда Фурье (11), отвечающее заданному значению точности.

Величину И, т. е. число слагаемых в (11), определяем из условия

где е - малая величина, характеризующая относительную погрешность аппроксимации (12) в смысле условия (13), и

Ь = | ^{с^м+с^м}^ , I = Др0(*,)-*(**)]&, (14)

Таким образом, условие (13) служит критерием точности решения интегрального уравнения (10) и дает возможность найти наименьшее число гармоник ряда Фурье (11), отвечающее заданному значению £.

Заметим, что критерий (13) можно использовать и при отыскании коэффициентов Ск путем разложения функции (5(н'0) в ряд Фурье. .При отсутствии ярко выраженного всплеска у этой функции, этот путь, вероятно, может быть белее выгодным. При наличии же такого всплеска метод коллокаций позволяет сгущать узловые точки в окрестности особой точки, что улучшает сходимость метода.

В третьей главе исследуются зависимости основных характеристик напряженно-деформированного состояния композита от геометрических и упругих параметров задачи.

Представлены графики распределений напряжений вблизи и на границе раздела двух сред при действии периодической системы сил и проведен их анализ.

Вычисления проведены для случая, когда периодическая система сил действует в среде П]. Отдельно рассматриваются случаи действия горизонтальных и вертикальных сил.

По формулам, полученным при решении задачи, рассмотренной в первой главе, построены графики распределения нормальных и касательных напряжений вдоль линий, параллельных границе раздела двух полуплоскостей, включая и саму границу, при различных значениях расстояния от линии действия сил до границы раздела и различном отношении модулей сдвига. Анализ построенных зависимостей показал:

• Начиная с расстояния, равного периоду, удаление точек приложения сил от межфазной границы практически не меняет форму соответствующих кривых (изменяется только величина напряжений). Причем в каждом полупериоде кривые имеют ось симметрии. То есть в этих случаях усилия ст22(х) И <Т]2(х) ведут себя как тригонометрические функции зт(х) или соб(х).

• При приближении точек приложения сил к межфазной границе свойство такой симметрии пропадает, а сами кривые приближаются к аналогичным кривым, соответствующим действию одиночной силы.

• Если верхняя среда более жесткая, чем нижняя, то экстремальные значения напряжений на линиях больше, чем при противоположном соединении. В то же время, характер зависимостей сохраняется.

• Напряжения быстро затухают при увеличении Л.

На основе подхода, изложенного во второй главе, проведена серия численных экспериментов, целью которых было выяснить, прежде всего, можно ли ограничиться одной только первой гармоникой для получения приближенного решения интегрального уравнения с заданной точностью, и при каких условиях это возможно. Ответы на эти вопросы дают возможность указать границы, в пределах которых периодические функции Грина для композита полоса-полуплоскость могут быть представлены в простейшем аналитическом виде.

Был проведен также анализ влияния ширины полосы, расстояния от линии действия сил до границы раздела и отношения модулей сдвига двух сред на особенности распределения напряжений вдоль границы раздела и вблизи нее.

Численные эксперименты, проведенные для случая свободной границы композита (р0 а 0), показали, что одна первая гармоника обеспечивает

точность £ = 0,01, если и е-0,001, если у0 <А-1,3а. Так как

у0 й 0, то первое условие всегда выполняется при А £ а, а второе - при

А > 1,3а. Здесь у0 — расстояние от линии приложения сил до границы контакта

полосы с полуплоскостью, а - период.

В этих случаях при любом фиксированном значении у0 решение интегрального уравнения можно записать в виде

при действии вертикальных сил Р2 (Р\ - 0 ) и

при действии горизонтальных сил Р1 (Р2=0).

Соотношения (15), (16) полностью согласуются с отмеченным выше характером распределения напряжений в соединенных разномодульных полуплоскостях при действии периодической системы сил на достаточном удалении от линии раздела.

В предположении, что решение интегрального уравнения имеет вид (15) или (16) в работе проведен анализ зависимости коэффициентов при различных значениях ширины полосы. На рис. 1 представлены результаты вычислений в случае действия горизонтальных сил Р1 = 1. Значениям й/а = 0;0,1;0,2;0,3 соответствуют цифры 0, 1, 2, 3. При этом принято

Из анализа решений интегрального уравнения можно сделать вывод, что при уменьшении расстояния от линии приложения сил до границы полосы при фиксированном значении периода достижение той же точности, требует большее число гармоник. Например, в случае, когда

для достижения точности

£■ = 0.01;: потребовалось 12, гармоник. При тех же условиях для достижения точности е = 0.00! требуется уже 16 гармоник.

Рис.1

Результаты численных экспериментов, представленные на рис, 1, позволили сделать утверждение, что в том случае, когда заданная.точность достигается при помощи одной только первой гармоники, коэффициенты а1га2 можно аппроксимировать, например, экспоненциальной функцией. В частности, зависимость коэффициентов для случая действия

периодической системы горизонтальных сил при и можно

представить в виде ( рис. 2):

а,*^*" ,/ = 1,2 (17)

где

¿1 = 0,0078,с, = 4,47,62 = 0,528,с2 = 5,46 при ^/¿^ = 3 6, = -0,803,с, = 5,75,¿2 = 1,75,с2 = 5,52 при щ = 1/3

На рис. 2 сплошными и пунктирными линиями изображены точные зависимости коэффициентов а штрих пунктирными -

зависимости (17).

Рис.2

Следует отметить, что значения. коэффициентов в (17), вообще говоря, зависят от величины к. Поэтому при другой ширине полосы они будут другими.

Поскольку граница соединения двух материалов с различными свойствами является наиболее слабым местом в композите с точки зрения его прочности, то наибольший интерес представляет распределение усилий на этой границе.

В работе исследовано поведение этих усилий в случае действия периодической системы вертикальных сил, т.е. Предполагается,

что ширина полосы А, величина периода а и расстояние от границы раздела сред до линии действия сил удовлетворяют неравенству Тогда,

как показано ранее, решение интегрального уравнения с точностью е = 0,01 (в смысле критерия (13)) имеет вид одной первой гармоники ряда Фурье (формула (15)). Соответствующие этому решению усилия на границе контакта представлены на рис. 3.

у,/а-1

г,'",-3

/

/

/

У

ка-01

Рис.3

Сравнение контактных напряжений, полученных при таких исходных условиях, показывает, что чем жестче полоса, тем напряжения выше.

Заметим, что отношение //[ / = 3» для которого представлены результаты на приведенных рисунках, отвечает, например, соединению алюминиевой полосы со стальной полуплоскостью.

В работе исследовано также распределение касательных и нормальных напряжений на границе контакта полосы с полуплоскостью и в том случае, когда неравенство не выполняется, и нельзя описать решение

интегрального уравнения одной гармоникой. При построении графиков этих напряжений для получения точности потребовалось до 6 членов ряда

Фурье (для расстояния от линии приложения сил до границы раздела равного 0,3 а). Результаты соответствующих численных экспериментов приведены на рис. 4.

Из полученных графиков видно, что экстремальные значения абсолютных величин напряжений уменьшаются при удалении линии действия периодической системы сил от границы контакта. Их поведение аналогично 14

поведению соответствующих усилий, которое мы наблюдали в случае двухкомпонентной плоскости.

В отличие от контактных усилий, напряжение о^ испытывает разрыв при переходе через границу соединения. В результате счета получены зависимости, представленные на рис. 5 для композита полоса-полуплоскость при действии периодической системы вертикальных сил. При этом расстояние от линии действия сил до границы контакта полосы с полуплоскостью равно величине периода.

Из анализа поведения напряжений сгп в различных вертикальных сечениях (см. рис. 5) можно сделать следующие выводы. В более жесткой среде напряжения вблизи границы контакта по абсолютной величине больше. Напряжение «Гц постоянно в сечениях =а/4. Кроме того, в сечениях,

равноотстоящих от сечения эти

напряжения симметричны. Напряжение <Гц принимает экстремальные значения в верхней части полосы, то есть ближе к границе композита. На границе полосы напряжение принимает одно и то же значение, равное его значению на линии симметрии

В заключении приведены основные положения и выводы, вытекающие из проведенных исследований.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Греков М.А., Моисеева Н.Б. Периодические функции Грина для двухкомпонентной упругой плоскости// Процессы управления и устойчивость.

Рис.5

(Труды XXIX научной конференции). СПб.: Санкт-Петербургский университет, 1998. С. 135-142.

2. Греков М.А, Моисеева Н.Б. Фундаментальные периодические решения уравнений теории упругости для соединенных разномодульных полуплоскостей //Веста. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. № 4. С. 75-78.

3. Греков М.А., Моисеева Н.Б. Периодические системы сил и дислокаций в полуплоскости, соединенной с полосой// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (ред. К.Ф.Черных). С.-Петербург, СПбГУ. 1998. С. 118-127.

4. Еременко Н.Б. Напряженное состояние вблизи межфазной границы при действии периодических сосредоточенных сил // Механизмы деформации и разрушения перспективных материалов. Труды XXXV семинара "Актуальные проблемы прочности". Ч. 1. Псков. 1999. С. 36-41.

5. Греков М.А., Еременко Н.Б., Периодические функции Грина для полуплоскости, соединенной с полосой. //Материалы XXXVI семинара "Актуальные проблемы прочности". Витебск, 2000, с.545-549

6. Греков М.А., Еременко Н.Б. О функциях Грина для упругих сред// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (ред. К.Ф.Черных). С-Петербург, СПбГУ. 2003. С. 265-274.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 08.04 2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3220. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

»-7764