Функцii розподiлу сум незалежних випадковых величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

л - ~ Академія Наук України

! } • • ■ " '' » *

' г' ’ . • Інститут математики-»

на правах рукопису.

- ^ МОРОКА Валентина Анатоліївну , .

ФУНКЦІЇ РОЗЧОДІДУ'СУМ НКШК;Ш[вШ№ОЩ ВЗДГШ

.01. 01, 05 - теорія ймовірностей і математична'йтятястаия

\ * Автореферат -•, '

дисертації на здобуття вченого ступеня ' кандидате дЧгдао-,'зте!«тиччих наук

Київ - 1993

\

✓ „ • . Робота виконана у відділі теорії 'ригтядковихлршсів

Інститут? мате^агдкя АН України -

. - \ V '

Науковий керіг.ник кашшзт аако^атем»тя<яСлг наук

' ■ • . .ВІННШН-Я.Ф. . '

ОІііиШні -опоненти доктор ^ізико-матенятіпчих чатк

ТУРБІН А.Ф. - . '

. . кандидат ■■Т'іяико-метзадп+ичкиїс пп,гг.

ПРАЦШТІІЇІ '/.В. “ . , . •

ІІров і дна установа . Київський політехнічний ічс-лтуї '

Захист дклвргрнії РІдйудвтісч " -■" ~ 199 р. _

О ' ГОДИНІ НЯ Звсілвияі С"9ПІа!>ІЯ'"РЄ»іОІ ряди Я ГЧ.4'.50,і'Ч яр* Інституті млтч'^икй'АН України за в’рвссгн . '

356 601, Кй?Л, І?Л, -'Г'УЯ, Тчіїлма.ЧЧІЯСІ'КО, 3. ' ■ . . ~

З дасвртг>и*£»л я«!»в ояч»Го«:п^',л У їі&гіочрьі тггиїтуїг. -

Авторяферпт розиляч«,' __________________ _ г* • ■'

'Впиняй сзкгптрр 1у і

>пе(:іялі?,'?:п,,о? і'«’»?. ’ * /ч/ 'І у *■''

ТКА* Л.в.

і:

\

N ' ,

ч

— /

’ Актуальність теми. Апарат функцій розподілу є однии із потужніших інструментів теорії іішвірностей, який має глибоке історична коріння. При вивченні вигляду Функцій розподілу часто доводяться користуватись методами теорії функцій та функціонального аналізу, наприклад, відомою теоремею Лебега про розклад функцій обмаханої варіації / сама для функцій розподілу вона пареформульована, наприклад, Лоевом /1955 р.//.

Добре відома також теорема Д«ессена - Вінтнара про частоту функції розподілу нескінченної згортки дискретних розподілів. Ця теорема виявилась дуїє зручним інструментом пря дослідженні нескінченно розділених розподілів та взагалі в арифметиці. функцій розподілу. Неодноразово звертався до неї В.М. Золотарьов, який запропонував декілька варіантів її аналогів для сингулярних розподілів /1975-1979 p.p./.

Приклади, які демонструють той факт, що згортка скінченного числа сингулярних розподілів може мата ненульозі і сингулярну, і абсолютно неперервну складові,'зустрічається у багатьох монографіях / наприклад, у В. Феллєра, 1966р./ Пря ньому питання про нескінченні згортки вка виявляється набагато складнішим. Деякі методи досліджень у ньому напрямку містяться в роботах Лукача / 1979 р,, метод характеристичних функцій / та Райха / 1981 р. /. Але навіть у самих конкретних випадках, наприклад, коли розглдцеять-ся -випадковий степеневий ряд з однаково розлоділениш бар-нулліївськими коефіцієнтами, питання про вид Функції розподілу суш ряду остаточно не розв’яяане.

Цікавість до таких об’єктів, як сингулярні розподіли, фрактальні к^мві та ін. значно зросла .за останній час. .

Але перша монографія російською ' шво®, яка містить цілісне викладення матеріалів в цій області, була опублікована лише у 1992 р. А. Ф. Турбінам та М, В. Лрацевитим і, безперечно,, відкриває нові шляхи у дослідженні тих об'єктів, яким присвячена і дана дисертація.

Мета роботи.1. Вивчення виду функцій розподілу випадків:«

іЛ’ЄПОНЄБИХ рядів. 4

2. Знаходження .углов абсолютної неперервності функцій розподілу випадкових рядів. ' .

3. Зведення задачі вивчення виду Функції розподілу випадкового ряду до віівчєння добутків випадкових .чатрипь.

. Методика досліджень. В роботі впкористЬвуотьсч результати з теорії сумування випадкових величин, теорії функцій те функціонального аналізу, методи теорії характеристичних функцій та матричні методи.

Наукова новизна._ В дисертації доведена неможливість побудови природного аналога теореми Дгессена - Вінтнера для нескінченної згортки сингулярних розподілів. Показано, що аналогічне пій теоремі твердження має мі cue для влпадкових степеневих рядів, незалежно . від виду функцій розподілу доданків ряду. Детально вивчено взгляд функції розподілу випадкового степеневого ряду при малих значеннях параметра Знайдено деякі умови абсолютної неперервності Функцій розподілу випадкових збіжних рядів / в т. ч. випадкових степеневих ротів'/ і показано, як у деяких випадках задачу вивчення виду Лункпії розподілу випадкового степеневого ряду можна звести до вивчення добутків відповідних випадкові« матриць. ,

Практичне і теоретичне значення. Результати дисертації дозволяють у деяких випадках визначити вад Функції розподілу суми випадкового ряд.- за взглядом лтунішій розподілу доданків або в залежності від параметра, а такох розв'язувати іго задачу матричними методам.

Ці результати мочуть бути застосовані в теорії сумування незачечших випадкових величин, при вивченні випадкових степеневих рядів та згорток сингулярних- розподілів.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на:

- Міжнародній конференції до випадкових еяолтоіях /Каиівелі, 1992 р./,

- Другій Українсько - Угорській конференції по наукових напрямках в теорії Ячо?ірностеЗ та иатвма-ичній статистиці /Чукзчів, 1992 р./,

- і¥ітіі”-гт>рх інституту "лтэ-’й^пя.! Ш Укрдїаз /1^1-1993 p.p./.

Руілікішіт. Основні результати дисертації опубліковані в роботах Сі - бЗ .

Структура та обсяг дисертації, Дисертація складається із вступу і чотирьох глав, розбитих на 9 параграфів. Вона займає 75 сторінок машинописного тексту. Бібліографія містить 67 назв.

Автор виражає вдячність своєму науковому керівнику Віннішину Я.Ф. за постійну увагу до цієї роботи та невичерпне терпіння, а також проф. Дороговневу A.A. за критичні зауваження. . '

КОРОТКІЙ 'ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі обгрунтована актуальність теми дасертаиії, дано огляд найбільш близьких до цієї теми результатів, коротко викладено зміст дисертації, а також перераховано основні результати, що виносяться на захист. -

У першій главі fАналог тзорею Дчессена - Вінтнера для випадкових степеневих рядів" розглядається можливість доведення аналогічних ній теоремі тверднень для сингулярних розподілів, для випадкових рядів, яким притаманна деяка додаткова алгебраїчна структура та задача з’ясування вигляду функції розподілу суми ряду за виглядом функцій розподілу коефіцієнтів. .

З § 1 наводяться два гіпотетичні варіанти аналогу теореми Дясессена - Вінтнера дня нескінченних згорток сингулярних розподілів, сформульовані В.М. Золотарьовим, Якщо продовжувати Його ідею досягти чистоти нескінченної згрртки сингулярних розподілів шляхом накладання певних .умов на скінченну згортку, то природним заключним кроком у цьому напрямку буде наступна унова:

(А).Я8хай К Сх ; , ~ деяка послідовність сингу-

лярнгх функцій розподілу, що маять наступні дві властивості:

а) нескінченна згортка всіх Лункий послідовності збігаються до дежої функції розподілу FM,

б) нехай задано послідовність випадкових величин f к і

Р'[$«<*!* т^с). •

Позначимо через фунтам розподілу випадкової величини

Гк = ^ ' «9 <•. А «• ^.

V * € Л'- , ^ к* ' 4 , , , . с /V , ;

^ Л$7, {/¿]єМ >„ аі^оГГ,

згортка /"*Ш = П * Д-*С - V4"1 ' • *£

•*^'->7'*...'^" 11 ... *

^ ¿Г* 4 ]Гг + *--£■ *« ■

я І» *' ' / Л —

е сингулярно» функцією розподілу, '

Наступний приклад показує, що отримати твердження, аналогічне творам і Д-хаооена - Вінтнара, накладаючи якісь обмоіення на окінчзнну згортку сингулярних розподілів, кебуть таки неможливо, оскільки навіть умова (А) , яка в ньому напрямку' є наМілріі' чороткам із природник обмежень, не забезпечує чистоти , відповідної нескінченної згортка.

Приклад 1.1, Задамо послідовність випадкових величин наступним чином:' >

т •"*'

де р* - незалежні однаково розподілені бернулліївські випадкові величини, Кі- О , Р{рх я «/ = ~ ^ •

Від мнслин Ап , о будемо вимагати, ;таб

і> ¥ і */ /4' П А/ - &»

©о »

2) и де _ іР'.о.".ина натуральна* чисел,

/7-» Є

3)^ многхина /7Л містити нескінчетаб багато вг.е"ентів,

' . т

4)^7 мно'Шіа &~*0 Ал має ту властлвісти, що

' 09 9 ^ '

)*°”і де еяв'-'вчтя р-но':лн:г впорядковані за зростанням. ‘ ' у

Покладемо ^ Я ■> » -г'3 Ч' -21. ~і У* ,

. ’ к^А:'

¿ав ¿£ . • *■

ÇXS

Тоді випадкова величина 21 ^ потрійні властивості,

тобто : п** '

1. Функції розподілу випадкових величин , ... задо-

вольняють умову ( А) .

2. Функція розподілу випадкової величини е сумішшю сингулярного і абсолютно неперервного розподілів.

§ 2. ЯЙцо ряду із незалежних однаково розподілених впчадко-вях величин притаманна деяка додаткова алгебраїчна структура, то виявляється можливим довести чистоту сбункиії розподілу суми такого ряду. ,

Означення 1,1. Випадковим степеневим рядом називається

рад 2Z. 9,1~ > Я0 Ти.~ нвявла-ші однаково розподілені величини

з Функцією розподілу /"Tic) , І £ .

Радіус збірності такого ряду дорівняє майче всюди 1 або 0 в залежності від того, чи є скінченним або нескінченним

* /і / П ?

інтеграл S ґ/ос/)({/~~ґсс), де ~ Z&1 •

- Оо .

Далі, природньо, розглядаємо випадкові степеневі ряди з радіусом збіжності 1.

Теорема 1.1. При довільному фіксованому "І є J-1 ; і Г сума випадкового степ&невого ряд а має чисту функцій розподілу.

Після доведенні цієї теореми виникає природне питання: чи мотаа за виглядом функцій розподілу коз'Шшентів ряду з’ясувати, яко» саме буде функція розподілу- суми' ряду -чисто дискретною, часто с шгулярноя обо чисто абсолотно иече-рервною. Цьому питанию присвячений § 3. .

Приклад 1.2. Розглянемо випадковий степеневий ртд з бернуллІЇВСхЖІМИ К08'<ІІЦІЄНТЄЛИ 73 .

При і <іЬтктя розподілу G'fe') суш у ? 22 І

. JC * 4

буде чисто сингулярною. к

У випадку, кола ¿-¿Ф'ткиія (гСх) с абсолтнс

непврвррнот), а для ~ , де & - числа Пі зо - Відчвярагхг-

гно

f AV - <в С. ~

неперервною, а яена, ¿Va:) буде сингулярною.

В четвертому параграфі будується приклад двох сингулярних функиій розподілу, згортка .шейх має нєнулоові абсолютно неперервні і сингулярну складові і доводиться гема., в якій показано, .як до такої пари мозна доавти послідовність сингулярних функцій розподілу так, ао і нескінченна згортка всіх шх Функцій буде сумішшю абсолютно неперервної і сингулярної Функцій.

„ В главі 2 " Вид Лункиії розподілу випадкового степеневого ряду прк малих значеннях параметра ~і " більш детально досліджується залежність вигляду функції розподілу суми ряду ’ від значень його параметра, ■

В § 1 цівї глави розглядаєтеся випадок, коли коефіцієнти ряду я дискретними випацковивд величинами, ио прийчаоть скінченне 'шело значень, . •

Теорема 2.1. Нехай ... -послідовність

чисто дискретних випадкових величин, однаково розподіленая, із скінченням числом значень, така що

функція розподілу (г^(3?)е чисто сингулярною.

Наступний приклад показуг, ио не могла обрати єдиним дня всіх дискретно розподілених випадкових величин із скінченним числом значень. •

Пр'люїад 2.1. Нехай задано йшвірносний простір ж 3 Г-° '> В - міра Лебега на ньому, гс^ - к -й знак в А/-ічно^ту

розкладі ¿с із £2 . Випадкові величини ^ в:ізиач;імо співиі.п-

Тоді &. Сяс)-абсолютно неперервна 'Тщік.иіп розподілу, а О

оскільки — -* о , то загапь’'т;і іля всіх дискретних ^ункпіЗ

4/г* £ Р /" £\ - а ? < і.

* А/ М * М

розподілу інтервал с.тагта.'фг'ості не мотпр.

D tpvroM,T •’fpsrpe'i роягля'»а->ться влчагкові стелэмер; рани 2І f ii * кое'-'ї'іиівдта’чі дал* «г дискретні випадкові * ■*f *

величини з нескінченноо кілкім с? о значень ебо сингулярно р поділені випадкові величана.

Теорема 2.2. Нехай

00 оо » . ,

2Г£-*, ч *Z.*J , G <*)*s{y<*}

к Ъ 4 z * ^

Якщо f>K < С k ~1's f то існує таке -¿ає (а: її , що Vt€fO.^ уїіункиія розподілу &(Ьс]є чисто сднгуляркоп.

, ° рк Таке могка обрати рівним Л .

У випадку сингулярно розподілених коефіцієнтів р.тг/ такого загашюго "інтервалу сянгулярносгі” фунииії рззтга-ілу сута на існує. r£j '

Приклад 2.2. НехєЯ ^ ~ послідовність неяа’ївїннх однаково розподілених бернулліївс.зют випадкових величин. Р{^=о}, *{?<*>. tf-f.

* ~п

Покладемо £ ~ ZZ V ■ £ , де А - деяка підмноашна

АГ Л п

* п€ в

мночиин М кегуралліпх чисел. Будеш вимагати, щоб вона задовольняла наступні умови:

- нескінченна ’■тогина,

2. нехаї б* ¿z • - послідовність всіх елементів мнотлни

А*' , що виписані за зростанням. Тоці С- £ )= 00,

Топі для довільного Функція розподілу випадкової

■"’7ЙГ . велит,іна -J fK2 с абсолютно нелерервноа, а послідов-

2 « « у

ність пря/»-»««збігається до 0.

В третій главі "Про деякі УТ.'ОВН ’ абсолютної неперервності функцій розподілу сум випадкових радів" спочатку доводяться детаг бічьш загальні умови а^солотргог неперервності сута випадкового ряду , а потім еочи конкретизу’Г'ься на випадок випад-

ковлх степеневих рядів і ряців з дискретно розлодіденлми коефіцієнтами.

Означення. Для Функцій розподілу і (г> відстанн.о повної варіації називається ватічіша /'(¿7 0 = ^/а)~//ґа.

А є ґ &

де - <г- алгебра борелівськлх підмноаин прямої,

^ ¿р. - міри, що породжені ЙУНК1ІІЯШ розподілу і

ВІДПОВІДНО. ВІДОМО, ЩО с

•і 7и<ґм-СС‘У -- / /--- - + *

- — оо с/({«“ (т )('•> ))

Теорема 3.1, Нехай задані дві сукупності випадкових вали-.

чіт <ГЛ1, “ і ¡ЧЛГ, , причому випадкові пелл'іішн

в кот-ній сукупності незаіетлі. Позначимо через <РК і Ок

йункиії розподілу випадкових величин Тк і Чгк підпогідчо (к а -і, 2,...) . Припустимо, що:

- -

1. Рад Г ск збігаєтеся з ймовірні ста 1,’

‘ А * * ' 00

2. Для У г*> є N плпацкова величина 2! ма« абсолютно

, . ' . х *•*»

неперервну функції розподілу,

3. 00•

* 00 1

Тоді ряд 2Т ЗЙІГЕЧТ^ОЯ З "’'ОВІрнІСТИ 1 і його сума .

тел мае абсолютно неперервну функцію розподілу, ■ ‘

Наслідок. Нехай ^ - незалежні однаково розподілені випадкові величини ґк є з йункиіко розподілу /Тсс), причому

о© .

/ в* (/х})ЖГ(х J ¿оо , Нехай, крім того, задана послідов-

— «»О '

НІСТЬ незалежних випедкових величин '*£' л функції розподілу

яких рівні О відповідно.

Тоді, якщо для деякого І Функція розподілу раду

с*<3 ^

2Г ^ ^ абсолютно неперервна і ряд 2Н *^\)збіга-

к а 1 - ею ^ К ■= 1

гться, то збігаються ряд ¿Г ^ ^ і його сут теж мас

к**

Функцію розподілу.

З § 2 цієї глави дана твоі-в'.ла уточнюється на випадок

В.ШЯДКОРЛХ СТ9П9ІГ0РІІХ рядів з ДИСК 9?!Іі»М К09 мі'ІЦІЄНТЇ^/і.

Теорема 3.2. Нехаіі незале-аді однекого розподілені р :-

падкові величини (ке^/У'&піл тісто дискретну гїункціт)

розподілу^* Сх) Із скінченним ІГОСІГМ { ТГі 3 Хг , .. . / ,

Г, '*/■/» /V ?°> £ А г * .

і при деякому ¿є 7-¿С 'Тушшія розподілу суш пипад-кового степеневого рада £. ? і?* абсолютно непорорвна. її * *г #* • дільність позначимо через /ех), НехпЗ, крім того,, зачала пєугл назалетснзх випадкових велачин V з функціями розподілу

<"» ) , прйЧОУТУ ДЛЯ КОЗДОГ) КН А/ ПЯДІЛЄНО •.'НОїЗНУ

/, •** / «У0/^ *■*■<’ *е)-<?ЛсІ

, Пряпуот.гто, 'О л іконуотАсл учовч:

1. З ^і/єЯ ц$(я+и)~ /схз 1/^ < Сіи| ;

*** л <■«) 1

2, £ і*; ~ хі І < 00 ;

* и гГ ю

3. «г д: /д-л / <

* . 1 ,•»-І Ов * ■

Тоді ряд 2І_ # т збігаються і Його сут<а гас взсолзтно

.я**. * .

не перервну '¡ункгго розподілу.

Якчо більш детально відомі властивості цільності /

ї.ункпії розподілу суіга вихідного випадкового степеневого і *

ряду ¿1 , то умова попередньої теореми могла послабити.

Приклад 3.1. НехаЗ незалежні випадкові величина £ маттгь

бернуляпвська& розподіл -°І 'Р{^к% •

При {=- сума випадкового раду 21 ^'Т" ,’’ас рівномірний розподіл на £о; /7 . Нехай, крім’того затапа послідовиісті, незалежних випадкових величин ул , пгпчо’гу Iі{^

аз,>о. Припустимо, що ряд<21 — збігається і покладемо -р к * •> 2,* »

^ '¿Г ~к£і+і» Тс,ДІ Для тог°> ’Ч1"^ сУ’,г> Рсіту2Г ~ і’яла

к гі 2. я

а о со нот но неперервну •>,'нкиі з розподілу, достатньо, адб 2 /~ ^//~ ^^ /

оо ,

~ * До \ Дп+ 1 оо

Заува тю, по. із збірності раду 2- /ая-г/мшглвйє збі'.шіста

£Г /4.., - Д, /• /¿<4, - Д,., / *"

---------------------------, але можна навести пршиед наобме-

Л‘* /^ • Пя+4 <=-

явної послідовності додатних чисел Лл такої, що ¿21 — е 00

. . . , 2 відповідний ряд із веллчин А^—збіБ .».звідси, дакпія розпо-

<30 ^

лу сума ряда ^7 — абсолютно неперервна, л* ■* Zn'

При ni.oi.iy, хоча Я у?;,ова існування скінченної гранат у послідовності {зьі ыоке бути послаблена, вона виявляєтеся

разом з там в певному сенсі необхідною, оскільки не моче бути знята без додаткових об*.:а,:ень на ^ ,

Приклад 3.2. Задамо послідовність/а^/настташім чином:

7

•V

В даному випадку £- буде маги не абсоттно неперервний, а

сингулярний розподіл. ‘ . ■

В главі 4 "Застосування матричних методів при вивченні вигляну функцій розподілу випадкових степеневих рядів" показало, як у деяких випадках задачу вивчення виду функцій розподілу випадкова* степеневих рядів мотає звести до ВЛВЧЄННЯ' добутків відповідних незалежних однаково розподілених випадкових матрзпь.•

Нехай ^ $■ і , = 1-е а:/.

’ г

<=> •Г

- незаавчні однаково розподілені випадкові величини.

^ />,= ¿7 -- /V ^ .^-2. ’ .

Вважаємо, ;цо /п > 5 . „

. /77 *• *

Нехай А- нрймвдая натуральне число, дня якого

‘ і

г/ЯО

на відрізку/о / 7^/о; 4]. Длч ко-ного п<_ і? розгляне'.*!?

розблття відрізку Со ; /¡7 на однакові ічтерваял доЕгсжга ~ .

О ^ "

їх кількість А' $ ,

Точки розбиття по.ч’іатт.'о г .

О 31 к •. • < *^ С> - і ~ ^ ’

Нехай *к Г~ = *ґ/ , ¿*<Го, .

/С — 1 ь

Лема 4.1. НахаЯ 8 - дачке фіксоране додатне число. Прітусттю, що виконується умова:

<‘,.4, ... <‘г,^‘-л/'такі1що , . 4 ¡'/»У *

о < £ & . 2Г Л-. >Є % ~ <е *

у = З і /V

Тоді фшкіїія розподілу влпадкопої воличпіга £■ <їтав чисто сингулярною. г»,

Зв'яжемо Тепер з котн;ш відрізком 7вектор

V0

аґ -/¿° \ .

Ш(") ,

. <*)

Цтя випадку від’ємних номерів /<"3’’га^асмо ^ »о .

_ <%)

На наступному крої!і розбиття »я я одного ректоре <*і ,ао

• • • • г- Гт) ГУ •

відповідає г.ідрізку Га; . »;■-,7отр:ітгуг;т з векторів

я ек о, С,

що відповідають підрізкам

С»*,', _ г ґ'”*>

>г .

- 12 -

■.иічс 2 навлроджекзх ••мгряиь 6\_ (\, ... С& таких, що

/ (**■<)

ъ і і 1

і ... Ч ' і В

ґ»*1) І <*> і (■*.,) /

{/V-/?'*/ 'Ъз-А*>/ \‘£-Аи)

Елементи матрииь ¿^моада задати наступними формулами:

«‘¿І . :

Розглянемо незаіетяі однаково розподілені метриці X к, ке А1, Для кожного < Хк прзймає з ймовірністю ^ одне із значень £*» > ' ' • • • С 3 -

Позначиш ^через 2? .

2. /?хк*хХ., -.-X* . .

Вектор*"” а’“*(£- Фіксовано, £ € {о.*,... 4' і] з Імовірність 1 приііі'ае всі значення

/< . _________________________:----------

( - гя3 , т і — $ ' Є • »г гЄ*0-л .

' К-А**/

Нехай ма маємо счочагку один початковий вектор

г'г“'0- ■ '

Теорема 4,1. Нехай для Ул Є (о; /,) .

-Р {Ьї < /% Хь /< і } ° .

«її» Ьс ь /ї-

де - визначена виє випадкова матриия по ймовірностям незалежних однаково розподілених випадкові« вели чи чин .

тоді о*ушшія розподілу СУМИ вїшєдкового степеневого ряду

<£>о

ТІ £■ буде чисто сингулярною.

’ .Ратса'чпннл. Умори тйор^га будуть плг^нпйі, ипгтрклпл, у тону випадку, коїя , .

існуоть посл ідопност^/ , і '> пі ( 'і./’ У*

'і пепчу'пріт функція’ 'Р(і)! іівчртелад, АНткріч вор*'я~-

■ льпого.роялопілу / ,тр*і по • . ‘ • ■ . '

-р / / 2Л У. /- ^ ^ ^ У —> р/У)

Толі І'утіія і'озїїпділу ■'•ума ■»іппояідиогп пяггт.горзго стттч-

РІПІ

Г<тгу V *■ /* Г1Р розподілом КпеТ'ЧрІвНТІЯ ЧКОГО П'^іупо-

V ' ' *■» • . ■ •

"ж * 1 . ,

т^ро г.^ал^ту - »'.^рятт ч* , бучя члсю е?Р*гт-дри*^»

' ' 14 ~ ** ■ ■ „. . • Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. ’Винн.г.ын Я. і., Морока В.А, 0 функции распределения суладм

іиіз«гиіс.п.!мх. случайных величин // Избранные задачи современной теории случь!*шх процессов: Со. неуч. тр,- Киев: ЛМ А'^УССР , 19rG._-C.30 - 37. ' " . v * '

2. Влннашин i. i*., Морока В.А. О функциях расправления сумм слV4*itbf«x степенных радов // Стохастический анализ и его -

приложения: Сб. науч. тр. - Киев: ¡W АН УССР' , 19ё9. - C.l^ -25." ' , . ' - ’ '

3. Вйннуш.ш Я.*>., Морока В.А., О Функции .распределения су»>мы

случайного степенного ряда с произвольно распределенными ~ коїМягавнтамі /?• 1>всконвчномврнм!і чтохастическай аналиал^Сб,' науч. тр. - {Сие’в; '.".I АН Ук аинм, 1990. - С. 23 - 31, ^ - .

4. Вннишгам-Я.'}., Морока В.А. - 0 свертках сингулярных Функгмй J распределения и ячаюгах теоремы Дчессене-сВданера //Случайние про'иессы и Сескр-нечномерныМ анатиз: Сб. науч. тр, - Киев; '.V!

•чїї Украйни , 1992. - С. 9 - 16. 1 *

5. Морока В. А. К вопросу о ’ункши распределения ••су.'яы слу- •

- чайного степенного рада // Случ&Кнмэ процессы л бесконечномерный анализ: СБ. неуч. тр. - Києе; Л7. АН Украины , 1992. - .

С. 88 - 91. • " •

~ v

6. Морока В,А. О Чншмях распределения -gvum независимых случайны* величину/ Течи міхчрродної конференції, присвяченої пам'яті академіка М.П.Крпвчука, Київ - Луцьк - 1992 . - С.136,

* Підп.. до друку I0.II.9b. Сорьют 60x81/16., Папір друк. Die.друк. Ум. друк. арк. 0,93. Ум. ijapdo-відб; 0,93. СПл.-вйд> ярк. 0,7. Тираж 100 пр. Ьаг.ґГ 395. Ііезчситовно. . . ‘ .

Підготовлено'і віддруковано в І нет ;гг усі математики № України ¡¿5І60І Киїр 4, ГСП, вул. Терсшонківсд-ка, 3 .

/