Статистическое моделирование однорядного и изотропного случайного поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ІЗ 0 і 1 5 І

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ.ТАРАСА ЇЇЕЗ'ШШ

Ксі правах рукопису

РАХІМОЗ АЮЖ'Л КУШВАКОШЧ

УД( 519.21

СТЛТИСГКЧІІЕ ГІОДЗШЗАШШ одгорідюш і ІЗОТРОПНОГО ВИПАДКОВОГО по;й

01.01.05 - Теорія РмовірностєП та-катематітсна-статист:ігш

АВТОРЕ С> 8 Р А Т дисертації на здобутті; звукового етупен* кандигдта фіяіікс-математкчніп: наук

КИЇВ - І93І

Роботу виконано в Самаркандському кооперативному інституті,

Н {■-у ко рий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор, шшн-кореспондент АН України

- Ядрьнко М.П.

Офіційні опоненти - доктор технічних наук, професор Попов Ю.Д.;

кандидат фізико-математични* наук (Сачинський А,Б.

Провідна організація - Інститут кібернетики іи.В.М,Глушкора ЛІ1 України.

Захист відбудеаься " 2Ї " ае&Я^кЯ 1992 р.о №-О0 годині на засіданні спеціалізованої ради и 068Д8.ІІ в Київському університеті імені Тараса Шевченка за вдрерою; 252127, Київ -127, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факуль тет, ауд.К5 4Й. • >

1992 р,

Автореферат розіслано " /^~ "

Вчений секретар спеціалізованої ради

ед/шсыша в.І,

ЗАГАЛША ХДРАІСГЕРИС'ШІИ РОБОТИ

Актуальність теми. При розв’\:занні актуальних задач теорії автоматичного регулювання, статистичної радіофізики, статистичної оптики, теорії розпізнаванім образів, при обробці і передачі зображень, пси дослідженні шорсткості поверхонь, в геології, метеорології, астрономії виникав проблема статистичного моделювання ркпадкових полів з данями ['.иопірностніши характеристиками.

Для випадкових процесії /випадковії* функцій однієї змінної/ проблема статистичного моделювання достатньо повно розроблена; тут 0 валика кількість як теоретичних так і практичних результатів, огляд яких можна знайти в монографіях Г.Корна, С,М.Ермакова, Г.О.Михайлова, Б.Ріплі, І.Дика. Для випадкових полів /випадкових функцій багатьох змінних/ проблема іотньо ускладнюється в зв"язку з різкий збільшенням с,с5и<змів масивів ін$орлації, викликаним підсиленням розмірності простору аргументів, і залишається до ііього час/ це мало /.олііїдкенев. Варто підкреслити такоя: ні тільки актуальність, ал-з П практичну значимість цієї • проблеми; ряд вагиіивкх задач науки і техніки, пов"взаних з об-ребкоо і передачею зображень, вимагають пошуку ефективних методів статистичного моделювання різних класів випадкових полів.

Зздачі статистичного нод^лкшаннн випадкових полів розглядались (ї роботах Г.О.НихаСлисп, ї.и.Малкзеза, Ю.І.ііалагіна,' 1 ' С.Ц.Єріакова, В,Д.Попова, У.В.Козаченко, И.Й.Яцренка, „Т.Н.Тов-стик, 3.0.Гріх, В.®.Сінявсьі!0і'0, А.Ц.Зортиісеїиц. .

1-аа>«0©легуя "Ції

Мета робота. Розробка нового методу статистичного ыоделю-рышя однорідних і , ізотропних випадкових лолів на площині і в трьохвимірному просторі; оцінювання похибок моделювання в різ- . них метриках. .

Методика досліджень. В дисертації систематично використовуються результати спектральної теорії однорідних та ізотрод- ’ них випадкових полів і деякі факти з теорії бессельових функцій.

Наукова новизна. Основні наукові результати дисертації полягають в тому, що:

‘ - розроблено метод статистичного моделювання однорідного

та ізотропного випадкового поля на площині-, оснований на використанні спеціального отохастичного ряду;

- вказано оцінки для похибок моделквання з допомогою цього методу в різних метриках (середньоквадратичній, метриці соболів-ськогр простору, рівномірній);

- одержано оцінки похибок для методу статистичного моделю-

вання однорідного та ізотропного випадісоього поля в трьохвимірному просторі. ’

-Теоретична і практична цінність. Результати дисертаційної . роботи носять теоротичнийй характер і можуть бути використані : при розв"язанні прикладних задач в статистичній радіофізиці, геофізиці, сейсмології, статистичній механіці, статистичній . гідромеханіці і інших галузях науки та техніки, в яких доводит^- . ' ся мати справу з задачею числового моделювання випадкового поля а даними ймовірностними характеристиками.

Апробація pC'-fjти і публгкеції. Основні результати роботи : доповідались ца наукоша семінарах в Київському та Самаркандсь-ttOMy університетах, наукове-теоретичних конференціях професорсі>-

- З -

ко-виклвлацьксго складу Са.іаргпчдсьігсго кооперативного інституту І ОПубЛІКОЕЗДІ я [і ] - [з] .

Структура г Сі.*"пм роботи. Дисертація складаються з Вступу, децх розділім, ній розбиті на У параґрл^іп. ЗігальшШ обсяг робот:! ТО? сторінок яйсшгпис-і-'ого тексту, Бібліографія містить 60 казБ.

а,;гст роботи.

ІІврдиР. розділ яр'.ссячено статистичному моделюванню одеюрід-' них то Ізотропних випадкових полів ча плсцині.

!!в:<аП %{&]“ >1(2, ір) - однорідне та ізотропне гчпядкове поле на площині П' =(й»р) •* с!2в} 0 4(р < .

Це означав, що ^*5(2,ір) =СОП8^ (не обмотуючи овгальності Падалі припускатимемо <{>)=»0 ) і - В^) ,

;;г () - Суздаль між і очками X і Ц .

Розглянемо етокастичгай ряд

<2? -Щг,і?) = І1у% І* (£«)[й1,сюя^+ римі?

,п ~0

; .(І)

, |, со . га

де І^пГ І НЛпГт-.о - послідовності незалежних гаусеівсь-

^ ( *ТіраО ~ . ~

ких рипадкоси* врлігг.'.н і

а) М Т)гп ~~ Му,:і = 0Г для будь-якого їя-0,1,2, ;

б)

и

=і

Iа'

7П=3,

7П Ф:

?’? е»

в> м $ = '

\, '^ = 3,

О ) 7ЛЇ

тп,Ъ = 0,4;

г) 0 , тч, 5 =#,-/, й;*.. ;

• .4 -И, 7Я = 0,

д) Чт -1 г.і=0,і,г,„.\

I \ *» со > «4 ю . .

є) *? - незалежна від послідовностей {*?« [Ю1в і |^т|ія»9, Випадкова величина з функцією розподілу Р(ь) • Хг(') ,

7гі = 0, ■/, 2,... - функція Бесселя першого роду. .

Встановлюються, що поле 1 (?, <Р) в однорідним та ізотропним випадковим полем з спектральною функцією <£>('ъ) . Цей

факт і використовується при розв"язелні задачі статистичного моделювання однорідного та ізотропного випадкового поля з данов спектральною функцією.

За модель однорідного тп ізотропного поля при статистичному моделюванні ми приймай^ часткову суму ряду (І):

* Ы Г і

І* = »>5ТПІр + »^8ІП«у]

т-о <

де Ы~ /,2,3, ... .

З § 1.2 одержано оцінки для похибок виду

2

(..(КйК

= м{ Н^н,>-ілг^ҐоЧ'

* Кц J

в Кц = {*=(«,ф>: ОіШ%Оі^<і'*\ і о'л^го'г^ , я-, тії

Сформулюємо деякі: результати.

■ Теорема 1.2.1. ЯкцоДі=ілУ0(»)<««, то

4

?>г[б(//+0+ *(^*0 + «1 ю_ л

'к/^+О5 3 *^а//м

*09

. Теорема 1.2.2. Нехай^Ч9= ^Х*сІф (*)<»». Тоді

М || ?<*.<?)-5*<г.у>||8и№ <

Теорема 1.2.3. Нехай у ^ = ^с/ф (*,)<* «зо . Тоді

замовлення 701

- б -

. а . 2(//+() + а(^+0 + ^

< § (4«>, + 6«Л +?/».) ,---------<

<=г («>,+£!>,♦ •

При статистичному моделюванні однорідних та ізотропних випадкових полів з заданою спектральною функцією в ряді практичних задач дужа важливо досягти не лише близькості м*>

ДО модельованого поля | (х) = ^ (г> ЦО і еде й бути впевненим у близькості частровцх похідних = А° часткових і)0-

хідчих Ч*) до певного порядку. Тому в § І.З розглядають-

ся ритадая оцінки середньоквадеатичних похибок виду;

¥ # •

■<»

м[

Ш*,ч) _ дімЦЩ *

'ду ~ <?ф 1 » . Н)

И

\дЧШ &?>,</>) 12

1 ді . дг ІЦ(Кк)'

Шоч

7і

дч(г,у) д4«(г,ч>) ]\

Ж V дг ■ дг

l*l<R}

(5)

И

З діжу)

дір

дц

L*(Kr)

=м

а

дт*) дЧ*(*,9)л*

Vs

(6)

и

_ дгім(і^)\\г д? дг1 IIz4(KrV

f f г ^g(e.y) д'І*(г,ч>)іг,

- Пі J1 дгг дг1

Uirf**!*!*!*! *

(?)

м

д’ч&'Р) 0*6» («,ф)

дідір

дід<р

ІКя={*'-іч^} т ■>

Одержано оцінки похибок (3)-(9). Наведемо деякі з них Теорема І.З.І. Нехай^<*оо. Тоді

дї(г,Ч) дЧЛ*,*)}

*

2/У*+ ?//+ V. г(гі+2)*-+2(гі*&) + і

4 а/*

*90

Теорема І.З.2.- НехаЙуі^г. Тоді 8

дщ(г,ч) д4*(г,ч>) І2

М

дір дір ^г>+^> + г> з)

• 1 2 -гн+г^і г{гі*г)*г(Фі)ц

490

Теорема 1.3.4. НехаГу/^ = ^"Х(/ф(>)< +оо . Тоді

м

д5(г,<1>). Цц{%^)

дг дг

МКд

^«Я+ЧК4

2(л/ц)г+ г(гіи)+ і г(Жь)г+г(*+ь) + / - +

А^і)'

4 (*/*&)*

Теорема 1.3.5. Нехайу^ • Тоді нас місце

нерівність л

Зі»/4.гЛ /* «п\ 2 ^

м

дч(г,<р) дІЛ*>Ч)

дір дір

2

*г(Кя)

ЇЇгЯг/,г,!

4(у/+1$

2(^5)г+ г(^5')+і1 ъ‘ог. » ,

* ■■■ І * тт&Л'^лЩ-

■ г(^*-г)+ г(*/+г)+ Л 4(л/+г)* ]

Вказано оцінку для М\л£(Кй , Де метрика простору С.Л.Соболева.^ . .

Теорема 1.3.7. Нехаіу/д=^лУ(^(>\)<«а>. Тоді в

,г

м

5і

д*$(г,ір) д%Лг,Ч>)

дгг дгг

* т(м& + м4л**У*г

ис^в)

2Н*-* 2А/+ і

/£//

г(лг*-г)+ гр/*г)* < г№ч)*+£(*/+*)+1

+ ---------------і— + _________і________і

2(^+2)*

1Ь(Ы+4у\

Теорема 1.3.8. Не ха<♦ оо. Тоді

ЗЧ(*.Ф> д'ІЖФ) г

М

дір*

дір3

ЩКя)

г(гі*г)г+ 2(^+2) + -/ 2(^+4) +гК+4)-н

* 2(//іг)<і

2(гі*-і)+2(іїц) + /

г^з) + г(>/+з)+ і

4№**У*

±$(і*% + 6Я^ї

2№і)+Ц*/и) + < +г(*/+і\+1

+

(ЧV‘5*Л+^)

я№() + г(*/+і) + і

4(4*8.)*

Нехай

,щЩ= р.'Рі-й/Лч»)

МКц)

+

- 12 -

дгЩг,ц>) дгІАг,ч>)

дгг дг1

дг4жч)

дгду дгдр

3 гщ(ї,ір)

2

+

ЬШ) г

+

ЛМ»)

2

_ I‘

• Теорема І.ЗЛО. Нехаііу^=‘|л,о/0Сл)<#«з . Тоді для будь-якого §>0 існує таке /^в(ії) * > 4° при всіх />/>а/,(5) спра-веДішва нерівність И игг*(К(0<£ .

В роботі одерікано оцінки для І'МЧКя) .

З теорем укладення С.Л.Соболева випливав таке твердження. Наслідок. Мас місце нерівність

дц>г

м

Бир ^£-МН*(Кя),

л*,ч«)єкя ]

де (С - деяка константа.

, ' ~ Другий розділ присвячено статистичному моделюванню одно-

рідних та ізотропних випадкових полів в трьохвцмірному просто-?

РІ /?* • '

В роботі Ю.Д.Попова і Ю.О.Винокурова (Исследование операций и АСУ, вып.34, }989, с.3-7) було запропоновано моделювати однорідне та ізотропне випадкове поле в Н з спектральною функцієр ■ за допомогою стохастичного ряду

ОО 7П

... , •&> іі>г) і"»» (і-т СтО

дя (2, 0, ір) - сф<фичні координати точки Я , -

комгілекснозначниЯ "білля шум" (послідовність взопгчо незалежних комплекенозначних ВОЛІППШ ТПКНЛ, що М £ я* = В , ,

), - шіподкот величина з іуні:-

ціою розподілу ФС'л) , - ортонсрмовані сферичні

гармоніки степеня яі . ' .

За модель прт’мпзться часткопа сумя ряду (10)

В § 2.1 розглянуто серядньскрядратімну похибку

,2

Теорема 2.1.1. Нєхріі

*оп .

і І - Хс/фСь) <^<=0, а

Тоді мап місце нерівність

г • і .

3(Л^- Ї ) + 4) *• 5* ?(/■/+ /) 4 5('/- {) + 5

----- 4-

#(//<- /)

S

2Q(.Uif

В § 2.2 одержано оцінку похибки

М і I

%{W)-4n(WP)

І Кй

і • V

■t

до \(,ji ^ [ X-(2,S,fO): 0£‘2£R,R-CGh&>0№SI}9£(p<££%f і c&s tfsinec/zdec/tp .

Теорема <1.2.1. Hexntl

^._^grrt p\L с/ф(ъ) < ,

t ■■= /, К ,

Тоді

цст

4+ 59% + А йЧ.« + бИ%+8%)‘

6(^+0

/0 (/</+¥ У

0 5 2.3 розглянуто задачу статистичного моделювання дійсно-значного однорідного та ізотропного випадкового поля на Я*

.з допомогою стохастичного ряду виду ,

СО 7п

У)~ІІ,ІІ.Ст,Єрт(сР5 9)* .

гп*о (*я

*^т^0?*г)г і а г о 1

__^«аГір+^іЄ8іЛ^],

(12)

ца {рііі'і} , т*о, і, і , ••• ; Ыо,т, із і,г ->

послідовності взаємно незалежних гауссівських випадкових вели-«ТН таких, ца '

- 1І^,Є =|І^Па =(? * 7П~9>1,;- , і

випадко-

ва величина я функцією розподілу . Встановлюються ре-

зультат»! подіо'иі до результатів § 2.1 і 2.2.

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах: .

1. Рахимов А.К. Статистическое моделирование однородного

и изотропного случайного поля ня плоскости. Киевский университет »;м. 'Г. Шевченко. К., 1£)&2, 16 с. Деп\ в УкрІІІТЕІ '~Ук&2..

2. Рахимов Л.К. Статистическое моделирование однородного И изотропного случайного поли в трехмерном пространстве.' Кпер-ский университет им.Т.Шевченко, К.: 1902, 14 с., Деп.в УкрШТЫ.

Ж/Взг-Ухяг. .

3. Рахимов А.К., Ядреино Ц.Ц. Точные формулы для сузи некоторые рядоп, содержащих бесселевы функции. 'Киевский удашарсцтет із*тТ.Іїіовцеїгяю. К: 1992, Ь с., Деп.в УкрІИТЕХ.

І'БЕНЇЗ, 1992, вам .791, тир .ІДО