Многопараметрические случайные поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

^ ^НАЩОНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРАШИ 1НСТИТУТ ПРИКЛАДН01 МАТЕМАТИКИ ТА МЕХАШКИ

ЖИРНИЙ ГЕОРПЙ ГЕ0РГ1Й0ВИЧ

УДК 519.21

БАГАТ0ПАРАМЕТРИЧН1 ВИПАДКОВ1 ПОЛЯ

01.01.05 - теорш ймов1рностей та математична статистика

Автореферат дисертаци на здобуття паукового ступсня кандидата ф1зико-математичних наук

Донецьк - 1998

Дисертащею с рукопис.

Робота внконана в Донецькому державному ушверситсп Мннстерства ocBira Украши.

Науковий KcpiBHUK доктор фпико-математичних наук, професор, Бондарев Борис Володимирович, Донсцькнй державний ушвсрситст, завщувач кафедри алгебри та теорп

ÜMOBipiIOCTCÜ

Офщшш опонснти: доктор ф1зико-математичних наук, професор, Лшьков Юрш Миколайович, 1нстшут прикладноУ математики та мехашки НАЛ Украши, зав1дувач вцццлу Teopii' ймов1рностей та математично! статистики

кандидат ф1зико-математичних наук Шурко Генадш Костянтинович, Донбаська державна Академ1я бущвництва та арх1тектури, доцент кафедри прикладно! математики та нарисно! гсометрп

Пpoвiднa установа: Нащональний ушверситет iM. Тараса Шевченка, кафедра теори ймов1рностей та математично'1 статистики, Мшстерство освш! Украши, м. Кшв.

Захист вщбудеться " 2 " Г|~> С\ £ й 1998 р. о /б годиш на засщанш сиещал1зовано1 вчено! ради Д11.193.01 1нституту прикладноУ математики та мехашки HAH Украши, 340114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

3 дисертащею можна ознайомитись у б1блютещ 1нституту прикладно! математики та мехашки HAH Украши, 340114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розюланий " 2 k " кЛСМНА 1998 р. Вчений секретар

спещал1зовано! вчегом ради ,/Q, ЛЛ-с жовський A.I

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуалыпсть роботи. Вщомо, що мартингальна Tcopin псшв е добре розвиненою та мае широке коло застосувань лише для двопараметрич-них випадкових пол1в з використанням умови ЮирольУолша. Слщ зга-дати насамперед роботи R. Cairoli та J. В. Walsh, Е. Wong та M.Zakai, D.Nualart, P. Imkeller, Miuiypn Ю.С., Гущина O.O. та in., де вивчеш питания Teopiï зупинки, стохастичного штегрування та диференцповання, розглядались стохастичщ р1вняния, розв'язувались статистичщ пробле-ми. Роботи, в яких не використовували умову Ка1рольУолша, досить нечисленш та викладеш в них результати охоплюють значно мсншс коло задач. В цьому зв'язку треба згадати пращ ИЛ. Пхмана i T.G. П'я-сецьксн, П. С. Кнопова, J1.JI. Пономаренко. Роботи, що присшгчеш вив-ченню багатопараметричних по л ¡в, ще бiльш нечисленш i майже bcî використовують умову Ка!рол^Уолша. Це пов'язано з певними трудно-щами, що виникають шд час спроби побудувати адекватне стохастичне числення. Разом з цим, багатопараметричш поля знаходять cboï засто-сування у Konrponi якосгп, фпищ, метеорологи та iH. Тому треба знахо-дити HOBi методи для того, щоб розвивати Teopiio пол1в без обмеження умовою Kaipoлi-Уoлшa та двовтпршстю аргументу.

Зв'язок роботи з науковими програмами. планами, темами. Протя-гом перюду ci4eHb 1993-грудень 1995 здобувач працював на посад1 ш-женера держбюджетно'1 дослщницьюл теми "Дослщження статистич-них властивостей трипараметричних випадкових пол1в"(номср держав-hoï реестраци 0193U041482). Результати uieï дослщницысо'1 роботи частково ввшшли в дисертацно.

Мета роботи. Метою роботи е розширення кола теоретичних та практичних застосувань Teopiï випадкових пол1в за рахуиок вщмови В1д використання умови ЮнрольУолша як властивосп базово'1 фшлрацп та вивчення статистичних питань безпосередньо для багатопараметричних пол1в.

Наукова новизна одержаних результата. Запропоновано до роз-гляду нове перетворення базово! фшьтрацп (перетворення до комута-ци), яке дозволяе використовувати для (майже) сильних мартинп'шв певш надбання мартингально! Teopiï випадкових пол ¡в, яка побудована у припущенш виконання умови ЮпрольУолша, зокрема, низку HepiB-ностей для poзпoдiлiв супремум1в пол1в, в тому числ1 - пол ¡в з розри-вами.

У розвиток щей Й. I .Пхмана, П.С.Кнопова, Б. В. Бондарева та P. Imkeller за допомогою перетворення до комутаци для пол!в з довшь-

ною скшченною гальюстю парамстр!в доведено, вщювщно, формул)' 1то для сильного мартингалу та для штеграла 1то 3i зеувом, формулу гщлыюсп Mip для одного класу випадкових тшв, розглянуто pi3Hi ста-тистичш застосування (ощшовання параметр1в, розр1знення гшотез) до систем, що зображеш за допомогою випадкових пол1в, вивчено питания про юнування фуикцюналу дп для двох клас1в тшв, про усереднен-ня. За допомогою закону повторного логарифму в форм! Штрасена одержан! нов1 результата з побудови криволшшних меж, в яких поля з одного класу перебувають з ¡мов1ршстю, близькою до 1.

Практично значения одержаннх результат. Одержан! результата можуть бути використаш в мартингалыйй Teopii випадкових пол1в та для вивчення статистичних проблем, яы пов'язаш з вииадковими полями.

Особистий внесок здобувача. Здобувач опублпеував разом з профе-сором Бондаревим Б.В. три nayKOBi CTarri [1.2.3]. В poöoTi [1] Жирному Г.Г. належать результата про властивосги сильних мартингалш, час-тина орипнальних ¡дей з доведения шших тверджень. В poöoTi [2] йому належать результата про властивосп (майже) сильних мартингал1в, частина орипнально! wei доведень леми 5 та теореми З.В [3] Г.Г. Жир-ний виконав роботу з узагальнення та адаптацн доведень, яы були за-пропонован1 paHinie для одно- та двопараметричного випадыв. Иому належать щея розглядати задачу усереднення для стохастичного pie-няння, яке листать пуасошвський штеграл, розробка та рсал1защя вщ-пов1дно1 техшки досл1дження.

А проб;) ui я рсп'льталв дисертацп. Результата дисертацп допов! дались на конференцп молодих вчених Московського ушверситету iMeHi M.B. Ломоносова (02-09.04.1995, и. Москва, РФ), на першш Украш-сько-Скандинавськш конференцп "Стохастичш динам1чш системи: те-opijj та застосування" (30.09-06.10.1995, м. Ужгород), на п'ятш м1жна-роднш науковш конференщ! iMeni академика М.Кравчука (16-19 травня 1996 р., м.Кшв), на друпй Скандинавсысо-Украшськш конференцй' з математично! статистики (08 - 13.06.1997, м. Умео, Швещя), на науко-вому ceMiirapi в!ддшу Teopii ймов1рностей 1ПММ HAH Украши та бага-торазово - на науковому ceMinapi кафедри алгебри та Teopii' ймов1рнос-тей ДонДУ.

Структура дисертацп. Диссртащя складаегься 3i вступу, п'ята роз-дшв та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертацп ста-новить 136 cropiHOK, список використаних джерел займае BiciM cropi-

нок та MicTHTb 77 найменувань.

Публ1кацп. За темою дисертаци опублпювано три статп у фахових виданнях [1,2,3].

ОСНОВНИЙ 3MICT Першш роздш лнстить огляд л1тератури, другий - обгрунтування обраного напрямку дослдакень. 3 першого та другого роздшв робимо висновок про необхщшсть розвивати мартингальну Teopiio багатопара-метричних випадкових гошв без припущення про задовшьнення умови Ка1рол1-Уолша для базово'1 фшьтраци. Ступ im, повноти розв'язку вка-зано1 задач1 пропонуемо ощшовати за допомогою вивчення статистич-них застосувань одержано) мартингалыки Teopiï.

Ochobhí результати третього роздшу полягають у наступному. В першому пщроздш запроваджено до розгляду клас майже сильних мартингал1в.

Нехай ( О, F,P) - деякий повний ймов1рносний npocTip, F = {F~, X G \a, b ]}- зростаючий потш о -шдалгебр:

1. F о MicTHTb yci P -нехтуваш множини F ;

2. F t= П Fr.

Ми не вимагаемо задовшьнення умови Ка1рольУолша

^ П ^у = ^тт(.('У)1..,ю,„(1",/))' за винятком спещально застережених випадмв.

Нехай ми маемо деякий зростаючий noTÍK er -шдалгебр

А = { А-, X G \а, b ]}. Розглянемо inuii потоки <т -шдалгебр

(i,j = l,...,N):

Gj (А) =сг { А- : и' e[a',b'l и> = xJ коли /' * j };

G|:(A)=(J { Аа: иJ <=[aJ,bJ ] коли /' Ф j, и' = х'};

G-(A)=o-{ G;(A),/,= 1,...,7V},

де [í?, /;] - множима параметр1в. Будемо писати ~А, якщо випадкова величина ¿, с BUMipuoio вщносно <т -шдалгебри А .

Означения 3.1. Д1йснозначне випадкове поле назвемо

BÍHepÍBCbiaiM, ягацои^л:) е гауавським сспарабельним, Р -м.н. неперервним, до]лвнюс 0 на координатних пперплощинах та

N

Ew(x) = 0, Ew(x)w(y) = ]~J min( x',y')

i=\

Будемо вважати вшер1вськс поле vv(x) та потж F такими, що та для x > у Р -м.н. маемо

£( Д,^, w (х) | G р (F)) =0;

Е( ( Д^, w(x) )21 G,<F)) = n(*'-y).

Також вважаемо Bci випадков1 поля сепарабельними. Означения 3.2. Нехай Vx е [а, Ь] маемо £ (x)~As, (Зс) |< + со. Назвемо £ (х)(,у <х):

1. мартингалом вщносно потоку А на \а, й], якщо Р-м.н.

£<£(*) | Л, К (Я;

2. N-параметричним матке сильним мартингалом вщносно потоку А на [а,Ь], якщо Р -м.н. здшснюсться:

2.1. яыцо N=1, то £ (х) задовольняе означению однопараметрич-ного мартингалу,

2.2. якщо N>1, то£( А[;, £ (х) | G'y (А)) =0, та

7/, (х ) = ¿, (х) | _ е (Ы-1)-параметричним майже сильним

мартингалом вщносно потоку { Gj(A)} на \а,г Vi=l.....N.

3. N-параметричним сильним мартингалом вщносно потоку А на \а,Ь~\, якщо Р-м.н. здшсшоегься:

3.1. якщо N=1, то £ (х) задовольняе означению однопараметричного мартингалу,

3.2. якщо N>1, то Е( Д^д.]

та 7/, (х ) = £ (х) | , е (^1)-параметричним сильним

мартингалом вщносно потоку { G's (А)} на [а, 6] г Vi=l,...,N.

Клас майже сильних мартингал1в е природним узагальненням класу б1мартингал1в.

Лема 3.2. I). (yV, F, [¿?, ¿]) - майже сильнин мартингал e

(W, F, [a, b ]) - мартингалом.

2). Ямцо задовшьнено умову Ка1рольУолша, то для (N, F, [а, Ь\) - мартингалу £ (х) Р - м.н.

£(AIW1£(*)| G »(F))=o.

Теорема 3.3. Якщо £, (х) е неперервним квадратично ¡нтегровним

(N, F, [а, ¿]) -еильним мартингалом, то icHye його характеристика [£](*) , яка е единою та зб1гаеться з неперервною мод1фжащею квадратично! Bapiauii Е, (х) на [«, х]. Перетворення до комутацн

QÄF)=п сип. i=i

яке запропоновано у другому шдроздш 36epirae властив1сть (майже) сильно! мартингальносп.

Теорема 3.4. Потш Q (]' ) ={ Q- (F) } мае наступш властивосп:

1). Q0(F) м1стить yci Р -нехтуваш множини ;

2). Q (F) неспадае;

3).Qg(F)= n Q^py.

й>х\й*х

4). пот1к Q (F) задовольняе умову ЮнролЬУолша ;

5). кожен (N, F, [а, Ъ ]) -(майже) сильний мартингал е

Q(F\Ъ ]) -(майже) еильним мартингалом. Наслщком uiei теореми е nepißHOcri для розподшв суиремум1в випадкових тшв.

Означения 3.5. Будемо називати функцпо / регулярною у точщ у, якщо

1. lim /(х) = f{y) , коли х> у-

х->у

2. юнують сшнченш гранищ lim f(x) , коли

X G ST = {Û : йт > ут, йу < J5- } , де 0 < |г| < N, Т е Пл, .

Теорема 3.5. Нехай £ (х) е регулярним (W, /г, [¿?, ¿>]) - майже

сильним мартингалом, де Ь' < +оо V/ = \,...,N . Toai для £ (х)

здшсшоються HcpiBnocTi Дуба-Мейсра-Юпрол1.

Теорема 3.8 (Неперервна нер1вшсть Буркхольдера-Девюа). Для кожного р > 1 iciiyioTb константа 0 < А < В < +со таю, що для

кожного неперервного (N, F, [а,Ь]) - сильного мартингалу (х) з Е£, 4(ô) < +оо виконано

АрЩУ'\Ь)<Е| £ \'{Ъ)<ВрЩУ,г{Ъ).

Нехай 7'с Пд,, (р : Т—> {0,1} . Позначимо VFW множину (У',ф),

дляяких SC\r = 0VS*T,S,TeT,Ta UT = {l,...,N}, m

беремо об'еднання Т G Т. Позначимо 7°= {Т G Г: (р (Т) - 0} ,

7-'= {Т G Г. <р (Т) = 1} , m(T,ç> )=2|7>|Г!|=2А:0 + .

За допомогою перетворення до комутаци та наведених властивос-тей сильних мартингал1в в пщроздш 3.3 розповсюджуемо поняття (7',ф) -стохастичних штеграл1в та доводимо формулу 1то у випадку, коли умову Ка1рол1-Уолша не задовиьнено.

Теорема 3.11 (Формула 1то для сильного мартингалу). Нехай

£ (х) е (N, F, [0,1]) -сильним мартингалом, та EÇ 4N{1 ) < +оо. Яюцо / G C2N ) с такою, що для bcîx (Т,ф) G 7/ TG L 2 т , де

77 = /0„(Г,Ф>)

де 7] т - 7-кутова функщя для ?], суму беремо по (7',ф)е VFW i позна-чили L 1 г множину Г-передбачуваних випадкових функщй Y , для

яких Jî/24^]0]1/2<+oo? к=кх+к2.

[0,ïf

Наслщком теореми 3.11 е теорема JleBi.

Теорема 3.12 (Теорема JIcbî для багатопараметричного в1нср1всько-го поля). Нехай â, (х) дор1внюе 0 на координатних пперплощинах та

е нсперервним квадратично штегровним (N, F, [0,1 ]) -сильним мар-

N

тингалом з характеристикою [£](х) = [ х' . Тод! Е, (х) е Binepin-

N-i

ським полем.

В четвертому роздш встановлено формулу щшьносп Mip для дея-кого класу пол ¡в i за и допомогою вивчено pi3ni статистичш питания

теори шшв. Нехай (С , в) - втирний npocrip неперевних функцш, де В е боре.гпвсысою алгеброю на С .

Теорема 4.3. Нехай Vx е Z) V/ = 1,2

£(*)=/ b(u, ^(ii) )d\v(u),

[0,.v] [0,1]

де маемо :

1. aj (ft, t) , b(u, t) - д1йснозначш борел!всыа функци на R+ x R1 ;

2. ЗА: >0: Vs eD yt,s&R]

2

2 | ci}(u,\)- cij(u,s) |+| b(u,t)- b(fi,s) |<£|/-j|;

2 a/(u,i) +b\u,i) <K(\ + 12),

м

3. icnye така неперервна функщя Я (/У, t ) , що

a2 (и, t) - а, (и, t) = b(u, t) X(ii, t) Tofli //2 абсолютно неперервна вадносно //,, та Р-м.н. виконуегься

~~ ) = ехР (J Л(й,^01))с/ф)

D

Я2(il,^(u))du)

^ D

де //, та //2 - Mipn на (С , в) , породжеш (х) та ¿?2 (х) .

Нехай ми cnocrepiraeMO випадкове поле _/"(х), х £ D = [0,1 ]. Вщповщно до ппотези Н0 маемо: ./(х) = /? М'(х) ,

вщповцшо до ппотези Я, : /(X) = jg(fi)du + ß w(x),

[o.-vj

де ß > 0 , та С 3 U Э g(x) - невипадковс поле. Нехай

U = ,..., fM } . Позначимо Р0 та Pt - лпри на (С , в), породжсш

полем f, коли справджуеться ппотеза, вщповщно, Н0 або

//,,/ = 1 ,...,М . Нехай Ч' - критерш для ро:ф1знсння Н0 при

альтернатив! //, = {PV...,PM}. Означимо ÜMOBipiiocri помилок першого та другого род]в наступним чином:

« ,(¥) = Е„Ч, а 2(У) = шах,.£„( 1 -Позначимо 8 (/?) = inf>p(ö;1 + а2). Припустимо, що множина U складена з пол1в ортонормальних в L2(D) . Встановлюемо, насюль-ки швидким може бути pier М = M(ß) , щоб Hm 8 (ß) ~ 0 .

Теорема 4.4. Нехай M{ß) = exp(rß2 +hß^) , Фф) - фушодя розподшу випадково! N (0,1) величини, де h е Я1. Тод1 icnye

lim 8(ß), який дор1внюе:

/)-»о

1. О, яюцо г < 0.5 ;

2. Ф(/?), якщо /' = 0.5;

3. 1, якщо г > 0.5 .

Нехай D = [О, Г], Т = (Т,...,Т) е R] . Для х е D розглянемо стохастичне р1вняння

£ (х) = в | а(и, £ (и) )du+w(x)

[0,.i]

Теорема 4.5. Нехай виконуються умови теореми 4.3. Припустимо,

що:

1. |0|<М;

2.

а2 (/7, £ (?7) )du >о)=1.

D

Оцшка максимально! шропдносп параметра в мае вигляд

вт = J а (и, £ (/7) (Г,) ( J а2(и, £ (,7) )dü )"'

D D

та для V/? > О, R > О виконуеться наступна HepiBnicTb

P(TNn\9T - в\> R) < 2ехр(-0.5Л2/?) + 2exp(ßTN) х

( Е ехр(-0.5(1+М2) х J a2(i7, w(/7) )<Л7 )) .

D

Для досить загального класу функцш «(■,•) остання оцшка пря-

муе до нуля з експоненцшною швидмстю по Т.

Розглянемо задачу ощнювання нелппйного параметра. Нехай поле

£,°р (х) задовольняе стохастичне р1вняння :

Й(2)=/ /(и, #(»).*) J b(u, )dw(u),

[0,1] [0,.v]

де в е 0 с Rs . Нехай V/, р, qеR\Vuе R? ,V0, 0„ 02 е 0 задовшьнеш умови

| /(¿7, t, в) |<С,(1+|/|); 0</,<| b{u,Z0ß(u))\<y 2<+ю-

10.x]

\f(u,p,e).f(u,q,0)\2 + \b(u,p) -b(u,q)\2<L]\p-q\2-\f{u,v,e,)-f{u^e2)\2<L22\9,-e2\aRS-,

де функцп f(u, t, в), b(u, t) дшснозначш та неперервш за сукупшстю двох аргументе (it,1) при кожному 0 6 0.

Тод1 icHye вт - оцшка максимально! в1ропдносп параметру в . Вона е слушною, при цьому

га-1

з експоненщйною швидюстю, де !//(/?) = /9"", Н = ß " , 111 G (0,1 / а).

В пщроздш 4.5 були узагальпеш на багатопараметричний випадок без вимоги задовшьнення умови Ка1рол1-Уолша деяш результати про юнування та властивосп функцюнала дп для двох ioiaciB пол1в.

В п'ятому роздш вивчалась задача усереднення в стохастичних р1вняннях, ям е узагальнснням р1внянь дифузшного типу.

В шдроздш 5.1 побудовано пуасошвський ¡нтсграл. Нехай 0 - .4 -вишрний евклдав npocTip. Розглянемо пуасошвську Mipy у

npocTopi [0, Ъ ] х @. Будемо позначати О (В, А) = и (В х А). Припустимо, що випадкова Mipa ü(«) е однорщною вщносно

зсуву на [0, Ъ ]. Означення пуасошвського поля не вщмзнясться в!д загальноприйнятого, за винятком того, що випадкове поле ü*(t) - и ([0,/], А) вважаемо (N,F,[0,Ъ])-сильним мартингалом, а не полем з незалежними приростами. Тепер маемо можлив1сть загальноприйнятими способами побудувати ¡нтеграл

J ^c(u,9)u(du,de).

[0,.v] 0

Розглянемо задачу усереднення, коли стохастичне р1вняння м1стить щойнонаведений ¡нтеграл.

Теорема 5.2. Нехай V0 < Т < +со, Vi е [0, Т] = D виконуеться: £ (x) = SN ( J а (и, £(Ü) )du+ j b(u, ^ (и) )dw{u) +

[0,.v] [0,x]

J \c(u,9^{u))ü{dü,de))

[0,5] 0

функщя f e розв'язком р1вняння

/(*)= J a0(f(u) )du,

[0,.vj

де:

1. для невипадкових дшснозначних борел1вських функцш а (Г/, t), Ъ (и, t), с (/7, t, в) з деякою константою L в умов! Лтшиця задовшьнеио умови теореми ¡снування та единосп розв'язку;

2. lim C~N \a{ii,t)du = aJt)

C-M® J .

piBHOMipHO по y G R^, i G Rl, де С = (C,...,C) G /íf ;

3. 3C>0:

|úí (M,t) 1+ | b (м,t) 1+ I Jc(í7,0,/)y(flS7,í/0) | < C;

©

4. ¡снуе така функщя p (S, x) , що sup <Г"/2| /(^-'г/^ОТ^-аДЛ/?)))^? | <

Як що

[о,у]

Л exp(-¿fj JC')-/? х) >0,

<=1

то

P(sup \í(5-]y)-f(y)\>R5NI2)< МО.?)

12N exp (-(/? exp(~LTN) - p(S, T))2 x (27w)"')+ exp(-(2z0(l + z0)( R exp(~LTN) - p(S, T))2 )(2 + z0)"'),

де z0 = z0(<5) e розв'язком р1вняння

SNn (R exp(-LTN)- p(S, f)) = 2z0 exp(z0)(2 + z0)CTN

Теорема 5.3. Нехай поле zn(x) заданена [0,стохастичним р1внянням

j а (г/, z„(и) )du+w(x)), [O.f]

функщя z0 e розв'язком р1вняння

z0(x)= J ao(zo(«))dii, [0,1]

де:

l.|a(?7,0l <C,(1+|/|) ,|a;(i/,0l <C, ,|<(í7,0l <C, ,де

0 < С, < +oo ;

2. Нт С~ы \а{й,1)с1й = а0{1)

Уу.У+С]

3. для дов1льно']' абсолютно неперервно! функцн / з

штегровною в квадра^ похщною Радона-Нпсодима виконано

|/{Ща'Хпи, (й))с1й ^ > | /{и)а (й)с1и,

[0.5]

де | а (•) |< С3;

4-рЛ*) „->+«, >о. да РЛ*)=

(пы /(21п 1п и))"2 | \ а(пй,гъ(й))-а0(20{й))\с1й. [ОД]

Тод1 при п —» +оо з ¡мов1ршстю, близькою до 1, буде виконуватись нср1вшсть

Поточний стан питания полягае у наступному. Незважаючи на за-гальну велику юлыасть публжащй з мартингально! теори випадкових пол1в, ¿сиуе велика майже нерозвинена область ще! теори - мартин-гальна теор1я пол ¡в без використання умови Ка1рол1-Уолша. Спроби замшити цю умову умовою шлыисно! умовно! незалежносгп не розв'я-зують питания повшстю, бо збер1гають обмеження на базову фшьтра-цпо. Разом з цим, умова (Р4) вшшилась занадто шпдною, щоб легко вщмовитись в1д й використання.

Як метод подальшого розвитку мартингально! теори пол1в з метою розширення кола можливих теоретичних та практичних застосувань пропонуемо перетворення до комугаци, яке дозволяе використовувати для (майже) сильних март!шгал1в велим надбання мартингально! тсорп випадкових по л ¡в, яка використовуе умову Ка1рол1-Уолша. При цьому не вимагаемо вщ базово! фшьтрацп шяких властивостей, кр1м загаль-ноприйнятих та цшком природних.

/

\гп(ЛУ)-20(у)\-

21п 1п п

— | ехр 2 ^\а(й)\с1й сСс.

[О,у] V [0.^1 У

висновки

Практичне та теоретичне значения цього перетворення полягае у можливосп розглядати випадюш експерименти бшьш загалыюго виг-ляду та конструювати i'x математичш модел1 без вимоги задовшьнення умови Ка1рол1-Уолша для базово! фшьтрацп.

Обгрунтуванням цього висновку можуть бути наведеш у роздшах 4 та 5 дисертацп результата з вивчення статистичних властивостей пoлiв.

Головним питаниям подалыного розвитку мартингально! теорп ви-падкових шшв без умови (F4) вважаемо побудову адекватно! теорп зу-пинки для мартингал1в. Але це - зовс!м innie i майже не розвинене питания. Першим кроком може бути побудова тако! теорп для сильних мартингал1в (як це було, наприклад, в мартингалыпй теорп, що вико-ристовуе умову (F4)). Вважаемо, що перетворення до комутацп може i тут бути корисним.

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП'

1. Бондарев Б.В., Жирный Г.Г. Некоторые свойства многопараметрических случайных полей // Украшсышй математичний журнал.-1995.-Т.47, N 12,- С. 1609-1622.

2. Бондарев Б.В., Жирный Г.Г. Функциональный закон повторного логарифма для полей и его применения // Украшський математичний журнал.-1997.-Т.49, N 7,- С. 883-894.

3. Bondarev B.V., Zhirney G.G. On the functional of action for the multiparameter random fields // Random Oper, and Stocli. Equ.-1995.-V.3, N2.- P. 125-134.

Жирний Г.Г. Багатопараметричт випадмш поля, - Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата фпнко-матс-матнчних наук за спещалыистю 01.01.05 - Teopifl ймов1рностей та ма-тематпчна статистика.- 1нституг прикладно! математики та мехатки HAH Украши, Донецьк, 1998.

Дисертащю присвоено вивченто мартингальних властивостей ба-гатопараметричних випадкових пoлiв та ix застосувань для досл1джен-ня статистичних питань. В дисертацп запропоновано новий тд\1д до вивчення властивостей сильних мартингал1в без припущення про задо-вшьнення умови Ка}рол!-Уолша. Цей пщхщ дозволяе скористатися ба-

гатьма властивостями сильных мартингалов, як1 були доведен! paiiiiuc з цим припущенням. Ефсктившсть методу шдтверджено застосуванням його шд час досл1д>ксння статистичних властивостей випадкових пол1в, задач1 усереднення в стохастичних р1вняннях тощо.

Ключов1 слова: мартингал, умова Ка1рол1-Уолша, стохастичне числення, ощнтовання параметр1в, усереднення.

Жирный Г.Г. Многопараметрические случайные поля,- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специалности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика, - Институт прикладной математики и механики НАН Украини, Донецк, 1998.

Диссертация посвящена изучению мартингальних свойств многопараметрических случайных полей и их применениям к исследованию статистических задач. В диссертации предложен новый подход к изучению свойств сильных мартингалов без предположения о выполнении условия Каироли-Уолша. Этот подход позволяет воспользоваться многими свойствами сильных мартингалов, которые были доказаны ранее при этом предположении. Еффективность метода подтверждена применением его при исследовании статистических свойств случайных полей, задачи усреднения в стохастических уравнениях и т.д.

Ключевые слова: мартингал, условие Каироли-Уолша, стохастическое исчисление, оценивание параметров, усреднение.

Zhirney G. G. Multiparameter random fields. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree by speciality 01.01.05 - probability theory and mathematical statistics. - The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Donetsk, 1998.

The dissertation is devoted to investigation of martingale properties of multiparameter random fields with applications to statistical problems. New approach to study properties of strong martingales without Cairoli-Walsh condition is developed. This approach allows us to use many properties of strong martingales that has already been proved under Cairoli-Walsh condition. Effectiveness of method was verified while studying statistical properties of random fields, averaging in stochastic equations, etc.

Key words: martingale, Cairoli-Walsh condition, stochastic calculus, parameter estimation, averaging.