Оценки скорости сходимости в теореме Ренье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

pj-g фИ1ВСЫШЙ УН1ВЕРСИТЕТ Iii. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

' ' - На правах рукопиоу

СУГАКОВА Олена Володиыир1вна

УДК 519.21

ОЦ1НКИ ШВИДКОСТ1 ЗБ1ЖН0СТ1 У ТЕОРЕМ! РЕН'1

01.01.05. - геор1я 1ырв1рноотей

i ывтематична статистика

АВТОРЕФЕРАТ диеертацИ на здобуття вченого ступени кандидата ф1зико-матвматичних наук

Ки1в - 1993

Робота виконана на кафедр1 теорП 1мов1.рнос<ге# иатематично! статистки механ1ко-иатеиатичного факультет Ки1вського ун1верситету 1м. Тараса Шевченка.

Науковий квр1вник - доктор ф1зико-ивтеиатичних наук, лрофесор К А F Т I Ш О В Ii. Б.

0ф1ц1йн1 опоненти : доктор ф1зико-ыатеыатичних наук.

профеоор AHICIMOBB. В.

кандидат ф1зико-иатеыатичних наук, старшие науковий сп1вроб1тник

!Киричук П.О. •

Пров1даа установа - 1нститут кЮернетики АН УкраХш.

Вахнег дисертац11 в1дбудвгься & годин! на зао1давн1 Спец1ал1зйвавоХ рада к 01.01.14 У ЙЙ&ськсму уа1верситет1 1м. Тараса Шевченка за адресов: 252127, КаЗв-^127, проспект акадаы!ка Глушкова, 6, корт 1йхвнйю-иатеиатйчного факультету , ауд. 4,2.

*3 даеертац1ею мохва ознвйошгаися у <31бл1отец1 Ки1вськ( у5йверситэту* . ___

Автореферат розЮлано ^ЮТОгО 1993£J?.

Вчений секрет^' Спец1ал1зоваяо1 радй

Курченко О

Загальна характеристика робота

Актуальн!оть теш. У теперешШ чао метода сумувангч шгадкових величин знаходять широко застосування у прикладн!й «атематиц! 1 к!бернетиц!, техниц1, при досл!даенн! р!зних жладних моделей 1 систем. При цьому складн!еть моделей приводить ю необх!дкост! розвитку мэтод1в асимптотичного анал!зу, а також удержания в!дпов!дних оц1нок.

При сучасному р!вн! розвитку техн!ш задача оц1нки гад1йност! пристро£в 1 систем мае особливе значения. Тому е ¡ктуальним отримання оц!нок швидкост! зб!кност! сум геометричного гасла випадкових величин до деяко! гранично! випадково! 5еличини. Щ сумя виникають у теорН над!йност! для [арактеризац11 часу до в!дмовлення сис.теми з в!даовленнями, якщо [нтерпретувати окрем! доданки як тривалост! пер!од1в в1дновлення. •

Мета робота. Основною метою проведение досл!даень с ¡становления оц!нок швидкост! зб!кност! , геометричного числа шпадкових величин у р1зних метриках ! для р!зних клас!в сумусмих Соданк1в.

Наукова новизна. У дисертац!йн!й робот!:

■ отриманя оц1нка в р1вном!рн1й метриц! швидкост! зб!жност1 у 'еорем! Рен'1 у випадку неск!нченного другого моменту доданк1в;

- знайден! нер1вност! для сум геометричного числа незалекних жпадкових величин у, випадку р!знорозпод!лених доданк1в. Чэзглянуто вшадкв, коли у доданк1в 1снуе т1льки момент а для (еякого 1 £ « < 2 ,1 коли !снус другий момент;

■ доведен! оц1пки, пов'язан! з! зб1жн!стю геометричного числа жпадкових величин, як! задан! на ланцюгу Маркова:

■ встановлен! нер!вном1рн! оц!нки у теорем! Рен'1, а також для >!знорозпод!лених !. обмекёних доданк!в. Результата подаються у :ерм!нах теорЦ в!дновлення з наступним застосуванням до р!зннх ¡лас!в сумусмих доданк!в;

- одержана оц1нка зближення потоку,, цо прор!даений з ймов!рн!стх. 6 , з процесоы Пуасона при в 0. Отриман! результат застооовуютъоя до процесу в!даовлення I до вшадку, коли вх!дш пот!к задасться посл!довн!стю неоднаково розпод!лених вшадкови величин, як1 задовольняють деякШ умов! "стар1ння".

Теоретична 1 практична ц1нн1с!гь. Одержан! результата ыоааи ефективно застосувати до анал!зу Свгатьоз: складник систем теор!5 над!йноот!. Дисертац!я виконана у в!дпов!дност! з планов 'ааукових роб!ш, як! проводилися на кафедр! теор!1 !мов!раостей ! математично! статистики Ки!вського ун!верситету по тем! "Розробк£ метод!в розв'язання проблем статистики випадкових процес!в ! пол!в " / номер державно! рег!страц!1 1860039770 /.

Апробац!я робота. Основн! матер!али роботи допов!далися Н1 Республ!канському сем!нар! з теорИ !мов!рностей та математично! статистики при КМвському ун!верситет! ( Ки!в, 1990 ).

Публ!кац!1. За результатами досл!дкень надруковано 7 роб!т.

Структура 1 об'ем роботи. Дисертац!я складаеться з! вступу двох розд!л!в, описку цитовзно! л!тератури ! викладена на 80 отор!нках машинописного тексту. Список л1тератури включае .87 найменувань.

• Зм1от роботи

У вступ! дана загальна характеристика роботи: обгрунтован актуальнгсть теш, мета, теоретичне ! практичне значения викоаан досл1даенъ, викладена структура дасертацИ ! ооновн! положения як! виносяться на захист.

У першому розд!л1 одержаний ряд оц!нок у р1вно!.ар!1й метриц для одаор!дних ! неоднор!дних оум геометричного числа незалеглш випадкових величин, а такок для вшадку, коли доданки задан! н ланцюгу Маркова.

У § 1.1 вводяться неоСх1дн! шзначезтя ! наводиться деяк допом!:ш1 дан! з теорИ !моб!рн!сних метрик.

§ 1.2 присвячений теорем! Рен'1 у класичн!й постанови!. ал для неск!нченного другого моменту доданкХв.

НехаЙ { 5 Д а о ) - посл!довн!сть нев!д'смжя незалогдшх однаково розпод!лених випадкових величин з фунгаиею розпод1лу

- 3 -

G ( х ) = Р { 5о < х } :

U(x)=J*P(y) dy;

t - геометрична вшадкова величина з функц1сю розпод1лу 3 { и = к > = е(1-е)ь: к а О, О < в < 1 . яка не заложить в1д юсл1довност1 (5, }♦

Покладемо X = ^ .

ТЕОРЕМА 1.2.2. Нехай Е^о01 < о для деякого числа 1 < а < 2. ?од1 справедлива оц!нка

шр| Р { -3-t > х } - ехр(-х) | * в01"1 <1 + 2/((а(1-в)и2(в-1))), »0 Е^о

(1)

ie q = 6/(1-9), а U ( в"1 ) -t^wpa 9 •* О, причому нер1вн1оть (1)

-1

¡алишаеться справедливою п!сля заы!ни U ( 9 ) на 5 = Е?о -

• Е5оа 9 а~*/(а-1). яйцо 5 > О.

Заувакення 1.2.2. В умовах теореми 1.2.2 порядок оц1нки (1) ге мояна пол1шмти.

ТЕОРЕМА 1.2.3. Якщо Е?о < » , то виконусься оц1нка

iup| Р { -ä-t > х } - ехр(-х) (а + 2/((1-в)и(р)))(вР"1(9"1))1/3 ДО Е?о (2)

се q = 9/(1-8): р = (е-1?-1^"1))1'3:

г*(х) - функц1я, обернена до Р(х) - неперервно!, нев1д'смно1, >пукло! вниз функц11. тако!, що Р(х)/х + » при х ■* 0 1 ЕР(£о)<а<се. [ричоыу права частина (2) прямуе до 0 при 9 + 0.

0ц1нки, аналог1чн! (1), (2) I для випадку а = 2, одержан! 5.В.Калапш1ковим i С Ю.Всехсвятським за доломогою методу ыетричних |1дстаней, а також М.В.Карташовим для а = -2 при застосуванн1 ■еореми про розпод1л однор1дного марковоького ыоыенту типа иоменту. [ершого досягнення для ланцюга Маркова. Випадок, коли О < а 1, юсл1даувався I.М.Коваленко. Б.В.Гнеденко, Б.ФраЯероы.

У § 1.3 розглядаегься асимптотична повед!нка випадково! величина г . коли { 51, !г0 } е посл1довн1стю незалежних ' неоднаково розпод!леша вшадкових величин. Е1льш загальн1 в1дпов1дн1 граничн! теореми розглядалися В.В.Ан!с!мовим. Наш! досл!даення базуються на метод! метричних в!дстаней В.М.Золотарьова. В1даов!дно до нього спершу отриман! од!нки в-!деальн!й метрид! Ca , а дал! за допомогою сп!вв!днотень м!ж метриками доведен! оцЛнки у ыетриц! Колмогорова. Нехай < « для ycix i а 0. Позначимо

Mi - 1гО ;

m = min Mi i UO

( i)i, 1г0 } - посл!довн!сть незалекних вшадкових величш, таких, що T)i розпод!лёна експоненц!ально з параметром 1/Mi для ycix i г О

i n = E,ü0m.

ТЕОРЕМА 1.3-1.Справедлива наступив оп1вв!дношення

Са(ег.вп) * №3(х +1), • (3)

причому од1нку (3) у наших припущеннях не можна пол1пшити за порядком.

Наол!док 1.3.1. Функц!я розпод!лу вшадково! величини вг задовольняе оц!нку

| Р{ 6т < х } - (1-(1гб)и(е'х)) | s 2(01 + 1)(| (Х+1)е)1/3.

Де

f 0, янцо О s i s 8U0 U(0,x) - | kt яицо е Ml < х s Q jJ,^ Mu

У друг!й чаотин1 параграфа зроблено узйгальнешя насл!дку 1.3.1 на випадок, коли у едемент!в посл!довност! { f,i, 1аО } не !снус других woMeHTiB, а т!льки моменти порядку а для деякого 1 < а < 2. причому р!вном!рю обмекен!: s M« для ycix i г О, Ми - дояка константа.,У наши припущеннях справедливо наступнё твержения.

Я = max Mi 1 !&0

х = max ( E5ia/(2lii2)) : i&O

ТЕОРМА 1.3.2. Функц1я розпод1лу випэдково! величина 0Т задовольняе пастушу оц1нку

I Р{ ег < х } - <1-(1-е)и<е'х)) | * | <-|=- +

л « га° м

+ дСэ-«)/(а*1) + 1 (3м! + 24 )91/э ям2 31 2т2 ОТ

де Щ0,х) задастьоя (4).

У § 1.4 розв'язуеться задача про асимптотичну повед1нку г , коли доданки задан1 на ланцюгу Маркова.

Нехай { и»• 1*0 } - однор!дний ланцюг Маркова з1 зл1ченою шюгшою отан!в з перех1дною ймов1рн1стю р^ - Р{ 01*1=Л / Ш=1 } 1 початковим розпод1лом р1 = Р{ 11о=1 }.

{ 5к(х), кгО } - посл1довн1еть незалезших однаково розпод!лених вшадкових величин, як1 мають другий момент Е5о2(х)<» 1 залежать в1д параметру х г 0 ; о - геометрична випадкова величина, яка не залежить в сукупноот1 в!д поол1довностей (1;и(х)} 1 (III} .Позначимо

Е(х) = Е?о(х): Я = тах Е(хЬ

х*0

т = т1п Е(х) | х - тах хго

Е^З(х)

хго *а0 2Е2(х)

Нехай т > 0.

ТЕОРЕМА 1.4.1. Функц1я розпод!лу випадково! величини дг задовольняе оц1нку

I р{ »г < х } - Р{ 0Е^оЕ(ти) < х } | ^ ( X + 5/2 ) +

+ « ) .

т

У другому Р03д1л1 пропонуються ОД1НКИ ШВИДКОСТ1 3<51ИНООТ1 оум гзометричного числе, випадкових величин у терм1нах теорИ вАдновлення з наступним застосуванням до р1зних клас!в суыусмих доданк!в.

- 6 - :

Розглянемо "рахуючий" процео u(t), якнй задаеться посл!довн!стю { Çi, 1гО } нев!д'сыних незалекних випадкових величин

Гтах { n: s t } +■ 1, якщо Ço s t.

Гтаз

= \o.

"(t) ~ ЯКЩО Ço > t.

Позначимо H(t) = Eu(t); D(t) = E(v(t)-H(t))a; Вва&аемо, що EÇia < », EÇi = 1 для yoix 1*0.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Для yoix t > 8 справедлива наступив нер1вн1сть

1 PC 0t > t ) - (1-e)H(tye>| s ea/(2(1-e)2)exp(-at) D(t/6) +

0

+ 2P ( l/(t/9) < at/tf } .

де a - дов1льне число з 1нтврвалу (0, 1-S/t).

Надал! георема 2.1.1 застосовуеться до випадк!в

а) Çi однаково розпод!лен1 1 Ço задовольвяс умов1 Крамера; .

б) Çi однаково розпод!лен! i !снус EÇo** < со для деякого ц!лого г а 2 ;

в) Çi неоднаково розпод1лен1 1 обмежен!.

Насл1док 2.1.1. Нэхай .{ Çi, itO } - посл!довн!сть незалежних однаково розподйлених випадкових величин i припустимо, що !снус р > 0 , таке, що t » Eexp(pÇo) < « , тобто Ça задовольняс умов! Крамера. Тод! для t > max (8,-361nô + д2) виконуеться нер!вн!сть

| Р{ бг > t } - <i-e)H(t/9> | s A0 9 [ ( (4Ка - 3) t t

.+ 2Ыа( Ma - 1 ) Q )c ],n"nn,+B)exp< -pt/(6 + lny ) .

да Aq = (1/(2(1-9)') + 2)exp(1/(lnr + B))i

с = (2Ыая+ 2Ыа - З)-1*-1©"®« Uz = EÇoa.

Наол1док 2.1.2. Нехай { Çi. !гО } - посл!довн!сть незалекних однаково розпод!лених випадкових величин ! !снус EÇor < <» да доякого uiJîoro г г 2. Тод.1 для t > 26 справедливо

I p{ er > t ) - (i-e)HCl/e>i s е t1_r Ср e .

2г"ар»

Д0 с„ я = -^ (Мза+ ЗМа - 3) + er"22r"l[2r"l(1+2/r)rE|go-l|r+

г.* (1-е)3

+ ((!> + 2)2(Мз-1)ег)г_1 (r-1)!] ; Ma = E^o2 .

Наол1док 2.1.3. Нехай посл1довн1сть { 5i. 1г0 } незалежних гэоднаково розпод1лених випадкових величин с обмеженою:

0 < < а < « для деякого а > 1 i ycix i i 0. Тод! для t > > 6а max(1,(a-1)_l) справедливо

1 Р{ ет > t } - (1-б)ниуэ,| s —exp(-t/a)((4a + 3)t + •

2(1-ö)3

+ (2аа + За - 1 ) е) .

Заувакення 2.1.1. В уыовах на'сл!дку 2.1.3 справедлива . piBHOMipna оц1нка

I PC er > t } - (1-0)на/9,| s —(баа + 6a - 1)

2(1 -в?

У § 2.2 розглядаеться схема розр1диення у класичн1й

постановц1, ало для доеить загального вх!дного потоку.

Нохай { iai } - посл1довн1сть нев1д'емних випадкових

величин, як1 задзють 'рахуючий' процес

v(t) = max{ n: Sn = Г,"^« 5 ^ } '

i мають другай момент. Пот1к п!длягае розрЛдженшо: кожна точка

потоку залишаеться в льому з йыов1рн!стю 0 i в1дкидасться з

Яыов1рп1отю 1-9. Внасл1док такого розр!даення в!дстань wis

оус1ди1ми точками потоку являе собою. суыу геометричного числа

випадкових величин. У ' параграф! знайдена оц1нка зближепня

розр1дженого потоку vAt/d) з процесоы Пуаеона. ö

ТЕОРЕМА 2.2.1. Для довЛльного ц1лого п г О справедлива

neplBHiOTb - • '. . " .

|Р{ ue(t/9) = и } - exp(-eH(t/e))i^]^-| s e2H(t/0) + e2D(t/e),

де H(t) я Ev(t) , D(t) = E(i>(t)-H(t))2.

- а -

Дол! цей результат застосовуеться до вшадк!в, коли початковий пот1к являв собою процес в!дновлення, 1 коли ' пот!к задаеться посл!довн!стю неоднаково розпод!лених випадкових величин, як! задовольняють деяк1й уыов! "стар!ння".

Нохой { 51,' } е пасл!довн!стю нез а лезших однаково розпод1лених шшадкових величин. Позначимо

М = 1:51, гх = Е51а/(2Ыа). Насл1док 2.2.1. У даних щлшущеннях розр1даений пот1к зб!гаеться до процесу Пуасона при & 0 так, що справедлива оц!нка

|р{ Уе(г/е) а п } - ехр(^/м)(гп/(мпп!)| £ е ( д ( 8х - 2 ) +

+ шах { 1, 2Х - 1 > + ( 8Ха~ 2Х - 1 )в) для ус1х п а О.

Насл!док 2.2.2. Нехай { £1, !Ы } е посл1довн1стю незалекних випадкових величин, яка задовольняе уыов! вир Е(£1-х/£1>х), = вир 1 .г00 51(у) <5у £ а < <о,

де а - деяке число, 81 (х) в р { ь х } , 1 Е?1 » 1 для ус!х 1 г 1. Тод! розр!даений пот!к 1>.0(1;/в) зб!гаеться до процес: Пуасона при в 0 так, що виконусться оц1нка

| Р{ 1>е(Х/д) = п } - ехр(-Ю^ а в (( 4а + 4 + а +

+ ( 2а2 + 4а - 1 )в)

для ус!х то.

На заключения автор висловлюс велику подяку доктор; ф1 втю-ттема тичних наук дрофесору Карташову М.В. за науков кор!вництво, ц!нн1 поради 1 постШшй !нтерес до роботи.

Основы! результата . дисертацИ опубл!кован! у наотупни роботах:

1. Сугакова Е.В.-' Асимптотическое поведение суш геометрического числа независимых случайных величин в неоднородно случае //Деп. в Укр.НШНТИ 03.03.89, N 677-Ук89, 11 о.

2. Сугакова Е.В. Экспоненциальная асимптотика сумм геометрического числа независимых случайных величин // Теори вероятностей и мат. статистика. 1990. N42, с.135-139-

3. Сугакова Е.В. Асимптотика редеющих потоков // Семшар "Статистический анализ данных".. Тезисы докладов. Болгария. 1990. С. 112,113.

4. Сугакова Е.В. Оценка; скорости" сходимости редеющего потока к процессу Пуассона // Кибернетике. 1991. В 1. С. 128,129,131.

5. Сугакова О.В. Про зб!жн1сть сули геометричного числа вшадкових величин, задвних на ланцюгу Маркова //В1сник Ки!вськогс ун!верситету. Изико-математичн! науки. 1992. Вип.7. С. 110-115.

6. Сугакова О.В. 0ц1нки з вагоп для характеризацП асимптотики сум незалежних вшадкових величин // Теор1я ймов1рностей i мат. статистика. 1993. И 48. С. 185-190.

7. Sugakova E.V. Estimation of the Convergence Rate In Renyi's Theorem in Terms of Renewal Theory //First World Conference of Branching Processes. 5-12 September. 1993- Varna. Bulgaria.