Функциональная центральная предельная теорема в задачах статистической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

Р Г б од

На правах рукописи

- В МАИ 1995 с

ГРИНИВ Остап Олегович

УДК 519.214

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Р. Л. Добрушин

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Р. А. Мпнлос

— доктор физико-математических наук Б. М. Гуревич

Ведущая организация — Международный институт

теоретических проблем прогноза землетрясений и математической геофизики

Защита диссертации состоится 1995 г.

в 16час. 05мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, зуд. 16-24-. - ...

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан " 19 » СшЛьглЛ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача описания формы границы раздела фаз в моделях статистической физики приобрела особую популярность в последние годы. С математической точки зрения она сводится к проблеме изучения асимптотического поведения Последовательности вероятностноых мер, описывающих статистические свойства фазовой границы.

В качестве первого Шага на этом пути возникает вопрос об исследовании средней формы капли при термодинамическом предельном переходе. Как предсказывает широко известная физическая теория Вулфа [1], восходящая к началу века (см. также [2, § 143]), ответ нужно искать в виде решения некоторой вариационной задачи для функционала поверхностного натяжения, однако применимость этой теории к каждой конкретной модели требует отдельного обоснования. На следующем этапе возникает задача об описании флуктуаций фазовых границ вокруг среднего значения, получаемого из конструкции Вулфа. - -

Простейшей моделью, используемой в физической литературе для изучения статистических свойств фазовых границ, является так называемая одномерная БОБ-модель, имеющая естественную -вероятностную интерпретацию. А.именно, рассмотрим однородное случайное блуждание длины п, .порожденное последовательностью целочисленных случайных величин Предположим, что распределение отдельного шага & невырождено- и имеет конечные экспоненциальные моменты в некоторой окрестности нуля (эти условия выполнены во всех физически интересных ситуациях; см., напр., [3]). Пусть £о = О, ¿>1 = •■• , 5„ = £1 + .,. + £„ — последовательность частичных сумм, а <3„ — площадь под графиком случайной кусочно постоянной функции на интервале [0,п], равной на'[»,» + 1). По значениям 5; построим кусочно линейный непрерывный процесс £„(<),£€ [0,1],

&»(*) = £[»(] + {п*К[п£]+1,

[1] Wulff G. Zur Frage der. Geschwindigkeit des Wachstums und der Auflösung der Krystallßachen // Z.Kryst.. 1901. 34. P. 449-530.

[2] Ландау JI. Д., Лифшиц E. M. Статистическая физика. M., 1964.

[3] DeConinck J., I\uiz J. Fluctuations of interfaces and anisotfopy. // J.Phys.A: Math. Gen^l988. 21. P. L147-153.

где [ntj — целая часть вещественного числа nt, a {nt} = ni — [nt] — его дробная часть, и рассмотрим условное распределение цп процесса £n(í) при условии S'n = [яб], Qn = [n2q] (с некоторыми постоянными 6, q) в пространстве С[0,1] непрерывных функций на [0,1].

Из известной теоремы А. А. Могульского [4] следует закон больших чисел для последовательности мер ¡in- Таким образом, конструкция Вулфа для SOS-модели является простым следствием известных результатов о больших уклонениях в пространствах траекторий (см. также [5]). Отметим, что близкие вопросы обсуждались в [6] для некоторого класса SOS -моделей, хотя не все утверждения авторов были математически строго обоснованы.

Вопрос о флуктуациях границы фаз в одномерных SOS-моделях также обсуждался в физической литературе ([7, 3]).). При этом, однако, рассматривались лишь плоские наклонные участки участки фазовой границы без ограничений на площадь. Так, в работе [7] на основании термодинамических рассуждений для некоторой конкретной SOS-модели была получена предельная формула, выражающая дисперсию флуктуации границ фаз указанного вида в одной,точке через жесткость. В [3] эта формула была доказана для более широкого класса SOS-моделей.

Полное исследование флуктуаций границы раздела фаз в рамках описанной выше модели-содержит первая глава-диссертации, где доказана функциональная центральная предельная теорема для последовательности мер [лп.

Аналогичная задача об описании формы границы раздела фаз в модели Изинга является более интересной, хотя и более сложной из-за присутствующих зависимостей и возможности фазовых переходов, что, в свою очередь, вынуждает применять громоздкую технику

[4] Могульский А. А. Большие уклонения для траекторий конечномерных случайных блужданий // Теор. вероятн. и прим.. 1976. 21. С.309-323.

[5] Dembo A., Zeitouni О. Large Deviations Techniques and Applications. Boston, London, 1992.

[6] DeConinckJ., DunlopF., and Rivasseau V. On the .microscopic validity of the Wulff construction and of the generalized Young equation // Comm. Math. Phys.. 1989. 121. P. 401-419.

[7] Akutsu Y., Akutsu N. Relationship between the anisotropic interface tension, the scaled interface width and the equilibrium shape in two dimensions // J.Phys.A: Math. Gen.. 1986. 19. P. 2813-2820.

кластерных разложений для изучения соответствующих гиббсовских мер. Первые глубокие результаты на этом пути были получены в [8, 9]. В недавней книге [10] была доказана применимость теории Вулфа к двумерной ферромагнитной модели Изинга при всех достаточно низких температурах. Наконец, в [11, 12]. этот результат был продолжен для всех субкритических температур.

Вопрос о флуктуацнях фазовой границы для двумерной ферромагнитной модели Изинга также обсуждался в литературе. На физическом уровне [13, 7] делались попытки обосновать упомянутую выше формулу, описывающую связь дисперсии одномерного колебания с жесткостью, исходя из физических аналогий.

В единственной известной автору математической работе на эту тему [14] изучались флуктуации горизонтального участка границы раздела фаз (т.е., с единственным условием вида Бп = 0) и была доказана слабая сходимость соответствующих мер к распределению броуновского моста.

Полное решение задачи об описании флуктуацнй куска границы раздела фаз для двумерной ферромагнитной модели Изинга в рамках рассматриваемой ситуации (т.е., с фиксированной площадью и

[8] Минлос Р. А., Синай Я. Г. Явление "разделения фаз" при низких температуры в некоторых решетчатых моделях газа. I // Матем. сборник. 1967. 73. С. 375-448.

[9]"Минлос Р. А., Синай Я. Г. Явление' "разделения фаз" при низких температурах в некоторых решетчатых моделях газа. II // Труды Московск. матем. общ.. 1968. 19. С. 113-178.

[10] Dobrushin R., Kotecky R.,' and ShlosmanS. Wulff Construction: a Global Shape from Local Interaction. Providence, R.I.,' 1992.

[11] Ioffe D. Large Deviations for the 2D Ising Model: A Lower Bound without Cluster Expansions // J. Stat. Phys.. 1994. 74. P. 411-432.

[12] Ioffe D. Exact large deviation bounds up to Tc for the Ising model in two dimensions. // Prob. Theo. Rel. Fields. .

[13] Fisher M. P. A., Fisher D. S., and Weeks J. D. Agreement of Capillary-Wave Theory with Exact Results for the Interface Profile of the Two-Dimensional Ising Model // Phys. Rev. Lett.. 1982. 48, No 5. P. 368.

[14] Higuchi Y. On some Limit Theorems Related to the Phase Separation Line in the Two-dimensional Ising Model // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete. 1979>50. P. 287-315.

правым концом) содержится во второй главе диссертации, где установлена функциональная центральная предельная теорема для мер. описывающих статистические свойства таких фазовых границ.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование ■ флуктуации куска границы фаз относительно соответствующей части кривой Вулфа для БОБ-модели и модели Илинга.

л

Методы исследования. В диссертации используются асимптотические методы теории вероятностей, методы выпуклого анализа и техника кластерных разложений.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следующие новые задачи:

1. Исследовано асимптотическое поведение флуктуации для однородных случайных блужданий с фиксированными значениями интеграла от траектории и значением в конечной точке. Для указанных блужданий доказана следующая теорема: если условия (т.е., значение интеграла от траектории и значение в конечной точке) находятся в области больших уклонений, то меры, описывающие флуктуации рассматриваемых траекторий, слабо сходятся' в пространстве непрерывных функций к некоторой гауссовской мере. При этом предельная мера совпадает с условным распределением гауссорского процесса, полученного путем интегрального преобразования белого шума:

'2. Изучено предельное поведение флуктуации для участка границы раздела фаз в двумерной ферромагнитной модели Изинга относительно кривой Вулфа. Для мер, описывающих эти флуктуации, доказана функциональная центральная предельная теорема. Параметры предельного распределения определены в терминах свободной энергии для высоты участка фазовой границы.

3. Исследованы границы-применимости полученных результатов. Выяснен геометрический смысл условия допустимости и предложена его интерпретация в терминах логарифмической производящей функции одного шага.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут, быть полезны специалистам, .работающим • в различных областях теории вероятностей и ее приложений, прежде всего в теории больших уклонений, теории гиббсовских полей и статистической физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры теории вероятностей, на семинаре по многокомпонентным случайным системам ИППИ РАН, на трех международных конференциях: "Модель Изинга и теория Пирогова-Синая" (Прага, июнь 1994 г.), "Математическая физика и динамические системы" (Москва, июль 1994 г.), "Модель Изинга и близкие вопросы" (Вена, октябрь 1994 г.), а также на научных семинарах ИППММ НАН Украины и Львовского госуниверситета.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и дополнения, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы из 28 наименований. Общий объем диссертации - 98 страниц. Нумерация утверждений, замечаний и формул отдельная для каждой главы и отражает их расположение относительно параграфов; при этом ссылка па формулу (2.45) из главы 1 имеет вид (2.45) внутри этой главы и (1.2.45) вне ее. Исключение составляют теоремы и формулы из введения, для которых принята однозначная нумерация.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий исторический обзор результатов по тематике диссертации, показана актуальность темы, приведены постановки задач и сформулированы основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена изучению статистических свойств границы раздела фаз в одномерной Б О Б-модели, что на вероятностном языке соответствует проблеме исследования асимптотического поведения некоторых условных распределений для однородных случайных блуждащш.

Пусть независимые целочисленные случайные величины £ь имеют одно и то же невырожденное распределение Р(-), сосредоточенное на одномерной решетке 21. Определим множество

Х>{ = {/г е К1 : Ь(Л) = 1пехр{Л£} < оо}

и предположим, что его внутренность содержит некоторую окрестность нуля. • ч.

Для случайного блуждания 5о = 0, 51 = ... , Зь' = £1 + ... + ... , порожденного последовательностью , определим случайный процесс Х„(<), * 6 [0,1],

(1) .ад = 4Ф

и случайную величину • ,

(2) у„ = £ =

где [х] - целая часть вещественного числа х. Для случайного вектора

Ап=(УЙ,5п) = (Гв>^„(1))

1 определим логарифмическую производящую функцию моментов Ьк;п(Н),Н = (ко.ЛО 6К2,.

Ьк,п{Н) — 1пЕехр{(Я, Л„)},

где (•, ■) — обычное скалярное произведение векторов. На множестве Х>д конечности функции (•) рассмотрим новый случайный вектор Л„,я с Я-перекошенным распределением

' ' ' Р#(Л„,я = М)'= ехр{'(М, Я) — Ьл,п(Я)} Р(А„ = М).'

Определение. Последовательность векторов Ап 6 К2, —>

А = (9,6), 2д -ф. Ь, называется Л-регулярной, если выполнены следующие условия:

1) имеет место оценка п~1Ап — А = о(п-1^2) при п —У со;

2) для любого натурального п вероятность Р(Л„ = Ап) положительна; - -

3) для любого натурального п существует решение Нп Нп(Ап)уравнения

N

4) существует решение Н = (/го, /ц) € Рд уравнения

(3) Чн ^ Щ1-х)ко +¿х-Л,

Jo

где обозначает градиент. При таком выборе предельного вектора А выполнено неравенство

Л о ф. 0, что позволяет определить функцию

ен(<) = (£(Л1 + Л0) - + Л0 - Л0г))/Л0.

Для всякого п и последовательности 5о, 51, ... , определим случайную ломаную £,,(£), < € [0,1],

где {ní} = Ы — [п£] - дробная часть числа , и рассмотрим случайный процесс

. М*) = (£п(0|л„ = Л.).

Пусть /¿* — распредетепие процесса нормированных флуктуации !?*(<) относительно функции

.(4) ВД^ОМ*)-"^*)),

в пространстве С[0,1] непрерывных функций на отрезке [0,1].

Следующее утверждение является основным результатом первой главы.

Теорема 2. Последовательность мер ц*п слабо сходится к некоторой гауссовскоп мере ¡1* в С[0,1]. Предельная мера ¡л* совпадает с условным распределением случайного процесса

= (\ь"{Ъо + Лх - Ъъх))т<1юх, I 6 [0,1], ./о

где (Ьух обозначает белый шум, при условии

*7= /"'£(<) Л = 0, £(!)=0. Jo .

Другими словами, предельный условный гауссовский процесс

''■*(*) = (*(*) и = 0,1(1) = о>

имеет нулевое среднее и корреляционную функцию

^ «¿"(А! + хйо) ¿X аг£"(Л1 + ®Л0)-&

где а Л < = шш(5, 2).

Доказательство этого утверждения основано на применении техники. теории больших уклонений в сильной форме и содержится б, §§2-4 главы 1.

Для каждого натурального к I! множества 5 вещественных чисел й,, 0 < < ¿2 < •'•<£/; < 1 = рассмотрим случайный вектор (см. (1), (2)) ,

©п = (У„, Хп(81),..:, Хп(в*), Ха(1)) 6 2.

Тогда для Л-регулярной последовательности Ап = (а°п, а*) и любого Мп = (а° , т^,..., а„) с целыми гп'п справедливо равенство

(6) Р(АпЫ = т1...,Хп(зк) = т* | А„ = =

связывающее конечномерные распределения условного процесса вп (1) с распределениями векторов 0„ и Л„.

Для оценки числителя и знаменателя в (6) применил! преобразование Крамера распределений случайных векторов Ап и 0П с параметрами Н € К2, Н £ Е^"1"2 соответственно. Для полученных в результате такого преобразования случайных элементов'Лг^я и 0„,н в §2 доказана локальная предельная теорема 2.2.

Простым следствием из этого утверждения является теорема 3.2 о сходимости конечномерных распределений условного случайного процесса (ср. * (4)) . -. . - - •

■ 0;(<) = (Х„(О-пен(<)|А„ = Ав).

Основным результатом §3 является

Лемма 3.3. Существуют такие положительные постоянные ро, по и С, что для всех р, 0 < р < ро, п ^ по и всех ^ = 1,..., п выполнено неравенство

Е(ехр{р|^|}|Ап = Лп)<а.

Отсюда непосредственно следует теорема 3.5 о сходимости конечномерных распределений процесса к соответствующим распределениям случайного процесса #(<) с корреляционной функцией 72.^, в) из (5).

Наконец, в §4 доказана

Теорема 4.1. Существуют такие положительные постоянные С

я по, что для всех п ^ щ имеет место неравенство

равномерно по всем отрезкам [«„,£„] С [0,1], йп <tn.

Сформулированный результат влечет слабую компактность последовательности мер /(* и вместе с теоремой 2.2 из главы 9 книги [15] заканчивает доказательство основного результата первой главы — теоремы 2.

Изучению аналогичного вопроса в рамках двумерной ферромагнитной модели Изинга посвящена вторая глава диссертации.

Пусть V = Ум,м, М > 1 - подмножество точек двумерной целочисленной решетки 7?,

Умм = {< = (¿1Л2) 6 22; 0 < Н < N. 1 -М <и <М).

Для некоторого ф £ (—7г/2, тг/2) зафиксируем гтзапичные условия

[ +1, • при Г2 > ¿1

ОТ -

I — I

I —1, при ¿2 ¿1 Щф-

При этом каждой конфигурации <гу £ 0.у =..{—1,1}1' соответствует одпнетвенный незамкнутый контур 5, называемый границей раздела фаз. На множестве Оу рассмотрим гиббсовское распределение с граничными условиями а

гуА^ё*) =--. с е йг.

где гамильтониан И(<г\д*р) определяется по формуле

|г-*!=1 (¿-«1=1

статистическая сумма ¿(сг^) равна

Е ехр{-/ВДг*)}?

[15] Гнхман И. II., Скороход А. В. Введение в теорию случайных яре цессов. М.. 1977.

а параметр ß > 0 играет роль обратной температуры. Распределение Pvjj(-K). в свою очередь, индуцирует распределение IJv/fi( на множестве Tv,v границ раздела фаз S в объеме V, согласован ных с граничными условиями В случае достаточно больших / возможен предельный переход по М —> оо, в результате которого по лучим (ограниченное) каноническое распределение Раг|¥,(-) на множе стве = к = [// tg ip], фазовых границ S в вертикальной полоа V/v = Vpjt00 (ср. [10, §4.3]). При тех же ограничениях на параметр / определено также и распределение Pjv(-) в пространстве Tn всевоз можных фазовых границ в вертикальной полосе Vjv, Ты — U fcgs1 Ты,к

Каждому контуру S ETn мы поставим в соответствие его вы corny h(S), равную разности ординат его конечной и начальной то чек, и площадь a(S), определяемую следующим образом. Фиксиро ванный контур S целиком принадлежит внутренности всех объемо: Vn,m с достаточно большими М > Mq(S), деля при этом прямоуголь ник Vtfji на Две части, нижнюю и верхнюю. Обозначая площади эти: частей через Q^ и Q^ соответственно, положим

a(S) = адг(5) = (Q- - Q+ )/2

. Рассмотрим экспоненциальный момент случайной величины h(S относительно Рдг(-),

Z(N,H) = Eexp{ßHh(S)} =

где статистические суммы E(N, H), E(N) определены в §1 Главы (см. также [10, §4.3]). Известно ([10, Теорема 4.8]), что для всех Н 3?Я 6 (—2,2), существует предел

F(H) = lim W-l]nE(N,H),

- . N-*oо

называеемый свободной энергией, отвечающей высоте h(S) фазово границы S.

Зафиксируем произвольные последовательности . вещественны чисел bfi, gN, такие, что: Nb^ и 2N2qti являются целыми числам! Ь„ —> 6, qn q ф 6/2, причем выполнены условия Ъп — Ь = o(l/vN] <1N — Я — o(lf-/N). Из геометрических соображении очевидно, чт вероятность Pjv(/i(S) = Nb^,a(S) — N2q^) положительна при все N, если только числа Nb^ и 2N2qw имеют одинаковую четность.

Зафиксируем произвольный контур S s Tn и для каждого не турального к — 1,2,...,N определим величины g^(k) = тах{<2

(к, 1.п) £ 5}. Пусть др(х), х £ [0, /V], обозначает кусочно линейную интерполяцию значений д%[к), к — 0,1,.. (с 0) = 1/2). Обозначим

$(1)=д+т~д+( 0), <£[0,1], и рассмотрим условный случайный процесс

-М0 = ($(<)М^ = Л2длг,М 5)= Маг)/ *е[0,1].

Определим функцию

ё{?) = {Р{Н+СЗ)-Р{Н + (3-С}1))/рС}, где Н, <5 - решения системы уравнений

^ | /о Р'{н + уО) ¿у . =ь,-.

(Как показано в §2 дополнения, для любой пары вещественных чисел о, д существует единственное такое решение, причем условие 1(\ фЪ обеспечивает неравенство <5 ^ 0) и рассмотрим случайный процесс

Для меры /Хдг, отвечающей случайному процессу 0у(<) справедлива

Теорема 1. Последовательность мер /л^ слабо сходится к гаус-совскоп мере ц* в С[0,1], совпадающей с условным распределением случайного процесса £(<), £ £ [0,1], полученного в результате интегрального преобразования белого шума Ло,, ^

£(<)= ['0-1{Р"(Н + (Э-С38))Ф<1у,„ -J о .

.три условии

£(1) = 0 я / £(*)Л = 0. ./о

Доказательство Теоремы 1 содержится в §§2-6 главы 2. Ключевая идея используемых рассуждений состоит в следующем. При очень низких температурах распределение Рдг(-) в известном смысле [10] приближается распределением некоторой БОБ-модели, для которой справедливы результаты главы 1. Поэтому, применяя технику кластерных разложений, аналогичные результаты удается доказать и для распределения Р//■(•)> если-только температура 1/0 достаточно мала.

В §2 построено полимерное представление некоторой статистической суммы и получены оценки на полимерные веса, на основании которых в §3 доказано существование кластерного разложения и изучены некоторые предельные свойства этой статсуммы. Рассуждения остальных §§4—6 главы 2 идейно повторяют доказательства аналогичных утверждений из §§2-4 главы 1, хотя технически.они более громоздки, что обусловлено природой кластерных разложений.

Наконец, в дополнении приведены вспомогательные факты, используемые в основном тексте:. § Г содержит некоторые свойства выпуклых функций, в §2 исследуется вопрос о разрешимости уравнения (3), а в §3 доказана лемма 1.2.3 об арифметических прогрессиях.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору P. JI. Добрушину за полезные обсуждения и внимание к работе.

Часть результатов диссертации получена при поддержке Фонда

Джорджа Сороса.

t . *_ ' .

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ'

1. Dobrushin R., Hryniv О. Fluctuations of Shapes of Large Areas under Paths of Random Walks. E. Schrodinger Int. Inst, for Math. Pbys.

• Vienna, 1994, No 176V P. 1-40 (preprint).'

2. Dobrushin R., Hryniv 0. On'Fluctuations of the phase boundary in the 2D Ising Modet around the .Wulff Shape. — Collection of Abstracts of Lectures given at the Seminar "On the Ising Model and Around it", Erwin Schrodinger Institute, Vienna, October 17-24,1994.. E. Schrodinger Int. Inst, for Math. Phys. Vienna, 1994, No 183. P. 4-5 (preprint).

3. Гринив О. О., Добрушин P. JI. 0 флуктуациях формы Byлфа в двумерной модели Изияга. С. 1-6 (деп. в ВИНИТИ 24.03.1995, N= 809-В95).

В совместной работе [1] Р. Л. Добрушину принадлежат теоремы 2.1,2.2 и 9.1, а также §1 и §3; автору принадлежат теоремы 2.3 и 9.2, а также результаты §§4-8. В работах [2, 3] Р. Л. Добрушину принадлежит постановка задачи и обсуждение возможных обобщений; автору ;— доказательство основной теоремы.

Подписано к печати" /Л ОН _ 1995 года.

Отпечатано на ротапринте в Формат бумаги 30x42/4

Производственном комбинате Объем ¿Lr пл.

Литературного фонда Зазс. у Тир. ¡00

ул. Усиевича, д. 8-а Тел. 152-17-71