Функциональные методы в неравновесной статистической физике систем гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера СО РАН

На правах рукописи

КОЛОКОЛОВ Игорь Валентинович

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В НЕРАВНОВЕСНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ СИСТЕМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК—1998

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: ЗАХАРОВ

Владимир Евгеньевич

— академик, Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, п. Черноголовка Московской области.

КУЗЬМИН Геннадий Андреевич

ЛИПАТОВ Лев Николаевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

— доктор физико-математических наук, Институт теплофизики

им. С. Кутателадзе СО РАН, г. Новосибирск.

— член-корреспондент РАН, Институт ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН, г. Санкт-Петербург.

— ГНЦ РФ "Институт теоретической и экспериментальной физики",

г. Москва.

Зашита диссертации состоится

« /О1

1998 г. в

часов на заседании диссертационного совета Д.002.24.01 в

Институте ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН.

« 30 "

Автореферат разослан

Л

1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

ф.

В.С. Фадин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Физика классических сильнонеравновесных систем испытывает в настоящее время бурное развитие, внешне проявляющееся в резком увеличении числа экспериментов, натурных и численных, теоретических работ, конференций и т.д. Не в последнюю очередь это связано с тем, что были созданы методы, позволяющие решать некоторые модели, сохраняющие взаимодействия гидродинамического типа (перенос случайным полем скорости), но более простые чем, скажем, задача о гидродинамической турбулентности в рамках уравнения Навье-Стокса. При этом выяснилось, что многие нетривиальные явления: аномальный скейлинг высших корреляционных функций, сильно негауссова статистика локальных величин типа поля диссипации и т.д., ранее наблюдавшихся в экспериментах и не имевших никакого (достоверного) объяснения ни в каком случае, имеют место и в этих решаемых моделях, причем последние могут описывать конкретные физические ситуации.

Целью настоящей работы являлось развитие формализма функци-энального интегрирования в виде, адекватном для задач турбулентного гипа, и решения с его помощью моделей пассивного переноса в случай-дых полях скорости с различными статистическими свойствами. Кроме гого, в работе разработан инстантонный подход к определению хвостов функций распределения флуктуирующих наблюдаемых для неравновесных классических систем и с его помощью найдены высокие моменты градиентов поля скорости в уравнении Бюргерса со случайной накачкой.

Научная новизна.

Как методы, развитые в диссертации, так и результаты, полученные с их помощью, являются новыми и основополагающими. Основными результатами являются вычисление аномальных индексов четырехточечного коррелятора пассивного скаляра в быстром многомасштабном поле скорости, как глобального (непертурбативного) , так и локальных (пер-турбативных); нахождение точных функций распределения локальных величин типа поля диссипации в некоторых моделях пассивного переноса, обнаружение явления обратного каскада при переносе сжимаемым полем скорости и вычисление асимптотик функций распределения производных поля скорости в уравнении Бюргерса со случайной накачкой, существенно зависящих от вязкости.

Практическая ценность результатов работы.

Классические системы гидродинамического типа, с точки зрения эксперимента, обладают замечательным свойством - во многих случаях непосредственно измерим сам флуктуирующий локальный параметр порядка. Это позволяет из экспериментальных данных извлекать корреляторы высокого порядка и даже полные функции распределения. Возникает надежда на обнаружение новых, специфичных для сильно неравновесного состояния, универсальных характеристик. Поэтому необходимо в рамках упрощенных, но по-прежнему нетривиальных, моделей получение по возможности наиболее полной статистической информации.

Данная работа и посвящена решению этой задачи для пассивного скаляра и турбулентности в уравнении Бюргерса: в ней вычисляются коррелятора высокого порядка и функции распределения различных наблюдаемых.

Апробация работы.

Работы, положенные в основу диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах в ведущих отечественных и зарубежных научных центрах, таких как ИЯФ СО РАН (г. Новосибирск), Институт физических проблем им. П.Л.Капицы (г. Москва), ИТЭФ ГНЦ РФ (г. Москва), Институт высших исследований (г. Прин-стон, США), Институт науки им. Х.Вейцманна (г.Реховот, Израиль).

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из девяти глав и заключения, изложена на 166 страницах машинописного текста, содержит 110 наименований библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой, вводной, главе обсуждается актуальность задач, рассматриваемых в диссертации, приводится краткое описание содержания работы.

Во второй главе диссертации рассмотрен перенос пассивного скаляра гладким двумерным бездивергентным случайным полем скоростей, подчиняющимся гауссовой статистике. Показано, что при изучении корреляций пассивного скаляра на расстояниях г , много меньших масштаба Ь внешней накачки, в задаче возникает большой параметр 1п Ь/г. В главном порядке по этому параметру статистика пассивного скаляра в(г, /) оказывается гауссовой для произвольного времени корреляции скорости вплоть до моментов с номерами порядка 1а Ь/г, причем

№,Г1М^,г2)> = Р^ЩЬ/ъ) - — *а>3 - (1)

при ¿1 > <2, ~ гг. Для определения зависимости ляпуновского показателя Л, определяющего корреляционные функции поля в(г, от времени корреляции поля скорости, построена эффективная двумерная квантовая механика. Изучены предельные случаи быстрого и адиабатического изменения этого поля по времени. Для промежуточных времен корреляции найдена интерполяционная формула, с хорошей точностью описывающая результаты численных расчетов. Для некоррелированного по времени поля скоростей с той же логарифмической точностью найдена одноточечная функция распределения Р{6).

В третьей главе диссертации точно вычисляется четырехточечный коррелятор поля в в двумерном крупномасштабном, но некоррелированном по времени поле скоростей. Это важно, так как выход за рамки главного логарифмического приближения имеет принципиальное значение как для определения степени равномерности этого приближения, так и для перехода к многомасштабному случаю. С той точки зрения существенны найденные слабые угловые сингулярности в вычисляемом объекте в инерционном интервале. Кроме того, как уже отмечалось выше, для корреляторов некоторых важных физических величин главный логарифмический вклад сокращается и необходимо знать аналитическую структуру следующих - негауссовых - слагаемых.

Четвертая глава посвящена статистике пассивного скаляра в быстром и гладком поле скоростей в произвольном числе измерений. В ней также решена формальная задача о распутывании упорядоченных экспонент от матриц N у. N и найден соответствующий спектр ляпуновских показателей.

В пятой главе получены результаты принципиального характера, относящиеся к полю скорости с нетривиальной масштабной размерностью стуктурной функции. Именно: впервые в динамической модели показана доминантность негауссовой части высших корреляторов в инерционном интервале и найдены обеспечивающие это аномальные индексы (конкретно - одновременной четырехточечной корреляционной функции пассивного скаляра). При достаточно большой размерности пространства d аномальная добавка к скейлинговому индексу лидирующего вклада в коррелятор имеет вид:

д _ Д2 = 4llJL, (2)

где 7 - масштабный показатель поля скорости. Также сформулированы правила слияния (или, что то же, операторная алгебра) на уровне четырехполевых объектов. Эти правила определяют локальные наблюдаемые.

В шестой главе снова изучается перенос пассивного скаляра гладким (крупномасштабным) полем скорости, быстро изменяющимся по времени. Рассмотрена одномерная модель и, следовательно, поле скоростей принципиально сжимаемо. Последнее обстоятельство приводит к качественно новому эффекту - явлению обратного каскада. Именно, одновременные корреляторы разностей значений поля скаляра в в пространственно разнесенных точках велики вне инерционного интервала и параметрически малы внутри последнего. При увеличении расстояния между точками статистика разности 0\ — &2 стремится к гауссовой.

Другим важным результатом, относящимся к одномерной модели и описанным в этой главе, является точное вычисление функции распределения темпа диссипации f = k(V0)2 в пределе большого числа Пекле. Как пик, так и хвост распределения вероятности значений е в данной точке пространства оказываются существенно негауссовыми. Для решения этой задачи был развит метод разделения временных масштабов.

В седьмой главе вычислена функция распределения темпа диссипации с пассивного скаляра в данной точке для двумерного гладкого и быстрого несжимаемого потока, то есть, получено обобщение одного из результатов предыдущей главы на два измерения. Показано, что по-прежнему работает идея разделения масштабов. Асимптотика найденной функции распределения V(c) при больших с:

Р(е) ~ е-^ехр (-Ъ{2т't)1'3 ¡2) . (3)

б

функционально совпадает с одномерным случаем и согласуется с данными натурных и численных экспериментов.

В восьмой главе показано, что явление обратного каскада, изученное в главе б в задаче об одномерном пассивном переносе, имеет место и в высших размерностях I < с! < 4, если параметр, описывающий сжимаемость поля скорости, превышает некоторое пороговое значение. Вычислены функции распределения разностей в\ — (?2 значений поля скаляра в пространственно разнесенных точках, имеющие универсальные асимптотики на хвостах и вблизи максимума.

Девятая глава посвящена формулировке и развитию инстантонного метода для функциональных интегралов - производящих функционалов средних в динамических неравновесных системах. Далее этот метод при-мененяется к турбулентности в уравнении Бюргерса с накачкой:

д(Ь + идхи - ид^и = ф (4)

В результате вычислен левый (существенно зависящий от вязкости) хвост функции распределения градиентов и разностей скорости и ( инвариантных относительно преобразования Галилея величин) и описаны также некоторые дальнейшие достижения.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. При изучении корреляций пассивного скаляра в гладком двумерном

" бездивергентном случайном поле скоростей, подчиняющимся гауссовой статистике, на расстояниях г , много меньших масштаба Ь внешней накачки, в задаче возникает большой параметр 1п Ь/г. В главном порядке по этому параметру статистика пассивного скаляра в(г, ¿) оказывается гауссовой для произвольного времени корреляции скорости вплоть до моментов с номерами порядка 1п Ь/г. Найдена зависимость ляпуновского показателя и определяемых им корреляционных функций поля в(г,<) от времени корреляции поля скорости.

2. В ведущем порядке по 1п Ь/гцл вычислена одноточечная функция распределения Т(9) для некоррелированного по времени поля скоростей вплоть до негауссовых хвостов, которые оказываются экспоненциальными .

3. В двух же измерениях найдена четырехточечная корреляционная функция пассивного скаляра для быстропеременного гладкого поля скоростей. Её негауссова часть определяет те величины, для

которых главный логарифмический вклад сокращается. Показано наличие слабой угловой особенности для расстояний в инерционном интервале.

4. Развит аппарат для изучения статистических свойств пассивного скаляра в гладком поле скоростей в N - мерном случае. Вычислена одноточечная статистика для некоррелированного по времени переноса (вплоть до моментов порядка 1п у ) и найден спектр ляпуновких экспонент.

5. Для поля скорости с нетривиальным скейлингом показана параметрически сильная негауссовость пассивного скаляра в инерционном интервале и для большой размерности пространства найдены аномальные индексы четырехточечного коррелятора. Сформулированы также правила слияния, определяющие локальные объекты.

6. Для одномерного сжимаемого и двумерного несжимаемого гладких случайных полей скорости вычислены функции распределения дис-сипативного параметра, локальной величины, чувствующей динамику на диссипативном масштабе. Показано, что эта функция распределения - существенно негауссова с (по-видимому) универсальным хвостом. Она объясняет данные численных и натурных экспериментов.

7. Показано, что в сжимаемом поле скорости может возникнуть обратный каскад - перенос возбуждения по спектру с малых расстояний на большие. В случае крупномасштабного переноса найдены иллюстрирующие это явление функции распределения.

8. Найден левый хвост функции распределения градиентов и разностей скорости для задачи о турбулентности в уравнении Бюргерса. Этот хвост существенно зависит от вязкости и убывает медленнее, чем гауссово распределение. Последнее обстоятельство позволяет говорить об аналитическом описании статистической перемежаемости в нелинейной системе, исходя из уравнений движения. Выделены также мягкие флуктуационные моды, происходящие из галиле-евской инвариантности теории.

Основные результаты диссертации опублихованы в следующих работах:

1. М. Chertkov, Y. Fyodorov, I. Kolokolov, J.Phys. A, 27, 4925 (1994).

2. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev, Phys. Rev. E 51, 5068 (1995).

3. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev, Int. J. of Mod. Phys. BIO, 2273 (1996).

4. E. Balkovsky, M. Chertkov, I. Kolokolov ,V. Lebedev, Письма в ЖЭТФ, 61, 1012(1995).

5. M. Chertkov, A. Gamba, I. Kolokolov, Phys. Lett. A 192, 435 (1994).

6. A.Gamba, I.Kolokolov, Journ. of Stat. Phys., 85, 489 (1996).

7. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev, Phys. Rev. E 52, 4924 (1995).

8. M.Chertkov, I.Kolokolov, M.Vergassola, "Inverse cascade and intermittency of passive scalar in Id smooth flow", chao-dyn/9706017, Phys. Rev.E, ноябрь 1997.

9. M.Chertkov, G.Falkovich, I.Kolokolov, "Intermittent dissipation of a passive scalar in turbulence", послана в Phys. Rev. Lett.

10. M.Chertkov, I.Kolokolov, M.Vergassola, "Inverse versus direct cascade in turbulent advection", chao-dyn/9706016, принята к публикации в Phys. Rev. Lett.

11. G.Falkovich, LKolokolov, V.Lebedev, A.Migdal, Phys. Rev. E 54, 4896 (1996).

12. E. Balkovsky, G.Falkovich, I.Kolokolov, V.Lebedev, Phys.Rev.Lett. 78, 1452 (1997).