Функциональные методы в неравновесной статистической физике системы гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

А<

! $ !• < /

. российская академия наук сибирское отделение

институт ядерной физики

, г 1V м В А К Р о с г. и и

¿а о - 9лЗ " /.......... ! правах рукописи

.................фМт ггаук !:

^ ' Колекоаю-в Игорь Валентинович

функциональные методы в неравновесной статистической физике систем гидродинамического типа

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1997

1

Содержание

1. Введение

2. Статистика пассивного скаляра в двумерном круп номасштабном поле скоростей ............................16

2.1. Введение.........................................................16

2.2. Формулировка модели с гладким полем скорости ................17

2.3. Подстановка для упорядоченной экспоненты .....................22

—

2.4. Предельные случаи быстрого и медленного неоднородного перено са.....................................................................26

2.4.1 Малые времена корреляции поля скорости ......................27

2.4.2 Медленное поле скорости .......................................34

2.5 Показатель Ляпунова при гауссовой статистике а и произвольном времени корреляции ..................................................37

2.6 Статистика пассивного скаляра ..................................42

Приложение 2А. Деформация контура интегрирования и доопределение функционального интеграла..........................................47

Приложение 2Б. Конечность времени корреляции флуктуаций ляпунов-ского показателя......................................................48

Приложение 2В. Простой способ вычисления показателя Ляпунова. . .54

Приложение 2Г. Диффузия и корреляционные функции на малых расстояниях..............................................................54

3. Точное вычисление четырехточечного коррелятора пассивного скаляра в быстром гладком поле скорости. Двумерный случай.................................59

4. Статистика пассивного скаляра в крупномасштабном поле скоростей; произвольное число измерений.

69

4.1 Формулировка задачи в N измерениях............................69

4.2 Усреднение упорядоченных экспонент в N - мерном случае.......71

4.2.1 Определение спектра ляпуновских экспонент...................76

5. Пассивный скаляр в многомасштабном поле скоростей. Аномальные размерности четырехточечного

коррелятора.....................................................78

5.1 Введение..........................................................78

5.2 Формулировка модели............................................79

5.2.1 Формальное решение и парный коррелятор.....................80

5.3 Четырехточечная корреляционная функция пассивного скаляра. . 83 5.3.1 Уравнение для одновременного четырехточечного коррелятора. 84

5.4 Тетраэдральное представление...................................88

5.4.1 Общий скейлинговый индекс четырехточечного коррелятора. . . 91

5.5 Слияние точек в четырехточечном корреляторе..................94

6. Пассивный скаляр в одномерном сжимаемом поле скоростей. Обратный каскад и статистика темпа

диссипации.....................................................101

6.1 Введение.........................................................101

6.2 Формулировка модели и обратный каскад.......................101

6.3 Динамика в формализме лагранжевых частиц...................104

6.4 Корреляционные функции градиентов поля в в конвективном интервале .................................................................108

6.5 Скейлинг и функция распределения разностей поля 9 в простран-

ственно разнесенных точках.........................................111

6.5.1 Большие расстояния ...........................................112

6.5.2 Инерционный интервал ........................................113

6.6 Функции распределения диссипации и градиентов поля 9 .......116

Приложение 6А.Поведение парного коррелятора поля градиентов на больших временах .......................................................124

Приложение 6Б. Вывод динамической формулировки в теоретико-полевом формализме.........................................................126

7. Статистика темпа диссипации в двух измерениях.

131

7.1 Введение и разделение времен ...................................131

7.2 Вычисление функции распределения 'Р(е)........................135

Приложение 7А. Особенности функции С (г) ........................138

8. Обратный каскад в высших размерностях......140

8.1 Введение и критерий появления обратного каскада..............140

8.2 Статистика 8вг = #(Т, г) — в(Т, 0) в конвективном интервале. . .. 143

9. Метод перевала в динамических функциональных интегралах: турбулентность в уравнении Бюргерса.

146

9.1 Введение.........................................................146

9.2 Функциональные интегралы для моментов градиента скорости и их экстремали..........................................................148

9.3 Выделение мягкой флуктуационной моды .......................154

10. Заключение...............................................158

Литература.....................................................160

1 Введение.

Задача о выводе статистических свойств неравновесного волнового поля, стартуя с динамических уравнений эволюции, восходит к классической работе Л.В.Келлера и А.А.Фридмана [1]. Первый точный результат на этом пути, относящийся к развитой гидродинамической турбулентности, был получен А.А.Колмогоровым [2] - знаменитый закон четырех пятых для одновременной корреляционной функции скорости третьего порядка:

Здесь п = 1//ие = ^< (djVi)2 > - темп диссипации энергии, v - вязкость, и расстояния предполагаются лежащими в инерционном интервале, то есть, I много больше масштаба, на котором существенна диссипация и много меньше масштаба L внешней накачки, создающей стационарное движение. В его работах этого же цикла [2, 3, 4] и работах А.М.Обухова [5, 6] была впервые сформулирована гипотеза подобия. ^ Буквально она формулировалась как предположение о степенном виде парного од-

новременного коррелятора разности скоростей и наличии в инерционном интервале единственного размерного параметра е . После этого из соображений размерности следует закон Колмогорова-Обухова:

В этих работах была также развита восходящая к Л.Ричардсону идея каскада - спектального потока энергии и вообще, любого интеграла движения. В гидродинамической турбулентности реализуется прямой каскад - переход энергии с больших масштабов на малые и так вплоть до расстояний, на которых происходит её диссипация. Подробности см. в книгах [8],[9].

В дальнейшем гипотеза подобия в её буквальной формулировке была распостранена на высшие корреляционные функции, так что их скей-

^ Позже идея подобия получила второе рождение в теории фазовых переходов [7].

(1.0.1)

< ((v(r) - v(r + l))2 >= constе2/3/2/3

(1.0.2)

линговые индексы получались кратными индексу парного коррелятора. Попытка динамического обоснования как закона (1.0.2), так и аналогичных соотношений для высших корреляторов встретила непреодоленные до сих пор трудности, имеющие то же происхождение, что и нерешенные проблемы теории поля - сильное взимодействие и отсутствие каких-либо малых параметров. Огромное количество работ на эту тему использует те или иные предположения о статистических свойствах диссипации, самого поля скоростей и т.д., не имеющие сколь-нибудь разумного обоснования на динамическом уровне. Следует отметить только статьи [10],[11] и [12]. В первых двух было показано, что закон Колмогорова-Обухова проносится через формальный ряд теории возмущений по нелинейности с исключенным переносом. В работе [12] же исследовалась двумерная развитая турбулентность и было обнаружено, что для корреляторов скорости возможно такое пересуммирование теоретико-возмущенческих рядов, что в задаче возникает в качестве малого параметра обратный логарифм отношения масштаба накачки к текущему, лежащему в инерционном интервале (для локальных составных операторов такого параметра нет).

С другой стороны, эксперимент ясно показывает несоответствие наивных скейлинговых оценок для высших корреляторов поля скорости и других наблюдаемых, причем в случае общего положения можно говорить о параметрически сильной негауссовости - неприводимые корреляторы больше приводимых в положительную степень отношения Ь/г, где г - текущий масштаб.

В такой ситуации стало ясно, что, с одной стороны, необходимо начать исследование более простых моделей турбулентного типа, то есть , статистически стационарных неравновесных состояний волновых полей, и с другой - попытаться развить методы, учитывающие переносную нелинейность точно и использующие какой-нибудь другой малый пара-

2)В первом порядке это впервые обнаружил Р.Крайчнан [13].

метр.

Начнем с первого подхода. Важным этапом было построение теории слабой волновой турбулентности - в этих задачах есть хорошо определенные квазичастицы, относительно слабо взаимодействующие друг с другом. Турбулентное состояние хорошо (за некоторыми важными исключениями) описывается кинетическими уравнениями и оказалось, что степенные спектры являются их точными решениями [14]. Было обнаружено также, что наряду с прямым каскадом возможен обратный - "перекачка" дополнительных интегралов движения в большие масштабы. Следует заметить, что качественное представление об обратном каскаде возникло независимо при исследовании двумерной гидродинамической турбулентности [22]. Впечатляющее развитие теории слабой волновой турбулентности описано в книге [15].

Другой класс моделей - пассивные скаляры - сохраняет такую важную характеристику динамики, как пространственный перенос возбуждения полем скоростей, но статистические свойства скорости считаются не зависящими от амплитуды самого возбуждения.

Пассивным скаляром называется поле 0(г, , подчиняющееся линейному уравнению движения :

в + иаХ7а6 = ф + кАв, (1.0.3)

описывающему перенос заданным полем скорости и(£,г) (отсюда определение "пассивный"). Уравнение эволюции включает в себя диффузию кАв (необратимость) и источник (накачку) г). Мы будем рассматривать случайные поля скоростей и задавать будем их статистику. То же относится и к накачке. Мы полагаем источник ф скоррелированным на масштабе Ь. Это значит, что его парная корреляционная функция (<^>(г1, ¿г)) = ^(¿х — ¿2, ^12) как функция пространственного аргу-

мента г 12 — |Г1 —1*21 спадает на расстояниях порядка Ь. То же относится и к высшим корреляторам.

Типичными примерами пассивных скалярных полей являются поле температур в турбулентной атмосфере и концентрация примеси в турбулентной жидкости. Состояние поля будет предполагаться стационарным в статистическом смысле, то есть, мы будем считать времена наблюдения настолько большими, что диссипация и накачка пришли в равновесие между собой и функции распределения физических величин перестали зависеть от времени. Диссипация определяет время установления стационарного состояния, но корреляционные функции на масштабах , больших диссипативного г^//, от неё или не зависят, или же эта зависимость в некотором смысле тривиальна (см. ниже). Следует отметить, что пассивные модели представляют самостоятельный интерес, так как описывают реальные физические ситуации .

Переноситься могут также и векторные поля, например, вмороженное магнитное поле. Задачи такого типа возникают в астрофизике [17], но мы ими заниматься не будем (см. [18]и недавние достижения в статьях [19] и [20]).

Изучение из первых принципов статистических свойств пассивного скалярного поля, переносимого случайным полем скорости с заданной мерой усреднения началось в пионерских работах [21] и [22]. Основное развитие шло в направлении применения тех или иных приближений и подходов, возникших при попытках решения проблемы турбулентности в рамках уравнения Навье-Стокса и результаты получались большей частью соответствующей достоверности. С другой стороны, натурные [23, 24, 25, 26, 27] и численные [28, 29] эксперименты показывали, что статистическая физика турбулентного переноса пассивного скаляра демонстрирует многие черты, свойственные развитой гидродинамической турбулентности: аномальный скейлинг высших корреляционных функций, негауссову статистику локальных характеристик типа темпа дис-

Точное определение диссипативной длины зависит от конкретной статистики поля скоростей и будет приведено ниже.

сипации и т.д. Обнаружение таких явлений в решаемых, стартуя с эволюционных уравнений, моделях стало вызовом теоретической физике.

Вопрос о статистических свойствах решения уравнения (1.0.3) фактически с самого начала сформулирован в терминах функционального интеграла - именно такой смысл имеют усреднения по мерам в функциональном пространстве. Однако развитые в теории поля мощные методы [30, 31] требуют некоторой адаптации к неравновесным задачам и развития сами по себе. Кроме того, в общем случае (произвольной статистике поля скорости) даже пассивная задача очень сложна и достоверные результаты удается получить только в некоторых постановках более частного характера. В данной работе - в главах 2-4,6,8, посвященных пассивному скаляру - подробно изучим случай гладкого поля скорости, когда для изучения локальных характеристик можно использовать разложение функции г) в ряд Тэйлора в окрестности данной точки и задавать статистику коэффициентов этого разложения, как случайных функций времени. Мы исследуем влияние на статистику самого поля конечного времени корреляции поля скорости и вычислим функции распределения параметра диссипации в одно- и двумерном случае. Окажется, что статистика этой локальной величины - сильно негауссова с универсальным хвостом. Полученные результаты объясняют имеющиеся данные численных и натурных экспериментов и дают надежду на понимание более сложных и фундаментальных проблем. Метод, использованный для решения этой задачи - точное (в пределе бесконечного отношения длины инерционного интервала к диссипативной) непертур-бативное разделение масштабов в правильно написанном функциональном интеграле - заведомо найдет более широкое применение.

В главе 8 рассмотрено гладкое и быстрое, но сжимаемое поле скоростей и обнаружено, что начиная с некоторого критического значения параметра сжимаемости прямой каскад сменяется на обратный, причем статистика поля 9(оказывается гауссовой на больших расстояниях

и сильно негауссовой - внутри инерционного интервала.

В главе 5 описаны результаты принципиального характера, относящиеся к полю скорости с нетривиальной масштабной размерностью стуктурной функции. Именно: впервые в динамической модели показана доминантность негауссовой части высших корреляторов в инерционном интервале и найдены обеспечивающие это аномальные индексы (конкретно - одновременной четырехточечной корреляционной функции пассивного скаляра). Также сформулированы правила слияния (или, что то же, операторная алгебра) на уровне четырехполевых объектов. Эти правила определяют локальные наблюдаемые.

Все результаты, относящиеся к пассивно-скалярной турбулентности, не могут быть получены в рамках теории возмущений, использующей разложение в ряд по переносному члену а9 в уравнении эволюции (1.0.3). (Такие попытки между тем предпринимались [32]). Однако при переходе к "по-настоящему" нелинейным задачам мы увидим, что до недавнего времени диаграммная техника Уальда была единственным оружием теоретиков. Эта диаграммная техника имеет свою специфику, но в главную свою характеристику она заимствует из теории поля - это разложение по нелинейности, то есть, для систем гидродинамического типа -по переносу. Наивный ряд теории возмущений изначально был рядом по бесконечно большому параметру. В работе [11] удалось сформулировать свободную от почленных расходимостей теорию возмущений , используя идею Крайчнана [13]. После этого параметр разложения стал в лучшем случае порядка единицы. Однако совершенно очевидно, что непертурба-тивные эффекты в таком случае никакой априорной малости не имеют (а великость - могут).

Давно известно, что если для какой-нибудь величины есть интегральное представление, то можно использовать метод перевала. Если речь идет о функциональном интеграле и никакой возможности считать нели-

нейность малой нет, то параметр, по которому применима квазиклассика, может содержаться в усредняемой величине. По-видимому, впервые эта идея в полевой системе была использована И.М.Лифшицем для нахождения асимптотик плотности состояний электрона в неупорядоченном кристалле [33] ("хвосты Лифшица"). Позже [34] Л.Н.Липатовым было продемонстрировано, как использовать метод перевала для нахождения высоких порядков теории возмущений в квантовой теории поля. Поскольку классические экстремальные конфигурации, локализованные и во времени, и в пространстве, часто называются инстантонами, то мы будем использовать термины - инстантонный подход и инстантонные конфигурации.

Для статистической физики нелинейных неравновесных систем гидродинамического типа метод перевала - в настоящее время единственный подход, который может дать контролируемо достоверные результаты. Более того, ответы, которые так можно получить - хвосты производящих функций и функций распределения - непосредственно наблюдаемы, так как в таких системах измеримой является сама флуктуирующая динамическая переменная. Инстантонный метод для функциональных интегралов - производящих функционалов средних в динамических неравновесных системах 4) - был сформулирован в работе [37]. В ней он был проверен на точно решаемых задачах пассивно-скалярного