Функциональные пространства и некоторые вопросы теории приближения на группе SU(2) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

а .ш г..

На правах рукописи

РЗАЕВ СЕИМУР ФАХРАДДИН оглы

УДК 517.518

Функциональные пространства и некоторые вопросы теории приближения на группе 5Щ2)

(01/01/01 - математический анализ)

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку - 1995

1

Рабоха выполнена в Азербайджанской индустриальном институте Институте математики и механики АН Азербайджана.

Научные руководители:

Член корр. АН Азербайджана, доктор физико-математических на;

проф. А.Д. Гаджиев.

Кандидат физико-математических наук, доц. Х.П.Рустамов.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук: B.C. Гулиев (БГУ им. М.А.Расул-заде)

Кандидат физико-математических наук: K.M. Мусаев (ИММ АН Азербайджана)

Ведущая организация - Азербайджанский инженерно-строителы университет

Защита диссертации состоится 1995 roj

4 4е0 часов на заседании специализированного совета Н.004.0 по присуждению ученой степени кандидата физико-математичес наук при Институте математики и механики АН Азербайджана.

Адрес: 370141, город Баку - ГСП, 141, ул.Ф.Агаева 9, квартал 55 С диссертацией можно ознакомиться в научной библио Института математики и механики АН Азербайджана.

Автореферат разослан " {.Ъ " Q^i"VftSiJiJi_ 1995 года

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

Ю.М.Маме;

ОБшая характеристика работы.

Актуальность темы. Как известно, классический гармонический анализ возник как мощный метод решения задач механики, физики и теории вероятностей. А также известно, что основные результаты классического гармонического анализа можно перенести на случай, когда вместо прямой или окружности рассматривается та или иная топологическая группа. Замечательной аполог классической теории рядов Фурье был создан на компактной группе С в известной работе А.Петера и Г.Вейля, частным случаем которой (для случая когда С —группа вращений окружности) является теорема Вейерштрасса. Дальнейшее развитие теории естественно связанно с развитием общих идей функционального анализа и теории функций.

В 40—х — 50—х гг. появляются работы ИМ.Гельфанда и М.А.Наймарка, которые существенно предопределили развитие гармонического анализа. Эти работы касаются теории унитарных представлений классических матричных групп.

Отметим, что многие авторы в отдельности излагали теорию Петера — Вейля, когда вместо С рассматривается группа Би(2) унимодулярных матриц второго порядка, которые тесно связано с группой 50(3), являюшийся врашением трехмерного евклидова пространства.

Представления Би(2) и БО(3) известны уже давно. Гельфанд и Шапиро дали подробное построение для ЗО(З), показав тем самым, что матричные элементы неприводимых унитарных представлений этих групп выражаются через многочлены Лежандра и Якоби.

Таким образом, существует связь между специальными функциями и матричными элементами представлений групп. Также известно, что специальные функции появились в анализе как решения тех или иных дифференциальных уравнений. К настоящему времени выяснилось, что почти все специальные функции связаны с представлениями группы Ли. При этом групповой смысл приобрела и задача о разложении по этим функциям (разложения представления на неприводимые). То есть, неприводимые представления порождают систему специальных функций на группе (матричные элементы), которые играют роль базисных функций в вопросах ортогонального разложения, аппроксимации и т.д. Специальные функции, возникающие в теории представлений, — это так называемые сферические

функции, связанные с именами Б.Вейля, Э.Картана, И.М.Гельфанда, М.Г.Крейна и др. Однако, эти функции в явном виде известны только для некоторых случаев: Би(2), БО(3) и БО(4)

Отметим, что некоторые задачи теории приближения на группе получены в ряде публикаций Д.З.Рагозина, Л. Клерка, В.М.Тихомирова, И.З.Песенсона, В.С.Гулиева и т.д.

Современное состояние теории приближения на группах характеризуется тем, что исследования в этом направлении фактически только начинаются. Поэтому изучение задачи конструктивной теории функций на группах представляет большой интерес.

Рассматриваемые в диссертации задачи и полученные результаты являются продолжением исследований работ ряда математиков — Н.И.Ахиезера, С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, Г.Г.Кушниренко, Ар.СДжафарова,

В.Н.Малоземова, А.И.Камзолова, АД.Гаджиева, Х.П.Рустамова, А.П. Терехина, В.А. Иванова и др.

Цель работы. Исследования настоящей диссертации посвящены вопросам приближения функций на специальных компактных группах 54(2), ЗО(З) и изучения гладкости функций и взаимно—обратимых связей между структурными и конструктивными свойствами функций в группе 811(2). Также исследуются приближения функций класса Соболева, различными средними рядов Фурье (в частности, методом Фурье); введены модуль гладкости г—го порядка в группе Би(2) и доказаны прямая и обратная теоремы наилучшего приближения на 8и(2); а также изучены пространства Никольского и Бесова на Би(2) в свете теория приближения. Отметим, что на сфере классы Бесова впервые исследовались А.С.Джафаровым.

Метод исследований. В диссертации применяются методы теории представления групп, теории функций, а также методы функционального анализа, так как в основном использована теория мультипликаторов Фурье, теория дробных степеней операторов.

Научная новизна. В диссертации доказаны теоремы, представляющие актуальный научный интерес.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в определении гладкости функций с помощью секвенциального метода обоснования, что отличается своей наглядностью и интуитивными физическими интерпретациями. В настоящее время теория представления

групп имеет большое прикладное значение во" многих областях естественных наук: физики, механики, кибернетики и т.д. Теория представления групп в анализе находит новое применения в теории чисел, в кристаллографии, в теоретической физики и в теории приближения, что делает ее весьма актуальной. В общем теория групп в современной математике объясршет большой обьем и разветвленность теоретико — групповых исследований. Поэтому результаты работы могут быть итпль^ряньт р другие областях математики и физики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах чл.кор. АН Азерб. Республики А.Д.Гаджиева в Институте математики и механики, чл.кор АН Азерб. Республики А.А.Бабаева и доктора физика —математических наук В.С.Гулиева на кафедре "Математический анализ" Бакинского государственного университета им. М.А.Расул— заде, неоднократно на конференции молодых ученых по математике (Баку —1984, 1986, 1994), а также во Всесоюзной летней математической школе современных проблем конструктивной теории функций (Баку—1989).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 статей, охватывающих основное содержание диссертации.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на г', страницах и состоит из введения, двух глав и библиографии. Библиография содержит 100 названий.

Состояние »опроса и полученные результаты. Известно, что на развитие приближения на компактах сильное влияние оказала и продолжает оказывать теория приближения с тригонометрическими полиномами, так как

тригонометрические полиномы — это собственные функции оператора сдвига на окружности. С этой точки зрения они имеют множество "близких родственников". Помимо окружности, существуют другие однородные пространства, на которых действуют группы движений. На таких однородных пространствах имеются специальные функции, подобные гармоникам на окружности и между прочим, во многих случаях можно ожидать, что такие функции сохранят эффективные свойства аппроксимации.

Есть один класс однородных пространств, где уже давно ведется продуктивная работа по исследованию аппроксимативных средств гармонического анализа. Речь идет об п —мерной сфере Б" и даже более широко — о компактных группах римановых симметрических пространствах ранга 1.

Однако, отметим, что группы Б и (2) и БО(3) являются "близкими родственниками" сферы Б3, потому что 5 и(2) и БО(3) локально изоморфны, кроме того, Би(2) как топологическое пространство — гомеоморфно Б3 в четырехмерном вещественном пространстве Я4. Поэтому, постановка вопросов теории приближения на группе Би(2) и БО(3) подобна постановкам анологичных задач на сфере.

Из классической теории приближения функций известно, что между конструктивными и структурными характеристиками функций имеются тесные связи, которые выражаются в виде оценок наилучших приближений через выражения от модуля гладкости и наоборот. Установлением таких связей на сфере впервые занимался Г.Г.Кушниренко. Она исходя из оператора сдвига на Б2 вводила модуль непрерывности для функции ГеСЦБ2) и доказала, в частности, прямую и обратную теорему наилучшего приближения на сфере.

Следующим естественным шагом в теории приближения функций является рассмотрение модулей гладкости высших порядков и распространение прямой и обратной теорем наилучшего приближения на них.

При установлении обратных теорем наилучшего приближения для модулей гладкости высших порядков особых трудностей не возникает, но вопрос, связанный с прямыми теоремами оказался сложным, т.е. он определенное время оставался нерешенным. Однако Лизоркин и Никольский решили ее для гильбертово Ь2 — случая. Следующий шаг в этой задаче сделан Г.А.Калябиным в Ьр для случаев 1<р<оо. И наконец для случая р=1 и р=оо задачи доказаны Х.П.Рустамовым. Отметим, что в случае р=1 и р=оо методика доказательства настолько общая, что может быть использовани для других случаев, например, в случае приближения многочленами Якоби. С помощью этой методики аналогичные вопросы теории приближений на сфере полностью решены на группе Зи(2). Т.е. исходя из оператора сдвига на группе Зи(2) введен модуль непрерывности и на основе этого рассматривались модули гладкости высших порядков и доказаны прямая н обратная теоремы наилучшего приближения на группе Би(2). Таким образом . задачи конструктивной теории функций интересны не только для группы Би(2), по и представляет огромный интерес для любой группы.

{

В Главе I исследуются некоторые аспекты порядковой оценки наилучшего приближения в метрике Lp(SU(2)) и найден точный порядок на классе Wpa(SU(2)). В основном исследуются некоторые вопросы конструктивной теории приближений функций на этой группе, а именно рассматриваются приближения функций класса Соболева, различными средними рядов Фурье.

В Исфашафм i i приведены обозначения, определения, некоторые известные и вспомогательные результаты, которые могут служить кратким введением в теорию приближения на компактных группах, т.е. излагаются некоторые общие предложения касающиеся приближения функций суммами Фурье и наилучших приближений функций, определенных на компактной группе G. Далее, приводятся краткие сведения о группах SU(2) и SO(3) и вводится гладкость функций дробного порядка. А именно, при определении пространства бесселовых потенциалов Wpa(SU(2)) на группе SU(2) мы использовали дробные степени оператора Лапласа А на группе SU(2), т.е. Да, а>0 как расширение по непрерывности с множества бесконечно гладких функций на SU(2) оператора с последовательностью мултипликаторов {ЩХ.+ 1)]а,/2}, где XeS: ~ {0; 1/2; 1; 3/2; ... }.

Такое определение обладает тем недостатком, что оно не в прямую зависет от исходной фукнции, а зависит от ее ряда Фурье, исследование которого, является не простой задачей. Поэтому возникает необходимость в более удобном определении дробных степеней оператора Лапласа на группе SU(2). Конечно, имеется общая теория "дробных степеней позитивных операторов, но для определения дробных степеней оператора Лапласа возможны также способы определения, тесно связанные с теорией приближения функций. В диссертации такие определения различны, в том числе с помощью дробного интеграла на группе SU(2) и доказывается эквивалентность всех таких подходов определений, а также устанавливается связь введенного определения дробных производных для функций f(g) с известными определениями степени оператора Лапласа А на группе SU(2).

Прежде всего дается

Определение 1.1. Если Tn(g) сферический полином на группе SU(2):

Tn(g) = Si;i; ауУ(д)

X<n i=—A j=—Я

то сферический полином, определенный по формуле

тп(д)= ztS[^+i)]?aijV(g)

где a>0 будем называть производной порядка а от. полинома Tn(g)

Определение i.2. Рассмотрим две функции f(g)eLp(SU(2)) и v|/(g)eLp(SU(2)). Если найдется последовательность сферических полиномов {Tn(g)} такая, что п—>со одновременно

Tn(g)-^-> f(g)

Tn(a'(g)-^>M/(g)

то функция \(/(g) называется Lp — производной порядка а от функции f(g) и обозначается f'a'(g) = (9)•

Определение 1.3• Пусть f(g)eLp(SU(2)) и имеет ряд Фурье

f(g)~111 ayVig)

Если существует функция vy(g)eLp(SU{2))c рядом Фурье

X i=-*.j=-X J J

то функция \|/(g) называется Lp-производной порядка а от f(g).

Теорема 1.1. Для того, чтобы f(g)eLp(SU(2)) имела Lp— производную порядка а>0, равную \|/(g)eLp(SU(2)} на группе SU(2) необходимо и достаточно, чтобы

j vjj(g)dg = 0

SU(2)

и имело место равенство

f(g)=ao+ V(gt4)Fa(t)dt=: a0 + \|/*Fa(g)

SU(2)

где а0 — некоторая константа и функция Fa(g) имеет следующий вид:

Fa(g) ~Z [Щ+1)]-а/2хх(д);

Ле§

Здесь Xx(g) ~ характер преедставления группы SU(2).

Следствие 1.1. Если при некотором а>0 для функции v|/eLp , имеющей нулевое среднее

J vjy(t)dt = 0,

sum

будлг

J M/(t)Fa(t-ig)dbO,

SU(2)

то vj/(g)=0

Теорема 1.2. Пусть к— 1<а<к, keN. Для того, чтобы у функции feLp(SU(2)) существовала Lp—производная порядка а равная у, необходимо и достаточно чтобы функция Bic-a(v;g)=4'*Fk_a(g) была применима обычным оператором Лапласа к —го порядка и выполнялось равенство

¥(g) = AkBk_a(f;g). ~

Далее определяется пространство Wpa(SU(2)), l<pSoo, а>0:

Wpa(SU(2)):={feLp(SU(2)):||il|<:-: = l|f||P + ||Aaf||p< + a),

и доказывается

Теорема 1.3• Пусть 1<р<да, а>0. Следующие условия эквивалентны:

a) feWpa(SU(2))

b) существует функция yeLp(G), такая, что

[Х(Х+ l)]a/2(Yxf)(g)=(Yxi|/)(g) XeS.

c) существует функция vj/eLp(SU{2)), такая, что f может быть

представлена в виде, следующей "сферической" свертки:

f(g)a | f(t)dt + \|/*Fa(g)

SU(2)

При этом функция v]/ удовлетворяет следующие соотношения:

Aaf = ц/; |М|р<1 иУоМ/ = 0

где, оператор ортогонального проектирования Y^ имеет следующий вид

(Y^)(g)=-(2b+l)f*3k(g); *.eS

Кроме определения 1.1. и 1.2. в основе теоремы 1.1. и 1.2. дается следующее

Определение 1.4. Пусть f(g)eLp(G). Если существует функция 4/eLp(G), ортогональной единицы, т.е. J \j/(t)dt=0 и

SU(2)

на группе SU(2), такая, что справедливо соотношение

f(g)= J f(t)dt+M/*F«(g),

SU(2)

то vj/(g) называется дробной степенью оператора Лапласа порядка а>0 от функции f(g).

Определение 1.5. Пусть к— 1<а<к (keN). Дробные степени оператор Лапласа порядка а от функции f(g)eLp(SU(2)) определяется равенством

f(a)(g)=AkBk_a(f;g).

при условии, что применимость оператора Лапласа к—го порядка к функции В^-« — существует.

Опеределение 1.5. выгодно отличается от остальных тем, что указывает правило вычисления дробной степени оператора Лапласа исходя из самой функции.

Вышеуказанные определения и теоремы для 2тс периодической функции рассматривались в работе

B.М.Малоземова и для функции определенной на сфере рассматривались в работах И.М.Стейна, П.И.Лизоркина,

C.Ф.Рзаева и Х.П. Рустамова.

В параграфе 1.2. определяются величины ^,(Wpot{SU(2)), Sn, C(SU(2)) := Slip ||f -Snfj|c и даны порядковые оценки

feW«

приближения классов функции методом Фурье .в метрике C(SU(2)), т.е. справедлива

Теорема 1.4. Пусть а>шах{1;3/р}. То имеет место следующая оценка

1-а _

п р > 3

£(Wp (SU(2)),Sn,C(SU(2))) X \ n1"" ln(n +1) р = 3

U3/PHX ls»p<3,p = «o

В §1.3. вводится величина E(n,a;p,q): =

:= Slip Vtf||f-Tn|l и определен порядок

feW°(SU(2)) jn

величины наилучшего приближения классов функций Wpa(SU(2)) в метрике L4(SU(2))no сферическим полиномам в группе SU(2) степени <п и доказывается следующая

Л I-

Теор^.чп 1.5. Для ии/шчины E(n,a;p,q) при a>3(---)+

р q

имеет место следующая оценка

E(n,a;p,q)xn3(1/P-I/4>.-a

Аналогичная задача для 2п — периодической функции рассматривались в книге В.М. Тихомирова "Некоторые вопросы теории приближения" (см. литературу в нем) и на сфере Sn решена А.И.Камзоловым.

Для индивидуальных функций получена Теорема 1.6. Если feWpa(SU(2)), а>0, 1<р<оо то

En(f)p<%^En(f(a))p neN; r n ^

Наряду с этим выявлен класс функций в пространстве Lj(SU(2)) вычислено точное значение наилучшего приближения этих функций посредством тригонометрических полиномов, т.е. для функции

~ 3 3

F (2t)sin2t~yib. coskt - —7=cost --f=cos2t a " VУ V8a

h (k-l)(k + 2)f-(k + l)(k-2)^

где b. =-1 - ■ =-,k>3,a > 0

ylikik^W

справедлива

Теорема 1.7. Для функции Fa(2t)sill2t имеет место равенство

~ ~ 2 2g + 2 £ „Ь(2У+1)(ГИ-3)

Е„4.о (F/i (2t)sin t)T f „ . =- 2,(-1)v-----

n+2v v JL{-Tt,it) n 2v +1

где Еп —наилучшее приближение функции F (2t)sin2t тригонометрическими полиномами степени ¿n, neZ+ в пространстве L(-tc,tc). Отсюда получаем

Следствие /.2. Справедливо асимптотическое равенство п-х»

В главе II изучаются структурные характеристики функций и рассматривается пространство Никольского — Бесова на группе SU(2). В §2.1 рассматривается модуль гладкости г—го порядка функции определенной на группе SU(2). Пусть

W(u,x): = {u:ueSU(2), |a-l|<x, |Р|<х}, где 0<х<1,

и г—любое положительное целое число. Модулем гладкости г—го порядка функции f(g)eLp(SU(2))r lSp^oo будем называть

величину

a>r(f;x):= Sup {||(Е —Shu)rf||p}, W(u,t)

где Е —единичный оператор, а Shu—оператор сдвига на группе SU{2), определенной формулой:

Shuf= Jf(tut-'g)dt

SU(2)

Доказаны следующие свойства <or(f;x);

l°a>r(f;T)p-»Or

2° COr(f;x)p —монотонно не убывает на [0,11,

3°шг(Г! 4-f2iT)p<cor(f1;T)p+cor(f2^)p.

4° cor(f;i)p<2r[|f||p, reN;

5° Если (-8)leLp(SU(2))f 1=1,2,...,г то

{0r(f;x)p<c1T21c0r_1((-5)1f;x)p1

6° cor(f;hx)p<c2h2rcor(f;T)p.

§2.:!- доказывается прямая теорема на группе 511(2), т.е. справедлива

Теорема 2.1. Пусть ГеЦДС), 1<р<оо, геЫ тогда справедлива оценка

§2.3 доказывяртгег обратная тсорим«!. Для .ч1*>«г» определим К —функционал следующим образом:

Щ;т;Ьр(8и(2))^;(8и(2)):= : := ^{¥ ~ БЦр+тРи. ,Р 6 Wpa(SU(2))|

Ради краткости условимся в сокращении

Кг(адр:= ВДт-;Ьр(8и(2));^2Ч8и(2))

Справедлива следующая

Теорема 2.2. Пусть ГеЦ(5и(2)), 1<р5да, геЫ. Имеет место двусторонняя оценка

Пусть г|(х)еС[0,ао), г|(х) = 1, 0<х£1, л(х)=0 при х>2. Определим последовательность линейных операторов г\п,иеЫ

кеБ

где У]— оператор проектирования.

При доказательстве основных свойств модуля гладкости и выше указанных теорем в основном используются следующая

Лемма 2.1. Пусть ГеЬр(Зи(2)), 1<р<со, тогда

a) сферический полином на группе Би(2) порядка не выше (2п —1);

b)Если Т —сферический полином на группе порядка п, на группе Би(2), то г^Т^Т;

c)1|г1п^||р-сб1И1р

ф||Г-Лп1|И1+Сб)Е„(0р

Определение: Пусть а>0, 1<р<я<оо. Тогда

В" (811(2)):= {Г е Ьр(8и(2)):||Л|вг =1К11Р+

4

та

<к т

ч

<00}9

где г любое натуральное, г>а/2.

Определение пространства Вард не зависит от выбора г. Далее доказывается следующая

Теорема 2.3. Пусть а>0, 1<р^<со, Следующие условия эквивалентны

2° !КН(В'1 ^РНр+Е^в^О^Г <«>

1.

"" л,

Ь Кг(Г;т)„ <|т 1 а

4° №|Н1Л1Р+{]

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях.

Пптератуоа

Наименование трудов Наименование издательств

Некоторые линейные процессы жирования рядов Фурье по пленным и учтее приближение "Ученые записки", БГУ, 1978г., №3, стр.13-22.

Наилучшая аппроксимация Зранческими многочленами и торые оценки функции едством оператора Лежандра. "Материалы V репсубликанской конференции молодых ученых", Баку, 21-24 мая, 1984г., стр. 212-214.

) разложении функции в ряды по ¡щенным сферическим функциям там же, стр.215-217

1)боб>цение теоремы Вейерштрасса фере. Изв. вузов. Математика №2, 1985г., стр. 78-80.

Некоторые вопросы наилучшего >лижения непрерывных «функций на 1ИЧНОИ Сфере. Деп. ВИНИТИ 3773-86 Ред. журн. Изв. вузов, математика, 1986г., стр.19.

О применении дробной степени атора Лапласа к исследованию учших приближений насфсре. "Материалы VI республиканской конференции молодых ученых Баку", 1986г., стр. 100-103.

яды Лапласа на группе Би(2) Всесоюзная конференция (летн. шк.) 1929 мая, г.Баку., стр. 91-92..

Наилучшее приближение на группе 2) Док. АН Азербайджана., 1991г., №712, стр. 3-6.

апсодия на группе Би(2). Материалы XI республиканской крнференцтш молодых ученых по математике и механике, Баку, 16-17 июня, 1994, Часть II, стр, 86-89 (Совместно с Х.П.Рустамовым).

Рзсуев Се]мур Фэхрэддин оглу

Функсщалар фэзасы вэ 811(2) групунда ]ахьшлашмалар нэзэрицесинин бэ'зи мэсэлэлэри

ХУЛАСЭ

Диссертаси]а ишиндэ Би(2) групунда конструктив функси]алар нэзэрицэсинин бэ'зи мэсэлэлэри ^'рэнилмишдир. Бу бахымдан Собелев . \^ар(5и(2)) фэзасынын тэ^ин едилмэсиндэ 8и(2) групунда Лаплас А операторунун кЭср дэрэчэсиндэн истифадЭ етмишик, башга сезлЭ, Да,О>0 операторунун тэ']ини сонсуз. тЭртибли Ьамар функсизаларын [ЦХ+1)]°* (бурада А,е{(0,1/2;1,3/2,...)} мултипликатор -оператор ардычыллыгларынын кЭсилмЭзли]© Кврэ

Кенишлэнмэси ними тэ^ин олунур. БелЭ бир тэ'рифин верилмэсинин чатышмамазлыгы ондан ибраЭтдир ки, о билаваситэ эввэлчэ верилмиш функси]адан асылы де]ил, онун Фур]е сырасындан асылы олур ки, умумиуэтлэ десэк, бунун да арашдырылмасы бир о гэдэр дэ садэ мэсэлэ де]ил. Она керэ дэ кЭср дэрэчэли Лаплас операторунун верилмэсинин зЭрурилщи метана чыхыр. Догрудур, позитив операторларын кэср дэрэчэсинин верилмэси учун УМУМИ нэзэриц'э вар, лакин Лаплас операторунун кэср дэрэчэсини тэ']ин етмЭк учун функси]аларын ]ахынлашмалар нэзэри^эси илэ сых ЭлагЭли олан тэ'рифлэрини дэ вермЭк мумкундур. Белэ ки, бу диссертас^ада мухтэлиф белэ тэ'рифлэр верилир, о чумлэдэн кэср тэртибли интегралын кемэ]илэ тэ^ин едилэрэк Ьэми тэ'рифлэрйн еквивалент олдуглары исбат едилмишдир. Кэм дэ Wpr(SU(2)) Соболев фЭзасында Ьамарлылыг модулу тэ^ин едилэрэк функсэдаларын ]ахынлашмалар нэзэрицэсинин дуз вЭ тЭрс теоремлэри исбат олунур. Елэчэ дэ, 5и(2) групунда функси]аларын ]ахынлашмалар нэзэридоэси бахымындан Николсму-Бесов фэзасы е]рэнилир.

Rzaev Seymur Fachraddin oghi

"Functional spaces and some problems theory approximation on the group SU(2)

SUMMARY

The dissertation work have been devoted to question of constructive function theory on the compact group SU(2).

In the definition of space Sobolevs Wp°(SU(2)), we employed fractional powers of the Laplace operator A , i.e., Aaa,ot>0, as extensions by continuity from the set of infinitely smooth functions on SU(2) of the operator with multiplier sequence {[(^(X+l)]0^, where - {0,l/2;l,3/2,..}}.

This definition has the deficiency that it does not depend directly on the original function but on its Fourier series, which is not in general a simple problem to investigate.

Therefore, we need a more convenient definition of fractional powers of the Laplace operator on the group SU(2). Of course, there is a general theory of fractional powers of positive operators, but for defining fractional powers of the Laplace operator it is also possible to use methods closely connected with the theory of approximation of functions. Here we give different such definitions, including those with the help of fractional integrals on the SU(2) and proved the equivalence of all such approaches to the definitions. On the space Wpr(SU(2)) defined modules of smoothness and are provided direct and inverse of constructive function theory. Finally for defining space Nikolski-Bessov to use on the theory approximation of functions.