Функциональные вычисления для генераторов (С0)-полугрупп над банаховыми пространствами в сверточных алгебрах распределений Шварца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

З ОП о ОИ «97

Міністерство освіти України Львівський державний університет ім.І.Франка

Па правах рукопису УДК 517.98

Піарин Сергій Володимирович

Функціональне численна для генераторів (СІо)-напінгр>'п над банаховими просторами в пгортковнх алгебрах розподілів Шварца

01.01.01. — математичний аналіо

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних Наук

Львів 1997

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано у відділі функціонального аналізу Інститу

НАН України, м.Львів.

Науковий керівник - доктор фізшсо-математи’ших наук

О.В.Лопушанський.

Офіційні опоненти: 1. Доктор фізико-математиЧщїх наук,

професор Я.В.Радино. .

2. Кандидат фізико-матсадатичних наук

Провідна організація - Інститут математики НАН України, м.Кіш

Захист відбудеться 20 лютого 1997 року о 15 год. на оасіданв

ситеті ім.І.Франка, вул. Університетська, 1, ауд.377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського держа вного університету ім.І.Франка, вул.Драгоманова, 5.

прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстрига

Т.О.Банах.

спеціалізованої вченої ради Д 04.04.01 у Львівському державному універ

Автореферат розіслано 20 січня 1997 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

і

Загальна характеристика роботи Актуальність теми. Дисертація присвячена побудопі функціонального числення п чгорткових алгебрах роаподіліп Шварца для необмежених операторів над банаховими просторами. Числення побудовано на основі модифікації формули операторного перетворення Фур’є і тому ного можна розглядати як узагальнення відомого підходу Е.Хілла, Р.Філліпса і В.Балахрішгіана в згортковпх алгебрах мір.

Обгрунтованість постановки оадачі про визначення <5-функції від деякого гамільтоніана відзначено вже у класичних роботах П, А.М.Ді-рака з квантової теорії поля.

Функціональне числення у соболєвських просторах узагальнених функцій від самоспряженпх операторів розвішено у роботах М. Л.Гор-бачука і В.І.Горбачук. Я.В.Радино побудував функціональне числення в просторах рооподілів Шварца. Основна відмінність названих робіт від даної полягає в тому, Що на просторах символів Не визначається структура алгебри і функціональне числення розуміється як лінійний гомоморфізм векторних просторів.

Алгебраїчний аспект функціонального числения в огорткових алгебрах розподілів Шварца, який розвивається у дисертації, очевидним чином пов’язаний з актуальними питаннями.’’ділення” і ’’множення” узагальнених функцій. Шляхом ’’ділення” Фур’є-образіа, як відомо о робіт Л.Хермандера, Л.Еренпрайса, С.Лоясевнча, В.Владімі-рова та інших, встановлюють існування фундаментальних розв’язків лінійних диференціальних рівнянь. Проблема ’’множення” викликана потребами квантової теорії протрактувати, зокрема, мультиплікати-вні степені й-функції. Цьому Присвячено роботи О.С.Парасюка, а в рамках секвенціального підходу - роботи А.МікусіНського, П.Анто-сика. Потрібно відзначити, Що у зв'язку з відомим Контрприкладом Л.Шварца про неможливість задати множення над усім простором розподілів, виникла теорія так званих ’’нових” узагальнених функцій. Основні результати у цьому напрямку належать Ж.Ф.Коломбо, Я.В.Радино та А.В.Антонсшпу. Слід відзначити роботи Я.Б.Лпвча-ка, Ю.В.Єгорова, Х.Я.Хрістопа, В.ГІ.Дам’янова та інших,

Мета роботи. Побудова функціонального числення в пгортко-вих алгебрах розподілім Шварца для генераторів сильно неперервних напівгруп операторів Над банаховпмі! просторами і дослідження його основних властивостей.

Методи дослідження. Використовується Теорія двоїстості і техніка топологічних тензорних добутків локально опуклих просторів,

теорія узагальнених функцій, а також методи аналітичної теорії од-нопараметричних напівтруп операторів над банаховими просторами.

Наукова новизна.

1. Запроваджено нову формулу для функціонального числення опе-

раторів над банаховими просторами. Вона одержана шляхом модифікації операторного перетворення Фур’є за допомогою векторного узагальнення операції крос-кореляції. Досліджено властивості такого числення. •

2. Побудовано розширення перетворення Фур’є на огорткову ал-

гебру Т>'+ - розподілів Шварца з носіями на півосі [0, +оо) і досліджено його властивості. Знайдено зображення згорткової алгебри Т>'+ у вигляді комутанта оператора лівого зсуву над простором гладких фінітних функцій із значеннями в банаховому просторі. Побудовано аналог класу Харді для алгебри Т>'+ і доведено теорему типу ІІелі-Вінера. .

Теоретична і практична цінність. Робота має теоретичний характер. Результати можуть бути використані для знаходження розв’язків лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь з узагальненими функціями у коефіцієнтах. . '

Основні Положення, які виносяться на захист.

1. Теореми про топологічні ізоморфізми згорткової алгебри ро-

зподілів Шварца Т>'+ комутантам. Фур’є-образу оператора лівого зсуву. . ' '

2. Техніка розширення перетворення Фур’є на згорткову алгебру Т)'+ , а також відповідне узагальнення теореми Пелі-Вінера.

3. Властивості операторного перетворення Фур’є над просторами гладких векторно-значних функцій.

Особистий внесок дисертанта. Наведені в дисертації основні результати отримані автором самостійно. .

Апробація роботи.. Результати дисертації доповідались на Міжнародній науковій конференції пам’яті Г.Іана (Чернівці, 1994'рік),

IV Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 1995 рік), Міжнародній науковій конференції ’’Нелінійні диференціальні рівняння” (Київ, 1995 рік), Міжнародній науковій крнфе-ренції ’’Теорія {шрокснмації та чисельні метода” (Рівне, 1996 рік), семінарах з функціонального аналізу Львівського державного університету ім.І.Франка та Інституту прикладних проблем механіки і ма-тематки НАН 'України. '

Публікації. Основні результати опубліковано в роботах [1-7].

з

Структура і обсяг. Дисертація складається оі вступу, 10-ти параграфів, об’єднаних у два розділи, та списку літератури із 07 пайме-нувань. Загальний обсяг роботи -^сторінок.

1 . Зміст роботи

У вступі.дано огляд робіт, пов’язаних з темою дисертації,.відзначено її актуальність. Наведено стислий виклад основних результатів дисертації.

У першому розділі викладено.скалярний випадок функціонального числення. А саме, описано властивості основної дуальної пари (Т>'+ , 0+), а також властивості крос-кореляції розподілів з векторно-значними функціями. Наведено конструкцію розширення перетворення Фур’к на згорткопу алгебру Т>'+ . Встановлено основні теореми про опис алгебри Т>'+ у вигляді комутанта оператора лівого зсуву над простором Т)+ . Доведено аналог теореми Пелі-Вінера для одного ' узагальнення класу Харді.

У параграфі 1 встановлюються основні властивості алгебри Т>'+; що випливають із співвідношень двоїстості.

Нехай V = Т>(К) - комплексний простір нескінченно гладких фінітних функцій (/■’(£) на дійсній осі К з набором норм {([ • ,

де Ці.'іII*. =г кир V = Т>'(Я) - спряжений до нього простір!

/є* ■ .

розподілів Шварца /, (V, Т>) - дуальна пара, породжена біліній-

ною формою (/, V') ~ /(Vі) • Побудуємо простір функцій вигляду

Т+ = {'р : у?(<) = <?(<)?/(<)}, де 0(<) - функція Хевісайда, з набором

норм ]|^!|д. = вир .

(>0

Встановлено, що простори Т>+ і Т>/(Т>'+)°, де - поляра до

Т>'+ , топологічно ізоморфні і білінійна форма о (V, V) індукує двоїстість (Т>'+,Т>+). Простір Т>+ борнологічшиі, має тип {ЬР) і є мон-телевим. Сильна топологія Ь{ Т>'+, Т>+ ) простору Т>'+ відносно двоїстості {V'+, Т>+) еквівалентна топології, що індукується у підпросторі Т>'+ сильною топологією Ь{ Vі, V) простору розподі.іів V відносно двоїстості (Т>',Т>). ■

Підпростір в функцій ф о носіями єирр ф на деякому відрізку [0,і/] і нормами ||і/)||„,„ = вир \фЩ)\, де V > 0, позначимо че-

' ' <єМ ' > '

рез . Якщо, - спряжений простір до із сильною топологією відносно дуальної пари (2?+І/, 2?+), то простір Т>'+ у своїй сильній топології Ь( Т>'+, £>+ ) топологічно ізоморфний проективній границі Т>\ ~ ІітргР^". Простір Т>’+ у сильній топології Ь(Т>'+, £>+) є

• V—'СО ‘

монтелшшм простором Фреши.

Попередні властивості дозволяють встановити наступні твердження, які використовуються далі.

Твердження 1.1.7. Згортка в алгебрі Т>'+ неперервна у сильній топології. • . '

Твердження 1.1.8. Справедливе неперервне щільне вкладення Т>+ С Т>'+ у сильній топології Т>\ .

У параграфі 2 вводиться і досліджується операція крос-кореляції розподілів Шварца з гладкими функціями. Зауважимо, що крос-ко-реляція застосовується для обробки сигналів' у системах дальнього зв’язку та у теорії Фур’є-процесорів. .

Для довільних / Є і ^>(<) Є Т>+ крос^кореляцію визначаємо формулою

(/*¥>)(<) - 0(О(/. ч>(- + *)) = І

(/,*(•+0). <>о,

0, . і < 0. *-

Твердження 1.2.1. Для довільних / Є Т>‘+ та <р(ї) Є '0+ мнемо (/ * <Р)(ї) Є "&+ і причому 8іірр(/ * у?) С [ 0, »], де V = вир{< > 0 : <рЦ) ф 0} . Крім того, (/ * <р)(пЦї) = (/ * у>(и,)(*) •

Крос-кореляція не є комутативною і асоціативною операцією. Однак справедливе наступне

Твердження 1.2.2. Для довільних /, д Є Т>'+ та <р(і) є £>+ маємо

1)((/*<7) *¥>)(<) = (/*(я*¥>))(0.’'

2)(/*(»*^))(0 = (</*(/*¥’))(<)>' з)(/*у>)(<) = (/*?)(-<). де £(<) = ^М);

' 4)(/*р)(0) = </,¥>)'■ ■

Образ перетворення Фур’с довільної функції <^(<) Є Т>+ позначаємо

• гоо

через <^(£), тобто <р(0 — І с-'«<рЦ)<И.

. ■ Jo ■ . . ■ , .

Твердження 1.2.3. Для довільних функцій (рЦ) і ф(І) Є 2?+ маємо

{<р*ф){О = Ф(-0 ■ ФІО ■

Оператор лівого зсуву, який на функцію <р{і) є Х>+ діє за правилом Т6ір{і) = в(1)(рЦ + я), де « > 0, належить алгебрі Ь(Т>+) - лінійних неперервних операторів над простором Т>+.

Кажуть, Що оператор 17 Є Ь(27+) інваріантний відносно зсуву Т„, якщо виконується умова ИТе = Т,ІІ.

ТЪорема 1.2.1. Для кожного роаподілу / є 2?+ формула ({/^)(<) = (/*¥>)(<) впаначає оператор І/ Є ^(Т>+) інваріантний відносно лівого псупу. Навпаки, для кожного оператора II Є Ь(Т>+), який іпваріач-

тншї відносна зсуву І\, існує єдиний розподіл / Є Р'+ такий, що

(ІМ(0=(/*?)(0- _

Теорема 1.2.1 повністю характеризує операцію крос-кореляції.

У параграфі 3 побудовано розширення перетворення Фур’є з простору функцій Т>+ на алгебру Т>'+ . Доведено тео]>ему про операторне представлення згорткової алгебри Т>'+ .

Нехай F : Т>+ Э і—* <р перетворення Фур’е, Т>+ = {£> : Ч> Є

Т>+}’. Простір Р+ мас вигляд індуктивної границі Т>+ Ііпііші VI.

’ . 1/—00

Користуючись ін’єктивністю відображення F, на Фур’є-образі Т>+ =

{(р : ір Є Х>+} введемо топологію набором норм ||<?||і/,п = |Мк« •

Оскільки Х>+ = и і при і> < \і вкладення С 2?+ неперервні,.то і/>0

на просторі Т>+ можнаввестп локально опуклу топологію індуктивної границі Г>+ = Ііш іікІ Р" . З такою топологією фур’є-образ ї)+ є мон-

І/—►СО

телевим бочковим і борнологічшш простіром Фреціе.

. Твердження 1.3:3. Для довільної функції <р(() Є '£>+ та числа п Є N існує константа С = С( <р, п ) > 0 така, що виконується нерівність

ІЙ0ІЇС(й+ї^+''' + кР + ж)

для всіх ( / 0.

Останнє твердження уточнює для нашого випадку лему Рімана-Лебега.

Твердження 1.3.5. Відображення Р_1 : £>+Э <р —> у? Є Р+,

обернене до перетворення Фур’є Р : Т>+ —* Ь+ можна подати у

вигляді уз(*) = ^ j е,',<£(С)<*С • .

Нехай Г>'+ - спряжений простір до ї>+ і Т = 2ж ■ (Р~1)' ■ Відображення Т назвемо перетворенням Фур’є розподілів з'простору Т>\ . Іншими словами,

(/, $) =2тг -</, = 2тг • (!,<р),

де / Є Т>'+ , ір Є Р+ і / = Т/. Останнє співвідношення вігіначає нову двоїстість {Т>'+, Д+). Звуження Т на Р+, очевидно, співпадає а F.

Таким чином, на відміну від класичного розширення перетворення Фур’є на простори розподілів повільного росту , наша схема, яку можна зобразити у вигляді

включає дві дуальні пари (Т>'+, Г>+ ) і (Т>'+, Г>+ ).

Розглянемо алгебру £(23+) лініііїшх неперервних операторів над простором Т>+. Композицію операторів в Ь(Т>+) позначимо о. Нехай далі на Ь(Т>+) задана топологія рівномірної збіжності на компактах. Зауважимо, що оператор вигляду Т, = Р • Т, • і7-1, де Т„ -оператор лівого зсуву над простором Р+ , належить алгебрі £(£>+).

Теорема 1.3.1. Нехай надано відображення Л : Т>'+ Э / >—> /д Є Ь{Т>+), де оператор /д діє на Фур’с-обрип ф(£) довільної функції (р Є Т>+ оа правилом .

Г°° . ■

(/л£)(С) = е_,1С(/*<,з)(<)Л. • .

' ' ■ ' Перетворення А одійснюс топологічний іаоморфіам огорткопої алгебри Т>'+ на підалгебру А(Т>'+) алгебри £(2?+) тих операторів, які комутують о оператором Тв. При цьому, для всіх /, /і Є Т>'+ ■

• НІ* к) = /л о /іЛ ,

і от рація о в підалгебрі А(Т>'+) неперервна.

Іншими словами, теорема 1.3.1 стверджує, що згорткова алгебра Х>'+ є топологічно ізоморфна комутанту оператора Те над простором функцій Т>+ ■ Цей результат можна трактувати як скалярний випадок операторного чнелення в згортковій алгебрі Т>'+ .

ТЬорема 1.3.2. Простір Т>'+ у сильній топології Ь(Т>'+, Х>+) є алгеброю Фреше відносно множення вигляду / • /і = / * /і , де /, /і Є Т>'+ . Алгебра Т>'+ топологічно ізоморфна 6гортковій алгебрі Т>'+ і алгебрі операторів Л(Т>'+) о операцією компоаації о замість множення.

Твердження 1.3.6. Алгебра функцій Т>+ у 0йЩ сильній топології Ь( Т>’+, Т>+) щільна в алгебрі Т)\. .

Побудоване вище розширення перетворення Фур’є на алгебру Т>\ дозволяє обчислити Фур’є-образи деяких конкретних__розподілів. А саме, справедлива рівність 6 = 1, де 1 - одиниця в І>'+. Якщо 6* -дельта-функція, зосереджена в точці і > 0, то <5( — е1^. .

Відзначимо, що функція Дірака належить простору Vі, : <5 = —в.

. . 1 —27Г

Для її узагальнених похідних справедлива формула 6^ = —(і()м0(<).

У параграфі 4 наведено узагальнення теореми Пелі-Вінера для простору £2( 0, +оо) на випадок алгебри Т>'+. Нагадаємо, що деяка фун-

кція <](£,), де ( = ( + »|€С, належить класу Харді-Лебега Ні у нижнії! комплексній півплощині. якщо: 1) д(£) - аналітична при Іт£ <0; 2) для будь-якого фіксованого і) < 0 функція Ш Э С .(/(С + ”/) належить простору Ь2(Щ і мір ( І

Ч<0 \./—х-

ДУ {ФІО '■ <Р Є £2( 0, 4-оо)}, які є гріїшічнпміі значенням» на осі а. функцій класу Ні , утворюють замкнений підпростір у І/2(К), який далі позначаємо через #*(()).

Зрозуміло, що вкладення Р+ С £2(0, +оо) і Т>+ С Я£(0) щільні. Для спряжених просторів :і їх сильними типологіями справедливі наступні щільні вкладення 1^(0, +оо) С 1*+ і НІ{0) С ^ .

Введемо означення класу аналітичних функцій, який є узагальненням класу Харді-ЛеПега Ні . Скажемо, що аналітична у нижній комплексній півплощнні {£ = С + *’/: С Є Я, V < 0( функція д(£) належить класу 'Н- , якщо вона .’задовольняє наступні дві умови:

1) для кожного фіксованого ;/ < 0 функція С ,</(С +■ ”/) належить простору :

2) сукупність ЫС + /(/) : /і < ч < 0} для кожного скінченного /і < 0 Є ОҐШЄЖЄНОЮ V ІфОСТпрІ Т>\ із сильною топологією Ь(Т>'+, І>+).

Теорема 1.4.1. Кожен розподіл / Є Т>\ можна аналітично продовжити у нижню кашлем ну півплощину до функції /(С + щ) і причому /(( п/) Є Н_ і для кожного фіксованого г/ < 0

(Ж + іг)),ф«;)) = {/,$,),

де = <р(і)с"і, р(/) Є Р+. ' .

Навпаки, для кожної функції + іг/) Є Н- існує єдиний розподіл ї Є Ь'+ такий, що . •

' 1і»і9(С + «»/) = /. .

■ т)-0 .

причому обіжність розуміється в сильній топології простору Т>’+.

Теорему 1.3.1 можна доповнити наступним чином.

Наслідок 1.4.2. Іаоморфіам А відображає алгебру Т>'+ у алгебру операторів із щільною областю визначення Р+, заданих н^ц банахо-впм простором Ні(0). .

У другому розділі викладено операторний випадок функціонального числення. Зокрема, досліджено структуру просторів векторно-значних гладких фінітних функцій та властивості перетворення Фур1 є

ЫС + ,,/)|2(К^ < со. Функціївигля-

таких просторів. Доведено основні теореми про топологічні ізоморфіями алгебр, які реалізуються побудованим функціональним численням. Наведено приклади застосування даного числення. •

У' параграфі 1 описується тензорна структура простору вектор-но-пначшіх функцій на додатній півосі, який с векторним аналогом простору функцій 2?+ . Цеп факт базується на властивостях ядєрності просторів Т>+ і Т>'+ .

Нехай далі (Е, || • ||) довільний банахів простір над полем комплексних чисел С. До простору Т>+(Е) віднесемо всі ,£7-значні функції х х(1.) з компактними носіями на [0, +оо), як} мають нескінченну кількість неперервних двосторонніх похідних хР'Ці) в інтервалі (0, +оо) і правих ПОХІДНИХ В ТОЧЦІ нуль. ’

Для довільного и > 0 визначимо простір р\(Е) — {х Є Т>+{Е) : вирр х С [0,")} о набором норм ||а:||,,„ йпр ||'1"Ч0ІІ При и < (і . . ■+ виконуються співвідношення С Р+ і ||-'І|і/.іі = ||-''||/і.п ДЛЯ всіх X Є

Т>+(Е) і її Є N. Тому на 0+{Е) можна задати топологію індуктивної

границі &+{Е) = М Т>К(Е) = 1ііиіік1'Р+(£).

' ■ !/>0

Твердження 2.1.2. Справедливий наступний топологічний ізоморфізм Е@Т>+ ~ Т>+(Е), де Еі.-Ф+ - поповнення проективного тензорного добутку просторів Е і Р+.

ТЬорема 2.1.1. Для лажної функції х(/) Є Р+(Е) иннгідеться число

V > 0 таке, що х(і) Є Р+(Е) і х(() можна податну вигляді абсолютно збіжного ряду в просторі Т>[ЦЕ), а саме .г(/) - А„.г„ со у5„(<) • Дс

£~,|А„| < оо і послідовності функцій {у?„(0} та елементів } прямують до нуля в Т>+ і Е відповідно.

У параграфі 2 вводиться означення крос-корсляції розподілу із вектор-функцією і досліджуються її властивості.

Для довільних / Є ‘Л+ і :г(/).Є Т>+{Е) крос-кореляцію визначимо формулою

+ <)), <>0, і < 0,

Де ' '

.» 00

( /і Х{’ + ,0 ) ~ ^п{ /і фпіі) )3:п і

п=1 '

і послідовності {А,,}, {¥>„(<)}, {*„} беруться з теореми 2.1.1. У випадку, коли розподіл / регулярний, можна записати (/ * •*)(*) -=

&(*) [ /(*)ж(.5 + • '

•/о

(/**)(«) = 0(*)</. *(■ + *)) = {.£Г,Х('

Основні властивості скалярної крос-ко реляції узагальнюються на 'кторнші випадок. .

Твердження 2.2.1. Для довільних / Є Р'+ і x(t) є Р+(Е) мнемо f *-x){t) Є Р+(Е), причому ячрр (/* x)(f) С [0,і'], де и = sup{t >

: .!•(/)/()}. Крім того, (/* = (/* . '

Нехай / - одншгишіі оператор над простором Е, К/ — f* one--атор крос-кореляції із розподілом / Є Т>'+. Очевидно, що оператор

I t-j А> : Р+(£) Э .- (0 ~ 53 \,Кfipj{t)I(xi) = (/ * *)(<) Є 2>+(Я)

алежпть простору Ь(Р+{Е)) лінійних неперервних операторів над ростором вектор-функцій Р+(Е).

Аналогічно, якщо 7', оператор лівого зсуву над простором 2?+,

о І < 2; : Р+(Е) 9 ./ (/) 0(/М/ + я) Є Р+(£)'і І Ь)Т, Є ЦР+(Е)). .

Твердження 2.2.2. Для довільних /. ц Є Р+ і х(і) € Р+(Е) спра-едлппі формули: '

1М(/* я)*')(') = (/*(/>*-ОКО; “ ' ■

2) (/*(</ = (//*(/* .г))(0: . '

ідносно лівого зсуву, якщо виконується умова / И AT, = I0 T,K. ТЪорема 2.2.1. Для кожного розподілу / Є оператор I®I(j гдернші і інваріантний відносно лівого зсуву.

Навпаки, для довільного опер/іторп К € L{V+), який є інваріан-гшш відносно лівого зсуву, існує єдиний розподіл / Є І?!,, такий, що ї = А'/ і (І '■■■ К)х(1) = (/*.»•)(*) для всіх X Є Р+(Е). ■

У параграфі 3 наводяться властивості операторного узагальнення іоретворення Фур'с. . '

Нагадаємо, що сукупність {Г(<)}і>о операторів із L(E) називаєть-•я (однопарамстричною) напівгрупою, якщо Т(0) =. / і T(j+.<) = Г(н)Т(І) При 5,7 > 0. Якщо, крім цього, функція t T(t)x неперер-знана {(),+со) для кожного х Є Е.то T(t) напивається напівгрупою <ласу (Со) - Генератор напівгрупи T(t) визначається як права похідна функції 11—► T(t)x в нулі. Напівгрупу о генератором —іА позначаємо T(t) = i~UA . Якщо функція T(t) = e~,tA визначена на всій осі, то її називають (Со)-групою.

У банаховому просторі Е визначимо підпростір . .

;=!

Теорема 2.3.1. Якщо с~иА - напівгрупа класу (Со), то підпростір Т>+(Е) - щільний у просторі Е і перетворення вигляду- Т\ : X}+(Е) Э х(і) і—> х Є ?>+(Е) біективне. .

Перетворення /л <■ операторним аналогом перетворення Фур’є. Позначимо Т>+(Е) = Та{Т>+{Е)) . Користуючись ін’єктнвністю Та , на кожному а просторів Т)+(Е) задамо топологію нормами ||х||„|П. = ||х-||^„. Очевидно, що Т>+(Е) = Що Т^+(Е) і на Т>+(Е) можна задати топологію індуктивної границі Т>+(Е) = ІішіпЛТ>‘1(Е). При такій то-'

V — X »

пологізації простоїв Т)+(Е) перетворення Т,\ здіпснюс топологічний ізоморфізм. -

У параграфі 4 для довільного оператора А. икші генерус (Со)-напівгрупу, побудовано топологічний ізоморфізм із алгебри Т>\ на замкнену підалгебру лінійних неперервних операторів над ’Р+(Е). Цим ізоморфізмом визначається функціональне- числення для оператора А в алгебрі символів І>'+. Алгебра символів такого числення містить, езкрема, функцію Дірака і її похідні.

Нехай Ь(Т>+(Е)) позначає простір лінійних неперервних операторів над Т>+(Е). На Ь(Т>+(Е)) оддамо топологію рівномірної збіжності на обмежених множинах.

Теорема 2.4.1. Нехай с~'іЛ напівтрупа класу (Со) і нехай задано відображення

. Ф : Р'+ Э/-*/(А) Є ЦР+(Е)), •

де оператор f{A) діє на елементи х Є Т>+(Е) за наступним правилом

е ~иА{/*х)(1)сИ. .

/(Л)ї= Г

J о

Перетворення Ф одіііснюс топологічний Ьимирфіом алгебри Т>'+ на замкнену підалгебру Фалгебри Ь(Т>+(Е)) тих операторів, які комутують о оператором Та •• (І <8> Т,) ■ Тд{. При цьому для всіх Г,9ЄІ>'+ ■

Ф(/ ■д) = НА)од(А)

і операція'композиції о в нідалгебрі Ф(Т>'+) неперервна.

Відзначимо, шо для довільного генератоі)а —іА напівгрупи класу (Со) і довільного «ЄН виконується співвідношення

Г{А)^ = {іАГГ(Л)х-^2(іАГк-1(/,х^). . '

• ' ■ ' і=0 . • ’

Якщо — іА генератор (С0)-групи, то 6(А)х = — І е,вАхіІз. Для

____ Л

довільного у Є Т>+{Е) рівняння

27Г • 6'(А)х = у має єдиний розв’язок х — 6(А)у.

У параграфі 5 описано властивості операторного числення в алгебрі ІУ+ і вказано деякі застосування.

Розглянемо підпростір Т>о[Е) = {*(*) Є Р+(Е) : х(0) = 0}. Через Т>о(Е) = {х : х Є Т>о(Е)} позначимо його образ при перетворенні Та- Нехай Ц'Ри(Е),'Р+(Е)) - алгебра лінійних неперервних операторів, що діють з Ро{Е) в Т>+(Е). На £(Х>о(І?), Т>+(Е)) задамо топологію рівномірної збіжноЛі на обмежених множинах.

Теорема 2.5.1. Якщо е~%іА - напівгрупа класу (С0), то підпростір Ро(Е) щільнті в просторі Е. .

Зауважимо, що оператори І®Т, і /<8>Л/, де / Є Т>'+, належать простору Ь(Т>о(Е),Р+(Е)). Простір Т>о(Е) не є інваріантним відносно дії цих операторів, однак Та ■ (/®Г5) • Т^1 Є £(Т>о(Е),Т>+(Е)). Справедливий наступний наслідок з теореми 2.4.1.

Наслідок 2.5.2. Відображення Ф0 : / н-> /{А) щійснює топологічний ізоморфіям алгебри І>'+ на замінену підалгебру Фо(Р'+) алгебри Ь(Т>о(Е),Т>+(Е)) тих операторів,- які комутують о оператором Тл -(І®Те)- Т-Ах. •

Теорема 2.5.2. Ізоморфізм Фо задовольняє співвідношення ■ 5Н(Д)Ї = (-ь4)"*, /М(Л)Ї = (-гЛ)’7(Л)х = /(А){-іА)пх

для всіх /.Є Т>'+ і х є 'Ра(Е). .

Наступні приклади ілюструють застосування попередніх результатів до конкретних задач.

На довільному елементі х Є Т>+(Е) напівгрупа с~иА розкладається в ряд е~'іАх. = ^-^~Акх. У випадку оператора А = її2/сія2 і

простору Е = СП(Ії) неперервних обмежених функцій це дозволяє отримати відому формулу Пуасона наступним чином

х(а) сіп

для всіх х($) Є СВ(Я).

Користуючись данин численням можна дати нову формулу для о' числення дробових степенів генератора (Сц)-напівгруші, а саме

— (/[<]+! ./_,(л)г = лї, де /_,(і) = -

функція дробового диференціювання порядку t, [<] - ціла частт числа і > 0.

У параграфі 6 будується операторне числення для генераторів гр> е~'ІА класу (Со) над простором (Е, || ■ || ) у згортковій алгебрі , розподілів Шварца з компактними носіями. Наведено приклади ді операторів множення на незалежну змінну та диференціювання.

До простору Т>(Е) віднесемо всі Е-значні функції x(t) о компак' ними носіями в R та нескінчєною кількістю неперервних похідні x^(t). В Е визначимо підпростір • .

' . . со

V(E)=-{x : x(t)£V(E)}, де х= j е~йЛx{t) dt.

■ —ОО

Справедливий наступний топологічний ізоморфізм V(E) ~ V"/,E,^

V - простір фінітних нескінченно гладких функцій заданих на дійсн: осі R. Для функцій x(t) Є V(E) вірна теорема, аналогічна до теоре.ч: 2.1.1.

Твердження 2.6.1. Якщо {е~‘м : і 6 R) - група класу (Со)» з підпростір D(E) щільний в Е.

Для кожного функціоналу / Є £'. і кожної функції х(і) Є Т>(Е користуючись розкладом останньої в абсолютно збіжшій ряд, можі визначити згортку (/ * *)(<) = £Г=і W * «і5»)!*)11», Де дія (/ * ¥>„)( позначає звичайну згортку в £'. Кожному розподілу / £ £' поставі мо у йідповідність лінійний оператор f( A), визначений па просто U(E) формулою

■ і™, . '

/(А)х = J e~itA(f * x)(t) dt.

Теорема 2.6.1. Нехай е ,м -група класу (Со). Тоді відображені £' В / і-* 7(Л)Ї Є-Т)(Е) лінійне і неперервне для кожного х Є Т>(Е).

Твердження 2.6.2. Для довільних /,.</ Є £' і х Є ЩЕ) сир. впливі співвідношення

5<">(Л)г = (~іЛ)пх ^п\А)х = (-ІА)иНА)х = НА)(-ІА)пх,

(І*9)(Л)х = g(A)f(A)x = f(A)g(A)x.

Оператор 6(A) припускає розширення до одиничного І.

НЬхай Е = CB(R). Якщо Ла:(£) з £ • х(£) - оператор множення за незалежну змінну, то функціональне числення задається співвідно-ненням f(A)x = y^F-/ • ї. Якщо ж, Лж(£) = —id/d£x(£) - оператор диференціювання, то f(A)x = f * х. ■ '

' Висновки

У дисертації розвинено функціональне числення для генераторів напівгруп класу (Со) в згорткових алгебрах розподілів Шварца. Числення базується на новій формулі, яка одержана шляхом модифікації операторного перетворення Фур’є за допомогою векторного аналогу операції крос-кореляції. Досліджено властивості такого чмсленпя, зокрема встановлено, що його образ може бути описаний у вигляді комутанта оператора лівого зсуву.

Побудовано розширення перетворення Фур’є на згорткову алгебру розподілів Шварца на півосі. Доведено відповідний аналог теореми Пелі-Вінера. "

Результати дисертації проілюстровано на прикладах.

Матеріал дисертації опублікований у наступних роботах :

1. Шарнн С.В., Лопушанський О.В. Узагальнені функції від опера-

торів в банахоот просторах // Доповіді ПАН України. -1996. -N 6. С.7-9. '

2. Sharia S.V., Lopusliansky O.V. Operator calculus for convolution al. gebra of Schwartz distributions on semiaxis // Праці Львівського

мат. товариства. Математичні студії. -1997. -т.7 -N 1. -С.63-74.

3. Шарин С.В. Операторне числення для узагальнених функцій з компактними носіями // Збірник наукових праць ІППММ НАН України. -Львів. -1995. -С.52-56.

4. Sharin S., Lopushansky О. Generalized functions for operators in the

Banach spaces // Міжнародна математична конференція присвячена пам’яті Ганса Гана. Тези доповідей. -Чернівці: Pyja. -1994--С.171 . .

5. Шарпн С.В. Про повий підхід до побудови функціонального числення // Четверта Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука. Тези доповідей. -Київ. -1995. -С.252.

6. Sharin S. Generalized functions for operators // International Con, ferense ’’Nonlinear differential equations”. Book of abstracts. Kyiv.

-1995. -p.152. ■ .

7. Шарни С.В., Лопушанськщї О.В. Фур’е-образ згортпкооої алгеб-

ри Т>'+ // Міжнародна конференція ’’Теорія апроксимації та чисельні методи”. Тези доповідей. -Рівне: Рівненський пед. ін-т. -1996.' -С.48-49. ,

Sharin S. V. Functional calculus for generators of (Co) ^semigroups over Bauach spaces in convolution algebras of Schwartz distributions. Dissertation presented for the candidate degree of physics and mathematics sciences: 01.01.01 - Mathematical Analysis. Manuscript. I.Franko Lviv State University. Lviv, 1997.

Dissertation contains construction of functional calculus for generators of (Co) -semigroups; extension of Fourier transformation.onto convolution algebra of distributions with supports in [0, 4-co) and its properties. Some examples are introduced.

Шарпн С.В. Функциональное исчисление для генераторов (Сс)-полугрупп над банаховыми пространствами и сверточных алгебрах распределений Шварца. . Диссертация на соискание ученого степеня кандидата физико-математических наук : 01.01.01 - Математический анализ. Рукопись. Львовский государственный университет им. И.Франко. Львов, 1997. .

Защищаются 7 научных работ, которые содержат построение функционального исчисления для генераторов (Со)-полугрупп; расширение преобраоовашія Фурье на сверточную алгебру распределений Шварца с.носителями в [0, +оо) п его свойства; некоторые примеры.

Ключові слова: функціональне числення, (Со) -цапівгрупа, р поділи Шварца. '