Генерация света в неклассическом состоянии при удвоении оптической частоты тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

#

/

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

БЕСКРОВНЫЙ ВЛАДИСЛАВ НИКОЛАЕВИЧ

ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА В НЕКЛАССИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ ПРИ УДВОЕНИИ ОПТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ

Специальность 01.04.21 - лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МОСКВА - 1998

Работа выполнена на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель : доктор физико - математических наук,

профессор A.C. Чиркин

Официальные оппоненты : доктор физико - математических наук,

профессор В.П. Быков;

кандидат физико - математических наук, ст.н.с. В.В. Кулагин.

Ведущая организация : Физический институт им.П.Н.Лебедева РАН.

Защита состоится " н " иьсна. 1998 года в в конференц - зале

им. С.А. Ахманова Корпуса нелинейной оптики на заседании Диссертационного Совета К.053.05.21 Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу : 119899, Москва, ул. Хохлова, 1, Корпус нелинейной оптики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " " tAAXXiÄ____ 199S года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К.053.05.21 кандидат физико - математических наук доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы В последние годы значительные успехи достигнуты при генерации света в неклассическом (сжатом) состоянии. Сжатый свет представляет собой излучение, в котором уровень флуктуаций некоторых его параметров ниже так называемого стандартного квантового уровня, соответствующего когерентному излучению. В связи с этим сжатый свет представляет интерес для высокоточных измерений, спектроскопии, оптической связи, включая квантовую криптографи, квантовой телепортации и т. п.

К настоящему времени проведен ряд экспериментов, в которых наблюдалось уменьшение уровня флуктуаций интенсивности лазерного излучения по сравнению с пуассоновским; такой свет с сжатыми (подавленными) ф>луктуаца?ми числа фотонов обладает субпуассоновской статистикой. Реализованы также состояния света, в которых наблюдалось уменьшение уровня флуктуаций одной из квадратурных компонент - это так называемый квадратурно - сжатый свет. В последнее время вызывает интерес новое неклассическое состояние света, получившее название поляризационно - сжатого (ПС) света. Для ПС света дисперсии некоторых стоксовых параметров излучения, полностью характеризующих состояние поляризации, ниже уровня дисперсии полностью поляризованного когерентного излучения. Исследована возможность получения ПС света в однородных и периодически неоднородных кубично - нелинейных средах. При этом, однако, проблема генерации ПС света в квадратично - нелинейных средах не рассматривалась. В то же время использование квадратичных сред предпочтительнее по сравнению с кубичными средами, поскольку для проявления нелинейных эффектов в квадратичных средах требуются меньшие первоначальные интенсивности.

Нелинейно - оптические процессы составляют основу большинства методов получения неклассического света. Причем эффективность подавления квантовых флуктуаций, как правило, связана с эффективностью нелинейного процесса. Поэтому одним из способов повышения эффективности генерации сжатого света является реализация нелинейно оптического явления в резонаторе. Проведенные в этом направлении исследования ограничены случаем резонаторов стоячей волны. Вместе с тем анализ возможностей резонаторов в режиме бегущей волны для получения неклассического света не проводился.

Широко используемым способом исследования квантовых задач нелинейной оптики является решение операторных нелинейных уравнений в представлении

Гейзенберга. Однако в большинстве случаев не удается найти точные аналитические решения соответствующих уравнений для некоммутирующих операторов. Поэтому часто ограничиваются приближенными методами. Одним из таких методов является метод нахождения решения в виде ряда по нелинейному коэффициенту связи волн. Этот метод позволяет в принципе находить решение с любой точностью. При решении же квантовых уравнений с точностью, превышающей второй порядок коэффициента связи, объем вычислений становится значительным, и решения с более высокой степенью точности не выписываются. В связи с этим актуальным является разработка методов, которые позволили бы существенно упростить нахождение решения уравнений с некоммутирующими операторами с точностью, превышающей квадратичную.

Цели диссертационной работы

Цель работы состояла в квантовом анализе процессов генерации второй гармоники в квадратично - нелинейных кристаллах. Основным предметом исследований явились:

1. Исследование генерации квадратурно - сжатых состояний второй оптической гармоники в кольцевом резонаторе в режиме бегущей волны.

2. Анализ генерации поляризационно - сжатого света при возбуждении второй оптической гармоники путем смешения частот когерентного излучения в квадратично - нелинейных кристаллах.

3. Разработка и создание алгоритма для реализации алгебры некоммутирующих операторов в пакете МаАетаИса и его применение для решения системы квантовых нелинейных дифференциальных уравнений.

Научная новизна

Впервые исследована и показана возможность генерации поляризационно -сжатого света как на основной частоте, так и на частоте второй гармоники в процессе смешения оптических частот.

Разработан компьютерный алгоритм работы с некоммутирующими операторами. Данный алгоритм позволяет быстро и надежно находить решения квантовых нелинейных уравнений.

Научная и практическая ценность работы

Полученные результаты показывают, что процесс генерации второй оптической гармоники при смешении частот можно использовать для получения поля-

рнзациошго - сжатого света, который может найти применение в высокоточных измерениях, в частности в поляриметрии и эллипсометрии.

Разработанный алгоритм решения операторных уравнений нелинейной оптики, связанных с генерацией второй гармоники, может быть применен для компьютерного расчета других квантовых нелинейно - оптических явлений. Этот алгоритм может быть распространен на решения задач о взаимодействии квантованных полей неэлектромагнитной природы.

Основные положения, выносимые на защиту

• Процесс генерации второй гармоники путем смешения оптических частот в средах с квадратичной нелинейностью можно использовать для получения поляризационно - сжатого света на основной частоте. Показано, что уровень флуктуаций трех из четырех стоксовых параметров основного излучения может быть ниже стандартного квантового предела.

• С ростом коэффициента преобразования основного излучения во вторую гармонику степень подавления флуктуаций стоксовых параметров растет. Установлено, что в этом процессе можно получить слабо интенсивное основное излучение с сильно неклассическим состоянием поляризации.

• Впервые дана наглядная интерпретация формирования сжатого света при удвоении оптической частоты. При генерации сжатого света во внешнем кольцевом резонаторе при резонансе по второй гармонике установлено, что увеличение коэффициента отражения зеркал приводит к повышению подавления квантовых флуктуаций второй гармоники.

• Разработан алгоритм, позволивший реализовать алгебру некоммутирующих операторов рождения и уничтожения на компьютере и решить квантовые нелинейные уравнения с произвольной точностью по коэффициенту пелинейной связи волн.

Личный вклад автора Автором выполнены расчеты по анализу квантовых состояний основного излучения и второй гармоники в процессе генерации второй гармоники при смешении в квадратично - нелинейных средах. Автору принадлежит также идея создания и реализация алгоритма решения квантовых нелинейных уравнений на компьютере.

- в -

Объем и структура диссертадии

Диссертационная работа содержит 152 страницы текста, включая 26 рисунков и списка литературы из 130 наименований. Структура работы следующая: Введение, 5 глав, Заключение и Список литературы.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались на V [1] и VI [8] Международных семинарах по квантовой оптике (Минск, 1994 и 1996 гг.), XV Международной конференции по когерентной и нелинейной оптике (Санкт - Петербург, 1995 г.) [2], Третьей международной конференции по квантовой связи и измерениям (Тамагава, Япония, 1996 г.) [10], Хохловских чтениях (Москва, 1996 г.) [11], V Международном семинаре по лазерной физике (Москва, 1996 г.) [9], I конференции по поляризационным эффектам в лазерах и спектроскопии (Торонто, Канада, 1997 г.) [14], V Международной конференции по когерентным состояниям и соотношениям неопределенностей (Балатонфюред, Венгрия, 1997 г.) [15], Втором международном симпозиуме по современным проблемам лазерной физики (Новосибирск, 1997 г.) [16] и опубликаваны в журналах Квантовая электроника [3, 5], Journal of Russian Laser Research [6], Laser Physics [7], Оптика и спектроскопия [12], Quantum and Semiclassical Optics [17] и в сборнике SPIE [4].

Содержание работы

Во Введении формулируется актуальность темы и цель диссертационной работы, ее научная новизна и практическая ценность. Приводятся основные положения, выносимые на защиту. Кратко изложено содержание диссертации по главам.

Глава 1 содержит обзор по проблеме получения неклассических состояний света методами нелинейной оптики. Рассмотрены основные способы получения неклассических состояний света. Впервые сжатый свет был получен в 1985 году в процессе параметрического усиления на основе невырожденного четырехволново-го смешения. Другими распространенными способами получения неклассического света стали процессы генерации второй гармоники и явление самовоздействия.

Поляризационно - сжатый (ПС) спет вводится как свет, в котором уровень флуктуаций параметров Стокса Si (i = 0,.., 3) ниже уровня в когерентном состоянии с равной интенсивностью. Дано представление ПС света в стоксовом пространстве. Область неопределенностей параметров Стокса такого света представляет собой эллипсоид с центром, расположенным на сфере Пуанкаре.

Рассмотрены также возможные области применения сжатого света; в частно-

сти увеличение чувствительности интерферометричсских измерений, оптическая связь.

Проведен краткий обзор наиболее распространенных методов исследования квантовых свойств световых полей.

Глава 2 содержит описание алгоритма, реализующего алгебру некоммутирую-щих операторов для решения квантовых задач в пакете Mathernatica. Основная трудность в применении этого пакета состояла в том, что в нем не предусмотрена возможность работы с квантовыми операторами. Вместе с тем имеется возможность самостоятельно вводить объекты и указывать правила работы над ними. Для записи операторного произведения упорядоченных операторов предложена форма, принципиально отличающаяся от традиционной. После того как все произведения некоммутирующих операторов представляются в новом виде стало возможным создать процедуру, определяющую порядок работы над ними. Одной из основных операций работы с такими операторами является операция нахождения операторного произведения. Правила, определяющие процедуру нахождения произведения, служат для представления результата в виде суммы нормально упорядоченных операторов рождения и уничтожения. Созданы также правила, распространяющие их на случай суммы произведений операторов.

Как известно, поведение квантовой системы можно определить, задав гамильтониан этой системы Н. Зная последний, можно вывести квантовое уравнение для эволюции произвольного оператора М:

M{t) = ехр

которое можно представить в виде:

M(t) = Mo + itLM(t0) + ~~-LL]il(to) + ^LLLM(to) + .. =

где LQ = [H/h, O]-

Созданный на основе этого соотношения алгоритм позволяет, указав гамильтониан системы, найти эволюцию произвольного оператора, выражаемого в виде произведения начальных операторов рождения и уничтожения фотонов. В частности, можно находить эволюцию операторов Стокса, числа фотонов, квадратур и их квадратов. Все решения приводятся в виде ряда по степеням нелинейного

коэффициента с заданной точностью.

Построенные на основе вышеприведенных процедур правила работы с ыекомму-тирующими операторами позволяют находить эволюцию эрмитовых операторов. Развитый нами метод применен для решения нелинейно - оптической задачи в Главе 4.

Глава 3 посвящена изучению статистических свойств поля второй гармоники на выходе внешнего кольцевого резонатора, возбуждаемого когерентным основным излучением. Для решения этой задачи сначала была исследована эволюция операторов рождения и уничтожения поля основного излучения и второй гармоники в нелинейной среде. Эволюция операторов описывается с помощью нелинейных дифференциальных уравнений с пространственной переменной в качестве аргумента. Такая форма записи квантовых уравнений применялась в ряде работ. Однако, вопрос корректности использования такого подхода, как правило, не рассматривался. Дело в том, что квантово - механические уравнения Гейзенберга описывают эволюцию системы во времени. В работе дано обоснование правомерности введения пространственной переменной в качестве переменной дифференцирования. Обоснование записи уравнений в таком виде проведено на основе постулата Планка (свет излучается и поглощается квантами) и использования скобок Пуассона.

Впервые дана наглядная интерпретация формирования сжатых состояний света при удвоении частоты с помощью фазового портрета процесса генерации второй гармоники (рис.1). Показано, что если вторая гармоника на входе в нелинейный кристалл имеет ненулевую интенсивность, то происходит более эффективное формирование сжатого света.

Основной же предмет исследования этой главы - анализ формирования квадратурно - сжатых состояний на второй гармонике во внешнем кольцевом резонаторе. При исследовании состояний поля внутри резонатора возникает определенная проблема применения квантовых операторов для его описания. В ряде работ показано, что для описания связи входного и выходного излучений с полем внутри резонатора, необходимо учитывать эффекты отражения и прохождения через зеркала резонатора. При этом возникают некоторые сложности с операторами в получении правильных коммутационных соотношения. Так, эти соотношения не выполняются для поля внутри резонатора, а для того чтобы они выполнялись вне резонатора, приходится вводить дополнительные ограничения на фазовые соотношения отраженной и переломленной волн. Эти трудности преодолены с помо-

Рис.1. Фазовый портрет формирования сжатого света второй гармоники: 1 -вакуумное состояние, 2 - сжатое состояние.

щью развитого нами метода. Идея метода состоит в том, что нужно учитывать временую зависимость операторов рождения и уничтожения фотонов. Применяя этот подход для расчета статистических свойств выходного излучения, получены выражения для дисперсии второй гармоники на выходе из кольцевого резонатора.

Расчет степени подавления флуктуаций квадратур при генерации второй гармоники в резонаторе произведен для случая оптимизация потерь резонатора: коэффициенты отражения зеркал согласованы с поглощением в нелинейной среде.

В главе 4 исследовано преобразование флуктуаций поляризации основного излучения при генерации второй гармоники смешением. Этот процесс описывается гамильтонианом взаимодействия

где ¡3 - коэффициент нелинейной связи, (а^), Ь+ (Ь) - операторы рождения (уничтожения) фотонов для волн основного излучения с обыкновенной и необыкновенной поляризациями (индексы 1 и 2) и второй гармоники соответственно,

Для нахождения эволюции операторов рождения и уничтожения фотонов взаимодействующих волн и их статистических свойств был применен метод компьютерного аналитического решения, описанный в Главе 2. Данный метод применен для нахождения решений с точностью до слагаемых, пропорциональных четвертой степени коэффициента нелинейной связи. Преимущества метода разложения в ряд состоят в том, что он справедлив для произвольного уровня квантового шума.

Прежде всего с указанной точностью найдены выражения для операторов уничтожения фотонов основного излучения и второй гармоники и операторов Стокса основного излучения. Выражения содержат большое число слагаемых, в частности, выражение для оператора Стокса ^о имеет следующий вид

50 = ац,а10 + а20а20 + 2гз(а}"0а^060 - а10а20Ь$) +2д2{Ь£Ъ0 + а%0а20Ь£Ь0 + а+0а10Ь$Ь0 - а^0а10а^0а20) 4(4г'э3/3)(а10а206([ - а10а20Ъ%\ + а10а^"0а102^

Ч-+11_|++1+1,2 ++2 + 2 I+ +2 + I, \

~~а10а20°0 а10а20*0 — йЮа20 а20&0 > а10а10 а2СГО а10 а№а20"0)

+(54/3)(-2Ь+Ь0 + 2Ь+\2-

6о^0о206^60 + 2а^0а20Ь^2Ь02 - 2а^0га1026^Ь0 + Зо102а102^2-

12 а+а

2а1оа10а202аю За+0 а^р Ь0 — 2а^а2а10 + 2а^"02о102о20а20),

где д = /31, I - длина взаимодействия, аю, <¡20, ¿о - значения операторов на входе нелинейной среды. Приведенное выражение можно обрабатывать только с помощью вычислительной техники. Далее разработанный алгоритм был применен для нахождения дисперсий разных параметров. Дисперсии параметров Стокса основного излучения в случае, когда начальное поле второй гармоники находится в вакуумном состоянии определяются выражениями:

К(50) = «ю + "го - 4д2пюп2о + (4д*/3)(п10п20){1 + 2пхй + 2п20),

Ъ^) = «Ю + Й20, д4

7(£2) = "10 + "20 - 4д2щ0п2о 4- — п10п2о(15 + соз(^2 - Ф\))("ю + п20 + 8), (1)

9

У(53) = пю + п20 - 4д2п,0п2О Н- — й10п2о(15 + зт(фг - ф\)){пю + п20 + 8),

где = (5?) - (5;)2 -дисперсия параметра Б;, пю, п2а - числа фотонов обыкно-

венной и необыкновеной волн на входе в нелинейную среду, ф^, фг - фазовые добавки, приобретаемые этими волнами при прохождении через нелинейную среду. В случае когерентного излучения той же интенсивности, что на выходе нелинейной среды, дисперсии стоксовых параметров одинаковы и равны

2

У{3(ссН)) = = пю + п20 - 2д2п10«2о 4- -з%о«2о(1 + «ю + п20). (2)

Из сравнения (1) и (2) видно, что параметры Стокса 5о, ¿2, ¿з имеют меньший уровень квантовых флуктуаций по сравнению со значением в когерентном состоянии. Таким образом, процесс генерации второй гармоники с помощью смешения частот дает на выходе нелинейной среды основное излучение в поляризационно -сжатом (ПС) состоянии.

В этой главе рассмотрен также способ регистрации ПС света. Для этого сначала проведен анализ изменения свойств поляризационно - сжатого света, прошедшего через линейные оптические элементы: поляризатор и фазовую пластинку. Показано, что зависимость дисперсии разности токов фотодетекторов, регистрирующих ПС свет, от положения поляризационного делителя излучения имеет осцилляци-онный характер.

В главе 5 приведен анализ получения света с неклассическим состоянием поляризации при генерации второй гармоники смешением при высоких эффективно-стях преобразования. Здесь применен метод возмущений, который основан на том, что квантовые операторы рождения (уничтожения) заменяются суммой С - числа и оператора, учитывающего вакуумные флуктуации. Недостатком метода является его справедливость лишь для полей со слабым уровнем квантовых фуктуаций, т.е. для интенсивных полей. В то же время этот подход не имеет ограничений на коэффициент преобразования во вторую гармонику.

Анализ процесса показал, что абсолютное значение дисперсии параметра Стокса остается неизменным, а дисперсии остальных стоксовых параметров уменьшаются. Поскольку в процессе преобразования частоты интенсивность основного излучения уменьшается, в работе также рассмотрено поведение дисперсий параметров Стокса основного излучения нормированных на дисперсию, соответствующую полю с интенсивностью, равной интенсивности основного излучения на выходе нелинейной среды, в зависимости от коэффициента преобразования основно-

Рис.2. Относительные дисперсии р., = параметров Стокса на вы

ходе нелинейного кристалла в зависимости от коэффициента преобразования в вторую гармонику 7?. рсан = 1 соответствует дисперсии когерентного излучения.

го излучения во вторую гармонику (рис. 2), а также в зависимости приведенной длины взаимодействия. Из Рис.2 видно, что дисперсии трех параметров Стокса стремятся к нулю по мере увеличения эффективности преобразования. Таким образом, в процессе генерации второй гармоники смешением происходит формирование поля на основной частоте с малой интенсивностью, но сильно подавленными квантовыми флуктуациями поляризации.

Приеден анализ поляризационного состояния излучения второй гармоники. На этой частоте происходит также формирование поляризационно - сжатого света на второй гармонике. Однако, в отличие от основного излучения, дисперсии только двух параметров Стокса второй гармоники оказываются ниже соответствующих параметров когерентного излучения. Максимальное сжатие для второй гармоник! составляет 0.5,

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы

• Показано, что при генерации второй гармоники смешением происходит формирование полярнзациоино - сжатого света. Флуктуации трех из четырех стоксовых параметров основного излучения оказываются ниже стандартного квантового предела.

• Показано, что происходит формирование поляризационно - сжатого света также на удвоенной частоте. При этом оказываются подавленными флуктуации двух из четырех стоксовых параметров.

• Исследована возможность увеличения эффективности сжатия квантовых флуктуаций с помощью кольцевого резонатора, в который помещается нелинейный кристалл. Показано, что резонанс по второй гармоники увеличивает эффективность сжатия.

• Предложен и реализован алгоритм для аналитическего решения нелинейных уравнений с некоммутирующими операторами в пакете Mathematica.

• Дано обоснование перехода от временной переменной в качестве независимой переменной к пространственной при квантовом анализе нелинейного взаимодействия волн.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. В.Н. Бескровный, Л.С.Чиркин, Генерация второй гармоники, возбуждаемой излучение во внешнем кольцевом резонаторе: коммутационные соотношения и квантовые флуктуации. // V семинар по квантовой оптике, Минск, 30 Мая - 1 июня, 1994, программа.

2. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, Generation of Squeezed Light on Doubled Frequency in a Ring Resonator. // 15th International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (St.Petersburg, Russia, June 27 - July 1, 1995), Technical Digest, v. 1, pp. 287 - 288.

3. В.II.Бескровный, А.С.Чиркин, О сжатом состоянии света на удвоенной частоте во внешнем кольцевом резонаторе. // Квантовая электроника, 1995, т. 22, N 12, сс. 1231 - 1234.

4. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, Generation of Squeezed Light at Doubled Frequency in a Ring Resonator. // Proc. SPIE, 1996, v. 2799, Atomic and Quantum Optics: High - Precision Measurements, pp. 212 - 219.

5. B.H.Бескровный, А.С.Чиркин, Формирование поляризационно - сжатого света при удвоении оптической частоты второго типа. // Квантовая электроника, 1996, т. 23, N 9, с.843 - 844.

6. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, Nonclassical Polarization Properties of Fundamental Radiation in the Case of Generation of Second Optical Harmonic by Mixing. // Journal of Russian Laser Research, 1996, v. 17, N5, pp.432 - 438.

7. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, On the Quantum Description of the Nonlinear Interaction of Runing Light Waves. // Laser Physics, 1996, v. 6, N6, pp.1092 - 1094.

8. B.H.Бескровный, А.С.Чиркин, Генерация неклассического света при возбуждении второй гармоники ортогонально поляриэоваными волнами. // VI семинар по квантовой оптике, Минск, 15 - 17 Мая, 1996, с.17.

9. A.S.Chirkin, V.N. Beskrovnyi, Fundamental Radiation Quantum Noise Transformation at Second Harmonic Generation by Mixing: Photon Statistics and Nonclassical Polarization State. // V International Workshop on Laser Physics, Moscow, July 22 - 26, 1996.

10. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, Polarization - Squeezed Light Generation in a Second Order Nonlinear Medium. // Abstracts of the Third International Conference on Quantum Communication and Measurement, Tamagawa, Japan, 1996

11. B.H.Бескровный, Компьютерное аналитическое решение системы квантовых нелинейных уравнений. // Хохловские чтения, Москва, Россия, 1996.

12. В.Н.Бескровный, А.С.Чиркин, Генерация субпуассоновского света с неклассическим состоянием поляризации в квадратично - нелинейных кристаллах. // Оптика и спектроскопия, 1997, т. 82, N6, сс. 961 - 965.

13. V.N.Beskrovnyi, A.S. Chirkin, Polarization - Squeezed Light Generation in a Second Order Nonlinear Medium. // Quantum Communnication, Computing, ed. O.Hirota, A.S. Holevo, C.M. Caves, Plenum Press, New York and London, 1997, pp. 483 - 489.

14. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, Light Source with Nonclassical Polarization State based on a Optical Frequency Doubler. // The First International Conference on Polarization Effects in Lasers and Spectroscopy, May 26 - 28, 1997, University of Toronto, Toronto, Canada.

15. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, On Polarization - Squeezed Light at High Efficiency of Generation of Second Optical Harmonic by Mixing. // Abstracts of the 5th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations 27 - 31 May, 1997, Balatonfured, Hungary, p. 19.

16. A.S.Chirkin, V.N.Beskrovnyi, Transformation of Quantum Polarization Fluctuations of Laser Radiation at Frequency Doubling // Abstracts of the Second International Symposium on Mordern Problems of Laser Physics, Novosibirsk, Russia, 28 July - 2 August, 1997, pp. 0 - 69 - 70.

17. V.N.Beskrovnyi, A.S.Chirkin, Light Source with Nonclassical Polarization State based on an Optical Frequency Doubler. // Quantum and Semiclassical Optics, 1998, vol. 10, N1, pp. 263 - 270.

Издательство АО "Диалог-МГУ". ЛР № 063999 от 04.04.95 г. Подписано к печати 4.05.98 г. Усл.печ.л. 0,9. Тираж 80 экз. Заказ 474. Тел. 939-3890, 928-2227, 928-1042. Факс 939-3891. 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ.