Геометрические аспекты в свободной конвекции тепловыделяющей жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

российская академия наук

Институт Проблем Безопасного Развития Атомной Энергетики

На правах рукописи

Никольский Дмитрий Владимирович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ В СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ

01 04 14 Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031605БТ

Москва - 2007

003160567

Работа выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

Научный руководитель

д ф -м н Кондратенко Петр Сергеевич

Официальные оппоненты д ф -м н, профессор Вещунов Михаил

Сергеевич

д ф -м н Мелихов Олег Игоревич

Ведущая организация Объединенный институт высоких температур РАН

диссертационного совета Д 002 070 01 при Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук по адресу 115191, г Москва, ул Б Тульская, д 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

Автореферат разослан ^

Ученый секретарь диссертационного совета

Защита состоится

на заседании

к.т н

В Е Калантаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В исследованиях по проблеме безопасности АЭС особое место занимают тяжелые аварии При потере теплоносителя и разрушении активной зоны возможно накопление тепловыделяющего расплава на дне корпуса реактора В такой ситуации возникает задача сохранения целостности корпуса с целью предотвращения выхода радиоактивных материалов На сегодняшний день основными стратегиями по решению этой проблемы для водо-водяных реакторов корпусного типа средней и малой мощности являются внешнее охлаждение и затопление активной зоны водой При этом эффективность охлаждения определяется механизмом кипения на внешней поверхности корпуса реактора Во избежание возникновения кризиса кипения требуется знать локальное распределение потока тепла к поверхности, которое определяется свободной конвекцией тепловыделяющего расплава

При экспериментальном исследовании тяжелоаварийных процессов возникает ряд трудностей. Например, многие параметры задачи, такие как теп-лофизические свойства расплава, условия тешюотвода на границе, оказываются неопределенными Ввиду практической невозможности проведения эксперимента с тепловыделяющим расплавом в объемах, сопоставимых с размерами реакторных установок, используются модельные жидкости вода, фреон, расплавы солей, в которых объемное тепловыделение создается индукционными токами или Джоулевым нагревом При сохранении исходной геометрии добиться однородного распределения тепловыделения по объему крайне проблематично, поэтому в экспериментах часто использовалась полость в виде относительно тонкого плоскопараллельного слоя, рассматриваемого как осевой срез прототипного трехмерного объема (тн вЬсе-геометрия) В любом случае остается открытым вопрос о степени соответствия полученных результатов прототипной ситуации

Прямое численное моделирование требует значительных временных затрат и вычислительных ресурсов Кроме того, ввиду существенного различия характерных пространственных масштабов, область высоких мощностей тепловыделения остается для него недоступной Для различных полуэмпирических моделей, упрощающих процесс расчета, характерна неоднозначность выбора параметров

Большая часть опубликованных теоретических работ посвящена интегральным характеристикам теплоотдачи, в то время как особенности распределения потока тепла через границу, влияние геометрии объема, граничных условий и геометрии распределения источника тепла на эффективность теплоотдачи, структура свободно-конвективных пограничных слоев исследованы недостаточно Поэтому исследование перечисленных аспектов теплопередачи в средах с внутренними источниками тепла является актуальным

Цель работы. Целью работы является анализ влияния геометрии объема и геометрии тепловыделения на распределение теплоотдачи жидкости с внутренними источниками тепла Основными задачами диссертации являются

1 Установление геометрических ограничений на экспериментальный ква-зи-двумерный (slice-) объем для достижения наилучшего соответствия трехмерному прототипу относительно распределения теплового потока по охлаждаемой границе 2. Сравнительный анализ количественных характеристик теплоотдачи в

slice-геометрии и геометрии 3D- прототипа 3 Анализ влияния неоднородности распределения источников тепла на структуру конвекции и распределение теплоотдачи

Научная новизна работы. Автором впервые

1 Установлены геометрические критерии соответствия распределения теплоотдачи квази-двумерного объема трехмерному прототипу

2 При помощи расчетной модели, построенной на основе метода аналитических оценок, найдено количественное соответствие характеристик теплоотдачи квази-двумерного объема трехмерному прототипу при со-

v блюдении геометрических критериев

3 Аналитически исследована роль неоднородности распределения объемного источника тепла Определена возможность соответствия теплоотдачи между случаями однородного и существенно неоднородного распределения источников тепла

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы при планировании экспериментов, интерпретации и обработке результатов имеющихся работ, а также в инженерных расчетах по моделированию процессов теплообмена при тяжелых авариях

Личный вклад автора. Соискателем лично проведены.

1 Аналитические оценки по выявлению критериев прототипности квазидвумерных экспериментальных моделей с внутренним и внешним подогревом

2 Численные расчеты свободной конвекции жидкости с внутренними источниками тепла в полусферической и slice- полостях в ламинарном режиме

3 Аналитические оценки и прямые численные расчеты характеристик теплоотдачи жидкости с неоднородным распределением источников тепла

Защищаемые положения. На защиту выносятся

1 Критерии прототипности квази-двумерных экспериментальных моделей при внутреннем (джоулевом) и внешнем (стеночным) способах подвода тепла

2 Аналитическое решение задачи о пограничном слое на теплоизолированной вертикальной стенке

3. Количественное соответствие характеристик теплоотдачи между полусферической полостью и ее квази-двумерным аналогом

4 Условия соответствия распределения теплоотдачи между случаями однородного и неоднородного распределения объемного источника тепла

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международной конференции «The Tenth International Topical Meeting on Nuclear Reactor Thermal Hydraulics» (NURETH-10, Сеул 2003), международном форуме «V Минский Международный Форум по Тепло- и Массообмену» (MIF-5, Минск 2004), национальной конференции «Третья Российская Национальная Конференция по Теплообмену» (РНКТ-3, Москва 2002), ежегодных школах-семинарах (конференциях) ИБРАЭ РАН (2000, 2001, 2002, 2003,2004,2005,2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В» введении изложены вопросы актуальности, научной новизны, практической ценности, основных целей и задач диссертационной работы, приводится формулировка выносимых на защиту положений. Также во Введении приведен обзор экспериментальных и теоретических работ, посвященных свободной конвекции жидкости с внутренними источниками тепла.

Глава 1 посвящена анализу структуры свобод но-конвективного течения и распределения теплоотдачи в квази-двумерной (slice-) геометрии.

Конвекция Рзлея-Бенара,

- Область устойчивой с гратификации

Сходящийся пограничный слой

Рис. ] Геометрия трехмерного прототипа и его квази-двумерной (slice-)

модели

В целом ряде экспериментальных работ моделируемый объем заменялся его к ваз и-двумерным аналогом - тонким (с толщиной, много меньшей характерного вертикального размера) плоско параллельным вертикальным срезом (slice) вблизи оси вращения (см, Рис.1). Источник тепла либо создавался при помощи пропускания тока в поперечном к плоскостям среза направлении, либо заменялся подогревом с одной или обеих плоскостей.

Ограничение движения в направлении, перпендикулярном плоскостям среза, приводит к тому, что структура течения (а, следовательно, и распределение теплоотдачи) не может полностью соответствовать моделируемой аксиально-симметричной геометрии, а в лучшем случае будет такой же, как в геометрии длинного горизонтального полуцилиндра, являющегося, таким образом, промежуточным прототипом. Однако, с точностью до численных множителей в предельных распределениях теплового потока (см. [1]), а также в зависимостях интегральных характеристик теплоотдачи (средних чисел Нуссельта) от модифицированного числа Рэлея, соответствие аксиально-симметричной геометрии сохранится. Таким образом, соответствие теплоотдачи длинному горизонтальному цилиндру определяет критерий наилучшего

качественного соответствия трехмерному прототипу Отсюда возникает задача об установлении геометрических ограничений на экспериментальный квази-двумерный объем, при которых достигается такое соответствие

При анализе данной задачи предполагалось, что верхняя горизонтальная граница теплоизолирована, а диапазон мощностей тепловыделения соответствует ламинарному режиму течения

В Разделе 1 1. представлена общая физическая картина конвекции тепловыделяющей жидкости в замкнутом объеме и перечислены ее основные характеристики

В Разделе 1 2 сформулирована постановка задачи и дан ее качественный анализ

В Разделе 1 3 рассмотрена квази-двумерная модель с объемным источником тепла. Для достижения наилучшего соответствия ее прототипу необходимо минимизировать следующие два фактора

1 Трение о вертикальные стенки в свободно-конвективном пограничном слое на охлаждаемом криволинейном участке границы

2 Эффект от возникновения пограничных слоев на плоских вертикальных стенках

При выполнении первого условия из уравнений баланса массы, импульса и энергии в пограничном слое (далее ПС) на охлаждаемом участке границы вытекают оценки, аналогичные найденным в [1] для осесимметричной геометрии

и г ~ Ус ~ ~ и,

5с ,, 8

с

яё С7Ш'

11с~даТьг, (1)

ыс8? ~ хяе

Здесь д - ускорение свободного падения, Z - вертикальная координата, 0 -продольная координата (полярный угол), Я - радиус кривизны охлаждаемого участка границы, Т^— разность температур жидкости и охлаждаемой границы (индекс Ь обозначает область вне ПС), ос - коэффициент теплового расширения, р - плотность, % - температуропроводность, (Уг - вертикальная компонента скорости в области вне ПС, Ыся\/с- продольная и поперечная компоненты скорости в ПС на охлаждаемом участке границы, 5С - толщина ПС на охлаждаемом участке границы (обозначается индексом с)

ПС на теплоизолированной вертикальной стенке представляет особый интерес, поскольку режим стратификации в основном объеме может оказаться существенно искажен (что скажется и на распределении теплоотдачи), если

толщина ПС сравнится по порядку величины с поперечным размером объема

Горизонтальное течение в области вне ПС на охлаждаемом криволинейном участке границы формирует классические сдвиговые пограничные слои вблизи плоских вертикальных стенок Поскольку течение в этой области существенно медленнее, чем в ПС на охлаждаемом участке границы, толщина ПС на плоской вертикальной стенке (формируемого горизонтальным течением) будет больше Тем не менее, даже если она сравнится по порядку величины с толщиной всей полости к существенному изменению температуры в обеих горизонтальных направлениях это не приведет Это следует из оценок для горизонтальных и вертикальной компонент уравнения баланса импульса с учетом (1)

{57; I

{5?; I

^7-Ь«ТЬ;

з (2)

¿г

Неравенства (2) означают, что характерный масштаб перепада температуры по горизонтальным направлениям много меньше разности температур жидкости и охлаждаемой границы, то есть температура зависит практически только от вертикальной координаты Таким образом, ПС, формируемые вблизи вертикальных плоских границ горизонтальным течением не сказываются на стратификации в объеме Потенциально опасными остаются ПС на охлаждаемой границе и слои, образуемые вблизи вертикальных плоскостей вертикальным течением

В области стратификации, где эффекты теплопроводности и вязкости несущественны, баланс энергии имеет вид

аг р с

где - объемная плотность мощности тепловыделения, с - удельная теплоемкость

Наличие архимедовой силы, вкупе с балансом энергии (3) приводит к тому, что поперечные профили вертикальной скорости и температуры стремятся выровняться Существенное изменение этих величин с поперечной координатой происходит лишь в области, где начинают сказываться эффекты теплопроводности и вязкости Таким образом, часть пограничного слоя, которая формируется вертикальным течением (г-подслой), формируется на балансе сил вязкости и плавучести Толщина 2-подслоя определяется градиентом температуры в основном объеме

6* ~

v%

_____

(4)

dz

и существенно меньше толщины сдвигового слоя для тех же характерных величин вертикальной скорости ( Ъ5^еаг ~ I—— )

Л2

& shear

РJc^ „ Ra^ « 1(5)

л/Rz

Кроме того, она мала по сравнению с толщиной ПС на охлаждаемом участке границы

5Z ~ 5С

<5

с max

«L

(6)

А стало быть, если ПС на охлаждаемой границе не стеснен, г-подслои также не стеснены, и режим стратификации не нарушается

В силу малости толщины г-подслоя, а также малости перепада температур в поперечном направлении, удается линеаризовать уравнения баланса импульса и энергии и найти поперечные профили вертикальной скорости и температуры в г-подслое

(

и = U,

л

1 - V2e ^ cos

/ \

Г| п л/2 4

да

У Л

(7)

л/2е ^

/ л

Г1 п

ч= + —

чл/2 4

Здесь Г) = -, где определяется формулой (4)

87

На представленном ниже графике показаны профили приведенных верти-

кальной скорости U — vU

и-U7

U,

(сплошная кривая) и температуры

т = --

да

лУг

УХ

(7" - Tjj) (пунктирная кривая)

Рис 2 Поперечные профили приведенных вертикальной скорости и температуры в z-подслое

Для того чтобы картина конвекции и распределение теплоотдачи соответствовали промежуточному прототипу, достаточно, чтобы поперечный размер

объема L значительно превышал толщину ПС на охлаждаемом участке границы Наибольшая ее величина достигается вблизи полюса (нижней точки) и может быть оценена по аналогии с [1] как

(8)

Здесь

gaQH5

Ra, =

vx^

модифицированное число Рэлея С учетом вышесказанного ограничение на поперечный размер полости /. приобретает вид неравенства

- V I

Яа1/6 « ± « 1 (9)

Оно и определяет критерий наилучшего качественного соответствия теплоотдачи квази-двумерной модели трехмерному прототипу при объемном разогреве

В Разделе 1 4 рассмотрена модель с внешним подводом тепла - через вертикальные боковые стенки Объемный источник тепла при такой постановке отсутствует, и аналогом модифицированного числа Рэлея 1 будет

ря _ 9ад5Н5

где - плотность потока тепла, подводимого через плоские вертикальные участки границы

При такой постановке ограничения (9) остаются справедливы, с заменой ЯЭ/ на Яат Пограничные слои, возникающие на вертикальных боковых стенках, являются теперь классическими свободно-конвективными ПС В зависимости от соотношения толщин ПС и поперечного размера объема /., можно выделить два случая

1 ПС не стеснены (толщины ПС много меньше ¿)

2 ПС стеснены (поперечный размер объема меньше толщины ПС)

В первом случае картина конвекции становится качественно иной, чем в

двумерной или аксиально-симметричной геометрии Найдено, что при ма-

g

лых углах плотность теплового потока ведет себя как Ц се 0 , то есть распределение теплоотдачи также существенно отличается от случая горизонтально-цилиндрической или аксиально-симметричной геометрии, где

С7 ОС в (см [1]) Следовательно, с точки зрения адекватности экспериментального моделирования, этот случай неприемлем Второй предельный случай отвечает неравенству

1} (10) иг

С учетом этого неравенства показано, что вне ПС на охлаждаемом участке границы характерные масштабы изменения температуры в двух горизонтальных направлениях оказываются существенно меньше, чем в вертикальном, иными словами, устанавливается температурная стратификация Уравнение баланса энергии, усредненное по поперечной координате / сохраняет такой же вид, как при объемном источнике тепла, при этом величи-

(7

на плотности мощности заменяется на Стало быть, при соблюдении, помимо неравенства (10), ограничений (9) имеется полное соответст-

вие картины конвекции промежуточному двумерному прототипу, и, следовательно, наилучшее качественное соответствие теплоотдачи трехмерному прототипу

Поперечные профили вертикальной скорости и температуры в случае 2 также можно найти аналитически, линеаризовав систему уравнений баланса импульса и энергии (см Рис 3) Профили задаются параметром ю, определяемым градиентом температуры в области стратификации

Рис 3 Поперечные профили приведенных температуры и вертикальной скорости при симметричном подводе тепла (значения параметра 0 приведены

на графиках)

Таким образом, условия соответствия модели с внешним подводом тепла прототипу заключаются в малости толщины ПС на охлаждаемом участке

границы по отношению к поперечному размеру объема I- и малости последнего по отношению к толщинам свободно-конвективных ПС на нагреваемых вертикальных границах В безразмерном виде они формулируются как

« ^ « (И)

Следует отметить, что при подводе тепла через границу диапазон выбо-

I

ра аспектного отношения — значителен лишь в области больших чисел

г\

Рэлея

В Главе 2 при помощи расчетного метода, основанного на синтезе аналитического и численного подходов, рассмотрен вопрос о количественном соответствии характеристик теплоотдачи в геометрии полусферы и вЬсе-геометрии при соблюдении условий (9) или(11)

Расчеты проводились в следующих предположениях радиус кривизны нижней границы Я равен высоте объема Н, нижняя граница находится при постоянной температуре, верхняя горизонтальная граница объема теплоизолирована.

Постановка задачи и концепция метода расчета сформулированы в Разделе 2 1 Суть метода состоит в разделении объема на области пограничного слоя и температурной стратификации Уравнения движения в каждой из них, благодаря малости толщины пограничного слоя, существенно упрощаются Уравнения для ПС на криволинейном участке границы записываются в приближении Прандтля (здесь приведены уравнения для полусферической геометрии)

= да(Т -Ть^)) 51п(в)(12)

ди ди ди д2и

— + и — + у-- - v--— :

Ж ду ду

дТ ат дТ д2т

— + и—- + V- — X-т

дЬ ж ду /ъ ду2

Малость толщины ПС позволяет пренебречь в уравнениях (12) вкладом объемного источника тепла В области температурной стратификации уравнение баланса энергии также упрощается и имеет вид (3) Замыкают систему условия баланса массы

и® = * = - СО5(0))(13)

и энергии

ФоМо) = - д 5ц0о) )с1у и{в0, у)г(е0/у)(14)

71

Размеры расчетной области (0</<А;60 < 0 < — ) выбирались следующим образом

А = аНЯа/5 ,гДе а = 8 -12, 0О <агссо5(1-^)

Для геометрии горизонтального полуцилиндра разница заключается в ином виде уравнения баланса массы

1 ди дV п

--+-= 0,

я эо еу

а также замыкающих условий (13) и (14)

Ф) = - V Ф> У) ? = ~ соф))

Система (12) - (14) решалась в диапазоне модифицированных чисел Рэ-7 12

лея 10 < Р1Эх <10 Число Прандтля Рг предполагалось равным единице

Численная реализация сформулированной выше физической модели описана в Разделе 2 2

Основными результатами расчетов были зависимости плотности потока

тепла от угловой координаты (9), а также зависимости среднего числа Нус-

сельта (М Ис1п) от модифицированного числа Рэлея Я.а/

Предельное распределение теплового потока при малых полярных углах 0, в обоих типах геометрии, хорошо описывается квадратичной зависимостью [1]

Вычисленная для эксе-геометрии зависимость N11^ (ЯЭ/) с точностью до 5.5% описываются корреляцией Маингера, полученной в экспериментах в яИсе-геометрии [2, 3]

N11^ = 0.54 Яа^18 (15)

Аналогичная зависимость, полученная в настоящей работе для полусферической геометрии, отличается лишь меньшим численным множителем, показатель степени такой же, как для эИсе-геометрии

= 0.44 Яа® 18 (16)

Глава 3 посвящена вопросу о влиянии геометрии источника тепла на картину конвекции и распределение теплоотдачи

В ряде экспериментальных работ, как уже упоминалось, объемный источник тепла создавался при помощи СВЧ облучения При этом, как известно, поле проникает внутрь объема на конечную глубину - толщину скин-слоя, соответственно, тепло выделяется преимущественно в нем Естественно, возникает вопрос - адекватно ли, и при каких условиях результаты подобного эксперимента описывают теплоотдачу жидкости с однородным тепловыделением

Ранее теоретически и численно исследовались задачи с однородным распределением мощности В защищаемой работе впервые получены теоретические результаты для свободной конвекции с существенно неоднородным распределением источников тепла

В Разделе 3 1 рассматривается стационарное течение в объеме в форме

вертикального цилиндра радиуса Я, высоты Н, в предположении, что плотность источников тепла распределена аксиально-симметрично, причем основная его часть выделяется в пристеночном слое толщины бд < Выделены два предельных случая

1 Глубина прогрева не превышает толщин свободно-конвективных пограничных слоев

2 Глубина прогрева значительно больше толщины пограничного слоя на вертикальной границе

В первом случае, рассмотренном в Разделе 3 1, тепло выделяется главным образом вне пограничных слоев,

8<<Ч <17,

благодаря чему течение в основном объеме оказывается медленным по сравнению с пограничным слоем

5

У7 ~ —и

^

Ввиду этого обстоятельства архимедовы силы почти полностью уравновешиваются градиентом давления, так же, как в гидростатике, где все функции состояния жидкости (в том числе температура) зависят только от вертикальной координаты Это подтверждают и аналитические оценки

В уравнении баланса энергии, записанного для основного объема, в отличие от случая однородного тепловыделения, останется зависимость от радиальной (горизонтальной) координаты

6ТЬ _ <3(г,г)

62 р С

Это означает, что вне пограничных слоев вертикальная компонента скорости распределена по горизонтальной координате так же, как мощность тепловыделения

Распределение радиальной компоненты скорости на периферии пограничного слоя определяется режимом течения в нем самом и в условиях температурной стратификации оказывается аксиально-симметричным и задается средней по горизонтальному сечению величиной объемной плотности источников тепла

1/1 / \ Я с/

^»-Тй

с \ 1

С!ТЬ V <12

5М

р с

■кЯ2

о

Таким образом, соотношения, замыкающие систему уравнений пограничного слоя и основного объема, а, следовательно, и распределение теплоотдачи, определяются величиной ф Если она не зависит от вертикальной координаты, распределение теплоотдачи такое же, как при однородном тепловыделении

В геометрии круглого цилиндра, при однородно распределенных источниках тепла толщина пограничного слоя была оценена в работах [4, 5] Она определяется модифицированным числом Рэлея ЯЭ/ и для ламинарного ре-

12

жима течения, соответствующего <10 , имеет порядок

8~Я Яа]02

В рассматриваемой здесь задаче с неоднородным тепловыделением модифицированное число Рэлея выражается через среднюю по объему плотность

источников тепла С^у

Кя _ 9аОуН5

Ка1 =-:->

и условие (17) приобретет вид

» Я^0-2 (19)

В Разделе 3 2 рассмотрен более общий случай распределения объемного источника тепла (параметр 8(3 при этом характеризует масштаб неоднородно-стей) Показано, что при условии малости доли тепловыделения в пограничных слоях по сравнению с основным объемом устанавливается температурная стратификация, а распределение теплоотдачи также определяется средней по горизонтальному сечению мощностью тепловыделения

В Разделе 3 3 рассмотрен второй предельный случай (см стр 15), когда тепловыделение происходит в тонком слое вблизи границы, где конвекция играет существенно меньшую роль, чем молекулярная теплопроводность, за счет которой тепло теперь целиком отводится к границе. Температура на периферии прогретого слоя (см уравнение (3)) имеет порядок

7(z)~ (20)

Решение задачи о свободной конвекции в этом случае будет совпадать с таковым для жидкости без внутренних источников тепла с эффективными граничными условиями, задаваемыми (20), то есть кардинально отличаться от решения для среды с однородным объемным тепловыделением

В Разделе 3 4 обсуждается применимость полученных результатов для более сложной геометрии объема, в частности, полусферической, а также для случая охлаждаемой верхней границы, когда в верхней части полости возникает конвекция Рэлея-Бенара.

В Разделе 3 5 при помощи прямого численного моделирования (пакет FLUENT) проведено сравнение структуры течения при однородном и неоднородном (вида Q(t~) = ^ Ch , где Г - радиальная координата) распределении мощности тепловыделения Результаты расчетов подтвердили полученные аналитически выводы о наличии стратификации температуры во всей области вне пограничных слоев и о корреляции между вертикальной скоростью и плотностью источников тепла в этой области

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 Для квази-двумерных (slice-) экспериментальных моделей свободной конвекции жидкости с внутренними источниками тепла проанализирована структура пограничных слоев и их влияние на степень соответствия трехмерному прототипу Найдены критерии прототипности slice-моделей с внутренним (джоулевым) и внешним (стеночным) способами подвода тепла.

2 При помощи схемы, разработанной на основе синтеза аналитического и численного подходов, выполнен расчет свободно-конвективного течения и теплоотдачи энерговыделяющей жидкости в геометрии полусферы и соответствующей slice-модели в области умеренно высоких

7 12

(10 —10 ) чисел Рэлея Установлено количественное соответствие основных характеристик теплоотдачи между двумя типами геометрии Результаты прямого численного моделирования (FLUENT 6 2) подтвердили расчеты по схеме, априори учитывающей структуру течения

3 Проведен теоретический анализ свободной конвекции в цилиндрической полости с неоднородно распределенным источником тепла. Пока-

v зано, что структура пограничных слоев и картина стратификации в основном объеме соответствуют однородному распределению источников тепла при условии малости доли мощности, приходящейся на пограничные слои Результаты прямого численного моделирования подтвердили полученные теоретически результаты

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Bolshov L А, Kondratenko Р S , "Limiting angular dependencies of heat and mass transfer in a heat generating fluid\ International Journal of Heat and Mass Transfer, 2000 43, pp 3897 - 3905

2 Mayinger F X, Fritz P , Reineke H H. et al, "Theoretische und experimentelle Untersuchung des Verhaltens eines geschmolzenen Kerns im Reaktor-behalter und auf dem Betonfundament'' Technical Report FT-FB (RS 16679-05), Bundesmmisterium für Forschung und Technologic Bonn, Germany, 1980

3 Mayinger F X, Jahn M , Remeke H.H., Steinberner U , "Examination of thermohydrauhc processes and heat transfer m a core melf BMFT, RS 48/1", Institute für Verfahrenstechnik der T U, Hannover, FRG, 1976

4 Д Г Григорук, П С Кондратенко, "Свободная конвекция энерговыделяющей жидкости в цилиндрической геометрий, Труды третьей российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ-3), Москва, 2002, Т 3, с с 57-60

5 Д Г Григорук, П С Кондратенко, Д В Никольский, "Геометрический фактор в свободной конвекции тепловыделяющей жидкости", Изв РАН Энергетика 2004 №2 с с 86-100

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 П С Кондратенко, Д В Никольский, "О применимости пленочного приближения в теории ламинарного свободно-конвективного пограничного слоя", Теплофизика Высоких Температур, 2000,38, №5, с с 845-848

2 Д В Никольский, "Пограничный слой вблизи теплоизолированной поверхности в жидкости с внутренними источниками тепла", Сборник трудов II научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН, Москва, 2001, с с 9-12

3 Д В Никольский, "Свободная конвекция в квазидвумерной геометрии", Сборник трудов III научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН, Москва, 2002, с с 46-49

4 ПС Кондратенко, Д В Никольский, "Свободная конвекция в квазидвумерной геометрии", Труды Третьей Российской Национальной Конференции по Теплообмену, в восьми томах, 21-25 октября 2002 года, Москва, том 3, с с 87-90, Москва, Издательство МЭИ, 2002

5. D.G Grigoruk, Р S Kondratenko, D V Nikolski, "Geometrical aspects in free convection of heat-generating fluid', The 10th International Topical Meeting on Nuclear Reactor Thermal Hydraulics (NURETH-10), Seoul, Korea, October 5-9, 2003, Abstract of Proceedings, p 32

6 ДГ Григорук, ПС Кондратенко, ДВ Никольский, "Геометрический фактор в свободной конвекции тепловыделяющей жидкости", Известия Академии наук Энергетика, 2004, выц 2, с с 86-100

7 Д Г Григорук, П С Кондратенко, Д В Никольский, "Геометрический фактор в свободной конвекции тепловыделяющей жидкости", Труды V Минского международного форума по тепло- и массообмену, Минск 2004

8 ДГ Григорук, ПС Кондратенко, ДВ Никольский, "Упрощенный метод расчета свободной конвекции тепловыделяющей жидуости в осе-симметричном замкнутом объеме", Труды Четвертой Российской Национальной Конференции по Теплообмену, в восьми томах, 23-27 октября 2006 года, Москва, том 3, с с 93-96, Москва, Издательство МЭИ, 2006

9 ПС Кондратенко, ДВ Никольский, В Ф Стрижов, "Свободная конвекция тепловыделяющей жидкости с неоднородным распределением источников тепла", Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2007,132, № 2, с с 485-492

Оглавление.

ВВЕДЕНИЕ.

Общая характеристика работы.

Исторический обзор.

Экспериментальные работы.

Теоретические работы.

ГЛАВА 1. КОНВЕКЦИЯ В КВАЗИ-ДВУМЕРНОЙ (SLICE-) ГЕОМЕТРИИ. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВЕННОГО СООТВЕТСТВИЯ ТРЕХМЕРНОМУ АНАЛОГУ.

1.1. Свободная конвекция в замкнутом объеме. Математическое описание и основные характеристики.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Внутренний (джоулев) разогрев.

1.4. Боковой (стеночный) разогрев.

ГЛАВА 2. КОЛИЧЕСТВЕННОЕ СРАВНЕНИЕ ТЕПЛООТДАЧИ В КВАЗИ-ДВУМЕРНОЙ И ТРЕХМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Численная модель.

2.3. Обсуждение результатов.

Рисунки.

ГЛАВА 3. СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ С НЕОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА.

3.1. Аксиально-симметричное распределение источников тепла.

3.2. Произвольное распределение источников тепла.

3.3. Мелкомасштабные неоднородности. Тонкий скин-слой.

3.4. Полусферическая геометрия. Охлаждаемая верхняя граница.

3.5. Численный эксперимент.

Рисунки.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В исследованиях по проблеме безопасности АЭС особое место занимают тяжелые аварии. При потере теплоносителя и разрушении активной зоны возможно накопление тепловыделяющего расплава на дне корпуса реактора. В такой ситуации возникает задача сохранения целостности корпуса с целью предотвращения выхода радиоактивных материалов. На сегодняшний день основными стратегиями по решению этой проблемы для водо-водяных реакторов корпусного типа средней и малой мощности являются внешнее охлаждение и затопление активной зоны водой. При этом эффективность охлаждения определяется механизмом кипения на внешней поверхности корпуса реактора. Во избежание возникновения кризиса кипения требуется знать локальное распределение потока тепла к поверхности, которое определяется свободной конвекцией тепловыделяющего расплава.

При экспериментальном исследовании тяжелоаварийных процессов возникает ряд трудностей. Например, многие параметры задачи, такие как теплофизические свойства расплава, условия теплоотвода на границе, оказываются неопределенными. Ввиду невозможности проведения эксперимента с тепловыделяющим расплавом в объемах, сопоставимых с размерами реакторных установок, используются модельные жидкости: вода, фреон, расплавы солей, в которых объемное тепловыделение создается индукционными токами или Джоулевым нагревом. При сохранении исходной геометрии добиться однородного распределения тепловыделения по объему крайне проблематично, поэтому в экспериментах часто использовалась полость в виде относительно тонкого плоскопараллельного слоя, рассматриваемого как осевой срез прототипного трехмерного объема (т.н. slice-геометрия). В любом случае остается открытым вопрос о степени соответствия полученных результатов прототипной ситуации.

Прямое численное моделирование требует значительных временных затрат и вычислительных ресурсов. Кроме того, ввиду существенного различия характерных пространственных масштабов, область высоких мощностей тепловыделения остается для него недоступной. Для различных полуэмпирических моделей, упрощающих процесс расчета, характерна неоднозначность выбора параметров.

Большая часть опубликованных теоретических работ посвящена интегральным характеристикам теплоотдачи, в то время как особенности распределения потока тепла через границу, влияние геометрии объема, граничных условий и геометрии распределения источника тепла на эффективность теплоотдачи, структура свободно-конвективных пограничных слоев изучены недостаточно. Поэтому исследование перечисленных аспектов теплопередачи в средах с внутренними мелочниками тепла является актуальным.

Целью работы является анализ влияния геометрии объема и геометрии тепловыделения на распределение теплоотдачи жидкости с внутренними источниками тепла. Основными задачами диссертации являются:

1. Установление геометрических ограничений на экспериментальный квазидвумерный (slice-) объем для достижения наилучшего соответствия трехмерному прототипу относительно распределения теплового потока по охлаждаемой границе

2. Сравнительный анализ количественных характеристик теплоотдачи в slice-геометрии и геометрии 3D- прототипа

3. Анализ влияния неоднородности распределения источников тепла на структуру конвекции и распределение теплоотдачи.

Научная новизна работы. Автором впервые:

1. Установлены геометрические критерии соответствия распределения теплоотдачи квази-двумерного объема трехмерному прототипу.

2. При помощи модели, построенной на основе метода аналитических оценок, найдено количественное соответствие характеристик теплоотдачи квазидвумерного объема трехмерному прототипу при соблюдении геометрических критериев.

3. Аналитически исследована роль неоднородности распределения объемного источника тепла. Определена возможность соответствия теплоотдачи между случаями однородного и существенно неоднородного распределения источников тепла.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы при планировании экспериментов, интерпретации и обработке результатов имеющихся работ, а также в инженерных расчетах по моделированию процессов теплообмена при тяжелых авариях.

Личный вклад автора. Соискателем лично проведены следующие работы:

1. Аналитические оценки по выявлению критериев прототипности квазидвумерных экспериментальных моделей с внутренним и внешним подогревом.

2. Численные расчеты свободной конвекции жидкости с внутренними источниками тепла в полусферической и slice- полостях в ламинарном режиме.

3. Аналитические оценки и прямые численные расчеты характеристик теплоотдачи жидкости с неоднородным распределением источников тепла.

На защиту выносятся:

1. Критерии прототипности квази-двумерных экспериментальных моделей при внутреннем (джоулевом) и внешнем (стеночным) способах подвода тепла.

2. Аналитическое решение задачи о пограничном слое на теплоизолированной вертикальной стенке.

3. Количественное соответствие характеристик теплоотдачи между полусферической полостью и ее квази-двумерным аналогом.

4. Условия соответствия распределения теплоотдачи между случаями однородного и неоднородного распределения объемного источника тепла.

Материалы диссертации докладывались на международной конференции «The Tenth International Topical Meeting on Nuclear Reactor Thermal Hydraulics» (NURETII-10, Сеул 2003), международном форуме «V Минский Международный Форум по Тепло- и Массобмену» (MIF-5, Минск 2004), Третьей и Четвертой Российских Национальных Конференций по Теплообмену» (РНКТ-3, Москва 2002, РНКТ-4, Москва 2006), ежегодных школах-семинарах (конференциях) ИБРАЭ РАН (2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005,2006).

По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной проблемой, которой посвящена диссертация, был вопрос об адекватном экспериментальном моделировании конвекции и теплоотдачи энерговыделяющего расплава в условиях тяжелой аварии. Были рассмотрены две распространенных концепции: эксперимент в квази-двумерной (slice-) геометрии при разогреве электрическим током (джоулевым теплом) или при внешнем подводе тепла, а также эксперимент в прототип-ной (аксиально-симметричной) геометрии с неоднородным пространственным распределением мощности, что соответствует условиям разогрева высокочастотными токами.

1. Наилучшее соответствие квази-двумерных экспериментальных моделей трехмерному прототипу сводится к соответствию характеристик свободной конвекции и теплоотдачи в прототипной (осесимметричпой) и полуцилиндрической (плоско-двумерной) геометрии.

При внутреннем (джоулевом) подогреве пограничные слои на теплоизолированных боковых стенках не нарушают соответствие режимов температурной стратификации в трехмерной и квази-двумерной полостях. Конкуренция между вязкими и архимедовыми силами приводит к выравниванию поперечных профилей вертикальной скорости и температуры везде, кроме тонких подслоев, где они меняются с удалением от стенки. Это приводит к тому, что режим температурной стратификации в нижней части slice-полости, а, следовательно, степень соответствия модели и прототипа, определяется соотношением толщины ПС на кривой охлаждаемой границе и толщиной slice-полости L. С одной стороны, аспектное отношение — ограничивается сверху единицей, с другой стороны, ограничивается снизу величиной Rdj

При подводе тепла через плоские вертикальные участки границы наилучшее полуколичественное соответствие квази-двумерной модели и ее трехмерного прототипа имеет место в случае "стесненных" ПС на вертикальных боковых стенках. Это обстоятельство накладывает верхнее ограничение на L, более сильное по сравнению со случаем джоулева разогрева.

В обратном случае ("изолированных" ПС) тепловой поток распределен по охо лаждаемой границе как qc се 0 , что принципиально отличается от распределения в трехмерной геометрии (qc ос 0 ), так что этот случай неприемлем для моделирования трехмерной конвекции.

Дополнительное ограничение сверху на толщину объема приводит к тому, что для моделей с внешним подводом тепла наилучшее соответствие прототипу становится возможным лишь в области больших чисел Рэлея.

2. Построена физическая модель и разработан численный алгоритм решения свободно-конвективной теплоотдачи энерговыделяющей жидкости в замкнутом объеме полусферической и полуцилиндрической формы (что соответствует квази-двумерной модели при соблюдении условий (1.32) или (1.72)) с изотермическим условием на нижней границе и адиабатической верхней горизонтальной границей. Численно решена задача о ламинарной конвекции в

7 12 диапазоне модифицированных чисел Рэлея 10 < Rdj <10 .По результатам расчета получена зависимость среднего безразмерного потока тепла (числа Нуссельта) к боковой (в случае полусферы нижней) границе от модифицированного числа Рэлея. Найденные распределения скоростей и температуры в пограничном слое на боковой границе по своей структуре согласуются с результатами экспериментов и прямого численного моделирования.

3. При условии малости толщины пограничных слоев по сравнению с характерным масштабом неоднородностей распределения внутренних источников тепла общая структура свободной конвекции (область устойчивой стратификации, слой Рэлея-Бенара при охлаждаемой верхней границе, свободно-конвективные пограничные слои) сохраняется такой же, как при однородном тепловыделении. При этом многие детали распределения источников тепла играют незначительную роль - определяющим фактором является среднее по горизонтальному сечению значение мощности тепловыделения в зависимости от вертикальной координаты Q(z). В случае Q(z) = const имеется полное количественное соответствие случаю однородного распределения источников тепла.

В случае, когда тепло выделяется в тонком по сравнению с толщиной ПС слое вблизи границы, структура течения соответствует свободной конвекции без внутренних источников тепла. Распределение эффективной температуры границы при этом определяется поверхностным тепловыделением.

Выражаю благодарность доктору физико-математических наук П.С. Кондратенко за научное руководство, доктору физико-математических наук В.Ф. Стрижову за обсуждение работы и критические замечания, доктору физико-математических паук В.М. Головизнину за консультации, кандидату физико-математических наук Д.Г. Григоруку за помощь в подготовке материала.

1. Mayinger F.X., Jahn M., Reineke H.H., Steinberner U. Examination of thermohy-draulic processes and heat transfer in a core melt, BMFT, RS 48/1, Institute fur Ver-fahrenstechnik der T.U., Hannover, FRG, 1976

2. Jahn M. Holografische untersuchung der freien konvektion in volumetrisch beheiten fluiden", Doktor-Ingenieur Dissertation. Hannover, 1975.

3. Bolshov L.A., Kondratenko P.S. Limiting angular dependencies of heat and mass transfer in a heat generating fluid // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2000 43, pp. 3897-3905

4. Большое JI А., Кондратенко П.С., Стрижов В Ф. Свободная конвекция тепловыделяющей жидкости // Успехи Физических Наук, 2001, 171, №10, сс. 10511070.

5. Steinberner U., Reineke Н.Н. Turbulent buoyancy convection heat transfer with internal heat sources // Proceedings of the 6-th International Heat Transfer Conference, Toronto, Canada, 1978, p. 305, Paper NC-21

6. Kymalainen O. et al. COPO: experiments for heat flux distribution from a volumet-rically heated corium pool // Proceedings of the 20-th Water Reactor Safety Meeting, Bathesda, Maryland, USA

7. Kymalainen О., Tuomisto H., Hongisto О., Theofanous T.G. Heat flux distribution from a volumetrieally heated pool with high Rayleigh number // Nuclear Engineering and Design, 1992,149, pp.401 -408

8. Asfia F.J., Dhir V.K. // Proc. of the Workshop on Large Molten Pool Heat Transfer, Grenoble, p. 229 (1994)

9. Frantz B. and Dhir V.K. // ASME Proc. National Heat Transfer Conference, San Diego, Ca, August 9-12 1992,192, p. 69 (1992)

10. Asfia F.J., Frantz В., Dhir V.K. Experimental investigation of natural convection heat transfer in volumetrieally hested spherical segments // ASME Journal of Heat Transfer, 1996 Vol.118, pp 31 37

11. Theofanous T. G. and Liu C. Natural convection experiments in a hemisphere with Rayleigh numbers up to 1015 // Proc. ANS National Heat Transfer Conf., Portland, Oregon, p. 349(1995).

12. Theofanous T. G. et al. The first results from the ACOPO experiment // Nuclear Eng. & Design. Vol. 169. pp. 49-57 (1997).

13. Прандтль JI. Гидроаэромеханика / Перевод со 2-го немецкого издания. // НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" (2000).

14. Castaing В. et al. Scaling of hard thermal turbulence in Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mechanics. Vol. 204. pp. 1- 30. (1989).

15. Гебхарт Б. и др. Свободноконвективные течения, тепло и массообмен. М.: Мир, 1991.

16. George W.K., Сарр S.P. Л theory for natural convection turbulent boundary layers next to heated vertical surfaces // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1979 22, pp. 813-826

17. Bolshov L.A., Kondratenko P.S., Strizhov V.F. A semiquantitative theory of convective heat transfer in a heat generating fluid // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1998 41, pp. 1223 1227

18. Bolshov L.A. and Kondratenko P.S. Limiting characteristics of heat transfer distribution and stratification in a heat-generating fluid // Proc. of the 1999 NURETH-9 Conference, October 3-8,1999, San Francisco, California, Log 304 (1999)

19. Григорук Д.Г. Теплоотдача жидкости с внутренними источниками тепла в цилиндрической геометрии // Сборник трудов II конференции стипендиатов ИБ-РАЭ РАН: 12-13 апреля 2001 г., Москва, 2001, с. 16-19.

20. Григорук Д. Г., Кондратенко П.С. Свободная конвекция энерговыделяюгцей жидкости в цилиндрической геометрии // Труды третьей российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ-3), Москва, 2002, Т.З, с.с. 57 60

21. Григорук Д.Г. Свободная конвекция тепловыделяющей жидкости в цилиндрическом объеме // Сборник трудов V научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН: 22-23 апреля 2004 г., Москва, 2004, с. 12-15.

22. Григорук Д.Г., Кондратенко П.С., Никольский Д.В. Геометрический фактор в свободной конвекции тепловыделяющей жидкости // Известия Академии Наук. Энергетика. Т. №2. сс. 86-100. (2004).

23. Григорук Д.Г., Кондратенко П.С., Никольский Д.В. Геометрический фактор в свободной конвекции тепловыделяющей жидкости // Труды V Минского международного форума по тепломассообмену, Минск 2004.

24. Григорук Д.Г. Теплоотдача энерговыделяющей жидкости в верхней части замкнутого объема с плоской адиабатической горизонтальной границей // Сборник трудов III конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН: 18-19 апреля 2002 г., Москва, 2002, с. 16-19.

25. Григорук Д.Г., Кондратенко П.С. Теплоотдача энерговыделяющей жидкости в верхней части замкнутого объема // Теплофизика высоких температур, 2004, 42, №2, с. 287-290.

26. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Паука, 1986

27. Asmolov V. Latest findings of RASPLAV project // Proceedings of the OECD/CSNI Workshop on In-Vessel Core Debris Retention and Coolability, Garching/Munich, Germany, 1998, pp. 89-110

28. Никольский Д.В. Пограничный слой вблизи теплоизолированной поверхности в жидкости с внутренними источниками тепла // Сборник трудов II научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН, Москва, 2001, с.с. 9-12.

29. Никольский Д.В. Свободная конвекция в квазидвумерной геометрии // Сборник трудов III научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН, Москва, 2002, с.с. 46-49.

30. Кондратенко П.С., Никольский Д.В. Свободная конвекция в квазидвумерной геометрии // Труды Третьей Российской Национальной Конференции по Теплообмену, в восьми томах, 21-25 октября 2002 года, Москва, том 3, с.с. 87-90, Москва, Издательство МЭИ, 2002.

31. Игнатьев А.С. и др. ГЕФЕСТ: Численное моделирование процессов в нижней части реактора ВВЭР при тяжелой аварии // Препринт ИБРАЭ № IBRAE-2003-13. 2003. Москва, 2003.

32. Киселев А. Е. и др. ГЕФЕСТ: Модели теплообмена с паром и перемещения материалов в НКС реактора ВВЭР при тяжелой аварии // Препринт ИБРАЭ № IBRAE-2003-14. Москва, 2003.

33. Poletaev G.N. Heat transfer from curvilinear boundaries of heat-generating pools // Proc. of the NURETH-11,2005.

34. Кондратенко П.С., Никольский Д.В. О применимости пленочного приближения в теории ламинарного свободно-конвективного пограничного слоя // Теплофизика Высоких Температур, 2000, 38, №5, с.с. 845-848.

35. Ноготов Е.Ф., Синицын А.К. О численном исследовании нестационарных задач конвекции // ИФЖ.1976. Т. 31, № 6. С. 1113-1119.

36. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

37. Bolshov L.A. et al. Numerical study of natural convection of a heat generating fluid in nuclear reactor safety problem // Nuclear Science Journal. 1995. Vol. 32 No. 2. pp. 134- 139.

38. Churbanov A.G., Vabishchevich P.N., Chudanov V.V., Strizhov V.F. // Int. J. Heat Mass Transfer 37 2969 (1994)

39. Fluent Inc. Fluent 6.2 User's Guide.// Lebanon (2005)

40. Я Ускорение свободного падения

41. Н Высота объема (уровень жидкости)

42. Толщина среза (квази-двумерная геометрия)

43. Р Давление (за вычетом гидростатической составляющей)

44. Давление в основном объеме жидкости (за вычетом гидростатической составляющей)1. Рг = Число Прандтля

45. Q Объемная плотность мощности источников тепла

46. Q Усредненная по горизонтальному сечению плотность мощностиисточников тепла

47. R Радиус цилиндра, радиус кривизны нижней охлаждаемой границыполусферического или slice-объемап даАТН31. Ra = -- Число Рэлея1. VI1. Ra 9*QH5

48. VyX Модифицированное число Рэлея

49. Ra = 9aQR Аналог модифицированного числа Рэлея для slice-объема с боко-m vy\Lвым подогревом Т Температура (в ПС), отсчитанная от Tq

50. Tq Температура охлаждаемой границы (начало отсчета температур)

51. Ть Температура в основном объеме (отсчитанная от Tq )7~max Максимальная температура жидкости

52. U, Us, Uс Продольная скорость в ПС

53. Vr vs, vc Поперечная скорость в ПС

54. Q Скорость в основном объеме

55. Uz Вертикальная скорость в основном объеме

56. Jr Радиальная скорость в основном объеме

57. X Горизонтальная координата, параллельная плоскости среза (квазидвумерная геометрия)

58. У = A. Коэффициент температуропроводности