Геометрические свойства функций многих комплексных переменных, голоморфных в областях Рейнхарта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СУЛТЫГОВ Магомет Джабраилович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ, ГОЛОМОРФНЫХ В ОБЛАСТЯХ Р.ЕЙНХАРТА

01.01.01 — математический анялю

>г

01

\1

• А. втореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону,1995 г.

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Краст Знамени областном педагогическом институте им.Н.К.Крупско:

Научный руководитель - доктор физико-математических :

профессор И.И.БАВРИН

Официальные оппоненты: Академик Международной академ

наук высшей школы, доктор физ математических наук, гтрофессо В.А.КАКИЧЕВ

кандидат физико-математически доцент ЗНАМЕНСКИЙ Б.А.

Ведущая организация: Казанский ордена Ленина и ордена Тру

Красного Знамени государственный уни тет им.В.И.Ульянова-Ленина.

Защита диссертации состоится "

в " на заседании диссертационного совета К 06£. 5<

по $изйкочиагемагическим наукам в РГУ по адресу: 344104, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, механико-математический фг тет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиоте РГУ (ул.Пушкинекая, 148).

Автореферат разослан "

Ученый секретарь ,

диссертационного совета, кандидат / //

физико-математических наук, доцент и^Уи " В.Д.КРЯК!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Геометрическая теория функций, изу-нощая голоморфные функции, определяемые геометрическими ойствами или "структурными формулами, является одним из 1Жиых направлений в современном комплексном анализе. В 1Стоящее время эта теория для функций одного комплексного ременного достаточно глубоко разработана и оснащена ши-1ККМ спектром методов исследования. С начала шестидесятых дов нашего столетия стала развиваться и геометрическая тео-; [я голоморфных функций многих комплексных переменных, работах советских математиков: И. А. Александрова, И. И. 1врина, Ю. Е. Хохлова и зарубежных: Ю. Мичнваки, К. Ки-чи, П. Лисберского, Т. Хигучи, С. Фукуя, К. Добровольской, Пореда, Т. Саффриджа, А. Пфальцграфа и других изучают-экстремальные вопросы классов голоморфных функций. Актуальность выполненной работы обусловлена отсутствием лного исследования геометрических свойств классов функций югих комплексных переменных, голоморфных в областях ;йнхарта; неизученностыо взаимосвязей между классами гнкций и неисследованностыо в многомерном случае структур, [х формул, дающих критерий принадлежности данной функ-и с заранее заложенными геометрическими или аналитиче-ими свойствами к данному классу.

Целью работы является получить и развить методы геомет-ческой теории функций многих комплексных переменных в ластях Рейнхарта.

Научная новизна. В диссертации получены: двусторонние енки модулей функций и модулей операторов функций; описаны экстремальные функции с указанием точности енок на некоторых множествах;

найдены точные оценки сумм Ак(0) и Вк(0), содержащих эффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов функций из рассматриваемых классов через характеристики (О);

построены структурные формулы, позволяющие в интеграл1 ной или р иной форме представлять любой элемент рассматр! вае,мого класса;

установлены изоморфизмы соответствующих классов ил включение некоторых из них.

Результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Методика исследования. Все научные результаты, изложе! ные в диссертации, доказаны. При доказательстве использую-ся методы, разработанные в научной литературе по геометр! ческой теории функций как одной, так и многих комплексны переменных.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, ,П1 "лученные в диссертации, носят теоретический характер и м( гут найти применение в теории обратных краевых задач, в ты рии биголоморфных отображениях, в дифференциальных ура] нениях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации д| кладывались на семинарах по теории функций в МОПИ ш Н. К. Крупской под руководством проф. И. И. Баврина и прт В. П. Громова в 1980—1982 года; в СОГУ им. К. Л. Хетаг; рова на семинаре по дифференциальным и интегральным ура нениям под руководством проф. А. X. Гудиева в 1982—1986 п на 6 Кубанской школе-семинаре по геометрической теор! функций комплексного переменного под руководством про( И. П. Митюка и проф. В. И. Монахова; на научном семпиа] в Р.ГУ по дифференциальным и интегральным уравнениям ш руководством проф. В. С. Рогожина в 1984 г.; на семинарах I теории функций в ТРТИ под руководством доц. В. А. Какмче1 в 1984—1987 гг.; в Институте прикладной математики и мех никн АН УССР на семинаре по теории функций и функционал кого анализа под руководством проф. В. Я. Гутляпского 1984 г. в Донецке; на 7 Кубанской школе-семинаре по ГТФК в 1985 г. под руководством проф. И. П. Митюка и проф. Л. Аксентьева; на Школе молодых ученых МГУ в 1986 г.; на Кубанской школе-семинаре по ГТФКП под руководством про И. П. Митюка, проф. Л. А. Аксентьева, проф. В. Я. Гутлянско в 1987 г.; на научном семинаре в РГУ по теории функции т руководством проф. Ю. Ф. Коробейника.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введеш трех глав и списка литературы из 77 наименований. Объем дк сертации —103 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор предшествующих исследований по теме диссертации, приводятся основные результаты выйолненной работы. : .. • . f

В первом параграфе введения приведены общепринятые обозначения и понятия, используемые в диссертации; • в частности ,пи саны области 6r, Ur , Ал,*, Dp, q класса (Т), радиусы параметризации ги г2, •■• , г„ и характеристика dK{D) области 5 С С". Здесь же введены дифференциальные операторы ■

¡~i дг\ 7

'авенством

а

ан явный вид обратного оператора .

Второй параграф содержит определения хорошо известных лассов SD , CD , MD , /Vu многих комплексных переменных эломорфных в полной ограниченной кратнокруговой области » с центром в начале координат 0 = (0, 0, • ■ • , 0).

Определение 1. Классом Шура Sn называется множество :ех голоморфных в полной ограниченной кратнокруговой об-зсти D функций f{s) таких, что | f(z) | = | /(г,, • • • , zn) | < ; 1, z^D.

Определение 2. Класс Каратеодори CD состоит из всех го-зморфных в полной ограниченной кратнокруговой области D дикций f(z), для которых R ef(zu ••• , z„) > 0.

Определение 3. Назовем /(z) <= И(D) функцией класса QD( ли она в D С С" имеет разложение

/00 = 1+ V aKzK (1)

I к i =1

^(-к) = ~к/(Л^к. ••• . 2К, ■■■ , lnzK), как функция перёмен-го zK. однолистна в сечении IJ комплексной прямой

: /,„е=С | [0|, т = 1, • • • к - 1, /г + 1, • • • я)

11 (

» 1т функция F(zK) — гк/(0, ••• , гк, ... , 0) однолистна! :еченнп

з

Lm =.jDf) [zm= 0; m = 1, 2, • • • , k - 1, k + 1,

Оцределенн голоморфных

e 4. Классом MD '^з^рдетря,,.множество ..все; . в DÇ С" функций (1) таких, что F(zK)--= zK.> , /пгк) как функция переменного zK звезд но однолистна в сечении D каждой комплексной прямо РМ«|..При_/т = 0 функция /г(0к) = 2гк/.(0, ••• , г„ ••• С зеездно однолистна в сечении ¿т.

Принадлежность, голоморфных в £)(С" функции /(г) классу _MD описывает условие

! „ R\f(z)

'Определение 5. Класс ND состоит из всех f(z) œ H{L ■вида (Д) таких, что F(zK) = гк/(/,ек, ••• , гк, ••• , /пгк), ка функция.переменного 0К выпукло однолистна в сечении. ; каждой комплексной прямой Pt |к) , а при 1т — 0 функци iF (zK) — zAf (О, ••• , zK, ■•■ ,0) выпукло однолистна в сече унии Lm.

Неравенство

/?!2)/(г)

Re ——— >0, (!

■ ■ RifW

где Rf]f(z) = Rt [Rif(z)), является необходимым и дост точным условием принадлежности голоморфной функции классу Nd .

Классы функций, исследуемые в данной диссертационно работе и введенные автором, определены в третьем параграф

Овределение 6. Классом MD (Л, В), -1<5<А<1 наэ вем множество всех голоморфных в области D ( С" функци /(г) представимых рядом (1) и удовлетворяющих услов1

.fi£jfL= 1+л9(г) , e(0)SsD(o). (

Данный класс охватывает ряд известных классов, а таю содержит новые, ранее не описанные классы. ц

.Интересными представляются классы функции м0(л,-

1 <а<1, удовлетворяющих условию звездно однолистности орядка а:

До/И

<а.

(5)

Определение 7. Класс М0 (а, —а) состоит из функций/(г) аких, что /(0) = 1 и Г(гк) = гк/(1хгк, ••• , /П2К), как функ-ия переменного £к звездно однолистна порядка а в О [)Р1 (к ,

при /,п = 0 функция Р(гк)=2к/( 0, ••• , гк, •¡: 0)' звез> о'.однолистна порядка а в 1т. \ ■•••

Определение 8. Обозначим через . " '

Мг

¿2 — а* + а

\-а

, а + Ь > 1,

ласс функций /(г) представимых рядом (I) и удовлетворяю-,их условию

«г/(«)

— а

<6.

(6)

Определение 9. Будем говорить, что голоморфная в £>' функ-1я g(z) = g(zu ••• , гп), ё:(0) = 1 принадлежит ; классу 0 (А, В), если существует функция /(г) класса М0(А, В)

поя, что в £>

(7)

Иногда будем называть функцию В) „близ-

)й" к соответствующей функции /(2)<=./Ип (Л, В). Определение 10. Классом М'0 (а, р), 0 <а < 1,0 < Р< 1 на-вем множество всех голоморфных в £> С С11 функций /(г) да (1) таких, что ^(г*) = ¿„/(/^ •■• , гК) ••• , /пгк), как дикция переменного гк звездно однолистна порядка а и тир в ЛПР, |к], а при 1т = 0 функция /=■(«„) = гк/ (0, ••• , г„ • , 0) звездно однолистна порядка а и типа р в и, еле-1вателыю, /(г) удовлетворяет условию

/?о1п/(*)

(2?-1)

/(г)

• + 1_2рв

(8)

Определение 11. Обозначим через MND(a, |3), яе^, 0<Р< < Г пространство всех голоморфных функций /(г)еЯ(О) удовлетворяющих условиям: /(0) = 1, /(г)/?,/(г) О и функция Р(гк) — гк/(/,гк, ••• , 2К, ••• , 1пгк) а—звездна порядка р в ЯП Р,(к, если 1тф 0, а при 1т = 0, Р(гк) = 2к/(0, ••• ,

• - • ,0) а—звездна порядка Р в ¿т и, значит,

I «■/(*) /кг) )

Класс МЫи (а, р) является многомерным аналогом известного класса Мокану порядка р.

Определение 12. Класс (р, X, а), 0<а</>, | X | < к/2

есть множество всех голоморфных в О С С" функции /(г) вида (1) таких, что /^к) ~ ••• , гк, ••• , /П2К), как

функция переменного гк, р—листна X—спиралеобразна порядка а в П[)Р1 (к1, а при /т=0 функция ^(г*)^?/(0, • • • , гк, ■ ■ • , 0) р — листна X—спиралеобразна порядка а в ¿т, что равносильно условию

Ке^^->«С08Х. (10)

/и)

Определение 13. Множество функций /(г)еЯ(/>), 0(_С" удовлетворяющих условиям /(0)=1 и

(11)

eXXRif(z) + [(1 — 2а) cos X — / sin X]/ (г) -обозначим через AÍSD (1, X, а, о), где 0<о.<1.

В диссертации последние два параграфа третьей главы посвящены исследованию многомерных аналогов функций И. Е. Базилевича, которые включают в себя ряд подклассов звездообразных, спиралеобразных, почти выпуклых и тому подобных классов функций.

Определение 14. Множество функций f{z)e.H(D), DC С1 удовлетворяющих условиям: /(0) — 1, f{z)R^f(z) --f=0 и

яе 0<а<а<со, ре/?1 назовем классом функций Базилеви-

а В0 (а, (3, а).

Определение 15. Пусть функция /(г) еЯ(О) имеет разло-ение вида (1) и удовлетворяет условию /{г) Ф 0.

оломорфную функцию /(г) многих комплексных переменах будем считать функцией класса В0 (X, а, Р), если

Ие/аь, /(е))> рсовХ, (13)

1е ае/?+, 0<р<1, | ). | <-/2 и

f(г) /?, /(г)

В семидесятых годах нашего столетия в теории функций не-сольких комплексных переменных определенное внимание бы) уделено интегральным структурным формулам и тем проб-:-мам геометрической теории, которые решаются с их помощью, риведем примеры структурных формул, полученных в диссер-ции.

Теорема 1.1. Функция Дг), голоморфная в ограниченной пол-|й кратнокруговой области-О, принадлежит классу Ма (Л, В) м. определение 6) тогда и только тогда, когда существует дикция 9 (г) е (0) такая, что

/и) _ ехр сл - а, /Л-1' 1} • <«>

груктурнаяформула (15) устанавливает связь класса-М0(Л, В) классом 5о(0), достаточно полно изученным. Действия диффе-ициальиым оператором на равенство (15) и, учитывая ,снки модуля функции из50(и), можно получить оценки модуля шкц,ии/(2) В). К сожалению, данный способ не яв-

ится рациональным и приходиться искать другие методы по-'чения оценки модуля функции из класса М0(А, В) (см. тео-му 1.2).

Следующая теорема 2.4 описывает структурной формулрй асс Мокану порядка р многих комплексных переменных.

Теорема 2.4. Функция /(г) принадлежит МЛ^ (а,Р), а <=/?+, ^р < 1 тогда и только тогда, когда существует функция

Ми такая, что

л*'

1-Р 1-Я а

/(2) = (— [ а 6 а Л) , (16

I ° о )

где для степенной функции взято главное значение. < Как следует из теоремы 2.4, класс М0(А, В) изоморфен клас су!1М0 . С помощью интегрального представления (16) можш получить оценки модулей /{г) (см. формулу 2,13) и ¡[¿¡/(г (см формулу 2.14) — аналог теоремы искажения. ' Метод интегральных представлений позволяет дать описанш

классов В0(К а, Р), В0(к, а, о),50 , р| . С помощьк

структурных формул для функций многих переменных класс Базилевича (см. определение 15, 14, 3.2) показано, что попарн

• „ / е'*

изоморфны В0 (а, р, а) н Мц (теорема 3.4), В0 —, р

IX

и Ма, ЖС(Р) и В0 (X, О, р) (лемма 3.3), , р | и В0(К 0, £

(лемма 3.4), £0(Х, а, р) и В0 (X, О, р), а для классов В0(о р;)о), В0 (А, а, р) п ¿?п , р| получены вложения:

В0(а, Р, а) (теорема 3. 5)

В0(а, Р, а)е50(аь р,, о,) (следствие 3. 7] СВ0(К р) (теорема 3. 8;

В геометрической теории функций многих комплексных пе ременных оценка модуля функции /(г) и модуля R\f {z) про водится следующим образом. Пусть /{г) е И {О). Для каждо точки Се /встроим срез-функцию/,., определенную для Хе е^! = { | /. ! < 1) формулой /с (Х)=/(ХС). Тогда /с голоморфн в I X< 1 п но Xобладает свойствами соответствующего класс, функций одного переменного, используя которые получаем неоС ходимыерезультаты для функций исходного класса. Если С ^ комплексная прямая, проходящая через 0 и С, то функцию/,, мо

э понимать как сужение /на круг В\[\1.Далее, пусть И (О) имеет разложение /= по однородным функци-Определим Я/ по формуле

(/?/)(2)= 2 г<=В\.

к=0

1кция /?/ связана с производной срез-функпии /. соотно-1ием

¿Л , , , — - . П1

х/„ (X), С <= Д

я получения оценки на модуль используем оценку

жзводной /. (X) соответствующего класса функций одного еменного. Таким методом получены оценки (1. 4), (1. 5), 42), (1. 43), (1. 59), (1. 60), (1. 66), (1. 67), (2. 13), (2. 14)

/ Ь* — а5 + а

I классов функций М0 (Л, В), М0

ь Ь )'

(А, В), М*0(о>, Р), я, р). Точность полученных оце-

например, в классах М0(А, В) и А^ (Л, В) при 0 = К? я, ид р достигаются функциями

I А-В

?о (¿1, ¿-г) =

1 +

В (а^гхе1я1 + а-г,е'а2) 21-»

ехр Л'

,5 = 0,

И*!, =

+

ехр

В

2 1 1 /?а

Л ( г5<г>аа '

2 /?а

л-в в

5=^0

А-В

1 + 2"' (д,г1е|я1 Ч- (1 + (д^е1^ Ч-аагг(?|аа)) в

1 — 23-1 (я^еИ + д2г5й1аз)

Ф|(2„ «г)

1 +

г,«13! г-г'01'.!

• +

1 +

В / г,^.

2 I /?1

„Но

+

г^'3! гае'аг

А?»

/г,

А-Р

Р

соответственно на множествах

= 11111

пК..

г, I

— 1 л и'

При а = 1 эти оценки являются точными в любой точке облас

В приложениях геометрической теории функций многих ко плексных переменных бывают необходимы точные оценки сул

I йк,_к„ к. I 3 1*1

геО к.=о

2 (к,-к,)

5К_ (Б) = 5гУР

2

ка—О

к,-Кг

(1

(1

содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки сам! коэффициентов функций из рассматриваемых классо

Эти коэффициенты оцениваются через характеристики */„ (£)) =

= Р ( I I I I '■> £ I Поэтому для конкретных обла геП

тей /^необходимо уметь эффективно вычислить . Дл

тех областей О, границы которых дважды непрерывно Ди4 ференцпруемы и аналитически выпуклы извне, а также для б\ круга, величины к (О)вычисляются эффективно. В силу топ что Ак (О) являются однородными многочленами переменны | | 2, то с помощью сечений области £> они приводятся коэффициентам соответствующих срез-функций, что дает воз можпость получения необходимых оценок в классах функци многих комплексных переменных. Нами получены оценки суш (17) и (18) в классах функций М0(А, В) — (теорема I.

/ 1,1 — Д2 + а ] _ а \ М0(а, —а) —(теорема 1. 5), Л10 -;-, —;— ) — (теорс

ь ь

ма 1. 9), В) — (теорема 1. 10), М*0 (а, 3) — (теорем

), МЛги (а, р) — (лемм'а 2. 1), МБ0(р, X, а) —(теорема 3. 1) (1, X, а, а)—(теорема 3. 3). В качестве примера сформуем теорему 3.1. еорема 3.1. Если функция

'(г,, z2) = v ( 2 а.^вГЧ"' \eMSD(p, X, а),

к,=0 \ к2=0 /

;ри А, >/?

Лк, (D) < j П —

Bft (D) < "Л J2(P-«>«-'Xco»?.+/I _

j=o 1

Обычно в виде следствий из оценок данных сумм получают пш коэффициентов Тейлора. Так, например, для коэффици-ib функций класса (р, X, а) справедливы оценки

, ^ I* | К | -р _ 1 1 'jj- р 12_(Р - а) COS X _+ j I

К! ' 4с.. к,

Для упрощения записи все рассуждения порводятся для слу-двух комплексных переменных, однако полученные резуль-л легко переносятся на случай «>2 комплексных перемеп-. Полное представление о всех результатах, имеющихся в :ертации, дают приводимые ниже таблицы 1, 2, 3.

Таблица 1

Класс функции М0 (А, В) и его подклассы

Классы функции Структурная формула Связь классов функций Оценки 1/(*)1 и 1 Я7/(г) 1 Точность оценок на множествах и экстремальные функции Оценки функционалов и коэффициентов Тейлора

1 2 3 4 5 6

Теорема 1. 1 Теорема 1. 2 Следствие 1. 1 Теорема 1. 3

М0 (А, В) — \<В<А<Л Формула (1. 1) М0 (А, В)~50 (0) Формулы (1. 4), (I. 5) Формулы (1. 10). (1. 11) Следствие 1. 2 Формулы (1. 14). (1. 15) <Р„ (*1. 22) 4 (г,, г2) Формулы (1. 20), (1, 21) Следствие 1. 3 Формула (1. 26)

М0 (а. —а) 0<а<1 А'о (а, —«) Теорема 1. 6 Формула (1. 36) Теорема 1. 5 Формулы (1, 29), (1. 30) Следствие 1. 4 Формула (1. 35)

Продолжение таблицы 1.

1 2 з 4 5 6 :

ч . •. a+b> 1 b<a<b 4-1 Теорема 1. 7 Формула (1. 37) ¡bu—а--\-а 1— а\ ч t . ,) (0) Теорема 1.8 Формулы -(1. 42), (1. 43), (1. 44), Следствие 1. 5, 1, 6 Формулы (1. 46), (I. 47) ft. <?2. ?3 Теорема 1. 9 Формулы (1. 49), (1. 50) Следствие 1. 7 Формула (1. 50)

Nd (А, В) — \<В<А<Л CD(1). Nd Теорема 1. 12 Теорема 1. 11 Формулы (1. 59), (1. 60) Следствие 1. 10, 1. 11 Теорема 1. 10 Формула (1.52) Следствие 1. 8

Р) 0<а<1, 0<?<1 Теорема 1. 13 Формула (1. 64) «'D(', (0) Теорема 1. 14 Формулы (1.66), (1. 67) Следствие 1: 12, 1, 13 Формулы (1. 69), (1. 70) Теорема 1. 15 Следствие 1. 14

л

Таблица 2

Класс функциА Мокану порядка ¡5

Классы функции Структурная формула Связь классои функций Оценки | / (г) | и 1«т/<*)1 Точность оценок на множествах и экстремальные функ. Оценки функционалов и коэффициентов Тейлора

Л1Л'П (а, л) ое л , 0 1 1 У ^ Теорема 2. 4 Формула (2. 7) ЛШ„ (а. Р) ММ0 '?)~MND (0. ¡3) М(а, (а, ЛШ0 (0, ¡5) Теорема 2. 5 Формулы (2. 13), (2. 14) Теорема 2. (5 Формулы (2. 23), (2. 24) Следствие 1. 1 Формулы (2. 19), (2. 20) Следствие 2. 2 «г) Лемма 2. 1

классы сниралеии|Л1Л1шл. ^поцпп

Классы функций Структурная формула Связь классов функций Оценки I /(*) | ) и I я7/<*) I Точность оценок на множествах и экстремальных функций Оценки функционалов н коэффициентов Тейлора ■• '

1 2 3 4 5 6 '•

(р, /., а) тс 1 X | < —, 1 0 ' Теорема 3. 1 Формулы (3, 4), (3, 5) Следствие 3. 1

л;5„ о. >., 3) 0<а<1, 0<я< 1 Теорема 3. 2 Формула (3. 7) (0), | Л {г) 1 < = Теорема 3. 3 Формула (3. 10) Следствие 3. 5

1 2 3

0-.а<а< 4-с«С0 Теорема 3. <1 Формула (3. 10) в0 (а, В0 (а, =) Е ^агс (к — , —| Вп (а, (я,. 3„ ;,) л/5в ^агс ^ "7 ■ 01 <= В0г (а, Р, 0) Теорема 3. 5 Следствие 3. 7 Теорема 3' 6

Продолжение таблицы

I 2 I _3

в0 «. Р) | >. | < у. Теорема 3.9 Формула (3. 45) В0(Х, а, Э)~В„(Х, 0, й) В0 (X, се, р)с~:В0 (X, 0, В0 (х- Р)сВ0 (а. »'. ?). 0<а' / (Д \ <3 Теорема 3. 9 Теорема 3. 7 Следствие 3. 8

0 :3 < I Теорема 3. 8

1Р) ~ (>-. м в0 , [1 | ~ Во (>■• 0, ?) Лемма 3. -3

Лемма 3. 4

Лемма 3. 5

РАБОТЫ АВТОРА 110 TIIMÍÍ ДИССЕРТАЦИИ

1. С у л т i,i г о и М ,'.1 С) функциях 1>а:ш.и.чшча .ui) \ комплексных переменны.»..-- МОП И им. М. К. Круш-коЛ.-- М.. 1982 — И> с' BmVinorp П> : .4 • - Дои. в ВИНИТИ ¿.J.02 82. .V/ HV2-W.

2. V. у л т ы г о n М Д. ОйоОшепнс апездооСфазных функции порядк.1 о. п lima (i ну случаи диу\ комn.ii'Kt'iii.i.v переменных.— MOIII! им. Н. К. Круп-«ком.— Л1„ 1982.—II е.: 15i.íi.iногр.. ■ ó нал*.-Доп. и БПИИТИ ■23.02.S2. Л'.' HL4S-H2.

3. С у л т ы г о и ДА. Д. Об одном подклассе класса Д\в функций доу\ мп илсксных переменных,—ДАОГП I им. Н. К. Крупской,—ДА.. 1982.— 14 е.: Бн.'лпогр,: 20 на.чп,- Леи. в ВИНИТИ 24.02.62. № 838-82.

I. С у л т ы г о и М. Д. Онеика коэффнинонтои для одного класса га-ломорфных функций,— МОПИ им. Н. К. Крупской.— .4., 1982, —7 с: Би-С/лиогр.: 5 казн.—Дон. и ВИНИТИ 23,02.82, ,Y? 827-82.

5. С у. 'i ты го и А\, Д Класс голоморфных функций 11п(а, (3, у) и спой-ста згого класса функций.— МОПИ им. Н. К. Крупской,— М., 1982,—7 е.: БиОлногр-: G иаао.--Дсп. в ВИНИТИ 2.4.02.«2. .NV У26-82.

Ь. Султыгов М. Д. Класс голоморфных функции двух комплексны; иеремснпых//Избранпые задачи комплексного анализа. Труды научного семи-пара.— МОПИ им Н. К. Крупской.--- А\.. 1982 — С Iб<1— 177 - Дсп. и IIИ НИТИ 15.11.82. .V? 5592-82.

7. Султыгов М. Д. Класс голоморфных функций üu(a, (3, у) и счон-ста этого класса/Мналнтичсскнс функции и их приложения.-- Орджоникидзе.-- 1984 -■ С. 7I-- НО

8. С у л г ы г и и ,М. Д. О функциях Мокапу порядка |i диух комплексных поременных//Математичсскип анализ п его приложения.— Грозный.— 198*1.— С. 86—100.

9. Султыгов М. Д. Экстремальные вопросы и классе функций Мокапу нескольких комплексных переме1ШЫ.\//Исс.,!едова11ня по теории функций и их приложения к уравнениям » частных производных.— Орджоникидзе.— 1980 — С. 66-71.

Подписано к печати 1.11.95 формат А5 Бумага тип №3 объем 2 усл.п.д.

Заказ №124/3 тираж 100

Ростовнефтехимпроект